3 x первообразная: Mathway | Популярные задачи

Теперь рассмотрим функцию \(y = 2x \):

Рассмотрим площади треугольников под графиком \(y = 2x.\)

Площадь треугольника равна площади  \(\frac{1}{2}\) основания на высоту. Таким образом, ясно, что области под графиком:

\(S_{1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1\)

\(S_{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4\)

\(S_{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6= 9\)

Итого, можно сказать, что первообразная эквивалентна площади под функцией.

Функция может иметь несколько первообразных. 

\(F(x)+C;\)

Докажем что функция может иметь несколько первообразных:

\((F(x)+C) ′ =F ′ (x)+(C) ′ =f(x)+0=f(x).\)

\((F(x)+C) ′ =f(x).\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Евгений Валентинович Грязнов

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Университет Иннополис

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике 1-11 классы, (ОГЭ/ЕГЭ/олимпиады), по информатике 5-11 кл, ОГЭ, по английскому языку 1-11 классы.

Лиля Алексеевна Шевченко

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Армавирский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике 5-9 классы. Подготовка к ВПР/ОГЭ, повышение успеваемости. Я люблю математику за то, что она учит логично мыслить, правильно доказывать сначала теорему, а потом и отстаивать свою точку зрения!

Татьяна Николаевна Бычкова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Таганрогский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Преподаватель математики в 5-9 классах, подготовка к ОГЭ и ВПР. Очень люблю свой предмет и делаю всё возможное для того, чтобы мои ученики без проблем решали математические задания любой сложности. Имею большой опыт подготовки к ОГЭ обучающихся с разным уровнем знаний. Объясняю просто и понятно. Вместе с ребятами мы рассуждаем, мыслим, анализируем и достигаем поставленной цели.

Похожие статьи

• Свойства равнобедренного треугольника
• Трапеция, средняя линия трапеции
• Физфак МГУ: поступление
• Прямая пропорциональная зависимость
• Как строить графики функций с модулем из ОГЭ
• ЕГЭ по математике, базовый уровень. Простейшие уравнения (вариант 2)
• Переезд в другой город на учебу: как освоиться в нем быстро и без стресса?
• 5 способов быстро запомнить таблицу умножения

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Мэтуэй | Частые проблемы

Примитивный конек

Вероятно, в вашем браузере отключен JavaScript.
Для использования функций этого веб-сайта в вашем браузере должен быть включен JavaScript.

Быстрый просмотр

39,95 $

Быстрый просмотр

89,95 $

Быстрый просмотр

84,95 $

НОВИНКА

Быстрый просмотр

79,95 $

Быстрый просмотр

39,95 $

НОВИНКА

Быстрый просмотр

41,95 $

Быстрый просмотр

84,95 $

Быстрый просмотр

74,95 $

Быстрый просмотр

35,95 $

Быстрый просмотр

39,95 $

Быстрый просмотр

34,95 $

Быстрый просмотр

39,95 $

Быстрый просмотр

94,95 $

Быстрый просмотр

$69,99

$84,95

Купи 1, получи 1 со скидкой 50%

Быстрый просмотр

39,95 $

Быстрый просмотр

39,95 $

Быстрый просмотр

33,95 $

Быстрый просмотр

29,95 $

Быстрый просмотр

59,99 долларов США

$64,95

Купить1 Получить1 Бесплатно

Быстрый просмотр

39,95 $

НОВЫЙ

Быстрый просмотр

79,95 $

Быстрый просмотр

$74,99

$790,95

Купи 1, получи 1 со скидкой 50%

Быстрый просмотр

104,95 $

Быстрый просмотр

37,95 $

Быстрый просмотр

35,95 $

Быстрый просмотр

69,95 $

Быстрый просмотр

39,95 $

Быстрый просмотр

79,95 $

Быстрый просмотр

49,95 $

Быстрый просмотр

89,95 $

Быстрый просмотр

99,95 $

НОВИНКА

Быстрый просмотр

134,95 $

Быстрый просмотр

39 $. 95

Быстрый просмотр

39,95 $

Быстрый просмотр

54,95 $

Быстрый просмотр

69,95 $

Быстрый просмотр

$74,99

79,95 долларов США

Купи 1, получи 1 со скидкой 50%

Быстрый просмотр

54,95 $

Быстрый просмотр

35,95 $

Быстрый просмотр

94,95 $

Быстрый просмотр

89,95 $

Быстрый просмотр

84,95 $

Быстрый просмотр

29,95 $

Быстрый просмотр

$84,99

$890,95

Купи 1, получи 1 со скидкой 50%

Быстрый просмотр

31,95 $

Быстрый просмотр

$64,95

Купить1 Получить1 Бесплатно

Быстрый просмотр

84,95 $

Быстрый просмотр

39,95 $

Быстрый просмотр

37,95 $

Быстрый просмотр

79,99 долларов США

$84,95

Купи 1 Получи 1 Скидка 50%

Быстрый просмотр

39,95 $

Примитивный конек

Альберт ван дер Сель: Примитивный интеграл.

Если f(x)=sin(x), то f ‘(x)=cos(x)

Если f(x)=cos(x) yhen f ‘(x)= -sin(x)

Таким образом:

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

Пример 2:

Предположим, у нас есть f(x)=x ² (x-√x). Что такое F(х)?

В общем, попробуйте переписать выражение, чтобы избавиться от «(» и «)».
Таким образом, часто проще применить одно из правил, перечисленных выше.

x ² (x-√x)=x ² x — x ² √x = x ³ — x ^2,5

Это решение, но нам нужно переписать его более аккуратно:

1/4x ⁴ — 1/3,5x ^3,5 = 1/4x ⁴ — 2/7x ³ √x

F(x)=(1/4) x ⁴ — (2/7) х ³ √х + с

Пример 3: Два примера использования «Простой замены»:

-Пример 3.1:

Предположим, нам нужно решить:

∫ (x-5) ⁷ dx

Call (x-5)=t.

Тогда наш интеграл примет вид:

∫ t ⁷ dt

Который легко решить, используя наши основные правила.

∫ t ⁷ dt = 1/8 t ⁸ + C

Подставляем (x-5)=t обратно, и наш ответ:

F(x) = 1/8 (x-5) ⁸ + C.

-Пример 3.2:

Решить :

∫ 2x(x ² +1) ⁵ dx

Переписывание подынтегральной функции нам мало поможет, т. е. если дальше умножать слагаемые, то получается очень сложно.
В примере 2 умножение сработало, но здесь его можно сделать более хитро:

Использовать t=(x ² +1). Тогда dt=2xdx.

∫ 2x(x ² +1) ⁵ dx = ∫ t ⁵ dt=1/6 t ⁶ +C.

Замена спинки:

F(x)=1/6 (x ² +1) ⁶ + C.

Пример 4: Использование цепной линейки:

Во многих случаях является альтернативой методу «подстановки», а иногда и проще.

— Предположим, у нас есть f(x)=(2x+2) ⁵ . Что такое F(х)? Очень похоже на
то, что мы имели в примере 3.
Обратите внимание, что «2x+2» является линейной функцией.

Как видите, что-то вроде (2x+2) ⁶ выводит нас на дорогу. Однако у нас все еще есть «2»
из «2x», с которыми нужно иметь дело. Итак, если мы попробуем «1/12 (2x+2) ⁶ », сработает ли это?
Используя цепное правило для производных, мы получим «1/12 . 6 . (2x+2) ⁵⁺¹ . 2″, что
действительно дает нам (2x+2) ⁵ снова.

Обратите внимание, что то, что находится в скобках, является линейным, то есть имеет форму ax+b. С более высокими силами
x в некоторых терминах в скобках этот метод может потребовать дополнительных соображений.

— Допустим, у нас есть:

Надо как-то найти формат, чтобы он подходил по цепному правилу.

Обратите внимание, что d/dx (1+x ² ) = 2х.
Обратите внимание, что x = 1/2. 2x
Обратите внимание, что примитив (…) ^-3 должен иметь часть (…) ^-2 .

Дело не в том, что мы следуем очень конкретному правилу, чтобы добраться до нашей цели, но можно
увидеть, что F(x) = -(1/4) . (1+x ² ) ^-2

Если вы распознаете функцию как f ‘(g(x)).g'(x), то примитивом будет f(g(x)).

— Предположим, у нас есть f(x)=sin(2x). Что такое F(х)?

Вам всегда понадобится книга «Фокусов».
Если посмотреть на производную от cos(2x), то снова по цепному правилу имеем
-sin(2x).2 = -2sin(2x).

Таким образом:

F(x)= ∫ sin(2x)dx = -1/2 cos(2x)+c

Вот несколько важных стандартных интегралов с sin и cos:

∫ sin (ax)dx =-1/a cos(ax) + C (a — константа)

∫ cos(ax)dx = 1/a sin(ax) + C

∫ sin ² (x)dx = (1/2)x — 1/4 sin(2x) + C = (1/2)x — (1/2) sinx cosx + C

∫ cos ² (x)dx = (1/2)x + 1/4 sin(2x) + C = (1/2)x + (1/2) sinx cosx + C

Пример 5: Более сложный пример замены:

Предположим, у нас есть f(x)=sin ³ (x). Что такое F(х)?

999Во-первых, обратите внимание, что sin ³ (x)=sin(x).sin(x).sin(x)=sin(x).sin ² (x).

В предыдущем примечании мы видели, что sin ² (x) + cos ² (x) = 1.

Таким образом: sin ² (х)=1-cos ² (х).

Итак: sin ³ (x) = (1-cos ² (x)).sin(x).

Теперь d/dx (cos(x))=-sin(x). Таким образом, d(cos(x))=-sin(x)dx.

Таким образом:

sin ³ (x)=(1-cos ² (x)).sin(x)=(1-cos ² (x)).-d(cos(x) )
=(cos ² (x) — 1)d(cos(x))

Теперь используем «трюк подстановки»: u=cos(x).
Тогда получаем:

(cos ² (x) — 1)d(cos(x)) = (u ² — 1) du.

∫ (U ² — 1) DU = 1/3 U ³ -U +C

Так:

∫ SIN ³ (x) = 1/3 COS ³ 9666 3 (x) = 1/3 COS ³ 966696696696696696696696696696696696696696696696696696696696696696696696696696696696696966969696966969696969669696969696666969696966666 (х) -cos(х) +с

2. Примеры с e ^x и показательными функциями:

Пример 6:

Производная от e ^x равна e ^x . Следовательно:

∫ e ^x dx=e ^x + C

Пример 7:

Попробуем найти: ∫ e ^kx dx, где k — некоторая константа.

Подставим u=kx. Поэтому du=k dx. Таким образом, (1/k)du=dx.

Итак, ∫ e ^kx dx = ∫ e ^u (1/k)du = (1/k) ∫ e ^{u 9 u} du = (1 1/k 9191) 1e +C=(1/k)e ^kx +C.

Пример 8:

Попробуем найти: ∫ 2 ^х дх. (это упражнение также является моделью для ^x )

Если ^g Log(x)=y, то g ^y =x. Таким образом, g ^Log(x) =x.
Thus:

e ^ln(2) =2

∫ 2 ^x dx = ∫ (e ^ln(2) ) ^x dx = ∫ (e ^{ln( 2) x} )dx

Теперь положим u=ln(2)x. Таким образом, du=ln(2)dx. Таким образом, 1/(ln(2) du = dx.

Подставим это: ∫ (e ^{ln(2) x} )dx=1/ln(2) ∫ e ^u du = 1/ln(2) e ^u +C.

Подставим u=ln(2)x назад:

1/ln(2) e ^ln(2)x +C = 1/ln(2) (e ^ln(2) ) ^x +С = 1/ln(2) 2 ^х +С.

Вы можете обобщить это до: ∫ a ^x dx = 1/ln(a) a ^x + C.

Таким образом, метод «подстановки» может быть весьма важным, как мы видели. в нескольких примерах выше.

3. Примеры использования метода интегрирования по частям:

Правило произведения от нахождения производной может быть полезным и при нахождении примитивной функции.
Это правило таково:

(f.g)’ = f’.g + f.g’ (обратите внимание на апострофы).

Отсюда:

f’.g = (f.g)’ — f.g’, а также f.g’ = (f.g)’ — f’.g

Это означает, что:

∫ f’.g = ∫ (f.g)’ — ∫ f.g’ = f. g — ∫ f.g’

Вы можете читать это правило также как (чтобы сделать его более ясным):

∫ f.g = F.g — ∫ F.g’  , где F — примитив f, а g’ является производной от g.

Часто бывает трудно выбрать наиболее практичные «f» и «g». Давайте посмотрим несколько примеров:

Пример 9:

∫ х линкс дх = 1/2 х ² линкс — ∫ 1/2 х ² . 1/x dx = 1/2 x ² lnx — 1/4 x ² + C.

Пример 10:

∫ х sinx dx = -cosx х — ∫ -cosx . 1 dx = -xcosx — sinx + C.

Пример 11:

∫ перкс дх знак равно ∫ 1 . перкс дх знак равно Икс перкс — ∫ Икс . 1/x dx = x lnx — ∫ 1 dx = x lnx — x + C

Пример 12:

∫ xe ^x dx = xe ^x — ∫ e ^x . 1 дх = х.е ^х — е ^х + С.

4. Примеры с дробями:

Уже известно несколько фактов:

Если f(x)=ln(x), то
f ‘(x)= 1/x

Таким образом, если f(x)=1/x, то
F(x)=ln(|x|).

и из примера 11 мы видим, что:

∫ lnx dx = ∫ 1 . перкс дх знак равно Икс перкс — ∫ Икс . 1/x dx = x lnx — ∫ 1 dx = x lnx — x + C

Аналогично:

∫ log(x) dx = 1/ln(g) . (x lnx — x) + C

Мы могли бы использовать это в некоторых примерах.

Пример 13:

∫1/(2x+1) дх
установить t=(2x+1). Таким образом, dt=2dx. Таким образом, dx=1/2dt

∫ (1/2) 1/t dt = 1/2 ∫ 1/t ​​dt = 1/2 ln(t) = 1/2 ln(2x+1) + C

Пример 14:

Предположим, у нас есть:

Есть несколько способов справиться с этим. Вы можете попробовать «хвостовой дивизион».

2x+1 / 4x ⁴ +4x ³ +x ² +3 \ 2x ³ +x ² + x
——-x—4x ^{6 3
——— 2x 3 +x 2
———————
—— —-2x 2 +x}

с остатком «3».
Таким образом, мы имеем:

Пример 15:

Иногда дробь можно разделить на несколько частей.

Допустим, у нас есть:

5. Примеры более сложных вопросов:

Пример 16:

Предположим, у нас есть ванна, поверхность которой на любой высоте x определяется по формуле:

C(x)=2500x ^0,5 -70x (в см ² )

Максимальная высота ванны составляет 50 см.

Вмещает 500 литров воды? ₀ ^p 1195 1,5 — 35x ² ] ₀ ^P =

(2500/1,5) P ^1,5 — 35P
2 — 0 = (2500/1,5) P ^1,5 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35 — 35. ²

Должен быть равен 500 л . У нас есть 1 л = 1000 см ³ . Таким образом, 500 л = 500 000 см 91 195 3 91 196 .

Таким образом (2500/1,5) p ^1,5 — 35p ² = 500000

Таким образом, p=49,9

Пример 16:

Рис. 3. Площадь, определяемая границами x=a, x=b, f(x) и g(x),

Часто на экзаменах по математике в старшей школе вы можете увидеть задачи, перечисленные ниже.

Предположим, что в области [x-a, x=b] у нас есть две функции f(x) и g(x).
Вычислите поверхность, определяемую границами x=a, x=b, осью x и лежащую между
f(x) и g(x).

В данном случае речь идет о размере зеленой зоны A _Green . См. рисунок выше.

Таким образом:
А _{Зеленый} = ∫ _А ^b f(x) dx — ∫ _a ^b g(x) dx

Обратите внимание, что мы всегда должны делать «верхняя область — нижняя область».

Давайте рассмотрим простой пример. Скажем, у нас есть прямая f(x)=4x+2 и парабола g(x)=x ² +2.
У нас нет «a» и «b», поэтому мы должны сначала найти значение(я) x пересечения(й):

x ² +2=4x+2 => x(x-4 )=0 => х=0 или х=4.

Линия находится над параболой, между x=0 и x=4, а при x>4 парабола находится над линией.
Область, которую мы должны рассчитать, заключается в интервале 0

. =

[2x ² + 2x] ₀ ⁴ — [1/3 ³ + 2x] ₀ ⁴ = 10,7.

Пример 17: Расчет объема.

Изображение функции f(x)=√x. Если вы не знаете, как «выглядит функция»,
, тогда поищите.

Теперь представим, что мы вращаем график по оси x на 2π. Создается древовидный объект
, который выглядит как трехмерная парабола с осью X в качестве центральной линии.

Если вы разрежете объект на маленькие Δx, мы получим маленькие объекты, похожие на маленькие цилиндры.

Объем такого маленького цилиндра в определенном месте x _i приблизительно равен

π (f(x)) ² . Δx _i (как «π r ² . h», для цилиндра шириной «h»).

Если вы сложите все эти маленькие цилиндры в интервале [x=a, x=b], вы получите сумму Римана
, которая является близким приближением для общий объем на интервале [x=a, x=b]

Таким образом, определенный интеграл существует, если Δx _i становится бесконечно малым

Предположим, мы хотим вычислить объем в [x=0, x=4 ], имеем:

∫ ₀ ⁴ π(√x) ² dx = 8 π

Правила интегрирования

Интеграция

Интеграцию можно использовать для поиска площадей, объемов, центральных точек и многих других полезных вещей. Он часто используется для нахождения области под графиком функции и осью X .

Первое правило, которое нужно знать, это то, что интегралы и производные противоположны!

Иногда мы можем вычислить интеграл,
, потому что мы знаем соответствующую производную.

Правила интеграции

Вот наиболее полезные правила с примерами ниже:

Общие функции	Функция	Интеграл
Константа	∫а дх	топор + С
Переменная	∫x дх	x 2 /2 + С
Квадрат	∫x 2 дх	x 3 /3 + С
Обратный	∫(1/х) дх	лн|х| + С
Экспоненциальный	∫е х дх	е х + С
	∫а х дх	а х /ln(а) + С
	∫ln(x) дх	х пер(х) — х + С
Тригонометрия (x в радианах)	∫cos(x)dx	грех(х) + С
	∫sin(x) дх	-cos(x) + С
	∫сек 2 (х) дх	тан(х) + С
Правила	Функция	Интеграл
Умножение на константу	∫cf(x)dx	c∫f(x)dx
Степенное правило (n≠−1)	∫x n dx	x n+1 n+1 + C
Правило суммы	∫(f + g) дх	∫f дх + ∫g дх
Правило различия	∫(е — г) дх	∫f дх — ∫g дх
Интеграция по частям	См. Интеграция по частям
Правило замены	См. Интеграция путем замены

Примеры

Пример: чему равен интеграл sin(x) ?

Из таблицы выше это указано как −cos(x) + C

Записано как:

∫sin(x) dx = −cos(x) + C

Пример: каков интеграл от 1/x ?

Из приведенной выше таблицы он указан как ln|x| + С

Записывается как:

∫(1/x) dx = ln|x| + C

Вертикальные стойки || по обе стороны от x означают абсолютное значение, потому что мы не хотим придавать отрицательные значения функции натурального логарифма ln .

Силовое правило

Пример: Что такое ∫x

Вопрос: «Каков интеграл от x ³ ?»

Мы можем использовать Степенное правило, где n=3:

∫x ⁿ dx = x ⁿ⁺¹ n+1 + C

∫x ³ dx = x ^{4 4}

3

3

Пример: Что такое ∫√x dx ?

√x is also x ^{0. 5}

We can use the Power Rule, where n=0.5:

∫x ⁿ dx = x ⁿ⁺¹ n+1 + C

∫x ^0,5 dx = x ^1,5 1,5 + C

Умножение на константу

Пример: Что такое ∫6x

² dx ?

We can move the 6 outside the integral:

∫6x ² dx = 6∫x ² dx

And now use the Power Rule on x ² :

= 6 x ³ 3 + C

Упрощение:

= 2x ³ + C

Правило суммы

Пример. Что такое ∫(cos x + x) dx ?

Используйте правило суммы:

∫(cos x + x) dx = ∫cos x dx + ∫x dx

Вычислите интеграл каждого из них (используя таблицу выше):

= sin x + x ² /2 + C

Правило различия

Пример: Что такое ∫(e

^w − 3) dw ?

Используйте правило разности:

∫(e ^w − 3) dw =∫e ^w dw − ∫3 dw

Затем вычислите интеграл каждого (используя таблицу выше):

7 = e ш — 3ш + С

Сумма, разность, постоянное умножение и правила степени

Пример: Что такое ∫(8z + 4z

³ − 6z ² ) dz ?

Используйте правило суммы и разности:

∫ (8Z + 4Z ³ — 6Z ² ) DZ = ∫8Z DZ + ∫4Z ³ DZ — ∫6Z ² DZ 9099 9096.

= 8∫Z DZ + 4∫Z ³ DZ — 6∫Z ² DZ

Правило мощности:

= 8Z ² /2 + 4Z ⁴ /4 — 6 + C

Упростить:

= 4z ² + з ⁴ − 2з ³ + С

Интеграция по частям

См. Интеграция по частям

Правило замены

См. Интеграция путем замены

 

Заключительный совет

• Много практики
• Не забудьте dx (или dz и т. д.)
• Не забудьте + C

 

6834, 6835, 6836, 6837, 6838, 6839, 6840, 6841, 6842, 6843

509 Превышен предел пропускной способности

509 Превышен предел пропускной способности Сервер временно не может обслуживать ваши запрос из-за того, что владелец сайта достиг своего ограничение пропускной способности. Пожалуйста, попробуйте позже.

.:: Список примитивных полиномов — Араш Партоу ::.

Описание

Ниже приведен список примитивные неприводимые многочлены для порождающих элементов бинарного поля расширения GF(2 ^m ) из базового конечного поля. Список содержит многочлены степени от 2 до 32.

---

Загрузки

примитивные_полиномиалы_GF2.txt
примитивные_полиномиалы_GF2_extended.zip

---

91 + 1

---

Кредиты

• Когерентные системы с расширенным спектром — J.

  No related posts.

  Добавить комментарий Отменить ответ

  Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

  Комментарий *

  Имя *

  Email *

  Сайт

Степень 02	Степень 03	Степень 04	Степень 05	Степень 06	Степень 07	Степень 08	Степень 09
Степень 10	Степень 11	Степень 12	Степень 13	Степень 14	Степень 15	Степень 16	Степень 17
Степень 18	Степень 19	Степень 20	Степень 21	Степень 22	Степень 23	Степень 24	Степень 25
Степень 26	Степень 27	Степень 28	Степень 29	Степень 30	Степень 31	Степень 32