Модуль вектора равен: Как найти модуль вектора? Ответ на webmath.ru

Модуль вектора. Длина вектора.

Навигация по странице:

Определение длины вектора

Определение.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Основное соотношение. Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {a_x ; a_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = {a_x ; a_y ; a_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства модуль вектора a = {a₁ ; a₂; … ; a_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = (	n	ai2)1/2
	Σ
	i=1

Примеры задач на вычисление длины вектора

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Пример 1. Найти длину вектора a = {2; 4}.

Решение: |a| = √2² + 4² = √4 + 16 = √20 = 2√5.

Пример 2. Найти длину вектора a = {3; -4}.

Решение: |a| = √3² + (-4)² = √9 + 16 = √25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Пример 3. Найти длину вектора a = {2; 4; 4}.

Решение: |a| = √2² + 4² + 4² = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Пример 4. Найти длину вектора a = {-1; 0; -3}.

Решение: |a| = √(-1)² + 0² + (-3)² = √1 + 0 + 9 = √10.

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Пример 5. Найти длину вектора a = {1; -3; 3; -1}.

Решение: |a| = √1² + (-3)² + 3² + (-1)² = √1 + 9 + 9 + 1 = √20 = 2√5

Пример 6. Найти длину вектора a = {2; 4; 4; 6 ; 2}.

Решение: |a| = √2² + 4² + 4² + 6² + 2² = √4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √76 = 2√19.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Квадрат — модуль — вектор

Квадрат — модуль — вектор

Cтраница 1

Квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его компонент.  [1]

Но квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора.  [2]

Равенство Парсеваля означает, что квадрат модуля вектора равен сумме квадратов всех его координат ( в ортонормированием базисе), а неравенство Бесселя — что квадрат модуля вектора не меньше суммы квадратов некоторых из его координат.  [3]

Кинетическая энергия системы материальных точек равна половине

квадрата модуля вектора скорости v изображающей точки.  [4]

Формула эта по своей конструкции аналогична известной формуле квадрата модуля вектора.  [5]

Следовательно, У2 const или У2 — У02, т.е. квадрат модуля вектора скорости постоянен.  [6]

Равенство Парсеваля означает, что квадрат модуля вектора равен сумме квадратов всех его координат ( в ортонормированием базисе), а неравенство Бесселя — что квадрат модуля вектора не меньше суммы квадратов некоторых из его координат.  [7]

Из формул (8.111), (8.112) видно, что ослабление правильных отражений, связанное с наличием в кристалле дислокационных диполей, не зависит от направления вектора х, причем L пропорциональна квадрату модуля вектора q1; величине / 2 и линейно зависит от плотности диполей Пдд Численное значение L может быть как больше, так и много меньше единицы. Значения L при увеличении ngg и / на порядок могут оказаться гораздо больше единицы. В зависимости от значения L можно говорить о сильно — и слабоискаженных кристаллах, картина распределения интенсивности рассеяния которых качественно отличается.  [8]

При прохождении тока через электролиты электрическая мощность, затрачиваемая на преодоление омического сопротивления электролита и необратимых процессов при электролизе, расходуется на выделение джоулева тепла. При этом удельная мощность, а следовательно, и количество тепла, выделяемое в единице объема в единицу времени ( dw / dq), пропорциональные квадрату модуля вектора плотности тока, в различных точках электролита будут различны и вызовут неоднородность электролита в отношении распределения температуры. Поэтому удельное сопротивление среды, зависящее от температуры, не будет постоянным.  [9]

Если в физических приложениях каждой точке некоторой пространственной области О отнесено определенное значение величины и, например плотность вещества в этой точке, так что в О задана одна-единственная функция uf ( x y, z) F ( r), причем тт. Говгрят также, что в области О задано скалярное поле. Так, например, во всяком векторном поле и и ( г) величина и 2 иf — — и — j — г / является скалярной функцией точки: сна ведь равна квадрату модуля вектора поля, а стало быть, не зависит от выбора системы координат.  [10]

Страницы:      1

2.2. Модуль вектора Линейная алгебра и аналитическая…

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про модуль вектора, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое модуль вектора , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем, и обозначается   .

Вектор , длина которого равна единице, называется единичным вектором. Ортом вектора  a  называется единичный вектор  a₀,  сонаправленный с  a, т.е.   .

Нулевой вектор 0 — это вектор, начало и конец которого совпадают . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Модуль нулевого вектора равен нулю, а направление не определено.

Два вектора равны, если их направления совпадают, а модули равны.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или 

модулем, и обозначается   .

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Ортом вектора  a  называется единичный вектор  a₀,  сонаправленный с  a, т.е.   .

Нулевой вектор 0 — это вектор, начало и конец которого совпадают. Модуль нулевого вектора равен нулю, а направление не определено.

Два вектора равны, если их направления совпадают, а модули равны.

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про модуль вектора Надеюсь, что теперь ты понял что такое модуль вектора и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия

%d0%bc%d0%be%d0%b4%d1%83%d0%bb%d1%8c%20%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0 в украинский

В 20-е годы XVIII века в государственных учреждениях их заменили канцеляристы, подканцеляристы и копиисты, которых однако в обиходной речи продолжали называть «подьячими» вплоть до XIX века.

У 20-ті роки XVIII століття в державних установах їх замінили канцеляристи, підканцеляристи і копіїсти, яких, втім, у повсякденній мові продовжували називати «піддячими» аж до XIX століття.

WikiMatrix

Я знала, как высоко Бог ценит человека и его тело, но даже это не останавливало меня. Дженнифер, 20 лет

Я знала, як сильно Бог цінує людське тіло, але навіть це мене не зупиняло» (Жана, 20 років).

jw2019

20 июня 1940 года получил очередное повышение, сменив В. Маршалла на посту командующего флотом.

20 червня 1940 року одержав чергове підвищення, змінивши В. Маршалла на посаді командувача флотом.

WikiMatrix

С 22 марта 1992 года по 20 января 1994 года был Представителем Президента Украины в Тернопольской области.

Від 22 березня 1992 року до 20 січня 1994 року був Представником Президента України в Тернопільській області.

WikiMatrix

20 декабря 1850 (1 января 1851) года (до 1857) определён ректором Санкт-Петербургской духовной академии.

20 грудня 1850 (до 1857) визначено ректором Санкт-Петербурзької духовної академії.

WikiMatrix

Один только состав печатных изданий фонда увеличивается примерно на 20 000 приобретенных по всему миру томов в год.

Один тільки фонд друкованих видань збільшується приблизно на

20 000 томів на рік.

WikiMatrix

Хотя он был одобрен значительной частью населения, за проект проголосовало только 71 595 человек вместо необходимых 80 000 человек.

Хоча його було схвалено значною частиною населення, за проект віддало свої голоси лише 71 595 чоловік замість необхідних 80 000 осіб.

WikiMatrix

Инъекция ботокса во внутренний сфинктер: местная дезинфекция и инъекция 10-20 единиц ботулинотоксина А (суспензия в 1 мл 0,9 % раствора NaCl) непосредственно во внутренний анальный сфинктер на каждую из сторон (общее количество: 20-40 единиц).

Ін’єкція ботокса у внутрішній сфінктер: місцева дезінфекція та ін’єкція 10-20 одиниць Ботулінотоксин А (суспензія в 1 мл 0,9% розчину NaCl) безпосередньо у внутрішній анальний сфінктер на кожну зі сторін (загальна кількість: 20-40 одиниць).

WikiMatrix

Общество насчитывает 30 действительных членов и около 20 сторонников «Обнова» является членом Федерации Украинских Католических Студенческих и Академических Обществ «Обнова» — объединением локальных Студенческих и Академических Обществ «Обнова» для координации своей деятельности и реализации совместных проектов на национальном уровне. (недоступная ссылка) (недоступная ссылка)

У прощі 2011 року брало участь близько 1100 осіб Товариство нараховує 30 дійсних членів і близько 20 симпатиків «Обнова» є членом Федерації Українських Католицьких Студентських та Академічних Товариств «Обнова» — об’єднанням локальних Студентських та Академічних Товариств «Обнова» для координації своєї діяльності та реалізації спільних проектів на національному рівні.

WikiMatrix

Британская библиотека (150 000 000 единиц хранения) Библиотека Конгресса США (155 000 000 единиц хранения) Российская государственная библиотека (42 000 000 единиц хранения) Национальная библиотека Франции (30 000 000 единиц хранения) Национальная библиотека Германии (23 500 000 единиц хранения) Национальная библиотека Китая (22 000 000 единиц хранения) Библиотека Российской академии наук (20 000 000 единиц хранения) Национальная библиотека Украины имени.

Британська бібліотека (150 000 000 одиниць зберігання) Бібліотека Конгресу США (155 000 000 одиниць зберігання) Російська державна бібліотека (42 000 000 одиниць зберігання) Національна бібліотека Франції (30 000 000 одиниць зберігання) Національна бібліотека Німеччини (23 500 000 одиниць зберігання) Національна бібліотека Китаю (22 000 000 одиниць зберігання) Бібліотека Академії наук Росії (20 000 000 одиниць зберігання) Національна бібліотека України імені В.І.Вернадського (15 000 000 одиниць зберігання) Бібліотека Народова (7 900 000 одиниць зберігання) Австрійська національна бібліотека (7 400 000 одиниць зберігання) Про бібліотеки і бібліотечну справу: Закон України, 27 січ.

WikiMatrix

Проведённая религиозная реформа Эхнатона просуществовала около 20 лет и в значительной степени вытеснила вековые верования и практики традиционной египетской религии.

Проведена релігійна реформа Ехнатона проіснувала близько двадцяти років і в значній мірі витіснила вікові вірування і практики традиційної єгипетської релігії.

WikiMatrix

За неполные 4 года выступлений в ДЮФЛ Близниченко в юношеской лиге провёл 69 матчей, в которых забил 80 мячей.

За неповні 4 роки виступів у ДЮФЛ Блізніченко провів 69 матчів, у яких забив 80 м’ячів.

WikiMatrix

Поскольку литая башня продемонстрировала плохую стойкость даже к огню немецких 20-мм пушек, а утолщение её брони было невозможно по целому ряду конструктивных и производственных причин, Т-70 оснастили сварной шестигранной башней.

Оскільки лита башта продемонструвала погану стійкість навіть до вогню німецьких 20-мм гармат, а потовщення її броні було неможливо з цілого ряду конструктивних і виробничих причин, Т-70 оснастили зварною шестигранною баштою.

WikiMatrix

Кроме обычной, мелкой (до 20 см), формы встречаются гигантские салаки до 37,5 см (Riesenstromlinge — у немцев, jättesströmmingar — у шведов и silli у финнов), которые принадлежат к тому же балтийскому подвиду, но являются особой, быстро растущей расой.

Також, окрім звичайної дрібної салаки зустрічається дуже велика (Riesenstromlinge — у німців, jattesstrommingar — у шведів та silli у фінів), до 37,5 см довжини, яка належить до того ж підвиду, але є окремою расою, що швидко росте.

WikiMatrix

20 Оставлена родителями, но любима Богом

20 Батьківську турботу замінила Божа любов

jw2019

В брюшном и спинном нервном корешке человека количество нервных волокон уменьшается приблизительно на 20 процентов от 30-летнего до 90-летнего возраста.

У черевному і спинному спинному корінні людини число нервових волокон зменшується приблизно на 20 відсотка від 30-літнього до 90-літнього віку.

WikiMatrix

Когда в 80-х годах люди якудзы увидели, как легко брать ссуды и «делать» деньги, они создали компании и занялись операциями с недвижимым имуществом и куплей-продажей акций.

Коли члени «якудзи» побачили, наскільки легко стало брати в борг і заробляти гроші у 80-х роках, то вони заснували фірми та почали займатися махінаціями з нерухомим майном і біржовими спекуляціями.

jw2019

Вот что пророчествовал Алма жителям Гидеона около 83 года до Р. Х.:

Алма пророкував наступне людям Гедеона приблизно у 83 році до Р.Х.:

LDS

20 Даже преследование или заключение в тюрьму не может закрыть уста преданных Свидетелей Иеговы.

20 Навіть переслідування та ув’язнення не можуть затулити уста відданим Свідкам Єгови.

jw2019

Есть ещё кое- что в начале 20— го века, что усложняло вещи ещё сильнее.

Тепер дещо іще, на початку 20- го сторіччя, що ускладнило все ще більше.

QED

Две стелы исторического содержания (одна датирована 1-м годом Сети I), найденные в городке Бейт-Шеане в 20 км южнее Геннисаретского озера тоже говорят о том, что египтяне побывали на восточном берегу Иордана.

Дві стели історичного змісту (одна датована 1-м роком правління Сеті I), знайдені в містечку Бейт-Шеан за 20 км південніше Геннісаретського озера теж свідчать про те, що єгиптяни побували на східному березі Йордану.

WikiMatrix

б) Чему мы учимся из слов, записанных в Деяниях 4:18—20 и Деяниях 5:29?

б) Чого ми вчимося зі сказаного в Дії 4:18—20 і Дії 5:29?

jw2019

По переписи 2002 года население — 83 человека (43 мужчины, 40 женщин).

По перепису 2002 року населення — 83 особи (43 чоловіки, 40 жінок).

WikiMatrix

К приходу испанцев в долине Кали жило ок. 30000 индейцев, потом их стало меньше 2000, которые в свою очередь принадлежали 19 или 20 испанцам.

До приходу іспанців, у долині Калі жило близько 30 000 індіанців, потім їх стало менше 2 000, які в свою чергу належали 19 або 20 іспанцям.

WikiMatrix

Родилась в Стамбуле, в районе Бешикташ, 20 августа 1980 года в возрасте 15 лет вышла замуж за своего двоюродного брата Абдуллу Гюля, будущего президента Турции.

Народилася в 1965 у Стамбулі, в районі Бешикташ, 20 серпня 1980 вийшла заміж за Абдуллу Гюля, майбутнього президента Турецької республіки.

WikiMatrix

5.6.3 Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число

Видеоурок 1: Понятие вектора

Видеоурок 2: Равенство векторов

Видеоурок 3: Сложение и вычитание векторов

Видеоурок 4: Умножение вектора на число

Лекция: Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число

Вектор

Вектор – это тело, которое изучается в математике, но используется в большом количестве наук. Например, в физике существуют скалярные величины (те, что характеризуются значением – масса, температура и т.д.), а также векторные величины (сила, работа и другие).

Вектор – это величина, которая характеризуется не только значением, но и направлением. Иными словами, это направленный отрезок. 

Но кроме его длины, нам также важно, где находится его начало, а где конец.

Если вектор имеет свое начало в некоторой точке А, а заканчивается в точке В, то его обозначают следующим образом:

Кроме двух букв, вектор можно обозначить одной буквой со значком вектора сверху.

Длиной вектора (его модулем) называют расстояние между концом вектора и его началом. 

Для определения модуля вектора следует воспользоваться следующей формулой:

Кроме этого, модуль вектора может обозначаться следующим образом:

Если некоторый вектор имеет начало и конец в одной и той же точке, то такой вектор называют нулевым. Нулевой вектор обозначают, как

Если длина некоторого вектора равна единичному отрезку, то его называют единичным.

Если некоторые векторы расположены на одной прямой или же параллельны друг другу, то такие векторы называются коллинеарными.

Если некоторые векторы можно назвать коллинеарными, но кроме этого они направлены в одну сторону, то их можно назвать сонаправленными.

Если же наоборот два коллинеарных вектора смотрят в разные стороны, то их называют противоположно направленными.

Если же некоторые векторы являются коллинеарными, сонаправленными, а также имеют одинаковую длину (модуль), то их можно назвать равными.

Координаты вектора

Для нахождения координаты вектора следует вычесть соответствующие координаты его конца и начала.

Например, если начало вектора А (3; 6), а конец В (5;9), то этот вектор будет иметь следующие координаты: {2;3}.

Сложение и вычитание векторов

Чтобы сложить два вектора для получения нового, необходимо сложить соответствующие координаты.

Например, сложим вектор {2;3} с вектором {5;7}. В результате получим новый вектор с координатами {7;10}. С вычитанием все аналогично.

Умножение вектора на некоторое число

Чтобы умножить вектор на некоторое число, следует умножить каждую его координату на данное число.

Свойства:

• Первоначальный вектор и вектор умноженный на некоторое число, который равный ему, являются параллельными.
• Если число, на которое умножался вектор, больше нуля, то новый вектор будет сонаправлен первоначальному. Если же число меньше нуля, то векторы будут противоположно направленны.

 

«Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов.»

Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края

«Лабинский социально-технический техникум»

Методическая разработка

урока математики

по теме:

«Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов.»

Подготовила:

преподаватель математики

Пятакова З.В.

Лабинск, 2015

Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов.

Цели урока: 

Образовательные:Изучить, что такое “вектор в пространстве», как определяются координаты, вектора, если известны координаты его начала и конца, научится решать задачи, связанные с векторами.

Развивающие: расширение кругозора учащихся, формирование умений применять приёмы сравнивания, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитие мышления, речи, умение комментировать, развитие учебно-познавательных компетенций учащихся

Воспитательные: воспитывать трудолюбие, чувство товарищества и взаимопомощи, привитие навыков самооценки, умения работать в коллективе, умения правильно оценивать работуодногруппников,прививать интерес к предмету.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление знаний.

5. Итоги урока.

6. Самостоятельная подготовка.

Оборудование: Интерактивная доска

Тип урока: Комбинированный.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Актуализация знаний

3. Изучение нового материала

Рассказ преподавателя:

ВЕКТОР. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется величина, которая задается своей длиной и направлением. Вектор изображатеся направленным отрезком, длина которого равна длине вектора.

(Слайд 2)

Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.

Но это не простое повторение, а обобщение, распространение свойств двумерной геометрии на трехмерную. Если в планиметрии для задания вектора достаточно указать две его координаты, то в стереометрии — три координаты.

Определение. Координатами вектора , начало которого точка A(x₁,y₁,z₁), а конец — точкаВ(х₂, у₂, z₂), называются числа a₁= х_2- x_1, a₂=y₂-y_1, a₃=z₂-z₁.

Записывают такой вектор, указывая его координаты:  (a₁ а₂, а₃) или  (a₁ а₂, а₃).

(Слайд 3)

Например, если точки А(4; 0; 3) и B(0; 6; 4) — начало и конец направленного отрезка , тогда

а₁ = 0 — 4 = -4, а₂ = 6 — 0 = 6, а₃ = 4 — 3 = 1.

Значит, направленному отрезку  соответствует вектор  (-4; 6; 1) (рис. 67).

(Слайд 4)

Так же, как и на плоскости, равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание говорить о том, что любой вектор можно отложить от любой точки пространства.

(слайд 5)

Длину вектора  (a₁ а₂, а₃) можно выразить через его координаты. Отложим вектор  от начала координат (рис. 68). Тогда четырехугольник OPAN — прямоугольник. Его стороны равны а₁ и а₂, поэтому ОА_z² = а₁² + а₂². В прямоугольном треугольнике ОА₂ А второй катет А_z А = а₃ и ОА² = ОА²_г + а₃² = а₁² + а₂²+ а₃². Отсюда | | = 

Длина любого ненулевого вектора — число положительное. Длина нулевого вектора равна нулю.

Вспомним, что два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, называютколлинеарными. Коллинеарные векторы бывают сонаправлены (а  b) или противоположно направлены (а  b). Если векторы ON и ОМ коллинеарны, то точки О, N, М лежат на одной прямой. Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТАХ

Действия над векторами в пространстве осуществляются аналогично тому, как они определялись для векторов на плоскости.

Определение. Суммой векторов a (a₁ а₂, а₃) и b(b₁ b₂, b₃) называется вектор а + b с координатами (а₁ + b₁; а₂ + b₂ ; а₃ + b₃)

Для любых векторов а , b и с справедливы равенства:

1. а+b=b+а — переместительный закон сложения;

2. а + (b + с) = (а+ b) + с — сочетательный закон сложения.

Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие

координаты левой и правой частей каждого векторного равенства.

Для любых трех точек А, В, С в пространстве имеет место векторное равенство  +  = .

Действительно, для любых трех точек A(a₁ а₂, а₃), B(b₁ b₂, b₃), C(c₁, с₂, с₃)  (b₁ – а₁; b₂ — а₂;b₃ — а₃) и  (с₁ — b_г; с₂ — b₂, с₃ — b₃).

Отсюда  +  =  (с₁ – а₁; с₂ — а₂; с₃ — а₃).

Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилам треугольника(рис. 69).

Также применяется и правило параллелограмма. Оно часто используется в физике.

Если ABCD — параллелограмм (рис. 70), то  +  =  .

Чтобы найти сумму нескольких векторов, используем правило многоугольника. Например, если в пространстве даны точки А, В, С, D, Е, F, то всегда

АВ + ВС +CD + DE + EF = AF.

(слайд 6)

Определение. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называютсяпротивоположными.

Из определения следует, что у противоположных векторов соответствующие координаты имеют противоположные знаки.

Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор с , который в сумме с вектором bдает вектор а .

Если а (а₁; а₂; а₃) и b( b₁; b₂; b₃), то  — =  (а₁ –b₁; а₂ — b₂; а₃ – b₃).

1. Закрепление знаний

Работа студентов по слайдам. Решение задач у доски по желанию.

(слайд7)

(слайд 8)

(слайд9)

(слайд10)

5.Итоги урока.

Комментирование ответов и решений задач. Выставление отметок.

1. Самостоятельная подготовка.

Составить краткий опорный конспект.

примеры и решения, формулы и теоремы

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора a→ будем обозначать a→. Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан некоторый вектор a→ с координатами ax;ay. Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a→ через координаты ax и ay.

От начала координат отложим вектор OA→=a→. Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как Ax и Ay . Теперь рассмотрим прямоугольник OAxAAy с диагональю OA.

Из теоремы Пифагора следует равенство OA2=OAx2+OAy2, откуда OA=OAx2+OAy2. Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что OAx2=ax2 и OAy2=ay2, а по построению длина OA равна длине вектора OA→, значит, OA→=OAx2+OAy2.

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay имеет соответствующий вид: a→=ax2+ay2.

Если вектор a→ дан в виде разложения по координатным векторам a→=ax·i→+ay·j→, то вычислить его длину можно по той же формуле a→=ax2+ay2, в данном случае коэффициенты ax и ay выступают в роли координат вектора a→ в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислить длину вектора a→=7;e, заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатамa→=ax2+ay2: a→=72+e2=49+e

Ответ: a→=49+e.

Формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay;az по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае OA2=OAx2+OAy2+OAz2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда OA=OAx2+OAy2+OAz2. Из определения координат вектора можем записать следующие равенства OAx=ax; OAy=ay; OAz=az; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, OA→=OAx2+OAy2+OAz2.

Отсюда следует, что длина вектора a→=ax;ay;az равна a→=ax2+ay2+az2.

Пример 2

Вычислить длину вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, где i→,j→,k→ — орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, его координаты равны a→=4,-3,5. Используя выше выведенную формулу получим a→=ax2+ay2+az2=42+(-3)2+52=52.

Ответ:a→=52.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A(ax;ay) и B(bx;by), отсюда вектор AB→ имеет координаты (bx-ax; by-ay)значит, его длина может быть определена по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2

А если даны точки с заданными координатами A(ax;ay;az) и B(bx;by;bz) в трехмерном пространстве, то длину вектора AB→ можно вычислить по формуле

AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2

Пример 3

Найти длину вектора AB→, если в прямоугольной системе координат A1, 3, B-3, 1.

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2: AB→=(-3-1)2+(1-3)2=20-23.

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: AB→=(-3-1; 1-3)=(-4; 1-3); AB→=(-4)2+(1-3)2=20-23.-

Ответ: AB→=20-23.

Пример 4

Определить, при каких значениях  длина вектора AB→ равна 30, еслиA(0, 1, 2); B(5, 2, λ2) .

Решение

Для начала распишем длину вектора AB→ по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2=(5-0)2+(2-1)2+(λ2-2)2=26+(λ2-2)2

Затем полученное выражение приравняем к 30, отсюда найдем искомые λ:

 26+(λ2-2)2=3026+(λ2-2)2=30(λ2-2)2=4λ2-2=2 или λ2-2=-2  λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Ответ: λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов AB→, AC→ и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора BC→ или CB→. В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ABC, вычислить длину стороны BC, которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Пример 5

Длины векторов AB→ и AC→ равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π3. Вычислить длину вектора BC→.

Решение

Длина вектора BC→ в данном случае равна длине стороны BC треугольника △ABC. Длины сторон AB и AC треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов:BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos∠(AB,→AC→)=32+72-2·3·7·cosπ3=37 ⇒BC=37 Таким образом, BC→=37.

Ответ:BC→=37.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a→=ax2+ay2 или a→=ax2+ay2+az2, по координатам точек начала и конца вектора AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2 или AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2, в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Как рассчитать модуль вектора

Под модулем вектора понимают его длину. Если измерить линейкой нет возможности, можно рассчитать. В случае, когда вектор задан декартовыми координатами, используется специальная формула. При нахождении суммы или разности двух известных векторов важно уметь вычислять модуль вектора.

Вам понадобится

• векторных координат;
• сложение и вычитание векторов;
Инженерный калькулятор
• или ПК.

Инструкция по эксплуатации

1

Определите координаты вектора в декартовой системе. Для этого перенесите его параллельным переносом так, чтобы начало вектора совпало с началом координатной плоскости. Координаты конца вектора в этом случае считают координатами самого вектора. Другой способ — вычесть соответствующие координаты начала координат из координат конца вектора. Например, если координаты начала и конца соответственно (2; -2) и (-1; 2), то координаты вектора будут равны (-1-2; 2 — (- 2) ) = (- 3; 4).

2

Определите модуль вектора, численно равный его длине. Чтобы возвести в квадрат каждую из его координат, найдите их сумму и из полученного числа извлеките квадратный корень d = √ (x² + y²). Например, вычислите модуль вектора с координатами (-3; 4) по формуле d = √ (x² + y²) = √ ((- 3) ² + 4²) = √ (25) = 5 единичных сегментов.

3

Найдите модуль вектора, который является результатом суммирования двух известных векторов.Определите координаты вектора, который является суммой двух данных векторов. Для этого сложите соответствующие координаты известных векторов. Например, если вам нужно найти сумму векторов (-1; 5) и (4; 3), то координаты такого вектора будут (-1 + 4; 5 + 3) = (3; 8 ). После этого рассчитайте модуль вектора по методу, описанному в предыдущем абзаце. Чтобы найти разность векторов, умножьте координаты вычтенного вектора на -1 и сложите полученные значения.

4

Определите модуль вектора, если известны длины складывающихся векторов d1 и d2 и угол α между ними. Поставьте параллелограмм на известные векторы и проведите его диагональ, выходящую из угла между векторами. Измерьте длину получившегося отрезка. Это будет модуль вектора, который является суммой двух данных векторов.

5

Если невозможно измерить, рассчитайте модуль. Для этого возводили в квадрат длину каждого из векторов.Найдите сумму квадратов, из результата вычтите произведение этих же модулей, умноженное на косинус угла между векторами. Из их результата извлеките квадратный корень d = √ (d1² + d2²-d1 ∙ d2 ∙ Cos (α)).

Векторов

Это вектор:

Вектор имеет звездную величину , (размер) и направление :

Длина линии показывает ее величину, а стрелка указывает направление.

Мы можем сложить два вектора, соединив их голова к хвосту:

И неважно, в каком порядке мы их добавляем, результат будет тот же:

Пример: самолет летит на север, но дует ветер с северо-запада.

Два вектора (скорость, создаваемая воздушным винтом, и скорость ветра) приводят к немного более низкой путевой скорости при движении немного к востоку от севера.

Если бы вы смотрели на самолет с земли, казалось бы, он немного скользит в сторону.

Вы когда-нибудь видели это? Возможно, вы видели птиц, борющихся с сильным ветром, которые, кажется, летят боком. Векторы помогают это объяснить.

Скорость, ускорение, сила и многое другое — векторы.

Вычитание

Мы также можем вычесть один вектор из другого:

• сначала мы меняем направление вектора, который мы хотим вычесть,
• , затем добавьте их как обычно:

а — б

Обозначение

Вектор часто выделяется полужирным шрифтом , например a или b .

Вектор также может быть записан как буквы его головы и хвоста со стрелкой над ним, например:

Расчеты

А теперь … как мы будем делать расчеты?

Самый распространенный способ — сначала разбить векторы на части x и y, например:

Вектор a разбит на
два вектора a _x и a _y

(Позже мы увидим, как это сделать.)

Добавление векторов

Затем мы можем сложить векторы, добавив части x и , добавив части y :

Вектор (8, 13) и вектор (26, 7) складываются в вектор (34, 20)

Пример: сложить векторы

a = (8, 13) и b = (26, 7)

c = a + b

c = (8, 13) + (26, 7) = (8 + 26, 13 + 7) = (34, 20)

Когда мы разбиваем такой вектор, каждая часть называется компонентом :

Вычитание векторов

Для вычитания сначала переверните вектор, который мы хотим вычесть, а затем сложите.

Пример: вычесть

k = (4, 5) из v = (12, 2)

a = v + — k

a = (12, 2) + — (4, 5) = (12, 2) + (−4, −5) = (12−4, 2−5) = (8, −3)

Величина вектора

Величина вектора показана двумя вертикальными полосами по обе стороны от вектора:

| a |

ИЛИ можно написать с двойной вертикальной чертой (чтобы не путать с абсолютным значением):

|| a ||

Для его вычисления мы используем теорему Пифагора:

| a | = √ (х ² + у ² )

Пример: какова величина вектора

b = (6, 8)?

| b | = √ (6 ² + 8 ² ) = √ (36 + 64) = √100 = 10

Вектор с величиной 1 называется единичным вектором.

Вектор против Скалярного

Скаляр имеет звездную величину (размер) только .

Скаляр: просто число (например, 7 или -0,32) … определенно не вектор.

Вектор имеет величину и направление и часто выделяется полужирным шрифтом , поэтому мы знаем, что это не скаляр:

• , поэтому c — вектор, его величина и направление
• , но c — это просто значение, например 3 или 12.4

Пример: k

b на самом деле является скалярным k, умноженным на вектор b .

Умножение вектора на скаляр

Когда мы умножаем вектор на скаляр, это называется «масштабированием» вектора, потому что мы меняем размер вектора.

Пример: умножить вектор

m = (7, 3) на скаляр 3

a = 3 м = (3 × 7, 3 × 3) = (21, 9)

Он все еще указывает в том же направлении, но в 3 раза длиннее

(И теперь вы знаете, почему числа называются «скалярами», потому что они «масштабируют» вектор вверх или вниз.)

Умножение вектора на вектор (скалярное произведение и перекрестное произведение)

Как мы, , умножим два вектора вместе? Есть несколько способов! (Подробности см. На этих страницах.)

Более двух размеров

Векторы также отлично работают в трех и более измерениях:

Вектор (1, 4, 5)

Пример: складываем векторы

a = (3, 7, 4) и b = (2, 9, 11)

c = a + b

с = (3, 7, 4) + (2, 9, 11) = (3 + 2, 7 + 9, 4 + 11) = (5, 16, 15)

Пример: какова величина вектора

w = (1, −2, 3)?

| w | = √ (1 ² + (−2) ² + 3 ² ) = √ (1 + 4 + 9) = √14

Вот пример с 4-мя измерениями (но его сложно нарисовать!):

Пример: вычесть (1, 2, 3, 4) из (3, 3, 3, 3)

(3, 3, 3, 3) + — (1, 2, 3, 4)
= (3, 3, 3, 3) + (−1, −2, −3, −4)
= (3 −1, 3−2, 3−3, 3−4)
= (2, 1, 0, −1)

Величина и направление

Мы можем знать величину и направление вектора, но нам нужны его длины по осям x и y (или наоборот):

	<=>
Вектор a в полярных координатах Координаты		Вектор a в декартовых координатах

Вы можете прочитать, как преобразовать их в полярные и декартовы координаты, но вот краткое описание:

От полярных координат (r, θ ) до декартовых координат (x, y)		Из декартовых координат (x, y) в полярные координаты (r, θ)
x = r × cos ( θ ) y = r × sin ( θ )		r = √ (x 2 + y 2 ) θ = tan -1 (y / x)

Пример

Сэм и Алекс тянут ящик.

• Сэм тянет с силой 200 Ньютонов при 60 °
• Алекс тянет с силой 120 Ньютонов под углом 45 °, как показано

Что такое комбинированная сила и ее направление?

Давайте сложим два вектора голова к хвосту:

Первое преобразование из полярной системы в декартовую (до 2 десятичных знаков):

Вектор Сэма:

• x = r × cos ( θ ) = 200 × cos (60 °) = 200 × 0,5 = 100
• y = r × sin ( θ ) = 200 × sin (60 °) = 200 × 0.8660 = 173,21

Вектор Алекса:

• x = r × cos ( θ ) = 120 × cos (−45 °) = 120 × 0,7071 = 84,85
• y = r × sin ( θ ) = 120 × sin (-45 °) = 120 × -0,7071 = -84,85

Теперь у нас:

Добавьте их:

(100, 173,21) + (84,85, -84,85) = (184,85, 88,36)

Этот ответ действителен, но давайте вернемся к полярному, поскольку вопрос был в полярном:

• r = √ (x ² + y ² ) = √ (184.85 ² + 88,36 ² ) = 204,88
• θ = tan ^-1 (y / x) = tan ^-1 (88,36 / 184,85) = 25,5 °

И у нас есть этот (округленный) результат:

А для Сэма и Алекса это выглядит так:

Они могли бы получить лучший результат, если бы стояли плечом к плечу!

Умножение векторов

Векторы — что это такое? дает введение в предмет.

Есть два полезных определения умножения векторов в в одном произведение — скаляр, а в другом — произведение вектор. Нет операции деления векторов. В некоторых школьные программы вы встретите скалярные произведения, но не векторные продуктов, но мы обсуждаем оба типа умножения векторов в в этой статье, чтобы дать более полное представление об основах субъект

Скалярное умножение

Скалярное произведение векторы $ {\ bf u} = (u_1, u_2, u_3) $ и $ {\ bf v} = (v_1, v_2, v_3) $ является скаляром, определяемым как $$ {\ bf u.2 \ quad (2), $$ и если $ {\ bf i, j, k} $ — единичные векторы вдоль оси тогда $$ {\ bf i.i} = {\ bf j.j} = {\ bf k.k} = 1, \ quad {\ rm и} \ quad {\ bf i.j} = {\ bf j.k} = {\ bf k.i} = 0 \ quad (3). $$ Это оставлено читателю, чтобы проверить из определения, что $$ {\ bf u.v} = {\ bf v.u}, \ {\ rm и} \ ({\ bf u + v}). {\ bf w} = {\ bf u.w} + {\ bf v.w}. $$ Это показывает, что мы можем расширять или умножать $$ {\ bf u.v} = (u_1 {\ bf i} + u_2 {\ bf j} + u_3 {\ bf k}). (v_1 {\ bf i} + v_2 {\ bf j} + u_3 {\ bf k}) $$ дает девять терминов. Используя уравнение (3), шесть из этих членов равны ноль, а остальные три дают выражение $ u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 $ в соответствии с определением в уравнении (1).{-1} \ left ({{\ bf u.v} \ over | {\ bf u} ||| {\ bf v} |} \ right) \ quad (7). $$ В трех измерениях мы можем использовать более интуитивное определение угла с точки зрения поворота, но в более высокие размеры необходимо иметь определение угла такие как формула (7). Если мы используем эту формулу для определения угла, то Правило косинуса следует прямо, поскольку они эквивалентны.

Обратите внимание, что произведение вектора-строки и вектора-столбца равно определяется в терминах скалярного произведения, и это согласуется с матричное умножение.$$ (u_1 \ u_2 \ u_3) \ left (\ begin {array} {cc} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {array} \ right) = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3. $$

Векторное умножение

Векторное произведение двух векторы $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $, записываемые как $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ (и иногда называют крестом product), это вектор $$ {\ bf b} \ times {\ bf c} = \ left ( \ begin {array} {cc} b_2c_3-b_3c_2 \\ b_3c_1 -b_1c_3 \\ b_1c_2 -b_2c_1 \ end {array} \ right) \ quad (8). $$ Существует альтернативное определение векторного произведения, а именно, что $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ является вектор величины $ | {\ bf b} || {\ bf c} | \ sin \ theta $ перпендикулярно $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $ и подчиняясь «правилу правой руки», и докажем, что этот результат следует из данного определения и что эти два определения эквивалентны.Приведено доказательство позже для полноты, но сначала мы рассмотрим $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ выражается через компоненты в направлениях $ {\ bf i, j, k} $.

Из этого определения видно, что $ {\ bf b} \ times {\ bf c} = — {\ bf c} \ times {\ bf b} $, поэтому эта операция не коммутативна. Если $ {\ bf i, j, k} $ — единичные векторы вдоль осей, тогда из этого определения: $$ {\ bf i} \ times {\ bf i} = {\ bf j} \ times {\ bf j} = {\ bf k} \ times {\ bf k}, $$ и $$ \ eqalign {{\ bf i} \ times {\ bf j} & = {\ bf k}, \ quad {\ bf j} \ times {\ bf i} = — {\ bf k} \ cr {\ bf j} \ times {\ bf k} & = {\ bf i}, \ quad {\ bf k} \ times {\ bf j} = — {\ bf i} \ cr {\ bf k} \ times {\ bf i} & = {\ bf j}, \ quad {\ bf i} \ times {\ bf k} = — {\ bf j}.} $$ Из определения следует, что $$ k ({\ bf b} \ times {\ bf c}) = (k {\ bf b}) \ times {\ bf c} = {\ bf b} \ times (k {\ bf c}), \ quad \ quad ({\ bf a + b}) \ times {\ bf c} = ({\ bf a} \ times {\ bf c}) + ({\ bf b} \ times {\ bf c}). $$ Расширение выражения $$ {\ bf b} \ times {\ bf c} = (b_1 {\ bf i} + b_2 {\ bf j} + b_3 {\ bf k}) \ times (c_1 {\ bf i} + c_2 {\ bf j} + c_3 {\ bf k}) $$ дает $$ (b_2c_3-b_3c_2) {\ bf i} + (b_3c_1-b_1c_3) {\ bf j} + (b_1c_2-b_2c_1) {\ bf k} \ quad (9) $$ который — формула для векторного произведения, заданная в уравнении (8).

Теперь мы докажем, что два определения умножения векторов эквивалент. На схеме показаны направления векторов $ {\ bf b} $, $ {\ bf c} $ и $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $, которые образуют правую вручил набор ».

Вы можете закончить чтение здесь, и это действительно больше важно понимать, что есть два определения вектора продукт, который может быть доказан как эквивалентный, чем он механически проработать детали доказательства.

Теорема Вектор произведение двух векторов $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $ является вектором $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ со следующими свойствами:

(i) $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ имеет величина $ | {\ bf b} || {\ bf c} | \ sin \ theta $, где $ \ theta $ — угол между направлениями $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $;

(ii) $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ — это перпендикулярно $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $ с направлением, таким, что векторы $ {\ bf b} $, $ {\ bf c} $ и $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ образуют правый набор, как на схеме, так что $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ и $ {\ bf c} \ times {\ bf b} $ направлены в противоположные стороны. 2 $.2} \ cr & = | {\ bf b} \ times {\ bf c} |. } $$

Доказательство части (ii) Кому показать, что $ {\ bf b} $ и $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ перпендикулярны покажем, что скалярное произведение равно нулю: $$ {\ bf b}. {\ bf b} \ times {\ bf c} = b_1 (b_2c_3-b_3c_2) + b_2 (b_3c_1-b_1c_3) + b_3 (b_1c_2-b_2c_1) = 0, $$ и аналогично скалярное произведение $ {\ bf c} $ и $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ равен нулю, поэтому эти векторы перпендикулярны.

Векторная алгебра:

ВЕКТОРНЫЕ МЕТОДЫ

Области деятельности:

1. Векторы и векторное сложение
2. Единичные векторы
3. Базовые векторы и компоненты вектора
4. прямоугольный координаты в 2-D
5. прямоугольный координаты в 3-D
6. Вектор соединение двух точек
7. Точечный продукт
8. Перекрестное произведение
9. Трехместный товар
10. Трехместный векторный продукт

Векторы и векторное сложение:

Скаляр — это величина, такая как масса или температура, которая имеет только величину.» на жирном символе (т.е.,). Следовательно,

Любой вектор можно превратить в единичный вектор, разделив его на длину.

Любой вектор можно полностью представить, указав его величину и единицу. вектор вдоль его направления.

Базовые векторы и компоненты вектора:

Базовые векторы — это набор векторов, выбранных в качестве базовых для представления всех остальных векторы.Идея состоит в том, чтобы построить каждый вектор из сложения векторов по базовым направлениям. Например, вектор на рисунке можно записать как сумма трех векторов u ₁ , u ₂ и u ₃ , каждый по направлению одного из базовых векторов e ₁ , e ₂ и e ₃ , так что

Каждый из векторов u ₁ , u ₂ и u ₃ параллельна одному из базовых векторов и может быть записана как скалярное кратное эта база.Пусть u ₁ , u ₂ и u ₃ обозначим эти скалярные множители так, чтобы получилось

Исходный вектор х банка теперь записывается как

Скалярные множители u ₁ , u ₂ и u ₃ известны как компоненты и в базе, описываемой базой векторы e ₁ , e ₂ и e ₃ .Если базовые векторы являются единичными векторами, то компоненты представляют собой длины трех векторов соответственно u ₁ , u ₂ , и u ₃ . Если базовые векторы являются единичными векторами и взаимно ортогонально, то основание называется ортонормированным, евклидовым или декартовым основание.

Вектор может быть разрешен по любым двум направлениям в плоскости, содержащей его. На рисунке показано, как правило параллелограмма используется для построения векторов и . и b , что в сумме дает c .

В трех измерениях вектор может быть разрешен вдоль любых трех некомпланарных линий. На рисунке показано, как можно разрешить вектор по трем направлениям. сначала найдя вектор в плоскости двух направлений, а затем разрешение этого нового вектора по двум направлениям на плоскости.

Когда векторы представлены в терминах базовых векторов и компонентов, сложение двух векторов приводит к сложению компонентов векторы.Следовательно, если два вектора A, и B представлены как

тогда,

прямоугольный компоненты в 2-D:

Базовые векторы прямоугольной системы координат x-y задаются формулой единичные векторы и вдоль x и y направления соответственно.

Используя базовые векторы, можно представить любой вектор F как

В силу ортогональности базисов имеют место следующие соотношения.

прямоугольный координаты в 3-D:

Базовые векторы прямоугольной системы координат задаются набором три взаимно ортогональных единичных вектора, обозначенные,, и что находятся вдоль координатных направлений x , y и z , соответственно, как показано на рисунке.

Показанная система является системой для правой руки, поскольку большой палец правой руки указывает в направлении z , если пальцы таковы, что представляют вращение вокруг оси z от x до y . Эта система может можно превратить в левостороннюю систему, изменив направление любого из координатные линии и связанный с ними базовый вектор.

В прямоугольной системе координат компонентами вектора являются проекции вектора вдоль x , y и z направления. Например, на рисунке проекции вектора A вдоль направлений x, y, и z задаются как A _x , A _y , и A _z соответственно.

В результате теоремы Пифагора и ортогональности базы векторов, величина вектора в прямоугольной системе координат может быть рассчитано по

Направляющий косинус:

Направляющие косинусы определены как

где углы, и — углы показаны на рисунке.Как показано на рисунке, направляющие косинусы представляют собой косинусы углов между вектором и тремя координаты направления.

Направляющие косинусы могут быть вычислены из компоненты вектора и его величина через соотношения

Три направляющих косинуса не являются независимыми и должно удовлетворять соотношению

Эти результаты формируют тот факт, что

Единичный вектор может быть построен вдоль вектора используя направляющие косинусы в качестве компонентов вдоль x , y и z направлений.Например, единичный вектор вдоль вектора A получается из

Следовательно,

Вектор соединение двух точек:

Вектор, соединяющий точку A с точкой B дается

A единичный вектор вдоль линии A-B может быть получен из

A вектор F по линии A-B и величиной F может таким образом получается из соотношения

Точечный продукт:

Скалярное произведение обозначается «» между двумя векторами.В скалярное произведение векторов A, и B дает скаляр, задаваемый отношение

где — угол между двумя векторами. Порядок не важен в скалярное произведение, как видно из определения скалярных произведений. В результате один получает

Скалярное произведение имеет следующие свойства.

Поскольку косинус 90 ^o равен нулю, скалярное произведение двух ортогональные векторы приведут к нулю.

Поскольку угол между вектором и самим собой равен нулю, а косинус нуля единица, величина вектора может быть записана в терминах скалярного произведения используя правило

Прямоугольные координаты:

При работе с векторами, представленными в прямоугольная система координат по компонентам

, то скалярное произведение может быть оценено из отношение

Это можно проверить прямым умножением векторы и отмечая, что из-за ортогональности базовых векторов прямоугольная система

Проекция вектора на линию:

Ортогональная проекция вектора вдоль прямой получается перемещением одного конца вектора на линию и опусканием перпендикулярно линии от другого конца вектора.Результирующий отрезок на прямой — это ортогональная проекция вектора или просто его проекция.

Скалярная проекция вектора A вдоль направления единичный вектор — длина ортогональной проекции A вдоль линии, параллельной, и может быть оценен с помощью скалярного произведения. В отношение для проекции

Векторная проекция А вдоль агрегата. вектор просто умножает скалярную проекцию на единичный вектор, чтобы получить вектор вместе.Это дает соотношение

Крест товар:

Перекрестное произведение векторов a и b — это вектор, перпендикулярный как a и b и имеет величину, равную площади параллелограмм, полученный из a и b . Направление креста продукт определяется правилом правой руки.Перекрестное произведение обозначается «» между векторами

Порядок важен в перекрестном произведении. Если порядок операций изменится в перекрестном произведении направление результирующего вектора меняется на противоположное. То есть

Перекрестное произведение имеет следующие свойства.

Прямоугольные координаты:

При работе в прямоугольных системах координат, перекрестное произведение векторов a и b , заданное

можно оценить с помощью правила

Можно также использовать прямое умножение основания векторов с использованием соотношений

Тройной товар:

Тройное произведение векторов a , b и c равно

.

Стоимость тройного произведения равна объему параллелепипеда. построенный из векторов.Это видно из рисунка с

Тройной продукт имеет следующие свойства

Прямоугольные координаты:

Рассмотрим векторы, описанные в прямоугольной форме. система координат как

Тройное произведение можно оценить с помощью отношение

Тройной вектор товар:

Произведение тройного вектора имеет свойства

Скаляров и векторов

Чтобы лучше понять науку о движении необходимо использовать некоторые математические идеи из Векторный анализ .Большинство людей знакомятся с переносчиками в средней школе или колледже, но для учащихся начальной и средней школы, а также для детей с математическими трудностями:

НЕ ПАНИКА! .

В векторном анализе есть много сложных частей, и мы не собираемся туда идти. Мы собираемся ограничиться самыми основами. Векторы позволяют нам смотреть на сложные, многомерные проблемы. как более простая группа одномерных задач.Мы будем интересоваться в основном определениями Слова немного странные, но идеи очень мощный, как вы увидите. Если вы хотите узнать больше о векторах, вы можете скачать этот отчет о векторный анализ.

Математика и естественные науки были изобретены людьми для описания и понять мир вокруг нас. Мы живем в (по крайней мере) четырехмерном мире, управляемом течение времени и трех пространственных измерений; вверх и вниз, влево и вправо, вперед и назад.Мы наблюдаем, что есть некоторые количества и процессы в наш мир, который зависит от направления , в котором они происходят, и есть некоторые количества, которые не зависят по направлению. Например, объем объекта, трехмерное пространство, которое занимает объект, не зависит от направления. Если у нас есть железный блок объемом 5 кубических футов, мы перемещаем его вверх и вниз и затем налево и направо, у нас все еще остается железный блок объемом 5 кубических футов. С другой стороны, расположение, объекта действительно зависит от направления.Если мы переместим блок 5 кубических футов на 5 миль к север, результирующее местоположение сильно отличается от если мы переместим его на 5 миль к востоку. Математики и ученые называют количество которое зависит от направления вектора , величина . Количество которая не зависит от направления, называется скалярной величиной .

Векторные величины имеют две характеристики: величину и направление. Скалярные величины имеют только величину.Когда сравнение две векторные величины одного типа, необходимо сравнить обе величина и направление. Для скаляров вам нужно только сравнивать величина. При выполнении любой математической операции над векторной величиной (например, сложение, вычитание, умножение ..) вы должны рассматривать как по величине, так и по направлению. Это делает работу с вектором количества немного сложнее, чем скаляры.

На слайде мы перечисляем некоторые из обсуждаемых физических величин. в Руководство по воздухоплаванию для новичков и сгруппируйте их в векторные или скалярные величины.В частности интерес, силы которые работают на летающих самолетах, масса, тяга, и аэродинамические силы, все векторные величины. Результирующий движение самолета с точки зрения водоизмещения, скорости и ускорение также являются векторными величинами. Эти количества можно определить, применяя Законы Ньютона для векторов. Скалярные величины включают большую часть термодинамическое состояние переменные, связанные с двигательной установкой, такие как плотность, давление, и температура порохов.В энергия работай, и энтропия с двигателями также связаны скалярные величины.

У векторов есть величина и направление, у скаляров — только величина. Тот факт, что величина встречается как для скаляров, так и для векторов, может привести к некоторой путанице. Есть некоторые величины, такие как скорость , которые имеют очень специальные определения для ученых. По определению, скорость — это скалярная величина вектора скорости .Машина при движении по дороге скорость составляет 50 миль в час. Его скорость 50 миль / ч в северо-восточном направлении. Это может быть очень сбивает с толку, когда термины используются как синонимы! Другой пример это масса и масса . Вес — это сила, которая является вектором и имеет величину и направление. Масса — скаляр. Масса и масса связаны друг с другом, но это не одно и то же количество ».

В то время как законы Ньютона описывают результирующее движение твердого тела существуют специальные уравнения, описывающие движение жидкостей, газы и жидкости.Для любой физической системы масса, импульс, и энергия системы должны быть сохранены. Масса и энергия — скалярные величины, а импульс — вектор количество. Это приводит к связанной системе уравнений, называется Уравнения Навье-Стокса, которые описывают, как жидкости ведут себя под воздействием внешних сил. Эти уравнения являются жидким эквивалентом законов движения Ньютона. и их очень сложно решить и понять.Упрощенная версия уравнений, названная Уравнения Эйлера может быть решена для некоторых проблем с жидкостями.

---

Действия:

---

Экскурсии с гидом

---

Навигация ..

Руководство для начинающих Домашняя страница

Свойства векторов | Векторы и скаляры

Векторы — это математические объекты, и теперь мы изучим некоторые их математические свойства.

Если два вектора имеют одинаковую величину (размер) и и одинаковое направление, то мы называем их равными друг другу. Например, если у нас есть две силы, \ (\ vec {F_ {1}} = \ text {20} \ text {N} \) в восходящем направлении и \ (\ vec {F_ {2}} = \ text {20} \ text {N} \) в направлении вверх , тогда мы можем сказать, что \ (\ vec {F_ {1}} = \ vec {F_ {2}} \).

Так же, как скаляры, которые могут иметь положительные или отрицательные значения, векторы также могут быть положительными или отрицательными. Отрицательный вектор — это вектор, который указывает в направлении , противоположном , к опорному положительному направлению .Например, если в конкретной ситуации мы определяем направление вверх как опорное положительное направление, тогда сила \ (\ vec {F_ {1}} = \ text {30} \ text {N} \) вниз будет быть отрицательным вектором и также может быть записано как \ (\ vec {F_ {1}} = — \ text {30} \ text {N} \). В этом случае отрицательный знак (\ (- \)) указывает, что направление \ (\ vec {F_ {1}} \) противоположно направлению опорного положительного направления.

Как и скаляры, векторы также можно складывать и вычитать.Мы исследуем, как это сделать дальше.

Сложение и вычитание векторов (ESAGO)

Сложение векторов

Когда векторы складываются, нам нужно учесть и их величин, и направлений.

Например, представьте себе следующее. Вы с другом пытаетесь переместить тяжелую коробку. Вы стоите позади него и с силой толкаете вперед \ (\ vec {{F} _ {1}} \), а ваш друг стоит впереди и тянет его к себе с силой \ (\ vec {{F} _ {2 }} \).Две силы действуют в направлении , в том же направлении (т.е. вперед), поэтому общая сила, действующая на коробку, составляет:

Понять концепцию сложения векторов очень легко через действие с использованием вектора смещения .

Смещение — это вектор, который описывает изменение положения объекта. Это вектор, который указывает от начального положения к конечному положению.

Добавление векторов

Материалы

малярная лента

Метод

Приклейте полоску малярной ленты горизонтально через пол.Это будет вашей отправной точкой.

Задача 1 :

Сделайте \ (\ text {2} \) шагов в прямом направлении. Используйте кусок малярной ленты, чтобы отметить конечную точку и обозначить ее A . Затем сделайте еще \ (\ text {3} \) шаг в прямом направлении. Используйте малярный скотч, чтобы отметить ваше конечное положение как B . Убедитесь, что вы стараетесь, чтобы ваши шаги были одинаковой длины!

Задача 2 :

Вернитесь на исходную линию. Теперь сделайте \ (\ text {3} \) шагов вперед.Используйте кусок малярной ленты, чтобы отметить конечную точку и обозначить ее B . Затем сделайте еще \ (\ text {2} \) шаг вперед и используйте новый кусок малярной ленты, чтобы отметить ваше конечное положение как A .

Обсуждение

Что вы заметили?

1. В Task 1 первые \ (\ text {2} \) шаги вперед представляют вектор смещения, а вторые \ (\ text {3} \) шаги вперед также образуют вектор смещения. Если бы мы не остановились после первых \ (\ text {2} \) шагов, мы бы сделали \ (\ text {5} \) шагов в прямом направлении в целом.Следовательно, если мы добавим векторы смещения для шагов \ (\ text {2} \) и \ (\ text {3} \) шагов, мы должны получить в общей сложности \ (\ text {5} \) шагов в прямом направлении. направление.

2. Неважно, делаете ли вы \ (\ text {3} \) шаг вперед, а затем \ (\ text {2} \) шаг вперед, или два шага, за которыми следует еще один \ (\ text {3} \) шаг вперед . Ваша финальная позиция такая же! Порядок добавления значения не имеет!

Мы можем представить сложение векторов графически, основываясь на вышеизложенном действии.Нарисуйте вектор для первых двух шагов вперед, а затем вектор для следующих трех шагов вперед.

Мы добавляем второй вектор в конец первого вектора, так как это то место, где мы сейчас находимся после того, как первый вектор сработал. Тогда вектор от хвоста первого вектора (начальная точка) до головы второго вектора (конечная точка) является суммой векторов.

Как вы можете убедиться, порядок, в котором вы добавляете векторы, не имеет значения. В приведенном выше примере, если вы решили сначала сделать \ (\ text {3} \) шаг вперед, а затем еще один \ (\ text {2} \) шаг вперед, конечный результат все равно будет \ (\ text {5} \) шагает вперед.

Вычитание векторов

Вернемся к проблеме с тяжелым ящиком, который вы и ваш друг пытаетесь переместить. Если вы сначала не общались должным образом, вы оба могли подумать, что вам следует двигаться в своем собственном направлении! Представьте, что вы стоите за ящиком и с силой тянете его на себя \ (\ vec {{F} _ {1}} \), а ваш друг стоит перед ящиком и с силой тянет его к себе \ (\ vec {{F} _ {2}} \). В этом случае две силы находятся в противоположных направлениях .Если мы определим направление, в котором ваш друг тянет, как положительное , тогда сила, которую вы прикладываете, должна быть отрицательной , поскольку она имеет противоположное направление. Мы можем записать общую силу, прилагаемую к коробке, как сумму отдельных сил:

На самом деле вы вычли два вектора! Это то же самое, что и сложение двух векторов, имеющих противоположные направления.

Как и раньше, мы можем хорошо проиллюстрировать векторное вычитание, используя векторы смещения.Если вы сделаете \ (\ text {5} \) шагов вперед, а затем вычтите \ (\ text {3} \) шагов вперед, у вас останется только два шага вперед:

Что вы сделали физически, чтобы вычесть \ (\ text {3} \) шагов? Изначально вы сделали \ (\ text {5} \) шагов вперед, но затем вы сделали \ (\ text {3} \) шаги назад, , чтобы вернуться назад, сделав только \ (\ text {2} \) шаги вперед. Это обратное смещение представлено стрелкой, указывающей влево (назад) длиной \ (\ text {3} \). Чистый результат сложения этих двух векторов — \ (\ text {2} \) шагов вперед:

Таким образом, вычитание одного вектора из другого аналогично добавлению вектора в противоположном направлении (т.е. вычитание \ (\ text {3} \) шагов вперед аналогично добавлению \ (\ text {3} \) шагов назад).

Вычитание одного вектора из другого аналогично добавлению вектора в противоположном направлении.

Результирующий вектор

Окончательная величина, полученная при сложении или вычитании векторов, называется результирующим вектором . Другими словами, отдельные векторы могут быть заменены результирующими — общий эффект тот же.

Результирующий вектор

Результирующий вектор — это единственный вектор, действие которого такое же, как у отдельных векторов, действующих вместе.

Мы можем проиллюстрировать концепцию результирующего вектора, рассмотрев две наши ситуации при использовании сил для перемещения тяжелого ящика. В первом случае (слева) вы и ваш друг прикладываете силы в одном направлении. Результирующая сила будет суммой двух ваших сил, приложенных в этом направлении. Во втором случае (справа) силы действуют в противоположных направлениях. Результирующий вектор снова будет суммой двух ваших приложенных сил, однако после выбора положительного направления одна сила будет положительной, а другая отрицательной, и знак результирующей силы будет зависеть только от того, какое направление вы выбрали как положительное.Для наглядности посмотрите схемы ниже.

Силы действуют в том же направлении

(положительное направление вправо)

Силы применяются в противоположных направлениях

(положительное направление вправо)

Существует специальное имя для вектора, который имеет ту же величину, что и результирующий вектор, но имеет направление , противоположное направлению : равновесный . Если вы сложите результирующий вектор и равновесные векторы вместе, ответ всегда будет равен нулю, потому что равновесие отменяет результирующий.

Эквилибрант

Равновесный вектор имеет такую ​​же величину , но направление противоположно направлению результирующего вектора.

Если вы обратитесь к изображениям тяжелого ящика ранее, уравновешивающие силы для двух ситуаций будут выглядеть так:

Как вы представляете векторы?

Недавно я говорил о векторах. В то время мне пришлось остановиться и вспомнить, как я представлял векторы.В идеале я должен придерживаться той же нотации, что и в «Основах: векторы и добавление векторов». Но позвольте мне рассказать о различных способах представления вектора.

Графический

Может быть, это слишком очевидно, но это нужно было сказать. Вы можете изобразить векторы, нарисовав их. Фактически, это очень полезно в концептуальном плане, но, возможно, не слишком полезно для расчетов. Когда вектор представлен графически, его величина представлена ​​длиной стрелки, а его направление — направлением стрелки.Вот пример:

Я думаю, что самый большой недостаток этого представления (кроме трудностей с получением числовых ответов для сложения) заключается в том, что его не так просто представить в 3-х измерениях. Для следующих представлений я постараюсь связать их с графическим представлением.

Величина и направление

В курсах по алгебре, возможно, этот формат популярен. По сути, вы просто указываете величину вектора и угол (от положительной оси x), на который указывает вектор.Вот пример (с использованием того же вектора, что и раньше):

А в формате «величина-направление» это будет:

Я не очень часто встречался с этим форматом. Во-первых, если вы хотите добавить векторы, вам нужно найти компоненты. Во-вторых, студенты часто путаются с тем, что этот угол всегда измеряется от одной и той же оси (это не обязательно должна быть ось x, это обычное дело). О, если вы хотите сделать это для трехмерного вектора, оно того не стоит. Вам понадобится два угла.Что ж, в некоторых случаях оно того стоит.

Компоненты

С помощью метода компонентов идея состоит в том, чтобы просто указать количество, которое вектор находится в каждом из направлений координат. Вот пример.

Подожди. Я не закончил. Да, я написал эти компоненты в виде векторов, так что:

Часто вы увидите, что учебники здесь останавливаются. В этом случае они могут сказать что-то вроде:

. Важно понимать, что это обозначение НЕ является величиной вектора F _x и F _y .над x означает, что это единичный вектор. Единичный вектор — это вектор с величиной 1 без единиц. Это означает, что вектор F _x можно записать как:

И, возможно, теперь вы понимаете, почему этот отрицательный знак важен. Вектор F _x направлен в противоположном направлении от вектора x-hat, поэтому вам нужен отрицательный знак. Итак, используя эту нотацию, вы можете записать вектор F как:

В некоторых учебниках, таких как you i и j вместо x и y — это будет выглядеть так:

То же самое, но по-разному.Не забывайте, однако, о единицах. В векторах есть единицы, если вы их не укажете, вы, наверное, математик (шучу). Кроме того, это обозначение можно расширить до трех измерений, добавив компонент z-hat или k-hat. Еще одна приятная вещь — все эти векторы настроены и готовы к добавлению. Если у вас есть вектор в обозначении компонентов, вы готовы к работе.

Я думаю, причина, по которой в учебниках используется формат «величина-направление», заключается в том, что его легче соотнести с реальной жизнью.