Найти матрицу обратную к матрице: Обратная матрица онлайн

Ссылка на массив также может быть указана как ссылка на именованный диапазон .

Некоторые квадратные матрицы не могут быть обращены: в таких случаях функция МОБР() возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. Матрицы не могут быть обращены, у которых определитель равен 0.

Если функция МОБР() вернула значение ошибки #ЗНАЧ!, то либо число строк в массиве не равно числу столбцов, либо какая-либо из ячеек в массиве пуста или содержит текст. Т.е. функция МОБР() пустую ячейку воспринимает не как содержащую 0 (как например, это делает СУММ() ), а как ошибочное значение.

СОВЕТ : Этот раздел стоит читать только продвинутым пользователям MS EXCEL. Кроме того материал представляет только академический интерес, т.к. есть функция МОБР() .

В файле примера приведен расчет обратной матрицы 3-го порядка через матрицу алгебраических дополнений.

Порядок действий при вычислении обратной матрицы:

• Вычисляем определитель матрицы А (далее — Det(A)) и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима)
• Строим матрицу из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы
• Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений
• Умножаем каждый элемент транспонированной матрицы из алгебраических дополнений на 1/Det(A) и получаем обратную матрицу

В качестве проверки можно перемножить исходную и обратную матрицы . В результате должна получиться единичная матрица.

Матрица кофакторов — формула, определение, примеры

Матрица кофакторов формируется из кофакторов элементов данной матрицы. Кофактор элемента матрицы равен произведению минора элемента на -1 в степени позиционного значения элемента.

Матрица кофакторов полезна для нахождения сопряженной матрицы и обратной данной матрицы. Здесь мы узнаем, как найти матрицу кофакторов и приложения матрицы кофакторов.

Что такое матрица кофакторов?

Матрица кофакторов – это матрица, элементами которой являются кофакторы. Во-первых, давайте больше узнаем о кофакторе элемента в матрице. Кофактор элемента в матрице получается, когда минор \(M_{ij}\) элемента умножается на (-1) ^i+j . Здесь i и j являются позиционными значениями элемента и относятся к строке и столбцу, которым принадлежит данный элемент. Кофактор элемента обозначается как \(C_{ij}\). Если минор элемента равен \(M_{ij}\), то кофактор элемента будет: 9{i+j}) M_{ij}\)

Здесь сначала нужно найти минор элемента матрицы, а затем сомножитель, чтобы получить матрицу сомножителя

\(A = \left [\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right] \)

Минор элемента \(a_{12}\) выглядит следующим образом.

\(M_{12} = \left[\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{23} \\
а_{31} и а_{33}
\end{массив}\right] \) 9{3 + 3}М_{33}
\end{массив}\right] \\&=\left[\begin{массив}{ccc}
+M_{11} и -M_{12} и +M_{13} \\
-М_{21} и +М_{22} и -М_{23} \\
+M_{31} и -M_{32} и +M_{33}
\end{массив}\right] \\& = \left[\begin{массив}{ccc}
С_{11} и С_{12} и С_{13} \\
С_{21} и С_{22} и С_{23} \\
С_{31} и С_{32} и С_{33}
\конец{массив}\справа] \конец{выравнивание}\)

Как найти матрицу кофакторов?

Следующие четыре простых шага помогут найти матрицу кофакторов заданной матрицы.

• Сначала найдите минор каждого элемента матрицы, исключив строку и столбец этого конкретного элемента, а затем взяв оставшуюся часть матрицы.
• Во-вторых, найдите значение младшего элемента, взяв определитель оставшейся части матрицы.
• .Третий шаг включает в себя нахождение кофактора элемента путем умножения минора элемента на -1 в степени значений положения элемента. 9{2 + 3}\left|\begin{массив}{ll}
  а_{11} и а_{13} \\
  а_{21} и а_{23}
  \конец{массив}\право| = -(a_{11}.a_{23} — a_{13}.a_{21})\)

  Аналогично можно найти кофактор каждого элемента матрицы A. Далее можно составить кофактор факторная матрица A путем записи кофактора каждого элемента в матричном массиве.

  Матрица кофакторов A = \(\begin{bmatrix}C_{11} & C_{12}&C_{13}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}\\C_{31}&C_ {32}&C_{33}\end{bmatrix}\)

  Применение матрицы кофакторов

  Ниже приведены важные области применения матрицы кофакторов. Матрица кофакторов помогает найти сопряженную матрицу и обратную матрицу. Также кофакторы элементов матрицы полезны при вычислении определителя матрицы. Давайте теперь попробуем подробно разобраться в каждом из приложений матрицы кофакторов.

  Определитель матрицы

  Определитель матрицы является суммарным значением и рассчитывается с использованием элементов матрицы. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов определенной строки или столбца с их соответствующими сомножителями. Определитель матрицы определен только для квадратных матриц. Определитель матрицы A обозначается как |A|. 9{1 + 3} \left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}\right|\)

  Сопряжение матрицы

  сопряженную матрицу 3 x 3 можно получить, выполнив два простых шага. Сначала нам нужно найти матрицу сомножителей данной матрицы, а затем выполняется транспонирование этой матрицы сомножителей для получения сопряженной матрицы. Для матрицы вида A = \(\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32 }&a_{33}\end{pmatrix}\), матрица кофакторов A = \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_ {23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}\). Далее нам нужно транспонировать эту кофакторную матрицу, чтобы получить сопряженную матрицу.

  Adj A = транспонирование матрицы кофакторов = транспонирование \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_ {31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}\) =\(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{ 32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}\)

  Обратная матрица

  Обратная матрица может быть вычислена путем деления сопряженной матрицы на определитель матрица. Для матрицы A ее обратная A ^{-1 9{1 + 3} \left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}\right|\)}

  Adj A = Транспонировать Co- Матрица факторов = транспонирование \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{ 33}\end{pmatrix}\) =\(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_ {23}&A_{33}\end{pmatrix}\)

  A ^-1 = \(\dfrac{1}{|A|}\). \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{ pматрица}\)

  Связанные темы

  Следующие связанные темы помогут лучше понять матрицу кофакторов.

  • Квадратная матрица
  • Типы матриц
  • Матричная формула
  • Транспонирование матрицы
  • Сопряженная матрица
  • Обратная матрица
  • Симметричная матрица
  • Кососимметричная матрица

  Часто задаваемые вопросы о матрице кофакторов

  Что такое матрица кофакторов?

  Матрица кофакторов представляет собой матрицу, в которой кофакторы являются элементами матрицы. Кофактор элемента в матрице получается, когда минор \(M_{ij}\) элемента умножается на (-1) ^i+j . Здесь i и j являются позиционными значениями элемента и относятся к строке и столбцу, которым принадлежит данный элемент. Кофактор элемента обозначается как \(C_{ij}\). Если минор элемента равен \(M_{ij}\), то кофактор элемента будет: 9{i+j}) M_{ij}\)

  Как найти матрицу кофакторов?

  Следующие четыре простых шага помогут найти матрицу кофакторов заданной матрицы.

  • Сначала найдите минор каждого элемента матрицы, исключив строку и столбец этого конкретного элемента, а затем взяв оставшуюся часть матрицы.
  • Во-вторых, найдите значение младшего элемента, взяв определитель оставшейся части матрицы.
  • .Третий шаг включает в себя нахождение кофактора элемента путем умножения минора элемента с -1 на показатель степени значения положения элемента.
  • Четвертый шаг включает в себя формирование новой матрицы с кофакторами элементов данной матрицы, чтобы сформировать матрицу кофакторов.

  Как найти матрицу кофакторов матрицы 2 × 2?

  Матрица кофакторов матрицы 2 x 2 может быть определена с помощью формулы. Для матрицы A = \(\begin{bmatrix}a & b\\c&d\end{bmatrix}\) матрица кофакторов A = \(\begin{bmatrix}d & -c\\-b&a\ end{bmatrix}\)

  Как преобразовать матрицу кофакторов в сопряженную матрицу?

  Транспонирование матрицы кофакторов дает сопряженную матрицу. Формула транспонирования матрицы используется для нахождения транспонирования матрицы кофакторов.

  Adj A = транспонирование матрицы кофакторов = транспонирование \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_ {31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}\) =\(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{ 32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}\)

  Каково применение матрицы кофакторов?

  Матрица кофакторов помогает найти сопряженную матрицу и обратную матрицу. Также кофакторы элементов матрицы полезны при вычислении определителя матрицы.

  Элементарные операции со строками — примеры, нахождение обратного, определитель

  Существует множество применений элементарных операций со строками. Их можно использовать для простого решения системы уравнений, их можно использовать для нахождения ранга матрицы и т. д. Элементарные преобразования строк также используются для нахождения обратной матрицы A без использования какой-либо формулы, подобной A ^-1 = (прил А) / (прил А).

  Давайте посмотрим, как применять обратные операции со строками для простого выполнения нескольких задач.

  1.	Что такое элементарные операции со строками?
  2.	Элементарные операции со строками для решения системы уравнений
  3.	Элементарные операции со строками для нахождения обратной матрицы
  4.	Элементарные операции со строками для нахождения определителя
  5.	Элементарные операции со строками для нахождения ранга матрицы
  6.	Часто задаваемые вопросы об элементарных операциях со строками

  Что такое элементарные операции со строками?

  При выполнении элементарных операций над строками мы обычно представляем первую строку R₁, вторую строку R₂ и так далее. Есть в основном три типа элементарные операции с рядами:

  1. Перестановка двух рядов местами.
     Например, перестановка первой и второй строк показана как R₁ ↔ R₂.
  2. Умножение/деление строки на скаляр.
     Например, если первая строка (все элементы первой строки) умножается на некоторый скаляр, скажем, 3, это отображается как R₁ → 3R₁.
  3. Умножение/деление строки на некоторый скаляр и добавление/вычитание соответствующих элементов другой строки.
     Например, если первая строка умножается на 3 и добавляется ко второй строке, мы можем записать это как R₁ → 3R₁ + R₂ (или) R₂ → R₂ + 3R₁.

  Общепринятой практикой является запись одной и той же строки слева от стрелки и в самом первом вхождении правой стороны стрелки.

  Элементарные операции со строками для решения системы уравнений

  Мы можем решить систему уравнений, записанную в матричной форме AX = B, записав расширенную матрицу [AB] и применив к ней элементарные операции со строками, чтобы преобразовать ее в ступенчатую форму (предпочтительно в верхнетреугольную форму). Применение всех трех вышеперечисленных операций со строками не изменяет расширенную матрицу следующим образом:

  1. Перестановка двух строк местами — это не что иное, как перестановка двух уравнений системы местами, и это не влияет на решение.
  2. Умножение строки на некоторый скаляр не изменяет расширенную матрицу, так как мы всегда можем умножить обе части уравнения на скаляр, не влияя на уравнение.
  3. Умножение одной строки на скаляр и добавление его к другой строке — это не что иное, как умножение уравнения на скаляр и добавление его к другому уравнению, и мы обычно делаем это, чтобы решить систему уравнений.

  Этот процесс применения строковых операций для решения системы известен как исключение Гаусса. Мы можем увидеть пример применения преобразований строк для решения системы уравнений в разделе «Элементарные примеры операций со строками» ниже.

  Элементарные операции со строками для нахождения обратной матрицы

  Чтобы найти обратную квадратную матрицу A, мы обычно применяем формулу A ^-1 = (adj A) / (det A). Но этот процесс длительный, так как включает в себя множество шагов, таких как вычисление матрицы кофакторов, сопряженной матрицы, определителя и т. д. Чтобы упростить этот процесс, мы можем применить элементарные операции со строками. Вот шаги, чтобы сделать то же самое.

  • Рассмотрим расширенную матрицу [A | I], где I — единичная матрица того же порядка, что и A.
  • Применить преобразования строк для преобразования левой матрицы A в I.
  • Тогда правая матрица (которая заменяет исходную матрицу I) представляет собой не что иное, как A ^-1 .

  Чтобы узнать, как найти обратную матрицу 2×2 и обратную матрицу 3×3 с помощью элементарных операций со строками, щелкните соответствующие ссылки.

  Элементарные операции со строками для нахождения определителя

  Обычно мы находим определитель матрицы, находя сумму произведений элементов строки или столбца и их соответствующих коэффициентов. Но этот процесс затруднен, если члены матрицы являются выражениями. Но мы можем применить элементарные операции со строками, чтобы легко найти определитель. Но некоторые операции со строками влияют на определитель следующим образом:

  • Перестановка двух строк определителя меняет его знак.
  • Умножение строки на некоторый скаляр приводит к умножению определителя на тот же скаляр.
  • Умножение строки на некоторый скаляр и добавление результата к другой строке не изменяет определитель.

  Чтобы узнать, как найти определитель матрицы с помощью элементарных операций со строками, нажмите здесь.

  Элементарные операции со строками для нахождения ранга матрицы

  Ранг матрицы — это количество линейно независимых строк (или столбцов) в ней. Мы можем применить элементарные операции над строками к матрице, чтобы найти ее ранг двумя способами:

  • Мы можем преобразовать его в форму Echelon и подсчитать количество ненулевых строк в нем, что даст его ранг.
  • Мы можем преобразовать его в нормальную форму \(\left[\begin{array}{ll}
    лᵣ&0\\\
    0 и 0
    \end{array}\right]\), где Iᵣ — единичная матрица порядка r. Тогда ранг матрицы = r.

  Чтобы понять эти два метода с примерами, нажмите здесь.

  ☛ Похожие темы:

  • Калькулятор системы уравнений
  • Калькулятор определителя
  • Калькулятор обратной матрицы
  • Матричный калькулятор

   

  Примеры операций с элементарными строками

  1. Пример 1: Выполните следующие элементарные операции со строками над матрицей A = \(\left[\begin{array}{rrr}
     1&2&-1\
     3 & 2 & 0 \
     -4 и 0 и 2
     \end{массив}\right]\): (а) R₁ ↔ R₂ (б) R₂ → R₂ — 5R₁.

     Решение:

     (a) R₁ ↔ R₂ означает перестановку (или перестановку) первых двух строк.

     Тогда результат будет \(\left[\begin{array}{rrr}
     3 & 2 & 0 \
     1&2&-1\
     -4 и 0 и 2
     \end{массив}\right]\).

     (b) Имеем R₁ (первая строка) = [1 2 -1].

     Тогда -5R₁ = [-5 -10 5].

     R₂ — 5R₁ = [3 2 0] + [-5 -10 5] = [-2 -8 5]

     R₂ → R₂ — 5R₁ означает заменить R₂ на строку, полученную при выполнении R₂ — 5R₁. Тогда результирующая матрица равна \(\left[\begin{array}{rrr}
     1&2&-1\
     -2&-8&5\
     -4 и 0 и 2
     \end{массив}\right]\).

     Ответ: (a) \(\left[\begin{array}{rrr}
     3 & 2 & 0 \
     1&2&-1\
     -4 и 0 и 2
     \end{массив}\right]\) (b) \(\left[\begin{массив}{rrr}
     1&2&-1\
     -2&-8&5\
     -4 и 0 и 2
     \end{массив}\right]\).

  2. Пример 2: Решите следующую систему уравнений, используя элементарные преобразования строк: 2x — y + 3z = 8, -x + 2y + z = 4 и 3x + y — 4z = 0.

     Решение:

     Матричное уравнение данной системы:

     \(\left[\begin{array}{ccc}
     2&-1&3\
     -1&2&1\
     3 и 1 и -4
     \end{массив}\right]\left[\begin{массив}{l}
     х\
     у\
     я
     \end{массив}\right]=\left[\begin{массив}{l}
     8\
     4\
     0
     \end{array}\right]\)

     Расширенная матрица:

     [AB] = \(\left[\begin{array}{ccc:c}
     2&-1&3&8\
     -1&2&1&4\
     3 и 1 и -4 и 0
     \end{array}\right]\)

     Здесь мы преобразуем два последних элемента первого столбца (-1 и 3) в нуль. Мы используем R₁ в этом процессе.

     Применяем R₂ → 2R₂ + R₁ и R₃ → 2R₃ — 3R₁, получаем:

     = \(\left[\begin{array}{ccc:c}
     2&-1&3&8\
     0 и 3 и 5 и 16 \
     0 и 5 и -17 и -24
     \end{array}\right]\)

     Преобразуем последний элемент второго столбца (5) в ноль. Мы используем R₂ в этом процессе.

     Теперь примените R₃ → 3R₃ — 5R₂,

     = \(\left[\begin{array}{ccc:c}
     2&-1&3&8\
     0 и 3 и 5 и 16 \
     0 и 0 и -76 и -152
     \end{array}\right]\)

     Теперь разложим приведенную выше матрицу в виде уравнений:

     2x — y + 3z = 8 . .. (1)

     3y + 5z = 16 … (2)

     -76z = -152 … (3)

     Из (3), z = (-152) / (-76) = 2.

     Из (2), 3y + 5(2) = 16 ⇒ 3у = 6 ⇒ у = 2,

     Из (1), 2x — 2 + 3 (2) = 8 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2.

     Ответ: (x, y, z) = (2, 2, 2).

  3. Пример 3: Найти обратную матрицу A = \(\left[\begin{array}{ccc}
     -2&1&3\
     0&-1&1\
     1 и 2 и 0
     \end{массив}\right]\), используя элементарные операции со строками.

     Решение:

     Рассмотрим расширенную матрицу, образованную A, и единичную матрицу I.

     [А | I] = \(\left[\begin{array}{ccc:ccc}
     1&0&0&-2&1&3\
     0&1&0&0&-1&1\
     0 и 0 и 1 и 1 и 2 и 0
     \end{array}\right]\)

     Преобразуем правую часть матрицы в единичную.

     Применить R₃ → 2R₃ + R₁,

     = \(\left[\begin{array}{ccc:ccc}
     1&0&0&-2&1&3\
     0&1&0&0&-1&1\
     1 и 0 и 2 и 0 и 5 и 3
     \end{массив}\right]\)

     Теперь примените R₁ → R₁ + R₂ и R₃ → R₃ + 5R₂,

     \(\left[\begin{array}{ccc:ccc}
     1&1&0&-2&0&4\
     0&1&0&0&-1&1\
     1 и 5 и 2 и 0 и 0 и 8
     \end{массив}\right]\)

     Применить R₁ → 2R₁ — R₃ и R₂ → 8R₂ — R₃,

     \(\left[\begin{array}{ccc:ccc}
     1&-3&-2&-4&0&0\
     -1&3&-2&0&-8&0\
     1 и 5 и 2 и 0 и 0 и 8
     \end{массив}\right]\)

     Теперь разделите R₁ на -4, R₂ на -8 и R₃ на 8:

     \(\left[\begin{array}{ccc:ccc}
     -1/4&+3/4&+2/4&1&0&0\
     +1/8&-3/8&2/8&0&1&0\
     1 / 8 и 5 / 8 и 2 / 8 и 0 и 1 и 0
     \end{массив}\right]. \)

     Теперь правая матрица преобразована в I. Следовательно, левая матрица равна A ^-1 .

     Ответ: A ^-1 = ^{\(\left[\begin{array}{ccc:ccc}
     -1/4&3/4&2/4\
     1/8&-3/8&2/8\
     1/8 и 5/8 и 2/8
     \конец{массив}\справа].\)}

  перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

  Хотите создать прочную основу в математике?

  Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними. Испытайте Cuemath и приступайте к работе.

  Записаться на бесплатный пробный урок

  Практические вопросы по элементарным операциям с строками

   

  перейти к слайдуперейти к слайду

  Часто задаваемые вопросы об элементарных операциях со строками

  Как применять элементарные операции со строками?

  Мы можем применить три типа операций с элементарными строками :

  • Мы можем поменять местами две строки.
  • Мы можем умножать/разделять любую строку (строки) на число.
  • Мы можем умножать/разделять строку на некоторое число и прибавлять/вычитать его из другой строки.

  Как узнать, какие элементарные операции со строками необходимо применить для решения системы уравнений?

  При решении системы уравнений (3×3) AX = B с использованием расширенной матрицы [AB]:

  • Сначала постарайтесь сделать два последних элемента первого столбца равными нулям. Используйте строку 1 для этого процесса.
  • Затем стремитесь сделать последний элемент второго столбца равным нулю. Используйте строку 2 для этого процесса.

  Затем матрица преобразуется в верхнюю треугольную матрицу. Разверните его обратно в уравнения и легко решите их.

  Влияют ли операции с элементарными строками на определитель?

  Некоторые операции со строками влияют на определитель. Перестановка двух строк меняет знак определителя. Умножение строки на некоторое число умножает фактический определитель также на тот же коэффициент. Но умножение строки на некоторое число и прибавление ее к другой строке не влияет на определитель.

  Как применить преобразование элементарных строк для нахождения ранга матрицы?

  Чтобы найти ранг матрицы, приведите ее к ступенчатой ​​форме (верхняя треугольная матрица или нижняя треугольная матрица), применяя элементарные операции со строками. Наконец, подсчитайте количество ненулевых строк в нем. Это дает ранг матрицы.

  Влияют ли элементарные операции над строками на систему уравнений?

  Нет, любые операции с элементарными строками не влияют на систему уравнений. Таким образом, применение преобразований строк является эффективным способом решения системы уравнений.

  Объясните процесс использования элементарных операций со строками для нахождения обратной матрицы.

  Чтобы найти обратную квадратную матрицу A:

  • Возьмем матрицу [A | I], где I — единичная матрица того же порядка, что и у A.
  • Примените элементарные преобразования строки, чтобы преобразовать ее в форму [I | квадратная матрица]
  • «Квадратная матрица» на предыдущем шаге дает A ^-1 .

    No related posts.