На одной координатной плоскости постройте графики функций и найдите приближенно координаты точек пересечения: 20 баллов ваши только помогите с этим… На одной координатной плоскости постройте графики

Содержание

Как построить график функции маткад. Как в маткаде построить график. Построение графика по точкам в "Маткаде"

Программа MathCAD обеспечивает стабильное поддержание своих функций уже долгие годы. В этой вычислительной среде работают экономисты, ученые, студенты и другие специалисты, владеющие прикладной и аналитической математикой. Так как математический язык понятен не всем, и не каждый способен за быстрое время его изучить, программа становится сложной для восприятия начинающих пользователей. Нагруженный интерфейс и большое количество нюансов отталкивают людей от использования этого продукта, но на самом деле разобраться в любой рабочей среде возможно - достаточно иметь желание. В этой статье разберем такую важную тему, как построение графиков функций в "Маткаде". Это несложная процедура, которая очень часто помогает при расчетах.

Типы графиков

Помимо того что в MathCAD определены быстрые графики, которые вызываются с помощью горячих клавиш, существуют и другие графические приложения.2)-10 в интервале [-10;10], которую необходимо построить и провести исследование. Прежде чем приступить к построению графика функции, необходимо данную функцию перевести в математический вид в самой программе.

  1. После того как функция была задана, следует вызвать окно быстрого графика клавишей Shift + 2. Появляется окошечко, в котором расположены 3 черных квадратика по вертикали и горизонтали.
  2. По вертикали: самый верхний и нижний отвечают за интервалы значений, которые можно регулировать, средний задает функцию, по которой пользователь может построить график в "Маткаде". Крайние черные квадратики оставляем без изменения (значения автоматически присвоятся после построения), а в средний пишем нашу функцию.
  3. По горизонтали: крайние отвечают за интервалы аргумента, а в средний нужно вписать "х".
  4. После проделанных шагов нарисуется график функции.

Построение графика по точкам в "Маткаде"

  1. Зададим диапазон значений для аргумента, в рассматриваемом случае x:=-10,-8.5.. 10 (символ ".." ставится при нажатии на клавишу ";").
  2. Для удобства можем отобразить получившиеся значения "х" и "у". Для первого случая используем математическую формулировку "х=", а для второго - "f(x)". Наблюдаем два столбика с соответствующими значениями.
  3. Построим график, используя сочетание клавиш Shift + 2.

Заметим, что та часть графика, которая устремлялась вверх, исчезла, а на месте нее образовалась непрерывная функция. Все дело в том, что в первом построении функция претерпевала разрыв в некой точке. Второй график был построен по точкам, но, очевидно, что точка, которая не принадлежала графику, не отображена здесь - это одно из особенностей построения графиков по принципу точек.

Табуляция графика

Чтобы избавится от ситуации, где функция претерпевает разрыв, необходимо протабулировать график в "Маткаде" и его значения.

  1. Возьмем известный нам интервал от -10 до 10.
  2. Теперь запишем команду для переменного диапазона - x:=a,a + 1 .. b (не стоит забывать, что двоеточие - результат нажатия клавиши ";").
  3. Смотря на заданную функцию, можно сделать вывод о том, что при значении "х=1" будет происходить деление на ноль. Чтобы без проблем протабулировать функцию, стоит исключить эту операцию так, как показано на картинке.
  4. Теперь можно наглядно отобразить значения в столбиках, как мы это делали с построением по точкам. Табуляция выполнена, теперь все значения с шагом в одну единицу соответствуют своим аргументам. Обратите внимание, что на "х=1" значение аргумента не определенно.

Минимум и максимум функции

Чтобы найти минимум и максимум функции на выбранном участке графика в "Маткаде", следует использовать вспомогательный блок Given. Применяя этот блок, необходимо задать интервал поиска и начальные значения.

  1. В рассматриваемом случае начальное значение x:=9.
  2. Запишем рабочую команду для поиска максимального значения - X max =Maximize(f,x) и вычисляем значение через знак равенства.
  3. Через блок Given запишем условие для x.
  4. Задаем минимум функции по аналогии с максимумом.
  5. Результаты получились следующими: значение минимума на графике с указанным интервалом f(x) = 2,448*10 198 , а значение минимума f(x) = -10.

В нелегкой учебной работе, преподаватели требуют качественного и наглядного оформления исследовательских работ. Важная составляющая любой работы - графические иллюстрации и графики . Средства MathCad позволяют строить графические зависимости, причем как плоские так и объемные. В этом разделе мы рассмотрим 2 самых распространенных вида графиков: в декартовой системе координат

(СК) и в полярной СК . Большинство функциональных зависимостей строят в декартовых СК. Такими графиками удобно показывать закон изменения какой-нибудь величины относительно другой. Например, изменение температуры тела в зависимости от времени (остывание или нагревание).

График в MathCad возможно построить разными способами.

Способ №1: построение графика по точкам :

В этом случае задаются два столбца значений х и у и уже по ним на плоскости строят точки, соответствующие координатам в столбцах. Столбцы задаются нажатием на кнопку с изображением матрицы на панели Matrix (см. рис. 1).
Рис. 1. Панель "Матрица"
Что бы получить сам график нужно нажать на кнопку с изображением осей на панели Graph (см. рис. 2).
Рис. 2. Панель "График"
В появившейся рамочке графика будут 2 незаполненных черных прямоугольничка - маркера . В один маркер, отвечающий за ординату , нужно поместить название матрицы-столбца, который должен быть отложен по оси ОУ . В другой (нижний) маркер помещают название другого столбца. Далее жмем enter и смотрим, что получилось.

Пример №1. Построение графика в MathCad по точкам:

Скачать

Способ №2: построение графика по функциональной зависимости :

Записывается функция вида F=F(x) и в пустующие маркеры графической области вносятся соответственно название функции F(x) и ее аргумент.

Пример №2. Построение графика в MathCad по функциональной зависимости: Скачать

Еще очень ценное качество MathCad заключается в возможности построения эпюр. Эпюры в MathCad строятся следующим образом. Допустим мы имеем какой-нибудь график зависимости F=F(x) . Нам нужно на произвольном промежутке построить эпюру. При помощи ранжированной переменной создается столбец значений аргумента на этом промежутке. Далее, в тех же осях, где и построен исходный график, строится второй график. Чтобы построить второй график, нужно установить курсор MathCad в то место, где написано имя первой функции, сместить курсор в самое правое положение и нажать на клавиатуре запятую. В результате должен появится новый пустой маркер. В этот новый маркер записывается название той же самой функции, но только зависеть она у нас будет уже от ранжированной переменной. То есть она будет

точечной . Аналогично создаем второй маркер и для оси абсцисс. В новый маркер оси абсцисс вводим название ранжированной переменной . Жмем enter. На первый взгляд ничего не поменялось. Заходим в свойства графика, щелкнув 2 раза левой кнопкой мыши по нему. Переходим во вкладку Traces (Трассировка) . Там для trace 2 (кривая 2) устанавливаем понравившийся symbol (Символ) и обязательно во вкладочке Type (Тип) устанавливаем значение stem (отрезки с маркерами) . Жмем в этом окне ОК и смотрим что получилось.

Пример №3. Построение эпюры в MathCad: Скачать

Щелкнув 2 раза левой кнопкой мыши по графику, Вы попадете в меню для детальной настройки. Здесь Вы можете поставить сетку с нужным шагом и цветом, установив флажки напротив слов Grid lines (Линии сетки) . Можете показать сами оси (что очень полезно), нажав на слово Crossed (По центру) в области Axis style (Отображение осей) . Во вкладке Traces (Трассировка) можно изменять тип линий графика и добавить маркеры различных форм для наглядности. Во вкладке Number Format (Формат числа) Вы сможете изменить числовой тип, уменьшив, либо увеличив число знаков после запятой. Во вкладке

Labels (Подписи) можно подписать оси и сам график, что особо приветствуют преподаватели.

Построение графика в полярной СК :

В некоторых задачах требуется строить графики в полярных СК. В сущности построение графиков в полярных СК ничем не отличается от построения в декартовых. Разница лишь в том, что в этом случае одна ось "круглая" и все точки строятся в зависимости от угла . Нужно отметить, что в MathCad все углы представлены строго в радианах . Для получения полярных осей необходимо нажать на соответствующую иконку в панели "График" (см. рис. 3).
Рис. 3. Панель "График"
Так же есть возможность построения как функциональной зависимости, так и точечной.

Пример №4. Построение графика в MathCad в полярных координатах:

Для построения графиков в Mathcad можно воспользоваться функцией Вставка > График > Тип графика или панелью инструментов График (Рис.1. 18). Поддерживаются следующие типы графиков:

При выборе режима построения двумерного графика в координатных осях Х-У на рабочем листе создается шаблон (Рис.1. 19) с полями-заполнителями для задания отображаемых данных по осям абсцисс и ординат (имена аргументов и функций или выражения для них, а также диапазоны изменения значений). Заполнитель у середины оси координат предназначен для переменной или выражения, отображаемого по этой оси.

Рис.1. 19 Пустой шаблон двумерного графика.

Заполнители для граничных значений появляются после ввода аргумента и/или функции. Граничные значения по осям выбираются автоматически в соответствии с диапазоном изменения величин, но их можно задать, щелкнув в области соответствующих полей-заполнителей и изменив значения в них.

На Рис.1. 20 показан заполненный параметрами шаблон, причем диапазоны значений по осям определены вручную. Отметим, что эти значения видны только в режиме редактирования графика (наличие углового курсора на рисунках свидетельствует, что блок с графиком в данный момент выделен).

Рис.1. 20 Двумерный график.

По оси абсцисс откладывается переменная, задав для нее граничные значения (как на Рис.1. 20). В заполнителях у оси ординат обычно помещают функции, выражения или векторы.

В одной графической области можно построить несколько графиков. Для этого надо у соответствующей оси перечислить несколько выражений

через запятую (Рис.1. 21).

Рис.1. 21. Построение двух графиков в одной координатной системе.

Разные кривые изображаются разным цветом, а для задания формата элементов графика надо дважды щелкнуть на области графика. Для управления отображением построенных линий служит вкладка Следы (Traces) в открывшемся диалоговом окне (Рис.1. 22). Текущий формат каждой линии приведен в списке, а под списком расположены элементы управления, позволяющие изменять формат. Поле Метка легенды (Legend Label) задает описание линии, которое отображается только при сбросе флажка "Скрыть описание" (Hide Legend). Список Символ (Symbol) позволяет выбрать маркеры для отдельных точек, список Линия (Line) задает тип линии, список Цвет (Color) - цвет. Список Тип (Туре) определяет способ связи отдельных точек, а список Размер (Width) - толщину линии.

Рис.1. 22. Задание типов линий графиков.

Аналогичным образом строится и форматируется график в полярных координатах, а для графиков других типов предварительно следует создать матрицы значений координат точек.

Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет root сходиться.

    Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида TOL=0.01. Чтобы изменить значение TOL для всего рабочего документа, выберите команду Инструменты Опции рабочего листа… Встроенные переменные Допуск сходимости (TOL) .

Рис.1. 23. Задание точности вычислений.

    Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.

    Если функция f (x ) имеет малый наклон около искомого корня, функция root (f (x ), x ) может сходиться к значению r , отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL.

    Для выражения f (x ) с известным корнем а нахождение дополнительных корней f (x) эквивалентно поиску корней уравнения h (x ) = f (x )/(x - a ). Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Проще искать корень выражения h (x ), чем пробовать искать другой корень уравнения f (x ) = 0, выбирая различные начальные приближения.

Постановка задачи:

1. Построить график функции f(x) согласно варианту из таблицы №1. Найти и записать приближенные корни уравнения f(x)=0 с помощью трассировки.

2. Построить два совмещенных графика f1(x) и f2(x), где f1(x)-f2(x)=f(x) на одной координатной плоскости. Найти и записать приближенные корни уравнения f(x)=0 с помощью трассировки.

3. Скопировать график функции f(x), на нем изменить стиль осей с ограничения на пересечение.

4. Найти точные корни уравнения f(x)=0, используя функцию root.

Типовой пример:

Задание 1. Построить график функции . Найти и записать приближенные корни уравнения f(x)=0 с помощью трассировки.

1. Выбираем на Панели инструментов графики (Graph) кнопку Координаты X-Y (X-Y-Plot) – появится пустой шаблон графика.

2. Вводим в метку оси y – функцию , а в метку оси x – неизвестную переменную x, нажимаем Enter – появится график функции.

3. Там, где функция пересекается с осью ox, там находятся корни уравнения. Отформатируем график для нахождения приближенных значений корней. Для этого:

3.1. щелкаем по графику левой кнопкой мыши, изменяем минимальные и максимальные пределы изменения по x (-5;5), по y (-3;3) и нажимаем Enter;

3.2. два раза щелкаем мышью по графику – появится диалоговое окно Formatting Currently Selected X-Y Axes. Окно содержит 4 корешка: Оси X-Y (X-Y Axes), Следы (Traces), Ярлыки (Labels), По умолчанию (Defaults).

3.3. в корешке Оси X-Y (X-Y Axes) расположены пункты для выбора форматирования осей графика:

Мерн. линейка (Log Scale) – нумерует оси в логарифмической последовательности;

Линии сетки (Grid Lines) – выводит вспомогательные линии сетки;

Пронумеровать (Numbered) – выводит нумерацию осей;

Автомасштаб (Autoscale) – устанавливает автоматический масштаб;

Показать маркеры (Show Markers) – устанавливает режим показа меток;

Число клеток решетки (Number Of Grid) – установка числа вспомогательных линий сетки.

Стиль осей (Axes Style) – позволяет выбрать стиль изображения осей графика:

Блочный (Boxed) – выводит график в рамке без осей;

Скрещив. (Crossed) – выводит график с осями;

Нет (None) – выводит график без осей и рамки.

Равные веса (Equal Scale) – устанавливает одинаковый масштаб по оси x и y.

Для нашего графика ставим галочки по каждой оси: Линии сетки (Grid Lines), Пронумеровать (Numbered), устанавливаем Число клеток решетки (Number of Grids) по оси x – 10, по оси y – 6, выбираем стиль осей - Блочный (Boxed).

3.4. в корешке Traces (Следы) находятся пункты для форматирования линий графика.

Подпись (Legend Label) – условный номер линии графика;

Символ (Symbol), Линия (Line), Цвет (Color), Тип (Type), Ширина (Weight) – устанавливают характеристики линии на графике.

Скрыть аргументы (Hide Arguments) – убирает с экрана подписи осей x и y;

Скрыть легенду (Hide Legend) – убирает с экрана подпись линии графика.

Для нашего графика меняем Цвет (Color) на голубой (blue) и ширину (Weight) делаем =2.

4. С помощью трассировки находим приближенные корни уравнения. Для этого щелкаем правой кнопкой по графику, выбираем команду Трассировка (Trace). С появлением окна X-Y-Trace щелкаем по кривой левой кнопкой мыши в точке пересечения кривой графика и оси x – в окне появляются значения x,y, где x – приближенный корень уравнения.

5. Оформить задание 1 как показано на рис. 1.

Рис. 1. График функции f(x)

Задание 2. Построить два совмещенных графика f1(x) и f2(x), где f1(x)-f2(x)=f(x) на одной координатной плоскости. Найти и записать приближенные корни уравнения f(x)=0 с помощью трассировки.

1. Разобьем функцию на две, перенеся в правую часть, получим . Построим на одном графике две функции y= и y= . Для этого выбираем кнопку X-Y-Plot – появится пустой шаблон графика.

2. Вводим в метку оси y - , затем, затем , а в метку оси x – неизвестную переменную x, нажимаем Enter – появится совмещенный график двух функций.

3. Там, где функции и пересекаются, там находятся корни уравнения. Отформатируем график аналогично, как в прошлом задании. С помощью трассировки найдем приближенные корни уравнения.

4. Оформить задание 2 как показано на рис. 2.

Рис. 2. Совмещенный график функций

Задание 3. Скопировать график функции f(x), на нем изменить стиль осей с ограничения на пересечение.

1. Выделяем график функции , обведя вокруг него рамку. В меню Правка (Edit) выбираем команду Копировать (Copy). Устанавливаем курсор там, где будет располагаться копируемый график. Выбираем в меню Правка (Edit) команду Вставить (Paste).

2. Два раза щелкаем мышью по графику – появится диалоговое окно Formatting Currently Selected X-Y Axes. В корешке Оси X-Y (X-Y Axes) галочку сменим с Блочный (Boxed) на Скрещив. (Crossed)

3. Оформить задание 3 как показано на рис. 3.

Рис. 3. График функции с осями

Задание 4. Найти точные корни уравнения f(x)=0, используя функцию root.

Варианты заданий:

Таблица 1

Вид функции f(x) Вид функции f(x)
1. sin(x) + 4x – 1 19. x 1/2 – 2sin(x)
2. x 3 + 5x – 3 20. 1/(2x) – cos(x)
3. e x + x 2 – 3 21. 3sin(x) – x 2 + 1
4. e x + 2x – 2 22. cos(x) – 2x 2
5. x 3 + 5x 2 – 1 – x 23. x 1/3 – cos(3x)
6. x 2 - 20sin(x) 24. tg(x) – 2x
7. ctg(x) – x/10 25. lg(x) – 2cos(x)
8. x 3 – 3x 2 – 9x + 2 26. 2ln(x) – x 3 + 6
9. x 3 – 6x – 8 27. 3ln(x) – x/4 – 1
10. tg(0,5x) – x 2 28. 2ln(x) – 1/x
11. 5 x – 1 – 2cos(x) 29. e x + x 2 – 2
12. ctg(x) – x/2 30. x 3 + 4x 2 – 8
13. e -x – (x – 1) 2 31. ln(x) + 7/(2x + 6)
14. x×ln(x) – 1 32. e -x - x 2
15. 2 x – 2x 2 + 1 33. ln(x) – x -2
16. x - 0,5sin(x) – 2 34. x - sin(x) – 0,25
17. 2cos(x) – (x 2)/2 35. x - 3cos 2 (x)
18. x 2 – (x) –2 + 10x

Контрольные вопросы:

Как в маткаде построить график функции

Для того чтобы, построить простой график функции в системе «Маткад», нужно выполнить нижеприведённую последовательность действий:

  • Прежде всего, нужно открыть программу и в активное окно ввести выражение функции, пользуясь соответствующими инструментами.
  • После ввода выражения следует пройти в панель с математическими знаками и выбрать отображение графиков. В программе должно появиться соответствующее окно, в котором можно выбрать интересующую модель графика функции.
  • Так как для наглядного отображения простой функции потребуется двухмерный график, нужно найти его на панели с графиками и выбрать. После этого действия в окне программы должен отобразиться образец выбранного графика.
  • В шаблоне необходимо ввести переменные функции. В поле для ввода шаблона по оси «Х» нужно записать значение независимой переменной функции, а в соответствующем поле для оси «Y» – значение зависимой переменной функции, которую необходимо построить.
  • Для окончания построения графика функции нужно просто щёлкнуть мышкой вне пределов шаблона графика, и он будет закреплён в окне программы. С этого момента график функции построен. Его можно поворачивать или изменять размеры, пользуясь соответствующими инструментами.
  • Также необходимо принимать во внимание, что значения координат по оси «Х» программа автоматически устанавливает в промежутке от -10 до +10. В соответствии с этим масштабом автоматически рассчитываются значения координат каждой точки по оси «Y». Однако данный масштаб устанавливается по умолчанию, а если возникает необходимость в его изменении, то это можно сделать, самостоятельно указав диапазон изменения координат по оси «Х».

Как построить график по точкам

Построение графика в «Маткад» по заданным точкам имеет некоторые особенности. В этом случае нет доступа к выражению функции, однако имеется заданное количество точек, которые в программе могут быть представлены разными способами. Наиболее простым методом построения такого графика является следующий алгоритм:

  • Вначале необходимо открыть программу «Маткад» и перейти во вкладку «Insert». После этого в меню нужно выбрать пункт «Data», а затем «Table».
  • В результате в программе должна появиться таблица из двух столбцов, в которые необходимо внести соответствующие значения переменных. Бывает так, что в конкретных заданиях не дают парные значения, а предлагают вычислить значение функции по одной переменной. В этом случае нужно произвести предварительные вычисления, а уже после них начинать вводить данные в созданную таблицу.
  • Когда в таблицу занесены все данные, создайте простой двухмерный график, указав в соответствующих полях для каждой оси координат значение, которое находится в первой строке каждого столбика таблицы (заголовок столбика). В результате созданная таблица должна полностью отразиться в графике.

Другим аналогичным способом построения графиков в «Маткад» по заданным точкам является матрица. В этом случае значения задаются в двух столбцах с одинаковым количеством знаков. Необходимо также перейти на вкладку «Insert» в программе, но выбрать пункт «Matrix». В результате должно появиться два столбца, в которые вписываем парные значения координат для каждой известной точки графика.

График линейного уравнения с двумя переменными: алгоритм построения

 

Линейное уравнение с двумя переменными - любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c – некоторые числа.

Решением линейного уравнения a*x + b*y = с , называется любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если каждую пару чисел, которые являются решением линейного уравнения с двумя переменными, изобразить на координатной плоскости в виде точек, то все эти точки образуют график линейного уравнения с двумя переменными. Координатами точками будут служить наши значения x и у. При этом значение х будет являться абсциссой, а значение у – ординатой.

График линейного уравнения с двумя переменными

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения. Несложно догадаться, что график будет представлять собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Алгоритм построения

Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.

1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.

2. В линейном уравнении положить х = 0, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0, и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике

4. При необходимости взять произвольное значение х, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.

Пример: Построить график уравнения 3*x – 2*y =6;

Положим х=0, тогда – 2*y =6; y= -3;

Положим y=0, тогда 3*x = 6; x=2;

Отмечаем полученные точки на графике, проводим через них прямую и подписываем её. Посмотрите на рисунок ниже, график должен получиться именно таким.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Линейное уравнение с двумя переменными: решение и свойства
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСистемы линейных уравнений с двумя переменными

Алгебра: уроки, тесты, задания.

Алгебра: уроки, тесты, задания.
  1. Информация о разделе

    1. Числовые выражения. Алгебраические выражения
    2. Математический язык
    3. Математические модели реальных ситуаций
    4. Линейное уравнение с одной переменной. Алгоритм решения
    5. Координатная прямая. Числовые промежутки
    1. Координатная плоскость. Координаты точки
    2. Линейное уравнение ax + by + c = 0. График линейного уравнения
    3. Линейная функция y = kx + m. График линейной функции
    4. Линейная функция y = kx, её свойства
    5. Взаимное расположение графиков линейных функций
    1. Понятие системы линейных уравнений с двумя переменными
    2. Решение систем линейных уравнений. Метод подстановки
    3. Решение систем линейных уравнений. Метод сложения
    4. Система линейных уравнений как математическая модель
    1. Понятие степени с натуральным показателем
    2. Часто используемые степени
    3. Базовые свойства степеней с натуральным показателем
    4. Умножение и деление степеней с одинаковыми натуральными показателями
    5. Понятие степени с нулевым показателем
    1. Понятие одночлена. Приведение одночлена к стандартному виду
    2. Сложение и вычитание подобных одночленов
    3. Произведение одночленов и возведение одночлена в степень
    4. Деление одночленов
    1. Понятие многочлена. Приведение многочлена к стандартному виду
    2. Как складывать и вычитать многочлены
    3. Как умножать многочлен на одночлен
    4. Как умножать многочлен на многочлен
    5. Применение формул сокращённого умножения
    6. Как делить многочлен на одночлен
    1. Понятие разложения многочленов на множители
    2. Разложение на множители. Вынесение общего множителя за скобки
    3. Разложение на множители. Способ группировки
    4. Разложение на множители. Использование формул сокращённого умножения
    5. Разложение на множители. Сочетание различных приёмов
    6. Применение разложения на множители для сокращения алгебраических дробей
    7. Понятие тождества
    1. Квадратичная функция y = x² и её график
    2. Решение уравнений графическим методом
    3. Запись функции в виде у = f(x)
    1. Понятие алгебраической дроби
    2. Применение основного свойства алгебраической дроби
    3. Как складывать и вычитать алгебраические дроби с равными знаменателями
    4. Как складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями
    5. Как умножать, делить и возводить в степень алгебраические дроби
    6. Упрощение рациональных выражений
    7. Решение рациональных уравнений
    1. Квадратичная функция y = kx² и её свойства. Парабола
    2. Функция y = k/x и её свойства. Гипербола
    3. Как построить график функции у = f(x + l)
    4. Как построить график функции у = f(x) + m
    5. Как построить график функции y = f(x + l) + m
    6. Квадратичная функция y = ax² + bx + c
    7. Решение квадратных уравнений с помощью графиков функций
    1. Понятие квадратного корня
    2. Функция квадратного корня y = √x, её свойства и график
    3. Множество рациональных чисел
    4. Базовые свойства квадратных корней
    5. Преобразование иррациональных выражений
    1. Какие бывают квадратные уравнения
    2. Способы решения квадратных уравнений
    3. Решение рационального уравнения, сводящегося к квадратному
    4. Использование рациональных уравнений для решения задач
    5. Упрощённая формула для решения квадратного уравнения
    6. Применение теоремы Виета
    7. Решение иррационального уравнения, сводящегося к квадратному
    1. Множества натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел
    2. Понятие иррационального числа
    3. Множество действительных чисел и её геометрическая модель
    4. Модуль действительного числа и его геометрический смысл
    5. Приближённые значения по недостатку (по избытку)
    6. Понятие степени с отрицательным целым показателем
    7. Стандартный вид положительного числа
    1. Понятие числовых промежутков
    2. Свойства числовых неравенств. Свойства неравенств одинакового смысла
    3. Как решать линейное неравенство
    4. Методы решения квадратных неравенств
    5. Понятие монотонности функции. Исследование функций на монотонность
  1. Международная оценка образовательных достижений учащихся (PISA)

    1. Повторим способы решения линейных и квадратных неравенств
    2. Решение рациональных неравенств методом интервалов
    3. Множества и подмножества. Объединение и пересечение множеств
    4. Системы рациональных неравенств
    1. Понятие системы рациональных уравнений
    2. Методы решения систем рациональных уравнений
    3. Использование систем рациональных уравнений для решения задач
    1. Определение числовой функции и способы её задания
    2. Свойства основных функций
    3. Чётные и нечётные функции. Определение чётности и нечётности
    4. Степенная функция с натуральным показателем
    5. Степенная функция с отрицательным целым показателем
    6. Функция кубического корня
    1. Понятие числовой последовательности. Способы задания последовательностей
    2. Арифметическая прогрессия. Свойства арифметической прогрессии
    3. Геометрическая прогрессия. Свойства геометрической прогрессии
    1. Злементы комбинаторики. Комбинаторные задачи
    2. Элементы статистики. Методы обработки информации
    3. Элементы теории вероятности. Нахождение вероятности
    4. Относительная частота и статистическая вероятность события
    1. Натуральные числа. Повторение
    2. Рациональные числа. Повторение
    3. Иррациональные числа. Повторение
    1. Обратимая и обратная функции
    2. Понятие периодической функции (профильный)
    1. Числовая окружность на координатной плоскости
    2. Нахождение значений синуса и косинуса, тангенса и котангенса
    3. Числовой аргумент тригонометрических функций
    4. Угловой аргумент тригонометрических функций
    5. Свойства функции y = sin x и её график
    6. Свойства функции y = cos x и её график
    7. Периодичность тригонометрических функций, чётность, нечётность
    8. Гармонические колебания (профильный)
    9. Свойства функций y = tg x, y = ctg x и их графики
    10. Функции y = arcsin a, y = arccos a, y = arctg a, y = arcctg a (профильный)
    1. Арккосинус и решение уравнения cos х = a
    2. Арксинус и решение уравнения sin x = a
    3. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a
    4. Методы, используемые для решения тригонометрических уравнений
    1. Формулы синуса суммы и разности, косинуса суммы и разности
    2. Тангенс суммы и разности
    3. Формулы приведения. Общее правило
    4. Формулы синуса, косинуса, тангенса двойного угла
    5. Формулы понижения степени, или формулы половинного угла (профильный)
    6. Формулы сумм тригонометрических функций
    7. Формулы произведений тригонометрических функций
    8. Метод введения вспомогательного угла (профильный)
    1. Числовые последовательности и их свойства
    2. Понятие предела числовой последовательности
    3. Как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии
    4. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности
    5. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной
    6. Вычисление производных. Правила дифференцирования
    7. Как получить уравнение касательной к графику функции
    8. Исследование функций на монотонность и экстремумы
    9. Исследование выпуклости и перегиба, построение графиков функции
    10. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин
    1. Понятие корня n-й степени из действительного числа
    2. Функция корня n-й степени
    3. Свойства корня n-й степени. Преобразование иррациональных выражений
    4. Способы упрощения выражений, содержащих радикалы
    5. Понятие степени с рациональным показателем, свойства степеней
    6. Свойства степенных функций и их графики
    1. Свойства показательной функции и её график
    2. Методы решения показательных уравнений
    3. Методы решения показательных неравенств
    4. Понятие логарифма. Основное логарифмическое тождество
    5. Свойства логарифмической функции и её график
    6. Базовые свойства логарифмов
    7. Методы решения логарифмических уравнений
    8. Методы решения логарифмических неравенств
    9. Переход к новому основанию логарифма
    10. Системы показательных и логарифмических уравнений
    11. Системы логарифмических и показательных неравенств
    12. Производная показательной и логарифмической функции
    1. Понятие первообразной
    2. Неопределённые и определённые интегралы. Методы интегрирования
    3. Вычисление площадей с помощью интегралов
    1. Правило суммы
    2. Правило произведения
    3. Перестановки. Перестановки без повторений
    4. Размещения. Размещения с повторениями
    5. Сочетания и их свойства
    6. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона
    1. Какие бывают случайные события
    2. Комбинации событий. Противоположные события
    3. Вероятность события
    4. Сложение вероятностей
    5. Независимые события. Умножение вероятностей
    6. Статистическая вероятность
    1. Случайные величины
    2. Центральные тенденции
    3. Меры разброса
    4. Закон распределения вероятностей. Закон больших чисел
    1. Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений
    2. Общие методы решения уравнений
    3. Равносильность неравенств. Системы и совокупности неравенств
    4. Уравнения и неравенства с двумя переменными
    5. Общие методы решения систем уравнений
    6. Уравнения и неравенства с параметром
  1. Коллекция интерактивных моделей

Функции: графики и пересечения

Предполагать ж ( Икс ) и г ( Икс ) это две функции, которые принимают на входе действительное число и выводят действительное число.

Тогда точки пересечения ж ( Икс ) и г ( Икс ) эти числа Икс для которого ж ( Икс ) знак равно г ( Икс ) .

Иногда точные значения легко найти, решив уравнение ж ( Икс ) знак равно г ( Икс ) алгебраически.

Пример 1:

Какие точки пересечения функций ж ( Икс ) и г ( Икс ) если ж ( Икс ) знак равно Икс + 6 и г ( Икс ) знак равно - Икс ?

Точки пересечения ж ( Икс ) и г ( Икс ) эти числа Икс для которого ж ( Икс ) знак равно г ( Икс ) .

Это, Икс + 6 знак равно - Икс .

Решить для Икс .

Икс + 6 знак равно - Икс 2 Икс + 6 знак равно 0 2 Икс знак равно - 6 Икс знак равно - 3

Теперь вы можете использовать значение Икс найти соответствующий у -координата точки пересечения.

Подставьте значение Икс в любой из двух функций.

г ( - 3 ) знак равно - ( - 3 ) знак равно 3

Уравнения также можно решить графически, построив две функции на координатной плоскости и указав точку их пересечения.

В других случаях бывает сложно найти точные значения. Возможно, вам потребуется использовать технологию для их оценки.

Пример 2:

Найдите точку (точки) пересечения двух функций.

ж ( Икс ) знак равно | Икс - 5 | г ( Икс ) знак равно бревно Икс

Здесь не так-то просто решить алгебраически.Решения уравнения | Икс - 5 | знак равно бревно Икс не являются красивыми рациональными числами.

Изобразите функции на координатная плоскость .

Вы можете использовать графическую утилиту, чтобы определить, что координаты точек пересечения приблизительно равны ( 4,36 , 0,64 ) и ( 5.76 , 0,76 ) .

Нахождение x-точек пересечения функции

Для графика любой функции пересечение по оси x - это просто точка или точки, в которых график пересекает ось x. Может быть только одна такая точка, может не быть такой точки или много, что означает, что функция может иметь несколько x-точек пересечения. Как вы увидите ниже, мы можем использовать график или простое правило алгебры, чтобы найти точки пересечения по x или x любой функции.Вы также можете прокрутить вниз до примера видео ниже.

Содержание

  1. Использование графика для поиска пересечений по оси x
  2. Использование алгебры для поиска пересечений по оси x
  3. Пример видео (в том числе при отсутствии x-перехватчиков)
  4. Дополнительная литература

объявление

Нахождение пересечений по оси x или x с помощью графика

Как упоминалось выше, функции могут иметь одно, ноль или даже множество x-точек пересечения. Их можно найти, посмотрев, где график функции пересекает ось x, которая является горизонтальной осью в плоскости координат xy.Вы можете увидеть это на графике ниже. Эта функция имеет единственную точку пересечения по оси x.

На графике ниже функция имеет два пересечения по оси x. Обратите внимание, что форма точки всегда \ ((c, 0) \) для некоторого числа \ (c \).

Наконец, на следующем графике показана функция без пересечений по оси x. Вы можете видеть это, потому что он ни в какой точке не пересекает ось абсцисс.

Более подробное обсуждение этих идей можно увидеть здесь: Нули многочлена.

Нахождение точки пересечения по оси x или точки пересечения с использованием алгебры

Общее правило для поиска точки пересечения по оси x или точки пересечения любой функции состоит в том, чтобы положить \ (y = 0 \) и решить относительно \ (x \). Это может быть несколько легко или действительно сложно, в зависимости от функции. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, почему это может быть так.

Пример

Найдите точку пересечения x функции: \ (y = 3x - 9 \)

Решение

Пусть \ (y = 0 \) и решит относительно \ (x \).

\ (\ begin {align} 0 & = 3x - 9 \\ -3x & = -9 \\ x & = 3 \ end {align} \)

Ответ: Следовательно, пересечение по оси x равно 3.2 + 2x - 8 \\ 0 & = (x + 4) (x - 2) \\ x & = -4, 2 \ end {align} \)

Ответ: Эта функция имеет два пересечения по оси x: –4 и 2. Они расположены в \ ((- 4, 0) \) и \ ((2, 0) \).

Для более сложных уравнений часто бывает полезен графический калькулятор, по крайней мере, для оценки местоположения любых точек пересечения.

объявление

Видео примеры

В следующем видео вы можете увидеть, как найти точки пересечения по оси x трех различных функций.Это также включает в себя пример, в котором нет x-перехватов.

Продолжайте изучение графиков

Вы можете продолжить изучение графиков в следующих статьях.

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

Прямоугольная система координат

Точка, которая делит пополам отрезок прямой, образованный двумя точками (x1, y1) и (x2, y2), называется средней точкой. Имеются две точки (x1, y1) и (x2, y2), середина - это упорядоченная пара, заданная формулой (x1 + x22, y1 + y22).и определяется по следующей формуле:

Средняя точка - это упорядоченная пара, образованная путем нахождения среднего значения x и среднего значения y данных точек.

Пример 8: Вычислите среднюю точку между (−1, −2) и (7, 4).

Решение: Сначала вычислите среднее значение x - и y - значений данных точек.

Затем сформируйте среднюю точку в виде упорядоченной пары, используя усредненные координаты.

Чтобы убедиться, что это действительно средняя точка, вычислите расстояние между двумя заданными точками и убедитесь, что результат равен сумме двух равных расстояний от конечных точек до этой средней точки. Эта проверка предоставляется читателю в качестве упражнения.

Попробуй! Найдите середину между (−6, 5) и (6, −11).

Тематические упражнения

Часть A: Заказанные пары

Укажите координаты точек A , B , C , D и E .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Изобразите данный набор упорядоченных пар.

7. {(−4, 5), (−1, 1), (−3, −2), (5, −1)}

8. {(−15, −10), (−5, 10), (15, 10), (5, −10)}

9. {(−2, 5), (10, 0), (2, −5), (6, −10)}

10. {(−8, 3), (−4, 6), (0, −6), (6, 9)}

11. {(−10, 5), (20, −10), (30, 15), (50, 0)}

12. {(−53, −12), (- 13, 12), (23, −1), (53, 1)}

13. {(-35, -43), (25, 43), (1, -23), (0, 1)}

14.{(−3,5, 0), (−1,5, 2), (0, 1,5), (2,5, −1,5)}

15. {(-0,8, 0,2), (-0,2, -0,4), (0, -1), (0,6, -0,4)}

16. {(-1,2, -1,2), (-0,3, -0,3), (0, 0), (0,6, 0,6), (1,2, 1,2)}

Укажите квадрант, в котором находится данная точка.

17. (−3, 2)

18. (5, 7)

19. (−12, −15)

20. (7, −8)

21. (-3,8, 4.6)

22. (17,3, 1,9)

23. (−18, −58)

24. (34, −14)

25. x> 0 и y <0

26. x <0 и y <0

27. x <0 и y> 0

28. x> 0 и y> 0

Средняя цена галлона обычного неэтилированного бензина в городах США представлена ​​на следующем линейном графике. Используйте график, чтобы ответить на следующие вопросы.

Источник: Бюро статистики труда.

29. Какова была средняя цена галлона неэтилированного бензина в 2004 году?

30. Какова была средняя цена галлона неэтилированного бензина в 1976 году?

31. В какие годы средняя цена галлона неэтилированного бензина составляла 1,20 доллара США?

32. Насколько выросла цена галлона бензина с 1980 по 2008 год?

33.На сколько процентов увеличилась цена галлона неэтилированного бензина с 1976 по 1980 год?

34. Каков процент увеличения цены галлона неэтилированного бензина с 2000 по 2008 год?

Средняя цена на универсальную белую муку в городах США с 1980 по 2008 год представлена ​​на следующем линейном графике. Используйте график, чтобы ответить на следующие вопросы.

Источник: Бюро статистики труда.

35. Какова была средняя цена за фунт универсальной белой муки в 2000 году?

36. Какова была средняя цена за фунт универсальной белой муки в 2008 году?

37. В каком году мука стоила в среднем 0,25 доллара за фунт?

38. В какие годы цена на муку составляла в среднем 0,20 доллара за фунт?

39. Каков процент увеличения производства муки с 2000 по 2008 год?

40.Каков процент увеличения муки с 1992 по 2000 год?

Используя следующие данные, создайте линейный график.

41. Процент от общего числа выпускников средней школы, поступивших в колледж.

Год В процентах
1969 36%
1979 40%
1989 47%
1999 42%

Источник: Сборник статистики образования.

42. Средняя дневная температура в мае в градусах Фаренгейта.

Экзамен Температура
8:00 60
12:00 72
16:00 75
20:00 67
12:00 60
4:00 55

Вычислите площадь фигуры, образованной соединением следующего набора вершин.

43. {(0, 0), (0, 3), (5, 0), (5, 3)}

44. {(−1, −1), (−1, 1), (1, −1), (1, 1)}

45. {(−2, −1), (−2, 3), (5, 3), (5, −1)}

46. {(−5, −4), (−5, 5), (3, 5), (3, −4)}

47. {(0, 0), (4, 0), (2, 2)}

48. {(−2, −2), (2, −2), (0, 2)}

49. {(0, 0), (0, 6), (3, 4)}

50. {(−2, 0), (5, 0), (3, −3)}

Часть B: Формула расстояния

Рассчитайте расстояние между заданными двумя точками.

51. (−5, 3) и (−1, 6)

52. (6, −2) и (−2, 4)

53. (0, 0) и (5, 12)

54. (−6, −8) и (0, 0)

55. (−7, 8) и (5, −1)

56. (-1, -2) и (9, 22)

57. (−1, 2) и (−7/2, −4)

58. (−12, 13) и (52, −113)

59. (−13, 23) и (1, −13)

60. (12, −34) и (32, 14)

61.(1, 2) и (4, 3)

62. (2, −4) и (−3, −2)

63. (-1, 5) и (1, -3)

64. (1, −7) и (5, −1)

65. (−7, −3) и (−1, 6)

66. (0, 1) и (1, 0)

67. (-0,2, -0,2) и (1,8, 1,8)

68. (1,2, −3,3) и (2,2, −1,7)

Для каждой задачи покажите, что три точки образуют прямоугольный треугольник.

69.(−3, −2), (0, −2) и (0, 4)

70. (7, 12), (7, −13) и (−5, −4)

71. (-1,4, 0,2), (1, 2) и (1, -3)

72. (2, -1), (-1, 2) и (6, 3)

73. (−5, 2), (−1, −2) и (−2, 5)

74. (1, −2), (2, 3) и (−3, 4)

Равнобедренные треугольники имеют две ножки одинаковой длины. Для каждой задачи покажите, что следующие точки образуют равнобедренный треугольник.

75.(1, 6), (-1, 1) и (3, 1)

76. (−6, −2), (−3, −5) и (−9, −5)

77. (−3, 0), (0, 3) и (3, 0)

78. (0, -1), (0, 1) и (1, 0)

Вычислите площадь и периметр треугольников, образованных следующим набором вершин.

79. {(−4, −5), (−4, 3), (2, 3)}

80. {(−1, 1), (3, 1), (3, −2)}

81. {(−3, 1), (−3, 5), (1, 5)}

82.{(−3, −1), (−3, 7), (1, −1)}

Часть C: Формула средней точки

Найдите середину между заданными двумя точками.

83. (−1, 6) и (−7, −2)

84. (8, 0) и (4, −3)

85. (−10, 0) и (10, 0)

86. (−3, −6) и (−3, 6)

87. (−10, 5) и (14, −5)

88. (0, 1) и (2, 2)

89. (5, −3) и (4, −5)

90.(0, 0) и (1, 1)

91. (-1, -1) и (4, 4)

92. (3, −5) и (3, 5)

93. (−12, −13) и (32, 73)

94. (34, −23) и (18, −12)

95. (53, 14) и (−16, −32)

96. (−15, −52) и (710, −14)

97. Дан прямоугольный треугольник, образованный вершинами (0, 0), (6, 0) и (6, 8), покажите, что середины сторон образуют прямоугольный треугольник.

98. Для равнобедренного треугольника, образованного вершинами (−10, −12), (0, 12) и (10, −12), покажите, что середины сторон также образуют равнобедренный треугольник.

99. Вычислите площадь треугольника, образованного вершинами (−4, −3), (−1, 1) и (2, −3). (Подсказка: вершины образуют равнобедренный треугольник.)

100. Вычислите площадь треугольника, образованного вершинами (−2, 1), (4, 1) и (1, −5).

Часть D. Темы дискуссионной доски

101.Изучите и обсудите жизнь и вклад в математику Рене Декарта.

102. Изучите и обсудите историю прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора.

103. Что такое тройка Пифагора? Приведите несколько примеров.

104. Объясните, почему нельзя использовать линейку для вычисления расстояния на графике.

105. Как разделить отрезок пополам с помощью циркуля и линейки?

Координаты

и декартова плоскость - Урок

. (0 Рейтинги)

Быстрый просмотр

Уровень оценки: 8 (7-9)

Требуемое время: 45 минут

Зависимость урока:

Тематические области: Алгебра

Резюме

Краткое напоминание о декартовой плоскости включает в себя то, как точки записываются в формате (x, y) и ориентированы по осям, а также какие направления являются положительными и отрицательными.Затем учащиеся узнают о том, что означает, что отношение является функцией, и как определить область и диапазон набора точек данных из игры моделирования, найденной в связанной деятельности.

Инженерное соединение

Многие важные инженерные отношения легко понять в виде графиков. Построение графиков необходимо для понимания математики, используемой во всех типах инженерии. Например, инженеры-строители должны понимать построение графиков, чтобы иметь возможность определять определенные области напряжений и деформаций в планах строительства мостов и других конструкций.В вопросах 1–5 журнала (в разделе «Оценка») учащиеся рассматривают важность создания визуальных представлений данных, а также возможных источников данных.

Цели обучения

После этого урока учащиеся должны уметь:

  • Опишите декартову плоскость и правильно обозначьте ее части.
  • Объясните источник названия "Декартов".
  • Опишите соглашение об именах координат в форме (x, y).
  • Объясните, что такое функция и как определить, является ли набор координат функцией.
  • Определите область и диапазон набора точек.
  • Постройте набор точек данных.
  • Объясните, как понимание графиков поможет в решении задачи.

Образовательные стандарты

Каждый урок или задание TeachEngineering соотносится с одним или несколькими научными дисциплинами K-12, образовательные стандарты в области технологий, инженерии или математики (STEM).

Все 100000+ стандартов K-12 STEM, охватываемых TeachEngineering , собираются, обслуживаются и упаковываются сетью стандартов Achievement Standards Network (ASN) , проект D2L (www.achievementstandards.org).

В ASN стандарты иерархически структурированы: сначала по источникам; например , по штатам; внутри источника по типу; например , естественные науки или математика; внутри типа по подтипу, затем по классу, и т. д. .

Общие основные государственные стандарты - математика
  • Используйте пару перпендикулярных числовых линий, называемых осями, для определения системы координат, при этом пересечение линий (начало координат) совпадает с нулем на каждой линии и заданной точкой на плоскости, расположенной с помощью упорядоченной пары числами, названными его координатами.Поймите, что первое число указывает, как далеко нужно пройти от начала координат в направлении одной оси, а второе число указывает, как далеко нужно пройти в направлении второй оси, с условием, что имена двух осей и координаты соответствуют (например, ось x и координата x, ось y и координата y). (Оценка 5) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Под знаками чисел в упорядоченных парах следует понимать положения в квадрантах координатной плоскости; Признайте, что когда две упорядоченные пары отличаются только знаками, положения точек связаны отражениями по одной или обеим осям.(Оценка 6) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Найдите и разместите целые числа и другие рациональные числа на горизонтальной или вертикальной числовой линейной диаграмме; найти и расположить пары целых и других рациональных чисел на координатной плоскости.(Оценка 6) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Поймите, что функция - это правило, которое назначает каждому входу ровно один выход.График функции - это набор упорядоченных пар, состоящих из входа и соответствующего выхода. (Оценка 8) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Поймите, что функция из одного набора (называемого доменом) в другой набор (называемого диапазоном) назначает каждому элементу домена ровно один элемент диапазона.Если f - функция, а x - элемент ее области, то f (x) обозначает выход f, соответствующий входу x. График f - это график уравнения y = f (x). (Оценки 9 - 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Используйте нотацию функций, оценивайте функции для входных данных в их доменах и интерпретируйте операторы, которые используют нотацию функций в терминах контекста.(Оценки 9 - 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Свяжите область определения функции с ее графиком и, если применимо, с количественной зависимостью, которую он описывает.(Оценки 9 - 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Международная ассоциация преподавателей технологий и инженерии - Технология
  • Используйте компьютеры и калькуляторы в различных приложениях.(Оценки 6 - 8) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Знания, полученные в других областях исследований, имеют прямое влияние на разработку технологических продуктов и систем.(Оценки 6 - 8) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Предложите выравнивание, не указанное выше

Какое альтернативное выравнивание вы предлагаете для этого контента?

Рабочие листы и приложения

Посетите [www.teachengineering.org/lessons/view/van_linear_eqn_less2], чтобы распечатать или загрузить.

Больше подобной программы

Клубная функция

Учащиеся изучают определение функции, играя в интерактивную игру под названием «Клубная функция». Благодаря этому упражнению учащиеся приходят к пониманию, что одна координата x может иметь только одну соответствующую координату y, в то время как координаты y могут иметь множество соответствующих ей координат x.

Как работает машинное обучение?

Студенты узнают о первых попытках машинного обучения и, в частности, о модели персептрона - упрощенной модели биологического нейрона.

Все о линейном программировании

Студенты узнают о линейном программировании (также называемом линейной оптимизацией) для решения задач инженерного проектирования.Они применяют эту информацию для решения двух практических задач инженерного проектирования, связанных с оптимизацией материалов и затрат, путем построения графиков неравенств, определения координат и уравнений из ...

Графические уравнения на декартовой плоскости: наклон

Учащиеся узнают о важной характеристике линий: их уклонах.Студенты получают объяснение того, когда и как возникают эти разные типы наклона.

Предварительные знания

Знакомство с координатной плоскостью, координатами и уравнениями полезно, но не обязательно.

Введение / Мотивация

(Заранее сделайте копии рабочего листа Work It Out.Затем подготовьтесь к демонстрации студентам файла PowerPoint® для презентации линейных функций с 11 слайдами, который содержит для них примечания. Презентация состоит из трех разделов, выделенных тремя разными цветами фона слайда (синий, серый, золотой). Слайды «анимированы», поэтому щелкните мышью [или пробел], чтобы отобразить следующие элементы. Покажите слайды 1–4 с разделом «Введение / Мотивация». Покажите слайды 4-8 при представлении справочной информации об уроке. Используйте слайды 9–11 в сочетании с соответствующим мероприятием «Клубная функция»; они включены в эту презентацию урока как предварительный просмотр упражнения учителем.)

(Показывая слайды 1-4, представьте учащимся следующую информацию.)

Вам когда-нибудь так нравились две вещи, что вы хотели объединить их в одну удивительную вещь? (Послушайте комментарии студентов.) Например, подумайте об арахисе и шоколадной стружке. Вместе они могут сделать печенье с арахисовым маслом и шоколадной стружкой сверху! А как насчет игры в Сламбол? Он сочетает в себе удовольствие от прыжков на батуте с правилами баскетбола. Обе прекрасные идеи, и есть еще много других.

Одна интересная комбинация связана с французом, который очень любил математику в 1600-х годах. Его звали Рене Декарт, и ему нравились и алгебра, и геометрия, но тогда люди не думали, что эти две темы связаны между собой. Декарт начал искать способы их объединения, чтобы их можно было использовать вместе для важных приложений. Он придумал этот изящный способ взять числа, принадлежащие к области алгебры, и нанести их визуально на геометрическую координатную плоскость, чтобы показать, как они связаны.Эта координатная плоскость стала известна как «декартова плоскость», названная в его честь.

Некоторые части координатной плоскости важно понять, прежде чем мы сможем научиться их использовать. На сегодняшнем уроке вы узнаете о нем и о том, как его использовать.

(Раздайте рабочие листы и продолжайте знакомить учащихся с материалами урока.)

Предпосылки и концепции урока для учителей

По-прежнему демонстрируя слайд 4 прикрепленного файла PPT, дайте учащимся следующую информацию, пока они делают заметки на рабочем листе:

  • Попросите учащихся обозначить оси буквами «x» и «y», а также добавить стрелки на концах каждой оси, чтобы показать, что это продолжается вечно.
  • Поговорите о квадрантах декартовой плоскости, попросив студентов обозначить их «I, II, III и IV».
  • Укажите, какие направления являются положительными (справа по оси x и вверх по оси y), а какие направления отрицательными (слева по оси x и вниз по оси y), и попросите учащихся отметить шкалы на каждая ось.
  • Укажите начало координат, точку (0,0).

авторское право

Авторское право © 2010 Меган Мерфи. Используется с разрешения.

Пока все еще отображается слайд 4 , начните говорить о координатах: что означает (0,0)? Учащиеся могут сказать, переместившись на 0 единиц влево или вправо по оси x и переместив 0 единиц вверх или вниз по оси y.Попросите их рассказать вам, где x, а где y. Затем скажите им, что мы обычно можем записать формат как (x, y), и попросите их заполнить его на своих рабочих листах.

Пройдите процесс нанесения с их помощью пары точек. В зависимости от их уровня знакомства с темой может потребоваться небольшая подсказка. Когда они поймут концепцию, попросите их попрактиковаться в нанесении координат в нижней части своих рабочих листов. Затем просмотрите ответы всем классом и выясните все заблуждения.(Это хорошее место для остановки для более коротких уроков, так как ученики могут закончить чертить точки в качестве домашнего задания.)

Показывая слайдов 5–8 , научите студентов определять функцию. Используйте слайды для определения отношений, функций, домена, диапазона и линейных функций. Попросите учащихся выполнить практические задачи, показанные на слайде 8, и обсудить их ответы всем классом.

В качестве домашнего задания поручите учащимся заполнить рабочий лист (если он не выполнен в классе) и домашнее задание Урока 2 с практическим листом на координатной плоскости, функции, предметной области и диапазоне.

Примечание. Слайды 9–11 объясняют правила игровой деятельности «Функция клуба» (включены сюда только для предварительного просмотра учителем). За подробностями и примерами обратитесь к соответствующему действию функции клуба.

Сопутствующие мероприятия

  • Функция клуба - учащиеся узнают об отношениях и функциях с помощью интерактивной игры-моделирования.

Оценка

Практика: Во время урока (или в качестве домашнего задания) попросите учащихся заполнить рабочий лист Work It Out, чтобы попрактиковаться в нанесении некоторых координат самостоятельно.

Журнал Вопросы : В конце урока попросите учащихся создать в своих дневниках небольшие графики точек данных из набора данных большой задачи. Постройте график первых 10 точек. Создайте соответствующий масштаб и приблизьте расположение каждой точки. Затем попросите их написать ответы на следующие вопросы.

  1. Вы видите формирование тренда?
  2. Нарисуйте линию, аппроксимирующую эту тенденцию.
  3. Что этот график сообщил вам, чего вы еще не узнали, просмотрев данные?
  4. Почему важно графическое отображение набора данных?
  5. Как вы думаете, откуда могли взяться эти данные?

Домашнее задание: Поручите учащимся выполнить домашнее задание Урока 2 по координатной плоскости, функциям, домену и диапазону, чтобы научиться определять, является ли группа точек функцией, а также определять область и диапазон наборов точек.

авторское право

© 2013 Регенты Университета Колорадо; оригинал © 2007 Университет Вандербильта

Авторы

Обри МакКелви

Программа поддержки

VU Bioengineering RET Program, Школа инженерии, Университет Вандербильта

Благодарности

Содержание этой учебной программы по цифровой библиотеке было разработано в рамках грантов №№ RET Национального научного фонда.0338092 и 0742871. Однако это содержание не обязательно отражает политику NSF, и вам не следует предполагать, что оно одобрено федеральным правительством.

Последнее изменение: 20 июля 2021 г.

10,3 Районы в полярных координатах

Мы можем использовать уравнение кривой в полярных координатах для вычисления некоторые области, ограниченные такими кривыми. Базовый подход такой же, как и в любом приложении интеграции: найти приближение, которое приближается к истинному значению.2 \ theta-4 \; d \ theta = {4 \ over3} \ pi + 2 \ sqrt {3}. $$ $ \ квадрат $

Рисунок 10.3.2. Область между кривыми.

В этом примере процесс кажется более простым, чем на самом деле. является. Поскольку точки имеют много разных представлений в полярных координатах. координаты, не всегда так просто определить точки пересечение.

Пример 10.3.3 Находим заштрихованную область на первом графике рисунок 10.3.3 как разница двух других заштрихованных участков. Кардиоида равна $ r = 1 + \ sin \ theta $ и круг равен $ r = 3 \ sin \ theta $.Пытаемся найти точки пересечения: $$ \ eqalign { 1+ \ грех \ тета & = 3 \ грех \ тета \ cr 1 & = 2 \ грех \ тета \ кр 1/2 & = \ sin \ theta. \ Cr} $$ У этого есть решения $ \ theta = \ pi / 6 $ и $ 5 \ pi / 6 $; $ \ pi / 6 $ соответствует пересечение в первом квадранте, которое нам нужно. Обратите внимание, что нет решение этого уравнения соответствует точке пересечения на происхождение, но, к счастью, это очевидно. Кардиоида проходит происхождение, когда $ \ theta = - \ pi / 2 $; круг проходит через начало координат в кратные $ \ pi $, начиная с $ 0 $.2 \; d \ theta = {3 \ pi \ over8} - {9 \ over16} \ sqrt {3} $$ поэтому область, которую мы ищем, равна $ \ pi / 8 $. $ \ квадрат $

Рисунок 10.3.3. Область между кривыми.

Упражнения 10.3

Найдите площадь, ограниченную кривой.

Пример 10.3.1 $ \ ds r = \ sqrt {\ sin \ theta} $ (отвечать)

Пр. 10.3.2 $ \ ds r = 2 + \ cos \ theta $ (отвечать)

Пр. 10.3.3 $ \ ds r = \ sec \ theta, \ pi / 6 \ le \ theta \ le \ pi / 3 $ (отвечать)

Пр. 10.3,4 $ \ ds r = \ cos \ theta, 0 \ le \ theta \ le \ pi / 3 $ (отвечать)

Пример 10.3.5 $ \ ds r = 2a \ cos \ theta, a> 0 $ (отвечать)

Пр. 10.3.6 $ \ ds r = 4 + 3 \ sin \ theta $ (отвечать)

Пример 10.3.7 Найдите область внутри петли, образованной $ \ ds r = \ tan (\ theta / 2) $. (отвечать)

Пример 10.3.8 Найдите площадь внутри одной петли $ \ ds r = \ cos (3 \ theta) $. 2 \ theta $.2 = \ cos (2 \ theta) $. (отвечать)

Пример 10.3.13 Найдите область, заключенную в $ r = \ tan \ theta $ и $ \ ds r = {\ csc \ theta \ over \ sqrt2} $. (отвечать)

Пр. 10.3.14 Найдите область внутри $ r = 2 \ cos \ theta $ и снаружи $ г = 1 $. (отвечать)

Пример 10.3.15 Найдите область внутри $ r = 2 \ sin \ theta $ и выше линия $ r = (3/2) \ csc \ theta $. (отвечать)

Пример 10.3.16 Найдите область внутри $ r = \ theta $, $ 0 \ le \ theta \ le2 \ pi $. (отвечать)

Пр. 10.3,17 Найдите область внутри $ \ ds r = \ sqrt {\ theta} $, $ 0 \ le \ theta \ le2 \ pi $. (отвечать)

Пр. 10.3.18 Найдите площадь внутри $ \ ds r = \ sqrt3 \ cos \ theta $ и $ г = \ грех \ тета $. (отвечать)

Пр. 10.3.19 Найдите площадь внутри обоих $ r = 1- \ cos \ theta $ и $ r = \ cos \ theta $. (отвечать)

Пример 10.3.20 Центр круга радиуса 1 находится на окружность круга радиуса 2. Найдите площадь области внутри обоих кругов. (отвечать)

Пр. 10.3,21 Найдите заштрихованную область на рисунке 10.3.4. Кривая - это $ r = \ theta $, $ 0 \ le \ theta \ le3 \ pi $. (отвечать)

Рисунок 10.3.4. Область, ограниченная спиралью Архимеда.

Введение в декартовы системы координат

Представляете ли вы данные на линейном графике, прокладываете маршрут на лодке вдоль побережья или просто определяете местоположение автостоянки на карте национального парка, вам необходимо иметь представление о координатах точки.

Точка - это отдельное местоположение, где угодно. Это может быть прямая линия (в одном измерении), на двухмерной поверхности или в плоскости (например, точка на листе бумаги) или в трехмерном пространстве (например, положение самолета в полете на в данный момент времени).

Сама точка безразмерная (т.е. она не имеет размеров или измеримого размера). Его позиция - вот что важно. Каждая точка, о которой вы можете подумать, каждый атом в космосе занимает свое уникальное место, занимаемое только им самим.Это место может измениться со временем (самолет летит из пункта А в пункт Б), но в любой момент оно имеет уникальное местоположение. Каждая точка имеет адрес, называемый ее координатами , который описывает ее местоположение относительно другого известного местоположения .

На двумерной плоскости точка может быть описана парой координат в системе координат , например (x, y). В трехмерном пространстве точку можно описать тремя координатами e.г. (х, у, г). Наиболее распространенные системы координат, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, - это Декартовы системы координат . Они используются там, где плоскость, поверхность или пространство могут быть описаны в плоских, прямоугольных размерах (например, прямоугольник или квадратная сетка).

Однако там, где задействовано изогнутых линий, поверхностей и пространств, необходимо использовать систему, полученную из круглых форм. Для получения дополнительной информации см. Нашу страницу о полярных, сферических или цилиндрических системах координат .

Двумерные декартовы координаты

Декартова система координат на двумерной плоскости определяется двумя перпендикулярными осями.

Другими словами, две линии, проведенные под прямым углом друг к другу на плоской поверхности (например, на плоском листе бумаги, тонком стекле или на поверхности футбольного поля), обеспечивают опорную сетку для каждой точки на этой поверхности. . Вы также можете увидеть этот тип системы, называемый прямоугольной системой координат или ортогональной системой координат , потому что базовые оси перпендикулярны.

Типичная декартова система координат определяется осями x и y. Каждая ось имеет единицу длины или расстояния (например, метры или мили). Любая точка в системе координат описывается расстоянием относительно осей x и y (x, y). Оси пересекаются в точке, где значения x и y равны нулю; это называется начало координат (0,0) .

Ниже приведен пример, показывающий координаты пяти различных точек в двумерной декартовой системе с осями, условно обозначенными как x (горизонтальная) и y (вертикальная).Каждая из пяти точек определяется двумя числами, первое из которых - это расстояние, перпендикулярное оси y (его значение x), а второе - расстояние, перпендикулярное оси x (его значение y). Обратите внимание, что направление от начала координат также важно, поскольку оно определяет, будут ли значения x и y положительными или отрицательными.

Когда вы сталкиваетесь с диаграммой, подобной приведенной выше, например, с картой или, возможно, с набором данных, вам, вероятно, потребуется сделать одно из двух:

  • Либо , у вас есть точка на карте, и вам нужно определить ее координаты;
  • Или у вас есть координаты, и вам нужно определить местоположение точки.

Определение координат точки

Чтобы определить координаты точки, рассмотрите Точка A на диаграмме (отмечена красным в положительных квадрантах x и y или в квадранте 1). Во-первых, измерьте, как далеко он находится по оси x от начала координат, то есть расстояние по перпендикуляру от оси y. Это обеспечивает вашу координату x, которая имеет значение 2. Затем измерьте, как далеко точка находится вдоль оси y в перпендикулярном направлении от оси x.Это дает вашу координату y, которая имеет значение 3.

Координаты Точки A , следовательно, (2,3).

Определение местоположения точки по ее координатам

Во втором случае вам могут быть даны координаты (−5,5, −1,5), и вам нужно будет найти положение этой точки на графике или карте. В этом случае вы сначала перемещаетесь по отрицательной оси x, пока не достигнете значения -5,5. Затем из этого положения двигайтесь в перпендикулярном направлении -1.5 единиц, т.е. 1,5 единицы, параллельные отрицательной оси Y, и отметьте свою точку. В качестве альтернативы вы можете нарисовать вертикальную линию при x = −5,5 и горизонтальную линию при y = −1,5.

В месте пересечения двух линий находится точка (−5,5, −1,5), которая показана на диаграмме как Точка B в квадранте 3.

Предупреждение! Последовательность значительна!


При чтении или записи координат очень важно, , чтобы они всегда располагались в порядке x, y.Глядя на Квадрант 1 на диаграмме, вы можете увидеть, что Точка A (2,3) находится в совершенно другом месте по сравнению с точкой (3,2)!

Оси координат: важное соглашение

Декартовы системы координат часто имеют оси, помеченные x и y, но это не всегда так. Однако важно четко различать одно от другого, поскольку точка (x, y) не то же самое, что точка (y, x).

Обычно горизонтальная ось (x) называется абсциссой , а вертикальная ось (y) называется ординатой .Абсцисса и ордината - это первая и вторая координаты любой точки в системе координат, независимо от того, обозначены ли оси x и y или что-то еще.

Если вам сложно вспомнить, какая из осей является A bscissa или O rdinate, помните, что в алфавите x идет до y , а A идет до O . Вы также можете представить, как идете по коридору A , а затем поднимаетесь по лестнице!



Трехмерные декартовы координаты

В трехмерной декартовой системе координат положение точки в пространстве должно описываться тремя координатами, обычно (x, y, z).В двумерной системе точка находится где-то на плоской плоскости. Однако плоскость имеет только длину и ширину, тогда как трехмерное пространство также должно иметь высоту или глубину. В этом случае вы можете представить точку где-то внутри прямоугольного блока.

Первые две координаты, x и y, определяются так же, как в двумерной системе. Они описывают положение точки, если она проецируется вниз (или вверх) под прямым углом на плоскость x-y.Чтобы это было легче визуализировать, представьте, что вы держите мяч в руке, вытянутую на уровне плеч. Мяч - это ваша точка зрения. Если вы уроните мяч, он отскочит от земли сразу под вашей рукой. Если земля представляет собой плоскость x-y, точка, в которой мяч отскакивает, является координатой точки (x, y).

Трехмерная система также имеет ось z, которая перпендикулярна плоскости x-y. Положение над землей, в котором вы держали мяч, является его координатой z.Начало трехмерной декартовой системы - это точка, в которой x, y и z равны нулю (0,0,0).

С математической точки зрения точка P в типичной трехмерной декартовой системе координат показана на диаграмме ниже. P эквивалентен мячу в нашем примере.

Маловероятно, что вам понадобится использовать трехмерные декартовы системы координат в повседневной жизни, если вы не занимаетесь проектированием, физикой, архитектурой или другими приложениями компьютерного проектирования.Однако полезно понять, как они работают. Многие пакеты для трехмерного проектирования и рисования, используемые дома, работают на этих принципах, поэтому базовые знания пространственной геометрии часто являются ценными для их успешного использования.


Применение декартовых координат

Использование декартовых координат при построении графиков алгебраических уравнений

В математике будут времена, когда необходимо построить график из алгебраического уравнения, чтобы полностью понять и интерпретировать его характеристики.2 + 9x + 20 $$

Для получения дополнительной информации см. Наши страницы Графики и диаграммы и квадратные уравнения.

Применение декартовых координат к навыкам чтения карт

Представьте, что друг говорит

«Мы встретимся на автостоянке на B4437, затем дойдем до места для пикника, чтобы пообедать. Позже поедем в паб. Это тот, что у дороги - если вы дойдете до церкви, вы зашли слишком далеко! »

На иллюстрации выше показана упрощенная карта местности.

В наши дни вы можете найти дорогу практически куда угодно благодаря спутниковой навигации и мобильным приложениям, таким как Google Maps. Тем не менее, навыки чтения карт по-прежнему очень полезны. Вы можете оказаться в ситуации, когда нет сигнала мобильной связи или у вас разрядился аккумулятор.

Каждый тип карты будет иметь ключ , который представляет собой список всех символов, используемых на карте, и их значения, а также пронумерованную сетку, которая является уникальной для этой области.The Ordnance Survey в Великобритании - один из самых известных производителей карт в мире. Любое местоположение, отображаемое ОС, имеет уникальную ссылку на сетку , которая представляет собой ее координаты . Независимо от того, является ли это ветряной мельницей в Норфолке или точкой триангуляции на шотландской горе, вы можете найти ее на карте, если у вас есть привязка к ее сетке.

Координаты на карте представляют собой четырехзначные или шестизначные привязки сетки. Декартова ось x заменяется северными координатами , а ось Y - северными координатами .Координаты точки находятся так же, как и в декартовой системе - по коридору и по лестнице !

Ссылка на четырехзначную сетку обозначает квадрат на карте, содержащий местоположение. Координаты - это точка в нижнем левом углу квадрата. Например, вашу автостоянку можно найти в 1947 году, а в пабе - по адресу 2145.

Но что делать, если нам нужно гораздо более точное описание местоположения? В этом примере вам нужно знать точное местоположение места для пикника, так как оно находится на некотором расстоянии от автостоянки и дороги.В этом случае вам понадобится шестизначная сетка.

Ссылка на сетку из шести цифр получается путем представления, что каждый квадрат сетки разделен на десять частей, как единицы на миллиметровой бумаге. Четырехзначная сетка для места для пикника - 2048, но добавив десятые доли к 20 и 48, мы можем найти более точное описание места.

Сначала посмотрев на восточные районы, можно увидеть, что место для пикника находится менее чем на полпути между 20 и 21, что, по вашему мнению, составляет около 20.4, или четыре десятых от 20. Таким образом, первые три цифры вашей привязки к сетке записываются как 203. Глядя на север, вы можете видеть, что это местоположение составляет примерно треть пути между 48 и 49, поэтому вторая три цифры - 483. Следовательно, место для пикника находится по адресу 203483.

Попытайтесь найти сетку координат для церкви.

Ответ 218447.


Заключение

Самым важным свойством точки на поверхности или в трехмерном пространстве является ее точное положение.Это можно измерить с помощью системы координат, например декартовой системы координат.

Понимание того, как работают системы координат, поможет вам математически при рисовании графиков, а также поможет вам не заблудиться, если у вас есть карта.


Построение линии наилучшего соответствия

Лучшие линии
также можно называть: Линейная регрессия
Линии тренда

Вопросы, которые просят вас нарисовать наиболее подходящую линию или тенденцию в данных, обычно не требуют, чтобы вы «соединяли точки».Вместо этого вопрос просит вас подумать о том, как два набора данных ведут себя по отношению друг к другу. Как правило, мы подгоняем линии к данным, когда хотим использовать их для целей прогнозирования или для определения общей тенденции данных.

Большинство ученых используют компьютерную программу для построения линии, наиболее подходящей для набора данных, но построение ее для себя - хороший способ узнать, как это делается. Поскольку компьютер этого не делает, вы можете обнаружить, что ваша линейка «наиболее подходящих» немного отличается от ваших партнеров по лаборатории.В большинстве случаев это нормально, если вы имитировали тенденцию данных.

Почему (и когда) мне следует использовать наиболее подходящую леску?

Во вводном курсе наук о Земле большинство упражнений, в которых вам предлагается построить наиболее подходящую линию, связаны с желанием уметь распознавать взаимосвязи между переменными на Земле или предсказывать поведение системы (в данном случае системы Земли). Мы хотим знать, существует ли взаимосвязь между количеством азота в воде и интенсивностью цветения водорослей, или мы хотим знать взаимосвязь одного химического компонента породы с другим.В целях прогнозирования мы могли бы предпочесть знать, как часто может произойти землетрясение по конкретному разлому или вероятность очень большого наводнения на данной реке. Все эти приложения используют наиболее подходящие линии на диаграммах рассеяния (графики x-y только с точками данных, без линий).

Если вы столкнулись с вопросом, в котором вас просят провести линию тренда, линейную регрессию или наиболее подходящую линию, вас наверняка попросят провести линию через точки данных на диаграмме рассеяния. Вас также могут попросить приблизить тренд или нарисовать линию, имитирующую данные.Эта страница создана, чтобы помочь вам ответить на любой из этих типов вопросов. Если вы не знаете, как отвечать на вопросы о тенденциях и наиболее подходящих линиях, рассмотрите его и примеры проблем.

Как мне построить наиболее подходящую линию?

Линия наилучшего соответствия предназначена для имитации тенденции данных. Во многих случаях линия может не проходить через очень многие точки на графике. Вместо этого идея состоит в том, чтобы получить линию с равным количеством точек с обеих сторон. Большинство людей начинают с анализа данных.
  1. Взгляните на данные и сами эти вопросы
    • Данные выглядят как линия? или большая капля? Постарайтесь мысленно представить общий тренд данных (даже если это просто капля)
    • Тенденция точек выглядит положительно коррелированной (как будто они поднимаются вправо; щелкните изображение справа) или отрицательно коррелированной (как будто они начинаются высоко возле оси x и опускаются по мере приближения к оси y; см. изображение слева)? Ваша линия тренда (когда вы закончите со следующими шагами) должна имитировать эти корреляции.
    • Если размыть глаза, можно ли увидеть толстую линию, которая тянется в том или ином направлении? Это еще один способ визуализировать тенденцию изменения данных.
  2. Теперь, когда у вас есть представление об общей тенденции данных, есть два возможных способа построить на глаз наиболее подходящую линию. Вы можете использовать любой из них; оба являются правильными и относительно простыми способами получить довольно точное представление о наиболее подходящей линии. Выберите тот, который вам больше всего подходит. Первый метод заключается в заключении данных в область:
    1. Начните с нанесения всех ваших данных.В этом примере мы будем использовать некоторые геохимические данные с пика Лассен, вулкана в Северной Калифорнии, который последний раз извергался в 1915 году (данные были собраны студентом-исследователем Университета Висконсина Ошкош!). Вот график зависимости оксида натрия (Na2O) от кремнезема (SiO2) в результате извержения пика Лассена в 1915 году. Вы можете загрузить и распечатать этот график (Acrobat (PDF) 171 КБ, 27 августа 2008 г.) для использования в этом упражнении.

      Геохимические данные по дацитам, прорвавшимся с пика Лассен в 1915 году. Данные собраны Рашель Кернен, студенткой Висконсинского университета в Ошкоше и представлены на осеннем заседании AGU в 2007 году.


    2. Нарисуйте фигуру, охватывающую все данные (постарайтесь сделать ее гладкой и относительно ровной).
    3. Нарисуйте линию, разделяющую область, охватывающую данные, на две области одинакового размера. Другими словами, разделите область пополам линией, идущей от одного края участка к другому.
    4. Поздравляем! Вы только что построили линию наилучшего соответствия по данным! Обратите внимание, что линия не обязательно должна проходить через ЛЮБУЮ точку на графике, важно только, чтобы ваша линия делила пополам (разрезала пополам) область, которая охватывает точки данных.Теперь вы можете использовать линию для прогнозирования поведения. Или вы можете изучить другой метод и попробовать его.
    Обратите внимание, что чем более плотно кластеризованы данные, тем меньше будет область. Мы можем сделать то же самое с данными Al 2 O 3 с пика Лассена и увидеть разницу.
    1. Начнем с построения графика зависимости данных Al 2 O 3 от SiO 2 . Вы можете загрузить и распечатать этот график (Acrobat (PDF) 164 КБ, 27 августа 2008 г.), чтобы использовать его при выполнении этого упражнения.

      Геохимические данные по дацитам, прорвавшимся с пика Лассен в 1915 году. Данные, собранные Рашель Кернен, студенткой Висконсинского университета в Ошкоше, представлены на осеннем собрании AGU в 2007 году.


    2. Нарисуйте фигуру, охватывающую все данные. Обратите внимание, что площадь меньше, чем на графике Na выше, потому что в этих данных меньше разброс.
    3. Нарисуйте линию, разделяющую область, охватывающую данные, на две области одинакового размера.Другими словами, разделите область пополам линией, идущей от одного края участка к другому.
    Второй метод включает разделение данных на две равные группы, аппроксимацию центра каждой группы и построение линии между двумя центрами.
    1. Начните с нанесения всех ваших данных. Для этого упражнения мы будем использовать данные Na2O, указанные выше.

      Геохимические данные по дацитам, извергавшимся с пика Лассен в 1915 году. Данные собраны Рэйчел Кернен, студенткой Висконсинского университета Ошкош и представлены на осеннем собрании AGU в 2007 году.


    2. Нарисуйте пунктирную линию, разделяющую данные на две части (четное количество точек по обе стороны от линии)
      В данном случае на графике 21 точка, поэтому, насколько вы можете, начертите линию с примерно 10,5 точками по обе стороны от нее. Есть три точки, которые действительно близки к линии, так что постарайтесь.
    3. Поместите x (или +, или точку) в вашу интерпретацию центра данных по обе стороны от линии.
      Ваши метки x могут быть не в том же месте, что и мои - это нормально, мы все видим вещи немного по-другому. Однако они не должны быть слишком далеко.
    4. Соедините метки x линией, доходящей до краев графика.
    5. Поздравляем! Вы только что построили линию наилучшего соответствия по данным! Обратите внимание, что линия не обязательно должна проходить через ЛЮБУЮ из точек на графике, важно только, чтобы ваши метки x находились в центре нанесенных на график данных, а ваша линия соединяла эти метки x.Теперь вы можете использовать линию для прогнозирования поведения. Или вы можете изучить другой метод и попробовать его.
  3. Оцените наиболее подходящую вам стропу. Вернитесь к вопросам под номером 1. Ваша линия выглядит так, как вы думали?
    • Вы видите, что на каждой стороне линии примерно одинаковое количество точек данных?
    • И равномерно ли они распределены (то есть убедитесь, что графики с различными значениями x находятся наверху (и внизу) линии, а не сверху на нижнем конце и наиболее низко на верхнем)?
    • Ваша линия минимизирует среднее расстояние от нее до каждой точки данных?
    Обратите внимание, что в некоторых случаях наиболее подходящие линии не проходят через и точек на графиках.При построении наиболее подходящей линии нет необходимости соединять какие-либо точки.

Вы также можете загрузить и распечатать отдельный лист для построения наиболее подходящей линии с помощью метода площадей (Acrobat (PDF) 33 КБ, 10 сентября 08) или метода разделения (Acrobat (PDF) 34 КБ, 10 сентября 2008 г.).

Где это используется в науках о Земле?

В науках о Земле есть много примеров, когда ученые используют наиболее подходящую линию. Во вводной части наук о Земле мы используем их для:
  • Кривые частоты паводков
  • прогноз землетрясений
  • Прогноз падения метеорита
  • Частота землетрясений
  • vs.величина
  • изменение климата

Следующие шаги - Некоторые практические проблемы

Готова к ПРАКТИКЕ! Если вы думаете, что умеете построить наиболее подходящую линию, нажмите на эту полосу, чтобы попробовать несколько практических задач с отработанными ответами!

Если вы хотите узнать больше о наиболее подходящих линиях, вы можете использовать ссылки ниже, чтобы узнать о них больше

Ссылки и ресурсы

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *