Найти матрицу обратную данной: Обратная матрица онлайн

Обратная матрица с помощью определителя. Матричная алгебра

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,…А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
3. Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
4. Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е.

Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Матричный метод в экономическом анализе

Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,….,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,….,m) .

На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.

Матричная алгебра — Обратная матрица

Обратная матрица

Обратной матрицей называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу.
Обозначим обратную матрицу к матрице А через , тогда согласно определению получим:

где Е – единичная матрица.
Квадратная матрица называется неособенной (невырожденной ), если ее определитель не равен нулю. В противном случае она называется особенной (вырожденной ) или сингулярной .

Имеет место теорема: всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.

Операция нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Рассмотрим алгоритм обращения матрицы. Пусть дана неособенная матрица

n -го порядка:

где Δ = det A ≠ 0.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n -го порядка А называется взятый с определенным знаком определитель матрицы (n –1)-го порядка, полученной вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца матрицы А :

Составим так называемую присоединенную матрицу:

где– алгебраические дополнения соответствующих элементовматрицы А .
Заметим, что алгебраические дополнения элементов строк матрицы А размещаются в соответствующих столбцах матрицы Ã , то есть одновременно производится транспонирование матрицы.
Разделив все элементы матрицы Ã на Δ – величину определителя матрицы А , получим в результате обратную матрицу:

Отметим ряд особых свойств обратной матрицы:

1) для данной матрицы А ее обратная матрица является единственной;
2) если существует обратная матрица , то правая обратная и левая обратная матрицы совпадают с ней;
3) особенная (вырожденная) квадратная матрица не имеет обратной матрицы.

Основные свойства обратной матрицы:
1) определитель обратной матрицы и определитель исходной матрицы являются обратными величинами;
2) обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведениюобратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:

3) транспонированная обратная матрица равна обратной матрице от данной транспонированной матрицы:

П р и м е р. Вычислить матрицу, обратную данной.

Обратная матрица для данной это такая матрица, умножение исходной на которую дает единичную матрицу: Обязательным и достаточным условием наличия обратной матрицы является неравенство нулю детерминанта исходной (что в свою очередь подразумевает, что матрица должна быть квадратная).

Если же определитель матрицы равняется нулю, то ее называют вырожденной и такая матрица не имеет обратной. В высшей математике обратные матрицы имеют важное значение и применяются для решения ряда задач. Например, на нахождении обратной матрицы построен матричный метод решения систем уравнений. Наш сервис сайт позволяет вычислять обратную матрицу онлайн двумя методами: методом Гаусса-Жордана и с помощью матрицы алгебраических дополнений. Прервый подразумевает большое количество элементарных преобразований внутри матрицы, второй — вычисление детерминанта и алгебраических дополнений ко всем элементам. Для вычисления определителя матрицы онлайн вы можете воспользоваться другим нашим сервисом — Вычисление детерминанта матрицы онлайн

.

Найти обратную матрицу на сайт

сайт позволяет находить

обратную матрицу онлайн быстро и бесплатно. На сайте произвордятся вычисления нашим сервисом и выдается результат с подробным решением по нахождению обратной матрицы . Сервер всегда выдает только точный и верный ответ. В задачах по определению обратной матрицы онлайн , необходимо, чтобы определитель матрицы был отличным от нуля, иначе сайт сообщит о невозможности найти обратную матрицу ввиду равенства нулю определителя исходной матрицы. Задача по нахождению обратной матрицы встречается во многих разделах математики, являясь одним из самых базовых понятий алгебры и математическим инструментом в прикладных задачах. Самостоятельное определение обратной матрицы требует значительных усилий, много времени, вычислений и большой внимательности, чтобы не допустить описку или мелкую ошибку в вычислениях. Поэтому наш сервис по

нахождению обратной матрицы онлайн значительно облегчит вам задачу и станет незаменимым инструментом для решения математических задач. Даже если вы находите обратную матрицу самостоятельно, мы рекомендуем проверить ваше решение на нашем сервере. Ввведите вашу исходную матрицу у нас на Вычисление обратной матрицы онлайн и сверьте ваш ответ. Наша система никогда не ошибается и находит обратную матрицу заданной размерности в режиме онлайн мгновенно! На сайте сайт допускаются символьные записи в элементах матриц , в этом случае обратная матрица онлайн будет представлена в общем символьном виде.

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.

Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .

Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .

См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Нахождение транспонированной матрицы A T .
2. Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
3. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.

Следующий алгоритм нахождения обратной матрицы аналогичен предыдущему за исключением некоторых шагов: сначала вычисляются алгебраические дополнения, а затем определяется союзная матрица C .

1. Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
2. Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе — обратной матрицы не существует.
3. Определение алгебраических дополнений.
4. Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .
5. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
6. Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример №1 . Запишем матрицу в виде:

Алгебраические дополнения.

∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4

∆ 2,1 = -(2·4-5·3) = 7

∆ 2,3 = -(-1·5-(-2·2)) = 1

∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Другой алгоритм нахождения обратной матрицы

Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.

1. Находим определитель данной квадратной матрицы A .
2. Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
3. Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
4. Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .

Как видим, операция транспонирования может применяться как в начале, над исходной матрицей, так и в конце, над полученными алгебраическими дополнениями.

Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .

Определение 1: матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.

Определение 2: матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю.

Матрица «A» называется обратной матрицей , если выполняется условие A*A-1 = A-1 *A = E (единичной матрице).

Квадратная матрица обратима только в том случае, когда она является невырожденной.

Схема вычисления обратной матрицы:

1) Вычислить определитель матрицы «A», если ∆ A = 0, то обратной матрицы не существует.

2) Найти все алгебраические дополнения матрицы «A».

3) Составить матрицу из алгебраических дополнений (Aij )

4) Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений (Aij )T

5) Умножить транспонированную матрицу на число, обратное определителю данной матрицы.

6) Выполнить проверку:

На первый взгляд может показаться, что это сложно, но на самом деле всё очень просто. Все решения основаны на простых арифметических действиях, главное при решении не путаться со знаками «-» и «+», и не терять их.

А теперь давайте вместе с Вами решим практическое задание, вычислив обратную матрицу.

Задание: найти обратную матрицу «A», представленную на картинке ниже:

Решаем всё в точности так, как это указано в план-схеме вычисления обратной матрицы.

1. Первое, что нужно сделать, это найти определитель матрицы «A»:

Пояснение:

Мы упростили наш определитель, воспользовавшись его основными функциями. Во первых, мы прибавили ко 2 и 3 строке элементы первой строки, умноженные на одно число.

Во-вторых, мы поменяли 2 и 3 столбец определителя, и по его свойствам поменяли знак перед ним.

В-третьих, мы вынесли общий множитель (-1) второй строки, тем самым, снова поменяв знак, и он стал положительным. Также мы упростили 3 строку также, как в самом начале примера.

У нас получилась треугольный определитель, у которого элементы ниже диагонали равны нулю, и по 7 свойству он равен произведению элементов диагонали. В итоге мы получили ∆ A = 26, следовательно обратная матрица существует.

А11 = 1*(3+1) = 4

А12 = -1*(9+2) = -11

А13 = 1*1 = 1

А21 = -1*(-6) = 6

А22 = 1*(3-0) = 3

А23 = -1*(1+4) = -5

А31 = 1*2 = 2

А32 = -1*(-1) = -1

А33 = 1+(1+6) = 7

3. Следующий шаг — составление матрицы из получившихся дополнений:

5. Умножаем эту матрицу на число, обратное определителю, то есть на 1/26:

6. Ну а теперь нам просто нужно выполнить проверку:

В ходе проверки мы получили единичную матрицу, следовательно, решение было выполнено абсолютно верно.

2 способ вычисления обратной матрицы.

1. Элементарное преобразование матриц

2. Обратная матрица через элементарный преобразователь.

Элементарное преобразование матриц включает:

1. Умножение строки на число, не равное нулю.

2. Прибавление к любой строке другой строки, умноженной на число.

3. Перемена местами строк матрицы.

4. Применяя цепочку элементарных преобразований, получаем другую матрицу.

А-1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A-1 )

2. A-1 * A = E

Рассмотрим это на практическом примере с действительными числами.

Задание: Найти обратную матрицу.

Решение:

Выполним проверку:

Небольшое разъяснение по решению:

Сперва мы переставили 1 и 2 строку матрицы, затем умножили первую строку на (-1).

После этого умножили первую строку на (-2) и сложили со второй строкой матрицы. После чего умножили 2 строку на 1/4.

Заключительным этапом преобразований стало умножение второй строки на 2 и прибавлением с первой. В результате слева у нас получилась единичная матрица, следовательно, обратная матрица — это матрица справа.

После проверки мы убедились в правильности решения.

Как вы видите, вычисление обратной матрицы — это очень просто.

В заключении данной лекции хотелось бы также уделить немного времени свойствам такой матрицы.

7.3.3. Обращение квадратной матрицы MathCAD 12 руководство

RADIOMASTER

Лучшие смартфоны на Android в 2022 году

Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.

1007 0

Документация Схемотехника CAD / CAM Статьи

MathCAD 12 MatLab OrCAD P CAD AutoCAD MathCAD 8 — 11

• Главная
/
• База знаний
/
• CAD / CAM
/
• MathCAD 12

• Линейная алгебра
• 7.1. Простейшие матричные операции
  • 7.1.1. Транспонирование
  • 7.1.2. Сложение и вычитание
  • 7.1.3. Умножение
• 7.2. Векторная алгебра
  • 7.2.1. Модуль вектора
  • 7.2.2. Скалярное произведение
  • 7.2.3. Векторное произведение
  • 7. 2.4. Векторизация массива
• 7.3. Вычисление определителей и обращение квадратных матриц
  • 7.3.1. Определитель квадратной матрицы
  • 7.3.2. Ранг матрицы
  • 7.3.3. Обращение квадратной матрицы
  • 7.3.4. Возведение квадратной матрицы в степень
  • 7.3.5. Матричные нормы
  • 7.3.6. Число обусловленности квадратной матрицы
• 7.4. Вспомогательные матричные функции
  • 7.4.1. Автоматическая генерация матриц
  • 7.4.2. Разбиение и слияние матриц
  • 7.4.3. Сортировка элементов матриц
  • 7.4.4. Вывод размера матрицы

Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Inverse (Обратная матрица) на панели инструментов Matrix (Матрица). В листинге 7.16 приведен пример поиска обратной матрицы и последующая проверка правильности ее вычисления.

Листинг 7.16. Вычисление обратной матрицы

Теги MathCad САПР

Сюжеты MathCad

Глава 1 Основы работы с системой Mathcad 11

9947 0

Глава 10 Работа с информационными ресурсами Mathcad 11

6966 0

Глава 2 Работа с файлами Mathcad 11

12477 0

Комментарии (0)

Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

Вход

О проекте Использование материалов Контакты

Новости Статьи База знаний

Радиомастер
© 2005–2022 radiomaster.ru

При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.2253 s

матрицы — как найти один столбец или один элемент инверсии матрицы

спросил 11 лет, 8 месяцев назад

Изменено 11 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 12 тысяч раз

$\begingroup$

Пусть $A$ — квадратная обратимая матрица $n \times n$. {-1}$?

• матрицы
• линейная алгебра

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Обратной матрицей является сопряженная, деленная на определитель. Итак, вы хотите вычислить определитель подматрицы $(n-1) \times (n-1)$, деленный на определитель вашей исходной матрицы.

Асимптотически это не будет большой экономией, если вообще будет, по сравнению с простым инвертированием $A$, но об этом может быть проще думать или может быть проще для матриц специального вида.

Кроме того, если вы заботитесь об эффективности, помните, что вы никогда не должны вычислять определитель или обратный результат путем суммирования всех $n!$ перестановок! Используйте сокращение строк или, лучше, используйте хорошую библиотеку линейной алгебры.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Если вы готовы согласиться на приблизительный ответ, взгляните на статью:

Z. Bai, M. Fahey and G. Golub, Некоторые задачи крупномасштабного матричного вычисления Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 74, Выпуски 1-2, 5 19 ноября{-1},$ ключевыми словами являются «алгоритм сопряженного градиента». Я не понимаю вопроса о $(i, j)$-й записи, так как после того, как вы нашли столбец (или строку, выполняя транспонирование), вы можете найди свой элемент

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите

Зарегистрироваться через Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Матричная инверсия — линейная алгебра для глубокого обучения (часть 3)

В предыдущей статье о матричной алгебре мы рассмотрели основные матричные операции, такие как сложение и умножение матриц вместе. Мы отметили, что эти операции были необходимой предпосылкой к концепции инверсия матрицы .

В этой статье мы познакомимся с инверсией макстрикс и объясним, почему это важно. Мы будем мотивировать обращение матриц с помощью концепции решения одновременных линейных уравнений, которая может быть знакома вам по школьным урокам математики.

Необходимость решения одновременных линейных уравнений возникает во многих областях прикладной науки. В физике и технике численное моделирование потоков жидкости на компьютере требует решения одновременных линейных уравнений. В количественных финансах они используются для решения УЧП Блэка-Шоулза, что необходимо для определенных типов ценообразования опционов.

Важность обращения матриц как метода заключается в том, что он может помочь нам решить эти одновременные линейные уравнения. Это важнейший метод в статистике и машинном обучении, который, как известно, возникает при решении оценки методом наименьших квадратов для линейной регрессии.

Одновременные линейные уравнения

Давайте начнем с мотивирующего примера небольшого набора одновременных линейных уравнений:

\begin{выравнивание} х+2у+4з&=&10\ 3х+у-5з&=&-8\ 4x — 3y + 7z &=& 4 \end{эквнаррай}

Обычно цель состоит в том, чтобы найти значения $x$, $y$ и $z$, удовлетворяющие этим уравнениям. В приведенном выше случае, имея только три уравнения, некоторые относительно простые алгебраические манипуляции дадут ответ.

Как только количество уравнений становится значительно больше, запись уравнений таким образом может стать громоздкой с точки зрения записи.

Альтернативой является компактная запись таких систем с использованием матричной записи. T$ и матрицу коэффициентов $\boldsymbol{A}$ следующим образом:

\[ \boldsymbol{A} = \left[ \begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 4 \\ 3 и 1 и -5 \\ 4 и -3 и 7 \end{массив} \right] \]

Вышеупомянутую систему можно записать как:

\[ \left[ \begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 4 \\ 3 и 1 и -5 \\ 4 и -3 и 7 \end{массив} \right] \left[ \begin{массив}{с} Икс \\ у \\ г \end{массив} \right] = \left[ \begin{массив}{с} 10\ -8\\ 4 \end{массив} \right] \]

Или, более компактно:

\begin{выравнивание} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \end{эквнаррай}

Обратите внимание на жирный шрифт, подчеркивающий, что члены уравнения являются векторными и матричными величинами, а не скалярными величинами.

Если бы это было алгебраическое уравнение вида $A x = b$, где $A, x, b \in \mathbb{R}$, то есть все члены являются скалярными величинами, причем $A \neq 0$ то это можно было бы решить для $x$, просто разделив на $A$: 9{-1}$, известная как матрица , обратная матрицы $\boldsymbol{A}$. Однако для этого необходимо ввести некоторые другие математические инструменты.

Дельта Кронекера и матрицы индентичности

Дельта Кронекера является математической функцией двух переменных $i,j$ со следующими значениями:

\begin{уравнение} \дельта_{ij} = \begin{случаи} 1, & \text{если} i=j,\\ 0, & \text{if } i\neq j. \end{случаи} \end{уравнение}

По сути, дельта Кронекера равна единице, когда $i$ и $j$ равны, и нулю в противном случае.

Эту функцию можно использовать для определения новой квадратной матрицы, в которой каждый элемент матрицы в позиции $i, j$ равен дельте Кронекера этого значения.

Математически компактно это записывается как $\boldsymbol{I}_n=[\delta_{ij}]_{n \times n}$. Сама матрица будет иметь следующий вид:

\begin{уравнение} \boldsymbol{I}_n=\begin{bmatrix} \kern4pt 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \kern4pt \\ \kern4pt 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \kern4pt \\ \kern4pt 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \kern4pt \\ \kern4pt \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \kern4pt \\ \kern4pt 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \kern4pt \\ \end{bmatrix} \end{уравнение}

В частности, все элементы матрицы равны нулю, кроме элементов на диагонали матрицы, которые равны единице. {n \times n}$ влево или вправо она оставляет $\boldsymbol{A}$ неизменной : 9{-1}$ или возможно ли это сделать.

Это будет темой следующих статей цикла, а мы кратко упомянем некоторые основные механизмы вычисления обратной матрицы.

Алгоритмы обращения матриц

Распространенным методом нахождения обратной матрицы (если она существует) является использование метода, известного как исключение Гаусса-Жордана (или исключение Гаусса). Однако для большой $n \times n$-мерной матрицы это дорогостоящий и неэффективный механизм нахождения обратной. 93)$. Это может быть серьезной проблемой, если необходимо выполнить много таких обратных операций.

Для большинства приложений в прикладной науке, количественных финансах и глубоком обучении достаточно аппроксимировать решение $\boldsymbol{x}$ в пределах определенного допуска, а не искать точное значение напрямую.

Существует множество алгоритмов с меньшим объемом вычислений, которые достаточно эффективны для обеспечения необходимой точности.

Эти алгоритмы состоят либо из хорошо оптимизированной версии исключения Гаусса-Жордана для конкретных структурированных матриц ¹ , либо используют итеративный подход, который аппроксимирует $\boldsymbol{x}$ с определенной точностью в конечном числе итерации.

Необходимость эффективно аппроксимировать $\boldsymbol{x}$ в приведенном выше матричном уравнении привела к развитию целой области математики, известной как Численная линейная алгебра .

Определенные матричные факторизации могут быть чрезвычайно полезны для более эффективного решения этого уравнения. Эти факторизации будут подробно обсуждаться в последующих статьях.

Следующие шаги

В следующей статье мы рассмотрим исключение Гаусса-Жордана и напишем код на Python для выполнения обращения матриц и сравнения нашей реализации с реализацией, предоставленной библиотекой SciPy.

Сноски

1.