9. Найти производную функции u (X, y, z) в точке m по направлению , если
u = sin(x +2y) + , = 4+ 3, M(, , 3).
10. Вычислить поток векторного поля (M) через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (p) и координатными плоскостями, двумя способами: а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского — Гаусса, если
(M) = x+ ( x + z )+ ( y + z ), (p): 3x + 3y + z = 3.
11. Вычислить циркуляцию векторного поля (M) по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости (p): 2x + 2y + z = 2 с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора плоскости (p) двумя способами:
а) использовав определение циркуляции; б) с помощью формулы Стокса, если
(M) = (y + z)+ x+ (y -2z).
12. Найти наибольшую
плотность циркуляции векторного поля
(M)
= xy+
yz-
x
в точке M(1,
-2, 0).
13. Выяснить является ли векторное поле (M) = xz+ y- xz гармоническим.
Вариант № 14
1. Вычислить криволинейные интегралы:
а) , где — первая арка циклоиды ; б) , где — дуга окружности ; в) , где : от точки до ; г) , где — контур треугольника с вершинами , , .
2. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом функции . Найти эту функцию. Результат проверить.
.
3. С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где — пробегаемый в положительном направлении контур треугольника с вершинами в точках , , .
4. Вычислить поверхностный интеграл по поверхности , где — часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями: .
5. Определить массу, распределенную по части эллиптического параболоида , с плотностью .
6. Вычислить
поверхностный интеграл:
,
где — часть поверхности параболоида (нормальный вектор которой образует тупой угол с ортом
),
отсекаемая плоскостью
.
7. Вычислить с помощью теоремы Остроградского – Гаусса: , где — сфера .
8. Вычислить интеграл, используя формулу Стокса: , где — окружность , ориентированная положительно относительно вектора .
9. Найти производную функции u (X, y, z) в точке m по направлению , если
u = xyz — ln (z — 1), = 5+ 6+ 2, M(1, 1, 2).
10. Вычислить поток векторного поля (M) через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (p) и координатными плоскостями, двумя способами: а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского — Гаусса, если
(M) = (x + z)+ (z — x)+ (x +2y + z ), (p): x + y + z = 2.
11. Вычислить циркуляцию векторного поля (M) по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости (p): x + 3y + 2z = 6 с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора плоскости (p) двумя способами:
а) использовав определение циркуляции; б) с помощью формулы Стокса, если
(M)
= (2y
-z)+
( x
+ 2y
)+
y.
12. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля (M) = xz+ z+ yz в точке M(3, 0, 1).
13. Выяснить является ли векторное поле (M) = (yz — 2x)+ (xz + 2y)+ xy соленоидальным.
Вариант № 15
1. Вычислить криволинейные интегралы:
а) , где — отрезок прямой от точки до ; б) , где — окружность ; в) , где — отрезок прямой от точки до ; ; г) , где : от точки до точки .
2. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом функции . Найти эту функцию. Результат проверить. .
3. С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где -эллипс , пробегаемый в положительном направлении.
Повторение минимизации и максимизации — Math Insight
Фундаментальная идея, которая делает исчисление полезным для понимания
проблемы максимизации и минимизации вещей в том, что на пике графика функции, или на дне корыта ,
тангенс горизонталь .
То есть производная $f'(x_o)$ равна
$0$ в точках $x_o$, в которых $f(x_o)$ является максимальным или минимальным .
Ну, это надо немного подточить: иногда и для по естественным или искусственным причинам переменная $x$ ограничена некоторым интервал $[a,b]$. В этом случае можно сказать, что максимальное и минимальные значения $f$ на интервале $[a,b]$ встречаются среди списка критические точки и концы интервала .
И, если есть точки, где $f$ не дифференцируема или прерывистые, то их тоже нужно добавить. Но давайте придерживаться с основной идеей, и просто игнорировать некоторые из этих осложнений.
Опишем систематическую процедуру нахождения минимума и максимума значения функции $f$ на интервале $[a,b]$.
- Решите $f'(x)=0$, чтобы найти список критических точек $f$.
- Исключить все критические точки вне интервала $[a,b]$.
- Добавить в список конечных точек $a,b$ интервала (и любые точки разрыва или недифференцируемости!)
- В каждой точке списка вычислить функцию $f$:
наибольшее число, которое встречается, является максимальным, а наименьшее число
то, что происходит, является минимумом.
3-4x=0$. К счастью, мы
можно увидеть, как фактор это: это
$$х(х-2)(х+2)$$
Таким образом, критические точки равны $-2,0,+2$. Поскольку интервал не
включить $-2$, мы исключаем его из нашего списка. А мы добавить в список
конечные точки $-1,3$. Итак, список чисел, которые следует рассматривать как потенциальные
места для минимумов и максимумов $-1,0,2,3$. Подключаем эти номера
в функцию, мы получаем (в таком порядке) $-2, 5, -11, 14$. Поэтому,
максимум $14$, что происходит при $x=3$, а минимум $-11$,
что происходит при $x=2$. Обратите внимание, что в предыдущем примере максимум не достигнут в критической точке, но по стечению обстоятельств произошло в конечной точке.
Пример 2
У вас есть $200$ футов ограждения, с помощью которого вы желание окружить как можно больший прямоугольный сад. Что самый большой сад вы можете иметь?
Пусть $x$ — длина сада, а $y$ — ширина. Тогда площадь это просто $xy$. Поскольку периметр равен $200$, мы знаем, что $2x+2y=200$, которое мы можем решить, чтобы выразить $y$ как функцию $x$: мы находим, что $y=100-x$.
Теперь мы можем переписать площадь как функцию
Только $x$, что настраивает нас на выполнение нашей процедуры:
$$площадь = xy=x(100-x)$$
Производная этой функции по $x$ равна
$100-2х$. Установка этого значения равным $0$ дает уравнение
$100-2x=0$$
найти критические точки: мы находим всего один , а именно $х=50$.А как насчет конечных точек? Какой интервал? В этом примере мы необходимо обратиться к «физическим» соображениям, чтобы выяснить, какой интервал $x$ ограничивается. Конечно, ширина должна быть положительным числом, поэтому $x>0$ и $y>0$. Поскольку $y=100-x$, неравенство на $y$ дает другое неравенство относительно $x$, а именно, что $x
Когда мы подставляем значения $0,50,100$ в функцию $x(100-x)$, мы получить $0,2500,0$, именно в таком порядке. Таким образом, соответствующее значение $y$ равно $100-50=50$, а максимально возможная площадь $50\cdot 50=2500$. 93+3x+1$ на интервале $[-2,2]$.
3-4x=0$. К счастью, мы
можно увидеть, как фактор это: это
$$х(х-2)(х+2)$$
Таким образом, критические точки равны $-2,0,+2$. Поскольку интервал не
включить $-2$, мы исключаем его из нашего списка. А мы добавить в список
конечные точки $-1,3$. Итак, список чисел, которые следует рассматривать как потенциальные
места для минимумов и максимумов $-1,0,2,3$. Подключаем эти номера
в функцию, мы получаем (в таком порядке) $-2, 5, -11, 14$. Поэтому,
максимум $14$, что происходит при $x=3$, а минимум $-11$,
что происходит при $x=2$. 
Теперь мы можем переписать площадь как функцию
Только $x$, что настраивает нас на выполнение нашей процедуры:
$$площадь = xy=x(100-x)$$
Производная этой функции по $x$ равна
$100-2х$. Установка этого значения равным $0$ дает уравнение
$100-2x=0$$
найти критические точки: мы находим всего один `f(x) = sqrt(x + 4)` Найдите производную функции предельным процессом.
Цитата страницы
Начать эссе
значок-вопрос
Спросите репетитораНачать бесплатную пробную версию
Скачать PDF PDF Цитата страницы Цитировать Поделиться ссылкой ДелитьсяСсылайтесь на эту страницу следующим образом:
«`f(x) = sqrt(x + 4)` Найдите производную функции по предельному процессу.» Редакционная статья eNotes , 17 сентября 2015 г., https://www.enotes.com/homework-help/f-x-sqrt-x-4-find-derivative-function-by-limit-505601. По состоянию на 8 марта 2023 г.Ответы экспертов
По предельному процессу производная функции f(x): —
f'(x) = lim h —> 0 [{f(x+h) — f(x)}/ h]
Теперь заданная функция: —
f(x) = sqrt(x+4)
Таким образом, f'(x) = lim h —> 0 [{f(x+h) — f(x)}/h]
или, f ‘(x) = lim h —> 0 [{(sqrt(x + h+ 4)) — sqrt(x+4)}/h]
рационализируя числитель, получаем
f'(x) = lim h —> 0
[{(sqrt(x + h+ 4)) — sqrt(x+4)}*{(sqrt(x + h+ 4)) + sqrt(x+4)}/{h* {(sqrt(x + h+ 4)) + sqrt(x+4)}}]
или f'(x) = lim h —> 0 [{(x+h+4) — (x+ 4)}/{h*{(sqrt(x + h+ 4)) + sqrt(x+4)}}]
или f'(x) = lim h —> 0 [h/{h* {(sqrt(x + h+ 4)) + sqrt(x+4)}}]
или, f'(x) = lim h —> 0 [1/{1{(sqrt(x + h+ 4)) + sqrt(x+4)}}]
, положив значение h = 0 в приведенном выше выражении получаем;
f'(x) = 1/{2*sqrt(x+4)}
См.
eNotes без рекламыНачните 48-часовую бесплатную пробную версию , чтобы получить доступ к более чем 30 000 дополнительных руководств и более чем 350 000 вопросов помощи при выполнении домашних заданий, на которые ответили наши эксперты.
Получите 48 часов бесплатного доступаУже зарегистрирован? Войдите здесь.
Утверждено редакцией eNotes
Математика
Последний ответ опубликован 07 сентября 2010 г. в 12:47:25.
Что означают буквы R, Q, N и Z в математике?
14 ответов учителя
Математика
Последний ответ опубликован 07 октября 2013 г. в 20:13:27.
Как определить, является ли это уравнение линейной или нелинейной функцией?
84 Ответы педагога
Математика
Последний ответ опубликован 09 октября 2017 г.