Внеклассный урок — Уравнения и неравенства с модулем
Уравнения и неравенства с модулемМодулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.
Например, модулем числа 6 является 6, модулем числа –6 тоже является 6.
То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.
Обозначается так: |6|, |х|, |а| и т.д.
(Подробнее – в разделе «Модуль числа»).
Уравнения с модулем.
Пример 1. Решить уравнение
|10х – 5| = 15.
Решение.
В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
│10х – 5 = 15
│10х – 5 = –15
Решаем:
│10х = 15 + 5 = 20
│10х = –15 + 5 = –10
↕
│х = 20 : 10
│х = –10 : 10
↕
│х = 2
│х = –1
Ответ: х1 = 2, х2 = –1.
Пример 2. Решить уравнение
|2х + 1| = х + 2.
Решение.
Поскольку модуль – число неотрицательное, то х + 2 ≥ 0. Соответственно:
х ≥ –2.
Составляем два уравнения:
│2х + 1 = х + 2
│2х + 1 = –(х + 2)
Решаем:
│2х + 1 = х + 2
│2х + 1 = –х – 2
↕
│2х – х = 2 – 1
│2х + х = –2 – 1
↕
│х = 1
│х = –1
Оба числа больше –2. Значит, оба являются корнями уравнения.
Ответ: х1 = –1, х2 = 1.
Пример 3. Решить уравнение
|х + 3| – 1
————— = 4
х – 1
Решение.
Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю – значит, если х ≠ 1. Учтем это условие. Наше первое действие простое – не просто освобождаемся от дроби, а преобразуем ее так, чтобы получить подмодульное выражение в чистом виде:
|х + 3| – 1 = 4 · (х – 1),
|х + 3| – 1 = 4х – 4,
|х + 3| = 4х – 4 + 1,
|х + 3| = 4х – 3.
Теперь у нас в левой части уравнения только выражение под модулем. Идем дальше.
Модуль числа есть неотрицательное число – то есть он должен быть больше нуля или равен нулю. Соответственно, решаем неравенство:
4х – 3 ≥ 0
4х ≥ 3
х ≥ 3/4
Таким образом, у нас появилось второе условие: корень или корни уравнения должны быть не меньше 3/4.
В соответствии с правилом модуля составляем совокупность двух уравнений и решаем их:
│х + 3 = 4х – 3
│х + 3 = –(4х – 3)
↕
│ х + 3 = 4х – 3
│ х + 3 = –4х + 3
↕
│х – 4х = –3 – 3
│х + 4х = 3 – 3
↕
│х = 2
│х = 0
Мы получили два ответа. Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения.
У нас было два условия: корень уравнения должен быть не меньше 3/4, но не может быть равен 1. То есть х ≠ 1, х ≥ 3/4.
Обоим этим условиям соответствует только один из двух полученных ответов – число 2. Значит, только оно и является корнем исходного уравнения.
Ответ: х = 2.
Неравенства с модулем.
Пример 1. Решить неравенство:
|х — 3| < 4
Решение.
Правило модуля гласит:
|а| = а, если а ≥ 0.
|а| = –а, если а < 0.
Модуль может иметь и неотрицательное, и отрицательное число. Значит, мы должны рассмотреть оба случая:
х – 3 ≥ 0 и х – 3 < 0.
1) При х – 3 ≥ 0 наше исходное неравенство остается как есть, только без знака модуля:
х – 3 < 4.
2) При х – 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
–(х – 3) < 4. Раскрыв скобки, получаем:
–х + 3 < 4.
Таким образом, от этих двух условий мы пришли к объединению двух систем неравенств:
│ х – 3 ≥ 0
│ х – 3 < 4
и
│ х – 3 < 0
│–х + 3 < 4
Решим их:
│х ≥ 3
│ х < 7
и
│х < 3
│х > –1
Итак, у нас в ответе объединение двух множеств:
3 ≤ х < 7 U –1 < х < 3.
Определяем наименьшее и наибольшее значения. Это –1 и 7. При этом х больше –1, но меньше 7. Кроме того, х ≥ 3. Значит, решением неравенства является все множество чисел от –1 до 7, исключая эти крайние числа.
Ответ: –1 < х < 7.
Или: х ∈ (–1; 7).
Дополнения.
1) Есть более простой и короткий способ решения нашего неравенства — графический. Для этого надо нарисовать горизонтальную ось (рис.1).
Выражение |х — 3| < 4 означает, что расстояние от точки х до точки 3 меньше четырех единиц. Отмечаем на оси число 3 и отсчитываем влево и вправо от от него 4 деления. Слева мы придем к точке -1, справа – к точке 7. Таким образом, точки х мы просто увидели, не вычисляя их.
При этом, согласно условию неравенства, сами -1 и 7 не включены во множество решений. Таким образом, получаем ответ:
–1 < х < 7.
2) Но есть еще одно решение, которое проще даже графического способа.
Для этого наше неравенство надо представить в следующем виде:
–4 < х – 3 < 4.
Ведь так оно и есть по правилу модуля. Неотрицательное число 4 и аналогичное отрицательное число –4 являются границами решения неравенства.
Далее мы просто переносим влево и вправо число –3 с обратным знаком, оставляя х в одиночестве:
–4 + 3 < х < 4 + 3
–1 < х < 7.
Пример 2. Решить неравенство
|х – 2| ≥ 5
Решение.
Этот пример существенно отличается от предыдущего. Левая часть больше 5 либо равна 5. С геометрической точки зрения, решением неравенства являются все числа, которые от точки 2 отстоят на расстоянии 5 единиц и больше (рис.2). По графику видно, что это все числа, которые меньше или равны –3 и больше или равны 7. А значит, мы уже получили ответ.
Ответ: –3 ≥ х ≥ 7.
Попутно решим это же неравенство способом перестановки свободного члена влево и вправо с противоположным знаком:
–5 ≥ х – 2 ≥ 5
–5 + 2 ≥ х ≥ 5 + 2
Ответ тот же: –3 ≥ х ≥ 7.
Или: х ∈ [–3; 7]
Пример решен.
Пример 3. Решить неравенство:
6х2 – |х| – 2 ≤ 0
Решение.
Число х может быть и положительным числом, и отрицательным, и нулем. Поэтому нам надо учесть все три обстоятельства. Как вы знаете, они учитываются в двух неравенствах: х ≥ 0 и х < 0. При х ≥ 0 мы просто переписываем наше исходное неравенство как есть, только без знака модуля:
6х2 – х – 2 ≤ 0.
Теперь о втором случае: если х < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6х2 – (–х) – 2 ≤ 0.
Раскрываем скобки:
6х2 + х – 2 ≤ 0.
Таким образом, мы получили две системы уравнений:
│6х2 – х – 2 ≤ 0
│ х ≥ 0
и
│6х2 + х – 2 ≤ 0
│ х < 0
Надо решить неравенства в системах – а это значит, надо найти корни двух квадратных уравнений.
Для этого приравняем левые части неравенств к нулю.
Начнем с первого:
6х2 – х – 2 = 0.
Как решается квадратное уравнение – см. раздел «Квадратное уравнение». Мы же сразу назовем ответ:
х1 = –1/2, х2 = 2/3.
Из первой системы неравенств мы получаем, что решением исходного неравенства является все множество чисел от –1/2 до 2/3. Пишем объединение решений при х ≥ 0:
[–1/2; 2/3].
Теперь решим второе квадратное уравнение:
6х2 + х – 2 = 0.
Его корни:
х1 = –2/3, х2 = 1/2.
Вывод: при х < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от –2/3 до 1/2.
Объединим два ответа и получим итоговый ответ: решением является все множество чисел от –2/3 до 2/3, включая и эти крайние числа.
Ответ: –2/3 ≤ х ≤ 2/3.
Или: х ∈ [–2/3; 2/3].
Предварительное исчисление алгебры— что означает $|x-2|
спросил
Изменено 9 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 13 тысяч раз
$\begingroup$
Я изучаю некоторые свойства неравенства абсолютных значений и столкнулся с некоторыми выражениями, такими как $|x-2| < 1$, что я просто не могу понять их значения.
Допустим, у меня есть это выражение
$$ |x|<1.$$
Это означает, что $x$ должно быть где-то меньше $1$ или больше $-1$, что означает, что
$$- 1 < x < 1.$$
Таким образом, в основном $|x|<1$ и $-1 < x < 1$ — это одно и то же.
$$|x|<1 \iff -1 < x < 1 \iff\text{"Где-то меньше $1$ или больше $-1$" или между $-1$ и $1$}$$
Теперь предположим, что у меня есть
$$ |x-2| < 1.$$
Значит, результат выражения $|x-2|$ должен быть меньше $1$ или больше $-1$? Что это также означает для $x$? Должен ли $x$ быть таким значением, что при вычитании $2$ результат должен оставаться в пределах $-1$ или $1$ или меньше нуля? Если $x =5$, утверждение не выполняется, потому что $3 <1$ ложно. Итак, он должен определить границу $x$, которые удовлетворяют этому уравнению, верно?
, если $|x| = |-x|$
что это может означать для
$|x-2| = |-x-2|$ или $|x+2|$ или $|-x+2|$ ?
Спасибо.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Геометрическая интерпретация в $\Bbb R$ для $|x-a| В вашем конкретном примере $|x-2|<1$ означает, что $x$ находится на расстоянии не более $1$ от $2$, и оно (расстояние) никогда не достигает $1$. Чтобы интерпретировать $|x-2|=|-x-2|$, я считаю полезным сначала отметить, что $|-x-2|=|x-(-2)|$ (почему?). Равенство $|x-2|=|x-(-2)|$ говорит о том, что $x$ находится на равном расстоянии между $2$ и $-2$. В более общем случае $|x-a|=|x-b|$ означает, что $x$ находится на одном и том же расстоянии между $a$ и $b$. Подводя итог, прочитайте $|x-a|$ как расстояние между $x$ и $a$. $\endgroup$ 10 $\begingroup$ Подсказка Обозначим $x-2$ через $y$, тогда $$|x-2|<1\iff |y|<1$$
и вы найдете именно свое первое неравенство.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
$$|x-y|$$ можно представить как расстояние от $x$ до $y$. Например, $|x-y| = |у-х|$? Да, потому что расстояние от $x$ до $y$ такое же, как расстояние от $y$ до $x$.
$$|x-y| + |у-я| = |x-z|?$$ Это говорит о том, что расстояние от $x$ до $y$ плюс расстояние от $y$ до $z$ равно расстоянию от $x$ до $z$. Это означало бы, что $y$ находится на прямом пути из $x$ в $z$. Таким образом, мы ожидаем, что это будет ложно, если $y$ не находится на этом прямом пути; скажем, если $x = 2, z=4,$, но $y = 17$. И действительно $|2-17| + |17-4| \ne |2-4|$, поэтому приведенное выше уравнение не всегда верно. Но из этого понимания мы можем предположить, что $$|x-y| + |у-я| \ge |x-z|,$$ с равенством, возникающим только тогда, когда $y$ находится между $x$ и $z$.
С этой идеей, что означает $$|x|$$? Оно должно быть таким же, как $$|x-0|,$$ — расстояние от $x$ до 0. И это правильно.
Что теперь означает $$|x-2| < 1$$ означает? Это означает, что расстояние от $x$ до 2 меньше 1. Другими словами, это можно записать так: $$1\lt x\lt 3.$$
$\endgroup$
$\begingroup$
Мы знаем, что:
$$|x-2|= \влево\{
\begin{массив}{ll}
-x+2 & \quad x < 2 \\
х-2 & \quad x \ge 2
\конец{массив}
\право.$$
Теперь, если нам нужно сделать $|x-2|<1$, то:
$$x\ge2\to x-2<1\to x<3\\\ x<2\to 2-x<1\to x>1$$ Это означает, что в целом имеем $1
1
$\begingroup$
Точно так же, как вы заменяете $|x|<1$ на $-1 Чтобы увидеть, какие знаки верны в $|x-2|=|\pm x\pm 2|$, обратите внимание, что абсолютное значение не меняется, когда мы заменяем его аргумент отрицательным. Аргумент здесь равен $x-2$, его отрицание равно $-(x-2)$, и его можно упростить до $-x+2$. Таким образом, $|x-2|=|-x+2|$. (Конечно, в редких случаях также может быть верно, что $|x-2|=|x+2|$, а именно, когда $x=0$) $\endgroup$ $\begingroup$
Добавление $2$ ко всем трем частям оставляет порядок неизменным, поэтому $-1+2
$\endgroup$
1
$\begingroup$
$|x-2| < 1\iff-1 $\endgroup$ привет всем решите модуль х минус 3 деленный на х + 1 должен быть меньше или равен работе поэтому решение здесь что такое вопрос час вопрос модуль х минус 3 деленный на х + 1 должен быть меньше или равен 1 хорошо, так что это форма модуля X модуль X должен быть меньше или равен нет решения для этого вида неравенства либо X должен быть меньше или равен a и текст должен быть больше или равен минус Таким образом, наше выражение принимает вид x минус 3, деленное на X + 1, x минус 3, деленное на X + 1, должно быть меньше или равно 1, а X — 3 / X + 1 X + 1 должно равняться 9.0005 Решите |(x-3)/(x+1)|lt=1.
равно нулю и 2 x минус 2, деленное на X + 1, должно быть больше или равно нулю.
точка теперь нанесет эти критические точки на числовую прямую, поэтому здесь для этой числовой линии неравенства и для этого неравенства я иду числовой линии рядом с графиком критической точки здесь для игрока в крикет критическая точка равна -1, и если это -1 не будет быть включенным в решение, потому что, если вы поставите x равным минусу, через год он станет равным нулю, и общая вещь станет не определенной аналогично здесь ft x равно минус 1, а X равно + 1 является критической точкой сейчас в соответствии с Метод волнистой кривой.