Модуль числа это определение: Что такое модуль числа? Ответ на webmath.ru

Определение модуля числа и его применение при решении уравнений — Студопедия

Поделись  

Существенной характеристикой числа является понятие его абсолютной величины – модуля. Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово, имеющее множество значений, применяется не только в математике, но и в физике, архитектуре, технике, программировании и других точных науках.

Несмотря на кажущуюся простоту определения модуля числа, решение уравнений и неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, вызывает определенные трудности. По-видимому, они связаны с тем, что решение задач подобного рода предполагает элементарные навыки исследования, логического мышления, заключающиеся в переборе различных возможных вариантов, так как в подавляющем большинстве задач одно уравнение или неравенство с модулем равносильно совокупности или системе нескольких уравнений и неравенств, освобожденных от знака модуля.

В этой главе мы систематизировали информацию о модуле и рассмотрели некоторые методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на числовой оси.

Модуль числа обозначают символом .

Другими словами, геометрически означает расстояние на числовой оси от начала отсчета до точки, изображающей число .

Если , то на числовой оси существует две точки и , равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если , то на числовой оси изображают точкой .

Пример. Решим уравнение:

Решение. Согласно геометрической интерпретации модуля, уравнение описывает множество точек, удаленных от начала отсчета на расстояние 3. Это точки

Ответ. –3; 3.

Пример. Решим уравнение:

Решение. Согласно геометрической интерпретации модуля, расстояние не может быть отрицательно. Следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Термин «модуль» ввел английский математик Р. Котес (1682 – 1716), знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1841 г.

Иногда вместо термина «модуль» используют термин «абсолютная величина» или «абсолютное значение» числа.

Дадим алгебраическое определение модуля.

Определение. Модуль числа или абсолютная величина числа равна , если больше или равно нулю и равна , если меньше нуля:

Пример. В соответствии с приведенным определением , ,

Из определения модуля следует, что для любого действительного числа , .

Пример. Решим уравнение:

Решение. Согласно алгебраическому определению модуля, имеем: .

Ответ. –3; 3.

Пример. Решим уравнение:

Решение. Согласно алгебраическому определению модуля, имеем: . Следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Теорема 6.Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел или .

Доказательство. Если число положительно, то число отрицательно, то есть . Отсюда, в силу транзитивности отношения «меньше», следует, что . В этом случае , то есть совпадает с большим из двух чисел и .

Если число отрицательно, тогда число положительно и , то есть большим числом является . По определению, в этом случае, − снова, равно большему из двух чисел и . Теорема доказана.

Следствие.Для любого действительного числа справедливо: .

Доказательство. В самом деле, как , так и равны большему из чисел и , а следовательно,, равны между собой.

Следствие.Для любого действительного числа справедливы неравенства , .

Доказательство. Умножим второе равенство на , изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим следующие неравенства: , справедливые для любого действительного числа . Объединяя последние два неравенства в одно, получим: .

Модуль числа может быть определен и как наибольшее из чисел a и –a.

Теорема 7. Абсолютная величина любого действительного числа равна арифметическому квадратному корню из , то есть .

Доказательство. В самом деле, если , то, по определению модуля числа, имеем: .

С другой стороны, при , , следовательно, .

Если , тогда и и в этом случае .

Теорема доказана.

Теорема 7 дает возможность при решении некоторых задач заменять на .

Для любых действительных чисел справедливы следующие свойства:

.

; ; ;

;



Определение модуля

1. Модули противоположных чисел равны
2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа
4. Модуль числа есть число неотрицательное
5. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля	,
6. Если , то
7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей

Числовые промежутки

Окрестность точки Пусть х_о—любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки хо называется любой интервал (a; b), содержащий точку x0. В частности, интервал (х_о-ε,х_о+ε), где ε >0, называется ε-окрестностью точки х_о. Число х_о называется центром.

3 ВОПРОС понятие функции Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение перемен­ной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом.

Переменную у называют зависимой переменной.

Способы задания функции

Табличный способ.  заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами — наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f (х),  где f (х) — некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

      Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область определения функции. В таком случае подразумевают, что область определения функции у = f (х) совпадает с областью определения выражения f (х), т. е. с множеством тех значений х, при которых выражение f (х) имеет смысл.

Естественная область определения функции

Область определения функции f – это множество X всех значений аргумента x, на котором задается функция.

Для обозначения области определения функции f используется краткая запись вида D(f)

. 

явное неявное параметрическое задание функции

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Определение модуля и значение | Dictionary.com

• Основные определения
• Викторина
• Примеры
• Британский
• Научный

Показывает уровень сложности слова.

[ moj-uh-luhs ]

/ ˈmɒdʒ ə ləs /

Сохранить это слово!

Показывает уровень оценки в зависимости от сложности слова.

---

Определение модуля

существительное во множественном числе mod·u·li [moj-uh-ahy]. /ˈmɒdʒ ə aɪ/.

Физика. коэффициент, относящийся к физическому свойству.

Математика.

1. число, на которое умножаются логарифмы в одной системе, чтобы получить логарифмы в другой.
2. Количество, на которое можно разделить два заданных количества, чтобы получить одинаковые остатки.
3. абсолютное значение.

ВИКТОРИНА

ВЫ ПРОПУСТИТЕ ИЛИ НАТЯНУТСЯ НА ЭТИ ВОПРОСЫ ПО ГРАММАТИКЕ?

Плавно переходите к этим распространенным грамматическим ошибкам, которые ставят многих людей в тупик. Удачи!

Вопрос 1 из 7

Заполните пропуск: Я не могу понять, что _____ подарил мне этот подарок.

Начало модуля

1555–65; <Латинское: единица измерения; см. режим ¹ , -ule

Слова рядом с модулем

модулировать, модуляция, модулятор, модуль, модуль, модуль, модуль упругости, модуль жесткости, modus operandi, modus ponens, modus tollens

Dictionary.com Unabridged Основано на словаре Random House Unabridged Dictionary, © Random House, Inc. , 2022 г.

Как использовать модуль упругости в предложении

• Из-за деформации соединений при первом нагружении балки следует принимать меньший модуль упругости, чем для сплошного стержня.

  Британская энциклопедия, 11-е издание, том 4, часть 3|Разное

• Ухо, хотя и умеренно владеющее этим языком, не может быть обмануто в отношении степени и модуля страданий, на которые он указывает.

  Посмертные произведения Томаса Де Куинси, Vol. 1 (2 тома) | Томас Де Куинси

• Этот модуль находится в диаметре колонны, и эталон пропорции, который основан на нем, называется каноном.

  История искусства Древнего Египта, Vol. I (из 2)|Georges Perrot

• Мера жесткости древесины называется модулем упругости (или коэффициентом упругости).

  Механические свойства древесины|Samuel J. Record

Определения модуля в Британском словаре

модуль

/ (ˈmɒdjʊləs) /

---

существительное множественное число -li (-ˌlaɪ)

физика коэффициент, выражающий заданное свойство определенного веществаСм. Комплексное числоСмотреть абсолютное значение

математика число, на которое умножается логарифм по одному основанию, чтобы получить соответствующий логарифм по другому основанию См. также конгруэнтность (определ. 2)

Происхождение слова для модуля

C16: от латинского, уменьшительное от меры модуса

Английский словарь Коллинза — полное и полное цифровое издание 2012 г. © William Collins Sons & Co. Ltd., 1979, 1986 © HarperCollins Publishers 1998, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007, 2009, 2012

Научные определения для модуля

Modulus

[MŏJ’ə-ləs]

---

МОДУЛИ ПЛОНАЛЬНОГО МОДЕЛИ (MŏJ’ə-Lī ′)

A. A A (MŏJ’ə-lī ′)

A. число, на которое можно разделить два данных числа и получить одинаковый остаток.

Числовая длина вектора, представляющего комплексное число. Для комплексного числа a + bi модуль равен квадратному корню из (a2 + b2).

Число, на которое нужно умножить логарифм по одному основанию, чтобы получить соответствующий логарифм по другому основанию.

Научный словарь American Heritage® Авторские права © 2011. Опубликовано издательством Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Все права защищены.

модуль – определение и значение

• Определить
• Связать
• Список
• Обсудить
• См.
• Услышать
• и Любовь

Определения

из Словаря английского языка American Heritage®, 5-е издание.

• сущ. Физика Величина, выражающая степень, в которой вещество обладает каким-либо свойством, например эластичностью.
• сущ. Квадратный корень из произведения комплексного числа и его комплексно-сопряженного числа.
• существительное Натуральное число, используемое в качестве заданного делителя в модульной арифметике.
• сущ. Число, на которое нужно умножить логарифм в одной системе, чтобы получить соответствующий логарифм в другой системе.

из словаря века.

• сущ. В математика , действительное положительное число, которое служит мерой или параметром функции или эффекта. Представлен М. или мк.
• сущ. В физике мера эффекта при условиях, мера которых равна единице. Таким образом, физический модуль — это не число, а физическая величина.
• существительное [ с заглавной буквы ] В конхология , род брюхоногих моллюсков, относится к Littorinidae , или барвинки, или сделанные из семейства Modulidæ. Раковина вдавленная, трохиформная, с глубоко вырезанным колумеллярным зубцом и многозаходной крышечкой.
• существительное тогда модуль преобразования равен

из версии GNU Collaborative International Dictionary of English.

• сущ. (математика, механика и физика) Величина или коэффициент, или константа, которая выражает меру некоторой определенной силы, свойства или качества, таких как эластичность, прочность, эффективность и т. д. ; параметр.
• сущ. формула, выражающая работу, которую данная машина может выполнить в условиях, связанных с ее конструкцией; отношение между работой, совершаемой движущей силой над машиной, и работой, совершаемой в рабочих точках, либо постоянно, если ее движение равномерно, либо в интервале времени, которое она занимает при переходе от любой данной скорости к одной и той же скорости опять же, если его движение переменно; — называется также КПД машины.
• сущ. (Матем.) число, на которое нужно умножить все логарифмы Напьера, чтобы получить логарифмы в другой системе.
• сущ. Выражение силы (обычно в единицах высоты в футах или веса в фунтах колонны того же тела), которая необходима для удлинения призматического тела с поперечным сечением, равным данной единице, как квадратный дюйм или фут, чтобы удвоить или сжать его вдвое по сравнению с его первоначальной длиной, если бы такая степень удлинения или сжатия была возможна или в пределах эластичности; — называется также модулем Юнга.
• сущ. мера силы, необходимой для того, чтобы сломать данное вещество поперек в виде балки, выраженное восемнадцатикратной нагрузкой, которая требуется, чтобы сломать стержень площадью один квадратный дюйм, поддерживаемый горизонтально в двух точках на расстоянии одного фута, и загружается посередине между точками опоры.

из Викисловаря, Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

• существительное математика Основание, по которому вычисляется сравнение.
• существительное математика Абсолютное значение комплексного числа.
• сущ. физика Коэффициент, выражающий, какой частью определенного свойства обладает определенное вещество.
• сущ. вычисления, программирование Оператор, помещаемый между двумя числами для получения остатка от деления этих чисел.

из WordNet 3.0 Copyright 2006 Принстонского университета. Все права защищены.

• существительное абсолютное значение комплексного числа
• сущ. (физика) коэффициент, выражающий, какой частью указанного свойства обладает указанное вещество
• существительное целое число, которое можно разделить без остатка на разность между двумя другими целыми числами

Этимологии

из Словаря английского языка American Heritage®, 4-е издание

[латинское, уменьшительное от modus , мера; см. med- в индоевропейских корнях.]

Поддержка

Помогите поддержать Wordnik (и сделать эту страницу свободной от рекламы), приняв слово модуль.

Примеры

• Например, семантическое ограничение функции « модуль » является целым числом.

  Межбелковые взаимодействия

• В нижней части 9 ЮнговМодуль 0313 вдвое меньше, чем у верхней части.

  Блог Wolfram: Ложки и Летняя школа

• Поперечная прочность также называется модулем разрыва.

  Глава 10

• Однако, проводя эксперименты по наноиндентированию с помощью АСМ, исследователи обнаружили, что мумифицированная кожа имела немного более высокий модуль Юнга , что означает, что она была немного менее эластичной и более жесткой, чем недавняя кожа.

  PhysOrg.com — последние новости науки и техники

• Однако, проводя эксперименты по наноиндентированию с помощью АСМ, исследователи обнаружили, что мумифицированная кожа имела немного более высокий модуль Юнга , что означает, что она была немного менее эластичной и более жесткой, чем недавняя кожа.

  PhysOrg.com — последние новости науки и техники

• Тем не менее, проводя эксперименты по наноиндентированию с помощью АСМ, исследователи обнаружили, что мумифицированная кожа имеет несколько более высокий индекс Юнга 9. 0313 модуль , что означает, что он был немного менее эластичным и более жестким, чем недавняя кожа.

  PhysOrg.com — последние новости науки и техники

• Однако, проводя эксперименты по наноиндентированию с помощью АСМ, исследователи обнаружили, что мумифицированная кожа имела немного более высокий модуль Юнга , что означает, что она была немного менее эластичной и более жесткой, чем недавняя кожа.

  PhysOrg.com — последние новости науки и техники

• Стивенс предложил, чтобы испытуемые могли количественно оценить величину физического раздражителя. Процедура оценки величины Стивенса: предоставить « модуль » (базовый уровень) стимула (например, громкий звук, удар электрическим током) и назвать его 100. Попросить испытуемого оценить интенсивность последующих раздражителей. по шкале 0 … 100 напр. если тон звучит вполовину тише, оцените его эффективность 50 . Более эффективная, чем процедура Вебера!

  Недавно загруженные слайд-шоу

• * Для целых чисел в более общем смысле [[модулярная арифметика]] работает с классами эквивалентности, определяемыми остатком от деления на фиксированный » модуль » » M ».

  No related posts.