Можно ли сокращать степени в дробях: Как сокращать дроби со степенью?

Содержание

Сокращение дробей с буквами. Выполнение сокращения дробей

Когда ученик переходит в старшую школу, математика разделяется на 2 предмета: алгебру и геометрию. Понятий становится все больше, задания все сложнее. У некоторых возникают трудности с восприятием дробей. Пропустили первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить на протяжении всей школьной жизни.

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражения P/Q, где P является числителем, а Q — знаменателем. Под буквенной записью может скрываться число, числовое выражение, численно-буквенное выражение.

Прежде чем задаваться вопросом, как решать алгебраические дроби, для начала нужно понимать, что подобное выражение — часть целого.

Как правило, целое — это 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей разделили единицу. Числитель необходим для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в качестве математической операции «Деление». В таком случае числитель — делимое, знаменатель — делитель.

Основное правило обыкновенных дробей

Когда учащиеся проходят данную тему в школе, им дают примеры на закрепление. Чтобы правильно их решать и находить различные пути из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

Оно звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (отличные от нуля), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем от данного правила является разделение обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Подобные преобразования называются тождественными равенствами.

Ниже будет рассмотрено, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, производить умножение, деление и сокращение дробей.

Математические операции с дробями

Рассмотрим, как решать, основное свойство алгебраической дроби, как применять его на практике. Если нужно перемножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или произвести вычитание, нужно всегда придерживаться правил.

Так, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то нужно опустить этот пункт. Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Нужно сложить или вычесть числители. Но! Нужно помнить, что при наличии знака «-» перед дробью все знаки в числителе меняются на противоположные. Иногда не следует производить каких-либо подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.

Часто используется такое понятие, как сокращение дробей . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на отличное от единицы выражение (одинаковое для обеих частей), то получается новая дробь. Делимое и делитель меньше прежних, но в силу основного правила дробей остаются равными изначальному примеру.

Целью этой операции является получение нового несократимого выражения. Решить данную задачу можно, если сократить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Алгоритм операции состоит из двух пунктов:

Нахождение НОД для обеих частей дроби.
Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предшествующей.

Ниже показана таблица, в которой расписаны формулы. Для удобства ее можно распечатать и носить с собой в тетради. Однако, чтобы в будущем при решении контрольной или экзамена не возникло трудностей в вопросе, как решать алгебраические дроби, указанные формулы нужно выучить наизусть.

Несколько примеров с решениями

С теоретической точки зрения рассмотрен вопрос, как решать алгебраические дроби. Примеры, приведенные в статье, помогут лучше усвоить материал.

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и расссмотрения практической вопросов больше возникнуть не должно.

Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .

В дроби — x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x 3 — 1 x 2 — 1 мы можем сократить на х — 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 — x 2 + x — 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей

состоит из двух последовательных действий:

нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

5 5 = 1 ; — 2 3 — 2 3 = 1 ; x x = 1 ; — 3 , 2 · x 3 — 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x — x 2 · y 1 2 · x — x 2 · y ;

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 — 2 3 2 — 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель

2 2 · 3 ).

Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Пример 1

Задана алгебраическая дробь — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = — 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = — 9 · a 3 2 · c 6

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = — 3 3 — 1 2 · a 5 — 2 1 · 1 · 1 c 7 — 1 · 1 = · — 3 2 · a 3 2 · c 6 = · — 9 · a 3 2 · c 6 .

Ответ: — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 9 · a 3 2 · c 6

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Пример 2

Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т. е. на НОК (5 , 10) = 10 . Тогда получим:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Пример 3

Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49)

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7)

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · (a + 7) . Произведем сокращение:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a — 7) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 — 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a — 7) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b — 7 · b .

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Пример 4

Дана алгебраическая дробь 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

Решение

На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2

Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · — 2 7 · — 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 1 5 · 3 1 2 = = — 2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10 = — 2 7 · x 5 = — 2 35 · x

Ответ: 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = — 2 35 · x .

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

В этой статье мы подробно остановимся на сокращении алгебраических дробей . Сначала разберемся, что понимают под термином «сокращение алгебраической дроби», и выясним, всегда ли алгебраическая дробь сократима. Дальше приведем правило, позволяющее проводить это преобразование. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров, которые позволят уяснить все тонкости процесса.

Навигация по странице.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Изучая , мы говорили про их сокращение. мы назвали деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. Например, обыкновенную дробь 30/54 можно сократить на 6 (то есть, разделить на 6 ее числитель и знаменатель), что приведет нас к дроби 5/9 .

Под сокращением алгебраической дроби понимают аналогичное действие. Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Но если общим множителем числителя и знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть многочлен , в частности, одночлен или число.

Например, алгебраическую дробь можно сократить на число 3 , что даст дробь . Также можно выполнить сокращение на переменную x , что приведет к выражению . Исходную алгебраическую дробь можно подвергнуть сокращению на одночлен 3·x , а также на любой из многочленов x+2·y , 3·x+6·y , x 2 +2·x·y или 3·x 2 +6·x·y .

Конечная цель сокращения алгебраической дроби состоит в получении дроби более простого вида, в лучшем случае – несократимой дроби.

Любая ли алгебраическая дробь подлежит сокращению?

Нам известно, что обыкновенные дроби подразделяются на . Несократимые дроби не имеют отличных от единицы общих множителей в числителе и знаменателе, следовательно, не подлежат сокращению.

Алгебраические дроби также могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь. При наличии общих множителей возможно сокращение алгебраической дроби. Если же общих множителей нет, то упрощение алгебраической дроби посредством ее сокращения невозможно.

В общем случае по внешнему виду алгебраической дроби достаточно сложно определить, возможно ли выполнить ее сокращение. Несомненно, в некоторых случаях общие множители числителя и знаменателя очевидны. Например, хорошо видно, что числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий множитель 3 . Также несложно заметить, что алгебраическую дробь можно сократить на x , на y или сразу на x·y . Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет. К примеру, дробь возможно сократить на x−1 , но этот общий множитель явно не присутствует в записи. А алгебраическую дробь сократить невозможно, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Вообще, вопрос о сократимости алгебраической дроби очень непростой. И порой проще решить задачу, работая с алгебраической дробью в исходном виде, чем выяснить, можно ли эту дробь предварительно сократить. Но все же существуют преобразования, которые в некоторых случаях позволяют с относительно небольшими усилиями найти общие множители числителя и знаменателя, если таковые имеются, либо сделать вывод о несократимости исходной алгебраической дроби. Эта информация будет раскрыта в следующем пункте.

Правило сокращения алгебраических дробей

Информация предыдущих пунктов позволяет естественным образом воспринять следующее правило сокращения алгебраических дробей , которое состоит из двух шагов:

сначала находятся общие множители числителя и знаменателя исходной дроби;
если таковые имеются, то проводится сокращение на эти множители.

Указанные шаги озвученного правила нуждаются в разъяснении.

Самый удобный способ отыскания общих заключается в разложении на множители многочленов , находящихся в числителе и знаменателе исходной алгебраической дроби. При этом сразу становятся видны общие множители числителя и знаменателя, либо становится видно, что общих множителей нет.

Если общих множителей нет, то можно делать вывод о несократимости алгебраической дроби. Если же общие множители обнаружены, то на втором шаге они сокращаются. В результате получается новая дробь более простого вида.

В основе правила сокращения алгебраических дробей лежит основное свойство алгебраической дроби , которое выражается равенством , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c – ненулевые. На первом шаге исходная алгебраическая дробь приводится к виду , из которого становится виден общий множитель c , а на втором шаге выполняется сокращение – переход к дроби .

Переходим к решению примеров с использованием данного правила. На них мы и разберем все возможные нюансы, возникающие при разложении числителя и знаменателя алгебраической дроби на множители и последующем сокращении.

Характерные примеры

Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например,
и т.п.

Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби , после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, . Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться . В этом случае решение выглядело бы так: , здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 2 2 ·3 . Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде .

По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами.

Пример.

Сократите алгебраическую дробь .

Решение.

Можно представить числитель и знаменатель исходной алгебраической дроби в виде произведения простых множителей и переменных, после чего провести сокращение:

Но более рационально решение записать в виде выражения со степенями:

Ответ:

Что касается сокращения алгебраических дробей, имеющих дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе, то можно поступать двояко: либо отдельно выполнять деление этих дробных коэффициентов, либо предварительно избавляться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некоторое натуральное число. Про последнее преобразование мы говорили в статье приведение алгебраической дроби к новому знаменателю , его можно проводить в силу основного свойства алгебраической дроби. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Выполните сокращение дроби .

Решение.

Можно сократить дробь следующим образом: .

А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10 . В этом случае имеем .

Ответ:

Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.

При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель алгебраической дроби разложить на множители.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Для этого разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с вынесения за скобки: . Очевидно, выражения в скобках можно преобразовать, используя

Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от единицы, называют сокращением дроби .

Чтобы сократить обыкновенную дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

Это число является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя данной дроби.

Возможны следующие формы записи решения примеров на сокращение обыкновенных дробей.

Учащийся вправе выбрать любую форму записи.

Примеры. Упростить дроби.

Сократим дробь на 3 (делим числитель на 3;

делим знаменатель на 3).

Сокращаем дробь на 7.

Выполняем указанные действия в числителе и знаменателе дроби.

Полученную дробь сокращаем на 5.

Сократим данную дробь 4) на 5·7³ — наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который состоит из общих множителей числителя и знаменателя, взятых в степени с наименьшим показателем.

Разложим числитель и знаменатель этой дроби на простые множители.

Получаем: 756=2²·3³·7 и 1176=2³·3·7² .

Определяем НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя дроби 5) .

Это произведение общих множителей, взятых с наименьшими показателями.

НОД(756; 1176)=2²·3·7 .

Делим числитель и знаменатель данной дроби на их НОД, т. е. на 2²·3·7 получаем несократимую дробь 9/14 .

А можно было записать разложения числителя и знаменателя в виде произведения простых множителей, не применяя понятие степени, а затем произвести сокращение дроби, зачеркивая одинаковые множители в числителе и знаменателе. Когда одинаковых множителей не останется — перемножаем оставшиеся множители отдельно в числителе и отдельно в знаменателе и выписываем получившуюся дробь 9/14 .

И, наконец, можно было сокращать данную дробь 5) постепенно, применяя признаки деления чисел и к числителю и к знаменателю дроби. Рассуждаем так: числа 756 и 1176 оканчиваются четной цифрой, значит, оба делятся на 2 . Сокращаем дробь на 2 . Числитель и знаменатель новой дроби — числа 378 и 588 также делятся на 2 . Сокращаем дробь на 2 . Замечаем, что число 294 — четное, а 189 — нечетное, и сокращение на 2 уже невозможно. Проверим признак делимости чисел 189 и 294 на 3 .

(1+8+9)=18 делится на 3 и (2+9+4)=15 делится на 3, следовательно, и сами числа 189 и 294 делятся на 3 . Сокращаем дробь на 3 . Далее, 63 делится на 3, а 98 — нет. Перебираем другие простые множители. Оба числа делятся на 7 . Сокращаем дробь на 7 и получаем несократимую дробь 9/14 .

Сокращение дробей в n степени. Сокращение дробей

На первый взгляд алгебраические дроби кажутся очень сложными, и неподготовленный учащийся может подумать, что с ними невозможно ничего сделать. Нагромождение переменных, чисел и даже степеней навевает страх. Тем не менее, для сокращения обычных (например, 15/25) и алгебраических дробей используются одни и те же правила.

Шаги

Сокращение дробей

Ознакомьтесь с действиями с простыми дробями. Операции с обычными и алгебраическими дробями аналогичны. К примеру, возьмем дробь 15/35. Чтобы упростить эту дробь, следует найти общий делитель . Оба числа делятся на пять, поэтому мы можем выделить 5 в числителе и знаменателе:

→

5 * 3

35 → 5 * 7

Теперь можно сократить общие множители , то есть вычеркнуть 5 в числителе и знаменателе. В результате получаем упрощенную дробь 3/7 . В алгебраических выражениях общие множители выделяются точно так же, как и в обычных. В предыдущем примере мы смогли легко выделить 5 из 15 — тот же принцип применим и к более сложным выражениям, таким как 15x – 5. Найдем общий множитель. В данном случае это будет 5, так как оба члена (15x и -5) делятся на 5. Как и ранее, выделим общий множитель и перенесем его влево .

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Чтобы проверить, все ли правильно, достаточно умножить на 5 стоящее в скобках выражение — в результате получатся те же числа, что были сначала. Сложные члены можно выделять точно так же, как и простые. Для алгебраических дробей применимы те же принципы, что и для обычных. Это наиболее простой способ сократить дробь. Рассмотрим следующую дробь:

(x+2)(x-3)

(x+2)(x+10)

Отметим, что и в числителе (сверху), и в знаменателе (снизу) присутствует член (x+2), поэтому его можно сократить так же, как общий множитель 5 в дроби 15/35:

(x+2) (x-3)

→

(x-3)

(x+2) (x+10) → (x+10)

В результате получаем упрощенное выражение: (x-3)/(x+10)

Сокращение алгебраических дробей

Найдите общий множитель в числителе, то есть в верхней части дроби. При сокращении алгебраической дроби первым делом следует упростить обе ее части. Начните с числителя и постарайтесь разложить его на как можно большее число множителей. Рассмотрим в данном разделе следующую дробь:

9x-3

15x+6

Начнем с числителя: 9x – 3. Для 9x и -3 общим множителем является число 3. Вынесем 3 за скобки, как это делается с обычными числами: 3 * (3x-1). В результате данного преобразования получится следующая дробь:

3(3x-1)

15x+6

Найдите общий множитель в числителе. Продолжим выполнение приведенного выше примера и выпишем знаменатель: 15x+6. Как и раньше, найдем, на какое число делятся обе части. И в этом случае общим множителем является 3, так что можно записать: 3 * (5x +2). Перепишем дробь в следующем виде:

3(3x-1)

3(5x+2)

Сократите одинаковые члены. На этом шаге можно упростить дробь. Сократите одинаковые члены в числителе и знаменателе. В нашем примере это число 3.

3 (3x-1)

→

(3x-1)

3 (5x+2) → (5x+2)

Определите, что дробь имеет простейший вид. Дробь полностью упрощена в том случае, когда в числителе и знаменателе не осталось общих множителей. Учтите, что нельзя сокращать те члены, которые стоят внутри скобок — в приведенном примере нет возможности выделить x из 3x и 5x, поскольку полными членами являются (3x -1) и (5x + 2). Таким образом, дробь не поддается дальнейшему упрощению, и окончательный ответ выглядит следующим образом:

(3x-1) (5x+2)

Потренируйтесь сокращать дроби самостоятельно. Лучший способ усвоить метод заключается в самостоятельном решении задач. Под примерами приведены правильные ответы.

4(x+2)(x-13)

(4x+8)

Ответ: (x=13)

2x 2 -x

Ответ: (2x-1)/5

Специальные приемы

Вынесите отрицательный знак за пределы дроби. Предположим, дана следующая дробь:

3(x-4)

5(4-x)

Заметьте, что (x-4) и (4-x) “почти” идентичны, но их нельзя сократить сразу, поскольку они “перевернуты”. Тем не менее, (x — 4) можно записать как -1 * (4 — x), подобно тому как (4 + 2x) можно переписать в виде 2 * (2 + x). Это называется “переменой знака”.

-1 * 3(4-x)

5(4-x)

Теперь можно сократить одинаковые члены (4-x):

-1 * 3 (4-x)

5 (4-x)

Итак, получаем окончательный ответ: -3/5 . Научитесь распознавать разницу квадратов. Разница квадратов — это когда квадрат одного числа вычитается из квадрата другого числа, как в выражении (a 2 — b 2). Разницу полных квадратов всегда можно разложить на две части — сумму и разницу соответствующих квадратных корней. Тогда выражение примет следующий вид:

A 2 — b 2 = (a+b)(a-b)

Этот прием очень полезен при поиске общих членов в алгебраических дробях.

Проверьте, правильно ли вы разложили то или иное выражение на множители. Для этого перемножьте множители — в результате должно получиться то же самое выражение.
Чтобы полностью упростить дробь, всегда выделяйте наибольшие множители.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.

Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?

Виды дробей. Преобразования.

Дроби бывают трёх видов.

1. Обыкновенные дроби , например:

Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее — знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает…), скажите себе с выражением фразу: «Ззззз апомни! Ззззз наменатель — вниззззз у!» Глядишь, всё и ззззапомнится.)

Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления — две точки.

Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби «32/8» гораздо приятнее написать число «4». Т.е. 32 просто поделить на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я уж и не говорю про дробь «4/1». Которая тоже просто «4». А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

2. Десятичные дроби , например:

Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания «В».

3. Смешанные числа , например:

Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните… На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !

Основное свойство дроби.

Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:

Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.

А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но… человек — существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.

Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .

Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

Например, надо упростить выражение:

Тут и думать нечего, зачеркиваем букву «а» сверху и двойку снизу! Получаем:

Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на «а». Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть «а» в выражении

и получить снова

Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на «а» уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!

Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё… пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?

Как переводить дроби из одного вида в другой.

С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

А если целых — не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель — то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .

А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела «В» получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются…

Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т. е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно…)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.

Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000… Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333… Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !

Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе «В» в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.

Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками… Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:

Спокойно, без паники соображаем. Целая часть — это 1. Единица. Дробная часть — 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части — 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратная операция — перевод неправильной дроби в смешанное число — в старших классах редко требуется. Ну если уж… И если Вы — не в старших классах — можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.

Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !

Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм… злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?

0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

Подведём итоги этого урока.

1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.

3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное — перейти к обыкновенным дробям.

Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):

На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего…) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил… Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Это число является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя данной дроби.

Возможны следующие формы записи решения примеров на сокращение обыкновенных дробей.

Учащийся вправе выбрать любую форму записи.

Примеры. Упростить дроби.

Сократим дробь на 3 (делим числитель на 3;

делим знаменатель на 3).

Сокращаем дробь на 7.

Выполняем указанные действия в числителе и знаменателе дроби.

Полученную дробь сокращаем на 5.

Разложим числитель и знаменатель этой дроби на простые множители.

Получаем: 756=2²·3³·7 и 1176=2³·3·7² .

Определяем НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя дроби 5) .

Это произведение общих множителей, взятых с наименьшими показателями.

НОД(756; 1176)=2²·3·7 .

Делим числитель и знаменатель данной дроби на их НОД, т. е. на 2²·3·7 получаем несократимую дробь 9/14 .

Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое «сокращение дробей»

Сократить дробь

Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.

В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.

К примеру, возьмем обыкновенную дробь 6 24 и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на 2 , в результате чего получим 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . В этом примере мы сократили исходную дробь на 2 .

Приведение дробей к несократимому виду

В предыдущем примере мы сократили дробь 6 24 на 2 , в результате чего получили дробь 3 12 . Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду?

Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.

a b = a ÷ Н О Д (a , b) b ÷ Н О Д (a , b)

Приведение дроби к несократимому виду

Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

Вернемся к дроби 6 24 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 6 и 24 равен 6 . Сократим дробь:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

Правило сокращения дробей

Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

Правило сокращения дробей

Чтобы сократить дробь нужно:

Найти НОД числителя и знаменателя.
Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

Рассмотрим практические примеры.

Пример 1. Сократим дробь.

Дана дробь 182 195 . Сократим ее.

Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.

195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д (182 , 195) = 13

Разделим числитель и знаменатель на 13 . Получим:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.

Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.

Пример 2. Сократим дробь

Дана дробь 360 2940 . Сократим ее.

Для этого представим исходную дробь в виде:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49

Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.

Пример 3. Сократим дробь

Сократим дробь 2000 4400 .

Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100 . Сокращаем дробь на 100 и получаем:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

Козырьки и навесы. Наружные и внутренние лестницы. Комплектующие

Yandex.RTB R-A-339285-1

Смысл сокращения алгебраической дроби

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Определение 1

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Характерные примеры

5 5 = 1 ; — 2 3 — 2 3 = 1 ; x x = 1 ; — 3 , 2 · x 3 — 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x — x 2 · y 1 2 · x — x 2 · y ;

К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 — 2 3 2 — 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

Пример 1

Задана алгебраическая дробь — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

Ответ: — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 9 · a 3 2 · c 6

Пример 2

Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Пример 3

Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49)

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7)

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · (a + 7) . Произведем сокращение:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a — 7) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b — 7 · b .

Пример 4

Решение

1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2

x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · — 2 7 · — 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 1 5 · 3 1 2 = = — 2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10 = — 2 7 · x 5 = — 2 35 · x

Ответ: 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = — 2 35 · x .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки. А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики . Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.

Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:

Задача. Морская свинья ест 150 грамм корма в день. Но она выросла и стала есть на 20% больше. Сколько грамм корма теперь ест свинья?

Неправильное решение. Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:

Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:

Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.

Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т.е. на 2000%.

Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:

Сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя!

Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.

Работа с пропорциями

Еще одно проблемное место — пропорции . Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:

Задача. Решите уравнение:

Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m :

Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.

А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение . Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:

Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться. Вспомним правило работы с уравнениями:

Любое уравнение можно делить и умножать на любое число, отличное от нуля .

Просекли фишку? Можно делить только на числа, отличные от нуля . В частности, можно делить на переменную m , только если m != 0. А что делать, если все-таки m = 0? Подставим и проверим:

Получили верное числовое равенство, т.е. m = 0 — корень уравнения. Для остальных m != 0 получаем выражение вида 1/4 = 1/5, что, естественно, неверно. Таким образом, не существует корней, отличных от нуля.

Выводы: собираем все вместе

Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:

Сокращать можно только множители. Слагаемые — нельзя. Поэтому учитесь раскладывать числитель и знаменатель на множители;
Основное свойство пропорции: произведение крайних элементов равно произведению средних;
Уравнения можно умножать и делить только на числа k , отличные от нуля. Случай k = 0 надо проверять отдельно.

Помните эти правила и не допускайте ошибок.

Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.

Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.

К этому же ответу можем прийти другим путем.

И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.

И еще один вариант решения.

В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.

Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру. Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.

Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.

Базовые знания

Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.

Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.

Правила сокращения обыкновенных дробей

Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот. Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.

Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.

Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.

Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?

Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.

Для этого потребуется выполнить несколько действий. Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.

Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.

Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.

Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.

Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.

Последовательность действий с дробями со степенями

Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними. Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.

Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.

Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.

Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3 2) 2 , то сокращение пройдет успешно.

Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления. В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком , и решение записывают в таком виде:
497: 4 = 124 (1 остаток).

Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 — делимое , 4 — делитель . Результат деления при делении с остатком называют неполным частным . В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, — остаток . В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело . Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.

Остаток всегда меньше делителя.

Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.

Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток.

Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.

Числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель.

Поскольку числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель, считают, что черта дроби означает действие деление . Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».

Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби $\frac{m}{n} $, где числитель m — делимое, а знаменатель п — делитель:
$m:n = \frac{m}{n} $

Верны следующие правила:

Чтобы получить дробь $\frac{m}{n} $, надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.

Чтобы получить дробь $\frac{m}{n} $, надо число m разделить на число n.

Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.

Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
$\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $

Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
$\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} $
Это свойство называют основным свойством дроби .

Два последних преобразования называют сокращением дроби .

Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю .

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь $\frac{3}{4} $ означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, $\frac{5}{5} $ или $\frac{8}{5} $? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .

Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.

Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .

Например:
$5:3 = 1\frac{2}{3} $ : 1 — целая часть, а $\frac{2}{3} $ — дробная часть.

Если числитель дроби $\frac{a}{b} $ делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель разделить на это число:
$\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} $

Если числитель дроби $\frac{a}{b} $ не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её знаменатель умножить на это число:
$\large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} $

Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.

Действия с дробями. Сложение дробей.

С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму $\frac{2}{7} $ и $\frac{3}{7} $. Легко понять, что $\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} $

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
$\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $

Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
$\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} $

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение смешанных дробей

Такие записи, как $2\frac{2}{3} $, называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число $\frac{2}{3} $ — ее дробной частью . Запись $2\frac{2}{3} $ читают так: «две и две трети».

При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: $\frac{8}{3} $ и $2\frac{2}{3} $. Они выражают одно и то же дробное число, т.е $\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} $

Таким образом, неправильная дробь $\frac{8}{3} $ представлена в виде смешанной дроби $2\frac{2}{3} $. В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть .

Вычитание дробей (дробных чисел)

Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
$\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} $ так как $\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} $

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

С помощью букв это правило записывается так:
$\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем.

С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
$\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $

Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь — в виде неправильной дроби.

Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.

Деление дробей

Возьмем дробь $\frac{2}{3} $ и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь $\frac{3}{2} $. Эту дробь называют обратной дроби $\frac{2}{3} $.

Если мы теперь «перевернем» дробь $\frac{3}{2} $, то получим исходную дробь $\frac{2}{3} $. Поэтому такие дроби, как $\frac{2}{3} $ и $\frac{3}{2} $ называют взаимно обратными .

Взаимно обратными являются, например, дроби $\frac{6}{5} $ и $\frac{5}{6} $, $\frac{7}{18} $ и $\frac{18}{7} $.

С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: $\frac{a}{b} $ и $\frac{b}{a} $

Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 . Например: $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 $

Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.

Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Используя буквы, правило деления дробей можно записать так:
$\large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $

Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.

Что такое недопустимая алгебраическая дробь. Как решать алгебраические дроби? Теория и практика. Умножение и деление алгебраических дробей

Тема: Повторение курса алгебры 8-ого класса

Урок: Алгебраические дроби

Для начала давайте вспомним, что же такое алгебраические дроби. Алгебраической дробью называют выражение вида , где — многочлены, — числитель, — знаменатель.

Поскольку — многочлены, то необходимо иметь в виду стандартные действия, возможные с многочленами, а именно: приведение к стандартному виду, разложение на множители, а также сокращение числителя и знаменателя.

Пример №1

Сократите дробь

Воспользуемся формулами сокращённого умножения для квадрата суммы и разности квадратов.

Комментарии: вначале мы разложили дробь на множители с помощью формул сокращённого умножения, а дальше воспользовались одним из основных свойств дроби: и числитель, и знаменатель алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен, в том числе число, который не равен 0. Таким образом получается, что мы и числитель, и знаменатель разделили на многочлен , поэтому обязательно необходимо учесть, что этот многочлен не равен 0, т. е. .

Пример №2

Из условия нам пока не ясно, какая связь между этими двумя функциями. Для этого нам необходимо упростить первую из них методом разложения на множители.

однако необходимо не забыть про условие сокращения дроби, т. е. про то, что

После всех сокращений мы получаем, что

лишь с тем отличием, что .

Построим график двух функций.

Мы видим яркое различие этих двух графиков: по сути они одинаковы, но на первом графике нам необходимо выколоть точку с координатой (1;0), поскольку эта точна не входит в ОДЗ первой функции.

Итого, мы с вами рассмотрели, что такое дробь, решили пару примеров о том, как важно следить за областью определения (областью допустимых значений), т. е. за теми значениями, которые может принимать .

Теперь перейдём к вопросу, какие действия можно производить с алгебраическими дроями, помимо тех, которые уже были упомянуты выше.

Естественно, алгебраические дроби, как и арифметические дроби, можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень, получая при этом рациональные алгебраические выражения (такие выражения, которые составлены из чисел, переменных с помощью арифметических операций и возведения в натуральную степень ). После определённых упрощений подобные выражения сводятся к дробям, для которых исходными выражениями также являются алгебраические дроби.

Список действий / условий, с которыми можно столкнуться, решая задачи на алгебраические дроби:

Упростить рациональные выражения

Доказать тождества

Решать рациональное уравнение

Упростить/вычислить дробь

Пример №3

Решить простейшее рациональное уравнение

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0. В нашем случае знаменатель равен . Значит, решение дроби сводится к линейному уравнению

Пример №4

Решить уравнение

В первую очередь попытаемся сократить дробь

При условии, что .

Поскольку мы уже упростили дробь в левой части исходного уравнения, то можем подставить новое значение и решить уравнение.

Теперь давайте попробуем выделить полный квадрат из полученного квадратного уравнения

Воспользуемся формулой сокращённого умножения для разности квадратов

Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. К тому же не забываем, что в начале у нас появилось условие существования нашего выражения в виде . Запишем же систему уравнений.

=> => Мы видим, что противоречит нашему условию, что , поэтому у нас остаётся только один ответ .

Итак, посмотрим на особенности, которые имеет решённый нами выше пример:

1. Числитель с разностью кубов и знаменатель желательно сократить сразу, поскольку это возможно в данном случае и сильно упростит дальнейшее решение уравнения, однако обязательно нужно помнить о том, что знаменатель дроби не может равняться, 0 и записать это условие.

2. Приведя дробь к квадратному уравнению, мы вспомнили один из методов решения квадратных уравнений — метод выделения полного квадрата.

Мы с вами на данном уроке вспомнили, что такое алгебраическая дробь, какие действия необходимо производить с числителем и знаменателем при решении таких дробей, какие действия в общем можно производить с дробями такого вида и решили несколько простых задач.

Список литературы

Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. — М.: Просвещение, 2004.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. — М.: Просвещение, 2010.
Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2006.

Вся элементарная математика ().
Школьный помощник ().
Интернет-портал Testmath.com.ua ().

Домашнее задание

Понятие алгебраической дроби

Основное правило обыкновенных дробей

Математические операции с дробями

Нахождение НОД для обеих частей дроби.
Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предшествующей.

Несколько примеров с решениями

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и расссмотрения практической вопросов больше возникнуть не должно.

В этой статье мы рассмотрим основные действия с алгебраическими дробями :

сокращение дробей
умножение дробей
деление дробей

Начнем с сокращения алгебраических дробей .

Казалось бы, алгоритм очевиден.

Чтобы сократить алгебраические дроби , нужно

1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители.

2. Сократить одинаковые множители.

Однако, школьники часто делают ошибку, «сокращая» не множители, а слагаемые. Например, есть любители, которые в дроби «сокращают» на и получают в результате , что, разумеется, неверно.

Рассмотрим примеры:

1. Сократить дробь:

1. Разложим на множители числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель по формуле разности квадратов

2. Разделим числитель и знаменатель на

2. Сократить дробь:

1. Разложим на множители числитель. Так как числитель содержит четыре слагаемых, применим группировку.

2. Разложим на множители знаменатель. Так же применим группировку.

3. Запишем дробь, которая у нас получилась и сократим одинаковые множители:

Умножение алгебраических дробей.

При умножении алгебраических дробей мы числитель умножаем на числитель, а знаменатель умножаем на знаменатель.

Важно! Не нужно торопиться выполнять умножение в числителе и знаменателе дроби. После того, как мы записали в числителе произведение числителей дробей, а в знаменателе — произведение знаменателей, нужно разложить на множители каждый множитель и сократить дробь.

Рассмотрим примеры:

3. Упростите выражение:

1. Запишем произведение дробей: в числителе произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей:

2. Разложим каждую скобку на множители:

Теперь нам нужно сократить одинаковые множители. Заметим, что выражения и отличаются только знаком: и в результате деления первого выражения на второе получим -1.

Итак,

Деление алгебраических дробей мы выполняем по такому правилу:

То есть чтобы разделить на дробь, нужно умножить на «перевернутую».

Мы видим, что деление дробей сводится к умножению, а умножение, в конечном итоге, сводится к сокращению дробей.

Рассмотрим пример:

4. Упростите выражение:

WikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 9 человек(а).

Шаги

Сокращение дробей

→

5 * 3

35 → 5 * 7

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

(x+2)(x-3)

(x+2)(x+10)

(x+2) (x-3)

→

(x-3)

(x+2) (x+10) → (x+10)

В результате получаем упрощенное выражение: (x-3)/(x+10)

Сокращение алгебраических дробей

9x-3

15x+6

3(3x-1)

15x+6

3(3x-1)

3(5x+2)

3 (3x-1)

→

(3x-1)

3 (5x+2) → (5x+2)

(3x-1)

(5x+2)

4(x+2)(x-13)

(4x+8)

Ответ: (x=13)

2x 2 -x

Ответ: (2x-1)/5

Специальные приемы

Вынесите отрицательный знак за пределы дроби. Предположим, дана следующая дробь:

3(x-4)

5(4-x)

-1 * 3(4-x)

5(4-x)

Теперь можно сократить одинаковые члены (4-x):

-1 * 3 (4-x)

5 (4-x)

A 2 — b 2 = (a+b)(a-b)

Этот прием очень полезен при поиске общих членов в алгебраических дробях.

Проверьте, правильно ли вы разложили то или иное выражение на множители. Для этого перемножьте множители — в результате должно получиться то же самое выражение.
Чтобы полностью упростить дробь, всегда выделяйте наибольшие множители.

Виды выражений из алгебры могут принимать вид рациональных дробей, которые характерны тождественным преобразованиям этих дробей. Чаще всего можно встретить еще одно название алгебраические дроби. Таким образом, понятия рациональных и алгебраических дробей равнозначны.

Рассмотрим приведение рациональной дроби к новому знаменателю, смене знаков, сокращению. Подробно остановимся на преобразовании дробей в виде суммы с несколькими показателями. В заключении приведем несколько примеров, в которых подробно рассмотрим решения.

Определение и примеры рациональных дробей

Определение 1

Рациональная дробь – это дробь,в числителе и знаменателе которой, имеются многочлены с натуральными, целыми и рациональными коэффициентами.

Многочлены могут быть приведены в нестандартном виде, что говорит о том, что необходимы дополнительные преобразования.

Рассмотрим примеры рациональных дробей.

Пример 1

2 a 2 · b — b , x + 2 , 3 · x + 2 2 3 · x 2 · y · z x 2 + y 2 + z 2 , х 8 , 1 4 · x 2 — 3 · x + 1 2 · x + 3 считаются рациональными дробями.

А 5 · (x + y) · y 2 — x 4 · y и a b — b a 3 + 1 a + 1 a 2 не являются таковыми, так как не имеют выражений с многочленами.

Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби

Числитель и знаменатель считаются самодостаточными числовыми выражениями. Отсюда следует, что с ними можно производить различные преобразования, то есть в числителе или знаменателе разрешено заменять на тождественное равное ему выражение.

Чтобы провести тождественные преобразования, необходимо группировать и приводить подобные слагаемые, причем знаменатель заменять на более простое подобное ему выражение. Числители и знаменатели содержат многочлены, значит, что с ними можно производить преобразования, подобные для многочленов. Это могут быть и приведения к стандартному виду или представление в виде произведения.

Пример 2

Преобразовать 3 · a — a · b — 2 · b · 5 6 · b + 2 3 7 · a · b a 3 · b 2 — 5 · a 2 · b + 3 · a · b — 15 таким образом, чтобы числитель получил стандартный вид многочлена, а знаменатель – их произведение.

Решение

Для начала необходимо привести к стандартному виду. Применим свойство степени, получим выражение вида

3 · a — a · b — 2 · b · 5 6 · b + 2 3 7 · a · b = 3 · a — a · b — 5 3 · b 2 + 2 3 7 · a · b = = 3 · a + — α · b + 2 3 7 · a · b — 5 3 · b 2 = 3 · a + 1 3 7 · a · b — 5 3 · b 2

Необходимо выполнить преобразования знаменателя. Представляем его в виде произведения, то есть раскладываем на многочлены. Для этого производим группировку первого и третьего слагаемых, а второго с четвертым. Общий множитель выносим за скобки и получаем выражение вида

a 3 · b 2 — 5 · a 2 · b + 3 · a · b — 15 = (a 3 · b 2 + 3 · a · b) + (- 5 · a 2 · b — 15) = = a · b · (a 2 · b + 3) — 5 · (a 2 · b + 3)

Видно, что полученное выражение имеет общий множитель, который и необходимо вынести за скобки, чтобы получить

a · b · (a 2 · b + 3) — 5 · (a 2 · b + 3) = a 2 · b + 3 · (a · b — 5)

Теперь подходим к произведению многочленов.

Проведя преобразования, получаем, что заданная дробь принимает вид 3 · a + 1 3 7 · a · b — 5 3 · b 2 a 2 · b + 3 · (a · b — 5) .

Ответ: 3 · a — a · b — 2 · b · 5 6 · b + 2 3 7 · a · b a 3 · b 2 — 5 · a 2 · b + 3 · a · b — 15 = 3 · a + 1 3 7 · a · b — 5 3 · b 2 a 2 · b + 3 · (a · b — 5) .

Данные преобразования необходимы для их использования в преобразованиях.

Приведение к новому знаменателю

При изучении обыкновенных дробей знакомимся с основным свойством дроби, которое говорит о том, что при умножении числителя и знаменателя на любое натуральное число, получаем равную предыдущей дробь. Данное свойство распространяется и на рациональные дроби: при умножении на ненулевой многочлен числитель и знаменатель, получим дробь, равную предыдущей.

Для любых многочленов a , b и c , где b и c являются ненулевыми, равенство вида a b = a · c b · c справедливо, тогда они являются тождеством. К примеру, x · y + 1 2 · x — 5 = (x · y + 1) · (x 2 + 3 · b 2) (2 · x — 5) · (x 2 + 3 · b 2) является справедливым для всей ОДЗ переменных x и y .

Отсюда следует то, что при решении необходимо воспользоваться приведением рациональной дроби к новому знаменателю.То есть ее умножение и числителя и знаменателя на ненулевой многочлен. В результате получим дробь, равную заданной.

Если рассмотреть такой пример рациональной дроби вида x — y 2 · x , то при приведении к новому знаменателю, получим новую, но равную предыдущей. Необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение x 2 + y , тогда имеем, что выражение x — y · x 2 + y 2 · x · (x 2 + y) при помощи преобразования примет вид рациональной дроби x 3 + x · y — x 2 · y — y 2 2 · x 3 + 2 · x · y . Такие приведения используются для сложения или вычитания дробей. Углубить знания можно в разделе приведения алгебраических дробей к новому знаменателю.

Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе

Основное свойство дроби применяется для того, чтобы можно было сменить знаки у членов дроби. Эти преобразования характерны для рациональных дробей.

Определение 2

При одновременном изменении знаков у числителя и знаменателя получаем дробь, равную заданной. Это утверждение запишем так — a — b = a b .

Рассмотрим пример.

Пример 3

Дробь вида — x — 2 x — y заменяют равной ей x + 2 y — x .

Определение 3

При работе с дробями можно менять знак только в числителе или только в знаменателе. При замене знака дроби, получаем тождественно равную дробь. Запишем это утверждение так:

a b = — — a b и a b = — a — b .

Доказательство

Для доказательства используется первое свойство. Получаем, что — — a b = — ((- a) : b) = (- 1) · (((- 1) · a) : b) = (- 1) · (- 1) · a: b = a: b = a b .

При помощи преобразований доказывается равенство вида a b = — a — b .

Пример 4

К примеру, x x — 1 заменяем — — x x — 1 или — x 1 — x .

Существуют два полезных равенства вида — a b = — a b и a — b = — a b . Отсюда замечаем, что при изменении знака в числителе или только в знаменателе, изменится знак дроби. Получаем, — 3 x 3 · y + z = — 3 x 3 · y + z и x + 3 — x + 5 = — x + 3 x — 5 .

Чаще всего такие преобразования подходят для дробно рациональных выражений и их преобразований.

Сокращение рациональных дробей

Основа преобразования – это свойство дроби. То есть применяется a · c b · c = a b , где имеем, что a , b и c являются некоторыми многочленами, где b и c – нулевые.

Пример 5

Сократить дробь 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 .

Решение

Заметим, что 2 является общим множителем, значит необходимо сократить на него выражение. Получим, что 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = x 2 · y 3 x · y 7 . Видно, что x 2 = x · x и y 7 = y 3 · y 4 , тогда x – это общий множитель. После сокращения получим, что x 2 · y 3 x · y 7 = (x · x) · y 3 x · (y 3 · y 4) = x y 4 . Сокращение выполняется последовательно, что позволяет получать точные ответы 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = (2 · x · y 3) · x (2 · x · y 3) · y 4 = x y 4 .

Ответ: 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = x y 4 .

Не всегда виден общий знаменатель при сокращении. Это и есть небольшая проблема. Не всегда это возможно увидеть сразу. Возможно, необходимо будет выполнить разложение числителя и знаменателя на множители. Это упростит решение. Подробно нюансы рассмотрены в теме сокращения алгебраических дробей.

При сокращении важно обратить внимание на то, что чаще всего необходимо раскладывать и числитель и знаменатель на множители.

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Если имеется несколько дробей, то преобразование производится особым образом. Такую рациональную дробь необходимо представить в виде выражения, где имеются одночлены.

Пример 6

К примеру, 3 · a 2 + a · b — 5 a + b = 3 · a 2 a + b + a · b a + b — 5 a + b .

Это основано на правиле сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Любая рациональная дробь представляется в виде суммы дробей разными способами. Запишем это в виде утверждения a b = c d + a b — c d . Если x · y — x x + 1 представлять в виде суммы дробей, тогда получаем выражения вида

x · y — x x + 1 = 1 x + x 2 · y — x 2 — x — 1 x 2 + x , x · y — x x + 1 = x x — 1 + x 2 · y — x · y — 2 x 2 x 2 — 1 и так далее.

В особую группу выделяют представления рациональных дробей с одной переменной. Когда показатель такой дроби больше или равен степени показателя знаменателя, тогда переходим к преобразованию суммы рационального выражения. То есть выполняется деления многочлена на многочлен.

Пример 7

Какие значения n являются целым числом дроби n 4 — 2 · n 3 + 4 · n — 5 n — 2 ?

Решение

Необходимо представить исходную дробь в виде суммы выражений и дроби. После деления числителя и знаменателя, получим выражение вида n 4 — 2 · n 3 + 4 · n — 5 n — 2 = n 3 + 4 + 3 n — 2 . Отсюда видно, что n 3 + 4 при любом n будет целым числом. А дробь 3 n — 2 принимает целые значения при n = 3 , n = 1 , n = 5 и n = − 1 .

Ответ: − 1 , 1 , 3 , 5 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Варенье из бузины: польза и вред

Узнать встретимся ли мы. Сонник дома солнца. Как правильно сформулировать вопрос в процессе гадания

На какие числа можно сокращать дроби.

Сокращение дробей. Что значит сократить дробь

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

Шаги

Сокращение дробей

→

5 * 3

35 → 5 * 7

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

(x+2)(x-3)

(x+2)(x+10)

(x+2) (x-3)

→

(x-3)

(x+2) (x+10) → (x+10)

В результате получаем упрощенное выражение: (x-3)/(x+10)

Сокращение алгебраических дробей

9x-3

15x+6

3(3x-1)

15x+6

3(3x-1)

3(5x+2)

3 (3x-1)

→

(3x-1)

3 (5x+2) → (5x+2)

(3x-1) (5x+2)

4(x+2)(x-13)

(4x+8)

Ответ: (x=13)

2x 2 -x

Ответ: (2x-1)/5

Специальные приемы

Вынесите отрицательный знак за пределы дроби. Предположим, дана следующая дробь:

3(x-4)

5(4-x)

-1 * 3(4-x)

5(4-x)

Теперь можно сократить одинаковые члены (4-x):

-1 * 3 (4-x)

5 (4-x)

A 2 — b 2 = (a+b)(a-b)

Этот прием очень полезен при поиске общих членов в алгебраических дробях.

Проверьте, правильно ли вы разложили то или иное выражение на множители. Для этого перемножьте множители — в результате должно получиться то же самое выражение.
Чтобы полностью упростить дробь, всегда выделяйте наибольшие множители.

Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.

Сокращение дробей, определение и формула.

Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?

Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно .

Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.

$\frac{p \times n}{q \times n}=\frac{p}{q}$

Рассмотрим пример:
Сократите дробь $\frac{9}{15}$

Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.

$\frac{9}{15}=\frac{3 \times 3}{5 \times 3}=\frac{3}{5} \times \color{red} {\frac{3}{3}}=\frac{3}{5} \times 1=\frac{3}{5}$

Ответ: после сокращения получили дробь $\frac{3}{5}$. По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.

$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$

Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.

Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.

Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.

Получите несократимую дробь $\frac{48}{136}$.

Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

$\frac{48}{136}=\frac{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 2 \times 3}{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 17}=\frac{\color{red} {6} \times 2 \times 3}{\color{red} {6} \times 17}=\frac{2 \times 3}{17}=\frac{6}{17}$

Правило сокращения дроби до несократимого вида.

Нужно найти наибольший общий делитель для числители и знаменателя.
Нужно поделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель в результате деления получить несократимую дробь.

Пример:
Сократите дробь $\frac{152}{168}$.

Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

$\frac{152}{168}=\frac{\color{red} {6} \times 19}{\color{red} {6} \times 21}=\frac{19}{21}$

Ответ: $\frac{19}{21}$ несократимая дробь.

Сокращение неправильной дроби.

Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.

Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь $\frac{44}{32}$.

Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.

$\frac{44}{32}=\frac{\color{red} {2 \times 2 } \times 11}{\color{red} {2 \times 2 } \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{8}$

Сокращение смешанных дробей.

Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.

Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь $2\frac{30}{45}$.

Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.

$2\frac{30}{45}=2\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3}}{3 \times \color{red} {5 \times 3}}=2\frac{2}{3}$

Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.

$2\frac{30}{45}=\frac{45 \times 2 + 30}{45}=\frac{120}{45}=\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3} \times 2 \times 2}{3 \times \color{red} {3 \times 5}}=\frac{2 \times 2 \times 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$

Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:

Вычислите выражение $\frac{50+20-10}{20}$ .

Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.

$\frac{50+\color{red} {20}-10}{\color{red} {20}}=\frac{60}{20}=\frac{3 \times 20}{20}=\frac{3}{1}=3$

На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь $\frac{100}{150}$.

Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

$\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{3 \times 50}=\frac{2}{3}$

Получили несократимую дробь $\frac{2}{3}$.

Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь $\frac{100}{150}$ на 2.

$\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{2 \times 75}=\frac{50}{75}$

Получили сократимую дробь $\frac{50}{75}$.

Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь $\frac{4}{8}$. У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.

Пример:
Сравните две дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{8}{12}$.

Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь $\frac{8}{12}$:

$\frac{8}{12}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{4}=\frac{2}{3} \times 1=\frac{2}{3}$

Отсюда получаем, $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) $\frac{90}{65}$ б) $\frac{27}{63}$ в) $\frac{17}{100}$ г) $\frac{100}{250}$

Решение:
а) $\frac{90}{65}=\frac{2 \times \color{red} {5} \times 3 \times 3}{\color{red} {5} \times 13}=\frac{2 \times 3 \times 3}{13}=\frac{18}{13}$
б) $\frac{27}{63}=\frac{\color{red} {3 \times 3} \times 3}{\color{red} {3 \times 3} \times 7}=\frac{3}{7}$
в) $\frac{17}{100}$ несократимая дробь
г) $\frac{100}{250}=\frac{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 2}{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 5}=\frac{2}{5}$

Это число является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя данной дроби.

Возможны следующие формы записи решения примеров на сокращение обыкновенных дробей.

Учащийся вправе выбрать любую форму записи.

Примеры. Упростить дроби.

Сократим дробь на 3 (делим числитель на 3;

делим знаменатель на 3).

Сокращаем дробь на 7.

Выполняем указанные действия в числителе и знаменателе дроби.

Полученную дробь сокращаем на 5.

Разложим числитель и знаменатель этой дроби на простые множители.

Получаем: 756=2²·3³·7 и 1176=2³·3·7² .

Определяем НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя дроби 5) .

Это произведение общих множителей, взятых с наименьшими показателями.

НОД(756; 1176)=2²·3·7 .

Делим числитель и знаменатель данной дроби на их НОД, т. е. на 2²·3·7 получаем несократимую дробь 9/14 .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое «сокращение дробей»

Сократить дробь

В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.

Приведение дробей к несократимому виду

a b = a ÷ Н О Д (a , b) b ÷ Н О Д (a , b)

Приведение дроби к несократимому виду

Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Правило сокращения дробей

Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

Правило сокращения дробей

Чтобы сократить дробь нужно:

Найти НОД числителя и знаменателя.
Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

Рассмотрим практические примеры.

Пример 1. Сократим дробь.

Дана дробь 182 195 . Сократим ее.

195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д (182 , 195) = 13

Разделим числитель и знаменатель на 13 . Получим:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.

Пример 2. Сократим дробь

Дана дробь 360 2940 . Сократим ее.

Для этого представим исходную дробь в виде:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49

Пример 3. Сократим дробь

Сократим дробь 2000 4400 .

Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100 . Сокращаем дробь на 100 и получаем:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Основное свойство алгебраических дробей

Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

Содержание статьи

1. Вынесение общего множителя за скобки

2. Сокращение на степени с одинаковым основанием

3. Использование формул сокращенного умножения

Замечание 1

Основное свойство дроби заключается в том, что числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен или число, отличное от $0$. 2}{2x(x-1)}=\frac{x}{x-1}\]

Пример 2

Сократить дробь $\frac{2а-4}{3а-6}$ .

Сократить данную дробь сразу ни на что нельзя, сначала необходимо разложить числитель и знаменатель дроби на множители и посмотреть, будут ли множители одинаковыми.

Рассмотрим числитель дроби и вынесем в нем общий множитель $2$:

\[2a-4=2(a-2)\]

Преобразуем знаменатель дроби путем вынесения общего множителя

\[3a-6=3(a-2)\]

Сократим искомую дробь на общий множитель, который является многочленом $a-2$

\[\frac{2a-4}{3a-6}=\frac{2(a-2)}{3(a-2)}=\frac{2}{3}\]

Также для упрощения алгебраических дробей часто удобно использовать еще одно свойство:

Если изменить знак числителя или знаменателя дроби, то для получения тождественного выражения необходимо изменить и знак перед дробью.

Пример 3

Сократить дробь $\frac{x-y}{y-x}$

Мы видим, что выражение, стоящее в знаменателе $(y-x)$, отличается от числителя $(x-y)$ только знаками, стоящими перед переменными. 2}{x(x-2)}=\frac{\left(x-2\right)(x-2)}{x(x-2)}=\frac{x-2}{x}\]

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29.04.2022

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Дробные показатели — правила, метод, упрощение, примеры

Если показатель степени числа является дробью, он называется дробным показателем . Экспоненты показывают, сколько раз число повторяется при умножении. Например, 4 ² = 4×4 = 16. Здесь показатель степени 2 — это целое число. В числе, скажем, x ^1/y , x — основание, а 1/y — дробный показатель степени.

В этой статье мы обсудим концепцию дробных показателей и их правила, а также узнаем, как их решать. Мы также изучим отрицательные дробные показатели и решим различные примеры для лучшего понимания концепции.

1.	Что такое дробные показатели?
2.	Правила дробных показателей
3.	Упрощение дробных показателей
4.	Отрицательные дробные показатели
5.	Часто задаваемые вопросы о дробных показателях

Что такое дробные показатели?

Дробные экспоненты — это способы совместного представления степеней и корней. В любом общем экспоненциальном выражении формы a ^b а является основанием, а b является показателем степени. Когда b дается в дробной форме, он известен как дробный показатель степени. Вот несколько примеров дробных показателей: 2 ^1/2 , 3 ^2/3 и т. д. Общая форма дробного показателя — x ^m/n , где x — основание, а m/n — показатель степени. .

Посмотрите на приведенный ниже рисунок, чтобы понять, как представлены дробные степени.

Ниже приведены некоторые примеры широко используемых дробных показателей:

Показатель степени	Имя показателя степени	Индикация
1/2	Квадратный корень	a ^1/2 = √a
1/3	Кубический корень	a ^1/3 = ³ √a
1/4	Четвертый корень	а ^1/4 = ⁴ √а

Правила дробных показателей

Существуют определенные правила, которые помогут нам легко умножать или делить числа с дробными показателями. Многие люди знакомы с целыми показателями, но когда дело доходит до дробных показателей, они в конечном итоге делают ошибки, которых можно избежать, если мы будем следовать этим правилам дробных показателей.

Правило 1: a ^1/m × a ^1/n = a ^{(1/m + 1/n)}
Правило 2: a ^1/м ÷ a ^1/n = a ^{(1/m — 1/n)}
Правило 3: a ^1/м × b ^1/м = (ab) ^1/м
Правило 4: a ^1/м ÷ b ^1/м = (a÷b) ^1/м
Правило 5: a ^-m/n = (1/a) ^п/п

Эти правила очень полезны при упрощении дробных показателей. Давайте теперь научимся упрощать дробные показатели.

Упрощение дробных показателей

Упрощение дробных показателей можно понять двумя способами: умножением и делением. Он включает в себя приведение выражения или показателя степени к сокращенной форме, которую легко понять. Например, 9 ^1/2 можно сократить до 3. Давайте разберемся с упрощением дробных показателей с помощью некоторых примеров.

1) Решите ³ √8 = 8 ^1/3

Мы знаем, что 8 можно представить в виде куба числа 2, который задается как 8 = 2 ³ . Подставляя значение 8 в данном примере, мы получаем (2 ³ ) ^1/3 = 2, так как произведение показателей дает 3×1/3=1. ∴ ³ √8=8 ^1/3 =2.

2) Упростить (64/125) ^2/3

В этом примере и основание, и показатель степени имеют дробную форму. 64 можно представить в виде куба 4, а 125 можно представить в виде куба 5. Они задаются как 64=4·9.0005 3 и 125=5 ³ . Подставляя их значения в данном примере, получаем, (4 ³ /5 ³ ) ^2/3 . 3 является общей степенью для обоих чисел, поэтому (4 ³ /5 ³ ) ^2/3 можно записать как ((4/5) ³ ) ^2/3 , что равно до (4/5) ² как 3×2/3=2. Теперь у нас есть (4/5) ² , что равно 16/25. Следовательно, (64/125) ^2/3 = 16/25.

Умножение дробных степеней с одинаковым основанием

Чтобы умножить дробные степени с одним и тем же основанием, мы должны сложить степени и записать сумму по общему основанию. Общее правило для умножения показателей с одинаковым основанием: ^1/m × ^1/n = a ^{(1/m + 1/n)} . Например, чтобы умножить 2 ^2/3 и 2 ^3/4 , мы должны сначала сложить показатели степени. Итак, 2/3 + 3/4 = 17/12. Следовательно, 2 ^2/3 × 2 ^3/4 = 2 ^17/12 .

Как делить дробные степени?

Деление дробных показателей можно разделить на два типа.

Деление дробных показателей с разными степенями, но одинаковыми основаниями
Деление дробных показателей с одинаковыми степенями, но разными основаниями

Когда мы делим дробные показатели с разными степенями, но одинаковыми основаниями, мы выражаем это как ^1/m ÷ a ^1/n = a ^{(1/m — 1/n)} . Здесь мы должны вычесть степени и записать разницу в общем основании. Например, 5 ^3/4 ÷ 5 ^1/2 = 5 ^(3/4-1/2) , что равно 5 ^1/4 .

Когда мы делим дробные степени с одинаковыми степенями, но разными основаниями, мы выражаем это как ^1/m ÷ b ^1/m = (a÷b) ^1/m . Здесь мы делим основания в заданной последовательности и записываем на ней общую степень. Например, 9 ^5/6 ÷ 3 ^5/6 = (9/3) ^5/6 , что равно 3 ^5/6 .

Отрицательные дробные показатели

Отрицательные дробные показатели аналогичны рациональным показателям. В этом случае наряду с дробным показателем степени стоит отрицательный знак степени. Например, 2 ^-1/2. Чтобы решить отрицательные показатели, мы должны применить правила показателей, которые говорят, что ^-m = 1/a ^m . Это означает, что перед дальнейшим упрощением выражения первым делом нужно взять обратную величину основания в данной степени без отрицательного знака. Общее правило для отрицательных дробных показателей — ^-м/н = (1/а) ^м/н .

Например, упростим 343 ^-1/3 . Здесь база 343 и мощность -1/3. Первый шаг состоит в том, чтобы взять обратную величину основания, которая равна 1/343, и удалить отрицательный знак из степени. Теперь у нас есть (1/343) ^1/3. Поскольку мы знаем, что 343 — это третья степень числа 7, поскольку 7 ³ = 343, мы можем переписать выражение как 1/(7 ³ ) ^1/3 . Поскольку 3 и 1/3 компенсируют друг друга, окончательный ответ равен 1/7.

Связанные статьи

Экспоненты
Нецелочисленные рациональные показатели
Иррациональные Показатели
Экспоненциальные члены
Отрицательные экспоненты

Часто задаваемые вопросы о дробных показателях

Что означают дробные показатели степени?

Дробные показатели степени означают, что степень числа выражена дробью, а не целым числом. Например, в ^м/н основание равно «а», а степень равна m/n, что является дробью.

Какое правило для дробных показателей?

В случае дробных показателей степени числитель равен степени, а знаменатель — корню. Это общее правило дробных показателей. Мы можем записать x ^m/n как ⁿ √(x ^m ).

Что делать с отрицательными дробными показателями?

Если показатель степени указан отрицательно, это означает, что мы должны взять обратное основание и удалить знак минус из степени. Например, 2 ^-1/2 = (1/2) ^1/2 .

Как решать дробные показатели?

Чтобы решить дробные показатели степени, мы используем законы показателей степени или правила степени. Правила дробных показателей приведены ниже:

Правило 1: a ^1/m × a ^1/n = a ^{(1/m + 1/n)}
Правило 2: a ^1/м ÷ a ^1/n = a ^{(1/m — 1/n)}
Правило 3: а ^1/м × b ^1/м = (ab) ^1/м
Правило 4: a ^1/м ÷ b ^1/м = (a÷b) ^1/м
Правило 5: a ^-m/n = (1/a) ^m/n

Как добавить дробные степени?

Нет правила сложения дробных степеней. Мы можем добавить их, только упростив полномочия, если это возможно. Например, 9 ^1/2 + 125 ^1/3 = 3 + 5 = 8,

Как делить дробные степени?

Деление дробных показателей с одинаковым основанием и разными степенями выполняется путем вычитания степеней, а деление с разными основаниями и одинаковыми степенями выполняется путем деления сначала оснований и написания общей степени в ответе.

Дробные показатели — Как решить рациональные показатели

Как решить дробные показатели.

Упрощение дробных показателей
Упрощение дробей с показателями
Отрицательные дробные показатели
Умножение дробных показателей
Деление дробных показателей
Добавление дробных показателей
Вычитание дробных показателей

Упрощение дробных показателей

Основание b в степени n/m равно:

b ^n/m = ( ^м √ б ) ⁿ = ^м √ (б ⁿ )

Пример:

Основание 2, возведенное в степень 3/2, равно 1, деленному на основание 2, возведенное в степень 3:

2 ^3/2 = ² √ (2 ³ ) = 2,828

Упрощение дробей с показателями

Дроби с показателями:

( a / b ) ⁿ = a ^{n ^{6
/ b ⁿ}}

Пример:

(4/3) ³ = 4 ³ / 3 ³ = 64 / 27 = 2,37

Отрицательные дробные показатели

Основание b в степени минус n/m равно 1 деленному на основание b в степени n/m:

b ^-н/м = 1 / b ^н/м = 1 / ( ^m √ b ) ⁿ

Пример:

Основание 2, возведенное в степень минус 1/2, равно 1, деленному на основание 2, возведенное в степень минус 1/2. 1/2:

2 ^-1/2 = 1/2 ^1/2 = 1/ √ 2 = 0,7071

Дроби с отрицательными показателями

Основание a/b, возведенное в степень минус n 1 разделить на основание a/b в степени n:

( a / b ) ^{— n} = 1 / ( a / b ) ⁿ = 1 / ( a ⁿ / b ⁿ ) = б ^н / a ⁿ

Пример:

Основание 2, возведенное в степень минус 3, равно 1, деленному на основание 2, возведенное в степень 3:

(2/3) ^-2 = 1 / (2/3) ² = 1 / (2 ² /3 ² ) = 3 ² /2 ² = 9/4 = 2,25

Умножение дробных показателей степени

^{с тем же дробным показателем:
а ^н/м ⋅ б ^Н/м = ( A ⋅ B ) ^N/M
Пример:
2 ^3/2 ⋅ 3 ^3/2 = (2 %) /2 = 6 ^3/2 = √ (6 ³) = √ 216 = 14,7
Умножение фракционных экспонентов с тем же основанием:
A ^N/M ⋅ A ^{K/J -j -j -n/m} ⋅ A ^{K/J -j -j -j -j -n/m} . а ^{^{(н/м) ^+(к/к)}}
Example:
2 ^3/2 ⋅ 2 ^4/3 = 2 ^{^{(3/2) ⁺ ^(4/3)}} = 7.127

Multiplying fractional exponents with different exponents and fractions:
a ^n/m ⋅ b ^k/j
Example:
2 ^3/2 ⋅ 3 ^{4/ 3} = √ (2 ³ ) ⋅ ³ √ (3 ⁴ ) = 2,828 ⋅ 4,327 = 12.237
Умножение дробей с показателями степени
Умножение дробей с показателями степени с одинаковым основанием:
( a / b ) ⁿ ⋅ ( 0 a / 0 B ) ^M = ( A/B ) ^N+M
Пример:
(4/3) ³ кор. /3) ³⁺² = (4/3) ⁵ = 4 ⁵ /3 ⁵ = 4,214
Умножения фракций с показателями с тем же показателем:}

( A / B ) ^N ac вно. C / D ) ^N = ( A / B ) ⋅ ( C / D )) ^N

Пример:

(4/3) ³9

(

(4/3) 3 69

(

(4/3) /5) ³ = ((4/3)⋅(3/5)) ³ = (4/5) ³ = 0,8 ³ = 0,8 порядка 0,8 порядка. D ) ^M

Пример:

(4/3) ³ (1/2) ² = 2,37 ⋅ 0,25 = 0,5925

Divident Fractional Exprence Exprence Exprence Exprence Divider Divident Divider Divident Divident Divident Divident Divident Dividive Divdired Divdired Divdired Dividive

22222. дробный показатель:

a ^n/m / b ^n/m = ( a / b ) ^n/m

Example:

3 ^3/2 / 2 ^{3 /2} = (3/2) ^3/2 = 1,5 ^3/2 = √ (1,5 ³ ) = √ 3,375 = 1,837

Деление дробных показателей с одинаковым основанием:

a ^n/m / a 0 k/j = ^{0 k/j A ^{^{(N/M) ^{— (K/J)}}}}

Пример:

2 ^3/2/2 ^4/3 = 2 ^{^{(3/2). ^{— (4/3)}}} = 2 ^{^(1/6)} = ⁶ √ 2 = 1,122

Разделительные добычи с различными экспонентами и фракциями:

^{77777777777777 гг.0460 / b ^k/j}

Пример:

2 ^3/2 / 3 ^4/3 = √ (2

6 3 9) /

³ √ (3 ⁴ ) = 2,828 / 4,327 = 0.654
Dividing fractions with exponents
Dividing fractions with exponents with same fraction base:
( a / b ) ⁿ / ( a / b ) ^m = ( a / b ) ^н-м
Пример:
(4/3) ³ / (4/3) ² = 6 0-5 3 9020 4/3) ¹ = 4/3 = 1,333
Разделительные фракции с показателями с тем же показателем:
( A / B ) ^N / ( C / D ) ^{7 ^{7 ^{7 ^{7 ^{7 ⁷}}}}}
60 / ( C / D ) ^{9000 9000 9000
60 / ( C / D )} / ( C / D ) = (( а / b )/( c / d )) ⁿ = (( a⋅d / b⋅c )) ⁿ

Пример:

(4/3) ³ / (3/5) ³ = ((4/3)/(3/5)) ³ = ((4⋅ 5)/(3⋅3)) ³ = (20/9) ³ = 10,97

Деление дробей с разными основаниями и показателями степени: / ( с / d ) ^m

Пример:

(4/3) ³ / (1/2) ² = 2,37/0,25 = 9,481

Добавление фракционных экспонентов

Добавление фракционных экспонентов выполняется сначала, а затем добавив:

A 9 + B ^K/J

99999999999999999999699999999999699969 + B ^{K/J
999999999999999999999999969} + B ^{K/J 9000
999999999999999999999960 + B ^{. :
3 ^3/2 + 2 ^5/2 = √(3 ³ ) + √(2 ⁵ )
= √(27) + √(32) = 5,196 + 5,657 = 10,853

Сложение тех же оснований b и показателей степени n/m:
b ^n/m + B ^N/M = 2 B ^N/M
Пример:
4 ^2/3 + 4 ^2/3 = 2 % ^2/3 =. 2 ⋅ ³ √(4 ² ) = 5,04
Вычитание дробных степеней
Вычитание дробных степеней выполняется путем сначала повышения каждой степени, а затем
вычитание:
a ^н/м — b ^к/дж
Пример:
3 ^3/2 — 2 ^5/2 = √(3 ³ )
— √(2 ⁵ ) = √(27) — √(32) = 5,196 — 5,657 =
-0,488
Вычитание одинаковых оснований B и экспоненты N/M:
3 B ^N/M — B ^N/M = 2 B ^N/M 999990 = 2 B ^N/M 99999999999960 = 2 B ^N/M
99999999999960 = 2 B ^N/M
999999999960 = 2 B ^{.
3⋅4 ^2/3 — 4 ^2/3 = 2⋅4 ^2/3 = 2 ⋅ ³ √(4 ² ) = 5,04

См. также
Экспоненты правил
Умножение показателей
Показатель степени деления
Дробные показатели степени: правила умножения и деления
Обновлено 08 декабря 2020 г.
Ли Джонсон
Обучение работе с показателями степени является неотъемлемой частью любого математического образования, но, к счастью, правила их умножения и деления соответствуют правилам для не дробных показателей. Первый шаг к пониманию того, как обращаться с дробными показателями, — это краткое изложение того, что они собой представляют, а затем вы можете посмотреть, как можно комбинировать показатели степени, когда они умножаются или делятся и имеют одно и то же основание. Короче говоря, вы складываете степени вместе при умножении и вычитаете один из другого при делении, при условии, что они имеют одно и то же основание.
TL;DR (слишком длинный; не читал)
Умножьте члены с показателями по общему правилу:
x ^a + x ^{4 ^{b 9000}} ^{( A + B )}
и делить с показателями с использованием правила:} x ^A ÷ x ^B 60 ÷ x ^495444460 ÷ x 6 4460 ÷ x 69954460 ÷ x 9 60 ÷ x 9 60 ÷ x 9 ÷ x 9 . = x ^{( a – b )}
Эти правила работают с любым выражением вместо a и b , даже с дробями.
Что такое дробные показатели?
Дробные показатели степени обеспечивают компактный и полезный способ выражения квадратных, кубических и более высоких корней. Знаменатель степени говорит вам, какой корень из «базового» числа представляет термин. В таком термине, как x ^a , вы называете x основанием, а a показателем степени. Таким образом, дробный показатель говорит вам: 94
Как делить экспоненты — ACT Math
Все ресурсы ACT Math
14 Диагностические тесты
767 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 Следующая →
ACT Math Help »
Алгебра »
Экспоненты »
Экспоненциальные операции »
Как делить степени
Упростить
Возможные ответы:
Ни один из ответов не является правильным
Правильный ответ:
Объяснение:
При работе с полиномами деление аналогично умножению на обратную величину. После умножения упростите. Правильный ответ для деления:

, а правильный ответ для умножения:
Сообщить об ошибке
Упрощение:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы просто поставить степень в дроби, вычтите показатель степени для каждой переменной в знаменателе из показателя степени в числителе. Это оставит вас с
или
Сообщить об ошибке
Каково значение m где:

Возможные ответы: ⁰⁹
-2
2
1
4
6
Правильный ответ:
2
Пояснение:
Если n=4, то 64 ^(4/12) =64 ^(1/3) =4. Тогда 4=m4 ^(1+m)/(m+4) . Если вместо м заменить 2, то 4=24 ^(1+2)/(2+4) =24 ^1/2 =2√4=22=4.

Сообщить об ошибке
Упростите следующее:
Возможные ответы:
нельзя сделать
1/x ⁴
x ^7/3
x ⁴
Правильный ответ:
99955559 4
4 .
Объяснение:
Эти показатели степени имеют одинаковое основание x, поэтому их можно разделить. Чтобы разделить их, вы берете значение показателя степени в числителе (верхний показатель степени) и вычитаете значение показателя степени знаменателя (нижний показатель степени). Здесь это означает, что мы берем 7 — 3, поэтому наш ответ x ⁴ .
Сообщить об ошибке
Упрощение:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Используйте правило умножения показателей степени, чтобы упростить числитель.
Используйте правило деления степени для упрощения.
Сообщить об ошибке
Упрощение:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Упростить:
Шаг 1: Упростите дробь. При делении степеней вычесть низшие степени из верхних.
Шаг 2: Распределите показатель степени. При возведении степени в степень умножьте их вместе.
Сообщить об ошибке
Упрощение
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Разделите коэффициенты и вычтите показатели степени.
Сообщить об ошибке
Что из следующего равно выражению , где
xyz ≠ 0?
Возможные ответы:
1/y
z/(xy)
xy
z
xyz
3 Правильный ответ: 0004
1/год
Объяснение:
(xy) ⁴ можно переписать как x ⁴ y ⁴ и z ⁰ = 1, потому что число в нулевой степени равно 1. После упрощения вы получите 1/y.
Отчет о ошибке
IF, затем
Возможные ответы:
Нельзя определить
Правильный ответ:
0009
Объяснение:
Начните с упрощения числителя и знаменателя по отдельности. В числителе (c ³ ) ² равно c ⁶ . В знаменателе c ² * c ⁴ равно c ⁶. Деление числителя на знаменатель c ⁶ /c ⁶ дает ответ 1, поскольку числитель и знаменатель эквивалентны.

Сообщить об ошибке
Если , что из следующего равно ?
Возможные ответы:
Ответ не может быть определен из приведенной выше информации
A ⁴
A ¹⁸
A ⁶
Правильный ответ:
99
.
. Правильный ответ:
99
.
. Правильный ответ:
. Правильный ответ:
. 18
Объяснение:
Числитель упрощается до (путем добавления показателей степени), затем результат кубируется. ²⁴ / ⁶ можно упростить до .
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы ACT Math
14 Диагностические тесты
767 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept
Как упростить дроби с помощью степеней — Android Consejos
Содержание
Можете ли вы сократить дроби с помощью степеней?
Чтобы упростить дробь со степенями в числителе и знаменателе, возможный метод состоит в том, чтобы разложить каждое основание степени на простые множители. С практикой это можно сделать напрямую, если основания небольшие числа.
Как упростить силы?
Это приводит к другому правилу для экспонент — Степенному правилу для экспонент. Чтобы упростить степень степени, вы умножаете показатели степени, сохраняя при этом основание. Например, (2 ³) ⁵ = 2 ¹⁵. Для любого положительного числа x и целых чисел a и b: (x ^a ) ^b = x ^a ^· ^b .
Чему равно 1 3 в степени 3 в виде дроби?
Ответ: 1/3 в степени 3 представляется как 1/27 в виде дроби.
Как упростить?
Чтобы упростить любое алгебраическое выражение, следуйте основным правилам и шагам: Удалите все символы группировки, такие как квадратные и круглые скобки, путем умножения на множители. Используйте правило экспоненты, чтобы удалить группировку, если термины содержат экспоненты. Соедините одинаковые термины сложением или вычитанием. Объедините константы.
Что такое правило частных для показателей степени?
Правило частных показателей степени При делении экспоненциальных выражений, имеющих одинаковое основание, вычтите показатели степени.
Что такое одинарная степень в математике?
Степень (или показатель степени) числа говорит, сколько раз использовать число при умножении. Он записывается в виде небольшого числа справа и над основным числом. В этом примере маленькая «2» говорит о том, что нужно использовать 8 два раза при умножении: 8 ² = 8 × 8 = 64.
Что значит упростить до?
сделать менее сложным или сложным; сделать проще или проще: упростить проблему.
В какой степени число 3 равно 1 на 3?
Таким образом, степень числа 3 равна -1.
<noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/lawyers-age.ru/wp-content/uploads/6/1/4/614df64aa751c842b8d24ff6d29abcba.jpeg' /></noscript> youtube.com/embed/N3Ihp6abCTk»> Сколько будет 3 в степени 3?
Таблицы экспонент и шаблоны Степени 3 Степени 9 33=27 93=729 34=81 94=6561 35=243 95=59 049 36=729 96=531 441.
Как упростить примеры?
Примеры упрощения Упростить: 78 – [24 – {16 (5 – 4 – 1)}] Решение: Упростить: 197 – [1/9{42 + (56 – 8 + 9)} +108] Решение: Упростить: 39 – [23 – {29 – (17 – 9 – 3)}] Решение: Упростить: (i) 15 – (-5) {4 – 7 – 3} ÷ [3{5 + (-3) x (-6)}] Решение:.
Как вы упрощаете жизнь?
5 способов упростить себе жизнь Наведите порядок в доме. Ваше окружение влияет на то, как вы себя чувствуете физически и психологически. Избавьтесь от вредных психических привычек. Плохие психические привычки имеют большое психологическое значение. Избавьтесь от токсичных людей. Возьмите на себя ответственность за свои деньги. Получите контроль над своим временем.
Что такое правило частных в алгебре?
Правило частных показателей степени позволяет нам упростить выражение, которое делит два числа с одинаковым основанием, но разными показателями степени. Другими словами, при делении экспоненциальных выражений с одинаковым основанием мы записываем результат с общим основанием и вычитаем показатели степени.
Какие правила пяти экспонент?
Каковы различные правила экспоненты? Произведение правила степеней. Правило отношения сил. Сила силового правила. Сила правила продукта. Сила частного правила. Правило нулевой мощности. Правило отрицательного показателя.
Как вы делаете частное?
Ответ после деления одного числа на другое. делимое ÷ делитель = частное. Пример: в 12 ÷ 3 = 4 частное 4.
Что такое правило нуля для показателей степени?
Правило нулевой степени: a ⁰ = 1, a не равно 0. Выражение 0 ⁰ неопределенно или не определено. В следующем примере, когда мы применяем правило произведения для показателей степени, мы получаем показатель степени, равный нулю.
Что такое правило показателей?
Степенное правило для экспонент: (a ^m ) ⁿ = a ^m ^* ⁿ . Чтобы возвести число с показателем степени в степень, умножьте показатель степени на степень. Правило отрицательного показателя степени: x ^– ⁿ = 1/x ⁿ . Инвертируйте основание, чтобы изменить отрицательную степень на положительную.
Как найти частное степеней?
При делении одинаковых членов с показателями степени используйте правило отношения степеней, чтобы упростить задачу. Это правило гласит, что когда вы делите термины с одинаковым основанием, просто вычтите их показатели степени, чтобы найти ответ. Суть в том, чтобы вычитать только те показатели степени, основания которых совпадают.
Как упростить нечетные числа?
Чтобы упростить неправильную дробь, вы должны превратить ее в смешанное число, которое включает в себя целое число и дробь вместе. Количество раз, которое вы можете разделить числитель на знаменатель без остатка, будет целым числом вашего смешанного числа. Запишите это число и запишите остаток.
Что такое одиночная степень числа 5?
Выражение, представляющее многократное умножение одного и того же множителя, называется степенью. Число 5 называется основанием, а число 2 – показателем степени. Степени и показатели степени. 3 1 3 в первой степени 3 5 3 5 в третьей степени или 5 в кубе 5 ∙ 5 ∙ 5 2 6 2 в степени шесть 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2,
Какова третья степень числа 1?
Ответ: 3 в степени 1 равно 3. 3 в степени 1 можно записать как 3 ¹ . Где число 3 называется основанием, тогда как 1 является степенью выражения, и мы знаем, что любое число, возведенное в степень единицы, равно самому числу.
Что такое 4-я степень в 3-й?
Ответ: Значение 4 в 3-й степени, т. е. 4 ³ равно 64.
Что такое 6 в 3-й степени упрощенно?
Ответ: 6 в 3-й степени равно 6 ³ = 216. Найдем значение 6 при возведении в степень 3. Объяснение: 6 ³ = 6 × 6 × 6 = 216.
Чему равны 3 правила индексов?
Законы индексов Первый закон: умножение. Если два слагаемых имеют одну и ту же основу (в данном случае. Второй закон: деление. Если два слагаемых имеют одну и ту же основу (в данном случае. Третий закон: скобки. Отрицательные степени. Степени нуля. Дробные степени.
Как решить силы?
При возведении степени в степень в экспоненциальном выражении вы получаете новую степень путем умножения двух степеней вместе. Например, в следующем выражении х в степени 3 возводится в степень 6, поэтому вы должны перемножить 3 и 6, чтобы найти новую степень.
Что такое степень числа?
Степень — это произведение числа само на себя. Обычно степень представлена базовым числом и показателем степени. Базовое число говорит, какое число умножается. Показатель степени, небольшое число, написанное выше и справа от основного числа, говорит, сколько раз умножается основное число.
5.2: Свойства экспонент и научной нотации
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
30851
OpenStax
OpenStax
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
Упрощать выражения, используя свойства показателей степени
Используйте определение отрицательного показателя степени
Использовать экспоненциальное представление
Примечание
Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.
Упрощение: $(−2)(−2)(−2)$.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .
Упростить: $\dfrac{8x}{24y}$. 9m\), показатель степени $m$ говорит нам, сколько раз мы используем основание $a$ в качестве множителя.
Когда мы объединяем одинаковые термины путем сложения и вычитания, нам нужно иметь одно и то же основание с одним и тем же показателем степени. Но когда вы умножаете и делите, показатели степени могут быть разными, а иногда и основания тоже могут быть разными.
Сначала мы рассмотрим пример, который ведет к свойству продукта .
«> 9{т+п}\).
Упрощение.
ⓓ

Добавьте показатели степени, так как основания одинаковы.
Упрощение.
93}\) Что они означают? $\dfrac{х·х·х·х·х}{х·х}$ $\dfrac{х·х}{х·х·х}$ Использовать свойство «Эквивалентные дроби». $\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·x·x·x}{\cancel{x}·\cancel{x}}$ $\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·1}{\cancel{x}·\cancel{x}·x}$ Упрощение. 93}\) или $\dfrac{1}{x}$. Когда больший показатель был в числителе, у нас оставались множители в числителе. Когда больший показатель был в знаменателе, у нас остались множители в знаменателе — обратите внимание на числитель 1. Когда все множители в числителе были удалены, помните, что это на самом деле деление множителей на один, и поэтому нам нужно 1 в числителе. $\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}}=1$. Это приводит к частному свойству для экспонент.
{м-п}\).
Упрощение. Обратите внимание, что когда больший показатель находится в числителе, у нас остаются множители в числителе.
ⓒ
n \nonumber \]. 9{м·п}\).
Упрощение.
ⓑ

Используйте свойство Power.
Упрощение.
ⓒ
$\begin{array} {ll} {} &{(y^3)^6(y^5)^4} \\ {\text{Использовать свойство Power. {38}} \\ \end{массив} $ 9м\). Упрощение.
ⓑ
96}\)
Теперь у нас есть несколько свойств экспонент. Давайте обобщим их, а затем сделаем еще несколько примеров, в которых используется более одного свойства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ОБЗОР СВОЙСТВ ПОКАЗАТЕЛЯ
Если $a$ и $b$ — действительные числа, а $m$ и $n$ — целые числа, то

Возведите числитель и знаменатель в степень.
Используйте определение отрицательного показателя степени.
{м+п}\) 9{10}\)
Использование научной нотации
Работа с очень большими или очень маленькими числами может быть неудобной. Поскольку наша система счисления основана на десяти, мы можем использовать степени десяти, чтобы переписать очень большие или очень маленькие числа, чтобы с ними было легче работать. Рассмотрим числа 4000 и 0,004.
Используя разрядность, мы можем переписать числа 4000 и 0,004. Мы знаем, что 4000 означает $4\times1000$, а 0,004 означает $4\times\dfrac{1}{1000}$.
Если мы запишем 1000 как степень десяти в экспоненциальной форме, мы можем переписать эти числа следующим образом: 9{−3}\)
Когда число записывается как произведение двух чисел, где первый множитель представляет собой число больше или равное единице, но меньше десяти, а второй множитель представляет собой степень числа 10, записанную в экспоненциальной форме, это , как говорят, в научном обозначении . n} & {\text{где}} &{1} &{\leq} &{a} &{<} &{10} &{\text{и}} &{n} &{\text{является целым числом.} } \\ \номер \конец{массив}\]
В научных обозначениях принято использовать знак умножения $\times$, хотя мы избегаем использования этого знака в других разделах алгебры.
Если мы посмотрим, что произошло с десятичной точкой, мы увидим метод простого преобразования десятичной записи в экспоненциальную.
В обоих случаях десятичная запятая была перемещена на 3 знака, чтобы получить первый множитель между 1 и 10. ) 9{−n}\).
Чек.
ПРИМЕР $\PageIndex{31}$
Запишите в экспоненциальном представлении: ⓐ $37 000$ ⓑ $0,0052$.
Ответить
ⓐ
This makes the exponent 4. We write the number as 3.7 times 10 to the 4. You can check the answer by writing 3.7 times 10 to the 4 as 3.7 times 10000 which is 37000.»> Исходное число 37 000 больше 1
, поэтому у нас будет положительная степень числа 10. 37 000
Переместите запятую, чтобы получить 3,7, число
от 1 до 10. 94 } \\ {\text{Проверить:}} &{3,7 \times 10,000} \\ {} &{37,000} \\ \end{массив} \)

ⓑ
Since the number is less than 1 it will have a negative exponent. Move the decimal point to get 5.2. This requires that you move the decimal point 3 places. This makes the exponent negative 3. We write the number as 5.2 times 10 to the negative 3. You can check the answer by writing 5.2 times 10 to the negative 3 as 3.7 times 1 divided by 1000 which is 0.0052.»> Исходное число 0,0052 находится между 0
и 1, поэтому у нас будет отрицательная степень числа 10. 0,0052
Переместите десятичную точку, чтобы получить 5,2, число 9{−4}} \\ {9,12\times10 000} &{} &{9,12\times0,0001} \\ {91 200} &{} &{0,000912} \\ \nonumber \end{массив} \]
Если мы посмотрим на расположение десятичной точки, мы увидим простой способ преобразования числа из научной записи в десятичную форму.
В обоих случаях десятичная точка переместилась на 4 разряда. Когда показатель степени был положительным, десятичная дробь сдвигалась вправо. Когда показатель степени был отрицательным, десятичная точка перемещалась влево.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ПРЕОБРАЗОВАТЬ НАУЧНУЮ НОТИКУ В ДЕСЯТИЧНУЮ ФОРМУ. 9{−2}\).
Ответить
ⓐ

Определить показатель степени $n$ в множителе 10.
Показатель степени равен 3.
Поскольку показатель степени положительный, переместите десятичную точку
на 3 знака вправо.
При необходимости добавьте нули для заполнителей.

ⓑ

Определить показатель степени $n$ в множителе 10. Показатель степени равен −2,−2.
Поскольку показатель степени отрицательный, переместите 9{−2}\).
Ответить
ⓐ $−950 000$ ⓑ 0,075
Когда ученые производят расчеты с очень большими или очень маленькими числами, они используют экспоненциальное представление. Научная нотация обеспечивает способ выполнения вычислений без записи большого количества нулей. Мы увидим, как свойства показателей степени используются для умножения и деления чисел в экспоненциальном представлении.
ПРИМЕР $\PageIndex{37}$ 9{−1}}\).
Ответить
ⓐ $−0,009$ ⓑ 400 000
Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики использования свойств умножения показателей степени.
Свойства экспонент
Отрицательные показатели степени
Научное обозначение
Ключевые понятия
Экспоненциальное представление 9n \text{, где }1\leq a<10\text{ и } n \text{ — целое число.} \nonumber \]
Как преобразовать десятичную систему в экспоненциальное представление. Переместите запятую так, чтобы первый множитель был больше или равен 1, но меньше 10.
Подсчитайте количество знаков после запятой $n$, на которое была перемещена десятичная точка.
Запишите число в виде произведения степени 10. Если исходное число равно. 9{−n}\).
Чек.
Как преобразовать экспоненциальное представление в десятичную форму. Определить показатель степени $n$ в множителе 10.
Переместите десятичные разряды на $n$, добавив при необходимости нули. Если показатель степени положительный, переместите десятичную точку на $n$ разрядов вправо.
Если показатель степени отрицательный, переместите десятичную точку на $|n|$ разрядов влево.
Чек.
Глоссарий
Свойство продукта
Согласно свойству продукта, $a$ к $m$ умножить на $a$ к $a$ равно $a$ к $m$ плюс $n\ ).
Силовое имущество
Согласно свойству мощности, \(a$ к $m$ к $n$ равно $a$ к $m$, умноженному на $n$.
Продукт до мощности
В соответствии со свойством «Произведение в степень» $a$ умножить на $b$ в скобках до $m$ равно $a$ до $m$ умножить на $b$ до их\).
Частное свойство
Согласно частному свойству, $a$ на $m$, деленное на $a$ на $n$, равно $a$ на $m$ минус $n $ до тех пор, пока $а$ не равно нулю.
Свойство нулевой степени
Согласно свойству нулевой экспоненты, $a$ до нуля равно $1$ до тех пор, пока $a$ не равно нулю.
г.
Частное к степенному свойству
В соответствии с отношением к силовому свойству, $a$, деленное на $b$ в скобках в степени $m$, равно $a$ на $m$, деленное на $b$ в $m$ до тех пор, пока $b$ не равно нулю.
Свойства отрицательных показателей
Согласно свойствам отрицательных показателей, $a$ к отрицательному $n$ равно $1$, деленное на $a$ к $n$ и $1$, деленное на $a$ к отрицательному $n$ равно $a$ к $n$.
г.
Отношение к отрицательному показателю
Возведение частного в отрицательную степень происходит, когда $a$ деленное на $b$ в скобках в отрицательной степени $n$ равно $b$ деленное на $a$ в скобках до сила $n$.No related posts.
Навигация по записям
Предыдущая статьяРазность долгот и широт: Разности широт и долгот
Следующая статьяСколько дней в девяти месяцах: 9 месяцев в днях | Онлайн калькулятор
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Найти:
Рубрики
Геометрия
Математика
Физика
Химия
Школьная жизнь
Разное
© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»
Карта сайта}}