определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа (угла)
В учебнике Алимова рассматривается α как угол, принимающий значения, выражающиеся в градусах ил рад. Затем α рассм-ся как произвол. число.
В учебнике Мордковича посл-сть обратная.
Но независимо от учебника метод. подходы к введению синуса, косинуса, тангенса и котангенса одинаковы.
Следует отметить, что с элементами тригонометрии учащиеся встречались и не однажды. В курсе геометрии 8 класса в теме «Подобные трег-ки» рассм-сь тема «Соотношения между сторонами и углами треуг-ка»Здесь даются определения синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треуг-ка через отношение соот-щих катетов и гипотенузы. Рассм-ся формулы
Определяются значения синуса, косинуса, тангенса для углов 30 град, 45 град, 60 град. Далее это находит применение в курсе физики 8 класса.
Второй
раз учащиеся встречаются с элементами
тригом-ии в 9 классе в курсе геометрии
в теме «Соотношения между сторонами и
углами треуг-ка».
Рассм-ся осн. тригоном. тождество, формулы приведения: . Все это исп-ся для записи формулы площади треуг-ка: половина произведения сторон на синус угла между ними, для записи теоремы косинусов, синусов, для нахождения различных элементов произвольного треуг-ка (решенеи треуг-ка) по трем данным эл-м, определяющим треуг-к, для введения скалярного произведения векторов.
Т. о., происходит пропедевтика к изучению тригонометрии в куре алгебры 9-11 классов.
В 9 кл. в курсе алгебры в теме «Элементы тригонометрии» вводятся понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа (у А. Г. Мордковича), угла (у Ш. А. Алимова).
—
Вы знаете, что любому числу (углу) α
соот-ет !точка числ. окр-ти Pα.
Точка Pα
имеет две декартовые коор-ты (xα,
yα).
Вводятся четкие определения синуса и косинуса через род и видовое отличие.
Синусом угла α наз. ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α (обозначается sin α).
Косинусом угла α наз. абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α (обозначается cos α).
Тангенс и котангенс определяются как отношение формулами.
Тангенсом
угла α
Котангенс угла α (обозначается ctg α)определяется формулой
В
итоге можно сразу установить, что синус
и косинус определены для любого α, а
тангенс и котангенс только для
определенных.
Далее следует отметить, что defs синуса и косинуса имеют геомет. интерпретацию: ось ординат – это ось синусов, ось абсцисс – это ось косинусов, поэтому целесообразно ввести здесь же геометрич. интерпрет. тангенса и котангенса.
— Пусть дана числ. окр. Проводим прямую l парал-но Оу через точку (1, 0). Она явл-ся касательной к окр-ти в этой точке, т. к. перпенд-на радиусу. Пусть .
— Рассм. точку Pα c корд-ми (cos α, sin α). OPα пересекаем с l. Получаем точку Tα. Найдем ее координаты, обозначив их (x_0, y_0).
— x_0=1
— Уравнение прямой OPα имеет вид y=kx (проходит через (0, 0)). Подставим в него коорд-ты точки Pα, чтобы найти k:
— Точка Tα принадлежит OPα, значит, ее корд-ты удовлетворяют ур-ю:
—
Итак, длина отрезка ATα
равна tgα
(|tg
α|).
Поэтому прямую l
наз.
осью тангенсов, где точка А считается
началом отсчета, т. к. она соот-ет tg0,
равному 0.
— tgπ/4=1, поэтому ед. отр. оси тангенсов равен ед. отр. осей корд-т. Положит. направление l совпадает с положит. направлением Оу.
Аналогично вводится ось котангенсов.
Геом. интерпрет. позволяет легко установить, что мн-во значении синуса и косинуса ограничено числами 1 и -1, а ось тангенсов и котангенсов не ограничена.
Т. о., изучение эл-ов тригонометрии идет методов УДЕ, т. е. все defs, св-ва, тождества, формулы ПРОБЕЛ
Ключевой явл-ся формула косинус суммы двух углов. Все остальные выводятся из нее.
Эту взаимосвязь между формулами учителю нужно четко показать, возможно, на уроке обобщения и систематизации.
Следует
обращать внимание на приемы запоминания
формул, особенно формул приведения.
Отметим, что в учебниках Алимова, в
отличии от учебника Мордковича, вначале
идет изучение косинуса, синуса, тангенса
и котангенса как чисел, рас-ся их св-ва.
Т. е. из содержательных линий школьного
курса алгебры здесь явно представлена
числовая линия.
Далее вводятся формулы тригонометрии, рассм-ся способы док-ва тригоном. тождеств, упрощаются тргоном. выражения, т. е. формируется линия тождественных преобразований, и только потом в тригонометрии рассм-ся линия ур-й и нер-в и функц. линия.
Урок по теме «Определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника»
- Васнева Юлия Викторьевна, учитель математики
Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (1 МБ)
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
- ввести понятия косинуса, синуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
- научить записывать значения синуса, косинуса и тангенса данного угла.
Оборудование урока: компьютер, мультимедийный проектор, экран, листы с печатной основой.
План урока:
- Организационный момент.
- Подготовка к изучению нового материала.
- Изучение нового материала.
- Закрепление темы.
- Постановка домашнего задания.
Занятие сопровождается компьютерной презентацией.
Приветствие, сообщение цели урока. (слайд 1)
II. Подготовка к изучению нового материала.1. Устно выполнить следующее задание (слайд 2).
Задание 1.
Укажите:
- катет, противолежащий углу С,
- катет, прилежащий к углу С,
- катет, противолежащий углу А,
- катет, прилежащий к углу А.
1. Вводятся определения синуса, косинуса, тангенса. Затем учащиеся записывают в тетрадь значения синуса, косинуса, тангенса острого угла А прямоугольного треугольника АВС(В=90°) (слайд 3).
2. Учитель еще раз проговаривает определения и учащиеся записывают их в тетрадь в краткой форме (слайд 4).
Учащиеся отвечают на вопросы учителя, делают выводы.
- Что показывает отношение двух чисел? (Во сколько раз одно число меньше или больше другого числа).
- Что показывает синус острого угла прямоугольного треугольника? (Во сколько раз противолежащий катет меньше гипотенузы).
- Что показывает косинус острого угла? (Во сколько раз прилежащий катет меньше гипотенузы).
- Что показывает тангенс острого угла ? (Во сколько раз противолежащий катет меньше или больше прилежащего катета).
3. Задание 2. Запишите значения синуса, косинуса и тангенса угла А и угла С прямоугольного треугольника АВС (В=90°) (слайд 5). Ученики выполняют задания самостоятельно с последующей проверкой. Ошибки анализируются вместе с учителем.
IV. Закрепление темы.1. Задание 3. Запишите значения синуса, косинуса, тангенса угла α (слайды 6, 7, 8). Ученики выполняют задания самостоятельно с последующей проверкой. Для выполнения этих заданий каждому ученику выдаются листы с заданиями. (Приложение)
2. Задание 4. Используя полученные знания, ученики доказывают основные тригонометрические тождества: tg α = sin α /cos α; sin² α + cos² α = 1. (слайд 9).
3. Задание № 591(а). Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если ВС=8, АВ=17.
Устно обсудить с учениками решение задачи. Затем дети в тетрадях самостоятельно ее решают. Проверить решение с помощью слайда 10.
V. Постановка домашнего задания.Подвести итоги урока и задать домашнее задание.
Что такое синусоидальный энкодер (он же синусно-косинусный энкодер)?
Вы здесь: Домашняя страница / Часто задаваемые вопросы + основы / Что такое синусоидальный энкодер (он же синусно-косинусный энкодер)?
By Danielle Collins Оставить комментарий
Синусный энкодер похож на инкрементный энкодер по конструкции и функциям. Оба устройства измеряют либо вращательные, либо линейные изменения положения и направления, и оба доступны с оптическими или магнитными технологиями измерения.
Основное различие между ними заключается в том, что синусоидальные энкодеры выдают информацию о положении и направлении в виде 1 В от пика до пика (1 Вразмах) аналоговые синусоидальные волны — обычно обозначаемые буквами «A» и «B» — в квадратуре.
Инкрементальные энкодеры, с другой стороны, предоставляют информацию о положении и направлении в виде пары квадратурных цифровых прямоугольных сигналов. Эта разница в форме выходного сигнала позволяет синусоидальным энкодерам обеспечивать значительно более высокое разрешение, чем могут достигать инкрементные энкодеры.
Когда две синусоиды находятся в квадратуре, одна из них на самом деле является косинусом. Вот почему синусоидальные энкодеры также называют «синусно-косинусными» энкодерами.
Сигналы синусоидального энкодера (вверху) и инкрементного энкодера (внизу).
Изображение предоставлено: Texas Instruments
Как инкрементальные, так и синусоидальные энкодеры могут использовать кодирование X4 для четырехкратного увеличения разрешения. Для синусоидальных энкодеров это делается путем подсчета количества пересечений нуля осциллограммой за период. Для инкрементальных энкодеров это требует подсчета как нарастающих, так и спадающих фронтов обоих прямоугольных сигналов за период.
Но поскольку аналоговые синусоидальные волны синусоидального энкодера являются непрерывными, а не ступенчатыми функциями, как цифровые прямоугольные волны инкрементных энкодеров, сами сигналы могут быть разбиты или интерполированы на очень мелкие отсчеты, чтобы обеспечить чрезвычайно высокое разрешение положения.
Чтобы смягчить влияние шума, синусоидальные кодеры могут использовать технику, называемую дифференциальной сигнализацией, при которой по каждому каналу передаются два комплементарных сигнала. Этот метод также используется для уменьшения шума в инкрементальных энкодерах, хотя аналоговые сигналы синусоидальных энкодеров более восприимчивы к шуму, чем цифровые сигналы инкрементальных версий.
Аналоговые сигналы, создаваемые синусоидальными энкодерами, чувствительны к шуму, но дополнительные сигналы (Sin-, Cos- и Ref-) могут обеспечить некоторую устойчивость к синфазному шуму.Изображение предоставлено: Ingenia
Эти дополнительные сигналы, часто называемые «A-», «B-» и «R-», такие же, как и первичные сигналы, но со сдвигом фазы на 180 градусов.
Поскольку любой шум в сигналах одинаков (называемый «синфазным шумом»), принятие разности двух сигналов устраняет шум, но сохраняет форму сигнала.
Инкрементальный или абсолютный?
Подобно инкрементным энкодерам, выходной сигнал синусоидального энкодера может включать опорный сигнал, который часто называют «R» или «Z». Опорный сигнал имеет немного меньшую амплитуду, чем сигналы A и B, и его пик возникает только один раз за оборот энкодера. Некоторые производители рекламируют синусоидальные энкодеры с опорным сигналом как «абсолютные» энкодеры, но на самом деле они могут предоставлять информацию об абсолютном положении только в пределах одного оборота вала. Однако опорный сигнал полезен при запуске и, в некоторых случаях, в целях коммутации.
Высокое разрешение для лучшего сервоуправления
Синусоидальные энкодеры часто используются в серводвигателях, где более высокое разрешение обратной связи является преимуществом для контуров управления положением и скоростью.
В контуре скорости высокое разрешение улучшает управление скоростью и позволяет использовать более высокие коэффициенты усиления в контуре управления с меньшим уровнем шума. Более высокие коэффициенты усиления также обеспечивают лучшую жесткость системы и лучшую устойчивость к возмущениям. В контуре положения более высокое разрешение обратной связи обеспечивает лучшую воспроизводимость и снижает уровень шума.
Одним из ограничений применения синусоидальных энкодеров является зависимость частоты выходного сигнала энкодера от полосы пропускания, которую может обрабатывать принимающая электроника. Выходная частота определяется числом строк энкодера и механической скоростью, и когда синусоидальный энкодер с очень большим количеством строк работает на высокой скорости, выходная частота энкодера может превышать полосу пропускания, которую может обрабатывать привод или контроллер.
Если энкодер с большим количеством строк работает на высокой скорости, его частота может превысить полосу пропускания принимающей электроники.
Изображение предоставлено: Texas Instruments
Рубрики: Кодировщики, Часто задаваемые вопросы + основы, Рекомендуемые, Инкрементальные кодировщики
Синус Косинус Тангенс в App Store
Описание
Это объясняет поведение основной функции синуса, косинуса и тангенса. Вы можете изменить амплитуду и частоту функции. Кроме того, вы можете ввести значение x или периодический шаг для требуемого решения. Приложение показывает все важные расчеты, предоставляет информационное изображение и отображает график.
Поддерживаются десятичные дроби, дроби, отрицательные числа и π. Решение показано пошагово. Все расчеты сохраняются в истории. Окончательное решение можно разделить.
[ Содержание ]
— все важные величины для синуса, косинуса и тангенса
— область определения, диапазон значений, длина периода, максимум, минимум, нули и полюс функций
— доказательство симметрии и периодического поведения функций
— результаты также рассчитываются как π-значение
— диаграммы для синуса, косинуса и тангенса
— функция истории для сохранения ввода
— подробное решение
— отрицательные значения, десятичные числа, дроби и π поддерживаются
— возможность удалить рекламу
[ Использование ]
— есть поля для ввода значений с помощью специальной клавиатуры
— нажмите кнопку с галочкой внизу справа, чтобы начать расчет
— если значения отсутствуют, приложение будет использовать значения по умолчанию
— если значения неверны, затронутое поле будет выделено красным цветом
— записи в истории могут быть удалены или отсортированы
— если выбрать запись в истории, она будет автоматически загружена для расчета
— вся история может быть удалена нажатием кнопки
— решениями можно поделиться
000Z» aria-label=»November 14, 2022″> 14 ноября 2022 г.
Версия 1.11
— добавлен перевод на хинди и индонезийский язык
Разработчик, Flooki, указал, что политика конфиденциальности приложения может включать обработку данных, как описано ниже. Для получения дополнительной информации см. политику конфиденциальности разработчика.
Данные, используемые для отслеживания вас
Следующие данные могут использоваться для отслеживания вас в приложениях и на веб-сайтах, принадлежащих другим компаниям:
- Место расположения
- Идентификаторы
- Данные об использовании
- Диагностика
Данные, связанные с вами
Следующие данные могут быть собраны и связаны с вашей личностью:
- Место расположения
- Идентификаторы
- Данные об использовании
- Диагностика
Данные, не связанные с вами
Могут быть собраны следующие данные, но они не связаны с вашей личностью:
Методы обеспечения конфиденциальности могут различаться, например, в зависимости от используемых вами функций или вашего возраста.