Наименьшее общее кратное чисел 12 и 15: Найдите НОК (12:15) — ответ на Uchi.ru

alexxlab / / Разное
2

Содержание

Наименьшее общее кратное / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Обыкновенные дроби
  5. Наименьшее общее кратное

Задача:

Петя строит железную дорогу из частей, длина которых 4 см, а Сережа, из частей длина которых 6 см. Какую наименьшую протяженность дорожного полотна построят мальчики равной длины?

Решение:

Длина дороги, построенной мальчиками, должна делиться нацело на 4 и 6, так как части, из которых строят дорогу Петя и Сережа равны 4 см и 6 см соответственно, то есть длина построенной железной дороги должна быть кратной и 4, и 6.

Числа кратные 4:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60…

Числа кратные 6:

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…

То есть общими кратными чисел 4 и 6 являются числа (выделено синим):

12, 24, 36, 48, 60.

..

Но наименьшим из них является 12. Это число называется наименьшим общим кратным.

То есть наименьшая протяженность дорожного полотна равной длины у Пети и Сережи 12 см.

Наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каждое из двух данных натуральных чисел, то есть кратно каждому из них, называют наименьшим общим кратным этих чисел.

Наименьшее общее кратное чисел и обозначают так: НОК(; ), то есть мы можем записать НОК(4; 6) = 12.

Нахождение наименьшего общего кратного:

1 способ:

Найдем НОК(12; 15).

Выбираем наибольшее из двух чисел, в нашем случае это число 15, и записываем числа кратные ему, до тех пор, пока не получим число, которое будет кратно второму числу, в нашем случае числу 12.

Получаем: 15, 30, 45, 60.

Число 60 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 15, то есть НОК(12; 15) = 60.

2 способ:

Разложим данные числа на простые множители:

12 = 223          15 = 35.

Далее для выписываем простые множители, которые входят в разложение первого числа, и добавляем множители из разложения второго числа, которых нет в разложении первого, то есть в нашем случае, это множитель 5.

Итак, мы получим 4 множителя 2235, произведение данных множителей равно числу 60, которое является наименьшим общим кратным чисел 12 и 15, то есть мы снова получили НОК(12; 15) = 60.

Таким же образом можно найти НОК трех и более чисел.

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо:

  1. разложить их на простые множители;
  2. выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
  3. добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
  4. найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.

3 способ:

Найдем НОК(2520; 4620). Для это разложим данные числа на простые множители и запишем разложение в виде произведения степеней:

                                               

2 520 = 23325171                            4 620 = 22315171111.

Далее используем правило:

  1. Выбрать степени, основания которых встречаются
    только в одном     из разложений.
  2. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степень с бóльшим показателем.
  3. Перемножить выбранные степени. Полученное произведение является искомым наименьшим общим кратным.

В нашем случае:

  1. Встречается только в одном разложении: 111.
  2. Степени с бóльшими показателями: 23, 32, 51, 71.
  3. Находим произведение данных степеней, то есть искомый наименьшее общее кратное:  НОК(2520; 4620) = 2332517111 = 27 720.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наибольший общий делитель

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 167, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 172, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 175, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 242, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 359, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 372, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 525, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 185, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 203, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1473, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 45, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 46, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 47, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 48, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 349, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 529, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 562, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 670, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 692, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 693, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Как найти общее кратное чисел » задачи

НОД и НОК »

  • НАЙТИ НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ ЧИСЕЛ 44 И 24.
    ПОДРОБНО.
    Решение: Число должно делиться без остатка и на 44, и на 24, т. е. оно должно быть кратным и 44 и 24. Выпишем числа, кратные 44. Получим:
    88, 150, 132, 176, 220, 264, 308,352,396
    Затем выпишем числа, кратные 24. Получим:
    48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216,240, 264, 288,
    Общими кратными чисел 44 и 24 будет число 264. Наименьшим из них является 264. Это число называют наименьшим общим кратным чисел 44 и 24.
  • Найти наименьшее общее кратное чисел 12 и 15.

    Решение: Что бы найти НОК надо:
    1. разложить числа на простые множители
    2. Написать разложение одного числа (лучше наибольшее)
    3. Дополнить его теми множетялими из разложения другого числа, которых нет в написанном разложении
    4. вычислить полученное произведение
    Это число и будит НОК данных чисел.
    12|2. 15|3
    6| 2 5|5
    3 | 3. 1|
    1 |
    НОК (12и15)=3×5×2×2=60

    12:2=6:2=3:3=1
    15:3=5:5=1
    общее число на которое делим 3-это и есть наименьшее общее кратное

  • Найти наименьшее общее кратное чисел: 1) 12 и 15; 2)16 и 32; 3)8 и 15.

    Решение: 1) НОК(12;15)=60 2) НОК(16;32)=32 3) НОК(8;15)=120

    1) разложим числа на простые множители
    12=4*3=2*2*3
    15=3*5 = 3*5 
    к большему числу добавим недостающие множители
    НОК (12,15)= 15 * 2*2 = 60
    2) 
    16=2*8 = 2*2*2*2
    32=4*8= 2*2*2*2*2
    НОК (16,32) = 32
    3) 
    8=2*4=2*2*2
    15=3*5
    НОК = 15*8 = 120

  • Найти наименьшее общее кратное чисел 144и125

    Решение: 144 : 2 = 72 125 : 5 = 25
    72 : 2 = 36 25 : 5 = 5  
    36 : 2 = 18 5 : 5 = 1
    18 : 2 = 9 125 = 5 * 5 * 5
    9 : 3 = 3
    3 : 3 = 1
    144 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3
    НОК (144 и 125) = 144 * 125 = 18 000 — наименьшее общее кратное
    Числа 144 и 125 — взаимно простые, так как у них нет общих делителей, кроме единицы.
  • Математика 6 класс найти наименьшее общее кратное чисел 7875 и 4725

    Решение: 7875 : 3 = 2625 4725 : 3 = 1575
    2625 : 3 = 875 1575 : 3 = 525
    875 : 5 = 175 525 : 3 = 175
    175 : 5 = 25 175 : 5 = 35 
    35 : 5 = 7 35 : 5 = 7
    7 : 7 = 1 7 : 7 = 1
    7875 = 3 * 3 * 5 * 5 * 5 * 7 4725 = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7
    НОК (7875 и 4725) = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 * 7 = 23 625 — наименьшее общее кратное
    23 625 : 7 875 = 3 23 625 : 4 725 = 5
  • найти НОК (Наименьшее Общее Кратное) у чисел 105, 95, 63.
    И нужно не только НОК, но и как его вычислили.
    Решение: 105 5  95 5                        63 3                 нок(105,95,63)=1
    21 3  19 19 21 3
    7 7             1                            7 7
    1                                             1                    

    105 = 3 · 5 · 7
    95 = 5 · 19
    63 = 3 · 3 · 7
    Наименьшее общее кратное = 3 · 3 · 5 · 7 · 19 = 5985

  • 1) как начинается ряд чисел кратных числу 5? Какое число стоит в этом ряду на двенадцатом месте? на сотом месте?

    2) Назовите несколько общих кратных чисел 5 и 4 расскажите, как можно найти их наименьшее общее кратное.
    Решение: 1. Разложить числа на простые множители.2. Выписать простые множители которые входят в состав одного из них.3. Добавить к этим множителям все те, которые есть в разложении остальных, но нет в выбранном.4. Найти произведение всех выписанных сомножителей. Данный способ универсален. С его помощью можно найти наименьшее общее кратное любого количества натуральных чисел.  

    5
    60
    500
    20, 40.60
    а чтоб найти нок надо разложить на простые множители ( там долго объяснять помотри в интернете

  • Найти наибольший делитель и наименьшее общее кратное чисел 10 и 15, 19 и 57.

    Решение: НОК 10 и 15:

    10 = 5 * 2  

    15 = 5 * 3

    Общее зачеркиваем и пишем один раз и на все остальные умножаем В данный момент это 5. Значит:

    5 * 2 * 3 = 30

    Выводится что НОК 10 и 15 является 30

    НОД 10 и 15:

    10 = 5 * 2

    15 = 5 * 3

    Общее пишем один раз, но на остальные не умножаем. Здесь это 5. Значит НОД чисел 15 и 10 будет 5.

    НОК 19 и 57

    19 — это простое число

    57 = 3 * 19

    Здесь:

    19 * 3 = 57

    Значит НОК для чисел 19 и 57 будет 57

    НОД 19 и 57

    19 простое число

    57 = 3 * 19

    А здесь получается просто 19, значит для чисел 19 и 57 НОД это 19

  • Надо найти общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 30 и 45.

    Решение: 1. Раскладываем числа на простые множители
    30=2*3*5
    45=3*3*5
    2. Сравниваем множители
    3*5 одинаковые, а 2 и 3 отличаются
    3. Берём большее число, это 45=3*3*5
    4. Смотрим, какого множителя, который есть в 30 не хватает.
    Не хватает 2.
    5. Умножаем 45 на 2
    45*2=90 это и есть наименьшее общее кратное
    НОК(30;45)=90
    90:30=3
    90:45=2
    6. Находим НОД, наибольший общий делитель
    30=2*3*5
    45=3*3*5 
    Это 3*5=15 это и есть НОД.
    НОД(30;45)=15
    30:15=2
    45:15=3
  • Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 18и36 и зз и44


    Решение:
    Общий делитель нескольких чисел – это число, которое является делителем для каждого из этих чисел. Например, общими делителями чисел 24, 30 и 18 являются числа 2, 3 и 6.
    Наибольший общий делитель (обозначается НОД) – это наибольшее число из общих делителей. Например, НОД (24, 30,18) = 6.
    Общее кратное нескольких чисел – это число, которое является кратным каждому из этих чисел. Например, для чисел 3 и 6 общими кратными являются 12, 24, 36 и т. д.
    Наименьшее общее кратное (обозначается НОК) – это наименьшее из общих кратных. Наименьшее общее кратное чисел (НОК) – это такое минимальное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.
    Например, НОК (3,6) = 6, НОК (24,30,18) = 360.
    НОД и НОК можно найти, применяя разложение чисел на простые множители.
    Для НОД нужно выписать все множители, которые входят в разложения данных чисел. Затем каждый такой множитель следует взять с наименьшим показателем, с которым он входит во все данные числа, после чего нужно произвести умножение.
    Например,
    24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3.
    30 = 2 · 3 · 5
    18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32
    В нашем примере множители, которые входят в разложение каждого числа – это 2 и 3. Их минимальная степень – это единица.
    Тогда НОД (24,30,18) = 2 · 3 = 6.
    Если НОД (a, b) = 1, то числа a и b называют взаимно простыми. Например, числа 15 и 8 являются взаимно простыми, хотя каждое из них – составное.
    Для определения НОК нужно выписать все множители, которые встречаются хотя бы в одном из разложений данных чисел. Затем каждый такой множитель следует взять с наибольшим показателем, с которым он входит в одно из чисел, после чего нужно произвести умножение.
    Например,
    24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3.
    30 = 2 · 3 · 5
    18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32
    В нашем примере множители, которые входят в разложение каждого числа – это 2, 3 и 5. Их максимальные степени – это соответственно 3,2 и 1.
    Тогда НОК (24,30,18) = 23 · 32 · 5 = 360.

    18 2 36 2  НОД=2*3*3*2*3*3=324
    9 3 18 3
    3 3 6 3
    1  3 3 

12 3 > >>

Онлайн урок: Наименьшее общее кратное по предмету Математика 6 класс

Мы узнаем, что такое кратные числа, познакомимся с историей этого понятия и научимся находить одно и то же кратное различных чисел.

Если первое натуральное число делится на второе нацело, то второе называют делителем первого числа.

 

Пример

1) найти 10 кратных чисел для

3 и 5

2) из них найти общие кратные

3) наименьшее общее кратное чисел 3 и 5

Решение:

1. Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,30.

Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

2. Общие кратные 3 и 5: 15, 30. На самом деле общих кратных будет больше, но в нашем примере было ограничение в 10 кратных чисел.

3. Из 15 и 30 меньшим будет первое. Значит, оно и будет тем, что нам требуется.

Наименьшее натуральное число, кратное каждому из взятых в отдельности, будет наименьшим общим кратным всех взятых чисел вместе.

Наименьшее общее кратное чисел x и y обозначают НОК (x, y)

 

Как же можно найти этот НОК?

I способ: начинаем перебирать кратные у самого большого из взятых чисел.

  1. Найдем НОК чисел 12 и 18. Самое большое из них — это число 18
  2. Посчитаем числа, кратные 18: 18, 36, 54, 72, 90…
  3. Посчитаем числа, кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84…
  4. Среди них находим наименьшее число, которое  делится нацело на оба эти числа, — 36. Значит оно является НОК 12 и 18

НОК (12, 18)=36

 

II способ: расписываем числа в виде разложения на простые множители.

  1. Распишем все данные нам числа в виде разложения на простые множители
  2. Выпишем разложение одного из чисел (лучше сразу взять разложение наибольшего из них)
  3. Дополним в эту запись множители, которые входят в разложения других чисел, но которых нет в данном
  4. Перемножим то, что получилось, и запишем результат

Например:

$$\mathbf{20 = 2\cdot2\cdot5}$$

$$\mathbf{15 = 3\cdot5}$$

В этих разложениях встречаются числа 3, 5, 2, 2

Поэтому, \(\mathbf{НОК (20, 15) = 2\cdot2\cdot3\cdot5 = 60}\)

 

Пример 1

Запишите НОК чисел a и b в виде разложения на множители, если:

А) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot3\cdot3, b = 2\cdot2\cdot3\cdot7}\)

Б) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot3, b = 2\cdot37}\)

В) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot163, b = 2\cdot2\cdot17}\)

Г) \(\mathbf{a = 2\cdot43, b =2\cdot5\cdot5\cdot7}\)

Д) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5, b = 2\cdot2\cdot2\cdot5}\)

Е) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot2\cdot2, b = 2\cdot2\cdot3\cdot5}\)

Решение:

А) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot3\cdot3, 2\cdot2\cdot3\cdot7) = 2\cdot2\cdot3\cdot7\cdot3 = 252}\)

Б) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot3, 2\cdot37) = 2\cdot37\cdot2\cdot3 = 444}\)

В) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot163, 2\cdot2\cdot17) = 2\cdot2\cdot163\cdot17 = 11084}\)

Г) \(\mathbf{НОК (2\cdot43, 2\cdot5\cdot5\cdot7) = 2\cdot5\cdot5\cdot7\cdot43 = 15050}\)

Д) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5, 2\cdot2\cdot2\cdot5) = 2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot2 = 1800}\)

Е) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot2\cdot2, 2\cdot2\cdot3\cdot5) = 2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot2\cdot2 = 240}\)

 

Пример 2

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

А) 15 и 25

Б) 10 и 6

В) 100 и 84

Г) 36 и 69

Д) 74 и 12

Е) 96 и 50

Решение:

А)

\(\mathbf{15 = 3\cdot5}\)

\(\mathbf{25 = 5\cdot5}\)

\(\mathbf{НОК (15; 25) = 5\cdot5\cdot3 = 75}\)

Б)

\(\mathbf{10 = 2\cdot5}\)

\(\mathbf{6 = 2\cdot3}\)

\(\mathbf{НОК (10; 6) = 2\cdot5\cdot3 = 30}\)

В)

\(\mathbf{100 = 2\cdot2\cdot5\cdot5}\)

\(\mathbf{84 = 2\cdot2\cdot3\cdot7}\)

\(\mathbf{НОК (100; 84) = 2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot3\cdot7 = 2100}\)

Г)

\(\mathbf{36 = 2\cdot2\cdot3\cdot3}\)

\(\mathbf{69 = 3\cdot23}\)

\(\mathbf{НОК (36; 69) = 3\cdot23\cdot2\cdot2\cdot3 = 828}\)

Д)

\(\mathbf{74 = 2\cdot37}\)

\(\mathbf{12 = 2\cdot2\cdot3}\)

\(\mathbf{НОК (74; 12) = 2\cdot37\cdot2\cdot3 = 444}\)

Е)

\(\mathbf{96 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3}\)

\(\mathbf{50 = 2\cdot5\cdot5}\)

\(\mathbf{НОК (96; 50) = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5 = 2400}\)

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть