Найдите скалярное произведение векторов a и b если a 3 b 2: Найдите скалярное произведение векторов а и b если а = 3, b = 10, а, b = 60

Скалярное произведение между векторами. Как найти скалярное произведение векторов. Косинус угла между векторами a b.

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Векторы — это величины, которые  описываются как величиной, так и направлением.

 

Скалярное произведение \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\) определяется как
\( \overline{a }· \overline{b }\) \(= |a| |b|· ∠ (\overline{a }\overline{b })\)
где \(| a |-\) модуль, или величина \( a\),
\(| b |-\) модуль \(b\), 
\(∠ (\overline{a }\overline{b })\)-угол между \(a\) и \(b\):

Если два вектора сонаправены,  то \( ∠cos (\overline{a }\overline{b })= ∠cos \;0=1\) скалярное произведение равно \( \overline{a }· \overline{b }\)\(=​​\)\( \overline{|a| }· \overline{|b| }\).

Пример 1. Рассмотрим два вектора \( \overline{a }\)  и  \( \overline{b }\) модуль \( \overline{a }\)  равен \(4\), а \( \overline{b }\) равен \(5\), а угол между ними равен \(60◦\). Найдите скалярное  произведение \( \overline{a }· \overline{b }\).

Решение

:  \( 4 × 5 × cos 60◦ = 4 × 5 ×\frac{1}{2}= 10 \).

Ответ: \(10\).

---

• Если угол между \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\)  меньше \(90◦\) , то есть распаложен на промежутке   \(0<∠ (\overline{a }\overline{b })<\frac{\pi}{2}\), то результат скалярного произведения будет больше \(0\) ,  то есть положительным.

 

• Если угол между \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\) больше  \(90◦\) , то есть распаложен на промежутке   \(\frac{\pi}{2}<∠ (\overline{a }\overline{b })<\pi\) , то результат скалярного произведения будет меньше  \(0\) , то есть отрицательным.

 

• Если угол между \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\) равен  \(90◦\), то результат скалярного произведения будет равен  \(0\), так как \(cos\frac{\pi}{2}=0\).

         

---

Пример 2. Даны два вектора \( \overline{с }= -2\overline{a }+\overline{b }\) и \(\overline{d }=\overline{a }-\overline{b }\) , \(\overline{|a| }=4\sqrt{3}\) и \(\overline{|b| }=8\).

2=-64+96\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}-64=32\).

Ответ: \(32\).

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Угол между векторами а и b равна 30°, и длина вектора а=2 ; длина вектора b=√3. Найдите скалярное произведение векторов m=2a-3b n=a+2b — вопрос №4109548

Ответы

16. 12.20

Михаил Александров Читать ответы

Андрей Андреевич Читать ответы

Eleonora Gabrielyan Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

Похожие вопросы

Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 41 до 64 включительно

Если при атмосферном давлении 100 кПа конденсируется 200 г паров некоторого вещества при 100 °С, то в окружающую среду передается количество теплоты, равное 460 кДж. Удельная теплота парообразования

Решено

1. Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10 см. Найдите S (площадь т.е.) боковой поверхности цилиндра. 2. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает

сокращенное ионное уравнение реакции Ba(2+) + SO4(2-) = BaSO4 соответствует взаимодействию

Решено

Коробку равномерно тянут по горизонтальной поверхности с помощью верёвки, составляющей с горизонтом угол 60°. Определите массу коробки, если сила напряжения равна 12Н, коэффициент трения-0.3.

Пользуйтесь нашим приложением

Скалярное произведение двух векторов

Навигация по страницам:

• Геометрическая интерпретация скалярного произведения векторов
• Алгебраическая интерпретация скалярного произведения векторов
• Скалярный продукт — формулы
  • для плоских задач
  • для пространственных задач
  • для задач n-мерного пространства
• Свойства скалярного произведения векторов
• Скалярный продукт — пример
  • плоские задачи
  • пространственных задач
  • n пространственных задач

Онлайн калькулятор. Скалярное произведение двух векторов

Упражнения. Скалярное произведение двух векторов на плоскости

Упражнения. Скалярное произведение двух векторов в пространстве

Геометрическая интерпретация. Скалярное произведение двух векторов a и b есть скалярная величина, равная произведению модулей векторов на косинус угла между векторами:

а · б = |а| · |б| косинус α

Алгебраическая интерпретация. Скалярное произведение двух векторов a и b — это скалярная величина, равная сумме попарных произведений координатных векторов a и b.

Скалярный продукт также называется скалярным продуктом или внутренним продуктом

.

Скалярное произведение — формулы

Формула скалярного произведения для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a _х ; a _y } и b = {b _x ; b _y } можно найти по следующей формуле:

a · b = a _x · b _x + a _y · b _y

Формула скалярного произведения для пространственных задач

В случай пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a _x  ; а _и  ; a _z } и b = {b _x  ; б _у  ; b _z } можно найти по следующей формуле:

a · b = a _x · b _x + a _y · b _y + a _z · b _z

Точка формула произведения для задач n-мерного пространства

В случае задачи n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a ₁  ; а ₂  ; . .. ; a _n } и b = {b ₁  ; б ₂  ; … ; b _n } можно найти по следующей формуле:

a · b = a ₁ · b ₁ + а ₂ · б ₂ + … + а _н · б _н

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора на самого себя всегда больше нуля или равно нулю:

   а · а ≥ 0

2. Скалярное произведение вектора на самого себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор является нулевым вектором:

   а · а = 0   <=>   а = 0

3. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его величины:

   а · а = |а| ²

4. Операция скалярного произведения является коммуникативной:

   а · б = б · а

5. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны:

   а ≠ 0, б ≠ 0, а · б = 0   <=>   а ┴ б

6. (αа) · b = α(а · b)

7. Операция скалярного произведения является распределительной:

   (а + b) · с = а · с + b · с

Скалярный продукт — пример

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и б = {4; 8}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их величины |a| = 3, |б| = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = |a| · |б| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a — 3 b, если их модули |a| = 3, |б| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

Решение:

p · q = (a + 3b) · (5a — 3b) = 5 a · a — 3 a · b + 15 b · a — 9 b · b =

= 5 |a| ² + 12 а · б — 9 |б| ² = 5 · 3 ² + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9· 2 ² = 45 +36 -36 = 45.

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Пример 4. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и б = {4; 8; 1}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для задач n-мерного пространства

Пример 5. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и б = {4; 8; 1; -2}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.

Векторы Определение векторов. Основная информация Компонентная форма вектора с начальной и конечной точками Длина вектора Направленные косинусы вектора Равные векторы Ортогональные векторы Коллинеарные векторы Компланарные векторы Угол между двумя векторами Векторная проекция Сложение и вычитание векторов Скалярно-векторное умножение Скалярное произведение двух векторов Перекрестное произведение двух векторов (векторное произведение) Скалярное тройное произведение (смешанный продукт) Линейно зависимые и линейно независимые векторы Разложение вектора по базису

Онлайн калькуляторы с векторами

Задания и упражнения с вектором 2D

Задачи и упражнения с вектором 3D

Скалярное произведение, Векторы, Чистая математика

Главная >> ЧИСТАЯ МАТЕМАТИКА, Векторы, скалярное произведение

Введение

Правила

Пример №1

Пример #2

 

 

 

Введение

 

Скалярное произведение (или скалярное произведение ) двух векторов a и b записывается как

 

 

Если два вектора наклонены друг к другу под углом (скажем, θ ), то произведение записывается:

 

и . б = | и |.| б | cos θ       или     a.b = ab cos θ

 

Несмотря на то, что левая часть уравнения записана в терминах векторов, ответ представляет собой скалярную величину.

 

 

Правила

 

и . б = abcos θ = б . и

 

Когда a и b являются параллельными , θ = 0, cos θ = 1 , a . б = аб .

(единичные векторы i . i = j . j = k . k = 1) 90 003

 

 

Когда a и b равны на 90 ^или , θ = 90 ^о ,   cos θ = 0 , a . б = 0 .

(единичные векторы:    i . j = j . i = 0     j . 902 49 к = к . j = 0     к . i = i . k = 0)

 

 

Если     a = a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k    и    b = b ₁ i + b ₂ j + b ₃ к

 

затем

 

и . б = а ₁ б ₁ + а ₂ б ₂ + а ₃ б ₃

 

| и | ² = . a = a ₁ ² + a ₂ ² + a ₃ ²

 

a .( b + c ) = a . б + а . с

           

a .( b — c ) = a . б — . с

 

( а + б ). с = с . с + б . в  

          

( а — б ). с = с . в — б . с

 

(λ a ). b = λ( a . b ) = a .(λ b )      Где λ — скалярная константа.

 

 

 

 

вернуться к началу

 

 

Пример №1

 

Учитывая это,

a = 3 i — j + 2 k  и    b = 2 и + к — 2 к ,

найти . b и прилежащий угол между векторами к 1 д.п.

 

 

 

 

вернуться к началу

 

 

Пример №2

 

i) Какое векторное уравнение описывает прямую, проходящую через точки A (-8, 1, -2) и Б (10, -1, 3)?

 

ii) Найдите координаты точки P на AB так, что OP перпендикулярна AB (начало координат O ), следовательно, найдите расстояние OP до 2 d.