Пример. Пусть А={1, 2, 3}, B={4, 5}. Образуем всевозможные пары (а;b) так, что а∈А, b∈В. Получим некоторое новое множество {(1; 5), (1; 4), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)}, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.
Количество пар в декартовом прoизведении А×В будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В: n(А×В)=n(A)×n(B). В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента. Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.
|
www.reshim.su
Декартово произведение множеств Википедия
Прямое или декартово произведение двух множеств — это множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.
Понятие прямого произведения естественно обобщается на произведение множеств с дополнительной структурой (алгебраической, топологической и т. д.), поскольку произведение множеств часто наследует структуры, имевшиеся на исходных множествах.
Содержание
- 1 Прямое произведение в теории множеств
- 1.1 Произведение двух множеств
- 1.2 Комментарии
- 1.3 Декартова степень
- 1.4 Прямое произведение семейства множеств
- 2 Прямое произведение отображений
- 3 Воздействие на математические структуры
- 3.1 Прямое произведение групп
- 3.2 Прямое произведение других алгебраических структур
- 3.3 Прямое произведение топологических пространств
- 3.4 Прямое произведение графов
- 4 Вариации и обобщения
- 5 См. также
- 6 Примечания
- 7 Литература
Прямое произведение в теории множеств[ | ]
Произведение двух множеств[ | ]
| в | в | в | в | в | в | в | в |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| и | и | и | и | и | и | и | и |
| к | к | к | к | к | к | к | к |
| Произведение множества {в, и, к} на множество цветов радуги | |||||||
Пусть даны два множества X{\displaystyle X} и Y{\displaystyle Y}. Прямое произведение множества X{\displaystyle X} и множества Y{\displaystyle Y} есть такое множество X×Y{\displaystyle X\times Y}, элементами которого являются упорядоченные пары (x,y){\displaystyle (x,y)} для всевозможных x∈X{\displaystyle x\in X}
ru-wiki.ru
Декартово произведение множеств Википедия
Прямое или декартово произведение двух множеств — это множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.
Понятие прямого произведения естественно обобщается на произведение множеств с дополнительной структурой (алгебраической, топологической и т. д.), поскольку произведение множеств часто наследует структуры, имевшиеся на исходных множествах.
Прямое произведение в теории множеств
Произведение двух множеств
| в | в | в | в | в | в | в | в |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| и | и | и | и | и | и | и | и |
| к | к | к | к | к | к | к | к |
| Произведение множества {в, и, к} на множество цветов радуги | |||||||
Пусть даны два множества X{\displaystyle X} и Y{\displaystyle Y}. Прямое произведение множества X{\displaystyle X} и множества Y{\displaystyle Y} есть такое множество X×Y{\displaystyle X\times Y}, элементами которого являются упорядоченные пары (x,y){\displaystyle (x,y)} для всевозможных x∈X{\displaystyle x\in X} и y∈Y{\displaystyle y\in Y}. Упорядоченную пару, образованную из элементов a и b, принято записывать, используя круглые скобки: (a; b). Элемент a называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b – второй координатой (компонентой) пары.
Слово «упорядоченная» значит, что (x,y)≠(y,x){\displaystyle (x,y)\neq (y,x)}. Так, пары (a,b){\displaystyle (a,b)} и (c,d){\displaystyle (c,d)} равны в том и только том случае, когда a=c{\displaystyle a=c} и b=d{\displaystyle b=d}.
Важность «порядка» можно показать на примере обычной записи чисел: используя две цифры 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов.
В упорядоченной паре (a,b){\displaystyle (a,b)} может быть, что a=b{\displaystyle a=b}. Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).
Отображения произведения множеств в его множители — φ:X×Y→X,φ(x,y)=x{\displaystyle \varphi \colon X\times Y\to X,\;\varphi (x,y)=x} и ψ:X×Y→Y,ψ(x,y)=y{\displaystyle \psi \colon X\times Y\to Y,\;\psi (x,y)=y} — называют координатными функциями.
Аналогично определяется произведение конечного семейства множеств.
Комментарии
Строго говоря, тождество ассоциативности A×(B×C)=(A×B)×C{\displaystyle A\times (B\times C)=(A\times B)\times C} не имеет места, но в силу существования естественного взаимно однозначного соответствия между множествами A×(B×C){\displaystyle A\times (B\times C)} и (A×B)×C{\displaystyle (A\times B)\times C} этим различием можно зачастую пренебречь.
Декартова степень
| 000 | 001 | 002 | 010 | 011 | 012 | 020 | 021 | 022 |
| 100 | 101 | 102 | 110 | 111 | 112 | 120 | 121 | 122 |
| 200 | 201 | 202 | 210 | 211 | 212 | 220 | 221 | 222 |
| {0, 1, 2}3, 33 = 27 элементов | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n{\displaystyle n}-я Декартова степень множества X{\displaystyle X} определяется для целых неотрицательных n{\displaystyle n}, как n{\displaystyle n}-кратное Декартово произведение X{\displaystyle X} на себя[1]:
- X×X×…×X⏟.n{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {X\times X\times \ldots \times X} .\\n\end{matrix}}}
Обычно обозначается как Xn{\displaystyle X^{n}} или X×n{\displaystyle X^{\times n}}.
При положительных n{\displaystyle n} Декартова степень Xn{\displaystyle X^{n}} состоит из всех упорядоченных наборов элементов из X{\displaystyle X} длины n{\displaystyle n}. Так вещественное пространство R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} (множество кортежей из трех вещественных чисел), есть 3-я степень множества вещественных чисел R.{\displaystyle \mathbb {R} .}
При n=0{\displaystyle n=0}, Декартова степень X0,{\displaystyle X^{0},} по определению, содержит единственный элемент — пустой кортеж.
Прямое произведение семейства множеств
В общем случае, для произвольного семейства множеств (не обязательно различных) {Xi}i∈I{\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} (множество индексов может быть бесконечным) прямое произведение X=∏i∈IXi{\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}} определяется как множество функций, сопоставляющих каждому элементу i∈I{\displaystyle i\in I} элемент множества Xi{\displaystyle X_{i}}:
- ∏i∈IXi={f:I→⋃i∈IXi∣f(i)∈Xi,i∈I}.{\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\{f\colon I\to \bigcup \limits _{i\in I}X_{i}\mid f(i)\in X_{i},i\in I\}.}
Отображения πi:X→Xi:f↦f(i){\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}\colon f\mapsto f(i)} называются проекциями.
В частности, для конечного семейства множеств {A1,…,An}{\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{n}\}} любая функция f:{1,…,n}→⋃i=1nAi{\displaystyle f:\{1,\dots ,n\}\to \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}} с условием f(i)∈Ai{\displaystyle f(i)\in A_{i}} эквивалентна некоторому кортежу длины n{\displaystyle n}, составленному из элементов множеств {Ai}i=1n{\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}}, так, что на i{\displaystyle i}-ом месте кортежа стоит элемент множества Ai{\displaystyle A_{i}}. Поэтому декартово (прямое) произведение конечного числа множеств {Ai}i=1n{\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}} может быть записано так:
- A1×⋯×An={(a1,…,an)∣ai∈Ai,i∈{1,…,n}}.{\displaystyle A_{1}\times \dots \times A_{n}=\{(a_{1},\dots ,a_{n})\mid a_{i}\in A_{i},i\in \{1,\dots ,n\}\}.}
Проекции определяются следующим образом: πi:(a1,…an)↦ai{\displaystyle \pi _{i}\colon (a_{1},\dots a_{n})\mapsto a_{i}}
Прямое произведение отображений
Пусть f{\displaystyle f} — отображение из A{\displaystyle A} в B{\displaystyle B}, а g{\displaystyle g} — отображение из X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y}. Их прямым произведением f×g{\displaystyle f\times g} называется отображение из A×X{\displaystyle A\times X} в B×Y{\displaystyle B\times Y}: (f×g)(a,x)=(f(a),g(x)){\displaystyle (f\times g)(a,\;x)=(f(a),\;g(x))}.
Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.
Воздействие на математические структуры
Декартово произведение U×V{\displaystyle U\times V} двух векторных пространств U{\displaystyle U}и V{\displaystyle V}над общим полем F{\displaystyle F} — это множество упорядоченных пар векторов {(u,v)|u∈U,v∈V}{\displaystyle \{(u,v)|u\in U,v\in V\}}, без какой-либо математической структуры.
Прямое произведение U⊗V{\displaystyle U\otimes V}двух векторных пространств U{\displaystyle U}и V{\displaystyle V}над общим полем F{\displaystyle F} — это множество упорядоченных пар векторов {(u,v)|u∈U,v∈V}{\displaystyle \{(u,v)|u\in U,v\in V\}}(упорядоченную пару векторов (u,v){\displaystyle (u,v)}часто записывают в виде u⊗v{\displaystyle u\otimes v} и называют диадой) наделённое дополнительной структурой.
- (λa1+μa2)⊗b=λa1⊗b+μa2⊗b, λ,μ∈K{\displaystyle (\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \in K}
- a⊗(λb1+μb2)=λa⊗b1+μa⊗b2, λ,μ∈K{\displaystyle a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \in K}
Слово упорядоченная пара значит, что u⊗v≠v⊗u{\displaystyle u\otimes v\neq v\otimes u}.
Прямое произведение групп
Прямое (декартово) произведение двух групп (G,∗){\displaystyle (G,*)} и (H,∘){\displaystyle (H,\circ )} — это группа из всех пар элементов (g,h){\displaystyle (g,h)} с операцией покомпонентного умножения: (g1,h2)×(g2,h3)=(g1∗g2,h2∘h3){\displaystyle (g_{1},h_{1})\times (g_{2},h_{2})=(g_{1}*g_{2},h_{1}\circ h_{2})}. Эта группа обозначается как G×H{\displaystyle G\times H}. Ассоциативность операции умножения в группе G×H{\displaystyle G\times H} следует из ассоциативности операций перемножаемых групп. Сомножители G{\displaystyle G} и H{\displaystyle H} изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, {(g,1H)∣g∈G}{\displaystyle \{(g,1_{H})\mid g\in G\}} и {(1G,h)∣h∈H}{\displaystyle \{(1_{G},h)\mid h\in H\}} соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента (1G,1H){\displaystyle (1_{G},1_{H})}, который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.
Это определение распространяется на произвольное число перемножаемых групп. В случае конечного числа прямое произведение изоморфно прямой сумме. Отличие возникает при бесконечном числе множителей.
В общем случае, ∏i∈I¯Gi={f:I→⋃i∈IGi}{\displaystyle {\overline {\prod _{i\in I}}}G_{i}=\{f\colon I\to \bigcup _{i\in I}G_{i}\}}, где f(i)∈Gi{\displaystyle f(i)\in G_{i}} и (f1×f2)(i)=f1(i)∗f2(i){\displaystyle (f_{1}\times f_{2})(i)=f_{1}(i)*f_{2}(i)}. (Операция в правой части — это операция группы Gi{\displaystyle G_{i}}.) Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: (1i),i∈I{\displaystyle (1_{i}),\;i\in I}. Например, для счётного числа групп: ∏i∈N¯Z2=(2N,xor){\displaystyle {\overline {\prod _{i\in \mathbb {N} }}}\mathbb {Z} _{2}=(2^{\mathbb {N} },\;\operatorname {xor} )}, где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.
Подгруппа на множестве всех f{\displaystyle f}, носитель которых (то есть множество supp(f)={i∈I∣f(i)≠1i}{\displaystyle \mathrm {supp} \,(f)=\{i\in I\mid f(i)\neq 1_{i}\}}) конечен, называется прямой суммой. Например, прямая сумма того же самого набора множеств ∏i∈NZ2 = (N,xor){\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {Z} _{2}\ =\ (\mathbb {N} ,\;\operatorname {xor} )} содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.
Прямое произведение других алгебраических структур
Аналогично произведению групп можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения 1i{\displaystyle 1_{i}} (см. выше) следует заменить нулём. Определение произведения двух (или конечного числа) объектов совпадает с определением прямой суммы. Однако, вообще говоря, прямая сумма отличается от прямого произведения: например, прямое произведение счётного множества копий R{\displaystyle \mathbb {R} } суть пространство всех последовательностей действительных чисел, тогда как прямая сумма — пространство тех последовательностей, у которых только конечное число членов ненулевые (т. н. финитных последовательностей).
Прямое произведение топологических пространств
Пусть X{\displaystyle X} и Y{\displaystyle Y} — два топологических пространства. Топология произведения X×Y{\displaystyle X\times Y} задаётся базой, состоящей из всевозможных произведений U×V{\displaystyle U\times V}, где U{\displaystyle U} — открытое подмножество X{\displaystyle X} и V{\displaystyle V} — открытое подмножество Y{\displaystyle Y}.
Определение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств. Для бесконечного произведения X=ΠXi{\displaystyle X=\Pi X_{i}} определение усложняется. Определим открытый цилиндр Cyl(i,U)={x∈X∣xi∈U}{\displaystyle Cyl(i,\;U)=\{x\in X\mid x_{i}\in U\}}, где i∈I{\displaystyle i\in I} и U{\displaystyle U} — открытое подмножество Xi{\displaystyle X_{i}}.
Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений, если считать индексное множество I{\displaystyle I} имеющим дискретную топологию).
Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).
Также теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова.
Прямое произведение графов
| — | | |
| | — | |
| | | |
| | — | |
Множество вершин прямого произведения двух графов G{\displaystyle G} и H{\displaystyle H} задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:
- (g,h)(g′,h){\displaystyle (g,\;h)(g’,\;h)}, где g{\displaystyle g} и g′{\displaystyle g’} — соединённые ребром вершины графа G{\displaystyle G}, а h{\displaystyle h} — произвольная вершина графа H{\displaystyle H};
- (g,h)(g,h′){\displaystyle (g,\;h)(g,\;h’)}, где g{\displaystyle g} — произвольная вершина графа G{\displaystyle G}, а h{\displaystyle h} и h′{\displaystyle h’} — соединённые ребром вершины графа H{\displaystyle H}.
Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.
Вариации и обобщения
Идея прямого произведения получила дальнейшее развитие в теории категорий, где она послужила основой для понятия произведения объектов. Неформально, произведение двух объектов A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} — это наиболее общий объект в данной категории, для которого существуют проекции на A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B}. Во многих категориях (множеств, групп, графов, …) произведением объектов является именно их прямое произведение. Важно, что в большинстве случаев важно не столько конкретное определение прямого произведения, сколько указанное выше свойство универсальности. Различные определения будут давать при этом изоморфные объекты.
См. также
Примечания
Литература
- Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
wikiredia.ru