Наименьшее значение найти: Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Содержание

Наименьшее значение функции по графику производной

Рассмотрим примеры, в которых дан график производной и требуется определить, в какой точке данного отрезка функция принимает наименьшее значение.

№1

На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-10;8). В какой точке отрезка [-8;-1] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Решение:

Выделяем отрезок [-8;-1].

На этом отрезке производная f'(x) принимает положительные значения.

Значит, на [-8;-1] функция f(x) возрастает, то есть бо́льшему значению аргумента соответствует бо́льшее значение функции:

x₁,x₂ ∈[-8;-1], x₂>x₁, ⇒ f(x₂)>f(x₁).

Следовательно, наименьшее значение f(x) принимает при наименьшем значении аргумента, то есть на левом конце отрезка, при x=-8.

Ответ: -8.

№2

На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-6;8).

В какой точке отрезка [-3;6] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Решение:

Выделяем отрезок [-3;6].

На этом отрезке f'(x)<0, поэтому f(x) убывает, то есть бо́льшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:

x₁,x₂ ∈[-3;6], x₂>x₁, ⇒ f(x₂)<f(x₁).

Поэтому наименьшее значение функция f(x) в этом случае принимает при наибольшем значении аргумента, то есть на правом конце отрезка, при x=6.

Ответ: 6.

№3

Функция y=f(x) определена на промежутке (-9;6). На рисунке изображён график её производной. Найти абсциссу точки, в которой функция y=f(x) принимает наименьшее значение.

Решение:

В точке с абсциссой x=2 производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, x=2 — точка минимума.

Производная f'(x) существует на всём интервале (-9;6), следовательно, функция f(x) на (-9;6) непрерывна.

Если непрерывная функция f(x) имеет на заданном интервале (a;b) только одну точку экстремума x_o и это точка минимума, то на (a;b) функция принимает своё наименьшее значение в точке x_o.

Таким образом, наименьшее значение функция f(x) принимает в точке с абсциссой x=2.

Ответ: 2.

№4

Функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [-4;9]. На рисунке изображён график её производной. Найти точку x_o, в которой функция принимает наименьшее значение, если f(9)≤f(-4).

Решение:

На промежутках (-4;-3) и (2;9) производная f'(x) принимает положительные значения, поэтому функция f(x) на этих промежутках возрастает.

На промежутке (-3;2) производная f'(x)<0, поэтому функция f(x) убывает.

Так как функция определена и непрерывна на отрезке [-4;9], то точки -4, -3, 2 и 9 можно включить в промежутки монотонности.

Следовательно, функция f(x) возрастает на промежутках [-4;-3] и [2;9] и убывает на [-3;2].

На промежутках возрастания своё наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка. На отрезке [2;9] наименьшее значение f(x) принимает в точке x=2 (точке минимума), на [-4;-3] — в точке x=-4.

Так как на [2;9] функция f(x) возрастает, то f(2)<f(9).

По условию, f(9)≤f(-4). Значит, f(2)<f(-4).

Таким образом, наименьшее значение функция f(x) принимает в точке x=2.

Ответ: 2.

Поиск наименьшего или наибольшего числа в диапазоне

Excel для Microsoft 365 Excel 2021 Excel 2019 Excel 2016 Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Еще…Меньше

Предположим, вы хотите узнать, у кого самый маленький показатель погрешности в производственной цехе или самая большая заработная плата в вашем отделе. Существует несколько способов вычисления наименьшего или наибольшего числа в диапазоне.

Если ячейки находятся в соединимой строке или столбце

Вы можете выбрать ячейку снизу или справа от чисел, для которых нужно найти наименьшее число.
На вкладке Главная в группе Редактирование щелкните стрелку рядом с кнопкой , выберите min (вычисляет наименьшее) или Max (вычисляет наибольшее) и нажмите клавишу ВВОД.

Если ячейки не находятся в подрядной строке или столбце

Для этого используйте функции МИН, МАКС, МАЛЫЙ или БОЛЬШОЙ.

Пример

Скопируйте следующие данные на пустой лист.


1
2
3
4
5
6
7

A
Данные
10
7
9
27
0
4
Формула	Описание (результат)
=МИН(A2:A7)	Наименьшее число в диапазоне (0)
=МАКС(A2:A7)	Наибольшее число в диапазоне (27)
=МАЛЫЙ(A2:A7; 2)	Второе наименьшее число в диапазоне (4)
=БОЛЬШОЙ(A2:A7;3)	Третье по величине число в диапазоне (9)

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

См. также

НАИБОЛЬШИЙ

MAX

MIN

НАИМЕНЬШИЙ

Функция БОЛЬШОЙ

Excel

Формулы и функции

Дополнительные функции

Функция БОЛЬШОЙ

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Дополнительно… Меньше

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции НАИБОЛЬШИЙ в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает k-е наибольшее значение в наборе данных.

Вы можете использовать эту функцию для выбора значения на основе его относительного положения. Например, вы можете использовать НАИБОЛЬШИЙ, чтобы вернуть наивысшее, второе или третье место.

Синтаксис

НАИБОЛЬШИЙ(массив, к)

Синтаксис функции НАИБОЛЬШИЙ имеет следующие аргументы:

Замечания

Если массив пуст, функция НАИБОЛЬШИЙ возвращает #ЧИСЛО! значение ошибки.
Если k ≤ 0 или если k больше числа точек данных, функция НАИБОЛЬШИЙ возвращает ошибку #ЧИСЛО! значение ошибки.

Если n — количество точек данных в диапазоне, то НАИБОЛЬШИЙ(массив,1) возвращает наибольшее значение, а НАИБОЛЬШИЙ(массив,n) возвращает наименьшее значение.