Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции: Найдите угловой коэффициент касательной проведенной к графику функции y=x^4-2x^3+3x-13 в точке x0=-1

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y = x2 +x… — Учеба и наука

Лучший ответ по мнению автора

16. 04.20 Лучший ответ по мнению автора

Михаил Александров Читать ответы

Андрей Андреевич Читать ответы

Eleonora Gabrielyan Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Чему равен вписанный угол, который опирается на дугу, градусная мера которой равна 127°?

Основанием пирамиды DABC является правильный треугольник АВС, сторона которого равна а. Ребро DA перпендикулярно к плоскости АВС, а плоскость DBC составляет с плоскостью АВС угол в 30°. Найдите площад

Задача: На прошлой неделе Саша прочитал3/7 всей книги, а на этой неделе- половину оставшихся страниц, да еще 20 и дочитал книгу до конца. Сколько

Решено

Найди первые четыре члена и 10-й член арифметической прогрессии (an), если общая формула an=9n−3. a1= a2= a3= a4= a10=

Решено

1). Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол, равный 60 градусам. Найдите отношение объёмов конуса и шара.

Пользуйтесь нашим приложением

Уравнение касательной к графику функции. Как найти угловой коэффициент уравнения

Прямая y = f(x) будет являться касательной к графику, изображенному на рисунке в точке х0 при том условии, если она проходит через данную точку с координатами (х0; f(x0)) и имеет угловой коэффициент f»(x0). Найти этот коэффициент, учитывая особенности касательной, несложно.

Вам понадобится

• — математический справочник;
• — тетрадь;
• — простой карандаш;
• — ручка;
• — транспортир;
• — циркуль.

Инструкция

• Примите к сведению, что график дифференцируемой функции f(x) в точке х0 не имеет различий с отрезком касательной. Поэтому он является достаточно близким к отрезку l, к проходящему через точки (х0; f(х0)) и (х0+Δx; f(x0 + Δx)). Чтобы задать прямую, проходящую через точку А с коэффициентами (х0; f(х0)), укажите ее угловой коэффициент. При этом он равен Δy/Δx секущей касательной (Δх→0) , а также стремится к числу f‘(x0).
• Если значений f‘(x0) не существует, то, возможно, касательной нет, или же она проходит вертикально. Исходя из этого, присутствие производной функции в точке х0 объясняется существованием невертикальной касательной, которая соприкасается с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В данном случае угловой коэффициент касательной равняется f»(х0). Становится понятен геометрический смысл производной, то есть расчет углового коэффициента касательной.
• То есть для того чтобы найти угловой коэффициент касательной, нужно найти значение производной функции в точке касания. Пример: найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = х³ в точке с абсциссой Х0 = 1. Решение: Найдите производную данной функции у΄(х) = 3х²; найдите значение производной в точке Х0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Угловой коэффициент касательной в точке Х0 = 1 равен 3.
• Начертите на рисунке дополнительные касательные таким образом, чтобы они соприкасались с графиком функции в следующих точках: x1, х2 и х3. Отметьте углы, которые образуются данными касательными с осью абсцисс (угол отсчитывается в положительном направлении — от оси до касательной прямой). Например, первый угол α1 будет острым, второй же (α2) – тупой, ну а третий (α3) будет равняться нулю, так как проведенная касательная прямая является параллельной оси ОХ. В этом случае тангенс тупого угла есть отрицательное значение, а тангенс острого угла – положительное, при tg0 и результат равен нулю.

В математике одним из параметров, описывающих положение прямой на декартовой плоскости координат, является угловой коэффициент этой прямой. Этот параметр характеризует наклон прямой к оси абцисс. Чтобы понять, как найти угловой коэффициент, сначала вспомним общий вид уравнения прямой в системе координат XY.

В общем виде любую прямую можно представить выражением ax+by=c, где a, b и c — произвольные действительные числа, но обязательно a 2 + b 2 ≠ 0.

Подобное уравнение с помощью несложных преобразований можно довести до вида y=kx+d, в котором k и d — действительные числа. Число k является угловым коэффициентом, а само уравнение прямой подобного вида называется уравнением с угловым коэффициентом. Получается, что для нахождения углового коэффициента, необходимо просто привести исходное уравнение к указанному выше виду. Для более полного понимания рассмотрим конкретный пример:

Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 36x — 18y = 108

Решение: Преобразуем исходное уравнение.

Ответ: Искомый угловой коэффициент данной прямой равен 2.

В случае, если в ходе преобразований уравнения мы получили выражение типа x = const и не можем в результате представить y в виде функции x, то мы имеем дело с прямой, параллельной оси Х. Угловой коэффициент подобной прямой равен бесконечности.

Для прямых, которых выражены уравнением типа y = const, угловой коэффициент равняется нулю. Это характерно для прямых, параллельных оси абцисс. Например:

Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 24x + 12y — 4(3y + 7) = 4

Решение: Приведем исходное уравнение к общему виду

24x + 12y — 12y + 28 = 4

Из полученного выражения выразить y невозможно, следовательно угловой коэффициент данной прямой равен бесконечности, а сама прямая будет параллельна оси Y.

Геометрический смысл

Для лучшего понимания обратимся к картинке:

На рисунке мы видим график функции типа y = kx. Для упрощения примем коэффициент с = 0. В треугольнике ОАВ отношение стороны ВА к АО будет равно угловому коэффициенту k. Вместе с тем отношение ВА/АО — это тангенс острого угла α в прямоугольном треугольнике ОАВ. Получается, что угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла, который составляет эта прямая с осью абцисс координатной сетки.

Решая задачу, как найти угловой коэффициент прямой, мы находим тангенс угла между ней и осью Х сетки координат. Граничные случаи, когда рассматриваемая прямая параллельна осям координат, подтверждают вышенаписанное. Действительно для прямой, описанной уравнением y=const, угол между ней и осью абцисс равен нулю. Тангенс нулевого угла также равен нулю и угловой коэффициент тоже равен нулю.

Для прямых, перпендикулярных оси абцисс и описываемых уравнением х=const, угол между ними и осью Х равен 90 градусов. Тангенс прямого угла равен бесконечности, так же и угловой коэффициент подобных прямых равен бесконечности, что подтверждает написанное выше.

Угловой коэффициент касательной

Распространенной, часто встречающейся на практике, задачей является также нахождение углового коэффициента касательной к графику функции в некоторой точке. Касательная — это прямая, следовательно к ней также применимо понятие углового коэффициента.

Чтобы разобраться, как найти угловой коэффициент касательной, нам будет необходимо вспомнить понятие производной. Производная от любой функции в некоторой точке — это константа, численно равная тангенсу угла, который образуется между касательной в указанной точке к графику этой функции и осью абцисс. Получается, что для определения углового коэффициента касательной в точке x 0 , нам необходимо рассчитать значение производной исходной функции в этой точке k = f»(x 0). Рассмотрим на примере:

Задача: Найти угловой коэффициент линии, касательной к функции y = 12x 2 + 2xe x при х = 0,1.

Решение: Найдем производную от исходной функции в общем виде

y»(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1

Ответ: Искомый угловой коэффициент в точке х = 0,1 равен 4,831

Инструкция

Определяем угловой коэффициент касательной к кривой в точке М.
Кривая, представляющая собой график функции y = f(x), непрерывна в некоторой окрестности точки М (включая саму точку М).

Если значения f‘(x0) не существует, то либо касательной нет, либо она проходит вертикально. Ввиду этого, наличие производной функции в точке х0 обусловлено существованием невертикальной касательной, соприкасающейся с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В этом случае угловой коэффициент касательной равен будет f»(х0). Таким образом, становится ясен геометрический смысл производной – расчет углового коэффициента касательной.

Найдите значение абсциссы точки касания, которую обозначаются буквой «а». Если она совпадает с заданной точкой касательной, то «а» будет ее х-координате. Определите значение

функции f(a), подставив в уравнение функции величину абсциссы.

Определите первую производную уравнения функции f’(x) и подставьте в него значение точки «а».

Возьмите общее уравнение касательной, которое определяется как y = f(a) = f (a)(x – a), и подставьте в него найденные значения a, f(a), f «(a). В результате будет найдено решение графика и касательной.

Решите задачу иным способом, если заданная точка касательной не совпала с точкой касания. В этом случае необходимо в уравнение касательной вместо цифр подставить «а». После этого вместо букв «х» и «у» подставьте значение координат заданной точки. Решите получившееся уравнение, в котором «а» является неизвестной. Поставьте полученное значение в уравнение касательной.

Составьте уравнение касательной с буквой «а», если в условии задачи задано уравнение функции и уравнение параллельной линии относительно искомой касательной. После этого необходимо производную функции , чтобы координату у точки «а». Подставьте соответствующее значение в уравнение касательной и решите функцию.

Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x 0 имеет конечную производную f (x 0). Тогда прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x 0), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:

1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x | в точке (0; 0).
2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x ), которая имеет производную y = f ’(x ) на отрезке . Тогда в любой точке x 0 ∈ (a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0)

Здесь f ’(x 0) — значение производной в точке x 0 , а f (x 0) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f (x 0) и f ’(x 0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x ) = (x 3)’ = 3x 2 ;
Подставляем в производную x 0 = 2: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 · 2 2 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x ) = 2sin x + 5 в точке x 0 = π /2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x ) = (2sin x + 5)’ = 2cos x ;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

С понятием касательной к графику функции вы уже знакомы. График дифференцируемой в точке х 0 функции f вблизи х 0 практически не отличается от отрезка касательной, а значит, он близок к отрезку секущей l, проходящей через точки (х 0 ; f (х 0)) и (х 0 +Δx; f (x 0 + Δx)). Любая из таких секущих проходит через точку А (х 0 ; f (х 0)) графика (рис. 1). Для того чтобы однозначно задать прямую, проходящую через данную точку A, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент Δy/Δx секущей при Δх→0 стремится к числу f ‘(x 0) (его мы примем за угловой коэффициент касательной) Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Δх→0 .

Если же f’(х 0) не существует, то касательная либо не существует (как у функции у = |x| в точке (0; 0), см. рис.), либо вертикальна (как у графика функции в точке (0; 0), рис.2).

Итак, существование производной функции f в точке хо эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х 0 , f (х 0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f» (х 0). В этом состоитгеометрический смысл производной

Касательная к графику дифференцируемой в точке xо функции f — это прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)) и имеющая угловой коэффициент f ‘(х 0).

Проведем касательные к графику функции f в точках x 1 , х 2 , х 3 (рис. 3) и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.) Мы видим, что угол α 1 острый, угол α 3 тупой, а угол α 2 равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого — отрицателен, tg 0 = 0. Поэтому

F»(x 1)>0, f’(x 2)=0, f’(x 3)
Построение касательных в отдельных точках позволяет более точно строить эскизы графиков. Так, например, для построения эскиза графика функции синус предварительно находим, что в точках 0; π/2 и π производная синуса равна 1; 0 и -1 соответственно. Построим прямые, проходящие через точки (0; 0), (π/2,1) и (π, 0) с угловыми коэффициентами 1, 0 и -1 соответственно (рис. 4) Остается вписать в полученную трапецию, образованную этими прямыми и прямой Ох, график синуса так, чтобы при х, равном 0, π/2 и π, он касался соответствующих прямых.

Отметим, что график синуса в окрестности нуля практически не отличим от прямой у = х. Пусть, например, масштабы по осям выбраны так, что единице соответствует отрезок в 1см. Имеем sin 0,5 ≈ 0,479425, т. е. |sin 0,5 — 0,5| ≈ 0,02, и в выбранном масштабе это соответствует отрезку длиной 0,2 мм. Поэтому график функции y = sin x в интервале (-0,5; 0,5) будет отклоняться (в вертикальном направлении) от прямой у = х не более чем на 0,2 мм, что примерно соответствует толщине проводимой линии.

Как найти наклон касательной?

Чтобы найти наклон касательной, мы должны иметь четкое представление о касательных и наклоне. Наклон определяется как отношение разницы координаты y к разнице координаты x. Он представлен следующей формулой:

m =( y⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠ ₂ – y⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠ _{⁠ 1} ) ⁠⁠⁠⁠⁠ ₂   – x⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠ ₁ )

Следует отметить, что: 

• tan θ такой же, как m. Наклоны могут быть положительными или отрицательными в зависимости от того, движется ли линия вверх или вниз.
• Произведения наклона двух перпендикулярных прямых равны -1, а наклоны параллельных прямых одинаковы.
• Производная функции дает изменение скорости относительно изменения независимой переменной.

Наклон касательной линии

Касательная линия — это линия, которая касается кривой в точке. Могут быть касательные линии, которые позже пересекают кривую или касаются кривой в некоторых других точках. Но основные критерии того, чтобы прямая была касательной к кривой f(x) в точке x=a, если прямая проходит через точку (a, f(a)) (где точка является общей как для кривой, так и для касательная), а касательная имеет наклон f'(a), где f'(a) — производная функции f(x) в точке a.

Наклон касательной равен производной кривой в некоторой точке. Формула для касательной с наклоном m и заданной точкой (x⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠ ₁ , y⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠ ₁ ) определяется как,

y – y ⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠ ₁ = M × (x — X⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠ ₁ )

или

Y = MX + C

, где C — константа

Как найти наклон касательной?

Решение:

Наклон касательной можно найти, найдя производную кривой f(x) и найдя значение производной в точке, где пересекаются касательная и кривая. Это дает нам наклон

Например: Найдите наклон касательной к кривой f(x) = x² в точке (1, 2). Также найдите уравнение касательной. 

Найдем производную от f (x):

f'(x) = dy/dx = d(x²) /dx = 2x

Значение наклона в точке (1, 2) равно

f'(x) = 2(1) = 2

Уравнение касательной равно

y – 2 = 2(x – 1)

или

y = 2x

Аналогичные задачи

Задача 1: Найдите наклон касательной линии 6y = 3x + 5.

Решение:

С имеет форму y= mx + c, где m — наклон

Мы можем написать,

y= (3x + 5 ) / 6

Следовательно, значение наклона равно 0,5 .

Задача 2. Найдите наклон по двум точкам (6, 7) и (8, 0).

Решение:

Наклон любых двух точек, скажем, (a, b) и (x, y) определяется выражением

m = (y-b) /(x-a) 7) /(8-6) = -3,5

Задача 3: найти наклон кривой y= 6x³.

Решение :

Наклон кривой определяется дифференцированием кривой: y= 3x+8

Решение: 

Пусть наклон двух перпендикулярных линий равен m и n

m×n = -1

m=3

0 -1/3

Задача 5. Найдите наклон касательной к кривой f(x) = x⁴ в точке (2, 1). Также найдите уравнение касательной.

Решение:

Найдем производную кривой как 32

Уравнение касательной в точке (2, 1) есть,

y – 1 = 32(x – 2) 

2. Наклон касательной к кривой (численный подход)

М. Борна

Поскольку мы можем моделировать многие физические проблемы с помощью кривых, важно получить представление о наклоны кривых в различных точках и что означает наклон в реальных приложениях.

ПРИМЕЧАНИЕ

В этом разделе мы покажем вам один из исторических подходов к нахождению наклонов касательных до того, как была разработана дифференциация. Это для того, чтобы дать вам представление о том, как это работает.

Если вы хотите узнать, как находить наклоны (градиенты) касательных непосредственно с помощью производных, перейдите к разделу Касательные и нормали в главе «Приложения дифференцирования».

Помните: Пытаемся найти скорость изменения одной переменной по сравнению с другой.

Приложения включают:

• Изменение температуры в определенное время
• Скорость падающего объекта в определенное время
• Ток в цепи в определенное время
• Изменение цен на фондовом рынке в определенное время
• Прирост населения в определенное время
• Повышение температуры по мере увеличения плотности газа

Позже мы увидим, как найти эти скорости изменения, дифференцируя функцию и подставляя значение. Сейчас мы собираемся найти скорость изменения численно (то есть, подставляя числа, пока не найдем приемлемое приближение).

Мы рассматриваем общий случай и пишем наши функции с участием знакомые x (независимые) и y (зависимые) переменные.

Py = f(x)msОткрыть изображение на новой странице

Наклон касательной на P .

Наклон кривой y = f ( x ) в точке P означает наклон касательной в точке P . Нам нужно найти этот наклон для решения многих задач, поскольку он сообщает нам скорость изменения в конкретный момент времени. мгновенный.

[Мы пишем y = f ( х ) на кривой, начиная с и , является функцией x . То есть, поскольку x изменяется, y также изменяется.]

Дельта-обозначение

В этой работе мы пишем

• изменить в у как Δ у
• изменение x как Δ x

По определению уклон определяется как:

`m=(текст(изменение в)\ y)/(текст(изменение в)\ x)=(Deltax)/(Deltax)=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)`

Мы используем это, чтобы найти численное решение наклона кривой.

Пример

Найдите наклон кривой y = x ² в точке `(2,4)`, используя числовой метод .

Решение

Начнем с точки `Q(1, 1)`, которая находится где-то рядом с `P(2,4)`:

12-1-212345xyP (2, 4)Q (1, 1)y = f(x)msОткрыть изображение на новой странице

Наклон PQ .

Наклон PQ определяется как:

`m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)`

`=(4-1)/(2-1)`

`=3`

Теперь мы перемещаем Q дальше по кривой, чтобы она оказалась ближе к P . Давайте использовать `Q(1.5,2.25)`, который ближе к `П(2,4)`:

12-1-212345xyy = f(x)ms

P (2, 4)

Q (1.5, 2.25)

Наклон PQ — ближе к P

0

Склон PQ теперь выдается:

`m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)`

`=(4-2,25)/(2-1,5)`

`=3,5`

Мы видим, что это уже довольно хорошее приближение к касательной в точке P , но недостаточно хорошее.

Теперь мы переместим Q еще ближе к P, скажем `Q(1.9,3.61)`.

Теперь у нас есть:

12-1-212345xyP (2, 4)Q (1.9, 3.61)y = f(x)msОткрыть изображение на новой странице

Наклон PQ — очень близко к Р

Итак,

`m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)`

`=(4-3,61)/(2-1,9)`

`=3,9`

Мы видим, что мы очень близки к требуемому наклону.

Теперь, если Q переместить в `(1.99,3.9601)`, тогда наклон PQ будет `3,99`.

Если Q равно `(1,999,3,996001)`, то наклон равен `3,999`.

Очевидно, что при `x → 2` наклон `PQ → 4`. Но заметьте, что на самом деле мы не можем принять `x = 2`, так как дробь для m будет иметь «0» внизу, и поэтому он будет неопределенным.

Мы обнаружили, что скорость изменения y по отношению к x составляет «4» единицы в точке «x = 2».

Исследуйте

Изучите этот пример с помощью интерактивного апплета на следующей странице:

3.

No related posts.