Нахождение производной функции примеры: Как найти производную функции, примеры решения

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3.1: Определение производной

В первом разделе главы «Пределы» мы видели, что вычисление наклона касательной, мгновенной скорости изменения функции и мгновенной скорости объекта в точке \(х = а\) требует от нас для вычисления следующего предела.

\[\ mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) — f\left( a \right)}}{{x — a}}\]

Мы также видели, что, немного изменив обозначения, этот предел можно также записать как

\[\begin{equation}\mathop {\lim}\limits_{h \to 0} \frac{{f\left({a + h} \right) — f\left(a\right)}}{h } \label{eq:eq1}\end{уравнение}\]

Это такой важный предел, и он возникает во многих местах, что мы даем ему имя. Мы называем это производным от . Вот официальное определение производной.

Определение производной

Производная

Обратите внимание, что мы заменили все и в \(\eqref{eq:eq1}\) на x , чтобы признать тот факт, что производная также является функцией. 2} — 16ч}}{ч}\конец{выравнивание*}\]

Обратите внимание, что каждое слагаемое в числителе, в котором не было ч , сокращаются, и теперь мы можем вынести ч из числителя, что сократит ч в знаменателе. После этого мы можем вычислить предел.

\[\begin{align*}f’\left( x \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h\left({4x + 2h — 16} \right )}}}{ч}\\ & = \mathop {\lim}\limits_{h \to 0} 4x + 2h — 16\\ & = 4x — 16\end{align*}\]

Итак, производная

\[f’\влево( х \вправо) = 4x — 16\]

Пример 2 Найдите производную следующей функции, используя определение производной. \[g\left( t \right) = \frac{t}{{t + 1}}\]

Показать решение

Это будет немного сложнее, если говорить об алгебре. Однако за пределами этого он будет работать точно так же, как и в предыдущих примерах. Во-первых, мы вставляем функцию в определение производной,

\[\begin{align*}g’\left( t \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left({t + h} \right) — g \ left( t \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim } \ limit_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ( {\ frac {{t + h }}{{t + h + 1}} — \frac{t}{{t + 1}}} \right)\end{align*}\]

Обратите внимание, что мы изменили все буквы в определении, чтобы они соответствовали заданной функции. Также обратите внимание, что мы написали дробь гораздо более компактно, чтобы помочь нам в работе.

Как и в случае с первой проблемой, мы не можем просто подставить \(h = 0\). Итак, нам нужно будет немного упростить ситуацию. В этом случае нам нужно будет объединить два члена в числителе в одно рациональное выражение следующим образом.

\[\ begin{align*}g’\left( t \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\left({\frac{{\ влево( {t + h} \right)\left( {t + 1} \right) — t\left( {t + h + 1} \right)}}{{\left( {t + h + 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right)\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\left( { \frac{{{t^2} + t + th + h — \left( {{t^2} + th + t} \right)}}{{\left( {t + h + 1} \right) \left( {t + 1} \right)}}} \right)\\ & = \ mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\left({\frac{ h}{{\left( {t + h + 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right)\end{align*}\]

Прежде чем закончить, давайте отметим пару вещей. Во-первых, мы не умножали знаменатель. Умножение знаменателя слишком усложнит ситуацию, поэтому давайте не будем усложнять. Далее, как и в первом примере, после упрощения у нас в числителе остались только члены с ч в них, и поэтому теперь мы можем отменить ч на выходе.

Итак, при отмене ч мы можем оценить предел и получить производную. 92}}}\]

Пример 3 Найдите производную следующей функции, используя определение производной. \[R\влево( z \вправо) = \sqrt {5z — 8} \]

Показать решение

Сначала подключите определение производной, как мы сделали это в двух предыдущих примерах.

\[\begin{align*}R’\left( z \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{R\left({z + h} \right) — R \ влево ( z \ вправо)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim } \ limit_ {h \ to 0} \ frac {{\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) — 8} — \sqrt {5z — 8} }}{h}\end{align*}\]

В этой задаче нам нужно рационализировать числитель. Вы ведь помните рационализацию из класса алгебры, верно? На уроке алгебры вы, вероятно, рационализировали только знаменатель, но вы также можете рационализировать числители. Помните, что при рационализации числителя (в данном случае) мы умножаем и числитель, и знаменатель на числитель, за исключением того, что мы меняем знак между двумя членами. Вот рационализаторская работа для этой задачи,

\[\ begin{align*}R’\left( z \right) & = \ mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left({\sqrt {5\left({z + h} \right) — 8} — \sqrt {5z — 8} } \right)}}{h}\frac{{\left( {\sqrt {5\left( {z + h} \right) — 8} + \sqrt {5z — 8} } \right)}}{{\left( {\sqrt {5\left({z + h} \right) — 8} + \sqrt {5z — 8}} \ справа)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{5z + 5h — 8 — \left( {5z — 8} \right)}}{{h\left ( {\ sqrt {5 \ left ( {z + h} \ right) — 8} + \ sqrt {5z — 8} } \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim } \ limits_ {h \ to 0} \frac{{5h}}{{h\left( {\sqrt {5\left({z + h} \right) — 8} + \ sqrt {5z — 8}} \справа)}}\конец{выравнивание*}\]

Опять же, после упрощения в числителе осталось только ч . Итак, отменяем ч и оцениваем лимит.

\[\ begin{align*}R’\left( z \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{5}{{\sqrt {5\left({z + h} \right) — 8} + \sqrt {5z — 8} }}\\ & = \frac{5}{{\sqrt {5z — 8} + \sqrt {5z — 8} }}\\ & = \frac{5}{{2\sqrt {5z — 8} }}\end{align*}\]

Итак, мы получаем производную от

\[R’\left( z \right) = \frac{5}{{2\sqrt {5z — 8} }}\]

Давайте рассмотрим еще один пример. Этот будет немного другим, но в нем есть смысл, который нужно сделать.

Пример 4. Определить \(f’\left( 0 \right)\) для \(f\left( x \right) = \left| x \right|\).

Показать решение

Поскольку эта задача требует производной в определенной точке, мы продолжим и используем ее в нашей работе. Это сделает нашу жизнь проще, и это всегда хорошо.

Итак, вставьте определение и упростите.

\[\begin{align*}f’\left( 0 \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left({0 + h} \right) — f\left( 0 \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim}\limits_{h \to 0} \frac{{\left| {0 + ч} \право| — \влево| 0 \right|}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left| h \right|}}{h}\end{align*}\]

Подобную ситуацию мы уже видели, когда рассматривали пределы бесконечности. Так как в этом разделе мы не можем просто отменить 9+ }} 1\\ & = 1\end{align*}\]

Два односторонних предела различны, поэтому

\[\ mathop {\lim}\limits_{h \to 0} \frac{{\left| ч \справа|}}{ч}\]

не существует. Однако это предел, который дает нам производную, которая нам нужна.

Если предела не существует, то и производная не существует.

В этом примере мы, наконец, увидели функцию, для которой производная не существует в точке. Это факт жизни, о котором мы должны знать. Производные не всегда будут существовать. Обратите также внимание, что это ничего не говорит о том, существует ли производная где-либо еще. На самом деле производная функции абсолютного значения существует в каждой точке, кроме той, которую мы только что рассмотрели, \(x = 0\).

Предыдущее обсуждение приводит к следующему определению.

Определение

Функция \(f\left( x \right)\) называется дифференцируемой в \(x = a\), если \(f’\left( a \right)\) существует и \( f\left( x \right)\) называется дифференцируемой на интервале, если производная существует для каждой точки этого интервала.

Следующая теорема показывает нам очень хорошую связь между непрерывными и дифференцируемыми функциями.

Теорема

Если \(f\left( x \right)\) дифференцируема в \(x = a\), то \(f\left( x \right)\) непрерывна в \(x = a\).

Доказательство этой теоремы см. в разделе «Доказательство различных производных формул» в главе «Дополнительно».

Обратите внимание, что эта теорема не работает в обратном порядке. Рассмотрим \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) и взглянем на

\[\ mathop {\lim}\limits_{x \to 0} f\left(x\right) = \mathop {\lim}\limits_{x \to 0} \left| х \ справа | = 0 = f\влево( 0 \вправо)\]

Итак, \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) непрерывно в точке \(x = 0\), но мы только что показали выше в примере 4, что \(f\left (x \right) = \left| x \right|\) не дифференцируема в точке \(x = 0\).

Альтернативное обозначение

Далее нам нужно обсудить некоторые альтернативные обозначения производной. Типичное обозначение производной — это «штриховое» обозначение. Однако есть еще одно обозначение, которое иногда используется, поэтому давайте рассмотрим его.

Для функции \(y = f\left( x \right)\) все следующие эквиваленты эквивалентны и представляют собой производную от \(f\left( x \right)\) по х .

\[f’\left( x \right) = y’ = \frac{{df}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx} }\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( y \right)\]

Поскольку иногда нам также необходимо вычислять производные, нам также нужна запись для вычисления производных при использовании дробной записи. Итак, если мы хотим оценить производную при \(x = a\), все следующие условия эквивалентны.

\[f’\влево( а \вправо) = {\влево. {y’} \right|_{x = a}} = {\left. {\ frac {{df}}{{dx}}} \right|_{x = a}} = {\left. {\ frac {{dy}} {{dx}}} \right|_{x = a}}\]

Также обратите внимание, что иногда мы опускаем часть \(\left( x \right)\) в функции, чтобы несколько упростить запись. В этих случаях следующие условия эквивалентны.

\[f’\влево( х \вправо) = f’\]

В качестве последнего примечания в этом разделе мы признаем, что вычисление большинства производных непосредственно из определения — довольно сложный (и иногда болезненный) процесс, полный возможностей совершать ошибки. Через пару разделов мы начнем разрабатывать формулы и/или свойства, которые помогут нам получить производную многих распространенных функций, чтобы нам не приходилось слишком часто прибегать к определению производной.

Однако это не означает, что не важно знать определение производной! Это важное определение, которое мы всегда должны знать и помнить. Это просто то, с чем мы не собираемся так много работать.

Нахождение производной функции

Все ресурсы по математике для старших классов

8 Диагностические тесты 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Справка по математике для старших классов » Исчисление I — Производные » Производные » Поиск производных » Общие производные и правила » Нахождение производной функции

Какова первая производная ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти первую производную для этой задачи, мы можем использовать степенное правило. Правило степени гласит, что мы уменьшаем показатель степени каждой из переменных на единицу и умножаем на этот исходный показатель степени.

Помните, что все в нулевой степени равно единице.

Сообщить об ошибке Объяснение:

Эту проблему лучше всего решить с помощью правила мощности. Для каждой переменной умножьте на показатель степени и уменьшите показатель степени на единицу:

Считайте, что все в нулевой степени равно единице.

Помните, все, что умножается на ноль, равно нулю.

Сообщить об ошибке

Укажите среднюю скорость изменения функции на интервале .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Средняя скорость изменения  на интервале  составляет 

Замена:

Сообщить об ошибке

Какая производная от ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать правило мощности. Это означает, что мы уменьшаем показатель степени переменной на единицу и умножаем переменную на исходный показатель степени.

Помните, что все в нулевой степени равно единице.

Сообщить об ошибке

Что является производным от ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать правило мощности. Это означает, что мы уменьшаем показатель степени переменной на единицу и умножаем переменную на исходный показатель степени.

Мы будем рассматривать  как , так как все в нулевой степени равно единице.

Это означает, что эта задача будет выглядеть так:

Обратите внимание, что любое произведение на ноль равно нулю.

Помните, что все в нулевой степени равно единице.

Сообщить об ошибке

Что является производным от ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать правило мощности. Это означает, что мы уменьшаем показатель степени переменной на единицу и умножаем переменную на исходный показатель степени.

Мы будем рассматривать  как , так как все в нулевой степени равно единице.

Обратите внимание, что любое число, умноженное на ноль, равно нулю.

Сообщить об ошибке

Что является производным от ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы получить , мы можем использовать правило мощности.

Поскольку показатель степени равен as, мы уменьшаем показатель степени на единицу, а затем умножаем коэффициент на этот исходный показатель:

Все, что зависит от силы.

Сообщить об ошибке Объяснение:

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правило степени. Чтобы использовать правило степени, мы уменьшаем показатель степени переменной и умножаем на этот показатель.

Будем считать, что все в нулевой степени равно единице.

Обратите внимание, что, поскольку любое число, умноженное на ноль, равно нулю.

Сообщить об ошибке

Что является производным от ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правило степени. Чтобы использовать правило степени, мы уменьшаем показатель степени переменной и умножаем на этот показатель.

Будем считать, что все в нулевой степени равно единице.

Обратите внимание, что, поскольку любое число, умноженное на ноль, равно нулю.

Остается .

Упрощение.

Как было сказано ранее, все, что в нулевой степени равно единице, остается:

Сообщить об ошибке

Что такое производная от ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правило степени. Чтобы использовать правило степени, мы уменьшаем показатель степени переменной и умножаем на этот показатель.

Мы собираемся рассматривать  как , поскольку все в нулевой степени равно единице.

Обратите внимание, что, поскольку любое произведение, умноженное на ноль, равно нулю.