Нахождение миноров матрицы: Как найти минор матрицы: формула, примеры решений

c++ — Нахождение минора элемента матрицы

Вопрос задан 5 лет 4 месяца назад

Изменён 5 лет 4 месяца назад

Просмотрен 897 раз

Цикличная конструкция крива, не выводит миноры элементов матрицы уже после первого.
Т.е. получается, что находит минор лишь одного первого элемента. У нас есть двумерный массив 3х3 на i строк и j столбцов. Беру индексы каждого элемента, а затем сравниваю с ними индексы всех прочих элементов. Нам нужно получить все элементы, не лежащие в строке и столбце конкретного элемента. И повторить для каждого из 9 элементов. Таким образом, должно получиться 9 миноров. Например, для элемента A(11) минором будет определитель элементов A(22), A(23), A(32) и

A(33). Для простоты я решил записывать эти 4 элемента в одномерный массив Temp[4], вычислять минор, выводить, а затем повторять для следующего элемента. Вывод только для первого элемента.

int Temp[4], k, Tempi, Tempj;
for (i=0; i<3; i++){
    Tempi = i;
    for (j=0; i<3; i++){
        Tempj = j;
        for (i=0; i<3; i++){
            for (j=0; j<3; j++){
                if (i!=Tempi && j!=Tempj){
                    Temp[k]=Mat[i][j];
                    k++;
                    }
                }
            }
            for (k=0; k<4; k++){
            cout << Temp[k] << " ";
            }
            cout << endl;
            cout << Temp[3]*Temp[0]-Temp[1]*Temp[2] << endl; // тут вычисляется сам минор
    }
}

• c++
• математика
• матрицы

4

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

Что такое ранг матрицы в математике

Оглавление

Время чтения:  7 минут

391

Из статьи вы узнаете, что такое ранг матрицы, научитесь его находить методом определений, окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований (методом Гаусса).

Ранги матриц

Определение

Минором k-ого порядка матрицы называется определитель матрицы, вырезанной из заданной матрицы удалением одной или более её строк и столбцов.

Объясним это понятие на примерах. Допустим нам дана матрица

\[\begin{array}{cccc} 1 & 5 & 9 & 13 \\ 2 & 6 & 10 & 14 \\ 3 & 7 & 11 & 15 \\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{array}\]

Чтобы найти минор M₂₃ вычёркиваем из неё вторую строку и третий столбец. В результате получаем

\[\begin{array}{lll} 1 & 5 & 13 \\ 3 & 7 & 15 \\ 4 & 8 & 16 \end{array}\]

Это и есть искомый, нужный нам минор. Посмотрим матрицы низших порядков.

Если нам дана матрица первого порядка, то её минором будет сама эта матрица. Если нам дана матрица второго порядка, допустим

\[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\]

То её минорами будут M₁₁=4, M₁₂ = 3, M₂₁=2, M₂₂=1

Для матрицы порядка pxn число миноров k-го порядка равно C^k_p*C^k_n , где C^k_p=p!/k!(p-k)!, C^k_n=n!/k!(n-k)! являются числом сочетаний из p по k и из n по k.

Определение

Ранг матрицы — это максимальный порядок её миноров, для которых определитель не равен нулю. Обозначается ранг матрицы A, как rang A.

Из выше приведённого определения можно сделать два важных заключения:

1. Ранг любой ненулевой матрицы отличен от нуля;
2. Ранг нулевой матрицы равняется нулю.

Эквивалентными матрицами называют матрицы, которые имеют один и тот же ранг.

Методы нахождения ранга матрицы

Каким именно способом нахождения ранга матрицы пользоваться в конкретной ситуации зависит от вашего умения, предпочтений и самой предложенной матрицы.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Нахождение ранга матрицы по определению

Нам нужно узнать, какой ранг матрицы А порядка p×n. Для нахождения ранга матрицы по определению последовательность действий и рассуждений следующая:

1. Проверяем миноры первого порядка. Если все они (именно все) в нашей матрице равны нулю, то rang A = 0;
2. Проверяем миноры второго порядка. Если они оказались равными нулю, то. rang A = 1;
3. Проверяем миноры третьего порядка. Если они нулевые, то rang A = 2.

Продолжаем исследования, каждый раз увеличивая порядок на один. Возможны следующие две ситуации:

1. Если среди миноров k-го порядка будет иметься хоть один, отличающийся от нуля, а все без исключения миноры (k+1)-го порядка окажутся нулевыми, то ранг будет равным k.
2. Если из миноров k-го порядка хоть один ненулевой, а миноры (k+1)-го порядка получить уже нельзя, то ранг матрицы тоже будет k.

Примеры

Пример 1. Требуется определить ранг матрицы A

\[\begin{array}{lllll}5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\2 & 0 & -1 & 0 & 1\end{array}\]

Решение:

Т. к. размер матрицы 3 на 5, и минимальным из этих чисел является 3, то rang A≤ 3. Связано это с
тем, что миноры 4-го порядка из данной матрицы уже не создашь, предел достигнут.

В нашем примере из миноров первого порядка есть те, что не равны нулю. Известно, что для перехода к
вычислению миноров второго порядка достаточно, чтобы хоть один из них (не важно какой) был неравным
нулю.

Из миноров 2-го порядка \[\begin{array}{ll}5 & 0 \\7 & 0\end{array}\] равен нулю, поэтому смотрим
следующий минор. Ясно, что \[\begin{array}{ll}7 & 0 \\2 & 0\end{array}\] тоже будет равняться нулю.
Постараемся найти более удачные варианты. Возможно \[\begin{array}{ll}5 & 2 \\7 & 3\end{array}\]
нулю не будет равен. Вычислим его. 5*3 – 7*2 = 1.

Наши предположения оправдались. Так как нашёлся хоть один минор второго порядка, который не равен нулю, нужно
приступить к исследованию миноров третьего порядка. Выберем тот из них, в котором нет нулей, например:

\[\begin{array}{ccc}5 & -3 & 2 \\-7 & -4 & 3 \\2 & -1 & 1\end{array}\]

Вычисляем его. -20 — 18 — 14 + 16 + 21 + 16 = 0. Как видим, он нулевой. Исследовав другие миноры третьего
порядка тоже узнаем, что они тоже нулевые. Нет ни одного отличного от нуля. Следовательно, rang A = 2.
Задачу можно считать решённой.

Ответ: rang A = 2.

---

Пример 2. Определить ранг матрицы B

\[\begin{array}{cccc}-1 & 3 & 2 & -3 \\4 & -2 & 5 & 1 \\-5 & 0 & -4 & 0 \\9 & 7 & 8 & -7\end{array}\]

Это квадратная матрица четвёртого порядка. Ранг её не должен превышать четырёх. Видно, что среди миноров
первого ранга есть ненулевые.

Сразу переходим к исследованию миноров второго ранга. Посмотрим, например, \[\begin{array}{cc}4 & -2 \\5
& 0 \end{array}\]. Он равен 0 – 10 = -10. Приступаем к исследованию миноров третьего ранга. Возьмём:

\[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & -3 \\-5 & 0 & 0 \\9 & 7 & -7\end{array}\]

Его значение 105 – 105 =0. Придётся исследовать другой подобный минор. Берём

\[\begin{array}{ccc}-2 & 5 & 1 \\0 & -4 & 0 \\7 & 8 & -7\end{array}\]

Он равен -28, т. е. отличен от нулевого, поэтому переходим к минорам ещё на один порядок выше. Здесь у нас
только один выбор – сама матрица.

\[\begin{array}{cccc}-1 & 3 & 2 & -3 \\4 & -2 & 5 & 1 \\5 & 0 & -4 & 0 \\9 & 7 & 8 & -7\end{array}\]

Её минор равен 86, т. е. опять же отличен от нуля. Это значит, что ранг нашей матрицы равен 4. Решение
найдено.

Ответ: rang B = 4.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Во многих случаях он позволяет сократить количество проделываемых вычислений довольно значительно.

Теорема

Если все миноры, которые окаймляют минор k-го порядка, относящийся к матрице А, имеющей порядок p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А будут тоже нулевыми.

Алгоритм нахождения ранга матрицы при пользовании этим методом следующий:

1. Смотрим на миноры первого порядка. Если они все нулевые, значит и ранг нашей матрицы будет равным нулю. Если хотя бы один из них отличен от нуля, переходим к следующему шагу;
2. Смотрим, какие миноры окаймляют минор M₁. Если они все равны нулю, то ранг матрицы будет равен 1. При наличии хотя бы одного отличного от нуля ранг матрицы будет равен 2 или числу, превосходящему 2;
3. Исследуем миноры, окаймляющие минор M_2.. Они будут третьего порядка. Если все они нулевые, то ранг нашей матрицы будет равным 2. Если найдётся хотя бы один отличный от нуля, то ранг матрицы будет больше или равен 3.

Как и в предыдущем методе, продолжаем исследования, увеличивая каждый раз порядок на 1 до тех пор, пока все миноры не окажутся нулевыми, или не получится составить окаймляющий минор.

Примеры

Пример 3. Дана матрица С

\[\begin{array}{cccc}-1 & 2 & 1 & 3 \\-3 & 0 & 5 & 4 \\-5 & 4 & 7 & 10\end{array}\]

Решение: Сразу приступим к исследованию миноров второго порядка. Возьмём \[\begin{array}{ll}-1 & 2 \\-3 & 0\end{array}\].

Он будет равным 6, т.е. отличным от нуля.

Составляем окаймляющий минор. Для этого прибавляем к нашему минору следующую строку и следующий столбец. Получаем:

\[\begin{array}{lll}-1 & 2 & 1 \\-3 & 0 & 5 \\-5 & 4 & 7\end{array}\]

Он равен нулю. Исследование окаймляющих миноров придётся продолжить. Берём следующий за добавленным столбец и получаем

\[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\-3 & 0 & 4 \\-5 & 4 & 10\end{array}\]

Он тоже оказывается равным нулю. Других окаймляющих миноров нет, а значит ранг нашей матрицы будет равен 2. Решение найдено.

Ответ: rang С = 2.

---

Пример 4. Дана матрица D

\[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 0 & 4 & 5 \\3 & 6 & -2 & -1 & 3 \\-2 & -4 & 2 & 5 & 7 \\-1 & -2 & 2 & 9 & 11\end{array}\]

Решение:

Как и в предыдущем случае, лучше его начать с вычисления минора второго порядка. Посмотрим \[\begin{array}{ll}1 & 2 \\3 & 6\end{array}\]. Он равен нулю. Берём другой минор \[\begin{array}{cc}2 & 0 \\6 & -2\end{array}\]. Он оказался равен -4.

Берём один из окаймляющих его миноров, например, \[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\3 & 6 & -2 \\-2 & -4 & 2\end{array}\].

Он равен нулю. Берём ещё один \[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 4 \\3 & 6 & -2 \\-2 & -4 & 2\end{array}\].

Он также равен нулю.

Посмотрим \[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 5 \\6 & -2 & -3 \\-4 & 2 & 7\end{array}\]. Он равен 4.

Переходим к четвёртому порядку.

\[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 5 \\3 & 6 & -2 & -3 \\-2 & -4 & 2 & 7 \\-1 & -3 & 2 & 1\end{array}\]

Он равен нулю. Придётся взять другой.

\[\begin{array}{cccc}2 & 0 & 4 & 5 \\6 & -2 & -1 & -3 \\-4 & 2 & 5 & 7 \\-2 & 2 & 9 & 11\end{array}\]

Он оказывается также равным нулю. Т. к. последний ненулевой минор у нас был третьего порядка, то и ранг матрицы будет равным 3. Решение найдено.

Ответ: rang E = 3.

Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований или методом Гаусса

Под элементарными преобразованиями понимают перестановку строк, умножение строки на отличное от нуля число, прибавление к одной из строк, умноженных на некоторое число элементов другой строки.

Все указанные преобразования не меняют ранга матрицы. Пользуясь ими можно привести матрицу к виду, когда все из её элементов кроме a₁₁, a₂₂, a₃₃ … a_rr будут равны нулю, а значит ранг матрицы станет равняться r.

При нахождении ранга матрицы методом Гаусса нужно предвидеть, какие преобразования приведут к упрощению матрицы, а какие нет. К сожалению, сделать это далеко не всегда бывает просто.

Пример 5

Дана матрица F

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\75 & 94 & 53 & 132 \\75 & 94 & 54 & 134 \\25 & 32 & 20 & 48\end{array}\]

Решение:

Из третьей строки этой матрицы вычитаем вторую, Из второй строки вычитаем первую

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\75 & 94 & 53 & 132 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 1 & 2 & 5\end{array}\]

Далее из второй строки вычитаем первую, умноженную на три

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 1 & 3 & 5\end{array}\]

Из четвёртой строки отнимаем третью и вторую

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

Из четвёртого столбца вычитаем третий, предварительно помноженный на два

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 0 \\0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

Делим первый столбец на 25 и вычитаем из второго столбца первый, до этого помножив его на 31

\[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 17 & 9 \\0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

От третьего столбца отнимаем первый до этого помножив его на 17, а второй на 2; от четвёртого столбца отнимаем первый, умноженный на 9 и прибавляем второй, помноженный на 2

\[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

Так как ранг полученной матрицы равен 3, то у исходной матрицы он тоже будет равняться 3. Решение найдено.

Ответ: rang F = 3.

Как видите, находить ранг даже больших матриц с неравным количеством строк и столбцов достаточно просто. Чтобы проделывать указанную математическую операцию без серьёзных для себя затруднений, требуется лишь понимание сущности изложенных методов и некоторая практика. После этого проблем у вас возникать не должно.

Вопрос Видео: Нахождение кофактора матрицы

Стенограмма видео

Найдите матрицу кофакторов матрицы 𝐴 равно семи, минус пять, минус восемь, минус три, минус семь, минус два, ноль, минус четыре, минус восемь.

Итак, в задаче, подобной этой, где мы хотим найти кофактор матрицы, то прежде всего мы хотим найти миноры каждого из наших элементов в этой матрице. Ну, во-первых, мы просто напомним себе, что нам нужно сделать, если мы хотим найти минор элемента. Ну, я только что нарисовал здесь еще одну матрицу 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖. Что ж, теперь, если мы хотим найти минор элемента 𝑎, то мы удаляем столбец и строку, в которой находится элемент 𝑎. И тогда наш минор является определителем четырех оставшихся элементов. Так что это будет определитель матрицы два на два 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖. Хорошо, отлично. Итак, мы напомнили себе, что такое минор. Итак, теперь давайте найдем миноры наших элементов в нашей матрице.

Итак, теперь, если у нас есть матрица, составленная из миноров матрицы 𝐴, я назвал ее 𝐴 sub 𝑚, это равно — тогда у нас есть определитель минус семь, минус два, минус четыре, минус восемь. Затем у нас есть минус три, минус два, ноль, минус восемь; минус три, минус семь, ноль, минус четыре; минус пять, минус восемь, минус четыре, минус восемь; семь, минус восемь, ноль, минус восемь; семь, минус пять, ноль, минус четыре; минус пять, минус восемь, минус семь, минус два; семь, минус восемь, минус три, минус два; и, наконец, определитель числа семь, минус пять, минус три, минус семь.

Итак, теперь, прежде чем мы вычислим значения наших определителей, нам нужно запомнить правило знаков. И правило знаков, которое помогает нам в этом, говорит нам, что у нас есть элементы, и это знаки, которые они должны принимать, положительные, отрицательные, положительные; отрицательный, положительный, отрицательный; а потом положительный, отрицательный, положительный. Итак, что мы можем сделать, так это добавить их перед различными элементами, которые у нас есть в нашей матрице наших миноров. Но если мы поместим эти знаки перед нашими различными элементами в нашей матрице, то на самом деле мы получим кофактор нашей матрицы 𝐴. Итак, все, что нам нужно сделать сейчас, это вычислить значения для каждого из определителей наших миноров.

Итак, теперь, чтобы напомнить нам, как мы вычисляем значения определителей наших миноров, тогда, если мы посмотрим на правую часть, мы получим минор 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖. Тогда это равно 𝑒𝑖, поэтому 𝑒 умножается на 𝑖 минус 𝑓 умножается на ℎ. Итак, чтобы дать нам пример этого, мы рассмотрим наш первый элемент. Итак, мы получили бы минус семь, умноженный на минус восемь минус минус два, умноженный на минус четыре, что дало бы нам 56 минус восемь, что было бы 48. И это осталось бы положительным, потому что мы можем видеть, что, следуя нашему правилу знаков, первый элемент будет положительным. Затем мы просто сделаем следующий в качестве еще одного примера, прежде чем заполнять их все.

Итак, для нашего следующего элемента у нас будет отрицательная тройка, умноженная на отрицательную восьмерку минус отрицательная двойка, умноженная на ноль, что даст нам 24 минус ноль, что равно 24. Итак, это наш следующий элемент? Ну нет, и здесь нам нужно убедиться, что мы не делаем ошибок в наших вычислениях, потому что, если мы посмотрим на правило знаков, наш второй элемент должен быть отрицательным. Таким образом, нам нужно отрицательное значение 24. Тогда мы можем использовать этот метод для остальных наших элементов. И когда мы это сделаем, мы получим матрицу кофакторов матрицы 𝐴, которая равна семи, минус пять, минус восемь, минус три, минус семь, минус два, ноль, минус четыре, минус восемь. И эта матрица кофакторов будет матрицей 48, минус 24, 12, минус восемь, минус 56, 28, минус 46, 38 и минус 64.

Формула, как найти минор с примерами

Минор матрицы A является определителем некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из A путем удаления одного или нескольких ее столбцов и строк. Матрица — это определенный набор чисел, символов или выражений, организованный в табличной форме из строк и столбцов. Он используется для представления математического объекта, свойства такого объекта, набора одновременных уравнений, векторов и т. д. Эти объекты, образующие матрицу, называются элементами матрицы и типами матриц. В геометрии матрицы широко используются для задания и представления геометрических преобразований и изменений координат. Они также используются в компьютерной графике для проецирования 3D-изображения на 2D-экран. В математике матрицы используются для проверки коллинеарности любых трех заданных точек, а также для решения одновременных уравнений. Порядок матрицы записывается как количество строк на количество столбцов. Например, матрица 2×2 состоит из двух строк и двух столбцов. Всего в нем 4 элемента. 9{th}\) столбца из A, а затем найти определитель полученной матрицы. Этот процесс повторяется для всех элементов, чтобы вычислить минор каждого из элементов матрицы.

Минор матрицы Формула

Формула для нахождения минора матрицы приведена ниже:

Рассмотрим матрицу 3×3, \( A=\begin{bmatrix}a&\ b&\ c\ \d&\ e&\ f\\g&\ h&\ i\end{bmatrix} \)

Итак, мы выбираем один элемент за раз и находим минор этого элемента, удаляя строку и столбцы, которым принадлежит этот элемент.

Здесь,

Младший из \( a \),

\( M_a=\begin{bmatrix}\cancel{a}&\ \cancel{b}&\ \cancel{c}\\\cancel{d }&\ e&\ f\\\cancel{g}&\ h&\ i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e&f\\h&i\end{bmatrix}=ei-fh \)

Аналогично,

\( M_b=\begin{bmatrix}\cancel{a}&\ \cancel{b}&\ \cancel{c}\\d&\ \cancel{e}&\ f\\g&\ \cancel{h}& \ i\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d&f\\g&i\end{bmatrix}=di-fg \)

\( M_c=\begin{bmatrix}\cancel{a}&\ \cancel {b}&\ \cancel{c}\\d&\ e&\ \cancel{f}\\g&\ h&\ \cancel{i}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d&e\\g&h\end{ bmatrix}=dh-eg \)

\( M_d=\begin{bmatrix}\cancel{a}&\ b&\ c\\\cancel{d}&\ \cancel{e}&\ \cancel{f}\\\cancel{g}& \ h&\ i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b&c\\h&i\end{bmatrix}=bi-ch \)

\( M_e=\begin{bmatrix}a&\ \cancel{b}&\ c\\\cancel{d}&\ \cancel{e}&\ \cancel{f}\\g&\ \cancel{h}&\ i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&c\\g&i\ end{bmatrix}=ai-cg \)

\( M_f=\begin{bmatrix}a&\ b&\ \cancel{c}\\\cancel{d}&\ \cancel{e}&\ \cancel{f }\\g&\ h&\ \cancel{i}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\g&h\end{bmatrix}=ah-bg \)

\( M_g=\begin{bmatrix}a&\ b&\ \cancel{c}\\d&\ e&\ \cancel{f}\\\cancel{g}&\ \cancel{h}&\ \cancel{ i}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\d&e\end{bmatrix}=ae-bd \)

\( M_h=\begin{bmatrix}a&\ \cancel{b}&\ c\ \d&\ \cancel{e}&\ f\\\cancel{g}&\ \cancel{h}&\ \cancel{i}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&c\\d&f\end{ bmatrix}=af-cd \)

\( M_i=\begin{bmatrix}a&\ b&\ \cancel{c}\\d&\ e&\ \cancel{f}\\\cancel{g}&\ \cancel {h}&\ \cancel{i}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\d&e\end{bmatrix}=ae-bd \)

Теперь случай с матрицей 2×2 тривиален, так как определитель — это просто один элемент, оставшийся после удаления строки и столбца, а формула намного проще:

Если нам дана матрица \( A=\ begin{bmatrix}a_{11}&\ a_{12}\\a_{21}&\ a_{22}\end{bmatrix} \), тогда минор будет,

\( M_{11}=a_ {22} \)

\( M_{12}=a_{21} \)

\( M_{21}=a_{12} \)

\( M_{22}=a_{11} \)

где \( M_{ij} \) обозначает минор \( a_{ij} \)

Как найти минор матрицы

Ниже приведены шаги для нахождения минора матрицы.

• Сначала удалите строку и столбец соответствующего элемента, в котором он содержится.
• Сформируйте новую матрицу, исключив удаленные элементы.
• Наконец, найдите определитель вновь образованной матрицы. Это даст нам минор этого конкретного элемента матрицы.
• Повторите эту процедуру, чтобы найти минор каждого из элементов матрицы.
• Сформируйте матрицу из второстепенных элементов.

Таким образом мы получим минор матрицы.

Например, для у нас есть матрица, \( A=\begin{bmatrix}a_{11}&\ a_{12}&\ a_{13}\\a_{21}&\ a_{22}&\ a_{23}\\ a_{31}&\ a_{32}&\ a_{33}\end{bmatrix} \), то миноры для каждого из элементов матрицы A равны

\(M_{11}=\left|\begin {bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\right|=\left(a_{22}\cdot a_{33}\right)-\left( а_{23}\cdot а_{32}\право) \)

\( M_{12}=\left|\begin{bmatrix}a_{21}&\ a_{23}\\a_{31}&\ a_{33}\end{bmatrix}\right|=\left (a_{21}\cdot a_{33}\right)-\left(a_{23}\cdot a_{31}\right)\)

\( M_{13}=\left|\begin{bmatrix} a_{21}&\ a_{22}\\a_{31}&\ a_{32}\end{bmatrix}\right|=\left(a_{21}\cdot a_{32}\right)-\left (a_{22}\cdot a_{31}\right) \)

\( M_{21}=\left|\begin{bmatrix}a_{12}&\ a_{13}\\a_{32}& \ a_{33}\end{bmatrix}\right|=\left(a_{12}\cdot a_{33}\right)-\left(a_{13}\cdot a_{32}\right) \)

\( M_{22}=\left|\begin{bmatrix}a_{11}&\ a_{13}\\a_{31}&\ a_{33}\end{bmatrix}\right|=\left (a_{11}\cdot a_{33}\right)-\left(a_{13}\cdot a_{31}\right)\)

\( M_{23}=\left|\begin{bmatrix} a_{11}&\ a_{12}\\a_{31}&\ a_{32}\end{bmatrix}\right|=\left(a_{11}\cdot a_{32}\right)-\left (a_{12}\cdot a_{31}\right)\)

\( M_{31}=\left|\begin{bmatrix}a_{12}&\ a_{13}\\a_{22}& \ a_{23}\end{bmatrix}\right|=\left(a_{12}\cdot a_{23}\right)-\left(a_{13}\cdot a_{22}\right)\)

\( M_{32}=\left|\begin{bmatrix}a_{11}&\ a_{13}\\a_{21}&\ a_{23}\end{bmatrix}\right|=\left (a_{11}\cdot a_{23}\right)-\left(a_{13}\cdot a_{21}\right)\)

\( M_{33}=\left|\begin{bmatrix} a_{11}&\ a_{12}\\a_{21}&\ a_{22}\end{bmatrix}\right|=\left(a_{11}\cdot a_{22}\right)-\left (a_{12}\cdot a_{21}\right)\)

где \( M_{ij} \) обозначает минор элемента \( a_{ij} \) A.

Тогда минор A есть \( M=\begin{bmatrix}M_{11}&\ M_{12}&\ M_{13}\\M_{21}&\ M_{22}&\ M_{23}\\M_{31 }&\ M_{32}&\ M_{33}\end{bmatrix} \)

Главные миноры матрицы

Главные миноры матрицы — это миноры элементов главной диагонали, т. е. элементы, имеющие одинаковые номера строк и столбцов. Таким образом, когда i=j для элемента a_ij матрицы A, минор, найденный для него после удаления строки и столбца того же индекса, называется главным минором матрицы A.

Допустим, у нас есть матрица \ ( A=\begin{bmatrix}a_{12}&\ a_{12}&\ a_{13}\\a_{21}&\ a_{22}&\ a_{23}\\a_{31}&\ a_{32}&\ a_{33}\end{bmatrix} \), то главные миноры будут \( M_{11},\ M_{22},\ M_{33} \), так как здесь удаленные строки и столбцы имеют одинаковые индексы.

Разница между определителем и минором матрицы

Определитель матрицы — это просто число, которое вычисляется с использованием всех элементов данной матрицы, тогда как минор матрицы — это другая матрица, образованная из определителей матрица меньшего порядка, найденная после исключения определенных строк и столбцов данной матрицы.

Например, если у нас есть матрица, \( A=\begin{bmatrix}a_{12}&\ a_{12}&\ a_{13}\\a_{21}&\ a_{22}&\ a_{23}\\a_{31}&\ a_{32}&\ a_{33}\end{bmatrix} \), затем

Определитель A, \( \left|A\right|=\left|\begin{matrix}a_{11}&\ a_{12}&\ a_{13}\\a_{21}&\ a_{ 22}&\ a_{23}\\a_{31}&\ a_{32}&\ a_{33}\end{matrix}\right|=a_{11}\left|\begin{matrix}a_{22 }&\ a_{23}\\a_{32}&\ a_{33}\end{matrix}\right|-a_{12}\left|\begin{matrix}a_{21}&\ a_{23} \\a_{31}&\ a_{33}\end{matrix}\right|+a_{13}\left|\begin{matrix}a_{21}&\ a_{22}\\a_{31}& \ a_{32}\end{matrix}\right| \)

\(=a_{11}\left(a_{22}.a_{33}-a_{23}.a_{32}\right)- a_{12}\left(a_{21}.a_{33}-a_{23}.a_{31}\right)+a_{13}\left(a_{21}.a_{32}-a_{22 }.a_{31}\справа) \)

И если мы рассмотрим минор элемента \( a_{22} \) из A, то

\( M_{22}=\left|\begin{matrix}a_{12}&\ &a_{13}\\ a_{31}&\ &a_{33}\end{matrix}\right| \)

и минор матрицы A равен \( M=\begin{bmatrix}M_{11}&\ M_{12}& \ M_{13}\\M_{21}&\ M_{22}&\ M_{23}\\M_{31}&\ M_{32}&\ M_{33}\end{bmatrix} \)

Таким образом, минор элемента матрицы — это определитель вновь сформированной матрицы, исключая строку и столбец, которым принадлежит элемент, а минорная матрица — это матрица, образованная с этими определителями, тогда как определитель матрицы — это просто число, вычисленное рассматривая всю заданную матрицу.

Узнайте о важных свойствах определителей

Применение минора матрицы

Минор матрицы формирует основу для нахождения других важных свойств матрицы с дальнейшими операциями над матрицей. Он используется для нахождения кофактора матрицы, который затем можно использовать для нахождения определителя и сопряженной матрицы. Обратная матрица также вычисляется с использованием кофактора, определителя и сопряженной матрицы.

Кофактор матрицы 9{i+j}\cdot M_{ij} \)

Таким образом, для матрицы

\( A=\begin{bmatrix}a_{11}&\ a_{12}&\ a_{13}\\a_ {21}&\ a_{22}&\ a_{23}\\a_{31}&\ a_{32}&\ a_{33}\end{bmatrix} \)

у нас есть матрица кофакторов как,

\( C=\begin{bmatrix}C_{11}&\ C_{12}&\ C_{13}\\C_{21}&\ C_{22}&\ C_{23}\\C_{31} &\ C_{32}&\ C_{33}\end{bmatrix} \)

Определитель матрицы

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов определенной строки или столбца с их соответствующие кофакторы, которые, как мы видели ранее, находятся с использованием второстепенных элементов матрицы.

Если у нас есть матрица,

\( A=\begin{bmatrix}a_{11}&\ a_{12}&\ a_{13}\\a_{21}&\ a_{22}&\ a_ {23}\\a_{31}&\ a_{32}&\ a_{33}\end{bmatrix} \), то определитель представляет собой просто сумму произведений элементов строки или столбца и их сомножителей, что означает

\( \left(C_{11}\times a_{11}\right)+\left(C_{12}\times a_{12}\right)+\left(C_{13}\times a_ {13}\right) \), то есть сумма \( C_{ij}\times a_{ij} \) для элементов строки или столбца.

Сопряженная матрица

Мы можем найти сопряженную матрицу путем транспонирования матрицы кофакторов, найденной с использованием младших элементов матрицы.

Рассмотрим матрицу \( A=\begin{bmatrix}a_{11}&\ a_{12}\\a_{21}&\ a_{22}\end{bmatrix} \), тогда кофактор будет,

\( C=\begin{bmatrix}\ \ a_{22}&\ -a_{21}\\-a_{12}&\ \ \ \ \ a_{11}\end{bmatrix} \)

Теперь, чтобы найти сопряженную, мы должны транспонировать приведенную выше матрицу.

9{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}adj\left(A\right) \) ; \( \left|A\right|\cancel{=}0\)

Здесь сопряженная матрица и ее определитель находятся с использованием минора матрицы.

Таким образом, минор матрицы широко используется в различных матричных операциях. Пример 1: 4\конец{bmatrix} \)

Решение:  Мы знаем, что для нахождения минора матрицы нужно сначала найти минор каждого элемента.

Таким образом, после удаления первой строки и первого столбца мы получаем минор 10 = 4

Аналогично, после исключения соответствующих строк и столбцов для всех элементов, мы получаем

Минор от -1 = 6

Минор от 6 = -1

Минор числа 4 = 10

Таким образом, мы получаем минор матрицы, \( \begin{bmatrix}\ \ 4\ &\ \ 6\\-1&10\end{bmatrix} \) 9столбец {rd} [/latex].

Таким образом, после исключения мы получаем \( \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{bmatrix}\)

Таким образом, минор элемента в \ ( a_{23} \) is,

\( \begin{bmatrix}\ \ \ \ 1&-9\\-10&\ \ 2\end{bmatrix} \)

Пример 3: Найдите минор заданной матрицы и, следовательно, найти ее определитель с помощью миноров и кофакторов.

\( A=\begin{bmatrix}0&2&0\\2&3&4\\4&5&6\end{bmatrix} \)

Решение:  Сначала найдем минор матрицы. Итак, мы берем по одному элементу за раз и находим минор.

\(M_{11}=\begin{bmatrix}\cancel{0}&\cancel{2}&\cancel{0}\\\cancel{2}&3&4\\\cancel{4}&5&6\end{ bmatrix}=\left|\begin{matrix}3&4\\5&6\end{matrix}\right|=18-20=-2 \)

\( M_{12}=\begin{bmatrix}\cancel{0 }&\cancel{2}&\cancel{0}\\2&\cancel{3}&4\\4&\cancel{5}&6\end{bmatrix}=\left|\begin{matrix}2&4\\4&6\ конец{матрица}\справа|=12-16=-4 \)

\( M_{13}=\begin{bmatrix}\cancel{0}&\cancel{2}&\cancel{0}\\2&3&\cancel{4}\\4&5&\cancel{6}\end{ bmatrix}=\left|\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right|=10-12=-2 \)

\( M_{21}=\begin{bmatrix}\cancel{0 }&2&0\\\cancel{2}&\cancel{3}&\cancel{4}\\\cancel{4}&5&6\end{bmatrix}=\left|\begin{matrix}2&0\\5&6\end{ matrix}\right|=12-0=12 \)

\( M_{22}=\begin{bmatrix}0&\cancel{2}&0\\\cancel{2}&\cancel{3}&\cancel {4}\\4&\cancel{5}&6\end{bmatrix}=\left|\begin{matrix}0&0\\4&6\end{matrix}\right|=0-0=0 \)

\(M_{23}=\begin{bmatrix}0&2&\cancel{0}\\\cancel{2}&\cancel{3}&\cancel{4}\\4&5&\cancel{6}\end{ bmatrix}=\left|\begin{matrix}0&2\\4&5\end{matrix}\right|=0-8=-8 \)

\(M_{31}=\begin{bmatrix}\cancel{0 }&2&0\\\cancel{2}&3&4\\\cancel{4}&\cancel{5}&\cancel{6}\end{bmatrix}=\left|\begin{matrix}2&0\\3&4\end{ matrix}\right|=8-0=8 \)

\(M_{32}=\begin{bmatrix}0&\cancel{2}&0\\2&\cancel{3}&4\\\cancel{4} &\cancel{5}&\cancel{6}\end{bmatrix}=\left|\begin{matrix}0&0\\2&4\end{matrix}\right|=0-0=0 \)

\(M_{33}=\begin{bmatrix}0&2&\cancel{0}\\2&3&\cancel{4}\\\cancel{4}&\cancel{5}&\cancel{6}\end{ bmatrix}=\left|\begin{matrix}0&2\\2&3\end{matrix}\right|=0-4=-4 \)

Следовательно, мы получаем минорную матрицу как

\( M=\ begin{bmatrix}M_{11\ \ }\ M_{12}&M_{13}\\M_{21}\ \ \ M_{22}&M_{23}\\M_{31}\ \ \ M_{32}&M_ {33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&-4&-2\\\ 12&\ \ 0&-8\\\ \ \ 8&\ \ 0&-4\end{bmatrix} \)

Сейчас мы знаем, что определитель представляет собой сумму произведения элементов и их кофакторов строки или столбца. Итак, мы рассматриваем второй столбец, чтобы найти определитель, и сначала находим кофактор второго столбца. 95=0 \)

Теперь находим определитель,

\(\left|A\right|=\left(C_{12}timesa_{12}\right)+\left(C_{22}timesa_{22 }\right)+\left(C_{32}\times a_{32}\right)=\left(4\times2\right)+\left(0\times3\right)+\left(0\times5\right )=8 \)

Хотите хорошо сдать экзамены? Есть вопросы по основным математическим понятиям? Тогда вы находитесь в правильном месте. Платформа Testbook — универсальное решение всех ваших проблем. Разберитесь и подготовьте умную и высокорейтинговую стратегию к экзамену, загрузив приложение Testbook прямо сейчас.

Часто задаваемые вопросы о миноре матрицы

В.1 Что такое минор матрицы?

Ответ 1 Минор определенного элемента в матрице – это определитель матрицы, образованный после исключения строки и столбца, которым принадлежит элемент. Новая матрица, образованная минорами каждого элемента матрицы, называется минором матрицы.

No related posts.