Наибольшее значение функции как искать: Наибольшее и наименьшее значение функции, формулы и примеры

alexxlab / / Разное

130. Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале

Пусть функция непрерывна в замкнутом интервале и пусть в этом же интервале непрерывна ее первая производная. Необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции на этом интервале.

Для решения задачи недостаточно знать только экстремумы функции, необходимо учитывать и значения функции на краях интервала.

Из рисунка 11.6 видно, что экстремумами функции в интервале будут значения функции в точках и . Но это не наибольшее и наименьшее значения в интервале.

Здесь наибольшим будет значение функции на краю интервала при , , а наименьшим будет значение функции на другом краю интервала при , .

Теорема 1. Если в некотором интервале (конечном или бесконечном) функция непрерывна и имеет только один экстремум, и если это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наименьшим) значением функции на этом интервале (рис. 11.7 а, б).

На рисунке 11.7 а и 11.7 б показаны графики функций, имеющие один экстремум на конечном или бесконечном интервале.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке , то она обязательно имеет на этом интервале наибольшее и наименьшее значения. Эти значения будут или в точках экстремума или на концах интервала.

Наибольшее значение функция принимает на конце интервала , а наименьшее значение – внутри интервала (рис. 11.8 а).

Функция принимает наибольшее значение в точке экстремума , а наименьшее значение в точке экстремума (рис. 11.8 б).

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на интервале , необходимо:

1) найти критические точки функции, которые принадлежат данному интервалу;

2) найти значения функции в критических точках;

3) найти значения функции на краях интервала;

Сравнить полученные результаты и найти наибольшее и наименьшее значения функции на интервале.

Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на интервале .

Решение. Данная функция непрерывна в заданном интервале и имеет первую производную , значит, в этом интервале она имеет наибольшее и наименьшее значения (согласно теореме 2). Найдем эти значения.

1. Критическими точками этой функции будут точки, в которых ее первая производная обращается в нуль . Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: , . В этих точках данная функция имеет экстремумы.

2. Найдем значения функции в критических точках: ; .

3. Найдем значения функции в точках и , т. е. на краях интервала:

4. Сравним полученные значения функции в критических точках и на краях интервала . Получим, что наименьшее значение функция принимает на краю интервала при , а наибольшее значение соответствует критической точке .

Ответ. ; .

Ответьте на вопросы

1. Где может находиться наименьшее или наибольшее значение непрерывной на интервале функции?

2. Если непрерывная функция в точке имеет один min на интервале , то где будет наименьшее значение функции и чему оно будет равно?

3. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале ? Назовите порядок действий.

< Предыдущая   Следующая >

Наибольшее и наименьшее значение функции с примерами решения

Содержание:

  1. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке
  2. Определение максимума
  3. Определение минимума
  4. Первое достаточное условие существования экстремума функции
  5. Второе достаточное условие существования экстремума
  6. Правило для исследования функции на экстремум при помощи первой производной (первый способ)
  7. Правило для исследования функции на экстремум по второй производной (второй способ)
  8. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

По теореме Вейерштрасса непрерывная функция на замкнутом отрезке

[a, b] достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может достичь на одном из концов отрезка или в середине отрезка. Поэтому задачу нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] решают так

1) Находят производную и, приравняв ее к нулю, находят критические точки первого рода.

2) Вычисляют значение функции во всех критических точках, принадлежащих промежутку [a, b], и значения функции на концах отрезка.

3) Среди этих значений выбирают наибольшее и наименьшее значения.

Замечание. Если внутри промежутка функция имеет только одну критическую точку и достигает в ней максимума, то он будет наибольшим значением, а если достигает в ней минимума, то он будет наименьшим значением.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на промежутке [- 2; 1].

Решение. Находим производную  Приравняв производную к нулю, находим критические точки первого рода    

Поскольку точка не входит в данный промежуток, ее не берем в счет. Вычисляем значение функции:

Итак, наибольшее значение функции y = 10 в точке x =–1, а наименьшее значение y = -10 в точке x = 1.

Определение максимума

Говорят, что функция f (х) имеет в точке максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к .

Иначе: функция f (х) имеет максимум при , если

для любых Ах — как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по абсолютной величине.

Определение минимума

Говорят, что функция f (х) имеет в точке минимум, если значение функции в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к .

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Иначе: функция f (х) имеет минимум при х = , если

для любых как положительных, так и отрицательных , достаточно малых по абсолютной величине.

• Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум, а значение функции в этой точке называется экстремальным.

Замечание.

Следует помнить:

1) Максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наименьшим) значением, принимаемым функцией. Вне рассматриваемой окрестности точки функция может принимать большие (меньшие) значения, чем в этой точке. 2) Функция может иметь несколько максимумов и минимумов.

3) Функция, определенная на отрезке, может достигнуть экстремума только во внутренних точках этого отрезка. Необходимое условие экстремума. Если функция f (х) имеет экстремум при , то ее производная в этой точке равна нулю, или со или вовсе не существует.

Из этого следует, что точки экстремума функции следует разыскивать только среди тех, в которых ее первая производная или не существует. Исследование остальных точек отпадает. Точки, в которых первая производная функции равна нулю, бесконечности, а также те, в которых она не существует, но функция сохраняет непрерывность, называются критическими.

Следует уяснить, что указанный признак экстремума является только необходимым, но отнюдь не достаточным: производная функции может быть равна нулю, со или не существовать не только в тех точках, в которых функция достигает экстремума.

Поэтому, определив критические точки, в которых функция может достигать экстремума, надо каждую из точек в отдельности исследовать на основании достаточных условий существования экстремума. Укажем два таких достаточных условия.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Найти первую и вторую производные функции

Найти предел используя правило лопиталя

Найти оптимум функции

Функции многих переменных

Первое достаточное условие существования экстремума функции

Пусть точка х — х0 является критической точкой функции f (х), а сама функция f (х) непрерывна и дифференцируема во всех точках некоторого интервала, содержащего эту точку (за исключением возможно самой этой точки).

Тогда:

1) если при х < х0 производная функции , то при имеет место максимум, т. е. если при переходе слева направо через критическую точку первая производная функции меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума;

2) если при , а при , то при имеет место минимум; иначе: если при переходе слева направо через критическую точку первая производная функции меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция достигает минимума; 3) если же при переходе через критическую точку первая производная функции не меняет знак, то экстремума нет.

Второе достаточное условие существования экстремума

Если в точке первая производная функции f (х) равна нулю: , то при х = х0 имеет место максимум, если , и минимум, если . Если же , то для заключения об экстремуме в этой точке требуется дальнейшее исследование (предполагается, что функция f (х) в окрестности точки имеет непрерывную вторую производную).

Способ, которым функция исследуется на экстремум с помощью первого достаточного условия (по первой производной), мы будем называть первым, а способ исследования функции на экстремум на основании второго достаточного условия (по второй производной) — вторым.

Правило для исследования функции на экстремум при помощи первой производной (первый способ)

Для исследования функции на экстремум по первой производной следует:

  1. Найти f (х) — первую производную функции.
  2. Решить уравнение f(x) = 0, а также определить те значения х, при которых или не существует (короче: найти критические точки функции f(x)). Пусть этими точками будут точки с абсциссами которые находятся в интервале (а, Ь).
  3. Все критические точки расположить в порядке возрастания их абсцисс в интервале (а, Ь).
  4. Внутри каждого из интервалов взять любую точку и установить в этой точке знак первой производной функции (производная сохраняет знак в каждом интервале между двумя соседними критическими точками).
  5. Рассмотреть знаки в двух соседних интервалах, переходя последовательно слева направо от первого интервала к последнему. Если при таком переходе знаки в двух соседних интервалах различны, то экстремум в критической точке есть: максимум будет, если знак поменяется с + на —, а минимум, если он поменяется с — на + Если же в двух соседних интервалах имеет место сохранение знака первой производной, то экстремума в рассматриваемой критической точке нет.
  6. Найти значения функции в точках, где она достигает экстремума (экстремальные значения функции).

 

Правило для исследования функции на экстремум по второй производной (второй способ)

Для того чтобы исследовать функцию на экстремум по второй производной, следует:

  1. Найти — первую производную функции.
  2. Решить уравнение
  3. Исследовать знак — второй производной функции — в каждой точке, найденной в п. 2. Если окажется, что в рассматриваемой точке , то в этой точке будет минимум, а если , то в ней будет максимум. Если же окажется, что в рассматриваемой точке , то исследование надлежит провести по первому правилу.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает наибольшее и наименьшее значения. Этих значений функция достигает или в критических точках, или на концах отрезка [а, Ь]. Поэтому, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, надо: 1) определить критическое точки функции; 2) вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка [а, Ь\; 3) наибольшее из значений, найденных в п. 2, будет наибольшим, а наименьшее — наименьшим значением функции на отрезке .

Примеры с решением

Задача 32,1.

Найти экстремум функции, а также определить ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

Решение:

Проведем решение сначала по первому правилу, а потом по второму. Областью существования функции является весь бесконечный интервал .

1. Находим, что 2. Решаем уравнение т. е. уравнение

Разлагаем левую часть уравнения на множители:

откуда Производная конечна при любом х (говорят в этом случае, что производная конечна всюду). Поэтому критическими точками будут только найденные из (32,2). 3. Располагаем критические точки в порядке возрастания абсцисс: —1; 0; 3.

4. Рассмотрим интервалы

Выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак первой производной по выражению (32,1). В интервале возьмем, например, точку в интервале (—1,0) возьмем точку в интервале (0,3) возьмем точку х = 1 и вычислим в ней в интервале возьмем точку (вместо этих точек читатель может в каждом из интервалов (32,3) взять любые другие). Таким образом, в интервалах (32,3) первая производная имеет такую последовательность знаков:

и мы приходим к заключению, что в критической точке х — —1 имеет место минимум, в критической точке х = 0 — максимум; а в критической точке х = 3 — минимум. Найдем теперь экстремальные значения функции

Эскиз графика представлен на фиг. 32,1.

Теперь проведем решение по второму правилу, т. е. исследуем функцию на экстремум с помощью второй производной.

У нас критические точки уже определены: и . Найдем вторую производную функции. Дифференцируя первую производную, получаем , и согласно второму правилу определяем знак второй производной в каждой критической точке:

функция имеет минимум, функция имеет максимум,

функция имеет минимум.

  • Читатель должен отметить, что исследование, проведенное по второму способу, было значительно проще. Однако от исследования функции на экстремум по первому правилу при помощи первой производной отказываться не следует, так как может оказаться, что в критической точке вторая производная окажется равной нулю, а в этом случае нельзя сделать никакого заключения о наличии экстремума.

Поэтому упражнения в нахождении экстремума функции по первой производной необходимы. Теперь ответим на второй вопрос задачи; определим наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [—2,41. Этот отрезок содержит внутри себя все критические точки. Так как значения функции в критических точках мы уже вычислили (32,4), то нам осталось вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. .

Сравнивая эти значения со значениями (32,4) функции в критических точках, мы видим, что наибольшим из них является , а наименьшим , т. е. наибольшего значения функция достигает на левом конце отрезка при х = —2, а наименьшего — в критической точке х = 3. Решим подробно еще одну аналогическую задачу.

Задача 32,2.

Определить экстремум функции и найти ее наименьшее и наибольшее значение на отрезке [2.5].

Решение:

Сначала решим задачу по первому способу, а потом— по второму. Областью существования функции является весь бесконечный интервал Находим первую производную функции: . Решим уравнение . Это уравнение имеет только один корень х = 1. Производная конечна при любом значении х, а потому х = 1 является единственной критической точкой.

Рассмотрим интервалы

Внутри каждого из этих интервалов выберем произвольную точку и определим в ней знак первой производной. Например, в первом интервале возьмем точку х — 0, во втором х = 2.

(читатель вместо этих точек может в каждом из этих интервалов взять любые другие).

Таким образом, в интервалах имеет место такая последовательность знаков первой производной: +, + Из этого мы заключаем, что первая производная знака не поменяла, а потому в точке х = 1 экстремума нет.

Если первую производную записать в виде то можно сразу заключить, что она положительна при любом значении , а потому рассматриваемая функция возрастает на всем бесконечном интервале . Эскиз графика представлен на фиг. 32,2.

Покажем, что по второму правилу с помощью второй производной исследование провести нельзя. Действительно, , и в критической точке х= 1 имеем, что . Таким образом, исследование следует вести по первому правилу, а на основании его мы уже заключили, что экстремума нет.

Теперь ответим на второй вопрос задачи. Так как отрезок [2.5] не содержит критической точки, то для определения наименьшего и наибольшего значения функции на этом отрезке следует определить только значения ее на концах отрезка: Наименьшего значения на отрезке [2.5] функция достигает на левом конце при х = 2, и это наименьшее значение . Наибольшего значения функция достигает при х = 5 — на правом конце отрезка; это значение f (5) = 67.

Задача 32,3

(для самостоятельного рошения). Найти сначала по первому, а потом по второму правилу экстремум функции а также наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [—5,2].

Решение:

Уравнение имеет корни:

Эги корни могут быть легко найдены на основании следствия теоремы Безу, известной из алгебры. Можно также уравнение представить в виде а тогда его левая часть равна

Ответ. При х = —4 минимум;

максимум; при х = 3 —минимум; ; на отрезке [—5,2]: т. e. функция достигает наибольшего значения в критической точке х = 2, которая является правым концом отрезка, а наименьшего значения — в критической точке х = —4 внутри рассматриваемого отрезка (в этой точке функция достигает также и минимума).

Задача 32,4

(для самостоятельного решения). Найти сначала по первому правилу, а потом по второму экстремум функции

Решение:

Уравнение может быть переписано так: или . Корни этого уравнения:

Ответ. При х=1— минимум; (1) = 3; при х = 2—максимум; f (2) = 4; при х = 3 — минимум; /(3) = 3 (см. фиг. 32,3).

Задача 32,5.

Исследовать на экстремум функцию а также найти ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке [—3,1|.

Решение:

Область существования — бесконечный интервал . Первая производная Для определения критических точек решаем уравнение

Перепишем его в виде , откуда . точки:

Применим первое правило. Критические точки разбивают область существования функции на интервалы: В каждом из этих интервалов первая производная сохраняет знак Поэтому для исследования в них знака первой производной можно в каждом интервале выбрать произвольную точку. В первом интервале возьмем точку во втором интервале возьмем точку ; в третьем интервале выберем точку ; в четвертом интервале — точку

Последовательность знаков первой производной в рассмотренных интервалах запишется так:

Следовательно, при х = —4 имеем минимум, при х = —2 — максимум и , а при х = 0 — минимум, причем . Эскиз графика представлен нафиг. 32,4. Вторым способом задачу решите самостоятельно.

Найдем теперь наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [—3,1]. На этом отрезке имеются две критические точки: .

Для решения вопроса о наибольшем и наименьшем значении в нем функции надо еще

рассмотреть значения функции на концах отрезка: и . Подсчет показывает, что Сравнивая эти значения функции с ее значениями в критических точках, приходим к заключению, что наименьшее значение функции в точке х = 0, и оно равно 0, а наибольшее значение функция имеет на правом конце рассматриваемого отрезка в точке х — 1, и оно равно 25.

Задача 32,6

(для самостоятельного решения). Исследовать на экстремум по второму правилу функцию Начертить эскиз графика функции.

Решение:

Критические точки: —/Минимум; при — максимум; при — минимум.

Задача 32,7

(для самостоятельного решения). По второму правилу исследовать на экстремум функцию

Решение:

Критические точки: максимум, при х = 3 — минимум;

Задача 32,8.

Исследовать на экстремум функцию

Решение:

Функция определена при всех значениях х. Проведем решение по первому и второму правилам. Начнем с определения первой производной:

Так как производная имеет конечное значение при любом х, то критическими точками будут только те, в которых первая производная равна нулю. Решая уравнение -находим критические точки:

Эти точки разбивают интервал , в котором существует заданная функция, на интервалы. Теперь мы должны исследовать знак первой производной в каждом из этих интервалов. Учитывая, что в каждом из этих интервалов первая производная сохраняет знак, мы можем в каждом из них рассмотреть любую точку. Возьмем в первом интервале . Во втором интервале берем В третьем интервале берем

В четвертом интервале возьмем (вместо этих точек читатель может в каждом из этих интервалов взять любые другие). Последовательность знаков первой- производной будет такой: Из рассмотрения этой последовательности знаков заключаем, что в точке —максимум, а в точке — минимум, в точке к = 1 экстремума нет: ; в интервале

функция возрастает, так как ее первая производная в этом интервале положительна (эскиз графика представлен на фиг. 32,5). Теперь решим эту же задачу по второму правилу. Находим. что

Поскольку нас интересует только знак второй производной в критических точках, то нет надобности упрощать это выражение). Подставляя в это выражение критические значения х, получим:

. Значит, при х — функция имеет максимум; . Это означает, что при минимум; . Для заключения о поведении функции в этой точке надо прибегнуть к исследованию по первой производной (оно уже было проведено выше: в этой точке экстремума нет).

Как найти максимальные значения

Все ресурсы AP Расчет AB

3 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

AP Calculus AB Справка » Как найти максимальные значения

Каков локальный максимум  когда ?

Возможные ответы:

Локального максимума нет.

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы найти максимум, нам нужно посмотреть на первую производную.

Чтобы найти первую производную, мы можем использовать правило степени. Для этого мы уменьшаем показатель степени переменных на единицу и умножаем на исходный показатель степени.

Мы будем считать, что все в нулевой степени равно единице.

Обратите внимание, что, поскольку любое произведение, умноженное на ноль, равно нулю.

Глядя на первую производную, помните, что если результат этого уравнения положительный, исходная функция возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает.

Обратите внимание, что меняется с положительного на отрицательное, когда .

Мы можем найти этот корень, используя квадратное уравнение: 

Поскольку мы ищем отрицательное значение, мы вычтем.

Таким образом, максимальное значение равно .

Сообщить об ошибке

Каков локальный максимум между и ?

Возможные ответы:

Между этими двумя точками нет максимума.

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти максимум, мы должны найти, где график смещается от возрастания к убыванию. Чтобы узнать скорость, с которой график смещается с увеличения на уменьшение, мы смотрим на вторую производную и видим, когда значение меняется с положительного на отрицательное.

Другими словами, мы посмотрим на вторую производную и увидим, где (если вообще) график пересекает ось x и движется от положительного значения y к отрицательному значению y.

Теперь надо найти вторую производную. К сожалению, производные триггерных функций нужно запоминать. Первая производная:

.

Чтобы найти вторую производную, мы берем производную нашего результата.

.

Следовательно, вторая производная будет .

Пересекает ли наше новое уравнение ось x и движется ли оно от положительного к отрицательному между и ? Да. Это происходит один раз, когда . Поэтому наш локальный максимум будет при . Подставьте это значение обратно в наше первое уравнение, чтобы найти, что максимум будет в точке .

Сообщить об ошибке

Найдите координату x максимума  за интервал .

Возможные ответы:

2

-2

6

0

5

Правильный ответ:

2

Объяснение:

Сначала найдите производную, а именно:

 

Приравняйте ее к нулю, чтобы получить критические точки:

Вы также должны принять во внимание -1 и 2 как критические точки, поскольку они являются вашими конечными точками. . Оцените каждую из этих критических точек в исходной функции:

Максимум — ваш максимум. Координата x равна 2,9.0005

Сообщить об ошибке

Найдите значение, при котором функция достигает своего локального максимума.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти максимум, нам нужно найти критические точки. Для этого нужно найти производную функции.

И мы видим, что и являются критическими точками для этой функции.

Простой способ узнать, что является максимальным, а какое — минимальным, состоит в том, чтобы подставить значения критических точек в исходное уравнение.

и

Следовательно, максимальное значение равно 3, а значение, при котором функция достигает максимума, равно 0.

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы AP Calculus AB

3 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Учитесь на Concept

MAX IF в Excel | Используйте формулу МАКС.

ЕСЛИ в Excel для поиска максимальных значений

Формула МАКС. ЕСЛИ представляет собой комбинацию двух функций Excel (функция МАКС и ЕСЛИ), которая определяет максимальное значение из всех результатов, соответствующих логическому тесту. MAX IF используется в качестве формулы массива, где логический тест может выполняться несколько раз в наборе данных.

Метод совместного использования функции МАКС ЕСЛИ выглядит следующим образом:

=МАКС(ЕСЛИ(логический тест,значение_если _истина,значение_если_ложь))

Поскольку это формула массива, ее всегда следует использовать нажатием «Ctrl+Shift+Enter» при запуске формулы.

Содержание
  • Что такое формула MAX IF в Excel?
    • Как использовать формулу «Макс. если» в Excel?
    • Меры предосторожности при использовании формулы MAX IF
    • Применение формулы Excel Max IF
    • Часто задаваемые вопросы
    • Рекомендуемые статьи