Может ли нечетное число делится на четное: Можно ли без остатка разделить нечётное число на чётное? (Вспомни, как можно получить делимое из…

ПНШ 4 класс. Математика. Учебник № 1, с. 66

Какой остаток может получиться при делении на 2?

Ответы к с. 66

212. Какое число получится: чётное или нечётное, если нечётное число делить на нечётное число, при условии, что выполнено деление нацело? Приведи три примера, подтверждающих твоё предположение.

При делении нечётного числа на нечётное число результат всегда будет нечётным числом.
45 : 5 = 9    55 : 11 = 5    63 : 7 = 9

213. Какое число получится: чётное или нечётное, если чётное число делить на нечётное число, при условии, что выполнено деление нацело? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение. Обсуди результат с соседом по парте.

При делении чётного числа на нечётное число результат всегда будет чётным числом.
54 : 9 = 6    50 : 5 = 10    96 : 3 = 32

214.   Можешь ли ты привести пример такого случая деления, когда нечётное число делится нацело на чётное число? Почему? Вспомни, как можно получить делимое из делителя и значения частного.

Делимое можно получить, умножив делитель на значение частного. По условию делитель является чётным числом. Мы знаем, что если чётное число умножить на чётное или нечётное число, то результатом будет всегда чётное число. В нашем же случае делимое должно быть нечётным числом. Это означает, что никакое значение частного в этом случае подобрать нельзя и привести пример такого случая деления невозможно.

215.  Представь число 2873 в виде суммы круглых десятков и однозначного числа. Чётным или нечётным числом является каждое из слагаемых? Чётным или нечётным числом будет значение их суммы? На какую цифру может оканчиваться запись чётного числа? А нечётного?

2873 = 2870 + 3
Первое слагаемое – чётное число, второе слагаемое – нечётное число.
2873 – нечётное число.

Нечётное число 2873 заканчивается на нечётную цифру 3, запись чётного числа 2870 — на чётную цифру 0.
Запись чётного числа может оканчиваться чётными цифрами (0, 2, 4, 6, 8), а запись нечётного числа — нечётными числами (1, 3, 5, 7, 9).

216. Выпиши чётные числа в один столбик, а нечётные — в другой.

2844     57893
67586   9231
10050   9929

217. Сколько существует чётных двузначных натуральных чисел? А сколько таких же нечётных чисел?

Самое маленькое двузначное чётное число 10, а самое большое – нечётное число 99. Всего их 99 – 10 + 1 = 90. Чётные и нечётные числа в натуральном ряду чередуются, поэтому чётных двузначных чисел столько же сколько и нечётных, то есть 45, поскольку 90 : 2 = 45.

218. Запиши самое большле чётное шестизначное число.

Самое большое шестизначное число — 999999. Это число нечётное. Предшествующее число – 999998 – число чётное.

Оно самое большое в ряду шестизначных чисел.

Ответы к заданиям. Математика. Учебник. Часть 1. Чекин А.Л. 2012 г.

Математика. 4 класс. Чекин А.Л.

07.11.2018

Числа и их свойства | ЕГЭ по математике (профиль)

Числовые множества

1. Натуральные числа – числа, которые мы используем для счета предметов, счёт начинается с единицы, поэтому ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается $N$.

2. Целые числа – это ноль и «плюс – минус натуральные числа». Множество целых чисел обозначается $Z$.

3. Рациональные числа – это всевозможные дроби ${m}/{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ – натуральное число, т.е. $n≠0$. Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

Делимость

Число $а$ делится на число $с≠0$, если найдется такое число $b$, что $a=c·b$.

Если число $а$ делится на $с$, то число с называется делителем числа $а$.

Если числа $а$ и $b$ делятся на $с$, то их сумма $а + b$ тоже делится на $с$.

Признаки делимости:

Признак делимости на $2$

Число делится на $2$ тогда и только тогда, когда его последняя цифра ноль или делится на $2$, то есть является чётной.

Признак делимости на $3$

Число делится на $3$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на $4$

Число делится на $4$ тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на $4$.

Признак делимости на $5$

Число делится на $5$ тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на $5$ (то есть равна $0$ или $5$).

Признак делимости на $6$

Число делится на $6$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $3$.

Признак делимости на $7$

Число делится на $7$ тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на $7$ (например, $217$ делится на $7$, так как $21 — (2 · 7) = 7$ делится на $7$). n$.

Признак делимости на $12$

Число делится на $12$ тогда и только тогда, когда оно делится на $3$ и на $4$.

Признак делимости на $13$

Число делится на $13$ тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно $13$ (например, $949$ делится на $13$, так как $94 + (4 · 9) = 130$ делится на $13$).

Признак делимости на $14$

Число делится на $14$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $7$.

Признак делимости на $15$

Число делится на $15$ тогда и только тогда, когда оно делится на $3$ и на $5.$

Признак делимости на $17$

Число делится на $17$ тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно $17.$

Признак делимости на $19$

Число делится на $19$ тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно $19$ (например, $646$ делится на $19$, так как $64 + (6 · 2) = 76$ делится на $19$).

Четность и нечетность чисел

1. Число называется четным, если оно делится нацело на $2$. Если $а$ четное число, то его вид можно записать $a=2n$.
2. Число называется нечетным, если оно не делится нацело на $2$. Если $а$ нечетное число, то его вид можно записать $a=2n+1$.
3. Сумма любого количества четных слагаемых четна.
4. Сумма четного количества нечетных слагаемых – четное число.
5. Сумма нечетного количества нечетных слагаемых – нечетное число.
6. Если в произведении все множители нечетные числа, то произведение – нечетное число.
7. Если в произведении попадется хотя бы одно четное число, то в результате умножения получится четное число.

Простые и взаимно простые числа

Простые числа – это целые числа, большие единицы, которые имеют только два положительных делителя, а именно самих себя и $1$.

Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих делителей, кроме единицы. Например, числа $15$ и $4$ взаимно просты, так как их общий делитель равен $1$. 3{216}=6$ – полученный результат и есть среднее геометрическое.

Ответ: $6$

Факториал

Факториал числа — это произведение натуральных чисел от $1$ до самого числа (включая данное число). Обозначается знаком (!).

$n!=1·2·3·….·n$

Факториал нуля равен единице $0!=1$

Пример:

Вычислите $7!$

Решение:

7!=1·2·3·4·5·6·7=5040

Ответ: 5040

Последовательности

Последовательность чисел – это набор чисел, в котором каждому числу можно присвоить некоторый номер, причем каждому номеру соответствует единственное число данного набора. Номер числа – это всегда натуральное число, нумерация номеров начинается с единицы. Число с номером $n$ (то есть $n$ — ый член последовательности) обычно обозначается $a_n$.

Большинство последовательностей можно задать аналитическим способом.

Последовательность задана аналитически, если указана формула ее $n$ – го члена. Например, $a_n=4n+3$. В данной формуле указав конкретное число $n$, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если номер $n=5$, то подставим $5$ в формулу последовательности, получим числовое выражение, вычислив которое получим член последовательности с соответствующим номером. $a_5=4·5+3=23$

Прогрессии

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

$а_1$ — первый член арифметической прогрессии

$d$ — разность между последующим и предыдущим членом прогрессии

$d=a_(n+1)-a_n$

$a_n$ — член арифметической прогрессии, стоящий на $n$-ом месте

$n$ — номер места для членов арифметической прогрессии

$S_n$ — сумма первых n членов арифметической прогрессии

Формула, для нахождения n-ого члена прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n={(a_1+a_n)·n}/{2}$

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. n-1)}/{q-1},q≠1$

элементарная теория чисел — деление нечетного на четное составляет дробь

спросил 10 лет, 3 месяца назад

Изменено 7 лет, 4 месяца назад

Просмотрено 7к раз

$\begingroup$

Как мы можем доказать, что нечетное число, деленное на четное число, является дробью? Я начал с нечетных $=2m+1$ и четных $=2n$ и остался с $(m+2)/n$.

• элементарная теория чисел
• рациональные числа

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Подсказка: Предположим противное, что $\dfrac{a}{b}=n$, где $a$, $b$ и $n$ — целые числа. Предположим также, что $a$ нечетно, а $b$ четно (и, конечно, не равно нулю).

Тогда $a=bn$. Посмотрим, сможешь ли ты показать, что это невозможно. Здесь вы будете использовать тот факт, что $a$ нечетно, а $b$ четно.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Вы начали хорошо (правильно): нечетное число может быть представлено как $2m + 1$, четное число $2n$, для $m,n \in \mathbb{Z}$.

Но тогда для деления возьмем $$\frac {2m+1}{2n}=\frac{2m}{2n} + \frac {1}{2n} = \frac{m}{n} + \ frac{1}{2n}.$$

Вы понимаете, почему крайняя правая часть уравнения не может быть целой (целым числом)?

$$ \frac{2m+1}{2n} = k, \text{где}\; k\in \mathbb{Z},$$ $$\text{then} \; 2m+1 = 2kn.$$ Обратите внимание, что остаток от деления левой части ($2m+1$) на $2$ равен $1$, а остаток от деления правой части ($2kn$) на $2$ равно $0$.

Противоречие.

$\endgroup$

$\begingroup$

$$ \frac{2m+1}{2n} = \frac{m+\frac12}{n} $$ Так что есть ошибка, когда вы кладете 2$ там, где вам нужно 1/2$.

Однако если $$ \frac{2m+1}{2n} = a = \text{целое число} $$ тогда $2m+1 = 2an$. Но остаток от деления $2m+1$ на $2$ равен $1$, а остаток от деления $2n$ на $2$ равен $0$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Целое кратное четного числа четно, поэтому, если частное целое, а знаменатель четный, числитель тоже будет четным. Обратите внимание, что $\frac{2m+1}{2n}=\frac{m}{n}+\frac{1}{2n}\neq \frac{m}{n}+\frac{2}{n} = \frac{m+2}{n}$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Подсказка $\rm\ 2n\mid 2k+1\:\Стрелка вправо\ 2\,\mid\, 2k+1\,\ \Стрелка вправо\,\ 2\mid 1.

\ $ Или в терминах дроби,

$\rm\quad j = \dfrac{2k\!+\!1}{2n}\in\Bbb Z\:\Rightarrow\: nj = k\!+\!\dfrac{1}{ 2}\in \Bbb Z\:\Rightarrow\: \dfrac{1}2\in\Bbb Z,\ $ противоречие.

$\endgroup$

дискретная математика — Докажите: деление нечетного числа на 2 всегда дает в остатке 1

спросил 9 лет, 4 месяца назад

Изменено 5 лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 10 тысяч раз

$\begingroup$

Как мне доказать, что для всех n, принадлежащих натуральным числам, если любое заданное нечетное число n разделить на 2, то остаток равен хотя бы 1?

Мне подсказка: попробуйте уменьшить число n, но я понятия не имею, как это поможет.

Я думал в духе индукции, но как лучше всего подойти к этому? Мне просто нужны подсказки, пожалуйста. Я хочу решить эту проблему сам, просто нужно знать, с чего начать.

• дискретная математика
• корректура
• индукция

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Мы можем показать, что ровно .

Пусть $n$ будет нашим числом, таким что $n = 2m + r$, m и r целых чисел. Если $r < 1$, то он должен быть равен нулю. В этом случае у нас просто $n = 2m$, и n больше не является нечетным. Если $r>1$, то если оно четное, то r делится на два, поэтому $2|(2m+r)$ означает, что n больше не является нечетным. Если r нечетно, то мы можем записать его как $s+1$, s четно и $n = 2(m + s/2) + 1$, что означает, что 1 — это новый остаток.

$\endgroup$

$\begingroup$

Алгоритм деления говорит, что для любых $m$ и положительных $n$ в целых числах существуют целые числа $q$ и $0\le r\lt n$, так что $$ м=qn+r $$ При $n=2$ есть два остатка ($0\le r\lt2$): $0$ и $1$.

$m$ нечетно, если не делится на $2$ (остаток при делении на $2$ не равен $0$). Поскольку ненулевой остаток всего один, остаток при делении $m$ на $2$ должен быть равен $1$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Деление нечетного целого числа на два простых числа не всегда дает остаток плюс один, который равен единице. В зависимости от делимого, нечетное целое число делится на два, остаток может быть минус один. Но есть условие, что частное Q должно быть нечетным целым числом. Как это происходит? Если принять определение «остаток» как число, которое алгебраически прибавляется к произведению частного и делителя, чтобы воспроизвести делимое, то остатки r + 1 и — 1 получаются совершенно естественным образом. Например, 39{1 + D}]/2, очевидно, что частное Q зависит только от делимого D. Это не доказательство того, что остаток при делении нечетного целого числа на два может быть либо -1, либо +1, но результат очевиден.