Нахождение области значений функции: виды, свойства, примеры решения задач

Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).

Рассмотрим Е (у) для 1.,2.,3.,4.

1. Е (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) — всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. Е (у)= [0; +∞) — множество неотрицательных чисел

3. Е (у)=( ∞; +∞) — всё множество действительных чисел

4. Е (у)= [0; +∞) — множество неотрицательных чисел

Валерий Волков 1 15.01.2016

Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями!

Новости образования

Материалов за текущий период нет.

ЕГЭ по математике

Профильный уровень

Задание 1 Задание 2

Задание 3 Задание 4

Задание 5 Задание 6

Задание 7 Задание 8

Задание 9 Задание 10

Задание 11 Задание 12

Задание 13 Задание 14

Задание 15 Задание 16

Задание 17 Задание 18

Задание 19 Задание 20

Задание 21

ГИА по математике

Задача 1 Задача 2

Задача 3 Задача 4

Задача 5 Задача 6

Задача 7 Задача 8

Задача 9 Задача 10

Задача 11 Задача 12

Задача 13 Задача 14

Задача 15 Задача 16

Задача 17 Задача 18

Задача 19 Задача 20

Задача 21 Задача 22

Задача 23 Задача 24

Задача 25 Задача 26

Демонстрационные варианты ОГЭ по математике

Математика. 5 класс.

Натуральные числа

Обыкновенные дроби

Десятичные дроби

Проценты

Математика. 6 класс.

Делимость чисел

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение и деление обыкновенных дробей

Отношения и пропорции

Положительные и отрицательные числа

Измерение величин

Математика. 7 класс.

Преобразование выражений

Многочлены

Формулы сокращенного умножения

Математика. 8 класс.

Модуль числа. Уравнения и неравенства.

Квадратные уравнения

Квадратные неравенства

Уравнения с параметром

Задачи с параметром

Математика. 9 класс.

Функции и их свойства

Прогрессии

Векторы

Комбинаторика, статистика и теория вероятностей

Математика. 10 — 11 класс.

Числовые функции

Тригонометрические функции

Тригонометрические уравнения

Преобразование тригонометрических выражений

Производная

Степенные функции

Показательная функция

Логарифмические функции

Первообразная и интеграл

Уравнения и неравенства

Комбинаторика

Создаёте видеоуроки?

Если Вы создаёте авторские видеоуроки для школьников и учителей и готовы опубликовать их, то просим Вас связаться с администратором портала.

Актуально

Физкультминутки для школьников и дошкольников

Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ОГЭ

© 2007 — 2022 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.

Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

2+6}{2x+1}$

Я знаю, что $x$ не может быть $-1/2$. Я начертил график функции на Desmos и вижу вертикальную асимптоту в точке $x=-1/2$. Однако у меня возникли проблемы с определением диапазона этой функции?

Я могу понять, что такое диапазон, глядя на график, но я не знаю, как найти его алгебраически. Есть ли метод, который я могу использовать каждый раз, чтобы получить диапазон?

Также я знаю, что есть наклонная асимптота в $1/2x-1/4$. Как я могу использовать это, чтобы помочь мне? 92+4y-24≥0\Стрелка вправо 4(y-2)(y+3)≥0\Стрелка вправо (y-2)(y+3)≥0\Стрелка вправо y\in(- \infty, -3]\ cup[2,\infty).$

Следовательно, диапазон $f(x)$ равен $(- \infty, -3]\cup[2,\infty)$

Думаю, вы умеете решать неравенства…

$\endgroup$

$\begingroup$

Чтобы найти диапазон функции, я первым делом проверяю, есть ли у графика обратная функция. Мы можем сделать это неофициально, используя тест горизонтальной линии. Если ни одна горизонтальная линия не пересекает функцию более одного раза, то функция имеет обратную. При этом мы можем найти $f(y) = x$. «Домен» $f(y)$ будет диапазоном функции $f(x)$. 92+y-6}=y\pm\sqrt{(y+3)(y-2)}$$

Поскольку член внутри квадратного корня должен быть неотрицательным, мы имеем, что если $y\geq2$, то термин всегда положителен. С другой стороны, если $y<2$, то $(y-2)$ отрицательно, поэтому $(y+3)$ должно быть отрицательным, чтобы получить положительный знак, что происходит, когда $y\leq-3$ . Это дает вам диапазон, который вы получили.

$\endgroup$

Содержание

Поиск домена и диапазона функции: проверка метода

Автор Ума А В
Последнее изменение 10.12.2022

Нахождение области определения и области значений функции: областью в математике называется совокупность вообразимых значений. Эти значения являются независимыми переменными. Другими словами, в домене у нас есть все возможные

значений x , которые заставят функцию работать и дадут реальные значений y . Диапазон, с другой стороны, устанавливается как весь набор возможных доходных значений зависимой переменной, который в данном случае равен 9.0075 г (в общем).

Для поиска домена необходимо определить значения независимых переменных (обычно это x), которые разрешено использовать. В нижней части дроби 0 обычно не зачеркнут, или мы обычно избегаем отрицательных значений, которые находятся под знаком квадратного корня. Диапазон функции рассматривается как массив возможных y-значений . Продолжайте читать, чтобы узнать больше о домене и диапазоне функции.

Определение функции

Отношение $f$ множества $A$ к множеству $B$ является функцией, если каждый элемент множества $A$ имеет только один образ в множестве $B$. Это подмножество $A \times B$. Здесь отношение $R$ есть функция из множества $A$ в $B$.

Что такое домен, кодовый домен и диапазон функции?

Набор элементов в $A$, которые подключаются к функции $f$, называется доменом.

Набор $B$, являющийся набором возможных результатов, называется областью кода. Множество образов элементов в $A$, являющееся подмножеством $B$, называется областью значений функции $f$

Диапазон $\left\{ {y \in Y,y = f\left( x \right),\,x \in X} \right\}$

Для функции $R:$

Домен $ = ~\left\{ {1,~2,~3} \right\}$

Кодовый домен $ = ~\left\{ {5,~6,~7,~8} \ right\}$

Диапазон $ = ~\left\{ {5,~6,~8} \right\}$

Как найти область определения функции?

Домен функции — это значения, для которых функция определена.

Для функций с действительными значениями: сначала необходимо определить значения, для которых функция не определена, а затем исключить их.

Пример: Логарифмическая функция $f(x)=\log x$ определена только для положительных значений $x$. То есть областью определения функции является множество положительных действительных чисел. Итак, вот как это работает, то есть область определения и диапазон логарифмических функций.

Как найти диапазон функции?

Диапазон — это набор изображений элементов домена.

Чтобы найти диапазон функции:

Шаг 1: Запишите функцию в виде $y=f(x)$
Шаг 2: Решите для $x$, чтобы записать его в виде $x=g(y)$
Шаг 3: Область определения функции $g(y) $ — это диапазон $f(x)$.

Пример: Для функции $f(x)=\log x$ изображение принимает значения от $-\infty$ до $+\infty$. То есть областью действия функции является множество всех действительных чисел.

Поиск домена и диапазона по графикам

Мы знаем, что домен функции — это набор всех входных значений. Итак, домен на графике — это все входные значения, показанные на оси $x$. Чтобы найти домен, нам нужно проанализировать, как выглядит график по горизонтали. Двигаясь слева направо по оси $x$, определите диапазон значений, для которых определена функция.

Точно так же диапазон функции представляет собой набор всех выходных значений. На графике это определяется как значения, которые принимает зависимая переменная $y$. Итак, чтобы найти диапазон, посмотрите на набор значений, которые график распределяет по вертикали. Тем, кто ищет калькулятор домена и диапазона, могут помочь рисунки, показанные на этой странице.

Рассмотрим график функции $y=\sin x$.

Глядя на горизонтальное и вертикальное распространение графика, домен и диапазон можно рассчитать, как показано ниже.

Закрашенные точки на обоих концах графика указывают на то, что они также являются частью графика. Следовательно, домен равен $ – \pi \le x \le \pi ,$, а диапазон равен $-1 \leq y \leq 1$.

Теперь, если вместо этого у вас есть открытые точки, функция не определена в этой точке.

Здесь домен равен $ – \pi \le x < \pi ,$, а диапазон равен $-1 \leq y \leq 1$. Обратите внимание, что здесь значение $y=0$ включено в диапазон, так как оно уже имеет прообраз в точках $x = \, - \pi $ и $x=0.$

Иногда график выходит за пределы показанной части. В таких случаях домен и диапазон могут превышать видимые значения.

Как правило, стрелки на обоих концах показывают, что граф бесконечно расширяется в обоих направлениях, и, следовательно, областью определения является множество всех действительных чисел. Однако диапазон в этом конкретном случае остается таким же, как $-1 \leq y \leq 1$

Найдите область и диапазон из уравнений

Пусть $y=f(x)$ будет функцией, которую мы нужно найти домен и диапазон.

Шаг 1: Решите уравнение, чтобы определить значения независимой переменной $x$ и получить домен.

Шаг 2: Чтобы вычислить диапазон, перепишите уравнение $y=f(x)$ с независимой переменной $x$, выраженной через $y$. То есть в виде $x=g(y)$. Теперь область определения функции $g(y)$ — это диапазон функции $f(x)$.

Найдите область определения и диапазон специальных функций

Рациональная функция: Рациональная функция определяется только для ненулевых значений знаменателя.

Приравняйте знаменатель к нулю и найдите $x$, чтобы найти исключаемые значения.
После исключения значений из домена диапазон вычисляется путем исключения изображений этих значений.

Функция извлечения квадратного корня: Функция извлечения квадратного корня определена только для неотрицательных значений выражения под подкоренным символом.

Найдите исключенные значения для $x$.
Диапазон вычисляется путем исключения изображений исключенных значений в домене.

Решенные примеры

Q. 1. Функция $f(x)=3 x$ определяется из набора $A$ для набора $B$ , где $A = ~\ влево\{{1,~2,~3,~4,~5} \вправо\}$ и $B = ~\влево\{{0,~1,~2,~3, ~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10,~11,~12,~13,~14,~15,~16}\right\}$. Каковы домен и диапазон функции $f$ ? Диапазон и кодовый домен совпадают?
Ответ:
Домен, $A = ~\left\{{1,~2,~3,~4,~5} \right\}$
Кодовый домен, $B = ~ \left\{{0,~1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10,~11,~12,~13,~14,~ 15,~16}\right\}$
Диапазон — это множество всех $f(x)$ для каждого $x∈A$

$f(1)=3 $

$f(2)=6$

$f(3)=9$

$f(4)=12$

$f(5)=15$

$\следовательно$ Диапазон, $B = ~\left\{{3,~6,~9,~12,~15} \right\}$ 9{2}+8 x+15=0\)
$(x+3)(x+5)=0$
$x=-3$ или $x=-5$
Следовательно, область, для которой функции $f(x)$ и $g(x)$ равны, равна $\left\{ { – 3,\, – 5} \right\}$

Q. 5. Определите домен и диапазон функции, представленной на графике.

Ответ: Незаштрихованная точка слева показывает, что точка на графике не включена. То есть для точки $x=-1$ функция не определена.
На графике функция определена для всех значений от $-1$ до $3$, включая $3$ и исключая $-1$.
Итак, область определения функции равна $-1 Диапазон варьируется от \(0$ до $4$, включая обе точки.
То есть диапазон равен $0 \leq y \leq 4$.

Домен: ${x \in R,-1 Диапазон: \({x \in R, 0 \leq x \leq 4}$ или $[0,4]$

Резюме

В статье определяется функция, ее домен, диапазон и кодовый домен. Затем каждый подробно объясняется с примерами. Кроме того, объясняются методы найти область определения и область значений функции, когда задано функциональное правило, уравнение или график функции.0005

В статье также обсуждаются ключевые моменты в нахождении области определения и диапазона некоторых специальных функций, таких как рациональные функции и функции квадратного корня. Он завершается несколькими решенными примерами, чтобы подчеркнуть идею концепций и расчетов. Те, кто ищет домен и таблицу диапазонов, должны прочитать статью на нашем сайте.

Изучение домена и диапазона отношений

Часто задаваемые вопросы по поиску домена и диапазона функции

Мы добавили примеры домена и диапазона ниже, чтобы соискатели могли понять различные аспекты одного и того же и получить ответы на свои вопросы.

Q.1. В чем разница между доменом и кодоменом?
Ответ: Когда функция $f$ определяется из набора $X$ в набор $Y$:
1. Набор элементов в $X$, которые подключены к функция $f$ называется доменом.
2. Множество $B$, являющееся набором возможных исходов, называется областью кодов.

Q.2. Как найти область определения и область значений функции алгебраически?
Ответ: Чтобы найти область определения функции, найдите значения, для которых функция определена. Например, рациональная функция определяется только для ненулевых значений знаменателя. Итак, приравняйте знаменатель к нулю и найдите $x$, чтобы найти значения, которые нужно исключить.
Теперь, чтобы найти диапазон функции, запишите функцию в виде $y=f(x)$ и решите ее для $x$, чтобы записать ее в виде для $x=g(y )$. Теперь областью определения функции $g(y)$ является область значений функции $f(x)$.

Q.3. Как найти область определения и диапазон функции без построения графика?
Ответ: Пусть $f(x)$ будет функцией для нахождения домена и диапазона.
Шаг 1: Перепишите уравнение, представляющее функцию, в виде $y=f(x)$.
Шаг 2 : Решите уравнение, чтобы определить значения независимой переменной $x$, чтобы получить домен.
Шаг 3 : Перепишите уравнение $y = f(x)$ с независимой переменной x, выраженной через $y$. То есть в виде $x=g(y)$.
Шаг 4: Область определения функции $g(y)$ — это диапазон $f(x)$.

Q.4. Что такое домен и диапазон в графе?

Ответ: Область определения функции — это набор входных значений. Итак, домен на графике — это входные значения, показанные на оси $x$. Диапазон функции — это набор выходных значений. На графике это можно определить как значения зависимой переменной $y$. Следовательно, на графике область и диапазон могут быть найдены путем определения диапазона изменения значений $x$ и $y$. 9{2}\).

Посмотрите на график заданного квадратного уравнения. Двигаясь слева направо по оси $x$, на графике нет пробелов, обозначающих точки, в которых функция не определена. Итак, домен — это множество всех действительных чисел.

Диапазон функции — это значения, которые график распределяет по вертикали. Все $y$-значения больше или равны нулю. Таким образом, диапазон представляет собой набор всех действительных чисел, больших или равных нулю.
Поскольку все остальные квадратичные функции являются преобразованиями родительской функции, их область определения и область значений можно вычислить как преобразования этой функции.