Нахождение обратной матрицы с: Обратная матрица онлайн

Численные и вычислительные методы, оптимизация

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

klubni4ka	Численное нахождение обратной матрицы 11. 01.2012, 15:46
11/01/12 1	Здравствуйте! В момент написания бакалаврской работы встал вопрос: как можно численно найти обратную матрицу? Если кто знает — подскажите, пожалуйста! Желательно, чтобы метод был понятным 🙂 Спасибо!!

ewert	Re: Численное нахождение обратной матрицы 11. 01.2012, 19:14
Заслуженный участник 11/05/08 32139	Метод Гаусса, с полным выбором главного элемента (т.е. с перестановкой и строк, и столбцов; хотя и без этого в типичных ситуациях пройдёт). У вас он в курсе алгебры, безусловно, был. Гуглите. Есть, разумеется, и другие методы, но этот — логически наиболее прост.

мат-ламер	Re: Численное нахождение обратной матрицы 11. 01.2012, 20:09
Заслуженный участник 30/01/09 5400	klubni4ka в сообщении #525646 писал(а): В момент написания бакалаврской работы встал вопрос: как можно численно найти обратную матрицу? Просто любопытно — для чего? Дело в том, что задача численного нахождения обратной матрицы встречается очень редко.

Евгений Машеров	Re: Численное нахождение обратной матрицы 12. 01.2012, 08:49
Заслуженный участник 11/03/08 8556 Москва	В статистике бывает. Скажем, корреляции между коэффициентами линейной регрессии выражаются через матрицу, обратную к корреляционной.

Aleksandr Pavlovich	Re: Численное нахождение обратной матрицы 05. 05.2012, 10:54
05/05/12 11	ewert в сообщении #525781 писал(а): Метод Гаусса, с полным выбором главного элемента (т.е. с перестановкой и строк, и столбцов; хотя и без этого в типичных ситуациях пройдёт). Для нахождения (столбцов) обратной матрицы A порядка N*N можно решить N систем уравнений с правыми частями — столбцами вида (0,…,0,1,0,…,0) где на i-том месте 1, на остальных — 0. Решение одной системы — i-тый столбец обратной матрицы. Решать можно методом Гаусса: один раз LU-разложить матрицу и решить для N правых частей.

ewert	Re: Численное нахождение обратной матрицы 05. 05.2012, 17:44
Заслуженный участник 11/05/08 32139	Aleksandr Pavlovich в сообщении #567512 писал(а): Решать можно методом Гаусса: один раз LU-разложить матрицу и решить для N правых частей. Нахождение LU-разложения практически равносильно (с точки зрения трудозатрат и вообще затрат) нахождению просто обратной матрицы. Разница лишь в нюансах.

fit	Re: Численное нахождение обратной матрицы 10. 06.2012, 02:02
07/03/10 18	а вот, кстати. с точки зрения вычислительных затрат какой алгоритм эффективнее: обычный Гаусса или Жордана-Гаусса?

ewert	Re: Численное нахождение обратной матрицы 10. 06.2012, 10:02
Заслуженный участник 11/05/08 32139	fit в сообщении #582829 писал(а): с точки зрения вычислительных затрат какой алгоритм эффективнее: обычный Гаусса или Жордана-Гаусса? Я не помню, какой из двух вариантов метода какими фамилиями принято помечать (а гуглить лень). В общем, так: метод Гаусса с обратным ходом вычислительно безусловно эффективнее, чем метод без обратного хода (хотя программно и чуть сложнее, но какая разница — программка так и так коротенькая). Но не принципиально эффективнее — всего раза в полтора, кажется.

AndrewN	Re: Численное нахождение обратной матрицы 04.07.2012, 18:10
13/01/12 317 Петербург	ewert в сообщении #567664 писал(а): Нахождение LU-разложения практически равносильно (с точки зрения трудозатрат и вообще затрат) нахождению просто обратной матрицы. Разница лишь в нюансах. Не спешите. Прямой ход выполняется за , обратный для одной правой части за , но число правых частей для полного вычисления равно . Получается тот же порядок затрат на все обратные ходы.

ewert	Re: Численное нахождение обратной матрицы 04.07.2012, 20:46
Заслуженный участник 11/05/08 32139	AndrewN в сообщении #592095 писал(а): Получается тот же порядок затрат на все обратные ходы. Да, получится. Но речь-то шла не о вычислении обратной матрицы, а о решении конкретной системы. Тогда метод с обратным ходом безусловно выгоднее.

TOTAL	Re: Численное нахождение обратной матрицы 11.07.2012, 08:47
Заслуженный участник 23/08/07 5162 Нов-ск	Можно так

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 11 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Обратная матрица — презентация онлайн

Похожие презентации:

Матрицы и определители

Линейная алгебра. Невырожденные матрицы. Обратная матрица. Матричные уравнения

Определитель и его свойства. Обратная матрица

Обратная матрица. (Тема 7)

Матрицы и определители

Матрицы, определители. Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений элементы векторной алгебры

Обратная матрица

Линейная алгебра. Матрицы и действия над ними

Высшая математика. Лекция 2. Обратная матрица

Матрицы и СЛАУ МНК. (Лекция 5 )

1. Обратная Матрица

2. Определение. Матрица называется о б р а т н о й к квадратной матрице , если

A B B A E
Обратная матрица обозначается символом
1
1
A
1
A A A A E
Примечание. Операция деления для матриц не
определена. Вместо этого предусмотрена операция
обращения (нахождения обратной) матрицы.

3. Определение. Матрица, составленная из алгебраических дополнений для элементов исходной матрицы , называется с о ю з н о й м а т р и ц е й .

Определение. Матрица, составленная из
алгебраических дополнений для элементов
исходной матрицы , называется
союзной матрицей.
A11
A A21
A
31
A12
A22
A32
A13
A23
A33

4. Формула для нахождения обратной матрицы

1
1
T
A
A
det A
A11 A21 A31
1
1
A
A12 A22 A32
det A
A
A
A
13 23 33

6. Алгоритм нахождения

• 1. Находим определитель
матрицы А. Он должен быть
отличен от нуля.
• 2. Находим алгебраические
дополнения для каждого
элемента матрицы А.
• 3. Составляем союзную
матрицу и транспонируем ее.
• 4. Подставляем результаты
п.1 и п.4 в формулу обратной
матрицы.
A
1

7. Пример. Найти матрицу, обратную к матрице:

1 2
A
4
3
Р е ш е н и е. Действуем по алгоритму:
1. Находим определитель матрицы:
1 2
det A =
3 4
= 4- 6 = — 2
Определитель отличен от нуля det A № 0 ,
следовательно, обратная матрица существует.
2. Находим алгебраические дополнения:
A11 = 4
A21 = — 2
A12 = — 3
A22 = 1
3. Составляем союзную матрицу:
~ 4 3
A
2 1
4. Записываем обратную матрицу по
формуле
1
T
1 4
A
A
2 3
det A
1
2
1

13. 5. Проверка

• Воспользуемся определением обратной
матрицы и найдем произведение
1
A A
1 4 2 1 2
2 3 1 3 4
1 4 1 2 3 4 2 2 4 1 2 0 1 0
2 0 2 0 1
2 3 1 1 3 3 2 1 4

14. Задача. Найти матрицу, обратную к данной

2 1 1
A 3 2 1
1 2 1

15. 1. Находим определитель

2 1 1
det A 3 2 1 2 2 1 3 2 1 1 1 1
1 2 1
1 2 1 1 2 2 3 1 1
4 6 1 2 4 3 3 5 2 0.

16. 2. Алгебраические дополнения для первой строки:

2 1
A11
2 2 4,
2 1
3 1
A12
3 1 2,
1 1
3 2
A13
6 2 8,
1 2

17. Алгебраические дополнения для второй строки:

1 1
A21
1 2 1,
2 1
2 1
A22
2 1 1,
1 1
2 1
A23
4 1 3,
1 2

18.

Алгебраические дополнения для третьей строки:1 1
A31
1 2 3,
2 1
2 1
A32
2 3 1,
3 1
2 1
A33
4 3 7.
3 2

19. Обратная матрица:

4 1 3
1
1
A 2 1 1
2
8
3
7

20. Элементарные преобразования матриц

• перестановка строк (столбцов) местами;
• исключение из матрицы строк (столбцов),
состоящих из нулей;
• умножение всех элементов какой-либо строки
(столбца) матрицы на любое число, отличное от
нуля;
• прибавление к одной строке (столбцу) другой,
предварительно умноженной на любое число,
отличное от нуля.
Определение. Э к в и в а л е н т н ы м и называются
матрицы, полученные одна из другой путем элементарных
преобразований.
Важным понятием для матриц является понятие РАНГА.
Существует несколько определений этого понятия. Мы
остановимся на одном из них, основанном на элементарных
преобразованиях.
Определение. Р а н г о м м а т р и ц ы называется
число ненулевых строк в матрице, после приведения ее к
ступенчатому виду (путем элементарных преобразований).
Обозначение. Ранг матрицы будем обозначать r ( A)
или
rang ( A)
.
Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных
преобразованиях.

English     Русский Правила

Найти обратную матрицу с помощью Python | Эндрю Джозеф Дэвис

Как найти обратную матрицу с помощью операций со строками в Python

Введение

Эта статья следует за « Алгоритм исключения Гаусса в Python» . В нем представлен метод нахождения обратной матрицы с использованием редукции строк.

Ознакомьтесь со статьей ниже, чтобы получить необходимые сведения об исключении Гаусса.

Алгоритм исключения Гаусса в Python

Учебник по решению системы линейных уравнений методом исключения Гаусса в Python

levelup.gitconnected.com

Photo by Linus Mimietz on Unsplash

Background

“ Основы матричной алгебры | Часть 2 » представляет обратных матриц . Напомним, что не все матрицы обратимы.0010 .

Основы матричной алгебры в Python | Часть 2

Понимание и реализация основных концепций и операций матричной алгебры с Python

в направлении datascience.com

По существу, умножение матрицы на ее обратную дает Identity Matrix, обозначенную как 901 0, , Уравнение 1.

Уравнение 1 — Вычисление обратной матрицы (изображение автора)

Возьмем матрицу 3×3 A в уравнении 2 в качестве примера.

Уравнение 2 — Матрица A (изображение автора)

Уравнение 3 эквивалентно уравнению 1 с переменными , замененными на .

Уравнение 3 — Подстановка параметров (изображение автора)

Результатом следующего вычисления является неизвестное A⁻¹ .

Алгоритм

Создайте расширенную матрицу из компонентов уравнения 3. Эта новая матрица содержит A CONCATENATED С точки зрения колонны с I , как в уравнении 4.

Уравнение 4-Увеличенная матрица (изображение от автора)

дополненная матрица .

Выполнение исключения Гаусса тип процедуры на расширенной матрице для получения A в сокращенная форма эшелона строк ( rref ) одновременные переходы I в A ⁻¹ .

Итого:

• Преобразование A в rref . Таким образом, A становится единичной матрицей .

A переходы к матрице идентичности (изображение автора)

• Выполните эквивалентных операций со строками выше на I , что станет обратной матрицей А ⁻¹.

Матрица идентичности переходит к инверсии (изображение автора)

Пример

На рис. 1 показаны пошаговых операций , необходимых для изменения первых трех столбцов расширенной матрицы для получения 1 rref .

Рисунок 1 — Операции со строками для получения формы уменьшенного эшелона строк (изображение автора)

Результат соответствует ожидаемому. A становится идентификационной матрицей , а I преобразуется в ранее неизвестную обратную матрицу .

Реализация Python

Имея запрограммированный алгоритм исключения Гаусса в Python, код требует только незначительных модификаций для получения обратного .

Определить A из уравнения 2 как массив NumPy с использованием Gist 1.

Gist 1 — определить A с помощью Numpy

Аналогично, создать экземпляр новой переменной I , который имеет ту же квадратную форму , что и A .

Суть 2 — Определение матрицы идентичности

Создание расширенной матрицы с использованием операции NumPy конкатенации по столбцам, как указано в Gist 3.

Суть 3 — Создание матрицы идентичности

Без учета определенных пограничных случаев приведенный ниже в Gist 4 представляет собой наивную реализацию операций со строками, необходимых для получения Инверсия .

Gist 4 — Найти обратную матрицу в Python

По сравнению с алгоритмом исключения Гаусса, первичная модификация кода состоит в том, что вместо из завершается на строке-эшелоне формы , операции продолжают прибывать к сокращенной строке эшелонированная форма .

Следовательно, вместо итерации исключительно ниже опорной точки, строк над опорной точкой также проходятся и обрабатываются .

Выполнение 9Скрипт 0009 возвращает тот же ответ, что и на рисунке 1.

Рисунок 2. Вывод консоли Python с обратной матрицей Также возможно увеличение размера матрицы.

Gist 5 предоставляет код для создания случайной квадратной матрицы в NumPy.

Gist 5 — Большая случайная матрица

Сравнение среды выполнения с пользовательской 9Алгоритм 0010 по сравнению с эквивалент NumPy подчеркивает разницу в скорости . Код в Gist 6 представляет собой простой способ записи таймингов .

Суть 6 — Сравните время выполнения метода

NumPy на быстрее на секунду, чтобы инвертировать матрицу. Эта колоссальная разница во времени будет только увеличиваться по мере расширения размеров матрицы.

Заключение

В этой статье изложен основной метод, используемый в матричной алгебре с по вычислить обратную матрицу.

Используйте описанный метод теоретической матричной алгебры и эквивалентный код Python , чтобы понять, как работает операция . Однако такие библиотеки, как NumPy в Python, оптимизированы для эффективного расшифровки обратных матриц. На практике используйте надежные, хорошо поддерживаемые математические библиотеки.

Ознакомьтесь с другими моими статьями, если вы интересуетесь Python, инженерией и наукой о данных.

Присоединяйтесь к Medium по моей реферальной ссылке — Эндрю Джозеф Дэвис

Как участник Medium, часть вашего членского взноса идет авторам, которых вы читаете, и вы получаете полный доступ ко всем историям…

medium.com

Найдите весь код Python в Gist 7.

Gist 7 — Полный код Python для поиска обратной матрицы

Ссылки

[1] Алгебра матриц для инженеров — Джеффри Р. Часнов

14. Обратная матрица и правило Крамера

Преподавание, линейная алгебра и геометрия I UW

11 января 2019 м_корч

Проблемы, решения.

Теперь воспользуемся определителями и попутно введем понятие обратной матрицы.

Обратная матрица

Матрица обратна матрице , если , где – единичная матрица (матрица с единицами по диагонали и нулями везде). Обратная матрица обозначается как . Поскольку и , мы видим, что . Это означает, что только матрицы с ненулевыми определителями могут иметь свои обратные. Поэтому мы называем такие матрицы обратимыми.

Как вычислить обратную заданную матрицу? Недавно мы упоминали, что операции над строками матрицы, приводящие к уменьшенной «ступенчатости» for, на самом деле являются умножением на матрицу. Представьте, что мы преобразуем матрицу, состоящую из матрицы вместе с единичной матрицей, в редуцированную «ступенчатую» форму. Так как это квадратная матрица с ненулевым определителем, мы получим единичную матрицу в левой части: . Но заметьте, что если это матрица операций со строками, то . Поэтому и . Из первого уравнения следует, что . Второй то. Таким образом, мы получаем обратную матрицу справа после этих операций!

Напр. вычислим обратную следующую матрицу:

   

Итак:

   

   

И поэтому:

   

Определение одного элемента обратной матрицы

Если вам нужна не вся матрица, а только некоторые элементы, следующий способ кажется полезным. Он использует сопряженную матрицу к заданной. Сопряженная матрица — это матрица, в которой в -й строке и -м столбце стоит определитель матрицы (матрица без -й строки и -го столбца, здесь нет ошибки, здесь играет роль перестановка), умноженная на . Выполняется следующее равенство:

   

Следовательно, если мы хотим вычислить значение во второй строке и первом столбце из предыдущего примера, мы вычеркнем второй столбец и первую строку и вычислим определители, и получим:

   

что согласуется с результатом, полученным первым методом!

Правило Крамера

Имея систему уравнений с переменными, мы можем попытаться решить ее с помощью правила Крамера. Пусть – матрица этой системы без столбца свободных коэффициентов. Пусть – матрица , в которой вместо -го столбца поставлен столбец свободных коэффициентов. Тогда:

• если система имеет ровно одно решение. Решение находится по следующей формуле: ,
• если , и хотя бы одно из не равно , система не имеет решений,
• если и для каждого , может быть ноль или бесконечно много решений — метод Крамера не дает точного ответа.

  No related posts.