Нахождение объема через интеграл: Как найти объём тела вращения с помощью интеграла

alexxlab / / Разное

Содержание

Вычисление объемов тел с помощью интеграла

Прежде чем мы перейдём к нашей теме, давайте ненадолго вернёмся в алгебру и вспомним формулу Ньютона-Лейбница, которая позволяет нам вычислить определённый интеграл, повторим основные свойства интеграла.

Если функция  непрерывна на отрезке , то справедлива формула:

 – первообразная для .

 − геометрический смысл определённого интеграла.

Изучая алгебру, мы говорили, что с помощью определённого интеграла можно вычислять площадь плоских фигур.

Сегодня на уроке мы попробуем применить определённый интеграл к вычислению объёмов тел.

Заключим тело , объём которого нужно найти между двумя параллельными плоскостями  и .

Введём систему координат так, чтобы ось , абсциссы точек пересечения оси  с плоскостями  и  обозначим буквами  и . Пусть .

Пересечём наше тело произвольной плоскостью, перпендикулярной к оси .

Фигура  – полученная в сечении тела плоскостью является либо кругом либо многоугольником для любого  из отрезка . В граничных точках сечение может вырождаться в точку, как, например, в нашем случае при .

Обозначим площадь фигуры  за . Предположим, что  – это непрерывная функция на числовом отрезке .

Разобьём числовой отрезок  на  равных отрезков.

Длина каждого отрезка равна .

Через точки с абсциссами  проведём плоскости, перпендикулярные к оси . Тогда наше тело  разобьётся на  тел , , …, .

Высота каждого из этих тел равна .

Если фигура  – круг, то объём тела  приближённо равен объёму цилиндра, с основанием  и высотой .

Если же в сечении – многоугольник, то объём тела  приближённо равен объёму прямой призмы с основанием  и высотой .

Каждый из этих объёмов равен произведению площади основания на высоту . Тогда объём всего тела равен сумме этих объёмов .

Чем больше , тем точнее приближённое значение объёма всего тела и меньше .

Без доказательства примем, что объём тела  равен .

С другой стороны, сумма  является интегральной суммой для непрерывной функции  на числовом отрезке , поэтому можно записать, что предел .

Тогда получим, что объем тела  равен .

Эта формула называется основной формулой для вычисления объёмов тел.

Давайте теперь попробуем найти с помощью определённого интеграла объёмы пространственных тел.

Начнём с прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна , а площадь основания – .

Площадь сечения прямоугольного параллелепипеда не изменяется в любой точке отрезка от  до  и равна площади основания. Тогда получим, что объём прямоугольного параллелепипеда равен . Вынесем  за знак интеграла и получим, что объём прямоугольного параллелепипеда равен .

Теперь попробуем с помощью интеграла вычислить объём прямой призмы.

Пусть дана прямая  -угольная призма с площадью основания  и высотой .

Как и в случае прямоугольного параллелепипеда, площадь сечения прямой призмы не изменяется в любой точке отрезка от  до  и равна площади основания. Тогда получим, что объём прямой призмы равен . Вынесем  за знак интеграла и получим, что объём прямой призмы равен .

Теперь рассмотрим цилиндр с высотой  и площадью основания .

Как и в случае прямоугольного параллелепипеда и прямой призмы, площадь сечения цилиндра не изменяется в любой точке отрезка от  до  и равна площади основания. Тогда получим, что объём цилиндра равен . Вынесем  за знак интеграла и получим, что объём цилиндра равен .

Решим несколько задач.

Задача: сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси  и проходящей через точку с абсциссой , является квадратом, сторона которого равна . Найти объем этого тела.

Решение: воспользуемся только что доказанной формулой.

По рисунку видно, что пределами интегрирования будут числа . Поскольку сечение плоскости – квадрат, значит, площадь сечения равна .

Тогда получим, что объём этой фигуры равен .

Задача: найти объём тела, полученного вращением данной кривой вокруг оси .

Решение: очевидно, что границами интегрирования будут числа .

В сечении полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси  будет круг, радиус которого равен ординате точки с абсциссой , то есть радиусом этого круга будет .

Площадь такого круга равна . Поскольку  принимает только неотрицательные значения, то можно записать, что площадь сечения равна .

Вычислим объём полученного тела как . Применив формулу Ньютона-Лейбница, получим, что объём данного тела равен .

Задача: найти объём тела, полученного вращением данной кривой вокруг оси .

Решение: давайте внимательно посмотрим на получившееся тело.

Его можно получить из цилиндра, который получится при вращении прямоугольника вокруг своей стороны. Для этого надо из данного цилиндра «вынуть» фигуру, которую мы получили в предыдущей задаче.

Объём такой фигуры будет равен разности объёмов .

Радиусом основания цилиндра будет ордината точки с абсциссой равной 1. То есть радиус основания цилиндра равен . Высота цилиндра тоже равна . Тогда получим, что объём цилиндра равен .

Тогда объём искомой фигуры равен .

Итоги:

Сегодня на уроке мы показали, что объём геометрического тела можно найти с помощью определённого интеграла. Определили объёмы известных нам тел через интегралы. Рассмотрели несколько задач.

 

Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла

Тип урока:

комбинированный.

Цель урока: научиться вычислять объемы тел вращения с помощью интегралов.

Задачи:

  • закрепить умение выделять криволинейные трапеции из ряда геометрических фигур и отработать навык вычислений площадей криволинейных трапеций;
  • познакомиться с понятием объемной фигуры;
  • научиться вычислять объемы тел вращения;
  • способствовать развитию логического мышления, грамотной математической речи, аккуратности при построении чертежей;
  • воспитывать интерес к предмету, к оперированию математическими понятиями и образами, воспитать волю, самостоятельность, настойчивость при достижении конечного результата.

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие группы. Сообщение учащимся целей урока.

Рефлексия. Спокойная мелодия.

– Сегодняшний урок мне бы хотелось начать с притчи. “Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая – я ее умертвлю, скажет мертвая – выпущу”. Мудрец, подумав, ответил:

“Все в твоих руках”. (Презентация. Слайд)

– Поэтому давайте сегодня плодотворно поработаем, приобретем новый багаж знаний, и полученные умения и навыки будем применять в дальнейшей жизни и в практической деятельности. “Все в Ваших руках”.

II. Повторение ранее изученного материала.

– Давайте вспомним основные моменты ранее изученного материала. Для этого выполним задание “Исключите лишнее слово”. (Слайд.)

(Учащийся выходит к И.Д.с помощью ластика убирает лишнее слово.)

– Правильно “Дифференциал”. Попробуйте оставшиеся слова назвать одним общим словом. (Интегральное исчисление.

)

– Давайте вспомним основные этапы и понятия связанные с интегральным исчислением..

“Математическая гроздь”.

Задание. Восстановите пропуски. (Студент выходит и вписывает ручкой необходимые слова.)

– Реферат о применении интегралов мы заслушаем позже.

Работа в тетрадях.

– Формулу Ньютона-Лейбница вывели английский физик Исаака Ньютона (1643–1727) и немецкий философ Готфрида Лейбница (1646–1716). И это не удивительно, ведь математика – язык, на котором говорит сама природа.

– Рассмотрим, как при решении практических заданий используется эта формула.

Пример 1:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

 Построим на координатной плоскости графики функций . Выделим площадь фигуры, которую надо найти.

III. Изучение нового материала.

– Обратите внимание на экран. Что изображено на первом рисунке? (Слайд) (На рисунке представлена плоская фигура.)

– Что изображено на втором рисунке? Является ли эта фигура плоской? (Слайд) (На рисунке представлена объемная фигура.)

– В космосе, на земле и в повседневной жизни мы встречаемся не только с плоскими фигурами, но и объемными, а как же вычислить объем таких тел? Например объем планеты, каметы, метеорита, и т.д.

– Об объеме задумываются и строя дома, и переливая воду из одного сосуда в другой. Правила и приёмы вычисления объёмов должны были возникать, другое дело, насколько они были точны и обоснованны.

Сообщение студентки. (Тюрина Вера.)

 

1612 год был для жителей австрийского города Линц, где жил тогда известный астроном Иоганн Кеплер очень урожайным, особенно на виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определить их объёмы. (Слайд 2)

– Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. оформлением в трудах И. Ньютона и Г.В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления. Математика переменных величии заняла с этого времени ведущее место в системе математических знаний.

– Вот сегодня мы с вами и займемся такой практической деятельностью, следовательно,

Тема нашего урока: “Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла”. (Слайд)

– Определение тела вращения вы узнаете, выполнив следующее задание.

“Лабиринт”.

Лабиринт (греческое слово) означает ход в подземелье. Лабиринт– запутанная сеть дорожек, ходов, сообщающихся друг с другом помещений.

Но определение “разбилось”, остались подсказки в виде стрелок.

Задание. Найдите выход из запутанного положения и запишите определение.

Слайд. “Карта инструктаж” Вычисление объемов.

При помощи определенного интеграла можно вычислить объем того или иного тела, в частности, тела вращения.

Телом вращения называется тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг ее основания (рис. 1, 2)

Объем тела вращения вычисляется по одной из формул:

1., если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.

2. , если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

Карту инструктаж получает каждый студент. Преподаватель подчеркивает основные моменты.

– Преподаватель объясняет решение примеров на доске.

Пример.

Рассмотрим отрывок из известной сказки А. С. Пушкина “Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне Лебеде” (Слайд 4):

…. .
И привез гонец хмельной
В тот же день приказ такой:
“Царь велит своим боярам,
Времени не тратя даром,
И царицу и приплод
Тайно бросить в бездну вод”.
Делать нечего: бояре,
Потужив о государе
И царице молодой,
В спальню к ней пришли толпой.
Объявили царску волю –
Ей и сыну злую долю,
Прочитали вслух указ,
И царицу в тот же час
В бочку с сыном посадили,
Засмолили, покатили
И пустили в окиян –
Так велел-де царь Салтан.

(Слайд 5):

Какими же должен быть объем бочки, чтобы в ней поместились царица и её сын?

– Рассмотрим следующие задания

1. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной линиями: x2 + y2  = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Решение.

Ответ : 1163 cm3.

Найти объем тела, получаемого вращением параболической трапеции, вокруг оси абсцисс y = , x = 4, y = 0.

Решение .

IV. Закрепление нового материала

Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением лепестка, вокруг оси абсцисс y = x2, y2 = x.

Решение .

Построим графики функции. y = x2, y2 = x. График y2 = x   преобразуем к виду y = .

Имеем V = V1 – V2 Вычислим объем каждой функции

– Теперь, давайте, рассмотрим башню для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенной по проекту замечательного русского инженера, почётного академика В. Г. Шухова. Она состоит из частей – гиперболоидов вращения. Причём, каждый из них изготовлен из прямолинейных металлических стержней, соединяющих соседние окружности (рис.8, 9).


– Рассмотрим задачу.

Найти объем тела, получаемого вращением дуг гиперболы вокруг ее мнимой оси, как показано на рис. 8, где

Решение.

куб. ед.

Задания по группам. Учащиеся вытягивают жребий с задачами, рисунки выполняют на ватмане, один из представителей группы защищает работу.

1-я группа.

Удар! Удар! Ещё удар!
Летит в ворота мячик – ШАР!
А это– шар арбузный
Зелёный, круглый, вкусный.
Вглядитесь лучше – шар каков!
Он сделан из одних кругов.
Разрежьте на круги арбуз
И их попробуйте на вкус.

 

Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ОХ функции, ограниченную

Решение.

Ошибка! Закладка не определена.

– Скажите, пожалуйста, где мы встречаемся с данной фигурой?

Дом. задание для 1 группы. ЦИЛИНДР (слайд) .

«Цилиндр – что такое?» – спросил я у папы.
Отец рассмеялся: Цилиндр – это шляпа.
Чтобы иметь представление верное,
Цилиндр, скажем так, это банка консервная.
Труба парохода – цилиндр,
Труба на нашей крыше – тоже,

Все трубы на цилиндр похожи.
А я привёл пример такой –
Калейдоскоп любимый мой,
Глаз от него не оторвёшь,
И тоже на цилиндр похож.

– Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем .

2-я группа. КОНУС (слайд).

Сказала мама: А сейчас
Про конус будет мой рассказ.
В высокой шапке звездочёт
Считает звёзды круглый год.
КОНУС – шляпа звездочёта.
Вот какой он. Понял? То-то.
Мама у стола стояла,
В бутылки масло разливала.
– Где воронка? Нет воронки.
Поищи. Не стой в сторонке.
– Мама, с места я не тронусь,
Расскажи ещё про конус.
– Воронка и есть в виде конуса лейка.
Ну-ка, найди мне её поскорей-ка.
Воронку я найти не смог,
Но мама сделала кулёк,
Картон вкруг пальца обкрутила
И ловко скрепкой закрепила.
Масло льётся, мама рада,
Конус вышел то, что надо.

Задание . Вычислить объем тела полученный вращением вокруг оси абсцисс

Дом. задание для 2-й группы. ПИРАМИДА (слайд).

Я видел картину. На этой картине
Стоит ПИРАМИДА в песчаной пустыне.
Всё в пирамиде необычайно,
Какая-то есть в ней загадка и тайна.
А Спасская башня на площади Красной
И детям, и взрослым знакома прекрасно.
Посмотришь на башню – обычная с виду,
А что на вершине у ней? Пирамида!

Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем пирамиды

Вывод.

– Объёмы различных тел мы вычисляли опираясь на основную формулу объёмов тел с помощью интеграла.

Это является ещё одним подтверждением того, что определённый интеграл есть некоторый фундамент для изучения математики.

– Ну а теперь давайте немного отдохнем.

Найди пару.

Символ ʃ введен

Математическое домино мелодия играет.

“Дорога та, что сам искал, вовек не позабудется…”

Исследовательская работа. Применение интеграла в экономике и технике.

Тесты для сильных учащихся и математический футбол.

Математический тренажер.

2. Совокупность всех первообразных от данной функции называется

А) неопределенным интегралом,

Б) функцией,

В) дифференциацией.

7. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

Д/З. Вычислить объемы тел вращения.

Рефлексия.

Приём рефлексии в форме синквейна (пятистишия).

1-я строка – название темы (одно существительное).

2-я строка – описание темы в двух словах, два прилагательных.

3-я строка – описание действия в рамках этой темы тремя словами.

4-я строка – фраза их четырёх слов, показывает отношение к теме (целое предложение).

5-я строка – синоним, который повторяет суть темы.

  1. Объем.
  2. Определенный интеграл, интегрируемая функция.
  3. Строим, вращаем, вычисляем.
  4. Тело, полученное вращением криволинейной трапеции (вокруг ее основания).
  5. Тело вращения (объемное геометрическое тело).

Вывод (слайд).

  • Определенный интеграл – это некоторый фундамент для изучения математики, которая вносит незаменимый вклад в решение задач практического содержания.
  • Тема “Интеграл” ярко демонстрирует связь математики с физикой, биологией, экономикой и техникой.
  • Развитие современной науки немыслимо без использования интеграла. В связи с этим, начинать его изучение необходимо в рамках средне специального образования!

Выставление оценок . (С комментированием.)

Великий Омар Хайям – математик, поэт, философ. Он призывает быть хозяевами своей судьбы. Слушаем отрывок из его произведения:

Ты скажешь, эта жизнь – одно мгновенье.
Её цени, в ней черпай вдохновенье.
Как проведёшь её, так и пройдёт.
Не забывай: она – твоё творенье.

Приложение 2.

5.2.3. Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?

Помимо нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интегралаважнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения. Материал простой, но читатель должен быть подготовленным: необходимо уметь решатьнеопределенные интегралы средней сложности и применять формулу Ньютона-Лейбница в определенном интеграле. Как и для задачи нахождения площади, нужны уверенные навыки построения чертежей – это чуть ли не самое важное (поскольку интегралы сами по себе чаще будут лёгкими). Освоить грамотную и быструю технику построения графиков можно с помощью методического материала Графики и свойства Элементарных функций. Но, собственно, о важности чертежей я уже неоднократно говорил на уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры.

Вообще в интегральном исчислении очень много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину дуги, площадь поверхности тела и многое другое. Поэтому будет весело, пожалуйста, настройтесь на оптимистичный лад!

Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Представили? … Интересно, кто что представил… =))) Её площадь мы уже находили. Но, кроме того, данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:

– вокруг оси абсцисс  ; – вокруг оси ординат .

В данной статье будут разобраны оба случая. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс. В качестве бонуса я вернусь кзадаче нахождения площади фигуры, и расскажу вам, как находить площадь вторым способом – по оси  . Даже не столько бонус, сколько материал удачно вписывается в тему.

Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.

Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси

Пример 1

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями  ,   вокруг оси   .

Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости   необходимо построить фигуру, ограниченную линиями  ,  , при этом не забываем, что уравнение   задаёт ось  . Как рациональнее и быстрее выполнить чертёж, можно узнать на страницах Графики и свойства Элементарных функций и Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры. Это китайское напоминание, и на данном моменте я больше не останавливаюсь.

Чертёж здесь довольно прост:

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси  . В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси  . На самом деле у тела есть математическое название, но в справочнике что-то лень смотреть, поэтому едем дальше.

Как вычислить объем тела вращения?

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

В формуле перед интегралом обязательно присутствует число  . Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.

Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.

Функция  … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы   сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.

В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси  . Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в квадрат:  , таким образом объем тела вращения всегда неотрицателен, что весьма логично.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

Как я уже отмечал, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.

Ответ: 

В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы  . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубические единицы? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.

Пример 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси   фигуры, ограниченной линиями  ,  , 

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотрим две более сложные задачи, которые тоже часто встречаются на практике.

Пример 3

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями  ,  ,   и 

Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями  ,  ,  ,  , не забывая при этом, что уравнение   задает ось  :

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси   получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси   получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через  .

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси  , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через  .

И, очевидно, разность объемов   – в точности объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения: 

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой  , поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой  , поэтому:

3) Объем искомого тела вращения: 

Ответ: 

Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.

Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:

AC Использование определенных интегралов для нахождения объема

Мотивирующие вопросы

  • Как с помощью определенного интеграла найти объем трехмерного тела вращения, возникающего в результате вращения двумерной области вокруг определенной оси?

  • В каких случаях мы интегрируем по \(y\) вместо интегрирования по \(x\text{?}\)

  • Какие корректировки нам нужно сделать, если мы вращаемся вокруг линии, отличной от оси \(x\) или \(y\)?

Точно так же, как мы можем использовать определенные интегралы для сложения площадей прямоугольных срезов, чтобы найти точную площадь, лежащую между двумя кривыми, мы также можем использовать интегралы, чтобы найти объем областей, поперечное сечение которых имеет определенную форму.

В частности, мы можем определить объем твердых тел, все поперечные сечения которых представляют собой тонкие цилиндры (или шайбы), суммируя объемы этих отдельных слоев. Сначала мы рассмотрим знакомую форму в предварительном просмотре 6.2.1: круглый конус.

Предварительный просмотр 6.2.1.

Рассмотрим круглый конус радиусом 3 и высотой 5, который мы рассматриваем горизонтально, как показано на рисунке 6.2.1. Наша цель в этом упражнении — использовать определенный интеграл для определения объема конуса.

Рисунок 6.2.1. Круглый конус, описанный в предварительном задании 6.2.1

  1. Найдите формулу линейной функции \(y = f(x)\), изображенную на рисунке 6.2.1.

  2. Для репрезентативного среза толщиной \(\Delta x\), расположенного по горизонтали в точке \(x\) (где-то между \(x = 0\) и \(x = 5\)), какова радиус репрезентативного среза? Обратите внимание, что радиус зависит от значения \(x\text{.}\) 92 ч\текст{.}\)

Подраздел 6.

2.1 Объем тела вращения

Тело вращения — это трехмерное тело, которое может быть создано путем вращения одной или нескольких кривых вокруг фиксированной оси. Например, круглый конус на рисунке 6.2.1 представляет собой тело вращения, образованное вращением части линии \(y = 3 — \frac{3}{5}x\) от \(x = 0\) до \(x = 5\) относительно оси \(x\). Обратите внимание, что если мы разрежем тело вращения перпендикулярно оси вращения, результирующее поперечное сечение будет кругом. 92 \, дх\текст{.} \end{equation*}

Несложно вычислить интеграл и найти, что объем равен \(V = \frac{512}{15}\pi\text{.}\)

Для твердого тела, такого как один в примере  6.2.2, где каждый срез представляет собой цилиндрический диск, мы сначала находим объем типичного среза (отмечая, в частности, как этот объем зависит от \(x\)), а затем интегрируем по диапазону \(x\ )-значения, ограничивающие тело. Часто мы будем довольствоваться простым нахождением интеграла, представляющего объем; если нам нужно числовое значение для интеграла, мы обычно используем калькулятор или систему компьютерной алгебры, чтобы найти это значение. 92 + х — 2 = 0\текст{,} \end{equation*}

, и решениями этого уравнения являются \(x = -2\) и \(x = 1\text{.}\). Таким образом, кривые пересекаются в \((-2,0)\ ) и \((1,1)\text{.}\)

Когда мы вращаем область \(R\) вокруг оси \(x\), мы получаем трехмерное тело, изображенное слева на рис. 6.2.5.

Рисунок 6.2.5. Слева тело вращения в примере 6.2.4. Справа типичный срез с внутренним радиусом \(r(x)\) и внешним радиусом \(R(x)\text{.}\)

Сразу же мы видим большую разницу между телом в этом примере и телом в Пример  6.2.2: здесь трехмерное тело вращения не является «твердым», потому что оно имеет открытое пространство в центре вдоль оси вращения. Если мы разрежем твердое тело перпендикулярно оси вращения, мы заметим, что результирующий срез представляет собой не сплошной диск, а скорее 92 ] \, дх\текст{.} \end{equation*}

Вычисляя интеграл, находим, что объем тела вращения равен \(V = \frac{108}{5}\pi\text{.}\)

Этот метод нахождения объем тела вращения, образованный двумя кривыми, часто называют методом шайбы .

Метод мойки.

Если \(y = R(x)\) и \(y = r(x)\) — неотрицательные непрерывные функции на \([a,b]\), удовлетворяющие \(R(x) \ge r(x )\) для всех \(x\) в \([a,b]\text{,}\), то объем тела вращения, образованного вращением области между ними вокруг оси \(x\) над этот интервал равен 92] \, дх\текст{.} \end{уравнение*}

Мероприятие 6.2.2.

В каждом из следующих вопросов нарисуйте аккуратный, помеченный эскиз описываемой области, а также твердое тело, полученное в результате вращения области вокруг указанной оси. Кроме того, нарисуйте репрезентативный срез и укажите объем этого среза вместе с определенным интегралом, значением которого является объем всего твердого тела. Нет необходимости вычислять найденные интегралы.

  1. Область \(S\), ограниченная осью \(x\), кривой \(y = \sqrt{x}\text{,}\) и линией \(x = 4\text{ ;}\) вращаются \(S\) вокруг оси \(x\). 92 + 4\text{;}\) вращаются \(S\) вокруг оси \(x\).

  2. Область \(S\), ограниченная осью \(y\), кривой \(y = \sqrt{x}\text{,}\) и линией \(y = 2\text{; }\) вращаются \(S\) вокруг оси \(y\). Чем эта задача отличается от задачи, поставленной в части (b)?

Подраздел 6.2.2 Вращение вокруг оси \(y\)

Когда мы вращаем данную область вокруг оси \(y\), репрезентативные срезы теперь имеют толщину \(\Delta y\text{,}\), что означает, что мы должны интегрировать по \(y\text{ .}\) 94\) вращается вокруг оси \(у\).

Раствор.

Эти две кривые пересекаются, когда \(x = 1\text{,}\) следовательно, в точке \((1,1)\text{.}\) Когда мы вращаем область \(R\) вокруг \ (y\)-ось, мы получаем трехмерное тело, изображенное слева на рисунке 6.2.7.

Рисунок 6.2.7. Слева тело вращения в примере 6.2.6. Справа типичный срез с внутренним радиусом \(r(y)\) и внешним радиусом \(R(y)\text{.}\)

Обратите внимание, что срезы представляют собой цилиндрические шайбы, только если они взяты перпендикулярно \(y \)-ось. Мы разрезаем тело по горизонтали, начиная с \(y = 0\) и продолжая до \(y = 1\text{.}\). Толщина репрезентативного среза равна \(\Delta y\text{,}\) поэтому мы должны выразить подынтегральную функцию через \(y\text{. 4\) (которая определяет внешний радиус) для \ (x\) через \(y\text{,}\) и, следовательно, \(x = \sqrt[4]{y}\text{.}\) Таким образом, объем типичного среза равен 92 \справа] \, dy\текст{.} \end{equation*}

Несложно вычислить интеграл и найти, что \(V = \frac{7}{15} \pi\text{.}\)

Мероприятие 6.2.3.

В каждом из следующих вопросов нарисуйте аккуратный, помеченный эскиз описываемой области, а также твердое тело, полученное в результате вращения области вокруг указанной оси. Кроме того, нарисуйте репрезентативный срез и укажите объем этого среза вместе с определенным интегралом, значением которого является объем всего твердого тела. Нет необходимости вычислять найденные интегралы. 92\) и \(y = x-1\text{;}\) вращаются \(S\) вокруг оси \(y\)

Подраздел 6.2.3 Вращение вокруг горизонтальных и вертикальных линий, отличных от осей координат

Область можно вращать вокруг любой горизонтальной или вертикальной линии. При этом радиусы задействованных цилиндров или шайб регулируются на постоянное значение. 3\text{.}\)

  1. Вращение \(S\) вокруг линии \(y = -2\text{.}\)

  2. Вращение \(S\) вокруг линии \(y = 4\text{.}\)

  3. Вращение \(S\) вокруг линии \(x=-1\text{.}\)

  4. Вращение \(S\) вокруг линии \(x = 5\text{.}\)

Подраздел 6.2.4 Резюме

  • Мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти объем трехмерного тела вращения, которое получается в результате вращения двумерной области вокруг определенной оси, взяв срезы, перпендикулярные оси вращения, которые тогда будут круглыми дисками или шайбы.

  • Если мы вращаемся вокруг вертикальной линии и разрезаем перпендикулярно этой линии, то наши срезы горизонтальны и имеют толщину \(\Delta y\text{.}\) Это приводит нас к интегрированию по \(y\text{ ,}\) в отличие от относительно \(x\), когда мы разрезаем твердое тело по вертикали.

  • Если мы вращаемся вокруг линии, отличной от оси \(x\) или \(y\), нам нужно тщательно учитывать сдвиг, который происходит в радиусе типичного среза. Обычно этот сдвиг включает в себя получение суммы или разности функции вместе с константой, связанной с уравнением для горизонтальной или вертикальной линии; хорошо обозначенная диаграмма обычно является лучшим способом определить новое выражение для радиуса. 93}{4})\) и часть его графика, которая лежит в первом квадранте между осью \(y\) и первым положительным значением \(x\), для которого \(f(x) = 0 \text{.}\) Пусть \(R\) обозначает область, ограниченную этой частью \(f\text{,}\) оси \(x\) и оси \(y\).

    1. Установите определенный интеграл, значение которого равно точной длине дуги \(f\), лежащей вдоль верхней границы \(R\text{.}\) Используйте соответствующие технологии для оценки найденного интеграла.

    2. Установите определенный интеграл, значение которого равно точной площади \(R\text{.}\) Используйте соответствующую технологию для оценки найденного вами интеграла.

    3. Предположим, что область \(R\) вращается вокруг оси \(x\). Задайте определенный интеграл, значение которого равно точному объему образующегося тела вращения. Используйте технологию соответствующим образом, чтобы оценить интеграл, который вы найдете.

    4. Вместо этого предположим, что \(R\) вращается вокруг оси \(y\). Если возможно, задайте интегральное выражение, значение которого равно точному объему тела вращения, и вычислите интеграл, используя соответствующую технологию. Если невозможно, объясните, почему.

    8.

    Рассмотрим кривые, заданные \(y = \sin(x)\) и \(y = \cos(x)\text{.}\). Для каждой из следующих задач вы должны включить эскиз области/ рассматриваемое твердое тело, а также помеченный репрезентативный срез.

    1. Нарисуйте область \(R\), ограниченную осью \(y\) и кривыми \(y = \sin(x)\) и \(y = \cos(x)\) до первое положительное значение \(х\), при котором они пересекаются. Какова точная точка пересечения кривых?

    2. Установите определенный интеграл, значением которого является точная площадь \(R\text{.}\)

    3. Установите определенный интеграл, значение которого равно точному объему тела вращения, образованного вращением \(R\) вокруг оси \(x\).

    4. Установите определенный интеграл, значение которого равно точному объему тела вращения, образованного вращением \(R\) вокруг оси \(y\).

    5. Установите определенный интеграл, значение которого равно точному объему тела вращения, образованного вращением \(R\) вокруг линии \(y = 2\text{.}\) 92\текст{,}\) и \(х = 0\текст{.}\)

      1. Определите определенный интеграл, значением которого является площадь области, ограниченной двумя кривыми.

      2. Найдите выражение, содержащее один или несколько определенных интегралов, значением которого является объем тела вращения, образованного вращением области \(R\) вокруг линии \(y = -1\text{.}\)

      3. Определите выражение, включающее один или несколько определенных интегралов, значением которых является объем тела вращения, образованного вращением области \(R\) вокруг оси \(y\).

      4. Найдите выражение, включающее один или несколько определенных интегралов, значением которых является периметр области \(R\text{. }\)

      6.2 Определение объемов с помощью срезов — Расчет, том 1

      Цели обучения

      • 6.2.1 Определить объем твердого тела путем интегрирования поперечного сечения (метод срезов).
      • 6.2.2 Найдите объем тела вращения методом круга.
      • 6.2.3 Найти объем тела вращения с полостью методом шайбы.

      В предыдущем разделе мы использовали определенные интегралы, чтобы найти площадь между двумя кривыми. В этом разделе мы используем определенные интегралы для нахождения объемов трехмерных тел. Мы рассматриваем три подхода — срезы, диски и шайбы — для нахождения этих объемов в зависимости от характеристик твердого тела.

      Объем и метод нарезки

      Точно так же, как площадь является числовой мерой двумерной области, объем является числовой мерой трехмерного твердого тела. Большинство из нас вычисляли объемы твердых тел, используя основные геометрические формулы. Объем прямоугольного тела, например, можно вычислить, умножив длину, ширину и высоту: V=lwh. V=lwh. Формулы для объема сферы (V=43πr3),(V=43πr3), конуса (V=13πr2h),(V=13πr2h) и пирамиды (V=13Ah)(V=13Ah) представил. Хотя некоторые из этих формул были получены только с помощью геометрии, все эти формулы можно получить с помощью интегрирования.

      Мы также можем вычислить объем цилиндра. Хотя большинство из нас думает о цилиндре как о круглом основании, таком как банка для супа или металлический стержень, в математике слово цилиндр имеет более общее значение. Чтобы обсудить цилиндры в этом более общем контексте, нам сначала нужно определить некоторый словарь.

      Мы определяем поперечное сечение твердого тела как пересечение плоскости с твердым телом. Цилиндр определяется как любое твердое тело, которое может быть создано путем перемещения плоской области вдоль линии, перпендикулярной области, называемой ось цилиндра. Таким образом, все сечения, перпендикулярные оси цилиндра, одинаковы. Твердое тело, показанное на рис. 6.11, является примером цилиндра с некруглым основанием. Чтобы рассчитать объем цилиндра, мы просто умножаем площадь поперечного сечения на высоту цилиндра: V=A·h.V=A·h. В случае правильного кругового цилиндра (консервная банка) это становится V=πr2h.V=πr2h.

      Рисунок 6.11 Каждое сечение конкретного цилиндра идентично другим.

      Если твердое тело не имеет постоянного поперечного сечения (и оно не является одним из других основных тел), у нас может не быть формулы для его объема. В этом случае мы можем использовать определенный интеграл для вычисления объема твердого тела. Мы делаем это, разрезая твердое тело на части, оценивая объем каждого среза, а затем складывая эти оценочные объемы вместе. Все срезы должны быть параллельны друг другу, и когда мы сложим все срезы вместе, мы должны получить цельное тело. Рассмотрим, например, твердую S , показанный на рис. 6.12, простирается вдоль оси х. ось х.

      Рисунок 6.12 Твердое тело с переменным поперечным сечением.

      Мы хотим разделить SS на срезы, перпендикулярные оси x.ось x. Как мы увидим позже в этой главе, могут быть случаи, когда мы хотим разрезать твердое тело в каком-то другом направлении, например, срезами, перпендикулярными оси y . Решение о том, каким образом разрезать твердое тело, очень важно. Если мы сделаем неправильный выбор, вычисления могут стать довольно запутанными. Далее в этой главе мы подробно рассмотрим некоторые из этих ситуаций и посмотрим, как решить, каким образом разрезать твердое тело. Однако для целей этого раздела мы используем срезы, перпендикулярные оси x.x-axis.

      Поскольку площадь поперечного сечения непостоянна, пусть A(x)A(x) представляет собой площадь поперечного сечения в точке x.x. Пусть теперь P={x0,x1…,Xn}P={x0,x1…,Xn} — обычное разбиение [a,b],[a,b] и для i=1,2,…n i=1,2,…n, пусть SiSi представляет собой срез SS, простирающийся от xi−1toxi. xi−1toxi. На следующем рисунке показано твердое тело в разрезе с n=3.n=3.

      Рисунок 6.13 Сплошной SS был разделен на три среза, перпендикулярных оси абсцисс.

      Наконец, для i=1,2,…n,i=1,2,…n пусть xi*xi* — произвольная точка в [xi−1,xi].[xi−1,xi]. Тогда объем среза SiSi можно оценить как V(Si)≈A(xi*)∆x.V(Si)≈A(xi*)∆x. Складывая эти приближения вместе, мы видим, что объем всего твердого СС может быть приблизительно равен

      V(S)≈∑i=1nA(xi*)Δx.V(S)≈∑i=1nA(xi*)Δx.

      К настоящему времени мы можем распознать это как сумму Римана, и наш следующий шаг — взять предел при n→∞.n→∞. Тогда у нас есть

      V(S)=limn→∞∑i=1nA(xi*)Δx=∫abA(x)dx.V(S)=limn→∞∑i=1nA(xi*)Δx=∫abA(x)dx .

      Метод, который мы только что описали, называется методом нарезки. Чтобы применить его, мы используем следующую стратегию.

      Стратегия решения проблем

      Стратегия решения проблем: поиск объемов методом нарезки
      1. Осмотрите твердое тело и определите форму поперечного сечения твердого тела. Часто бывает полезно нарисовать рисунок, если его нет.
      2. Определите формулу площади поперечного сечения.
      3. Проинтегрируйте формулу площади по соответствующему интервалу, чтобы получить объем.

      Напомним, что в этом разделе мы предполагаем, что срезы перпендикулярны оси x.ось x. Следовательно, формула площади выражается в виде x , а пределы интегрирования лежат на оси x.x-ось. Однако показанная здесь стратегия решения проблем действительна независимо от того, как мы решили разрезать твердое тело.

      Пример 6,6

      Вывод формулы объема пирамиды

      Из геометрии мы знаем, что формула объема пирамиды V=13Ah.V=13Ah. Если у пирамиды квадратное основание, это становится V=13a2h, V=13a2h, где aa обозначает длину одной стороны основания. Мы собираемся использовать метод нарезки, чтобы вывести эту формулу.

      Решение

      Мы хотим применить метод разрезания к пирамиде с квадратным основанием. Чтобы установить интеграл, рассмотрим пирамиду, показанную на рис. 6.14, ориентированную вдоль оси х.

      Рисунок 6.14 (а) Пирамида с квадратным основанием ориентирована по оси х . (b) Двухмерный вид пирамиды сбоку.

      Сначала мы хотим определить форму поперечного сечения пирамиды. Мы знаем, что основание квадратное, поэтому сечения тоже квадратные (шаг 1). Теперь мы хотим определить формулу площади одного из этих квадратов поперечного сечения. Глядя на рисунок 6.14(b) и используя пропорцию, поскольку это подобные треугольники, мы имеем

      sa=xhors=axh.sa=xhors=axh.

      Следовательно, площадь одного из квадратов поперечного сечения равна

      A(x)=s2=(axh)2(шаг2).A(x)=s2=(axh)2(шаг2).

      Затем находим объем пирамиды интегрированием от 0toh0toh (шаг 3):3):

      V=∫0hA(x)dx=∫0h(axh)2dx=a2h3∫0hx2dx=[a2h3(13×3)] |0h=13a2h.V=∫0hA(x)dx=∫0h(axh)2dx=a2h3∫0hx2dx=[a2h3(13×3)]|0h=13a2h.

      Это формула, которую мы искали.

      Контрольно-пропускной пункт 6,6

      Используйте метод срезов, чтобы вывести формулу V=13πr2hV=13πr2h для объема круглого конуса.

      Тела революции

      Если область на плоскости вращается вокруг линии на этой плоскости, полученное тело называется телом вращения, как показано на следующем рисунке.

      Рисунок 6.15 (а) Это область, которая вращается вокруг оси x . (б) Когда область начинает вращаться вокруг оси, она выметает тело вращения. (c) Это твердое тело, которое получается после завершения вращения.

      Тела вращения распространены в механических приложениях, таких как детали машин, изготовленные на токарном станке. Оставшуюся часть этого раздела мы посвятим рассмотрению твердых тел этого типа. В следующем примере используется метод срезов для вычисления объема тела вращения.

      Пример 6.7

      Использование метода срезов для нахождения объема тела вращения

      Использование метода срезов для нахождения объема тела вращения, ограниченного графиками f(x)=x2−4x+5,x=1, иx=4,f(x)=x2−4x+5,x=1,andx=4, и вращается вокруг оси x. ось x.

      Решение

      Используя стратегию решения задач, мы сначала нарисуем график квадратичной функции на интервале [1,4][1,4], как показано на следующем рисунке.

      Рисунок 6.16 Область, используемая для создания тела вращения.

      Затем поверните область вокруг оси x , как показано на следующем рисунке.

      Рисунок 6.17 Два вида (а) и (б) тела вращения, полученного вращением области на рис. 6.16 вокруг оси х.

      Поскольку твердое тело было сформировано путем вращения области вокруг оси x, поперечные сечения представляют собой круги (шаг 1). Таким образом, площадь поперечного сечения — это площадь круга, а радиус круга равен f(x).f(x). Используйте формулу площади круга:

      A(x)=πr2=π[f(x)]2=π(x2−4x+5)2(шаг 2).A(x)=πr2=π[f(x)]2=π( x2−4x+5)2(шаг 2).

      Тогда объем равен (шаг 3)

      V=∫abA(x)dx=∫14π(x2−4x+5)2dx=π∫14(x4−8×3+26×2−40x+25)dx= π(x55−2×4+26×33−20×2+25x)|14=785π. V=∫abA(x)dx=∫14π(x2−4x+5)2dx=π∫14(x4−8×3+26×2−40x+25 )dx=π(x55−2×4+26×33−20×2+25x)|14=785π.

      Объем 78π/5,78π/5.

      Контрольно-пропускной пункт 6.7

      Используйте метод срезов, чтобы найти объем тела вращения, образованного вращением области между графиком функции f(x)=1/xf(x)=1/x и осью xx-ось над интервал [1,2][1,2] вокруг оси х.ось х. См. следующий рисунок.

      Дисковый метод

      Когда мы используем метод срезов с телами вращения, его часто называют дисковым методом, потому что для тел вращения срезы, используемые для аппроксимации объема тела, представляют собой диски. Чтобы увидеть это, рассмотрим тело вращения, образованное вращением области между графиком функции f(x)=(x−1)2+1f(x)=(x−1)2+1 и осью xx -ось в интервале [−1,3][−1,3] вокруг оси x.x-axis. График функции и репрезентативный диск показаны на рис. 6.18 (а) и (б). Область вращения и полученное твердое тело показаны на рис. 6.18 (в) и (г).

      Рисунок 6. 18 (а) Тонкий прямоугольник для аппроксимации площади под кривой. (b) Репрезентативный диск, образованный вращением прямоугольника вокруг оси x.x. (c) Область под кривой вращается вокруг оси x, оси x, в результате чего (d) тело вращения.

      Мы уже использовали формальную формулу суммы Римана для формулы объема, когда разрабатывали метод срезов. Мы знаем, что

      V=∫abA(x)dx.V=∫abA(x)dx.

      Единственная разница с дисковым методом заключается в том, что мы заранее знаем формулу площади поперечного сечения; это площадь круга. Это дает следующее правило.

      Правило: Дисковый метод

      Пусть f(x)f(x) непрерывна и неотрицательна. Определим RR как область, ограниченную сверху графиком f(x),f(x), снизу осью x, осью x, слева линией x=a,x=a и справа линией x=b.x=b. Тогда объем тела вращения, образованного вращением RR вокруг оси x x, равен

      V=∫abπ[f(x)]2dx.V=∫abπ[f(x)]2dx.

      (6.3)

      Объем изучаемого нами твердого тела (рис. 6.18) равен

      V=∫abπ[f(x)]2dx=∫−13π[(x−1)2+1]2dx=π∫−13[(x−1)4+2(x−1)2+1] dx=π[15(x−1)5+23(x−1)3+x]|−13=π[(325+163+3)−(−325−163−1)]=412π15единиц3.V= ∫abπ[f(x)]2dx=∫−13π[(x−1)2+1]2dx=π∫−13[(x−1)4+2(x−1)2+1]dx=π [15(x−1)5+23(x−1)3+x]|−13=π[(325+163+3)−(−325−163−1)]=412π15единиц3.

      Давайте рассмотрим несколько примеров.

      Пример 6,8

      Использование дискового метода для нахождения объема тела вращения 1

      Использование дискового метода для нахождения объема тела вращения, образованного вращением области между графиком f(x)=xf(x)= х и ось х ось х в интервале [1,4][1,4] вокруг оси х.ось х.

      Решение

      Графики функции и тела вращения показаны на следующем рисунке.

      Рисунок 6.19 (a) Функция f(x)=xf(x)=x на интервале [1,4].[1,4]. (b) Тело вращения, полученное вращением области под графиком f(x)f(x) вокруг оси х.

      Имеем

      V=∫abπ[f(x)]2dx=∫14π[x]2dx=π∫14xdx=π2×2|14=15π2. V=∫abπ[f(x)]2dx=∫14π[ х]2dx=π∫14xdx=π2×2|14=15π2.

      Объем (15π)/2(15π)/2 единицы 3 .

      Контрольно-пропускной пункт 6,8

      Используйте метод диска, чтобы найти объем тела вращения, образованного вращением области между графиком f(x)=4−xf(x)=4−x и осью xx-ось на интервале [ 0,4][0,4] вокруг оси x.ось x.

      До сих пор в наших примерах все соответствующие области вращались вокруг оси x, оси x, но мы можем создать тело вращения, вращая плоскую область вокруг любой горизонтальной или вертикальной линии. В следующем примере мы рассмотрим тело вращения, которое было создано путем вращения области вокруг оси y. Механика дискового метода почти такая же, как и в случае, когда ось x является осью вращения, но мы выражаем функцию через yy и интегрируем по и тоже. Это резюмируется в следующем правиле.

      Правило: Дисковый метод для тел вращения вокруг оси

      y

      Пусть g(y)g(y) непрерывна и неотрицательна. Определим QQ как область, ограниченную справа графиком g(y),g(y), слева осью y, осью y, внизу линией y=c,y=c и вверху линией y=d.y=d. Тогда объем тела вращения, образованного вращением QQ вокруг оси y, равен

      V=∫cdπ[g(y)]2dy.V=∫cdπ[g(y)]2dy.

      (6.4)

      Следующий пример показывает, как это правило работает на практике.

      Пример 6,9

      Использование метода диска для нахождения объема тела вращения 2

      Пусть RR будет областью, ограниченной графиком g(y)=4−yg(y)=4−y и осью y в интервале оси Y [0,4].[0,4]. Используйте метод диска, чтобы найти объем тела вращения, образованного вращением RR вокруг оси y.ось y.

      Решение

      На рис. 6.20 показаны функция и репрезентативный диск, который можно использовать для оценки объема. Обратите внимание, что, поскольку мы вращаем функцию вокруг оси Y, диски расположены горизонтально, а не вертикально.

      Рисунок 6. 20 (a) Показан тонкий прямоугольник между кривой функции g(y)=4−yg(y)=4−y и осью y.ось y. (b) Прямоугольник образует репрезентативный диск после вращения вокруг оси y.

      Область вращения и полное тело вращения показаны на следующем рисунке.

      Рисунок 6.21 (a) Область слева от функции g(y)=4−yg(y)=4−y на интервале оси y [0,4].[0,4]. (b) Тело вращения, образованное вращением области вокруг оси у.

      Чтобы найти объем, проинтегрируем по y.y. Получаем

      V=∫cdπ[g(y)]2dy=∫04π[4−y]2dy=π∫04(4−y)dy=π[4y−y22]|04=8π.V=∫cdπ [g(y)]2dy=∫04π[4−y]2dy=π∫04(4−y)dy=π[4y−y22]|04=8π.

      Объем 8π8π единиц 3 .

      Контрольно-пропускной пункт 6,9

      Используйте метод диска, чтобы найти объем тела вращения, образованного вращением области между графиком g(y)=yg(y)=y и осью y на интервале [1,4] [1,4] вокруг оси y.ось y.

      Метод мойки

      Некоторые тела вращения имеют в середине полости; они не сплошные на всем пути до оси вращения. Иногда это просто результат формы области вращения относительно оси вращения. В других случаях полости возникают, когда область вращения определяется как область между графиками двух функций. Третий способ, которым это может произойти, — когда выбрана ось вращения, отличная от оси xx или оси y.

      Когда тело вращения имеет полость посередине, срезы, используемые для аппроксимации объема, представляют собой не диски, а шайбы (диски с отверстиями в центре). Например, рассмотрим область, ограниченную сверху графиком функции f(x)=xf(x)=x и снизу графиком функции g(x)=1g(x)=1 на интервале [1, 4].[1,4]. Когда эта область вращается вокруг оси х, получается твердое тело с полостью посередине, а срезы — шайбы. График функции и репрезентативная шайба показаны на рис. 6.22 (а) и (б). Область вращения и полученное твердое тело показаны на рис. 6.22 (в) и (г).

      Рисунок 6.22 (а) Тонкий прямоугольник в области между двумя кривыми. (b) Репрезентативный диск, образованный вращением прямоугольника вокруг оси x. x. (в) Область между кривыми на данном интервале. (d) Полученное тело вращения.

      Площадь поперечного сечения равна площади внешнего круга за вычетом площади внутреннего круга. В данном случае

      A(x)=π(x)2−π(1)2=π(x−1).A(x)=π(x)2−π(1)2=π(x−1).

      Тогда объем твердого тела равен

      V=∫abA(x)dx=∫14π(x−1)dx=π[x22−x]|14=92πunits3.V=∫abA(x)dx=∫14π(x−1)dx=π[ x22−x]|14=92πединиц3.

      Обобщение этого процесса дает метод шайбы.

      Правило: метод шайбы

      Предположим, что f(x)f(x) и g(x)g(x) — непрерывные неотрицательные функции такие, что f(x)≥g(x)f(x)≥g(x) над [a,b ].[а,б]. Обозначим через RR область, ограниченную сверху графиком f(x),f(x), снизу графиком g(x),g(x), слева линией x=a,x=a, а справа линией x=b.x=b. Тогда объем тела вращения, образованного вращением RR вокруг оси xx, равен

      V=∫abπ[(f(x))2−(g(x))2]dx.V=∫abπ[(f(x))2−(g(x))2]dx.

      (6,5)

      Пример 6.10

      Методом шайбы

      Найти объем тела вращения, образованного вращением области, ограниченной сверху графиком f(x)=xf(x)=x и снизу графиком g(x)=1 /xg(x)=1/x в интервале [1,4][1,4] вокруг оси x. ось x.

      Решение

      Графики функций и тела вращения показаны на следующем рисунке.

      Рисунок 6.23 (a) Область между графиками функций f(x)=xf(x)=x и g(x)=1/xg(x)=1/x на интервале [1,4].[1, 4]. (b) Вращение области вокруг оси xx порождает тело вращения с полостью посередине.

      Имеем

      V=∫abπ[(f(x))2−(g(x))2]dx=π∫14[x2−(1x)2]dx=π[x33+1x]|14 =81π4единиц3.V=∫abπ[(f(x))2−(g(x))2]dx=π∫14[x2−(1x)2]dx=π[x33+1x]|14=81π4единиц3.

      Контрольно-пропускной пункт 6.10

      Найти объем тела вращения, образованного вращением области, ограниченной графиками f(x)=xf(x)=x и g(x)=1/xg(x)=1/x на интервале [1,3][1,3] вокруг оси х.ось х.

      Как и в случае с дисковым методом, мы также можем применить метод шайбы к телам вращения, которые образуются в результате вращения области вокруг оси y . В этом случае действует следующее правило.

      Правило: метод шайбы для тел вращения вокруг оси

      y

      Предположим, что u(y)u(y) и v(y)v(y) — непрерывные неотрицательные функции такие, что v(y)≤u(y)v(y)≤u(y) при y∈[c ,d]. y∈[c,d]. Обозначим через QQ область, ограниченную справа графиком функций u(y),u(y), слева графиком функций v(y),v(y), снизу линией y=c,y= c, а выше строкой y=d.y=d. Тогда объем тела вращения, образованного вращением QQ вокруг оси y, равен

      V=∫cdπ[(u(y))2−(v(y))2]dy.V=∫cdπ[(u(y))2−(v(y))2]dy.

      Вместо того, чтобы рассматривать пример метода шайбы с осью Y в качестве оси вращения, мы теперь рассмотрим пример, в котором ось вращения является линией, отличной от одной из двух осей координат. Применяется тот же общий метод, но вам, возможно, придется визуализировать, как описать площадь поперечного сечения объема.

      Пример 6.11

      Метод шайбы с другой осью вращения

      Найти объем тела вращения, образованного вращением области, ограниченной сверху f(x)=4−xf(x)=4−x и снизу осью xx-ось на интервале [0,4] [0,4] вокруг линии y=−2.y=−2.

      Решение

      График области и тела вращения показаны на следующем рисунке.

      Рисунок 6.24 (a) Область между графиком функции f(x)=4−xf(x)=4−x и осью x на интервале [0,4].[0,4]. (b) Вращение области вокруг линии y=−2y=−2 порождает тело вращения с цилиндрическим отверстием в середине.

      Мы не можем напрямую применить формулу объема к этой задаче, потому что ось вращения не является одной из осей координат. Однако мы все еще знаем, что площадь поперечного сечения равна площади внешнего круга за вычетом площади внутреннего круга. Глядя на график функции, мы видим, что радиус внешнего круга определяется как f(x)+2,f(x)+2, что упрощается до

      f(x)+2=(4−x) +2=6−x.f(x)+2=(4−x)+2=6−x.

      Радиус внутренней окружности равен g(x)=2.g(x)=2. Следовательно, у нас есть

      V=∫04π[(6−x)2−(2)2]dx=π∫04(x2−12x+32)dx=π[x33−6×2+32x]|04=160π3единиц3.V=∫04π [(6−x)2−(2)2]dx=π∫04(x2−12x+32)dx=π[x33−6×2+32x]|04=160π3единиц3.

      Контрольно-пропускной пункт 6.11

      Найти объем тела вращения, образованного вращением области, ограниченной сверху графиком f(x)=x+2f(x)=x+2 и снизу осью xx-ось на интервале [0 ,3][0,3] вокруг линии y=−1. y=−1.

      Раздел 6.2 Упражнения

      58.

      Выведите формулу объема сферы, используя метод срезов.

      59.

      Используйте метод срезов, чтобы вывести формулу объема конуса.

      60.

      Используйте метод срезов, чтобы вывести формулу объема тетраэдра с длиной стороны a.a.a.

      61.

      Используйте метод дисков, чтобы вывести формулу объема трапециевидного цилиндра.

      62.

      Объясните, когда вы будете использовать дисковый метод, а когда шайбовый. Когда они взаимозаменяемы?

      Для следующих упражнений нарисуйте типичный срез и найдите объем, используя метод среза для заданного объема.

      63.

      Пирамида высотой 6 единиц и квадратным основанием со стороной 2 единицы, как показано здесь.

      64.

      Пирамида высотой 4 единицы и прямоугольным основанием длиной 2 единицы и шириной 3 единицы, как показано здесь.

      65.

      Тетраэдр с основанием в 4 единицы, как показано здесь.

      66.

      Пирамида высотой 5 единиц и равнобедренным треугольным основанием длиной 6 единиц и 8 единиц, как показано здесь.

      67.

      Конус радиуса rr и высоты hh имеет меньший конус радиуса r/2r/2 и высоты h/2h/2, удаленный от вершины, как показано здесь. Полученное твердое тело называется усеченным .

      Для следующих упражнений нарисуйте контур твердого тела и найдите объем, используя метод срезов.

      68.

      Основание представляет собой окружность радиусом а.а. Срезы, перпендикулярные основанию, представляют собой квадраты.

      69.

      Основание представляет собой треугольник с вершинами (0,0),(1,0),(0,0),(1,0) и (0,1).(0,1). Срезы, перпендикулярные оси x , представляют собой полукруги.

      70.

      Основание — это область под параболой y=1−x2y=1−x2 в первом квадранте. Срезы, перпендикулярные плоскости xy и параллельные оси y, являются квадратами.

      71.

      Основание — это область под параболой y=1−x2y=1−x2 и над осью x.ось x. Срезы, перпендикулярные оси Y, являются квадратами.

      72.

      Основание — это область, ограниченная y=x2y=x2 и y=9.y=9. Срезы, перпендикулярные оси x , представляют собой прямоугольные равнобедренные треугольники. Пересечение одного из этих отрезков и основания является катетом треугольника.

      73.

      Основание — это площадь между y=xy=x и y=x2. y=x2. Срезы, перпендикулярные оси x , представляют собой полукруги.

      Для следующих упражнений нарисуйте область, ограниченную кривыми. Затем используйте метод диска, чтобы найти объем, когда область вращается вокруг x — ось.

      74.

      х+у=8,х=0,и=0х+у=8,х=0,иу=0

      75.

      y=2×2,x=0,x=4,andy=0y=2×2,x=0,x=4,andy=0

      76.

      y=ex+1,x=0,x=1,andy=0y=ex+1,x=0,x=1,andy=0

      77.

      y=x4,x=0,andy=1дляx≥0y=x4,x=0,andy=1дляx≥0

      78.

      y=x,x=0,x=4,andy=0y=x,x=0,x=4,andy=0

      79.

      y=sinx,y=cosx,andx=0y=sinx,y=cosx,andx=0

      80.

      y=1x,x=2,andy=3y=1x,x=2,andy=3

      81.

      x2−y2=9иx+y=9,y=0иx=0x2−y2=9иx+y=9,y=0иx=0

      Для следующих упражнений нарисуйте область, ограниченную кривыми. Затем найдите объем при вращении области вокруг оси y .

      82.

      y=4−12x,x=0,andy=0y=4−12x,x=0,andy=0

      83.

      y=2×3,x=0,x=1,andy=0y=2×3,x=0,x=1,andy=0

      84.

      y=3×2,x=0,andy=3y=3×2,x=0,andy=3

      85.

      y=4−x2,y=0 иx=0y=4−x2,y=0,andx=0

      86.

      y=1x+1,x=0 иx=3y=1x+1,x=0 иx=3

      87.

      x=sec(y)andy=π4,y=0andx=0x=sec(y)andy=π4,y=0andx=0

      88.

      y=1x+1,x=0 иx=2y=1x+1,x=0 иx=2

      89.

      y=4-x,y=x,andx=0y=4-x,y=x,andx=0

      Для следующих упражнений нарисуйте область, ограниченную кривыми. Затем найдите объем, когда область вращается вокруг x — ось.

      90.

      y=x+2,y=x+6,x=0,andx=5y=x+2,y=x+6,x=0,andx=5

      91.

      y=x2andy=x+2y=x2andy=x+2

      92.

      x2=y3andx3=y2x2=y3andx3=y2

      93.

      y=4−x2andy=2−xy=4−x2andy=2−x

      94.

      [T] y=cosx,y=e−x,x=0,andx=1,2927y=cosx,y=e−x,x=0,andx=1,2927

      95.

      y=xandy=x2y=xandy=x2

      96.

      y=sinx,y=5sinx,x=0andx=πy=sinx,y=5sinx,x=0andx=π

      97.

      y=1+x2andy=4−x2y=1+x2andy=4−x2

      Для следующих упражнений нарисуйте область, ограниченную кривыми. Затем используйте метод шайбы, чтобы найти объем, когда область вращается вокруг оси y .

      98.

      y=x,x=4,andy=0y=x,x=4,andy=0

      99.

      y=x+2,y=2x−1,andx=0y=x+2,y=2x−1,andx=0

      100.

      y=x3andy=x3y=x3andy=x3

      101.

      x=e2y,x=y2,y=0,andy=ln(2)x=e2y,x=y2,y=0,andy=ln(2)

      102.

      x=9−y2,x=e−y,y=0,andy=3x=9−y2,x=e−y,y=0,andy=3

      103.

      Контейнеры для йогурта могут иметь форму усеченного конуса. Поверните линию y=1mxy=1mx вокруг оси y , чтобы найти объем между y=aandy=b.y=aandy=b.

      104.

      Поверните эллипс (x2/a2)+(y2/b2)=1(x2/a2)+(y2/b2)=1 вокруг оси x , чтобы приблизительно получить объем футбольного мяча, как показано здесь.

      105.

      Повернуть эллипс (x2/a2)+(y2/b2)=1(x2/a2)+(y2/b2)=1 вокруг y — ось для приблизительного определения объема футбольного мяча.

      106.

      Лучшее приближение к объему футбольного мяча дает твердое тело, возникающее при вращении y=sinxy=sinx вокруг оси x от x=0x=0 до x=π.x=π. Каков объем этого футбольного приближения, как показано здесь?

      107.

      Каков объем пирога Бундта, который получается при вращении y=sinxy=sinx вокруг оси y от x=0x=0 до x=π?x=π?

      Для следующих упражнений найдите объем описываемого твердого тела.

      108.

      Основание — это область между y=xy=x и y=x2.y=x2. Срезы, перпендикулярные оси x , представляют собой полукруги.

      109.

      Основание — это область, заключенная в общий эллипс (x2/a2)+(y2/b2)=1.(x2/a2)+(y2/b2)=1. Срезы, перпендикулярные оси x , представляют собой полукруги.

      110.

      Просверлите отверстие радиусом aa по оси прямого конуса и через основание радиусом b,b, как показано здесь.

      111.

      Найдите общий объем двух сфер радиусом rr с центрами, отстоящими друг от друга на 2h3h, как показано здесь.

      112.

      Найдите объем сферической шапки высотой hh и радиусом rr, где h

      113.

      Найдите объем сферы радиусом RR со снятой сверху крышкой высотой hh, как показано здесь.

      Объемы тел вращения

      Вы также можете использовать определенный интеграл, чтобы найти объем твердого тела, полученного путем вращения плоской области вокруг горизонтальной или вертикальной линии, не проходящей через плоскость. Этот тип твердого тела будет состоять из одного из трех типов элементов — дисков, шайб или цилиндрических оболочек, — каждый из которых требует своего подхода к составлению определенного интеграла для определения его объема.

      Дисковый метод

      Если ось вращения является границей плоской области, а поперечные сечения взяты перпендикулярно оси вращения, то для нахождения объема твердого тела используется дисковый метод . Поскольку поперечное сечение диска представляет собой круг с площадью π r 2 , объем каждого диска равен его площади, умноженной на его толщину. Если диск перпендикулярен оси x , то его радиус должен быть выражен как функция х . Если диск перпендикулярен оси y , то его радиус должен быть выражен как функция y .

      Объем ( V ) твердого тела, образованного вращением области, ограниченной y = f(x ) и осью x на интервале [ a, b ] вокруг x -ось

       

      Если область ограничена x = f(y ) и осью y на [ a, b ] вращается вокруг оси y , то его объем ( V ) равен

       

      Обратите внимание, что f(x ) и f(y ) представляют радиусы дисков или расстояние от точки на кривой до оси вращения.

      Пример 1: Найдите объем твердого тела, образованного вращением области, ограниченной y = x 2 и x -оси на [−2,3] вокруг x — ось.

      Поскольку ось x является границей области, вы можете использовать дисковый метод (см. рис. 1).

      Рисунок 1 Схема для примера 1.

      Объем ( V ) твердого тела равен

       

      Метод мойки

      Если ось вращения не является границей плоской области и поперечные сечения взяты перпендикулярно оси вращения, используется метод шайбы , чтобы найти объем твердого тела. Думайте о шайбе как о «диске с отверстием в нем» или как о «диске с удаленным от центра диском». Если R – радиус внешнего диска, а r – радиус внутреннего диска, то площадь шайбы равна π R 2 – π r 2 , а ее объем будет быть его площадь, умноженная на его толщину. Как отмечалось при обсуждении дискового метода, если шайба перпендикулярна оси x , то внутренний и внешний радиусы должны быть выражены как функции х . Если шайба перпендикулярна оси y , то радиусы должны быть выражены как функции y .

      где f(x ) ≥ г(x ), по оси x —

       

      Если область ограничена x = f(y ) и x = г(y ) на [ a, b ], где f(y ) ≥ г(y ) вращается вокруг

      7 6 y оси, то его объем ( V ) равен

       

      Еще раз обратите внимание, что f(x ) и g(x ) и f(y ) и g(y ) представляют собой внешний и внутренний радиусы шайб или расстояние между точками на каждой кривой до ось вращения.

      Пример 2: Найдите объем твердого тела, образованного вращением области, ограниченной y = x 2 + 2 и y = x + 4 вокруг оси x .

      Поскольку y = x 2 + 2 и y = x + 4, вы находите, что

       

      Графики будут пересекаться в точках (–1,3) и (2,6) с x + 4 ≥ x 2 + 2 на [–1,2] (рис. 2).

      Рисунок 2 Схема для примера 2.

      Поскольку ось x не является границей области, вы можете использовать метод шайбы, а объем ( V ) твердого тела равен

       

      Метод цилиндрической оболочки

      Если поперечные сечения твердого тела взяты параллельно оси вращения, то метод цилиндрической оболочки будет использоваться для нахождения объема твердого тела. Если цилиндрическая оболочка имеет радиус r и высота h, , то его объем будет в 2π rh умножить на толщину. Думайте о первой части этого произведения (2π rh ) как о площади прямоугольника, образованного путем разрезания оболочки перпендикулярно ее радиусу и плоской укладки. Если ось вращения вертикальна, то радиус и высота должны быть выражены в терминах x . Если же ось вращения горизонтальна, то радиус и высота должны быть выражены через и .

      Объем ( V ) твердого тела, образованного вращением области, ограниченной y = f(x ) и осью x на интервале [ a,b ], где f( x ) ≥ 0, относительно оси y ‐

       

      Если область, ограниченная x = f(y ) и осью y на интервале [ a,b ], где f(y ) ≥ 0, вращается вокруг x ‐ось, то его объем ( V ) равен

        

      Обратите внимание, что x и y в подынтегральных выражениях представляют радиусы цилиндрических оболочек или расстояние между цилиндрической оболочкой и осью вращения. Коэффициенты f(x ) и f(y ) представляют высоты цилиндрических оболочек.

      Пример 3: Найдите объем твердого тела, образованного вращением области, ограниченной y = x 2 и ось x [1,3] относительно оси y .

      No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *