На 4 делится число если: Признак делимости на 4, Делимость на 4

Признаки делимости, или Что не поделили числа

Репетиторы ❯ Математика ❯ Признаки делимости, или Что не поделили числа

Автор: Валентин В., онлайн репетитор по математике

●

05.10.2011

●

Раздел: Математика

Признак делимости – это своеобразный алгоритм, который позволяет быстро определить, делится ли заданное число на другое заданное число. Знание признаков делимости значительно сокращает время при счете, а также позволяет развивать память и логическое мышление при выполнении вычислений в уме.

Кроме того, существует ряд заданий, где нужно определить, делится ли какое-либо число без остатка на иное число. И при его решении вовсе не нужно производить деление (а числа в таких заданиях немаленькие), нужно всего лишь воспользоваться признаком делимости.

Самым простым признаком делимости является признак делимости на 2. Число делится на 2 только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, иными словами, она должна быть четной.

Число 123456 делится на 2, т.к. 6 – последняя цифра – четная. Число 12345 на 2 не делится, т.к. на 2 не делится 5.

Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда, когда суммы всех его цифр кратна 3.

Число 123456 делится на 3, т.к. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, где 21 : 3 = 7.

Число 1234 не делится на 3, т.к 1 + 2 + 3 + 4 = 10, где 10 : 3 ≠.

Признак делимости на 4: число делится на 4 тогда, когда его две последние цифры делятся на 4.

Число 123456 делится на 4, т.к. 56 : 4 = 14.

Число 1234 не делится на 4, т. к 34 : 4 ≠.

А как быть с признаком делимости на 4, если число двузначное? Для двузначных чисел работает такое правило: если сумма половины единиц числа и десятков делится на 2, то само число делится на 4; в противном случает – число на 4 не делится.

Число 92 делится на 4, т.к. (2 : 2) + 9 = 1 + 9 = 10, где 10 : 2 = 5.

Одним из наиболее простых признаков является признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра делится на пять.

Число 12345 делится на 5, т.к. 5 – последняя цифра и она делится на 5.

Число 1234 на 5 не делится, т.к. 4 : 5 ≠.

Признак делимости на 6: на 6 делится число, которое делится на делители 6, т.е. на 2 и на 3. Значит, нам нужно вспомнить признаки делимости на 2 и 3: последняя цифра числа должна быть четной, а сумма всех цифр должна делиться на 3.

Число 123456 делится на 6, т.к. его последняя цифра четная (6), а сумма цифр 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 делится на 3.

Число 12345 не делится на 6, т.к. не подходит по одному признаку: 5 – нечетное число (хотя сумма цифр делится на 3).

Признак делимости на 7: на 7 делится число, в котором результат вычитания удвоенной последней цифры этого числа без последней цифры делится на 7.

Число 364 мы сможем разделить на 7 без остатка, т.к. удвоенная последняя цифра – это 4 ∙ 2, т.е. 8; результат вычитания равен 36 – 8 = 28, где 28 : 7 = 4.

Признак делимости на 8: если  три последних цифры числа делятся на 8, то тамо число делится на 8. Процесс определения делимости трехзначного числа на 8 более сложный: нужно к десяткам прибавить половину единиц и повторить то же самое с получившимся числом; если результат делится на 2, то он делится и на 8.

952 делится на 8, потому что:

1. 95 + 1 = 96

2. 9 + 3 = 12

3. 12 : 2 = 6.

Признак делимости на 9: на 9 делится число, сумма цифр которого без остатка делится на 9.

Число 12348 делится на 9, т.к. 1 + 2 + 3 + 4 + 8 = 18, где 18 : 9 = 2.

Признак делимости на 10 очень прост: число делится на 10 в том случае, если оно оканчивается на 0. Например: 100, 3458903456890 и др.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Задать вопрос

Математика

Курсы по математике 10 класс

Математика

Курсы по математике 9 класс

Математика

Математика 11 класс

Математика

Курсы по геометрии 7 класс

Математика

Курсы по алгебре 7 класс

Математика

Алгебра 8 класс

Математика

Курсы по геометрии 8 класс

Французский язык

Курсы французского языка для начинающих

Признаки делимости.

— Царство математики

Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление.

Признак делимости на 2

Если последняя цифра в записи натурального числа 0, 2, 4, 6 или 8, то это число делится на 2 без остатка. Если последняя цифра натурального числа нечетная (1, 3, 5, 7, 9), то число на 2 без остатка не делится.

Примеры:

• 87654 делится на 2, так как последняя цифра 4;
• 876543 не делится на 2, так как последняя цифра 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние цифры этого числа образуют число, которое делится на 4.

Примеры:

• 3200 делится на 4, так как 0 делится на 4;
• 4808 делится на 4, так как 8 делится на 4;
• 3453 не делится на 4, так как 53 не делится на 4.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три последние цифры этого числа образуют число, которое делится на 8.

Примеры:

• 32800 делится на 8, так как 800 делится на 8;
• 48043 не делится на, 8 так как 43  не делится на 8.

Примеры: Признак делимости на 2ⁿ

Число делится на 2ⁿ (n — натуральное число) тогда и только тогда, когда n последних цифр этого числа образуют число, которое делится на 2ⁿ.

Пример:

• 45686400 делится на 16, так как 6400 делится на 16;
• 67832000 делится на 32, так как 32000  делится на 32.

Признак деления натурального числа на 5

Натуральное число делится на 5 без остатка в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.   Если последняя цифра натурального числа не 0 и не 5,  то число на 5 без остатка не делится.

Примеры:

• 4560 делится на 5, так как оканчивается на 0;
• 48043 не делится на 5, так как оканчивается на 3.

Признак деления натурального числа на 10

Натуральное число делится на 10 без остатка только в том случае, если оно оканчивается на нуль. Если последняя цифра натурального числа не 0, то число на 10 без остатка не делится.

Примеры:

• 4560 делится на 10, так как оканчивается на 0;
• 623 не делится на 10, так как не оканчивается на 0.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 3.

Примеры:

• 345 делится на 3, так как 3+4+5=12 делится на 3;
• 223 не делится на 3, так как 2+2+3=7 не делится на 3.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 9.

Примеры:

• 345 не делится на 9, так как 3+4+5=12  не делится на 9;
• 65223 делится на 9, так как 6+5+2+2+3=18 делится на 9.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Примеры:

• 357 делится на 7, так как 35-2·7=21
  делится на 7;
• 223 не делится на 7, так как 22-2·3=16 не делится на 7.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на число, которое делится на 11.

Примеры:

• 3597 делится на 11, так как 3+9=7+5;
• 2243 не делится на 11, так как 2+4≠2+3.

 Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма десятков и единиц увеличенных в 4 раза кратна 13.

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда модуль разности числа, которое образовано тремя последними цифрами, и числа, которое образовано из оставшихся цифр, кратен 13.

Примеры:

• 234 делится на 13, так как 23+4·4=39 делится на 13;
• 4292288 делится на 13, так как 4292-288=4004, а 4—4=0 делится на 13.

Проверка доказательства, когда число делится на 4

Задавать вопрос

спросил 6 лет, 6 месяцев назад

Изменено 6 лет, 6 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

$\begingroup$ 9{n-2}x_{n-1}+\cdots+10x_2)\big)\equiv Q\ (\text{mod}\ 4) $$ И здесь я застрял. {n-2}a_n) \equiv a_0 + 10a_1 \mod 4. $$ Итак, если $a_0 + 10a_1$ делится на $4$, то и $a$ тоже делится. 9n x_n + \cdots + 10 x_1 + x_0$ можно записать как $100 b + (10 x_1 + x_0)$. Поскольку $100b$ кратно $4$, мы получаем, что $a$ кратно $4$ тогда и только тогда, когда $10x_1+x_0$ кратно $4$.

В вашем доказательстве выражение $2(2k+5)(b)$ может быть записано как $4k+2 \cdot 5 \cdot b$, где $b$ представляет собой сумму слагаемых, каждое из которых делится на $10$. Таким образом, вы можете вытащить эти 10$ и получить 2$\cdot 5\cdot 10 = 100$. Таким образом, ваше выражение представляет собой сумму $4k$ и кратное $100$, как и хотелось бы.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

. 2$ четно»?

спросил 10 лет, 2 месяца назад

Изменено 10 лет, 2 месяца назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Я работаю над домашним заданием по геометрии в средней школе, и у меня возникла проблема с доказательствами и контрпримерами. Вопрос содержит утверждение 92$ это даже

и спрашивает, верно ли это утверждение (и приводит контрпример, если это не так). Насколько я понимаю это утверждение, «необходимым условием делимости на $4$ является четность числа в квадрате». Поскольку квадратный корень из четного числа тоже четен (даже $\cdot$ четный = четный), а определение четного числа состоит в четной делимости на $2$, утверждение можно свести к «условию делимости на $4$». делимость на $2$», что, безусловно, верно. Однако я обеспокоен тем, что мое понимание этого заявления в корне ошибочно. Верно или ложно утверждение и почему? 92$ четно, то $n$ делится на $4$ (ложный, простой контрпример).

Если я утверждаю, что Оттава является столицей Канады и летают слоны, то я лгу.

Примечание: В общем случае, если вы пытаетесь доказать, что $A$ тогда и только тогда, когда $B$, то первым шагом будет разделение утверждения на две составные части: если $A$, то $B$, а если $B$, то $A$. Одна часть может быть правильной, а другая нет, и в этом случае утверждение тогда и только тогда ложно. Или оба могут быть верными, но доказательство одного может сильно отличаться от доказательства другого.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Вы правильно поняли половину утверждения.