Найдите область определения функции y 4 x: Mathway | Популярные задачи

36Risolvere per ?cos(x)=1/27Risolvere per xsin(x)=-1/28Преобразовать из градусов в радианы2259Risolvere per ?cos(x)=( квадратный корень из 2)/210Risolvere per xcos(x)=( квадратный корень из 3)/211Risolvere per xsin(x)=( квадратный корень из 3)/212Графикg(x)=3/4* корень пятой степени из x 13Найти центр и радиусx^2+y^2=914Преобразовать из градусов в радианы120 град. 2-4x/2-x

Лучший ответ по мнению автора

09. 05.18 Лучший ответ по мнению автора

Другие ответы

как должно выглядит сама функция? 09. 2 больше равно 3x. Если корень стоит на всей функции 09.05.18

Михаил Александров Читать ответы

Андрей Андреевич Читать ответы

Eleonora Gabrielyan Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

Похожие вопросы

Решено

К окружности с центром О проведена касательная AB (А — точка касания).

Найдите радиус окружности, если OB = 10 см и угол ABO = 30 градусам.

Билеты по геометрии 7 класс Билет №1. 1. Точки. Прямые. Отрезки. 2. Сформулировать и доказать теорему, выражающую третий признак равенства

Напишите сочинение на тему«Когда моя мама(сестра, со сед, дедушка и т. д.) училась в школе(начинала работать, воевала, путешествовала, отдыхала в горах и т.п.)». Узнайте у старших о том,

Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см,а диагональ боковой грани равна 15 см. Найти площадь боковой и полной поверхности призмы

Решено

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 4√2 найти радиус окружности описанной около этого квадрата

Пользуйтесь нашим приложением

Область определения функции — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Урок математики.

«С тех пор как существует
мирозданье,
Такого нет, кто б не нуждался
в знанье.
Какой мы ни возьмем язык и
век,
Всегда стремится к знанью
человек »

3. Основные этапы урока:

Математическая
разминка.
Устная коллективная работа.
Самостоятельная работа в группах.
Рефлексия.

4. Разминка 1 команда.

Как называется переменная
образующая область определения
функции?
Какая ось определяет значения
аргумента?
Как кратко записать «область значения
функции»
Как называется функция, график
которой – прямая?

5.

Продолжение разминкиКаким числом не может быть
показательная функции?
Что есть в земле, в слове и в уравнение?
Сколько корней может иметь квадратное
уравнение?
Как называется раздел математики,
который изучает свойства фигур?
Что такое функция?

6. Разминка 2 команда

Как называется переменная которая
образует область значения функции?
Какая ось определяет значения
функции?
Как кратко записать «область
определения функции»?
Как называется функции, графиком
которой является парабола?
Что такое уравнение?

7. Продолжение разминки

Сколько
корней может иметь
линейное уравнение?
Что легче 1 кг. Железа или 1 кг.
Пуха?
Как называется раздел математики,
который изучает производную и
первообразную функции?
Что общего между качелями,
музыкой и светом?

8. Основные вопросы урока.

Что
такое функция?
Что такое область определения
функции?
Что такое график функции?
Основные условия существования
функции?

9.

Определение функцииФункцией
называется зависимость
одной переменной от другой, при
котором каждому значению
независимой переменной
соответствует единственное значение
зависимой переменной.
Обозначают: у= f(x)

10. Задание: Являются ли изображенные на рисунках линии графиками некоторых функций?

Рис.1
Рис.2
у
у
х
х

11. Задание: Являются ли изображенные на рисунках линии графиками некоторых функций?

Рис.3
у
Рис.4
х
у
х

12. Область определения функции

Областью
определения
функции называется
множество всех
значений независимой
переменной х, т.е.
аргумента.

13. Задание: найти область определения функции по ее графику

1) D(у) 4; 1 1;
2)
D( у) ;0 0;2
3)
D(у) 4; 1 1;
4)
D( у) 4;
у
-1
0
х

14. Задание: найти область определения функции по ее графику

1)
D( у) ;
2)
D(у) ;0 0;
3)
D(у) ;2 2;
4)
D( у) ;2
у
2
0
х

15.

Задание: найти область определения функции по ее графику1)
D(у) ;0 2;
у
2) D(у) ; 1 0;
3)
D( у) 0;2 2;
4)
D( у) 0;
0
-1
2
х

16. Условия существования функции

№
1
2
3
4
5
Формула
g ( x)
f ( x)
f ( x) 0
y 2n f ( x)
1
y
2n f ( x)
y log a f ( x)
f ( x) 0
y log g ( x) b
y
условия
f ( x) 0
f ( x) 0
6
y log g ( x) f ( x)
g ( x) 0;
g ( x ) 1.
g ( x) 0;
g ( x) 1;
f ( x ) 0.
7
8
9
y f ( x) p , где p нецелое, p 0
f ( x) 0 ;
y f ( x) p , где p нецелое, p 0
y tgt
f ( x) 0
10
y ctgt
n, гдеn Z
2
t n, гдеn Z
t

17. Найти область определения функции.

1.
y log 5 2 x 8
2.
y x 3x 4
6
2
y 6 3x
0 , 3
3.
4.
5
y tg 2 x
2

18. Образец таблицы заполнения ответов

Фамилия,
имя
№
ответа
1
2
3
4
Зад
№1
X
Зад.
№2
Зад.
№3
Зад
№4
Зад.№ Зад.
5
№6

19. Решите самостоятельно

Вариант I.
x
.
2x 6
2) ;3 3;
4) ;
1. Найти область определения функции: y
Ответы: 1) ;0 0;3 3;
3) ;0 0;
2. Найти область определения функции: y x 2 9 .
Ответы: 1) ; 3 3;
2) ;
3) ; 3 3;
4) 3;
3. Найти область определения функции: y log 2 2 x 7
Ответы: 1) 0;
2) ;3,5
3) 3,5;
4) 3,5;
4. Найти область определения функции: y 4 x 2 2
1
Ответы: 1) 0; 2) 0,5; 3) ; 4) ;
2
2
5. Найти область определения функции: y x x 6
Ответы: 1) ; 2 3; 2) 2;3
3) ; 2 3;
4) ; 3 2;
1
x
6. Найти область определения функции: y 2 tg sin x
Ответы: 1) x
n , где n Z
2
3) x 4 n , где n Z
4
2) x n , где n Z
4) x 2 4 n , где n Z

20. Решите самостоятельно

Вариант II
x
.
4x 8
Ответы: 1) ; 2) ; 2 2;0 0;
3) ;0 0;
4) ; 2 2;
1. Найти область определения функции: y
2. Найти область определения функции: y 4 x 2 .
Ответы: 1) ;
2) 0;
3) 2;
4) ; 2 2;
3. Найти область определения функции: y log 1 8 5 x
Ответы: 1) 0;
4) 1,6;
2) ;1,6
2
3) ;1,6
4. Найти область определения функции: y 0,2 x 4 5
Ответы: 1) 20; 2) 0; 3) 20; 4) ;20
5. Найти область определения функции: y x 2 4 x 5
Ответы: 1) ; 1 5;
2) 1;5
3) ; 1 5;
4) ; 5 1;
3
1
2
6. Найти область определения функции: y ctg 2 x cos x
Ответы: 1) x
n
, где n Z
2
n
3) x
, где n Z
4
2
2) x n , где n Z
4) x 2 n , где n Z

English     Русский Правила

как отслеживать цель в изменчивых условиях сцены / Хабр

Специалисты по компьютерному зрению не один десяток лет бьются над трекингом объектов. Они перепробовали многое: от старой-доброй оценки движения оптическим потоком до сетей-трансформеров.

Есть один подход к трекингу, широко известный на западе, но о котором мало пишут по-русски: Incremental Visual Tracker (IVT). Это трекер объектов на основе модифицированного метода главных компонент: он самообучается на ходу и адаптируется к изменчивым условиям.

Давайте исследуем физиологию этого трекера, чем он интересен и где его можно применить — а затем изучим проблемы его реализации и нюансы использования. Под катом ссылка на репозиторий и много математики.

Всем, кто интересуется исключительно реализацией, предъявляю C++-код. Есть также прототип на Python. Лицензии нету, делать можно что угодно.

О трекинге вкратце

Трекинг — это задача отслеживания объекта в сцене. Решается она путем предсказания местоположения объекта на последующем кадре с учетом динамики его движения. Трекинг применяется во многих задачах видеоаналитики среди которых наиболее выделяются подсчет посетителей, анализ поведения (например, животных на ферме или мышей в лабиринте), анализ траектории авто для вычисления средней скорости, отслеживание лица для определения лучшего кадра, подходящего для идентификации. Всего сценариев использования, естественно, гораздо больше.

Для интересующихся данной темой рекомендую подробную статью с примерами.

IVT трекер относится к классу так называемых appearance-based трекеров. Идея appearance-based подхода состоит в том, чтобы создать или обучить признаковое описание целевого объекта на начальном кадре и отслеживать его перемещение с помощью этого описания на последующих кадрах. Например, мы можем представить объект цветовой гистограммой и в дальнейшем искать регион с наиболее похожим цветовым распределением. Или обучить нейросеть представлять объект вектором эмбеддингов в евклидовом пространстве с тем свойством, что похожие объекты в этом пространстве будут находиться рядом, в то время как непохожие объекты далеко. Это был намек на DeepSORT. Альтернативный подход к трекингу, неформально — detection-based, не предполагает использования “внешнего вида” объекта и основывается исключительно на отслеживании его координат. Преимущество же кодирования “внешнего вида” объекта заключается в том, что эта информация вкупе с координатами объекта улучшает качество трекинга. Визуально разницу между detection-моделью и appearance-моделью можно увидеть на видео ниже.

Видео 1. На видео слева пример работы трекера SORT: зеленая рамка соответствует детектору YOLO, который выдает сработку раз в 3 кадра, красная рамка соответствует оценке фильтром Калмана между детекциями. На правом видео пример трекера IVT: красная рамка соответствует оценке на основе appearance-модели, без всякой детекции.

Далее мы рассмотрим все составляющие IVT трекера, сперва по отдельности, затем соединив все вместе.

Компактное представление объекта

Вместо того, чтобы работать с изображением объекта напрямую, как с набором независимых пикселей, разумнее описать его неким набором признаков, характеризующих этот объект. Так мы уменьшим размерность оставив только самую релевантную информацию об объекте. В качестве признакового описания объекта может быть использовано не только цветовое распределение, пример которого был приведен выше, но и его контур, текстура или более абстрактные признаки, такие как вектор эмбеддингов или базис главных компонент.

Мы будем представлять объект в (под)пространстве малой размерности — собственном базисе. Он же базис главных компонент, он же eigenbasis. Этот базис содержит бóльшую часть всей релевантной информации об объекте несмотря на то, что его размерность гораздо ниже исходной. Моделировать этот базис мы будем с помощью метода главных компонент (principal component analysis) используя первые изображений объекта на начальных кадрах.

Кратко напомню, что суть метода главных компонент состоит в том, чтобы найти для исходных данных такую систему координатных осей (главных компонент), которая давала бы наибольшую дисперсию расстояний между проекциями на эту систему. Проецируя исходный вектор данных на новую систему мы получаем новый вектор , который мы можем урезать вплоть до , где оставшихся значений соответствуют осям наибольшей дисперсии.

На рисунках ниже приведены примеры уменьшения размерности.

Рис. 1. Визуализация уменьшения размерности.

Рис. 1. Визуализация уменьшения размерности в двумерном пространстве. Исходные данные представляют собой массив векторов , каждый из которых изображается точкой на графике с координатами . Рисунок слева иллюстрирует новую ортогональную систему координат с центром в . Рисунок справа иллюстрирует проекцию исходных данных (красные точки) на систему, состоящую только из первой главной компоненты . Так как разброс проекций для оси заметно меньше разброса оси , мы можем отсечь вторую ось, пожертвовать некоторой информацией, сохранив при этом основную. Таким образом проекция представляется одним числом и мы сократили размерность с 2 до 1.

Рис. 2. Красивая анимация поиска оси с наибольшей дисперсией. Источник https://builtin.com/data-science/step-step-explanation-principal-component-analysis.

Весь аппарат, проиллюстрированный на рисунках 1 и 2 для двумерного случая будет также справедлив для пространства любой размерности. Так как исходными данными в нашем случае является одноканальное изображение объекта или , вырезанное из оригинального кадра, то мы будем считать, что проекция на базис , где , представляет собой вектор признаков этого объекта. В программной реализации, о которой будет рассказано ниже, будут использованы первые 16 главных компонент при исходной длине вектора 32×32=1024. Согласимся, что оперировать матрицами гораздо выгоднее чем матрицами . На рисунке ниже визуально представлены первые четыре главные компоненты для изображений велосипеда.

Рис. 3. Визуализация первых главных компонент для пятидесяти изображений велосипеда. Слева-направо: оригинальный кадр, среднее по последним пятидесяти кадрам, главные компоненты с первой по четвертую.

Ранее мы говорили, что appearance-based подход предполагает отслеживание объекта на последующих кадрах с помощью признакового описания объекта. Каким же образом признаковое описание в пространстве главных компонент может быть использовано нами для отслеживания объекта? Механизм для этого прост — мы должны найти участок кадра , который лучше всего проецируется на базис . Что значит “лучше всего”?

Если рассматривать собственный базис через вероятностный подход, то мы можем определить вероятность того, что объект принадлежит данному базису. Эта вероятность обратно пропорциональна расстоянию от спроецированного объекта до центра базиса . В следующих разделах будет показано, что все чуть сложнее, но для текущего пояснения этого будет достаточно. Очевидно, что объекты, принадлежащие базису будут располагаться близко к центру, в то время как иные объекты будут находиться далеко. Представьте, что на рисунке 1 мы пытаемся спроецировать точку на главную ось . Понятно, что проекция будет находиться далеко от центра , значит маловероятно, что точка принадлежит базису. Теперь предположим, что мы хотим найти участок кадра, в котором находится объект. Для этого я должен найти участок кадра, который лучше всего проецируется на базис объекта ; иными словами, расстояние от которого до базиса минимально.

Чтобы лучше понять, как это будет выглядеть, попробуем представить проекцию на базис в качестве корреляционной функции , принимающую на вход участок изображения, окно, фиксированного размера и возвращающую степень принадлежности этого участка базису . Теперь заставим функцию пробежать все изображение, сдвигая наше окно по горизонтали и вертикали. Тогда результатом работы будет новое изображение, в каждой точке которого будет записано расстояние от участка с центром в до базиса.

Рис. 4. Слева оригинальный кадр. Справа результат прогона корреляционной функции по оригинальному кадру. Для удобства визуализации кадр нормирован от 0 до 255, где 255 — наиболее близкое к базису окно. Базис главных компонент обучен на изображениях манекена, стоящего в центре, поэтому корреляционная функция ожидаемо выдала наибольшее значение точке, в которой этот манекен находится.

Задача трекинга в общем виде сложна и подвержена многим ошибкам связанных как с факторами окружения, так и с поведением самого объекта. К первым относятся изменение освещения, движение камеры и всевозможные перекрытия цели другими объектами. Ко вторым относятся изменение позиции и очертания объекта. Для того, чтобы устранить влияние этих факторов или минимизировать их последствия наше признаковое описание (базис главных компонент) не должно быть постоянным, а должно уметь адаптироваться к изменениям. И IVT трекер умеет это делать.

Видео 2. Левое видео: потеря трека на 275 кадре из-за константного базиса. Правое видео: успешное отслеживание авто до конца с помощью инкрементного обучения базиса.

Трюк с адаптацией базиса является ключевой особенностью трекера, что, в свое время, позволило ему выделиться среди других трекеров. Основной вклад авторов данного трекера состоит в том, что они разработали эффективную процедуру обновления базиса главных компонент по мере накопления изменений в кадре. Эту процедуру они назвали Incremental PCA. Таким образом, вместо однократного обучения базиса в начале трекинга мы способны периодически обновлять этот базис по мере движения.

Инкрементное обучение — эффективное обновление базиса главных компонент

Здесь и в дальнейшем будут использованы только основные математические выкладки, необходимые для понимания происходящего. Все, кто интересуются теорией и доказательствами, могут ознакомиться с ними в оригинальной статье [1].

Задача обновления базиса описывается следующим образом. Дана матрица собственных векторов и диагональная матрица собственных значений , обученных на первичных изображениях объекта . Требуется обучить новый набор и на первичных изображениях объекта плюс новых входных изображениях .

Тривиальное решение с переобучением базиса при каждом поступлении новых данных или даже при при поступлении новых данных выглядит неразумно, так как с увеличением количества данных растет размер выделяемой для них оперативной памяти и время вычисления.

Предлагаемый авторами метод инкрементного обучения/обновления собственного базиса, основанный на последовательном Методе Карунена-Лоэва (Sequential Karhunen-Loeve) [4], умеет обновлять базис используя только последние наблюдений, не уничтожая влияние предыдущих наблюдений, следовательно время вычисления всегда постоянно. Сложность данного решения составляет , где — размерность входа, в то время как сложность тривиального решения составляет . Кроме этого, авторы вводят в уравнения обновления коэффициент затухания (forgetting factor), снижающий влияние более старых данных на новый базис, уделяя больше внимания более новым данным. Полное описание алгоритма с формулами для вычисления приведено в статье. На видео 2 представлен пример обновления среднего и собственного базиса.

Итак, мы поняли, что целевой объект будет представляться через базис главных компонент и что это базис будет периодически обновляться для того, чтобы адаптироваться к изменениям. Перейдем теперь к формальной постановки задачи.

Формальная постановка задачи трекинга

Мы будем рассматривать задачу трекинга в рамках стохастического марковского процесса, лежащего в основе движения объекта. Будем считать, что мы владеем априорным знанием того, где находится объект в начальном кадре. Это априорное знание можно получить с помощью нейросетевого детектора. В процессе движения мы наблюдаем данные из которых мы можем вывести апостериорное знание о новом местоположении объекта.

Положение объекта в момент времени будет рассматриваться как скрытое состояние . Это состояние может быть задано многими способами в зависимости от фигуры объекта. Для сохранения общности будем предполагать, что объект заключен в четырехугольную рамку. Тогда состояние представляет собой аффинное преобразование для четырехугольника, где параметры в скобках означают координаты центра рамки, угол поворота, масштаб, соотношение сторон и наклон соответственно.

Наблюдаемой величиной будет являться изображение объекта с камеры.

Графическая модель марковского процесса проиллюстрирована ниже.

Рис. 5. Графическое представление скрытой марковской модели.

Итак, нам дано начальное положение объекта . Мы получили наблюдение . Требуется предсказать новое местоположение объекта в момент времени . На языке теории вероятностей это выражается как — вероятность при условии и . Применяя теорему Байеса находим

Опуская лишние зависимости (пользуясь марковским свойством) и отсекая нормировочный коэффициент получаем

что искомая вероятность пропорциональна произведению двух множителей. Первый множитель это модель движения или “где будет находиться объект в момент времени , при условии, что в момент времени объект находился в . Второй множитель это модель наблюдения или “насколько правдоподобно было бы наблюдение , если бы в момент времени объект находился в . В следующих разделах мы рассмотрим эти множители подробнее.

Теперь мы обладаем знанием о местоположении объекта в момент времени . Сделаем один шаг вперед к и пронаблюдаем . Как теперь нам найти местоположение объекта на новом шаге? На самом деле все очевидно. Вспоминаем, что для определения текущего положения нам достаточно знать предыдущее положение объекта и текущее наблюдение. Но мы уже знаем предыдущее местоположение объекта, мы вывели его на шаге , поэтому все, что нужно сделать, это подставить его в формулу в качестве предыдущего наблюдения, то есть .

Все готово к тому, чтобы записать общую рекурсивную формулу для произвольного шага

Можно заметить, насколько элегантно в краткой формуле записывается решение нашей задачи. По сути, в выражении содержатся (хоть и в проинтегрированном виде) все предыдущие знания о перемещении объекта (оно соответствует верхней горизонтальной стрелочке в графической модели на рисунке 5). На самом деле байесовский вывод возникает естественным образом для моделей последовательной обработки данных, каковой является и наша марковская модель, из-за способности обновлять апостериорное знание по мере поступления новой информации.

Модель движения (dynamical model)

Источник http://www.anuncommonlab.com/articles/how-kalman-filters-work/.

Модель движения задает закон, которому подчиняется движение объекта, то есть переход от состояния к состоянию . Он определяется заранее на основе неких теоретических сведений об объекте. Это может быть, например, линейная модель или дифференциальное уравнение произвольного порядка. Так как в этой статье мы рассматриваем отслеживание произвольного объекта, динамика которого нам неизвестна, то в качестве модели движения мы возьмем случайное перемещение объекта в любом из направлений — Броуновское движение. Мы можем записать это движение в виде многомерного нормального распределения , где — диагональная ковариационная матрица, каждый элемент которой на главной диагонали равен дисперсии одного из параметров, то есть . Иными словами, каждый параметр распределен нормально вокруг своего центра (предыдущего параметра) со среднеквадратичным отклонением .

Геометрически, переход от предыдущего состояния в следующий будет образовывать облако четырехугольников вокруг предыдущего состояния. Новое местоположение объекта, согласно нашей модели, должно оказаться в одном из четырехугольников. В каком именно — решит модель наблюдения.

Рис. 6. Разброс состояний вокруг предыдущего состояния (красный прямоугольник). Каждый синий четырехугольник это гипотеза о местонахождении объекта.

Модель наблюдения (observation model)

Каждое новое наблюдение вносит некую информацию, на основе которой мы можем делать вывод о местонахождении объекта. Для того, чтобы включить эту информацию в модель мы должны задать связь между наблюдением и состоянием . Это и есть модель наблюдения. В байесовской интерпретации модель наблюдения задается распределением — правдоподобием того, что находясь в позиции , мы пронаблюдаем . Так как для наблюдаемого объекта мы моделируем базис с центром , то мы предполагаем, что наблюдение получено из этого базиса. В этом случае распределение имеет следующий смысл: насколько вероятно получить из пространства нашего объекта. Эта вероятность обратно пропорциональна расстоянию от наблюдения до центра . Это расстояние можно разложить на два: расстояние от наблюдения до пространства и расстояние внутри самого пространства от спроецированного до центра. Но для наших целей достаточно будет посчитать только расстояние, пропорциональное :

В этом выражении есть просто исходное изображение объекта за вычетом среднего. Слагаемое есть реконструкция исходного изображения, то есть проекция изображения на базис и обратно. Визуально посмотреть на что похожа реконструкция можно на рисунке 4 в рамке под названием recon. Видно, что исходное изображение несколько искажено, из-за потери некоторой составляющей при проецировании, но основной образ сохранен. Тогда разность , называемая также вектором невязки, есть просто разница между исходным изображением и его реконструкцией, а -норма вектора невязки выражает количество информации, которую мы не можем восстановить. Ясно, что чем больше расстояние , тем ниже вероятность и тем хуже будет качество восстановленного изображения.

Наглядно расстояния и изображены на рисунке ниже.

Рис. 7. Расстояния до базиса и внутри базиса.

Рис. 7. Расстояние, пропорциональное . Для наглядности базис главных компонент представлен на плоскости. Мысленно расширяем базис до .

Полезной находкой авторов оказалось использование робастной функции вместо -нормы для минимизации влияния шумовых пикселей на оценку вероятности . Действительно, если целевой объект имеет круглую форму и, при этом, заключен в прямоугольную рамку, то краевые пиксели внутри рамки, выходящие за периметр круга, будут явно помехой. Смысл параметра в том, что он задает критическую область, после которой влияние шумов на модель наблюдения начинает уменьшаться [2].

Сэмплирование — как вычислить произвольное распределение

Единственное, на чем мы пока не заостряли внимания, это на том, какую форму должно иметь распределение . Поначалу это распределение приближали обычным гауссианом предполагая, что существует только одна наиболее вероятная точка, в которой должен находиться объект. Предсказание местоположения таким образом сводилось к оценке параметров движения фильтром Калмана. Однако, несмотря на то, что это удобное средство моделирования, на практике оно не всегда адекватно описывает процесс. Из-за наличия сложного фона и непредсказуемой динамики движения объекта было бы правильнее выдвигать сразу несколько гипотез о том, где может находиться объект и принимать наиболее вероятную из них. Поэтому мы будем считать, что распределение имеет несколько вершин.

Рис. 8. Апостериорное распространение для x-координаты по дискретным отсчетам t. Видно, что в начале модель уверена в положении объекта (лицо человека в красной рамке), но по мере движения начинают образовываться несколько гипотез. Например, на отметке t=20 на левом графике видно три вершины. Самая левая вершина соответствует цели, вершина посередине соответствует похожему человеку справа от цели и правая вершина соответствует человеку в синей жилетке справа. Так как человек справа находится далеко от цели, то модель справедливо дает ему наименьший вес полагая, что цель не сможет так резко сдвинуться вправо.

Поскольку теперь распределение имеет произвольную форму, отличную от гауссиана, мы теряем возможность вычислить его аналитически. Поэтому мы применим технику фильтра частиц (particle filter), позволяющую оценить параметры искомого произвольного распределения. Можно считать, что это обобщение фильтра Калмана на случай негауссовских процессов. Под частицей понимается элемент из выборочной совокупности распределения с весом, пропорциональным вероятности получить эту частицу из распределения. На рисунке 8 частицей является каждая темно-синяя точка на левом графике. Если устремить количество частиц в бесконечность, то “рваный” график будет становиться более гладким, а в пределе станет непрерывным. Заметно, что частица с наибольшим весом соответствует наиболее вероятному местоположению объекта. Для генерации и распространения частиц во времени мы воспользуемся алгоритмом сэмплирования CONDENSATION [3].

Алгоритм CONDENSATION использует технику сэмплирования с учетом динамики движения объекта для генерации выборки из частиц подчиняемых распределению . Данный алгоритм итеративный. Это значит, что получив выборку из апостериорного распределения мы можем распространить эту выборку для вычисления нового апостериорного распределения на следующем шаге используя предыдущее распределение в качестве априорного. Этап распространения при этом переживают только частицы с наибольшим весом, в то время как маловероятные частицы отсеиваются. Вычислительная сложность алгоритма оценивается как .

Упрощенно, схему CONDENSATION можно представить в следующем виде:

1. Генерируем случайную выборку из распределения .

2. Каждому элементу выборки присваиваем вес , равный .

3. Нормализуем выборку для удовлетворения условия .

4. Вычисляем необходимые статистики, например

   Нам интересен последний случай. Данные статистики асимптотически несмещенные.

5. Переходим к следующему такту и повторяем процедуру с первого шага принимая за (см. первый шаг) выборку .

Таким образом, несмотря на то, что мы не в состоянии численно выразить распределение , мы можем найти необходимые статистики этого распределения через выборочную совокупность . А для решения нашей задачи этого достаточно.

Соединяем все вместе

Наконец, мы владеем всей необходимой информацией и можем записать полную схему работы трекера:

1. Используя детектор объектов (нейросетевой или статистический, не имеет значения) определяем местоположение объекта на начальном кадре . Задаем всем частицам значение начальной позиции объекта с равным весом .

2. Задаем пустой базис со средним значением равным изображению объекта на начальном кадре.

3. Двигаемся к следующему кадру . Генерируем новые частицы/возможные местоположения в соответствии с динамической моделью .

4. Для каждой частицы извлекаем соответствующий кроп из текущего кадра и вычисляем ее вес в соответствии с моделью наблюдения .

5. Сохраняем частицу с наибольшим весом. После того, как будет накоплено кадров осуществляем инкрементное обучение базиса и среднего .

6. Возвращаемся к шагу 3.

Особенности реализации и эксперименты

Для тестирования трекера была разработана демка на C++, в основе которой лежит код Matlab от авторов оригинальной статьи.

В реальных задачах мы сталкиваемся с физическими ограничениями. Во-первых, мы ограничены железом, ввиду чего мы не можем аппроксимировать распределение с любой точностью и вынуждены ограничивать количество генерируемых частиц . Еще одно ограничение связано с тем, что при переходе координаты некоторых частиц могут “вылететь” за рамки кадра. Мы не будем утруждать себя отдельной обработкой таких случаев, а будем просто возводить такие частицы в нулевой вектор, что эквивалентно обнулению веса частицы.

Для сокращения времени вычислений мы не будем использовать параметры поворота и сдвига для состояния и оставим только четыре параметра : координаты центра, масштаб и соотношение сторон; с их помощью можно задать любой неповоротный прямоугольник.

Имея в качестве начальной конфигурации трекера размер окна 32 на 32 мы получаем от 125 до 8 кадров в секунду на стареньком Intel Core i7 4700HQ 2.4 Мгц при количестве частиц от 100 до 1000 соответственно. Другие параметры не сильно сказываются на производительности. Подробный тренд представлен на рисунках ниже.

Рис. 9. Показания среднего времени вычисления.

На видео ниже приведены некоторые примеры работы трекера на сценах различной сложности, как удачные так и неудачные.

Стоит отметить, что, конечно, векторы коэффициентов в базисе главных компонент не являются настолько выразительными признаками как признаки аппроксимированные глубокой нейросетью. При тестировании трекера это дает о себе знать. Например, нередко возникает ситуация когда состояние может “перескочить” на другой объект, посчитав его за целевой (см. отслеживание северного оленя на видео выше). Другая проблема связана с тем, что объекты с примитивной текстурой, без ярко выраженных визуальных признаков, плохо моделируются базисом. Следствием этого является то, что модель наблюдения не может дать особого предпочтения для какой-то из гипотез и состояние не может зацепиться за конкретный объект, а начинает случайно блуждать по сцене (см. отслеживание Усейна Болта на видео выше).

Так же, что характерно для всех аналогичных трекеров того времени, для работы в конкретных условиях его нужно настраивать. Но по опыту можно сказать, что настройки по умолчанию (их можно подсмотреть в репозитории) покрывают бóльшую часть сценариев и всю настройку можно свести к подгонке модели движения.

Подводя практический итог можно сказать, что трекер хорошо справляется с отслеживанием объектов сложной текстуры на краткосрочных и среднесрочных треках, таких как лица, транспортные средства. При наблюдении за объектом на длинных временных дистанциях велик риск упустить истинное положение объекта и начать отслеживать не то, что нужно. При частичном перекрытии объекта трекер способен удерживать позицию, но при сильном перекрытии теряет объект из виду.

Несомненным преимуществом трекера является то, что нам не обязательно иметь предобученный базис, как этого требует, например, DeepSORT, хотя никто не запрещает предварительно обучить базис на целевом объекте и использовать его в качестве начального, вместо пустого (см. шаг 2 общего алгоритма).

Заключение

Несмотря на то, что этот трекер уже не современный и с появлением нейросетевых моделей постепенно отходит на второй план, это все же интересный пример использования метода главных компонент, который полезно рассмотреть как минимум в образовательных целях и как максимум применить его в тех случаях, когда нейросетевая обработка слишком дорога или когда требуется высокая частота обработки кадров. Идею же инкрементного обучения можно подхватить при реализации других CV-алгоритмов.

Надеюсь материал оказался не слишком нагруженным и каждый нашел в нем для себя что-то полезное.

Ссылки

1. D. Ross, J. Lim, R. S. Lin, M. H. Yang.  Incremental Learning for Robust Visual Tracking. 2008.

2. M. J. Black and A. D. Jepson. Eigentracking: Robust matching and tracking of articulated objects using view-based representation. 1996.

3. M. Isard and A. Blake. Contour tracking by stochastic propagation of conditional density. 1996.

4. A. Levy and M. Lindenbaum. Sequential Karhunen-Loeve basis extraction and its application to images. 2000.

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 93-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Функции: домен, домен в диапазоне.

..🎶

Функции и отношения

Purplemath

Вернемся к теме доменов и диапазонов.

При первом знакомстве с функциями вам, вероятно, придется иметь дело с некоторыми упрощенными «функциями» и отношениями, обычно представляющими собой просто наборы точек. Это не будут очень полезные или интересные функции и отношения, но ваш текст хочет, чтобы вы получили представление о домене и диапазоне функции.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Домен и диапазон

Что такое домен и диапазон?

Область определения отношения (а значит, и функции) — это набор допустимых входных данных; это все значения x в точках ( x , y ), определяемые соотношением. Диапазон отношения (и, следовательно, также функции) — это набор результирующих выходов; это все значения y в ( x , y ) точек, определяемых соотношением.

Есть ли музыкальный способ запомнить, где домен, а где диапазон?

Есть старая ковбойская песня, в которой начинается припев: «Домой, домом на пастбище / Где играют олени и антилопы»; вы, вероятно, слышите это в своей голове прямо сейчас. Вместо этого пойте припев как «Домен, домен в диапазоне», и это поможет вам понять, что есть что.

Представьте, что вы живете в маленькой усадьбе посреди большого открытого пространства. Ваш дом — это ваш домен; это место, где вы начинаете свой день. Как только вы встанете, вы берете лошадь и направляетесь в широкое открытое пространство, являющееся пастбищами равнин. Домен — это место, где начинаются отношения; диапазон, где он идет на работу.

(Эй, музыкальная штука может быть глупой, но она работает для некоторых из нас, хорошо?)

Небольшие наборы, содержащие всего несколько точек, обычно представляют собой самые простые виды отношений, поэтому ваша книга начинается с них.

Что является примером определения домена и диапазона множества точек?

{(2, −3), (4, 6), (3, −1), (6, 6), (2, 3)}

Приведенный выше список точек, являющийся отношением между определенными x и определенными и , это отношение. Домен — это все значения x , а диапазон — все значения y . Чтобы указать домен и диапазон, я просто перечисляю значения без дублирования:

домен: {2, 3, 4, 6}

диапазон: {−3, −1, 3, 6}

(обычно чтобы перечислить эти значения в числовом порядке, но требуется , а не . Наборы по определению являются *неупорядоченными* списками, поэтому вы можете перечислять числа в любом порядке, который вам нравится. нормально в наборах, но большинство инструкторов за это зачтут.)

Хотя данный набор точек действительно представляет отношение (поскольку x и y связаны друг с другом), набор, который они мне дали, содержит две точки с одинаковыми x -значение: (2, −3) и (2, 3). Поскольку x  = 2 дает мне два возможных места назначения (то есть два возможных значения y ), то это отношение не может быть функцией.

И когда отношение, которое они мне дали, представляет собой набор точек, все, что мне нужно сделать, это проверить точки’ x — значения; если какое-либо x появляется более одного раза, то отношение не является функцией. Это отношение повторяется, так что оно есть:

не функция

Обратите внимание, что все, что мне нужно было сделать, чтобы проверить, является ли отношение функцией, это найти повторяющиеся значения x . Если вы найдете повторяющиеся значения x , то разные значения y означают, что у вас нет функции. Помните: чтобы отношение было функцией, каждое значение размером x должно соответствовать единице, и только одно значение , и .

{(−3, 5), (−2, 5), (−1, 5), (0, 5), (1, 5), (2, 5)}

Все, что мне нужно сделать для части домена и диапазона в этом упражнении, это перечислить значения x для домена и значения y для диапазона. Я помню, что для каждого из них нужно использовать фигурные скобки:

домен: {−3, −2, −1, 0, 1, 2}

диапазон: {5}

Это еще один пример «скучного» как и в примере на предыдущей странице: каждые последние 9Значение 1827 x соответствует точно такому же значению y . Но каждое x значение отличается, поэтому, хотя и скучно,

это отношение действительно является функцией.

На самом деле эти точки лежат на горизонтальной линии y  = 5.

---

«. Таким образом, диапазон может также быть сформулирован как «одиночка 5»

---

Есть еще один случай для нахождения домена и диапазона функций. Вам дадут функцию и попросят найти домен (а может и диапазон тоже). На данном этапе вашей математической карьеры я видел (или даже могу думать) только о двух вещах, которые вам придется проверить, чтобы определить область определения функции, которую они вам дадут, и эти две вещи — знаменатели и квадратные корни.

Какой пример нахождения области определения и области значений рациональной функции?

Домен — это все значения, которые разрешено принимать x . Единственная проблема, с которой я столкнулся с этой функцией, заключается в том, что мне нужно быть осторожным, чтобы не делить на ноль. Таким образом, единственные значения, которые x не могут принимать, это те, которые вызвали бы деление на ноль. Поэтому я приравняю знаменатель к нулю и решу; мой домен будет всем остальным.

x ² − х — 2 = 0

( х — 2)( х + 1) = 0

х = 2 или х = -1

0. не равно -1 или 2″.

Диапазон немного сложнее, поэтому его могут и не попросить. В общем, однако, они захотят, чтобы вы построили график функции и нашли диапазон по картинке. В данном случае:

Как видно из моего рисунка, график «покрывает» все и -значения; то есть график будет идти так низко, как мне нравится, и также будет идти так высоко, как мне нравится. Для любой точки на y -ось, неважно высоко вверх или низко вниз, я могу пойти от этой точки либо вправо, либо влево и, в конце концов, пересечу график. Поскольку график в конечном итоге покроет все возможные значения y , тогда:

диапазон — это «все действительные числа».

Домен — это все значения, которые может принимать x . Единственная проблема, с которой я столкнулся с этой функцией, заключается в том, что у меня не может быть отрицательного значения внутри квадратного корня. Так что я установлю внутренности больше или равные нулю и решу. В результате будет мой домен:

−2 x + 3 ≥ 0
−2 x ≥ −3
2 x ≤ 3
x ≤ 3/2 = 1,5

Тогда домен «все x ≤ 3/2».

Для диапазона требуется график. Мне нужно быть осторожным при графическом отображении радикалов:

График начинается с y = 0 и идет вниз (направляясь влево) оттуда. Хотя график идет вниз очень медленно, я знаю, что, в конце концов, я могу опуститься так низко, как захочу (выбрав x , что достаточно много). Кроме того, из моего опыта построения графиков я знаю, что график никогда не начнет восстанавливаться. Тогда:

диапазон «все y ≤ 0″.

y = − x ⁴ + 4

Это обычный многочлен. Здесь нет знаменателей (поэтому нет проблем с делением на ноль) и радикалов (поэтому нет проблем с извлечением квадратного корня из отрицательного). С многочленом проблем нет. Нет значений, которые я не могу использовать для х . Когда у меня есть многочлен, ответ для домена всегда :

домен «все x ».

Диапазон будет варьироваться от многочлена к многочлену, и они, вероятно, даже не спросят, но когда они это сделают, я смотрю на картинку:

График идет только до y = 4, но это будет так низко, как я хочу. Тогда:

Диапазон «все y ≤ 4″.

 

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в поиске доменов и диапазонов функций.. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку и выберите «Найти домен и диапазон», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

Пожалуйста, примите куки-файлы настроек, чтобы включить этот виджет.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

0002

Напомним, что домен функции представляет собой набор входных или Икс -значения, для которых определена функция, а диапазон это набор всех выходных или у -значения, которые принимает функция.

Простая экспоненциальная функция, например ф ( Икс ) знак равно 2 Икс имеет своей областью всю реальную линию. Но его диапазон только положительный вещественные числа, у > 0 : ф ( Икс ) никогда не принимает отрицательное значение. Кроме того, он никогда не достигает 0 , хотя асимптотически приближается к Икс идет к − ∞ .

Если мы заменим Икс с − Икс чтобы получить уравнение грамм ( Икс ) знак равно 2 − Икс , график отражается вокруг у -axis, но домен и диапазон не меняются:

Если мы поставим перед собой знак минус, чтобы получить уравнение час ( Икс ) знак равно − 2 Икс , график отражается вокруг Икс -ось. У нас все еще есть целая действительная линия в качестве нашего домена, но диапазон теперь состоит из отрицательных чисел, у < 0 .

Теперь рассмотрим функцию ф ( Икс ) знак равно ( − 2 ) Икс . Когда Икс знак равно 1 2 , у должно быть комплексным числом, так что все усложняется. Для этого урока нам потребуется, чтобы наши базисы были положительными на данный момент, чтобы мы могли оставаться в реальном мире.

В общем случае график основной экспоненциальной функции у знак равно а Икс капли от ∞ к 0 когда 0 < а < 1 в качестве Икс варьируется от − ∞ к ∞ и поднимается из 0 к ∞ когда а > 1 .

Экспоненциальная функция у знак равно а Икс , можно сдвинуть к единицы по вертикали и час единицы по горизонтали с уравнением у знак равно а ( Икс + час ) + к . Тогда область определения функции остается неизменной, а диапазон становится { у е ℝ | у > час } .

Пример 1:

Найдите область определения и диапазон функции у знак равно 3 Икс + 2 .

График функции на координатной плоскости.

График не что иное, как график у знак равно 3 Икс переведено 2 единицы влево.

Функция определена для всех действительных чисел. Итак, областью определения функции является множество действительных чисел.

В качестве Икс как правило ∞ , значение функции также стремится к ∞ и в качестве Икс как правило − ∞ , функция приближается к Икс -ось, но никогда не касается ее.

Следовательно, диапазон функции представляет собой набор действительных положительных чисел или { Икс е ℝ | Икс > 0 } .

Пример 2:

Найдите область определения и диапазон функции у знак равно ( 1 4 ) 2 Икс .

График функции на координатной плоскости.

График не что иное, как график у знак равно ( 1 4 ) Икс сжатый в разы 2 .

Функция определена для всех действительных чисел. Итак, областью определения функции является множество действительных чисел.

В качестве Икс как правило ∞ , значение функции стремится к нулю, а график приближается Икс -ось, но никогда не касается ее.

В качестве Икс как правило − ∞ , функция также стремится к ∞ .

Следовательно, диапазон функции представляет собой набор действительных положительных чисел или { у е ℝ | у > 0 } .

Обратная экспоненциальная функция является логарифмической функцией.

Простой логарифмическая функция у знак равно журнал 2 Икс куда Икс > 0 эквивалентна функции Икс знак равно 2 у . То есть, у знак равно журнал 2 Икс является обратной функцией у знак равно 2 Икс .

Функция у знак равно журнал 2 Икс имеет область определения множества положительных действительных чисел и диапазон множества действительных чисел.

Помните, что, поскольку логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функции, областью определения логарифмической функции является диапазон экспоненциальной функции, и наоборот.

В общем случае функция у знак равно журнал б Икс куда б , Икс > 0 а также б ≠ 1 является непрерывной и однозначной функцией. Обратите внимание, что логарифмическая функция не определено для отрицательных чисел или для нуля. График функции приближается к у -ось как Икс как правило ∞ , но никогда не касается его.

Следовательно, область определения логарифмической функции у знак равно журнал б Икс — множество положительных действительных чисел, а диапазон — множество действительных чисел.

Функция возникает из − ∞ к ∞ в качестве Икс увеличивается, если б > 1 и падает с ∞ к − ∞ в качестве Икс увеличивается, если 0 < б < 1 .

Логарифмическая функция, у знак равно журнал б Икс , можно сдвинуть к единицы по вертикали и час единицы по горизонтали с уравнением у знак равно журнал б ( Икс + час ) + к . Тогда область определения функции становится { Икс е ℝ | Икс > − час } . Однако ассортимент остается прежним.

Пример 3:

Найдите область определения и диапазон функции у знак равно журнал ( Икс ) − 3 .

Начертите функцию на координатной плоскости. Помните, что если основание не показано, то под основанием понимается 10 .

График не что иное, как график у знак равно журнал ( Икс ) переведено 3 единиц вниз.

Функция определена только для положительных действительных чисел. Итак, область определения функции — это множество положительных действительных чисел или { Икс е ℝ | Икс > 0 } .

Функция принимает все действительные значения из − ∞ к ∞ .

Таким образом, диапазон функции представляет собой множество действительных чисел.

г. Пример 4:

Найдите область определения и диапазон функции у знак равно журнал 3 ( Икс − 2 ) + 4 .

График функции на координатной плоскости.

График не что иное, как график у знак равно журнал 3 ( Икс ) переведено 2 единицы вправо и 4 единиц вверх.

В качестве Икс как правило 2 , функция приближается к прямой Икс знак равно 2 но никогда не прикасается к нему. В качестве Икс как правило ∞ значение функции также стремится к ∞ . То есть функция определена для действительных чисел, больших, чем 2 . Итак, область определения функции — это множество положительных действительных чисел или { Икс е ℝ | Икс > 2 } .

Функция принимает все действительные значения из − ∞ к ∞ .

Таким образом, диапазон функции представляет собой множество действительных чисел.

Домен и диапазон — из графика

Функции в математике можно сравнить с работой автомата по продаже газированных напитков. Когда вы вкладываете определенную сумму денег, вы можете выбрать разные типы газированных напитков. Точно так же для функций мы вводим разные числа и в результате получаем новые числа. Домен и диапазон являются основными аспектами функций. Вы можете использовать четверти и однодолларовые купюры, чтобы купить содовую. Машина не даст вам никакого вкуса газировки, если вы введете пенни. Следовательно, домен представляет входные данные, которые мы можем здесь иметь, то есть монеты в четвертаке и однодолларовые купюры. Независимо от того, какую сумму вы заплатите, вы не получите чизбургер из автомата с газировкой. Таким образом, диапазон — это возможные выходы, которые мы можем здесь получить, то есть вкус газированных напитков в машине. Давайте научимся находить область определения и область значений заданной функции, а также отображать их на графике.

1.	Что такое домен и диапазон?
2.	Домен и область действия
3.	Домен функции
4.	Диапазон функции
5.	Как рассчитать домен и диапазон?
6.	Домен и диапазон экспоненциальных функций
7.	Область определения и диапазон тригонометрических функций
8.	Домен и диапазон функции абсолютного значения
9.	Графики области и диапазона
10.	Часто задаваемые вопросы о домене и диапазоне

Что такое домен и диапазон?

Домен и диапазон определены для отношения и представляют собой наборы всех координат x и всех координат y упорядоченных пар соответственно. Например, если соотношение R = {(1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 3)}, то:

• Домен = набор всех координат x = {1, 2, 3, 4}
• Диапазон = набор всех координат y = {2, 3}

Мы можем визуализировать это здесь:

Домен и диапазон функции

домен и диапазон функции являются компонентами функции. Домен — это набор всех входных значений функции, а диапазон — это возможный результат, заданный функцией. Домен → Функция → Диапазон. Если существует функция f: A → B такая, что каждый элемент A отображается в элементы B, то A является доменом, а B является со-областью. Образ элемента ‘a’ при отношении R задается как ‘b’, где (a,b) ∈ R. Областью значений функции является множество изображений. Область определения и область значений функции в общем случае обозначаются следующим образом: область определения (f) = {x ∈ R} и область значений (f) = {f (x) : x ∈ область значений (f)}

Область определения и область значений этой функции f(x) = 2x задаются как область определения D = {x ∈ N } , область значений R = {(y): y = 2x}

Домен функции

Домен функции относится ко «всем значениям», которые входят в функцию. Область определения функции — это набор всех возможных входных данных для функции. Рассмотрим этот ящик как функцию f(x) = 2x ^{. При вводе значений x = {1,2,3,4,…} домен представляет собой просто набор натуральных чисел, а выходные значения называются диапазоном. Но в общем случае f(x) = 2x определено для всех действительных значений x, и, следовательно, его областью определения является множество всех действительных чисел, которое обозначается (-∞, ∞). Вот общие формулы, используемые для нахождения области определения различных типов функций. Здесь R — множество всех действительных чисел.}

• Область определения любой полиномиальной (линейной, квадратичной, кубической и т. д.) функции равна R.
• Область определения функции извлечения квадратного корня √x равна x≥0.
• Область определения экспоненциальной функции R.
• Область определения логарифмической функции x>0.
• Чтобы найти область определения рациональной функции y = f(x), установите знаменатель ≠ 0.

Диапазон функции

Диапазон функции — это набор всех ее выходов. Пример. Рассмотрим функцию f: A → B, где f(x) = 2x и каждое из A и B = {множество натуральных чисел}. Здесь мы говорим, что А — домен, а В — содомен. Затем выход этой функции становится диапазоном. Диапазон = {множество четных натуральных чисел}. Элементы домена называются прообразами, а отображаемые элементы содомена называются изображениями. Здесь областью значений функции f является множество всех изображений элементов области (или) множество всех выходов функции. В следующих разделах мы увидим, как найти диапазон различных типов функций. Вот общие формулы, используемые для нахождения диапазона различных типов функций. Обратите внимание, что здесь R — это набор всех действительных чисел.

• Диапазон линейной функции R.
• Диапазон квадратичной функции y = a(x-h) ² + k равен:
  y≥k, если a>0 и
  y≤k, если a<0
• Диапазон функции извлечения квадратного корня: y≥0.
• Диапазон экспоненциальной функции: y>0.
• Диапазон логарифмической функции R.
• Чтобы найти диапазон рациональной функции y = f(x), решите ее относительно x и установите знаменатель ≠ 0.

Как рассчитать домен и диапазон?

Предположим, что X = {1, 2, 3, 4, 5}, f: X → Y, где R = {(x,y) : y = x+1}.

Домен = входные значения. Таким образом, Домен = X = {1, 2, 3, 4, 5}

Диапазон = выходные значения функции = {2, 3, 4, 5, 6}

и со-домен = Y = {2 , 3, 4, 5, 6}

Давайте разберемся в предметной области и диапазоне некоторых специальных функций, принимая во внимание различные типы функций.

Область и диапазон экспоненциальных функций

Функция y = a ^x , a ≥ 0 определена для всех действительных чисел. Следовательно, областью определения экспоненциальной функции является вся вещественная прямая. Экспоненциальная функция всегда дает положительное значение. Таким образом, диапазон экспоненциальной функции имеет вид y= |ax+b| y ∈ R , {y > 0}. Домен = R, Диапазон = (0, ∞)

Пример: Посмотрите на график этой функции f: 2 ^x

Обратите внимание, что значение функции ближе к 0, поскольку x стремится к ∞, но это никогда не достигнет значения 0. Область определения и диапазон экспоненциальной функции задаются следующим образом:

• Домен: Домен функции — множество R.
• Диапазон: Экспоненциальная функция всегда приводит к положительным действительным значениям.

Область определения и область значений тригонометрических функций

Посмотрите на график функции синуса и косинуса. Обратите внимание, что значение функций колеблется между -1 и 1 и определено для всех действительных чисел.

Таким образом, для каждой из функций синуса и косинуса:

• Домен: Домен функций — множество R.
• Диапазон: Диапазон функций [-1, 1]

Область определения и диапазон всех тригонометрических функций показаны ниже:

Тригонометрические функции	Домен	Диапазон
Sinθ	(-∞, + ∞)	[-1, +1]
Cosθ	(-∞ +∞)	[-1, +1]
Танθ	Р — (2n + 1)π/2	(-∞, +∞)
Детская кроватка	Р — номер	(-∞, +∞)
сек θ	Р — (2n + 1)π/2	(-∞, -1] U [+1, +∞)
Cosecθ	Р — номер	(-∞, -1] U [+1, +∞)

Домен и диапазон функции абсолютного значения

Функция y=|ax+b| определено для всех действительных чисел. Итак, область определения функции абсолютного значения — это множество всех действительных чисел. Абсолютное значение числа всегда дает неотрицательное значение. Таким образом, диапазон функции абсолютного значения вида y= |ax+b| y ∈ R | y ≥ 0. Область определения и диапазон функции абсолютного значения задаются следующим образом

• Домен = R
• Диапазон = [0, ∞)

Пример: |6-x|

• Домен: Домен функции — множество R.
• Диапазон: Мы уже знаем, что функция абсолютного значения всегда дает неотрицательное значение. т. е. |6-х| ≥ 0 для всех х.

Область определения и область значений функции квадратного корня

Функция y= √(ax+b) определена только для x ≥ -b/a

Итак, область определения функции извлечения квадратного корня — это множество всех действительных чисел, больших или равных —b/a. Мы знаем, что квадратный корень всегда дает неотрицательное значение. Таким образом, областью действия функции квадратного корня является множество всех неотрицательных действительных чисел. Область определения и диапазон функции квадратного корня задаются следующим образом: Область = [-b/a,∞), Диапазон = [0,∞)

Пример: y= 2- √(-3x+2)

Домен: Функция извлечения квадратного корня определяется только тогда, когда значение внутри нее является неотрицательным числом. Итак, для домена

-3x+2 ≥ 0

-3x ≥ -2

x ≤ 2/3

Диапазон: Мы уже знаем, что функция квадратного корня всегда дает неотрицательное значение.

√(-3x+2)≥ 0

Умножение -1 с обеих сторон

-√(-3x+2) ≤ 0

Добавление 2 с обеих сторон

2-√(-3x+2)≤ 2

лет≤ 2

Графики области и диапазона

Другой способ определения области и диапазона функций — использование графиков. Домен относится к набору возможных входных значений. Домен графика состоит из всех входных значений, показанных на оси X. Диапазон — это набор возможных выходных значений, показанных на оси Y. Самый простой способ найти диапазон функции состоит в построении графика и поиске значений y, охватываемых графиком. Чтобы найти диапазон квадратичной функции, достаточно посмотреть, имеет ли она максимальное или минимальное значение. Максимальное/минимальное значение квадратичной функции — это координата y ее вершины. Чтобы найти область определения рациональной функции, установите знаменатель равным 0 и найдите переменную. Домен обозначается всеми значениями слева направо по оси x, а диапазон задается размахом графика сверху вниз.

Домен и диапазон по графику

Очень легко найти домен и диапазон функции, если задан/известен ее график. Набор значений x, покрываемых графиком, дает домен, а набор значений y, покрываемых графиком, дает диапазон. Но обратите внимание на следующие вещи, записывая домен и диапазон на графике.

• Проверьте, проходит ли график тест вертикальной линии. В противном случае это не функция, и мы обычно не определяем область и диапазон для таких кривых.
• Если на графике есть какая-то дыра, то ее координаты не должны быть в домене и диапазоне.
• Если есть вертикальная асимптота, то соответствующего значения x не должно быть в области.
• Если есть горизонтальная асимптота, то соответствующее значение x не должно быть в диапазоне.
• Если граф разбит на части, то мы получаем несколько наборов/интервалов в домене и диапазоне и объединяем все такие наборы/интервалы символом «объединения» (∪).
• Если на конце кривой есть стрелка, то это означает, что кривая должна бесконечно продолжаться в этом конкретном направлении.

Вот пример графика, и мы найдем домен и диапазон из графика.

На приведенном выше графике:

• Все значения x от -∞ до ∞ покрываются графиком (из-за стрелок две кривые продолжаются бесконечно в заданных направлениях). Следовательно, область определения = (-∞, ∞).
• Все значения y, большие или равные или равные 0, покрываются графиком (см., что нет части кривой, которая находится ниже оси y). Следовательно, диапазон = [0, ∞).

Важные примечания относительно домена и диапазона:

• Домен и диапазон функции — это набор всех возможных входов и выходов функции соответственно.
• Область определения и диапазон функции y = f(x) задаются как domain= {x ,x∈R }, range= {f(x), x∈Domain}.
• Область определения и область значений любой функции можно найти алгебраически или графически.

☛ Связанные темы:

• Графические функции
• Кубические функции
• Обратные тригонометрические функции

Часто задаваемые вопросы о домене и диапазоне

Что такое домен и диапазон функции?

Домен и диапазон функции представляют собой набор всех входов и выходов, которые функция может дать соответственно. Домен и диапазон являются важными аспектами функции. Домен принимает все возможные входные значения из набора действительных чисел, а диапазон принимает все выходные значения функции.

Как записать домен и диапазон?

Мы пишем домен и диапазон функции как набор всех входных данных, которые функция может принимать, и выходных данных функций соответственно. Домен и диапазон записываются от меньших значений к большим значениям. Домен записывается слева направо, а диапазон записывается сверху вниз графика.

Что такое естественный домен и диапазон функции?

Естественная область определения и область значений функции — это все возможные входные и выходные значения функции соответственно. Домен (f) = {x∈R} и диапазон (f) = {f (x): x ∈ domain (f)}.

Что такое область определения и диапазон постоянной функции?

Пусть постоянная функция равна f(x)=k. Область определения постоянной функции задается R, то есть множеством действительных чисел. Диапазон постоянной функции задается одноэлементным набором {k}. Домен и диапазон постоянной функции задаются как domain = x∈R и range = {k}, что является одноэлементным набором.

Как найти область определения рациональной функции?

Чтобы найти область определения рациональной функции, мы просто устанавливаем знаменатель не равным нулю. Например, чтобы найти область определения f(x) = 2/(x-3), мы устанавливаем x-3 ≠ 0, решая это, мы получаем x≠3. Таким образом, областью определения является множество всех рациональных чисел, кроме 3. В интервальной записи это можно записать как (-∞, 3) U (3, ∞).

Как найти диапазон рациональной функции?

Чтобы найти диапазон рациональной функции, мы просто решаем уравнение для x и применяем установить знаменатель не равным нулю. Например, чтобы найти диапазон y=2/(x-3), сначала решите его для x. Тогда мы получаем x-3 = 2/y и отсюда x = (2/y) + 3. Тогда его диапазон равен y≠0 (или) в интервальной записи, (-∞, 0) U (0, ∞ ).

Каковы правила определения области определения функции?

Вот несколько общих правил, используемых для определения домена различных типов функций:

• f(x) = многочлен, областью определения является множество всех действительных чисел.
• f(x) = 1/x, домен, если множество всех действительных чисел, кроме x≠0.
• f(x) = √x, домен, если множество всех действительных чисел, таких что x ≥ 0.
• f(x) = ln x, областью определения является множество всех действительных чисел, для которых x > 0.

Как алгебраически найти область определения и диапазон функций?

Пусть функция равна y=f(x). Найдем область определения и область значений этой функции алгебраически.

Чтобы вычислить область определения функции, мы просто решаем уравнение для определения значений независимой переменной x. Чтобы вычислить диапазон функции, мы просто выражаем x как x = g (y), а затем находим область определения g (y).

Как найти область определения и область значений уравнения?

Чтобы найти домен и диапазон, мы просто решаем уравнение y = f(x), чтобы определить значения независимой переменной x и получить домен. Чтобы вычислить диапазон функции, мы просто выражаем x как x = g (y), а затем находим область определения g (y).

Как рассчитать домен и диапазон по графику функции?

Набор всех координат x всех точек кривой дает домен, а набор всех координат y всех точек кривой дает диапазон. Каждый из доменов и диапазонов может быть записан как набор или интервал.

В чем разница между доменом и диапазоном функции?

Домен и диапазон функции являются компонентами функции. Область определения функции — это набор всех возможных входных данных для функции, тогда как диапазон функции — это набор всех выходных данных, которые может дать функция.

Что такое домен и диапазон отношения?

домен и диапазон отношения находятся следующим образом. Пусть R — отношение непустого множества A к непустому множеству B. Область определения и диапазон отношения — это множество первых элементов и вторых элементов соответственно в упорядоченных парах в отношении R, называемое доменом.

Что такое домен и диапазон составных функций?

Пусть составная функция равна \(h=f \circ g\). Область определения и диапазон значений h определяются следующим образом. Область определения h либо совпадает с областью определения f, либо лежит в пределах области определения f. Диапазон h должен лежать в диапазоне g. Пусть f(x) = x ² и g(x) = x+ 3. Мы знаем, что f: X → Y и g: Y → Z. Затем туман: X → Z. f(g(x)) = (x+3) ² . Таким образом, домен и диапазон: domain= {Все элементы множества X}, range= {все элементы множества Z}

Что такое домен и диапазон квадратичной функции?

Область определения и область значений квадратичной функции y=a(x-h) ² +k определяют характер параболы: направлена ​​ли она вверх или вниз, направлена ​​ли она влево или вправо.

• y ≥ k, если функция имеет минимальное значение, то есть когда a>0(парабола раскрывается)
• y ≤ k, если функция имеет максимальное значение, то есть когда a<0(парабола раскрывается вниз)

Запись области определения и диапазона по уравнению

Результаты обучения

• Нахождение области определения функции, заданной уравнением.
• Запишите домен и диапазон, используя стандартные обозначения.

В разделе Функции и обозначения функций мы познакомились с понятиями домена и диапазона . В этом разделе мы попрактикуемся в определении доменов и диапазонов для конкретных функций. Имейте в виду, что при определении доменов и диапазонов нам необходимо учитывать, что физически возможно или значимо в реальных примерах, таких как продажи билетов и год в приведенном выше примере с фильмом ужасов. Мы также должны рассмотреть, что математически разрешено. Например, мы не можем включать какое-либо входное значение, которое приводит к извлечению четного корня из отрицательного числа, если домен и диапазон состоят из действительных чисел. Или в функции, выраженной в виде формулы, мы не можем включить какое-либо входное значение в область определения, которая привела бы к делению на 0,9.1811

Мы можем представить домен как «зону хранения», содержащую «сырье» для «функциональной машины», а ассортимент — как еще одну «зону хранения» для продуктов машины.

Мы можем записать домен и диапазон в интервальной нотации , которая использует значения в квадратных скобках для описания набора чисел. В обозначении интервала мы используем квадратную скобку [ когда набор включает конечную точку, и круглую скобку (, чтобы указать, что конечная точка либо не включена, либо интервал не ограничен. Например, если у человека есть 100 долларов, которые он может потратить, он или она нужно выразить интервал, который больше 0 и меньше или равен 100, и написать [латекс]\влево(0,\текст{ }100\вправо][/латекс]. Обозначение интервала мы обсудим более подробно позже.

Обратимся к поиску области определения функции, уравнение которой приведено. Часто для нахождения области определения таких функций необходимо запомнить три разные формы. Во-первых, если функция не имеет знаменателя или четного корня, подумайте, могут ли доменом быть все действительные числа. Во-вторых, если в уравнении функции есть знаменатель, исключите значения в области значений, при которых знаменатель равен нулю. В-третьих, если есть четный корень, рассмотрите возможность исключения значений, которые сделали бы подкоренное число отрицательным.

Прежде чем мы начнем, давайте рассмотрим правила записи интервалов:

• Первым записывается наименьший член интервала.
• Самый большой член в интервале пишется вторым после запятой.
• Круглые скобки ( или ) используются для обозначения того, что конечная точка не включена, что называется исключительным.
• Скобки [ или ] используются для указания того, что конечная точка включена, что называется включением.

 

Пример. Нахождение области определения функции как набора упорядоченных пар

Найдите область определения следующей функции: [латекс]\влево\{\влево(2,\текст{}10\вправо),\влево(3,\текст{}10\вправо),\влево(4, \text{ }20\right),\left(5,\text{ }30\right),\left(6,\text{ }40\right)\right\}[/latex] .

Показать решение

Попробуйте

Найдите область определения функции:

[латекс]\влево\{\влево(-5,4\вправо),\влево(0,0\вправо),\влево(5,-4 \right),\left(10,-8\right),\left(15,-12\right)\right\}[/latex]

Показать решение

Как: Для заданной функции, записанной в виде уравнения, найти область определения. 9{3}[/латекс].

Показать решение

Практическое руководство. По заданной функции, записанной в виде уравнения, включающего дробную часть, найдите область определения.

1. Определите входные значения.
2. Определите любые ограничения на ввод. Если в формуле функции есть знаменатель, установите знаменатель равным нулю и найдите [latex]x[/latex] . Это значения, которые не могут быть введены в функцию.
3. Запишите домен в форме интервала, исключив из домена любые ограниченные значения.

Пример. Нахождение области определения функции, содержащей знаменатель (рациональная функция)

Нахождение области определения функции [latex]f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{2-x}[ /латекс].

Показать решение

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть больше примеров того, как найти область определения рациональной функции (с дробью).

Попробуйте

Найдите область определения функции: [latex]f\left(x\right)=\dfrac{1+4x}{2x — 1}[/latex].

Показать решение

Как: Для заданной функции, записанной в виде уравнения, включая четный корень, найти область определения.

1. Определите входные значения.
2. Поскольку имеется четный корень, исключите все действительные числа, которые приводят к отрицательному числу в подкоренном члене. Установите подкоренное число больше или равное нулю и найдите [латекс]х[/латекс].
3. Решение(я) являются областью определения функции. Если возможно, запишите ответ в интервальной форме.

Пример. Нахождение области определения функции с четным корнем

Найдите область определения функции [latex]f\left(x\right)=\sqrt{7-x}[/latex].

Показать решение

В следующем видео приведены дополнительные примеры определения области определения функции, содержащей четный корень.

Попробуйте

Найдите область определения функции [latex]f\left(x\right)=\sqrt{5+2x}[/latex].

Показать решение

Вопросы и ответы

Могут ли быть функции, в которых домен и диапазон вообще не пересекаются?

Да. Например, функция [latex]f\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{x}}[/latex] имеет множество всех положительных действительных чисел в качестве области определения, но множество всех отрицательные действительные числа в качестве диапазона. Как более крайний пример, входы и выходы функции могут быть совершенно разными категориями (например, названия дней недели в качестве входов и числа в качестве выходов, как на графике посещаемости), в таких случаях домен и диапазон не имеют общих элементов.

Попробуйте

Когда вы определяете область определения функции, может помочь ее графическое изображение, особенно если у вас есть рациональное число или функция с четным корнем.

Сначала определите ограничения домена для следующих функций, а затем нарисуйте каждую из них, чтобы проверить, согласуется ли ваш домен с графиком.

1. [латекс]f(x) = \sqrt{2x-4}+5[/латекс]
2. [латекс]g(x) = \dfrac{2x+4}{x-1}[/латекс]

Затем используйте онлайн-инструмент для построения графиков, чтобы оценить свою работу при обнаруженном вами ограничении домена. Какое функциональное значение дает вам Desmos?

Как: Имея формулу функции, определить область определения и диапазон.

1. Исключить из домена любые входные значения, которые приводят к делению на ноль.
2. Исключить из домена любые входные значения, которые имеют недействительные (или неопределенные) числовые выходы.
3. Используйте допустимые входные значения для определения диапазона выходных значений.
4. Посмотрите на график функции и табличные значения, чтобы подтвердить фактическое поведение функции.

Пример: поиск домена и диапазона с помощью функций набора инструментов 9{3}-х[/латекс].

No related posts.