8. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(Х), выражающая для каждого Х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее Х: .
Функцию F(х) иногда называют интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения.
Случайная величина Х называется Непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.
Примеры непрерывных случайных величин: диаметр детали, которую токарь обтачивает до заданного размера, рост человека, дальность полета снаряда и др.
Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю
.
Следствие. Если Х — непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т.
.
Если непрерывная случайная величина Х может принимать только значения в границах от А до B (где А и B — некоторые постоянные), то функция распределения ее равна нулю для всех значений и единице для значений .
Для непрерывной случайной величины
.
Все свойства функций распределения дискретных случайных величин выполняются и для функций распределения непрерывных случайных величин.
Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным.
Плотностью вероятности (Плотностью распределения или Плотностью) Р(Х) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения
.
Плотность вероятности Р(Х), как и функция распределения F(Х), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для Непрерывных
случайных величин.Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией, или дифференциальным законом распределения.
График плотности вероятности называется кривой распределения.
Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:
.
(рис. 8.1).
Рис. 8.1
(рис. 8.2).
Рис. 8.2
4. .
Геометрически свойства плотности вероятности означают, что ее график — кривая распределения — лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Пример 8.1. Минутная стрелка электрических часов передвигается скачками поминутно. Вы бросили взгляд на часы. Они показывают
Решение. Очевидно, что функция распределения истинного времени равна 0 для всех и единице для . Время течет равномерно.
Поэтому вероятность того, что истинное время меньше А + 0,5 мин, равна 0,5, так как одинаково вероятно, прошло ли после А менее или более полминуты. Вероятность того, что истинное время меньше А + 0,25 мин, равна 0,25 (вероятность этого времени втрое меньше вероятности того, что истинное время больше А + 0,25 мин, а сумма их равна единице, как сумма вероятностей противоположных событий). Аналогично рассуждая, найдем, что вероятность того, что истинное время меньше А + 0,6 мин, равна 0,6. В общем случае вероятность того, что истинное время меньше А + + α мин , равна α. Следовательно, функция распределения истинного времени имеет следующее выражение:
Она непрерывна всюду, а производная ее непрерывна во всех точках, за исключением двух: Х = а и Х = а + 1. График этой функции имеет вид (рис. 8.3):
Рис.
8.3
Пример 8.2. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция
Решение.
Рис. 8.4
Все значения этой функции принадлежат отрезку , т. е. . Функция F(Х) является неубывающей: в промежутке она постоянна, равна нулю, в промежутке возрастает, в промежутке также постоянна, равна единице (см. рис. 8.4). Функция непрерывна в каждой точке Х0 области ее определения — промежутка , поэтому непрерывна слева, т. е. выполняется равенство
, .
Выполняются и равенства:
, .
Следовательно, функция удовлетворяет всем свойствам, характерным для функции распределения. Значит данная функция является функцией распределения некоторой случайной величины Х.
Пример 8.3. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция
Решение. Данная функция не является функцией распределения случайной величины, так как на промежутке она убывает и не является непрерывной.
График функции изображен на рис. 8.5.
Рис. 8.5
Пример 8.4. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти коэффициент А и плотность вероятности случайной величины Х. Определить вероятность неравенства .
Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения
Коэффициент А определяем с помощью равенства
,
Отсюда
.
Тот же результат можно было получить, используя непрерывность функции в точке
, .
Следовательно, .
Поэтому плотность вероятности имеет вид
Вероятность Попадания случайной величины Х в заданный промежуток вычисляется по формуле
.
Пример 8.5. Случайная величина Х имеет плотность вероятности (закон Коши)
.
Найти коэффициент А и вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала .
Найти функцию распределения этой случайной величины.
Решение. Найдем коэффициент А из равенства
,
Следовательно, .
Итак, .
Вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала , равна
Найдем функцию распределения данной случайной величины
Пример 8.6. График плотности вероятности случайной величины Х изображен на рис. 8.6 (закон Симпсона). Написать выражение плотности вероятности ифункцию распределения этой случайной величины.
Рис. 8.6
Решение. Пользуясь графиком, записываем аналитическое выражение плотности распределения вероятностей данной случайной величины
Найдем функцию распределения.
Если , то .
Если , то .
Если , то
Если , то
Следовательно, функция распределения имеет вид
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Практикум по теории вероятностей.
Ч. II: Случайныевеличины : учеб. пособие%PDF-1.6 % 1 0 obj > endobj 6 0 obj /Author /Creator (PScript5.dll Version 5.2.2) /Keywords /Producer (Acrobat Distiller 10.1.0 \(Windows\)) /ModDate (D:20200213155215+07’00’) /Title >> endobj 2 0 obj > endobj 3 0 obj > stream Acrobat Distiller 10.1.0 (Windows)Пособие является продолжением «Практикума по теории вероятностей. Часть I. Случайные события» и предназначено для оказания помощи студентам при выполнении практических заданий в курсе «Теория вероятностей».PScript5.dll Version 5.2.22020-02-13T15:52:15+07:002020-02-07T12:05:51+07:002020-02-13T15:52:15+07:00application/pdf
Случайные события» и предназначено для оказания помощи
x]WF3Y uҪ5NK@\#I!KVKIy[378B»ZLa*pQZ~’ UڱwkZ-״CạөTs]Vt’n|zOna4D/Z22.1 — Метод функции распределения
Возможно, вы не знали об этом в то время, но мы уже использовали метод функции распределения по крайней мере дважды в этом курсе, чтобы найти функцию плотности вероятности функции случайной величины. Например, мы использовали метод функции распределения, чтобы показать, что:
\(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\)
следует стандартному нормальному распределению, когда среднее значение \(\mu\) и стандартное отклонение \(\sigma\). И мы использовали метод функции распределения, чтобы показать, что, когда \(Z\) следует стандартному нормальному распределению: 92\)
следует распределению хи-квадрат с 1 степенью свободы. Таким образом, мы использовали метод функции распределения , чтобы найти p.d.f. случайной функции \(Y=u(X)\) по:
Во-первых, нахождение кумулятивной функции распределения:
\(F_Y(y)=P(Y\leq y)\)
Затем дифференцируем кумулятивную функцию распределения \(F(y)\), чтобы получить функцию плотности вероятности \(f(y)\).
То есть:\(f_Y(y)=F’_Y(y)\) 9{1/2}\)
для \(0
Одна вещь, которую вы можете заметить в последнем примере, заключается в том, что с большой осторожностью были использованы индексы кумулятивных функций распределения и функций плотности вероятности с помощью \(X\) или \(Y\), чтобы указать, к какой случайной переменной принадлежали функции. Например, при нахождении кумулятивной функции распределения \(Y\) мы начали с кумулятивной функции распределения \(Y\) и получили кумулятивную функцию распределения \(X\)! Если бы мы не использовали индексы, у нас был бы хороший шанс опустить руки и испортить расчет. Короче говоря, использование индексов — это хорошая привычка! 93\)
вы можете заметить, что функция является убывающей функцией от \(X\) и \(0
При этом давайте теперь воспользуемся методом функции распределения, чтобы найти p.d.f. из \(Y\). Сначала находим кумулятивную функцию распределения \(Y\):Показав, что кумулятивная функция распределения \(Y\) равна:
\(F_Y(y)=y\)
для \ (0
\(f_Y(y)=F’_Y(y)=1\)
для \(0
5.4: Нахождение распределений функций непрерывных случайных величин
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 3275
- Кристин Кутер
- Колледж Святой Марии
Случай с одной переменной
В дополнение к одновременному рассмотрению вероятностных распределений случайных величин с использованием совместных функций распределения также имеется возможность рассмотреть распределение вероятностей 92, & \text{for}\ 0\leq x\leq 1 \\
0, & \text{иначе. }
\end{array}\right.\notag$$
Предположим, станция вмещает 10 000 галлонов, тогда \(10 000X\) дает количество галлонов, складируемых за неделю. Если текущая цена на газ составляет 3 доллара за галлон, а фиксированная стоимость доставки составляет 2000 долларов, то общая стоимость хранения \(10 000X\) галлонов в данную неделю определяется следующим образом:
3 доллара США (10 000X) + 2000 \quad\Rightarrow\quad C = 30 000X + 2000,\label{cost}$$
, где случайная величина \(C\) обозначает общую стоимость доставки.Один из подходов к нахождению распределения вероятностей функции случайной величины основан на соотношении между pdf и cdf для непрерывной случайной величины:
$$\frac{d}{dx} [F(x) ] = f(x) \qquad\text{»производная cdf = pdf»}\notag$$
Как мы увидим в следующих примерах, часто проще найти cdf функции непрерывной случайной величины , а затем используйте приведенное выше соотношение для получения PDF.93, & 0\leq x\leq 1 \\
1, & 1\end{array}\right. \label{cdfX}$$Теперь мы можем использовать cdf для \(X\) для найдите cdf \(C\) . Пусть \(с\) обозначает возможное значение случайной величины \(С\). Мы связываем cdf \(C\) с cdf \(X\), подставляя выражение \(C\) через \(X\), данное в уравнении \ref{cost}, и затем решая для \(X\), следующим образом:
$$F_C(c) = P(C\leq c) = P(30000X+2000\leq c) = P\left(X\leq \frac{c-2000}{ 30000}\вправо) = F_X\влево(\frac{c-2000}{30000}\вправо)\notag$$ 93, \quad\text{for}\ 2000\leq c\leq 32000.\label{cdfC}$$
Обратите внимание, что \(2000\leq c\leq32000\) дает возможные значения \(C\). \(C\) не может быть меньше 2000 долларов США из-за фиксированных затрат на доставку, а \(C\) не может быть больше 32000 долларов США, что составляет стоимость хранения всего резервуара.Теперь мы найдем PDF для \(C\) , взяв производную cdf в уравнении \ref{cdfC}:
$$f_C(c) = \frac{d}{dc}\left [F_C(c)\right] = \frac{d}{dc} \left[\left(\frac{c-2000}{30000}\right)^3\right] = 3\left(\frac{c -2000}{30000}\right)^2\times \left(\frac{1}{30000}\right), \text{ for } 2000\leq c\leq32000\notag$$Видео: мотивирующий пример (прохождение примеров 5.
2\leq y) = P\left(X\leq \sqrt{y}\right) = F_X\left(\sqrt{y}\right) = \sqrt{y}, \text{для} 0\ leq y\leq 1\notag$$ 9{-\frac{1}{2}}, \text{ for } 0\leq y\leq 1\notag$$Следующее формализует стратегию, которую мы использовали для поиска cdf в предыдущих примерах.
Метод замены переменной
Предположим, что \(X\) является непрерывной случайной величиной с функцией плотности вероятности \(f_X(x)\), которая отлична от нуля на интервале \(I\).
Далее, пусть \(g\) — дифференцируемая функция, строго монотонная на \(I\).
Тогда плотность вероятности \(Y=g(X)\) равна 9{-1}(y)\right]\right|,\qquad\ \text{for}\ x\in I\ \text{and } y=g(x).\label{cov}$$
Видео: метод замены переменной и пошаговое руководство примера 5.4.5
Возвращаясь к примеру 5.4.2, мы демонстрируем технику замены переменной.
Пример \(\PageIndex{4}\)
Напомним, что случайная величина \(X\) обозначает количество запасенного газа.
Теперь пусть \(Y\) обозначает общую стоимость доставки запасенного газа, т. е. \(Y = 30000X+2000\). Мы знаем, что плотность вероятности \(X\) равна 92\times\frac{1}{30000},\notag$$
, что соответствует результату из примера 5.4.2.Неформально метод замены переменной можно сформулировать следующим образом.
- Найдите cdf \(Y=g(X)\) в терминах cdf для \(X\), используя обратную \(g\), т. е. изолируем \(X\).
- Возьмите производную cdf для \(Y\), чтобы получить PDF для \(Y\), используя цепное правило. Абсолютное значение необходимо, если \(g\) уменьшается.
Преимущество метода замены переменной состоит в том, что нам не нужно находить cdf для \(X\), чтобы найти PDF для \(Y\), как показывает следующий пример. 93, \quad\text{ for } 0\leq y\leq 1.\notag$$
Метод замены переменной требует применения монотонной функции \(g\). Однако, если это не так, мы можем просто рассматривать монотонные пьесы отдельно, как в следующем примере.
Пример \(\PageIndex{6}\)
Пусть \(X\) равномерна на \([-1, 1]\). Тогда плотность вероятности \(X\) равна
$$f_X(x) = \frac{1}{2}, \text{ for } -1\leq x\leq 1,\notag$$ 92\leq y) = 0, \quad\text{ if } y<0 \\
\text{and}\ F_Y(y) &= P\left(-\sqrt{y}\leq X \leq \sqrt {y}\right), \quad\text{ if } y\geq 0 \\
\Rightarrow F_Y(y) &= F_X\left(\sqrt{y}\right) — F_X\left(-\sqrt{ y}\right) = \frac{\sqrt{y} + 1}{2} — \frac{-\sqrt{y}+1}{2} = \sqrt{y}, \quad\text{if} \ 0\leq \sqrt{y} \leq 1,
\end{align*}
что дает
$$F_Y(y) = \left\{\begin{array}{l l}
0 & \text{ if } y<0 \\
\sqrt{y}, & \text{ if } 0\leq y\leq 1\\
1, & \text{ if } y>1
\end{array}\right.\notag$$Теперь возьмем производную cdf, чтобы получить PDF \(Y\):
$$f_Y (y) = \ frac {d} {dy} [F_Y (y)] = \ left \ {\ begin {array} {ll}
\ displaystyle {\ frac {d} {dy} [0]} = 0, & \text{ if } y<0 \\
\displaystyle{\frac{d}{dy}\left[\sqrt{y}\right] = \frac{1}{2\sqrt{y}}}, & \text{ if } 0\leq y\leq 1\\
\displaystyle{\frac{d}{dy}[1]=0}, & \text{ if } y>1
\end{array}\ верно. \notag$$ 92\) задается как
$$f_Y(y) = \left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{y}}}, & \text{if } 0\leq y\leq 1\\
0, & \text{ иначе }
\end{array}\right.\notag$$Видео: бонусный пример
: Нормальные распределения
Функции нормально распределенных случайных величин имеют особое значение в статистике. В следующем примере мы получаем распределение вероятностей квадрата стандартной нормальной случайной величины. 92/2}, \quad\text{for}\ z\in\mathbb{R}.\notag$$
Используя это, мы теперь находим PDF-файл \(Y\):
\begin{align*}
f_Y(y) = \frac{d}{dy}[F_Y(y)] &= \frac{d}{dy}\left[\Phi\left(\sqrt{y}\right)-\Phi\left (-\sqrt{y}\right)\right]\\
&=\frac{d}{dy}\left[\Phi\left(\sqrt{y}\right)\right] — \frac{d }{dy}\left[\Phi\left(-\sqrt{y}\right)\right]\\
&= \varphi\left(\sqrt{y}\right)\cdot\frac{1}{ 2\sqrt{y}} + \varphi\left(-\sqrt{y}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}\\
&= \frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-(\sqrt{y})^2/2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-(-\sqrt{y})^2/2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}} \\ 9{-x}, \quad\text{for}\ 0\leq y\leq x < \infty. \notag$$
На следующем рисунке показана область (заштрихованная синим цветом), над которой совместная плотность вероятности \(X\ ) и \(Y\) отличен от нуля.Давайте определим случайную величину \(W = g(X,Y) = X-Y\) и найдем плотность вероятности \(W\).
Сначала находим cdf \(W\),
$$F_W(w) = P(W\leq w) = P(X-Y\leq w),\notag$$
, для которого нам нужно найти где область, заданная \(\{(x,y) | x-y \leq w\}\), пересекает область, над которой совместная PDF \(f(x,y)\) отлична от нуля. Обратите внимание, что если \(w<0\), то \(P(X-Y\leq w) = 0\), так как нет пересечения с тем, где совместная PDF \(f(x,y)\) отлична от нуля. Если \(w \geq 0\), то 9{-w}, & \text{ if } w\geq 0
\end{массив}\right.\notag$$
Примечание: \(W\) экспоненциально с \(\lambda = 1\).ВИДЕО: Прохождение примера 5.4.8
Использование моментных функций
Существует еще один подход к поиску вероятностей.
функции. Напомним следующие свойства мгф.Теорема 3.8.4
Мгф \(M_X(t)\) случайной величины \(X\) однозначно определяет распределение вероятностей \(X\). Другими словами, если случайные величины \(X\) и \(Y\) имеют одинаковые mgf, \(M_X(t) = M_Y(t)\), то \(X\) и \(Y\) имеют такое же распределение вероятностей.
Теорема 3.8.2
Пусть \(X\) — случайная величина с mgf \(M_X(t)\), а \(a,b\) — константы. Если случайная величина \(Y = aX + b\), то мгф \(Y\) определяется как 9{bt}M_X(at).\notag$$
Теорема 3.8.3
ldots, M_{X_n}(t)\) соответственно, тогда мгф случайной величины \(Y = X_1 + \cdots + X_n\) определяется как
$$M_Y(t) = M_{X_1}(t) \cdots M_{X_n}(t).\notag$$Теорема 3.8.4 утверждает, что МДФ уникальны, а теоремы 3.8.2 и 3.8.3 вместе обеспечивают процесс нахождения МДФ линейной комбинации случайные переменные. Все три теоремы дают 92/2}.\notag$$
То есть:
} 
\label{cdfX}$$
2\leq y) = P\left(X\leq \sqrt{y}\right) = F_X\left(\sqrt{y}\right) = \sqrt{y}, \text{для} 0\ leq y\leq 1\notag$$ 9{-\frac{1}{2}}, \text{ for } 0\leq y\leq 1\notag$$
Теперь пусть \(Y\) обозначает общую стоимость доставки запасенного газа, т. е. \(Y = 30000X+2000\). Мы знаем, что плотность вероятности \(X\) равна 92\times\frac{1}{30000},\notag$$ 
\notag$$ 92\) задается как 
\notag$$ 
функции. Напомним следующие свойства мгф. Таким образом, мы показали, что \(Z\) и \(\displaystyle{\frac{X-\mu}{\sigma}}\) имеют одну и ту же mgf, что по теореме 3.