Нахождения производной формула: Формулы производных функции

2 – 48t + 17, здесь: х является расстоянием от точки в метрах, t – временем, измеряем в секундах.

Найти: скорость движения точки в момент времени, равный девяти секундам.

Решение: помним, что физическим смыслом производной является скорость. Находим закон измерения скорости согласно формуле: v (t) = x (t) = 12t – 48 м / с.

Получаем: v (9) = 12 * 9 – 48 = 60 м / с.

Ответ: скорость движения в момент временя, равный девяти секундам, будет равна 60 метров в секунду.

Перейдём к рассмотрению второй темы для разбора ЕГЭ по математике, эта тебя является уравнением касательной к графику функции.

Итак, если прямая проходит через точку, имеющую координаты х0, f (x0), а угол наклона у этой прямой равняется производной функции в этой точке, такая прямая является касательной к графику. Нужно иметь в виду, что если нет производной графика в точке, то не будет и самой касательной.

Рассмотрим задачу по данной теме: для того чтобы задать любую прямую, следует использовать формулу6 у = kx + b.

3 = 27.

В-четвёртых, составляем уравнение для касательной по следующей формуле: у = 27 * (х – 3) + 27.

Делаем преобразования: у = 27 * (х – 3) + 27 = 27х – 81 + 27 = 27х – 54.

Далее, уравнение к касательной: у = 27ч – 54.

Таким образом, не нужны большие усилия для того, чтобы найти уравнение к касательной, важно ориентироваться в формулах. Поэтому в процессе подготовки к ЕГЭ по математике её следует запомнить либо выучить.

Итак, переходим к рассмотрению темы производной суммы, разности, произведения и частного. Существует несколько правил и формул, рассмотрим их:

– Производная суммы (разности) у двух функций будет равна сумме (разности) производных этих функций, то есть: (u +- v) = г +- v;

– Производная произведения двух функций будет равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

(u * v) = u * v +- u * v;

– Производная частного двух функций u(x) / v (x), если v (x) не равняется нулю и равна дроби, у которой числитель является разностью произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя. 2 = 12x.

Ответ: вторая производная функции равна 12х.

2. у = cos 2x

y = (cos 2x) = – sin 2x * (2x) = – 2sin 2x.

у = (у) = (-2sin 2x) = – 2 (sin 2x) = – 2cos 2x *(2x) = – 4 cos 2x.

Ответ: производная второй функции равна – 4cos 2x.

Таким образом, мы рассмотрели темы, которые содержаться в разделе начала математического анализа ЕГЭ по математике, изучив теоретический, а также практический материал, изложенный в данной статье, вы будете готовы в сдаче единого государственного экзамена по данному предмету. Также рекомендуем просмотреть доступные демонстрационные варианты КИМов, это поможет вам знать примерную структуру, формулировку, а также уровень сложности заданий.

Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа

Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа

Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа.—М.: Просвещение, 1990.— 416 с. В книге в конспективной форме изложен теоретический материал по алгебре и началам анализа. К каждому пункту теоретического материала приведены упражнения с решениями и упражнения трех уровней сложности для самостоятельного решения. Она может быть использована при подготовке к экзаменам в высшие учебные заведения. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА I. § 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ § 2. СЛОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ § 3. ВЫЧИТАНИЕ § 4. УМНОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ § 5. ДЕЛЕНИЕ § 6. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ § 7. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА § 8. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ § 9. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ § 10. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА § 11. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ § 12. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Контрольные вопросы ГЛАВА II § 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ § 2. ПРАВИЛЬНЫЕ И НЕПРАВИЛЬНЫЕ ДРОБИ § 3. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ § 4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ § 5. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ § 6. ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ § 7. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ § 8. ОБРАЩЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ В ОБЫКНОВЕННУЮ И ОБЫКНОВЕННОЙ В ДЕСЯТИЧНУЮ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ § 9. ОТНОШЕНИЕ. ПРОПОРЦИЯ § 10. СВОЙСТВА ПРОПОРЦИИ § 11. ПРОЦЕНТ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ § 12. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА НА ЧАСТИ, ПРЯМО И ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ДАННЫМ ЧИСЛАМ Контрольные вопросы ГЛАВА III § 1. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ § 2. МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ § 3. МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 4. МОДУЛЬ ЧИСЛА § 5. СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 6. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 8. ВОЗВЕДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Контрольные вопросы ГЛАВА IV § 1. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ § 2. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 3. ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ § 4. ТОЖДЕСТВЕННО РАВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 5. ОДНОЧЛЕНЫ § 6. МНОГОЧЛЕНЫ § 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ МНОГОЧЛЕНОВ § 8. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН И МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН § 9. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ВЫНЕСЕНИЯ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ § 10. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ § 11. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ Контрольные вопросы ГЛАВА V § 1. ДРОБЬ § 2. ЦЕЛЫЕ И ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 3. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ДРОБЕЙ § 4. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ДВУХ ДРОБЕЙ § 5. СТЕПЕНЬ ДРОБИ Контрольные вопросы ГЛАВА VI § 1. ПОНЯТИЕ ОБ ИРРАЦИОНАЛЬНОМ ЧИСЛЕ § 2. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 3. КОРЕНЬ СТЕПЕНИ ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА § 4. АЛГОРИТМ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ЧИСЛА § 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ § 7. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ И ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Контрольные вопросы ГЛАВА VII § 1. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 2. ПОНЯТИЕ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ § 3. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РАВЕНСТВ И ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ § 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, СОДЕРЖАЩЕЕ ПАРАМЕТР Контрольные вопросы ГЛАВА VIII § 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ § 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ § 3. МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ § 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ § 6. ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА И КОРНИ ФУНКЦИИ Контрольные вопросы ГЛАВА IX § 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ § 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК § 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК § 4. ФУНКЦИЯ y=k/x И ЕЕ ГРАФИК § 5. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК Контрольные вопросы ГЛАВА X § 1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 2. ТЕОРЕМА ВИЕТА § 3. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4. УРАВНЕНИЕ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ § 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XI § 1. НЕРАВЕНСТВА § 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ § 3. ДЕЙСТВИЯ С НЕРАВЕНСТВАМИ § 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ § 5. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ § 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ Контрольные вопросы ГЛАВА XII § 1. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ § 2. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ § 3. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ § 4. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ПРОМЕЖУТКОВ Контрольные вопросы ГЛАВА XIII § 1. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ § 2. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ § 4. СУММА БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ПРИ |q|Контрольные вопросы ГЛАВА XIV § 1. ГРАДУСНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН § 2. РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН § 3. СИНУС И КОСИНУС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА § 4. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА. СЕКАНС И КОСЕКАНС ЧИСЛА а § 5. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА § 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XV § 1. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ § 2. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ § 3. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ § 5. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА § 7. ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА Контрольные вопросы ГЛАВА XVI § 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin(x) И ЕЕ ГРАФИК § 2. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И у = cos(x) И ЕЕ ГРАФИК § 3. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И у=tg(x) И ЕЕ ГРАФИК § 4. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И y=ctg(x) И ЕЕ ГРАФИК § 5. НАХОЖДЕНИЕ ПЕРИОДОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XVII § 1. АРКСИНУС И АРККОСИНУС § 2. АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС Контрольные вопросы ГЛАВА XVIII § 1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА cos(x)=а § 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА sin(x)=a § 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА tg(х)=а § 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ПРИВОДИМЫХ К КВАДРАТНОМУ § 5. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ, ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ § 7. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XIX § 1. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА sin(х) > а, sin(х) § 2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА cos(x) > a, cos(x) § 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА tg(х) > a, tg(х) § 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ГЛАВА XX § 1. ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ § 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ § 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ § 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ § 5. ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО § 6. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ И СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ § 7. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XXI § 1. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К НАХОЖДЕНИЮ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ § 2. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ, ЕЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ § 3. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ § 4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Контрольные вопросы ГЛАВА XXII § 1. ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ § 3. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ В ДАННЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ § 4. ГРАФИКИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XXIII § 1. ПОТЕРЯННЫЕ И ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ (НА ПРИМЕРАХ) § 2. ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (НА ПРИМЕРАХ) § 3. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ Контрольные вопросы ГЛАВА XXIV § 1. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК § 2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА § 4. СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Контрольные вопросы ГЛАВА XXV § 1. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ § 2. ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА § 3. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ § 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК § 5. ТЕОРЕМЫ О ЛОГАРИФМЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО И СТЕПЕНИ. ФОРМУЛА ПЕРЕХОДА К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ § 6. ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА § 7. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ Контрольные вопросы ГЛАВА XXVI § 1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ § 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА § 3. СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЙ. ЧИСЛО e Контрольные вопросы ГЛАВА XXVII § 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ § 2. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ § 3. ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ § 4. КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ И ЕЕ ПЛОЩАДЬ Контрольные вопросы ГЛАВА XXVIII § 1. ФОРМУЛА НЬЮТОНА—ЛЕЙБНИЦА § 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА § 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПРИЛОЖЕНИЕ Введение 1. Задачи на движение 2. Задачи на совместную работу 3. Задачи на планирование 4. Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий 5. Задачи на проценты 6. Задачи на смеси (сплавы) 7. Задачи на разбавление

Как делать производные в Excel | Малый бизнес

Аарон Парсон

В Microsoft Excel нет возможности генерировать уравнение производной по заданной формуле, но вы все равно можете использовать программу для расчета значений как формулы, так и ее производной, и отображать их на графике . Это позволяет вам сравнивать формулу с ее производной, даже если вы не знаете самой производной. Поскольку Excel берет на себя все расчеты, вы можете использовать этот метод, даже если не знаете математических вычислений.

1. Введите нижний предел горизонтального диапазона, который вы хотите отобразить в ячейке A1. Например, чтобы построить график от -2 до 2, введите «-2» в ячейке A1 (исключая кавычки здесь и на всех этапах).

2. Введите расстояние между точками графика в ячейке D1. Чем меньше расстояние, тем точнее будет выглядеть ваш график, но использование слишком большого количества точек графика может замедлить обработку. Для этого примера введите «0,1», что обеспечит 41 точку графика от -2 до 2. Если вы используете меньший или больший диапазон, соответственно измените расстояние, чтобы получить как минимум несколько десятков точек, но не более нескольких тысяч. . 92.» Обратите внимание, что Excel не умножает соседние термины автоматически, поэтому вам нужно ввести звездочку для умножения.

3. Дважды щелкните маркер заполнения в ячейке B1, чтобы заполнить все необходимые ячейки в столбце B.

4. Введите «=(B2-B1)/$D$1» в ячейке C1. Это уравнение находит производную для вашей формулы в каждой точке, используя определение производной «dy/dx»: разница между каждой строкой в ​​столбце B составляет «dy», а значение, которое вы выбрали для D1, представляет «dx». Дважды щелкните маркер заполнения в C1, чтобы заполнить столбец.

5. Прокрутите вниз и удалите последнее число в столбце C, чтобы избежать неточного значения последней производной.

6. Щелкните и перетащите от заголовка столбца A к заголовку C, чтобы выделить первые три столбца. Откройте вкладку «Вставка» на ленте и нажмите «Диаграммы», «Распределение», а затем «Рассеивание с плавными линиями» или другой тип точечной диаграммы, если это необходимо. Excel отобразит вашу исходную формулу как «Серию 1», а вашу производную как «Серию 2».

Ссылки

• Microsoft Office: автоматическое заполнение данных в ячейках рабочего листа
• Microsoft Office: создание диаграммы
• Microsoft Office: изменение записей легенды диаграммы a Линейная диаграмма

Советы

• Из-за того, как Excel вычисляет формулы, любая точка «0» в столбцах от A до C может отображаться как чрезвычайно маленькое число в экспоненциальном представлении. Вы можете заменить их на «0» вручную, если хотите, но это не будет иметь существенного значения.
• Чтобы сделать график более наглядным, вы можете переименовать «Серия 1» и «Серия 2». Щелкните правой кнопкой мыши график, нажмите «Выбрать данные», выберите серию для переименования и нажмите «Изменить». Введите новое имя в поле «Имя серии». Excel не позволит вам начинать имя со знака равенства, поэтому, если вы хотите использовать формулу столбца в качестве имени, заключите ее в кавычки.

Предупреждения

• Информация в этой статье относится к Excel 2013, 2010 и 2007. В других версиях она может незначительно или существенно отличаться.

Writer Bio

Аарон Парсон пишет об электронике, программном обеспечении и играх с 2006 года, участвует в создании нескольких технологических веб-сайтов и работает с NewsHour Productions. Парсон имеет степень бакалавра гуманитарных наук, полученную в Государственном колледже Эвергрин в Олимпии, штат Вашингтон.

Производные

• Геометрическое определение
• Берем производную
• Пошагово
• Варианты использования машинного обучения

Цепное правило

• Как это работает
• Пошагово
• Несколько функций

Градиенты

• Частные производные
• Пошагово
• Производные по направлению
• Полезные свойства

Интегралы

• Вычисление интегралов
• Применение интеграции
  • Вычисление вероятностей
  • Ожидаемое значение
  • Дисперсия

Вам необходимо знать основы исчисления, чтобы понимать, как функции изменяются во времени (производные), и вычислять общую сумму величины, которая накапливается за период времени (интегралы). Язык исчисления позволит вам точно говорить о свойствах функций и лучше понимать их поведение.

Обычно на курсах математического анализа приходится выполнять множество утомительных вычислений вручную, но наличие на вашей стороне мощных компьютеров может сделать этот процесс намного увлекательнее. В этом разделе описываются ключевые идеи исчисления, которые вам необходимо знать, чтобы понимать концепции машинного обучения.

Производная может быть определена двумя способами:

1. Мгновенная скорость изменения (физика)
2. Наклон линии в определенной точке (геометрия)

Оба представляют один и тот же принцип, но для наших целей его легче объяснить, используя геометрическое определение.

Геометрическое определение

В геометрии наклон представляет собой крутизну линии. Он отвечает на вопрос: насколько изменится \(y\) или \(f(x)\) при конкретном изменении \(x\)?

Используя это определение, мы можем легко вычислить наклон между двумя точками. Но что, если я спрошу вас вместо наклона между двумя точками, каков наклон в одной точке на линии? В этом случае нет никакого очевидного «выхода за пределы пробега» для расчета. Производные помогают нам ответить на этот вопрос.

Производная выводит выражение, которое мы можем использовать для вычисления мгновенной скорости изменения или наклона в одной точке на линии. Найдя производную, вы можете использовать ее для вычисления наклона в любой другой точке на линии. 92 + 3\).

Наклон между (1,4) и (3,12) будет следующим:

\[наклон = \frac{y2-y1}{x2-x1} = \frac{12-4}{3-1} = 4\]

Но как вычислить наклон в точке (1,4), чтобы выявить изменение наклона в этой конкретной точке?

Один из способов — найти две ближайшие точки, вычислить их наклон относительно \(x\) и взять среднее значение. Но исчисление предлагает более простой и точный способ: вычислить производную. Вычисление производной функции по сути такое же, как и наше первоначальное предложение, но вместо нахождения двух ближайших точек мы создаем воображаемую точку на бесконечно малом расстоянии от \(x\) и вычисляем наклон между \(x\ ) и новая точка.

Таким образом, производные помогают нам ответить на вопрос: как изменится \(f(x)\), если мы очень-очень маленькое увеличение x? Другими словами, производные помогают оценить наклон между двумя точками, которые находятся на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Очень, очень, очень маленькое расстояние, но достаточно большое, чтобы рассчитать уклон.

На математическом языке мы представляем это бесконечно малое увеличение с помощью предела. Предел определяется как выходное значение, к которому приближается функция, когда входное значение приближается к другому значению. В нашем случае целевое значение — это конкретная точка, в которой мы хотим рассчитать уклон. 92 x = 3 # место интереса вычислено = get_derivative (f, x) факт = 2*х вычислено, фактическое # = 6.0001, 6 # довольно близко, если вы спросите меня…

Как правило, для получения точных формул производных предпочтительнее использовать математику, но имейте в виду, что вы всегда можете вычислить производные численно, вычислив превышение скорости для «маленького шага» \(h\).

Примеры использования машинного обучения

Машинное обучение использует производные в задачах оптимизации. Алгоритмы оптимизации типа градиентный спуск используют производные, чтобы решить, следует ли увеличивать или уменьшать веса, чтобы максимизировать или минимизировать некоторую цель (например, точность модели или функции ошибок). Производные также помогают нам аппроксимировать нелинейные функции как линейные функции (касательные линии), которые имеют постоянный наклон. С постоянным наклоном мы можем решить, двигаться ли вверх или вниз по наклону (увеличивать или уменьшать наши веса), чтобы приблизиться к целевому значению (метка класса).

Цепное правило — это формула для вычисления производных сложных функций. Составные функции — это функции, состоящие из функций внутри других функций.

Как это работает

Для сложной функции \(f(x) = A(B(x))\) производная от \(f(x)\) равна произведению производной от \(A\ ) по \(B(x)\) и производная от \(B\) по \(x\).

\[\mbox{производная составной функции} = \mbox{производная внешней функции} * \mbox{производная внутренней функции}\]

Например, задана составная функция \(f(x)\), где:

\[f(x) = h(g(x))\]

Цепное правило говорит нам, что производная \(f(x)\) равна: 95\]

Множественные функции

В приведенном выше примере мы предполагали составную функцию, содержащую одну внутреннюю функцию. Но цепное правило также может быть применено к функциям более высокого порядка, например:

\[f(x) = A(B(C(x)))\]

Цепное правило говорит нам, что производная этой функции равна :

\[\frac{df}{dx} = \frac{dA}{dB} \frac{dB}{dC} \frac{dC}{dx}\]

Мы также можем написать это производное уравнение \ (f’\) обозначение:

\[f’ = A'(B(C(x)) \cdot B'(C(x)) \cdot C'(x)\] 92)32x \end{align}\end{split}\]

Градиент — это вектор, в котором хранятся частные производные функций многих переменных. Это помогает нам рассчитать наклон в определенной точке кривой для функций с несколькими независимыми переменными. Чтобы рассчитать этот более сложный наклон, нам нужно изолировать каждую переменную, чтобы определить, как она сама по себе влияет на результат. Для этого мы перебираем каждую из переменных и вычисляем производную функции после сохранения всех остальных переменных постоянными. Каждая итерация производит частную производную, которую мы сохраняем в градиенте.

Частные производные

В функциях с 2 или более переменными частная производная — это производная одной переменной по отношению к другим. Если мы изменим \(x\), но оставим все остальные переменные постоянными, как изменится \(f(x,z)\)? Это одна частная производная. Следующая переменная — \(z\). Если мы изменим \(z\), но оставим \(x\) постоянным, как изменится \(f(x,z)\)? Мы храним частные производные в градиенте, который представляет собой полную производную функции с несколькими переменными.

92\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Производные по направлениям

Другим важным понятием являются производные по направлениям. При вычислении частных производных функций многих переменных мы используем нашу старую технику анализа влияния бесконечно малых приращений на каждую из наших независимых переменных. Увеличивая каждую переменную, мы изменяем выход функции в направлении наклона.

Но что, если мы хотим изменить направление? Например, представьте, что мы едем на север через гористую местность в трехмерной плоскости. Градиент, который мы рассчитали выше, говорит нам, что мы движемся на север в нашем текущем местоположении. Но что, если мы хотим отправиться на юго-запад? Как определить крутизну холмов в юго-западном направлении? Производные по направлению помогают нам найти наклон, если мы движемся в направлении, отличном от заданного градиентом.

Math

Производная по направлению вычисляется путем скалярного произведения [11] градиента \(f\) и единичного вектора \(\vec{v}\) «крошечных толчков», представляющих направление. Единичный вектор описывает пропорции, в которых мы хотим двигаться в каждом направлении. Результатом этого вычисления является скалярное число, показывающее, насколько изменится \(f\), если текущий вход перемещается с вектором \(\vec{v}\).

Допустим, у вас есть функция \(f(x,y,z)\) и вы хотите вычислить ее производную по направлению вдоль следующего вектора [2]:

\[\begin{split}\vec{v}=\begin{bmatrix} 2\\ 3\\ -1\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Как описано выше, мы берем скалярное произведение градиента и вектора направления:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \frac{df}{dx} \\ \frac{df}{dy} \\ \frac{df}{dz} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bматрица} 2\\ 3\\ -1\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Скалярное произведение можно переписать следующим образом:

\[\nabla_\vec{v} f = 2 \frac{df}{dx} + 3 \frac{df }{dy} — 1 \frac{df}{dz}\]

Это должно иметь смысл, потому что крошечное смещение вдоль \(\vec{v}\) можно разбить на два крошечных смещения в направлении x, три крошечных смещения в направлении y и крошечное смещение назад, −1 в направлении z.

Полезные свойства

Есть два дополнительных свойства градиентов, которые особенно полезны в глубоком обучении. Градиент функции:

1. Всегда указывает в направлении наибольшего увеличения функции (объяснено здесь) 9b f(x) \: dx.\]

   Площадь \(A(a,b)\) ограничена функцией \(f(x)\) сверху, осью \(x\) снизу внизу и двумя вертикальными линиями в точках \(x=a\) и \(x=b\). Точки \(x=a\) и \(x=b\) называются пределами интегрирования. Знак \(\int\) происходит от латинского слова summa. Интеграл представляет собой «сумму» значений \(f(x)\) между двумя пределами интегрирования.

   Интегральная функция \(F(c)\) соответствует расчету площади как функции верхнего предела интегрирования: 9с \! f(x)\:dx\,.\]

   В этой формуле две переменные и одна константа. Входная переменная \(c\) описывает верхний предел интегрирования. Переменная интегрирования \(x\) выполняет развертку от \(x=0\) до \(x=c\). Константа \(0\) описывает нижний предел интегрирования. Обратите внимание, что выбор \(x=0\) в качестве начальной точки интегральной функции был произвольным выбором.

   Интегральная функция \(F(c)\) содержит «заранее вычисленную» информацию о площади под графиком \(f(x)\). Производная функция \(f'(x)\) говорит нам о свойстве «наклон графика» функции \(f(x)\) для всех значений \(x\). Точно так же интегральная функция \(F(c)\) говорит нам о свойстве «площади под графиком» функции \(f(x)\) для 92\) между \(x=1\) и \(x=3\), аппроксимировав его четырьмя прямоугольными полосами шириной \(h=0,5\).

   Обычно мы хотим, чтобы \(h\) было небольшим числом, чтобы аппроксимация была точной. Вот пример кода, который выполняет интеграцию.

    по определению get_integral (функция, а, б):
    """Вычислите площадь под `func` между x=a и x=b."""
    h = 0,0001 # ширина маленького прямоугольника
    x = a # начать с x=a
    всего = 0
    while x <= b: # продолжаем до тех пор, пока x=b
    total += h*func(x) # площадь прямоугольника равна base*height
    х += ч
    общая сумма возврата
   def f(x): return x**2 # некоторая тестовая функция f(x)=x^2
   вычислено = get_integral (f, 1, 3)
   def factF(x): вернуть 1. 2\:dx\). Мы можем перефразировать эту задачу как поиск некоторой функции \(F(x)\) такой, что 92\).
    Вы также можете проверить интегралы с помощью математики. Вот набор формул для справки.
    Применение интегрирования 
    Интегральные вычисления имеют широкое применение в большем количестве областей науки, чем здесь можно перечислить. Давайте рассмотрим несколько примеров, связанных с вероятностями.
    Вычисление вероятностей 
    Непрерывная случайная величина \(X\) описывается ее функцией плотности вероятности \(p(x)\). Функция плотности вероятности \(p(x)\) является положительной функцией, для которой общая площадь под кривой равна \(1\): 9б р(х)\; dx.\]
    Таким образом, понятие интегрирования является центральным в теории вероятностей с непрерывными случайными величинами.
    Мы также используем интегрирование для вычисления некоторых характерных свойств случайной величины. Ожидаемое значение   и дисперсия   — это два свойства любой случайной величины \(X\), которые охватывают важные аспекты ее поведения.
    Ожидаемое значение 
     Ожидаемое значение  случайной величины \(X\) вычисляется по формуле 92\) измеряет свою дисперсию   .
   Читатели, знакомые с понятиями из физики, могут представить ожидаемое значение как  центр масс  распределения, а дисперсию — как  момент инерции  распределения.
    References
    [1]
    https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative
    [2]
    https:/ /www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/directional-derivative-introduction
    [3]
    https://en. wikipedia.org/wiki/Partial_derivative
    [4]
    https:/ /ен.wikipedia.org/wiki/Gradient
   .
    [5]
    HTTPS://betterexplaind.com/artculsclecleclaint-smelclecleclaind-smelclecleclaind-smelcleclaind-smentclexplextlaind-/80530
    [6]
    https://www.mathsisfun.com/calculus/derivatives-introduction.html
    [7]
    http:// tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DefnOfDerivative.aspx
    [8]
    https://www.
   No related posts.
   Добавить комментарий Отменить ответ
   Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
   Комментарий *
   Имя * 
   Email * 
   Сайт