НаибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ: НаибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

130. НаибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π² Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² этом ΠΆΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π΅Π΅ пСрвая производная. НСобходимо Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° этом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅.

Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ нСдостаточно Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° краях ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°.

Из рисунка 11.6 Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ экстрСмумами Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΈ . Но это Π½Π΅ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ наибольшим Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΡ€Π°ΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ , , Π° наимСньшим Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ ΠΊΡ€Π°ΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ , .

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1. Если Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ бСсконСчном) функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ экстрСмум, ΠΈ Ссли это максимум (ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ), Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ наибольшим (наимСньшим) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° этом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (рис. 11.7 Π°, Π±).

На рисункС 11.7Β Π° ΠΈ 11.7Β Π± ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ экстрСмум Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ бСсконСчном ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 2. Если функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π° этом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния. Π­Ρ‚ΠΈ значСния Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΠ»ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… экстрСмума ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°.

НаибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° , Π° наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ – Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° (рис. 11.8 Π°).

Ѐункция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ экстрСмума , Π° наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ экстрСмума (рис.Β 11.8Β Π±).

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ , Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ:

1) Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρƒ;

2) Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…;

3) Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° краях ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°;

Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Β 3. НайдитС наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ .

РСшСниС. Данная функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ , Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π² этом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния (согласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ 2). НайдСм эти значСния.

1.Β ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΅Π΅ пСрвая производная обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ . ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: , . Π’ этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… данная функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ экстрСмумы.

2. НайдСм значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…: ; .

3. НайдСм значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΈ , Ρ‚. Π΅. Π½Π° краях ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°:

4.Β Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΈ Π½Π° краях ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° . ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΊΡ€Π°ΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ , Π° наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ соотвСтствуСт критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. ; .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° вопросы

1. Π“Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ наимСньшСС ΠΈΠ»ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

2. Если нСпрСрывная функция Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ min Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ , Ρ‚ΠΎ Π³Π΄Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ?

3. Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ? НазовитС порядок дСйствий.

< ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π°Ρ Β  Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ >

НаибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅:

  1. НаимСньшСС ΠΈ наибольшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ максимума
  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°
  4. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ достаточноС условиС сущСствования экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  5. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ достаточноС условиС сущСствования экстрСмума
  6. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° экстрСмум ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ (ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ способ)
  7. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° экстрСмум ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ (Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ способ)
  8. НаибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Π’Π΅ΠΉΠ΅Ρ€ΡˆΡ‚Ρ€Π°ΡΡΠ° нСпрСрывная функция Π½Π° Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

[a, b] достигаСт своСго наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΈ значСния функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‡ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ Π² сСрСдинС ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ нахоТдСния наибольшСго ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π³ΠΎΒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [a, b] Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ

1) Находят ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΈ, приравняв Π΅Π΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, находят критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π°.

2) Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΎ всСх критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΡƒ [a, b],Β ΠΈ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

3) Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ этих Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Если Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ достигаСт Π² Π½Π΅ΠΉ максимума, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ наибольшим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π° Ссли достигаСт Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ наимСньшим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ [- 2; 1].

РСшСниС. Находим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Β ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° Β  Β 

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ, Π΅Π΅ Π½Π΅ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌΒ Π² счСт. ВычисляСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = 10 Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x =–1, Π° наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y = -10 Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = 1.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ максимума

Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция f (Ρ…) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимум, Ссли Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΅Π΅ значСния Π²ΠΎ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, достаточно Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… ΠΊ .

Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅: функция f (Ρ…) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум ΠΏΡ€ΠΈ , Ссли

для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Ах β€” ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, Π½ΠΎ достаточно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°

Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция f (Ρ…) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Ссли Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΅Π΅ значСния Π²ΠΎ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, достаточно Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… ΠΊ .

По этой ссылкС Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ курс Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅:

Π’Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅: функция f (Ρ…) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = , Ссли

для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… , достаточно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅.

β€’ Если Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Ρ‚ΠΎ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто экстрСмум, Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ называСтся ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ:

1) ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ (ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ) Π½Π΅ являСтся ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ наибольшим (наимСньшим) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π’Π½Π΅ рассматриваСмой окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ большиС (мСньшиС) значСния, Ρ‡Π΅ΠΌ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. 2) Ѐункция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ нСсколько максимумов ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ².

3) Ѐункция, опрСдСлСнная Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ экстрСмума Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²ΠΎ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… этого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. НСобходимоС условиС экстрСмума. Если функция f (Ρ…) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ экстрСмум ΠΏΡ€ΠΈ , Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ производная Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΈΠ»ΠΈ со ΠΈΠ»ΠΈ вовсС Π½Π΅ сущСствуСт.

Из этого слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ слСдуСт Ρ€Π°Π·Ρ‹ΡΠΊΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ срСди Ρ‚Π΅Ρ…, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΅Π΅ пСрвая производная ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт. ИсслСдованиС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… пСрвая производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, бСсконСчности, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‚Π΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ сущСствуСт, Π½ΠΎ функция сохраняСт Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ критичСскими.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ экстрСмума являСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ, Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΡŽΠ΄ΡŒ Π½Π΅ достаточным: производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, со ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚Π΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция достигаСт экстрСмума.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒ экстрСмума, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° основании достаточных условий сущСствования экстрСмума. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… достаточных условия.

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ страницы:

Найти ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Найти ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ лопиталя

Найти ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ достаточноС условиС сущСствования экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ… β€” Ρ…0 являСтся критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (Ρ…), Π° сама функция f (Ρ…) Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π²ΠΎ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°, содСрТащСго эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ самой этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ).

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:

1) Ссли ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… < Ρ…0 производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто максимум, Ρ‚. Π΅. Ссли ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрвая производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с плюса Π½Π° минус, Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция достигаСт максимума;

2) Ссли ΠΏΡ€ΠΈ , Π° ΠΏΡ€ΠΈ , Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ; ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅: Ссли ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрвая производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с минуса Π½Π° плюс, Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция достигаСт ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°; 3) Ссли ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрвая производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎ экстрСмума Π½Π΅Ρ‚.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ достаточноС условиС сущСствования экстрСмума

Если Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрвая производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (Ρ…) Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ: , Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = Ρ…0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто максимум, Ссли , ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Ссли . Если ΠΆΠ΅ , Ρ‚ΠΎ для Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ± экстрСмумС Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ трСбуСтся дальнСйшСС исслСдованиС (прСдполагаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция f (Ρ…) Π² окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ).

Бпособ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ функция исслСдуСтся Π½Π° экстрСмум с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ достаточного условия (ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ), ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ, Π° способ исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° экстрСмум Π½Π° основании Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ достаточного условия (ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ) β€” Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° экстрСмум ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ (ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ способ)

Для исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° экстрСмум ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слСдуСт:

  1. Найти f (Ρ…) β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  2. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ f(x) = 0, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ значСния Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт (ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅: Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x)). ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ этими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с абсциссами ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ находятся Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (Π°, Π¬).
  3. ВсС критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π² порядкС возрастания ΠΈΡ… абсцисс Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (Π°, Π¬).
  4. Π’Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (производная сохраняСт Π·Π½Π°ΠΊ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя сосСдними критичСскими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ).
  5. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… сосСдних ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ…, пСрСходя ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° ΠΊ послСднСму. Если ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… сосСдних ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ экстрСмум Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ: максимум Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚, Ссли Π·Π½Π°ΠΊ помСняСтся с + Π½Π° β€”, Π° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Ссли ΠΎΠ½ помСняСтся с β€” Π½Π° + Если ΠΆΠ΅ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… сосСдних ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто сохранСниС Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ экстрСмума Π² рассматриваСмой критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ‚.
  6. Найти значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½Π° достигаСт экстрСмума (ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ).

Β 

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° экстрСмум ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ (Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ способ)

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° экстрСмум ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, слСдуСт:

  1. Найти β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  2. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
  3. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ β€” Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΏ. 2. Если окаТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² рассматриваСмой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Π° Ссли , Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ максимум. Если ΠΆΠ΅ окаТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² рассматриваСмой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , Ρ‚ΠΎ исслСдованиС Π½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ провСсти ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ.

НаибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

Если функция f (Ρ…) Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [Π°, Π¬], Ρ‚ΠΎ Π½Π° этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ всСгда ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния. Π­Ρ‚ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ функция достигаСт ΠΈΠ»ΠΈ Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° [Π°, Π¬]. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, Π½Π°Π΄ΠΎ: 1) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ критичСскоС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ; 2) Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° [Π°, Π¬\; 3) наибольшСС ΠΈΠ· Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΏ. 2, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ наибольшим, Π° наимСньшСС β€” наимСньшим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 32,1.

Найти экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ .

РСшСниС:

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сначала ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ сущСствования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся вСсь бСсконСчный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» .

1. Находим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2. РСшаСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚. Π΅. ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π Π°Π·Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈ любом Ρ… (говорят Π² этом случаС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Π° Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ критичСскими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· (32,2). 3. РасполагаСм критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² порядкС возрастания абсцисс: β€”1; 0; 3.

4. Рассмотрим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹

Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· этих ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ (32,1). Π’ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ возьмСм, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (β€”1,0) возьмСм Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (0,3) возьмСм Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ… = 1 ΠΈ вычислим Π² Π½Π΅ΠΉ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ возьмСм Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (вмСсто этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² (32,3) Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… (32,3) пСрвая производная ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²:

ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ… β€” β€”1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ… = 0 β€” максимум; Π° Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ… = 3 β€” ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ. НайдСм Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Эскиз Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° прСдставлСн Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³. 32,1.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ, Ρ‚. Π΅. исслСдуСм Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° экстрСмум с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π£ нас критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹: ΠΈ . НайдСм Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ДиффСрСнцируя ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ , ΠΈ согласно Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ опрСдСляСм Π·Π½Π°ΠΊ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅:

функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум,

функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ.

  • Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ исслСдованиС, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ способу, Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅. Однако ΠΎΡ‚ исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° экстрСмум ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅ слСдуСт, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ вторая производная окаТСтся Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° Π² этом случаС нСльзя ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ экстрСмума.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ упраТнСния Π² Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ вопрос Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ; ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ наимСньшСС ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [β€”2,41. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ содСрТит Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ сСбя всС критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ вычислили (32,4), Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Ρ‚. Π΅. .

Бравнивая эти значСния со значСниями (32,4) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наибольшим ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… являСтся , Π° наимСньшим , Ρ‚. Π΅. наибольшСго значСния функция достигаСт Π½Π° Π»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = β€”2, Π° наимСньшСго β€” Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ… = 3. РСшим ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 32,2.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΅ наимСньшСС ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [2.5].

РСшСниС:

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ способу, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌβ€” ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ сущСствования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся вСсь бСсконСчный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» Находим ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: . РСшим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ . Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ… = 1. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈ любом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ…, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ… = 1 являСтся СдинствСнной критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ.

Рассмотрим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹

Π’Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· этих ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π² Π½Π΅ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. НапримСр, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ возьмСм Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ… β€” 0, Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ… = 2.

(Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ вмСсто этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· этих ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅).

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто такая ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: +, + Из этого ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрвая производная Π·Π½Π°ΠΊΠ° Π½Π΅ помСняла, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ… = 1 экстрСмума Π½Π΅Ρ‚.

Если ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ сразу Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈ любом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ , Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ рассматриваСмая функция возрастаСт Π½Π° всСм бСсконСчном ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . Эскиз Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° прСдставлСн Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³. 32,2.

ПокаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ исслСдованиС провСсти нСльзя. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, , ΠΈ Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ…= 1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, исслСдованиС слСдуСт вСсти ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ, Π° Π½Π° основании Π΅Π³ΠΎ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ экстрСмума Π½Π΅Ρ‚.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ вопрос Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [2.5] Π½Π΅ содСрТит критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎ для опрСдСлСния наимСньшСго ΠΈ наибольшСго значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ слСдуСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ значСния Π΅Π΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°: НаимСньшСго значСния Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [2.5] функция достигаСт Π½Π° Π»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = 2, ΠΈ это наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ . НаибольшСго значСния функция достигаСт ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = 5 β€” Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°; это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ f (5) = 67.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 32,3

(для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ). Найти сначала ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [β€”5,2].

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ:

Π­Π³ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° основании слСдствия Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π‘Π΅Π·Ρƒ, извСстной ΠΈΠ· Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. МоТно Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π° Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π³ΠΎ лСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π°

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ… = β€”4 ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ;

максимум; ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = 3 β€”ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ; ; Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [β€”5,2]: Ρ‚. e. функция достигаСт наибольшСго значСния Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ… = 2, которая являСтся ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π° наимСньшСго значСния β€” Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ… = β€”4 Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ рассматриваСмого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° (Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция достигаСт Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°).

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 32,4

(для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ). Найти сначала ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ пСрСписано Ρ‚Π°ΠΊ: ΠΈΠ»ΠΈ . ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ этого уравнСния:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ…=1β€” ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ; (1) = 3; ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = 2—максимум; f (2) = 4; ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = 3 β€” ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ; /(3) = 3 (см. Ρ„ΠΈΠ³. 32,3).

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 32,5.

Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΅ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [β€”3,1|.

РСшСниС:

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ сущСствования β€” бСсконСчный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» . ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ производная Для опрСдСлСния критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ , ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° . Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ сущСствования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹: Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· этих ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² пСрвая производная сохраняСт Π·Π½Π°ΠΊ ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ для исслСдования Π² Π½ΠΈΡ… Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ возьмСм Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ возьмСм Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ; Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ; Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ

ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² рассмотрСнных ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊ:

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = β€”4 ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = β€”2 β€” максимум ΠΈ , Π° ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = 0 β€” ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ . Эскиз Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° прСдставлСн Π½Π°Ρ„ΠΈΠ³. 32,4. Π’Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ способом Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

НайдСм Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ наимСньшСС ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [β€”3,1]. На этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π΅ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: .

Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ вопроса ΠΎ наибольшСм ΠΈ наимСньшСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² Π½Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅

Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°: ΠΈ . ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‡Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Бравнивая эти значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с Π΅Π΅ значСниями Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ… = 0, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0, Π° наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ рассматриваСмого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ… β€” 1, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 25.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 32,6

(для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ). Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° экстрСмум ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΠ°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ эскиз Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

РСшСниС:

ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: β€”/ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ; ΠΏΡ€ΠΈ β€” максимум; ΠΏΡ€ΠΈ β€” ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 32,7

(для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ). По Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

РСшСниС:

ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: максимум, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = 3 β€” ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ;

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 32,8.

Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

РСшСниС:

Ѐункция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈ всСх значСниях Ρ…. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ. НачнСм с опрСдСлСния ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ производная ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ любом Ρ…, Ρ‚ΠΎ критичСскими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… пСрвая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. РСшая ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ -Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» , Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ сущСствуСт заданная функция, Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· этих ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ². Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· этих ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² пСрвая производная сохраняСт Π·Π½Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ

Π’ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ возьмСм (вмСсто этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· этих ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅). ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ- ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ: Из рассмотрСния этой ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ —максимум, Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ — ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΊ = 1 экстрСмума Π½Π΅Ρ‚: ; Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅

функция возрастаСт, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΅ пСрвая производная Π² этом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° (эскиз Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° прСдставлСн Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³. 32,5). Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ эту ΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ. Находим. Ρ‡Ρ‚ΠΎ

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ нас интСрСсуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ надобности ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅). ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ Π² это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ критичСскиС значСния Ρ…, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… β€” функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум; . Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ; . Для Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ исслСдованию ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ (ΠΎΠ½ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅: Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ экстрСмума Π½Π΅Ρ‚).

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния

ВсС рСсурсы AP РасчСт AB

3 ДиагностичСскиС тСсты 164 практичСских тСста Вопрос дня ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Learn by Concept

AP Calculus AB Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠ° Β» Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния

Каков Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум  когда ?

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ максимума Π½Π΅Ρ‚.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ПояснСниС:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимум, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ стСпСни. Для этого ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° исходный ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни.

ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Π² Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ стСпСни Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ любоС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ноль, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Глядя Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ этого уравнСния ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, исходная функция возрастаСт. Если производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Ρ‚ΠΎ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мСняСтся с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°Β .

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ этот ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:Β 

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΈΡ‰Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚Π΅ΠΌ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ .

Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ошибкС

Каков Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΈ ?

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

ΠœΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π΅Ρ‚ максимума.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ОбъяснСниС:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимум, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Π³Π΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ смСщаСтся ΠΎΡ‚ возрастания ΠΊ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡŽ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ смСщаСтся с увСличСния Π½Π° ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ смотрим Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ мСняСтся с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΌΡ‹ посмотрим Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΈ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Π³Π΄Π΅ (Ссли Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅) Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт ось x ΠΈ двиТСтся ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния y ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ y.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. К соТалСнию, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ производная:

.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ нашСго Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°.

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, вторая производная Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ .

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ нашС Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ось x ΠΈ двиТСтся Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΈ ? Π”Π°. Π­Ρ‚ΠΎ происходит ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ наш Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ . ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π² нашС ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ максимум Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ .

Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ошибкС

НайдитС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ x максимума  за ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Β .

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

2

-2

6

0

5

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

2

ОбъяснСниС:

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ:

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΠΉΡ‚Π΅ Π΅Π΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:

Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ -1 ΠΈ 2 ΠΊΠ°ΠΊ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ вашими ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. . ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΈΠ· этих критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ β€” ваш максимум. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° x Ρ€Π°Π²Π½Π° 2,9.0005

Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ошибкС

НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ функция достигаСт своСго локального максимума.

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ОбъяснСниС:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимум, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

И ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ критичСскими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ для этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎΠΉ способ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ β€” ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ значСния критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² исходноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠΈ

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3, Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ функция достигаСт максимума, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0.

Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ошибкС

Π£Π²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ± авторских ΠΏΡ€Π°Π²Π°Ρ…

ВсС рСсурсы AP Calculus AB

3 ДиагностичСскиС тСсты 164 практичСских тСста Вопрос дня ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π½Π° Concept

MAX IF Π² Excel | Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ МАКБ.

Π•Π‘Π›Π˜ Π² Excel для поиска ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° МАКБ. Π•Π‘Π›Π˜ прСдставляСт собой ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Excel (функция МАКБ ΠΈ Π•Π‘Π›Π˜), которая опрСдСляСт максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· всСх Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ², ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… логичСскому тСсту. MAX IF ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² качСствС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ массива, Π³Π΄Π΅ логичСский тСст ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ нСсколько Ρ€Π°Π· Π² Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ….

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ совмСстного использования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ МАКБ Π•Π‘Π›Π˜ выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

=МАКБ(Π•Π‘Π›Π˜(логичСский тСст,Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅_Ссли _истина,Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅_Ссли_лоТь))

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ это Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° массива, Π΅Π΅ всСгда слСдуСт ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΠΈΠ΅ΠΌ Β«Ctrl+Shift+EnterΒ» ΠΏΡ€ΠΈ запускС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅
  • Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° MAX IF Π² Excel?
    • Как ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ «Макс. Ссли» Π² Excel?
    • ΠœΠ΅Ρ€Ρ‹ прСдостороТности ΠΏΡ€ΠΈ использовании Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ MAX IF
    • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Excel Max IF
    • Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы
    • Π Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ