Нахождение детерминанта матрицы: Определитель матрицы онлайн

Как найти определитель матрицы: второго, третьего, произвольного порядка

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно найти определитель (детерминат) матрицы. Теоретический материал сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.

• Что такое определитель матрицы
• Нахождение определителя
  • Второй порядок
  • Третий порядок
• Произвольный размер матрицы
  • Разложение определителя по строке или столбцу
  • Приведение определителя к треугольному виду

Что такое определитель матрицы

Чаще всего в различных математических задачах требуется найти определитель матрицы второго и третьего порядка, реже – четвертого и т.д. Сразу отметим, что детерминант можно вычислить только для квадратной матрицы.

Обычно определитель обозначается двумя вертикальными черточками. Т.е. если у нас есть матрица A, то определитель может обозначаться как |A|, буквой D, сокращением “det” или символом △.

Важно помнить, что менять числа внутри определителя нельзя.

Нахождение определителя

Результатом нахождение определителя матрицы является обычное число. Давайте рассмотрим самые популярные варианты.

Второй порядок

Пожалуй, это самая легкая задача. Чтобы найти определитель матрицы “два на два” пользуемся формулой ниже:

Пример 1:

Пример 2:

Примечание: Не забываем обращать внимание на знаки элементов матрицы и учитывать их в расчетах.

Третий порядок

Для вычисления определителя матрицы “три на три” следует использовать такую формулу:

Пример:

|A| = 3 ⋅ 4 ⋅ 3 + (-1) ⋅ 6 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 2 ⋅ 9 – (-1) ⋅ 4 ⋅ 9 – 3 ⋅ 2 ⋅ (-6) – 2 ⋅ 6 ⋅ 3 = 144.

Как мы видим, формула длинная, и запомнить ее достаточно сложно. Но есть специальное правило Саррюса (или метод параллельных полосок), благодаря которому ничего запоминать не нужно. Вот, в чем оно заключается.

С правой стороны от определителя мы дописываем первый и второй столбцы, затем проводим линии, как показано на рисунке ниже.

Множители, расположенные на диагоналях красного цвета в формуле участвуют со знаком “плюс”, синего цвета – со знаком минус.

|A| = a₁b₂c₃ + b₁c₂a₃ + c₁a₂b₃ – a₃b₂c₁ – b₃c₂a₁ – c₃a₂b₁

Как мы видим, это те же самые множители, что и в первой формуле, но переставленные местами, что на результат не влияет. Таким образом, используя метод Саррюса, можно значительно снизить риск допущения ошибки в процессе выполнения расчетов.

Произвольный размер матрицы

Разложение определителя по строке или столбцу

Первый вариант: определитель равняется сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.

Второй вариант: определитель равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения.

Примечание: рекомендуется для разложения выбирать ту строку (столбец), в которой больше всего элементов, равных нулю.

Пример: Вычислим определитель матрицы ниже.

Ее определитель выглядит так:

Решим пример с помощью разложения по первому столбцу.

Теперь мы можем рассчитать детерминант:

|A| = 3 ⋅ 1 ⋅ ((-2) ⋅ 9) – 6 ⋅ 4) + 0 ⋅ (-1) ⋅ (5 ⋅ 9 – 6 ⋅ 1) + 2 ⋅ 1 ⋅ (5 ⋅ 4 – (-2) ⋅ 1)
|A| = 3 ⋅ (-42) + 0 + 2 ⋅ 22 = -126 + 44 = -82

Приведение определителя к треугольному виду

Выполнив элементарные преобразования в отношении строк или столбцов, определитель можно привести к треугольному виду, после чего его можно вычислить путем перемножения элементов главной диагонали.

Пример: найдем определитель матрицы ниже.

Представив матрицу в виде определителя вычтем из элементов третьей строки удвоенную первую строку.

Переставим местами второй и третий столбцы, при этом знак определителя поменяется на противоположный.

Мы получили треугольный вид детерминанта, значение которого равняется произведению элементов главной диагонали.

|A| = – (3 ⋅ 3 ⋅ (-1)) = 9

что называют детерминантом, как вычислить произведение и сумму

Матрица в математике — это таблица упорядоченных взаимосвязанных элементов, состоящая из m-строк и n-столбцов. В квадратной матрице m=n, то есть A = (n×n). Одной из основных ее характеристик, применяемых в решении большинства задач, является определитель.

Определитель матрицы — что это такое, его свойства

Точного определения этого термина не существует, однако для понимания:

Определитель — это некоторая скалярная величина, с которой можно сопоставить любую квадратную матрицу.

Три альтернативных обозначения: |А|, Δ, det A. Методы вычисления варьируется в зависимости от порядка матрицы (количества строк или столбцов).  

Что называют детерминантом

При изучении матричного определителя часто мелькает латинское слово «детерминант». На самом деле, разницы нет — это одно и то же понятие. Однако детерминант имеет множество значений в других областях науки, поэтому в математике чаще всего используют его русский перевод.

Расстановка индексов в матрице

Индексы — это координаты элемента в системе. У каждого элемента их два: первый указывает на строку, второй — на столбец.

 

Поскольку порядок — это количество строк или столбцов в квадратной матрице, то его можно определить по m-индексу нижней строки или n-индексу крайнего правого столбца.

Такой способ применяется в том случае, если таблица очень большая и считать строки (столбцы) неудобно.

Алгебраическое определение

Алгебраический смысл таков:

Определитель матрицы А = (n×n) — это алгебраическая сумма n слагаемых.

Формула:

 

Каждое слагаемое — это произведение n-элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, умноженное на (-1) в степени Np (количество инверсий).

Геометрическое определение

Геометрический смысл таков:

Определитель — это объем параллелепипеда, который получается, если рассмотреть строки в качестве векторов, образующих ребра.

 

Еще раз: количество строк (столбцов) равно количеству векторов. Таким образом, если нам дана матрица А = (2×2), то она является двухмерным параллелограммом, а детерминант — площадью данной фигуры. Если А = (3×3), то это трехмерный параллелепипед, а определитель — его объем.  

Общая схема вычисления определителей

Для матрицы 1-го порядка определитель равен его единственному элементу:

\(|a_{11}| = a_{11}\)

Для 2-го порядка — произведение элементов главной диагонали минус произведение побочной.

\(|а_{11} а_{12}|\)

\(|а_{21} а_{22}| = а_{11} * а_{22} — а_{12} * а_{21}\)

Для нахождения А = (3×3) есть два способа:

• правило треугольника;
• правило Саррюса.

Правило треугольника выглядит следующим образом:

 

Если показывать графически, то:

 

По правилу Саррюса нужно:

 

1. Дописать слева от определителя два первых столбца.
2. Перемножить элементы главной диагонали и параллельных диагоналей, взяв произведения со знаком «+».
3. Перемножить элементы побочных диагоналей и параллельных им, взяв произведения со знаком «–».

Матрицы от 4-го порядка считают разложением строк или столбцов, но такой метод применяется редко и требует знаний об алгебраическом дополнении и миноре.

Вычисление определителя матрицы, примеры с решением

Задача №1: вычислить детерминант матрицы A = (n×n), равной

| 11 -3 |

| 15 -2 |.

Решение:

\(|а_{11} а_{12}|\)

\(|а_{21} а_{22}| = а_{11} * а_{22} — а_{12} * а_{21}\), следовательно

det A = 11 * (-2) – (-15) * (-3) = (-22) – 45 = (-67)

Ответ: det A = (-67)

Задача №2: определить det A матрицы, равной

| 1 3  4 |

| 0 2  1 |

| 1 5 -1 |

Решение: если методом треугольника, то:

 

Следовательно:

det A = (1 * 2 * (-1) + 3 * 1 * 1 + 0 * 5 * 4) — (4 * 2 * 1 + 3 * 0 * (-1) + 1 * 5 * 1) =

((-2) + 3 + 0) — (8 + 0 + 5) = 1 — 13 = (-12)

Ответ: det A = (-12)

Сложно? Феникс.Хелп может помочь в решении домашних, самостоятельных и контрольных работ.

Определитель матрицы — 2×2, 3×3, 4×4, нахождение определителя

Определитель матрицы — это функция, которая отображает каждую квадратную матрицу в уникальное число (действительное число или комплексное число). Если A — множество всех квадратных матриц (всех порядков), а B — множество всех чисел (как вещественных, так и комплексных), то определяющая функция f равна f : A → B и определяется как f(x) = y, где «у» — определитель матрицы «х».

Давайте изучим процесс нахождения определителя матрицы для матриц порядка 1×1, 2×2, 3×3 и т. д. вместе с несколькими примерами. Также остановимся на свойствах определителей.

1.	Что такое определитель матрицы?
2.	Определитель матрицы 3×3
3.	Определители матричных формул
4.	Свойства определителя матрицы
5.	Часто задаваемые вопросы об определителе матрицы

Что такое определитель матрицы?

Определитель матрицы представляет собой сумму произведений элементов любой строки или столбца и их соответствующих коэффициентов . Определитель матрицы определен только для квадратных матриц. Для любой квадратной матрицы A определитель A обозначается det A (или) |A|. Иногда обозначается символом Δ . Процесс вычисления определителей матриц 1×1 и 2×2 довольно прост, тогда как процесс усложняется по мере увеличения порядка матрицы. В процессе нахождения определителя матрицы участвуют миноры и кофакторы. Напомним сначала, как найти миноры и кофакторы элементов матрицы.

Определитель матрицы 2×2

Определитель матрицы 2×2 A = \(\left[\begin{array}{cc}a & b \\ \\ c & d\end{array}\right]\) |А| = объявление — до н.э. Это просто получается путем перекрестного умножения элементов, начиная с верхнего левого угла, а затем вычитания произведений.

Минор элемента матрицы

Минор элемента \((a_{ij})\) квадратной матрицы любого порядка – это определитель матрицы, полученный удалением строки (i ^th ряд) и столбец (j ^{-й столбец} ), содержащий элемент. Мы можем понять это на примере.

Пример: Для матрицы A = \(\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right ]\),

• Минор числа 6 есть,
  \(\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & ̶3̶ \\ ̶4̶ & ̶5̶ & { ̶6̶} \\ 7 & 8 & ̶9̶\end{массив}\right|\) = \(\left| \begin{массив}{cc}1 и 2 \\ \\ 7 и 8\end{массив}\right|\)
  = 1(8) — 2(7) = 8 — 14 = -6.
• Младший 9,
  \(\left|\begin{массив}{ccc}1 & 2 & ̶3̶ \\ 4 & 5 & ̶6̶ \\ ̶7̶ & ̶8̶ & ̶9̶\end{массив}\right|\) = \(\left|\begin {массив}{cc}1 и 2 \\ \\ 4 и 5\конец{массив}\справа|\)
  = 1(5) — 2(4) = 5 — 8 = -3.

Кофактор элемента матрицы

Кофактор элемента \(a_{ij}\) квадратной матрицы любого порядка равен его минору, умноженному на (-1) ^{i + j} . то есть

• Кофактор элемента = (-1) ^{номер строки + номер столбца} (младший элемент)

Мы нашли миноры элементов 6 и 8 в предыдущем примере. Теперь вычислим кофакторы тех же элементов.

Пример: Для той же матрицы A = \(\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\ right]\),

• Так как 6 находится во 2 ^й строке и 3 ^й столбце,
  Сомножитель 6 = (-1) ^{2 +3} (минор 6) = (-1) ⁵ (-6) = 6
• Поскольку 9 находится в строке 3
  nd и столбце 3 ^rd ,
  Сомножитель 9 = (-1) ^{3 +3} (младшая из 9) = (-1) ⁶ (-3) = -3

Сомножители элементов любой матрицы есть не что иное, как миноры, но умноженные на альтернативные знаки + и — (начиная со знака + для первого элемента первой строки).

Определитель матрицы 3×3

В предыдущем разделе мы видели, что определитель матрицы представляет собой сумму произведений элементов любой строки (или любого столбца) и соответствующих им коэффициентов. Итак, вот шаги для нахождения определителя матрицы (матрицы 3 × 3 или любой другой матрицы).

• Шаг 1: Выберите любую строку или столбец. Обычно мы выбираем первую строку, чтобы найти определитель.
• Шаг 2: Найдите кофакторы каждого из элементов строки/столбца, которые мы выбрали в Шаге 1.
• Шаг 3: Умножить элементы строки/столбца из Шаг 1 на соответствующие коэффициенты, полученные из Шаг 2
• Шаг 4: Сложите все произведения из Шага 3 , что даст определитель матрицы.

Пример: Используйте описанные выше шаги для вычисления определителя матрицы 3×3 A = \(\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{массив}\right]\).

Решение:

Шаг 1: Выбираем первую строку с элементами 1, 2 и 3.

Шаг 2: Вычислим сомножители этих элементов: = (-1) ¹⁺¹ Минор от 1 = (-1) ² \(\left|\begin{array}{cc}5 & 6 \\ \\ 8 & 9\end{array}\ вправо |\) = 5(9) — 6(8) = -3
Сомножитель 2 = (-1)

1+2 Минор 2 = (-1) ³ \(\left|\begin{array}{cc}4 & 6 \\ \\ 7 & 9\end{массив}\right|\) = -1 (4(9) — 6(7)) = -1(-6) = 6
Сомножитель 3 = (-1) ¹⁺³ Минор 1 = (-1) ⁴ \(\left|\begin{array}{cc}4 & 5 \\ \\ 7 & 8\ end{array}\right|\) = 4(8) — 5(7) = -3

Шаг 3: Умножьте элементы на их кофакторы.

1(коэффициент 1) = 1 (-3) = -3
2(сомножитель 2) = 2(6) = 12
3(сомножитель 3) = 3(-3) = -9

Шаг 4: Сложите их, чтобы получить определитель.

det A = -3 + 12 — 9 = 0.

Все эти шаги можно суммировать в одном шаге следующим образом:

det A = 1(кофактор 1) + 2(кофактор из 2) + 3 (сомножитель 3)

= 1 \(\left|\begin{array}{cc}5 & 6 \\ \\ 8 & 9\end{array}\right|\) — 2 \(\left|\begin{array}{cc}4 & 6 \\ \\ 7 & 9\end{array}\right|\) + 3 \(\left|\begin{array}{cc}4 & 5 \\ \\ 7 & 8\end{массив}\right|\)

= 1 [5(9) — 6(8)] — 2 [4(9) — 6(7)] + 3 [ 4(8) — 5(7)]

= 1 (-3) — 2 (-6) + 3 (-3)

= -3 + 12 — 9

= 0

Примечание: Здесь мы использовали отрицательный знак с 2 в второй шаг, потому что мы получаем знак минус при нахождении сомножителя 2.

Определители матричных формул

Процесс нахождения определителя матрицы, описанный в предыдущем разделе, можно использовать для нахождения определителя матрицы любого порядка. Но есть некоторые хитрости, чтобы найти определители матриц 1×1, 2×2 и 3×3. Эти уловки очень полезны, так как большую часть времени при решении задач мы сталкиваемся с нахождением определителей матриц этих порядков.

Определитель матрицы 1×1

Матрица 1×1 представляет собой строку, состоящую всего из 1 строки и 1 столбца, следовательно, она содержит только один элемент. Определитель любой матрицы 1×1 всегда равен элементу матрицы. т. е.

• Если A = [x] _1×1 , то |A| (или) det A = x

Определитель матрицы 2×2

Как мы обсуждали ранее, ее определитель получается путем вычитания произведения элементов неглавной диагонали из произведения элементов главной диагонали. то есть

• Если A = \(\left[\begin{array}{cc}a & b \\ \\ c & d\end{array}\right]\), то |A| (или) det A = ad — bc

Определитель матрицы 3×3 (ярлык)

Быстрый способ найти определитель матрицы 3×3: просто напишите матрицу дважды и примените следующий прием. Вот ярлык (самый простой способ) найти определитель матрицы 3×3 A = \(\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\ конец{массив}\справа]\).

Свойства определителя матрицы

Свойства определителей полезны при нахождении определителя матрицы без фактического использования процесса его нахождения. Они полезны при оценке сложных детерминант. К ним относятся изменения определителя по отношению к элементарным операциям со строками.

Свойство 1

«Определитель матрицы равен определителю ее транспонирования.»

Пример:

\(\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end{array}\right|\) = \ (\left|\begin{array}{ccc}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|\)

Попробуйте проверить.

Свойство 2

«Если поменять местами любые две строки (или столбца) определителя, то знак определителя изменится.»

Пример:

\(\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end{array}\right|\) = — \(\left|\begin{array}{ccc}p & q & r \\ a & b & c \\ x & y & z\end{array}\right|\)

Здесь первая и вторая строки определителя левой части переставлены местами. В этом легко убедиться, найдя оба определителя.

Свойство 3

«Если любые две строки (или столбца) определителя идентичны, то определитель равен 0.»

Пример:

\(\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a & b & c \\ x & y & z\end{array}\right|\) = 0

Свойство 4

«Если все элементы строки (или столбца) матрицы определителя равны нулю, то значение определителя равно 0».

Пример:

\(\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ p & q & r \\ x & y & z\end{массив}\right|\) = 0

Свойство 5

«Если каждый элемент строки (или столбца) определителя умножить на скаляр k, то значение результирующего определителя в k раз больше значения исходного определителя».

Пример:

\(\left|\begin{array}{ccc}ka & kb & kc \\ p & q & r \\ x & y & z\end{array}\right|\) = k \(\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end{array}\right|\)

Свойство 6

«Если каждый элемент строки (или столбца) определителя выразить в виде суммы двух (или более) чисел, то определитель можно разбить на сумму двух (или более) определителей. »

Пример:

\(\left|\begin{array}{ccc}a + k & b + l & c + m \\ p & q & r \\ x & y & z\ end{array }\right|\) = \(\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end{array}\right|\) + \(\left|\begin{array}{ccc}k & l & m \\ p & q & r \\ x & y & z\end{array}\right|\)

Свойство 7

«Если каждый элемент строки (или столбца) умножить на константу и прибавить к соответствующим элементам другой строки (или столбца), то определитель останется неизменным.»

Пример:

\(\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end{array}\right|\) = \(\left|\begin{array}{ccc}a+kp & b+kq & c+kr \\ p & q & r \\ x & y & z\end{array}\right|\)

Важные замечания по определителю матрицы:

• Определитель единичной матрицы всегда равен 1.
• Определитель диагональной матрицы всегда является произведением элементов ее главной диагонали.
• Определитель ортогональной матрицы равен либо +1, либо -1.
• Определитель матрицы может быть положительным, отрицательным или нулевым.
• Определитель матрицы используется в правиле Крамера, которое используется для решения системы уравнений.
• Также используется для нахождения обратной матрицы. Если определитель матрицы не равен 0, то это обратимая матрица, поскольку мы можем найти ее обратную.
• Если A — квадратная матрица порядка 3×3, то |kA| = k ³ |A|, для любого скаляра k.
• Квадратная матрица A называется вырожденной, если |A| = 0 и неособой, если |A| ≠ 0,
• Определитель полезен при вычислении собственных значений и собственных векторов матрицы.

☛ Связанные темы:

• Определитель матричного калькулятора
• Матричный калькулятор
• Калькулятор умножения матриц
• Типы матриц

Часто задаваемые вопросы об определителе матрицы

Что такое определение определителя матрицы?

Определитель матрицы получается путем умножения элементов любой из ее строк или столбцов на соответствующие коэффициенты и сложения всех произведений. Определитель квадратной матрицы A обозначается через |A| или дет (А).

Как найти определитель матрицы?

Чтобы найти определитель квадратной матрицы:

• Выберите любую строку или столбец
• Найдите кофакторы всех элементов строки или столбца, которые вы выбрали
• Умножить элементы строки или столбца на соответствующие им коэффициенты
• Добавьте продукты из последнего шага. Эта сумма дает определитель.

Что такое определитель матричного произведения?

Произведение определителей двух квадратных матриц равно произведению определителей отдельных матриц. т. е. для любых двух квадратных матриц A и B порядка nxn каждая, det(AB) = det(A) × det(B).

Что такое определитель квадрата матрицы?

Для любых двух квадратных матриц A и B одного порядка det(AB) = det A det B. Таким образом, det(A ² ) = det(AA) = detA det A = (det A) ² . Таким образом, определитель квадрата матрицы равен квадрату определителя матрицы.

Каково применение определителя матрицы?

Определители используются для:

• поиска обратной матрицы.
• решить систему уравнений
• по правилу Крамера.

Какой определитель матрицы, если все ее элементы равны?

Используя одно из свойств определителей, когда любые две строки или столбца матрицы равны, ее определитель равен нулю. Используя это, определитель матрицы, все элементы которой равны, равен 0,

Какой определитель матрицы, если все ее элементы равны нулю?

Используя одно из свойств определителей, когда все элементы любой строки или столбца равны нулю, его определитель равен нулю. Отсюда определитель матрицы, все элементы которой равны нулю, равен 0.

Как проще всего найти определитель матрицы?

Вот несколько самых простых способов/формул для нахождения определителя матрицы.

• Определитель матрицы 1×1: Если A = [x] _1×1 , тогда |A| = х.
• Определитель матрицы 2×2: если A = \(\left[\begin{array}{cc}a & b \\ \\ c & d\end{array}\right]\), то |A| = объявление — до н. э.
• Определитель матрицы 3 × 3: если A = \(\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end{array} \право]\), то |А| = а (qz — ry) — b (pz — rx) + c (py — qx).

Определитель матрицы: определение и формулы

Вы когда-нибудь задумывались, как узнать, имеет ли система одновременных уравнений решение? Вы можете настроить систему уравнений для сравнения сделок по тому, что вы хотите купить, чтобы сравнить несколько факторов в разных вариантах, но как проверить, правильно ли вы настроили систему и есть ли решения для сравнения?

Вы можете сохранить эту систему в матрице, а затем найти определитель этой матрицы, чтобы указать, есть ли у вас доступное решение.

Читайте дальше, чтобы узнать больше о том, как это работает.

Что такое матрица?

Матрица — это массив, используемый для хранения, отображения и вычисления данных. Внутренности называются элементами, а матрица будет иметь \(m\) столбцов и \(n\) строк.

Чтобы понять, что такое определитель и как его применять, мы должны сначала понять, что такое матрица.

Матрица — это способ отображения информации. — например, система одновременных уравнений может быть записана в матричной форме, где столбцы соответствуют переменной, а строки — уравнениям. Затем решения будут формировать вектор-столбец. Матричное представление облегчает выполнение преобразований и решение наборов данных, особенно когда нужно решить более двух уравнений!

Но как решить матрицу? Вот тут-то и появляются определители — мы используем их для решения матриц.

Общее обозначение матрицы состоит в том, что \(m\) обозначает количество столбцов, а \(n\) обозначает количество строк. Тогда внутренние элементы матрицы можно записать как: \[A_{m,n} = \begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1} & a_{m,2 } & \cdots & a_{m,n} \end{bmatrix}\]

Для получения дополнительной информации и примеров см. нашу статью о базовых матрицах.

\(2\times 2\) пример матрицы \[A_{2,2}=\begin{bmatrix}3&7\\12&-3\end{bmatrix}\]

\(2\times 3\ ) пример матрицы \[A_{2,3}=\begin{bmatrix}2&-4&19\\11&23&5\end{bmatrix}\]

\(4\times 3\) пример матрицы \[A_{4 ,3}=\begin{bmatrix}2&8&4\\-2&-5&-3\\13&9&7\\-7&3&-2\end{bmatrix}\]

Матрицы — действительно полезный способ отображения и хранения большого количества информации и они широко используются в математике, физике и технике на более высоких уровнях этих дисциплин.

Что такое определитель?

Итак, теперь мы знаем общие основы матриц, но что такое определитель и почему он важен?

Определитель — это значение, которое мы можем вычислить для любой квадратной матрицы, а затем использовать для вычисления обратной матрицы.

Квадратная матрица — это матрица, которая имеет равное количество строк и столбцов, \(m=n.\)

Как вы можете видеть ниже, квадратные матрицы имеют равное количество строк и столбцов, образуя квадратную форму

\(2\times 2\) пример матрицы \[A_{2,2}=\begin{bmatrix}3&7\\12&-3\end{bmatrix}\]

\(3\times 3\) пример матрицы \[A_{3,3}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

Обратимая матрица — это матрица , для которой мы можем найти другую матрицу, такую ​​как что их произведение является единичной матрицей \((I)\) .

Наша начальная матрица может быть обозначена как \(A\), а вторая матрица является обратной этой матрице, поэтому обозначается как \(A^{-1}\). {-1}=I.\] Вы можете думать об обратных матрицах как о обратных величинах матричного мира.

Определитель также сообщает нам , если матрица обратима. Пусть определитель матрицы A обозначается как \(\det{A}.\)

• Если определитель матрицы A задан как \(\det{A} = 0\), то матрица равна s ingular и, следовательно, не имеет обратного. Эта матрица не имеет решения.
• Если определитель матрицы A задан как \(\det{A} \neq 0\), то матрица не-s сингулярная и, следовательно, имеет обратную. У этой матрицы есть решение.

Дополнительную информацию и примеры по обращению матрицы см. в нашей статье «Обращение матриц».

Определитель матрицы 2×2

Итак, теперь мы знаем, что такое определитель и для чего он используется, но нам еще нужно выяснить, как они работают.

Начнем с самой простой формы — определителя матрицы \(2\times 2\). Метод вычисления определителя матрицы \(2\times 2\) в основном объясняется перекрестным умножением, а затем вычитанием этих умноженных значений.

Рассмотрим следующую матрицу: \[A_{2,2} = \begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2} \end{bmatrix}\]Это обозначение, которое мы использовали ранее, но давайте напишем его с отдельными элементами, чтобы легче было следовать методологии. Следовательно,\[A_{2,2} = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\]Наш первый шаг — пересечь умножение- мы умножаем верхний левый, нижний правый, а затем верхний правый, нижний левый- а затем вычесть второе умножение из первого. Следовательно, \[\det{A}=ad-cb\]В наших исходных обозначениях это будет \[\det{A}=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1}\]Давайте теперь применим это к примеру.

Найдите определитель матрицы \(A\) ниже и затем определите, является ли матрица обратимой.\[A=\begin{bmatrix}4&9\\-2&8\end{bmatrix}\]

Решение

Шаг 1. Найдите определитель

\[\begin{align} \det{A}&=ad-cb\\&=(4\cdot 8)-(9\cdot -2)\\&=32 -(-18)\\&=50\end{align}\]

Шаг 2. Определите, является ли матрица \(A\) обратимой

\(\det{A} \neq 0\), поэтому матрица \(А\) неособа и поэтому обратима.

мы переходим к изучению того, как найти определитель матрицы \(3\x 3\).

Определитель матрицы 3×3

Теперь мы узнали, как найти определитель матрицы \(2\times 2\), но мы также можем встретить матрицы \(3\times 3\) в дополнительной математике, так что давайте посмотрим на как найти определители этих теперь.

Этот процесс немного сложнее, чем определитель матрицы \(2\times 2\), но следует тем же принципам. Давайте рассмотрим приведенную ниже матрицу: \[A_{3,3}=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}\]Мы вычисляем ее определитель, разбивая его на ряд матриц \(2\times 2\).

Для этого проходим по верхнему ряду и умножаем каждый из элементов там на определитель его минора.

Второстепенные элементы в матрице \(3\x 3\) — это элементы, оставшиеся после вычеркивания строки и столбца, вытекающих из корневого элемента.

Предположим, что наш корневой элемент для начала — это \(a\). Минором будет матрица \(2\times 2\) слева, если мы вычеркнем все значения по горизонтали и вертикали от этого элемента. \[\begin{bmatrix}a&-&-\\|&e&f\\|&h&i\ end{bmatrix}\]Определитель нашей матрицы \(3\times 3\) учитывает все миноры для верхней строки и приводит к приведенной ниже формуле.\[\begin{align}\det{A}&=a \cdot \det{\begin{bmatrix}e&f\\h&i\end{bmatrix}}-b\cdot \det{\begin{bmatrix}d&f\\g&i\end{bmatrix}}+c\cdot \det{\ begin{bmatrix}d&e\\g&h\end{bmatrix}} \\ & =a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\end{align} \]

Обратите внимание на соглашение о знаках с формулой определителя — это \(+,-,+\).

В приведенном выше совете вы можете видеть, что соглашение о знаках идет \(+,-,+\). Это сомножители для первой строки матрицы \(3\times 3\).

Хотя это немного выходит за рамки того, с чем вы, как ожидается, будете иметь дело здесь, существуют кофакторы для каждого элемента в матрице.

Это означает, что мы могли бы также найти определитель матрицы, используя строки 2 или 3 в качестве наших корневых элементов, и взять оттуда миноры — для этого нам просто нужно применить правильные кофакторы.

Тем не менее, все, чем вам сейчас нужно заняться, это верхняя строка и \(+,-,+\).

Давайте теперь посмотрим, как применить это на примере.

Найдите определитель приведенной ниже матрицы.\[A_{3,3}=\begin{bmatrix}4&8&12\\7&19&2\\0&5&2\end{bmatrix}\]

Решение

Применим нашу формулу для определитель.\[\begin{align}\det{A}&=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\\&=4[(19\cdot 2)- (2\cdot 5)]-8[(7\cdot 2)-(2\cdot 0)]+12[(7\cdot 5)-(19\cdot 0)]\\&=4[(38)-(10)]-8[(14)-(0)]+12[(35)-(0)]\\&=4(28)- 8(14)+12(35)\\&=112-112+420\\&=420 \end{align}\]

Теперь мы переходим к более подробному изучению определителя диагональной матрицы после его определения.

Определитель диагональной матрицы

Чтобы вычислить определитель диагональной матрицы, мы должны сначала понять, что это такое.

Диагональная матрица — это матрица, которая имеет всех недиагональных элементов как 0 . Это не означает, что сами диагональные элементы не могут содержать значение 0, но это означает, что любой недиагональный элемент равен 0.

Он принимает вид \[A=\begin{bmatrix}a_{1,1} & 0 &0& \cdots & 0 \\0 & a_{2,2} & 0&\cdots & 0 \\0&0&a_{ 3,3}&\cdots &0\\\vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 &0& \cdots & a_{m,n} \end{bmatrix}\]

Определитель диагональной матрицы можно найти, перемножая диагональные элементы.

Определитель диагональной матрицы является произведением диагональных элементов . Следовательно, \[\det{A}=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3} \cdot \quad \cdots \quad \cdot a_{m,n}\]

Если диагональные элементы не все ненулевые значения, то матрица не может быть невырожденной, так как произведение с \(0\) всегда будет возвращать решение \(0\) и, как мы видели ранее это делает матрицу сингулярной и необратимой.

Давайте посмотрим на это на примере.

Найти \(\det{A}\), где,\[A_{5,5}=\begin{bmatrix}13&0&0&0&0\\0&-6&0&0&0\\0&0&7&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&3\end{bmatrix }\]

Решение

Мы знаем, что определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов. \[\begin{align} \det{A}&=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}\cdot a_{4,4}\cdot a_{5, 5}\\&=(13)\cdot (-6)\cdot (7)\cdot (-1)\cdot (3)\\&=1638.\end{align}\]

Можем ли мы рассчитать определитель обратной матрицы? Ответ: ДА!

Определитель обратной матрицы

Наша последняя матрица, которую следует учитывать при рассмотрении определителей, — это обратная матрица. 9{-1}}=\frac{1}{\det{A}}.\]

Возьмем следующий пример.

Возьмите приведенную ниже матрицу \(A\) и определите, обратима ли она. Если матрица \(A\) обратима, найдите определитель этой обратной матрицы.

\[A=\begin{bmatrix}6&2\\12&9\end{bmatrix}\]

Решение

Шаг 1. Найдите определитель \(A\)

\[\begin{ align} \det{A}&=ad-cb\\&=(6\cdot 9)-(12\cdot 2)\\&=54-24\\&=30\end{align}\]

9{-1}}&=\frac{1}{\det{A}}\\&=\frac{1}{30}. \end{align}\]

Определитель матрицы — основные выводы

• Определитель матрицы \(2\times 2\) определяется выражением,\[\det{A}=ad-bc\]
• определитель матрицы \(3\times 3\) использует элементы верхней строки и определитель их соответствующих миноров для вычисления определителя.

  No related posts.