Найти множество значений функций: Множество значений функции | Онлайн калькулятор

Содержание

Множество значений тригонометрических функций

Множество значений тригонометрических функций

Перейти к содержанию

ПОИСК

Страница Вконтакте открывается в новом окне

Вы здесь:

Множество значений синуса и косинуса – это отрезок от минус единицы до единицы.

Множество значений тангенса, котангенса, секанса и косеканса — это множество действительных чисел R.

 

Множество значений тригонометрических функций

 

 

 

Множество значений тригонометрических функций (включая секанс и косеканс)

Множество значений синуса

 

Область значений функции синус – это отрезок [−1;1] (y∈[-1;1] или E(sinx) = [−1;1]). Это означает, что функция у = sin х ограничена, т.е. все значения, которые она принимает, заключены в отрезке от —1 до 1.

Аналитически вывести область значений функции синус можно следующим образом.

Так как функция у = sin х – периодическая (Т=2π), то рассмотрим функцию на этом отрезке и на нем определим множество значений синуса.

Для этого найдем производную синуса:

Приравняем к нулю производную синуса:

Так как мы рассматриваем отрезок [0;2π], то из всех полученных корней, этому отрезку будут принадлежать два корня:

Найдем значение функции у = sin х в этих двух точках, а также на границах отрезка: 0 и 2π.

Вычисляем значения функции в этих точках и на границах отрезка, выбираем наименьшее и наибольшее значение:

Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее значения, которые и определят область значений функции синус.

Наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1, следовательно, область значений функции синус – это отрезок [−1;1].

Множество значений косинуса

 

Множество значений функции косинус – это отрезок [−1;1] (y∈[-1;1] или E(cosx) = [−1;1]). Это означает, что функция y = cosx ограничена, т.е. все ее значения, которые она принимает, заключены в отрезке от —1 до 1.

Аналитически вывести область значений функции косинус можно следующим образом.

Так как функция y = cosx – периодическая (Т=2π), то рассмотрим функцию на этом отрезке и на нем определим множество значений косинуса.

Для этого найдем производную косинуса:

Приравняем к нулю производную косинуса:

Так как мы рассматриваем отрезок [0;2π], то из всех полученных корней, этому отрезку будут принадлежать три корня:

Найдем значение функции y = cos x в этих трех точках. Точки 0 и 2π также являются границами отрезка, на котором мы ищем наибольшее и наименьшее значение.

Вычисляем значения функции в этих точках и выбираем наименьшее и наибольшее значение, которые и определят область значений функции косинус:

Наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1, следовательно, область значений функции косинус – это отрезок [−1;1].

Множество значений тангенса

 

Множество значений тангенса – это множество всех действительных чисел, т.е. y∈(-∞; +∞) (E(tg x) = R). Это означает, что функция y = tg x не ограничена.

 

Доказательство

 

Зададим любое действительное значение a и докажем, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента:

Отложим число а на линии тангенсов. Получим точку R(x, a).

Соединим точку R с точкой O. В результате получим прямую RO которая будет пересекать окружность хотя бы в одной точке P. Следовательно, будет существовать единственная дуга SР и хотя бы один угол α значение которого будет равно длине дуги.

Итак, любому действительному значению аргумента соответствует единственное значение функции. В то же время любому значению функции соответствует хотя бы одно значение аргумента.

Это означает, что, задав любое значение функции, мы получили доказательство того, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента.

Множество значений тангенса

Множество значений котангенса

 

Множество значений котангенса – это множество всех действительных чисел, т. е. y∈(-∞; +∞) (E(tg x) = R). Это означает, что функция y = сtg x не ограничена.

 

Доказательство

 

Зададим любое действительное значение a и докажем, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента:

Отложим число а на линии котангенсов. Получим точку R(a,y).

Соединим точку R с точкой O. В результате получим прямую RO которая будет пересекать окружность хотя бы в одной точке P. Следовательно, будет существовать единственная дуга SР и хотя бы один угол α значение которого будет равно длине дуги.

Итак, любому действительному значению аргумента соответствует единственное значение функции. В то же время любому значению функции соответствует хотя бы одно значение аргумента.

Это означает, что, задав любое значение функции, мы получили доказательство того, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента.

Таким образом, область значений котангенса — это множество всех действительных чисел.

Множество значений котангенса

Множество значений секанса

 

Поскольку:

Очевидно, справедливо неравенство:

Таким образом, секанс – неограниченная функция. Следовательно, множеством значений секанса является множество всех действительных чисел R.

Множество значений косеканса

 

Поскольку:

Очевидно, справедливо неравенство:

Таким образом, косеканс – неограниченная функция. Следовательно, множеством значений косеканса является множество всех действительных чисел R.

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

MATHVOX

Вверх

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

Don`t copy text!

5.

2. Множество значений функции.

1º. Множеством (областью) значений E(y)функцииy=f(x)называется множество всех таких чиселy0, для каждого из которых найдется числоx0такое, чтоf(x0)=y0.

2º. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток , гдеm– наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток, гдеn– наибольшее значение этого многочлена.

Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.

3º. Области значений основных элементарных функций:

Пример 15. Найти множество значений функции, еслиx≤1.

Решение: Данная функция не определена при x=0и, следовательно, задана на множестве.

Рассмотрим x<0, тогда|x|=-xи функция принимает вид. Так какдляx<0, то. Таким образом, на промежуткефункция принимает значения от 5 до +∞.

Если x>0, то|x|=xи функция имеет вид. Так какдля, то.

Ответ: .

Дидактический материал.

Решите неравенства:

1. ; 2.; 3.;

4. ; 5.; 6.;

7. ; 8.; 9.;

10. ; 11.; 12.;

13. ; 14.;

15. ; 16.;

17. ; 18..

19. При каких xточки графика функциилежат выше прямой?

20. При каких xточки графикалежат не ниже точек графика функции?

Найти множество значений функции:

21. , если; 22., если.

Тема №6. Иррациональные уравнения.

1º. Иррациональнымназывают уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).

2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степеньсостоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ;

б) возводят обе части полученного уравнения в n-ую степень:;

в) учитывая, что , получают уравнениеи решают его.

3º. Следует учитывать, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна

проверка найденных корнейпутем их подстановки в исходное уравнение.

Пример 16. Решить уравнение .

Решение: Преобразуем уравнение к виду и возведем обе части его в квадрат. Получим:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

Откуда получим:

Проверка: 1) При x=5имеем:. Таким образом,x=5является корнем заданного уравнения.

2) . Таким образом,x=197– посторонний корень.

Ответ: 5.

4º. Метод замены переменнойпродемонстрируем на примере.

Пример 17. Решить уравнение .

Решение: Область определения уравнения: Пусть, тогдаПоэтомуОтсюда:

1) Получили неверное числовое равенство, значит, в этом случае нет корней.

2)

Ответ: -8/7.

Дидактический материал.

Решите уравнения:

1. ; 2.;

3. ; 4.;

5. ; 6.;

7. ; 8.;

9. ; 10..

Найдите наименьший корень уравнения:

11. ; 12.;

13. .

Найдите произведение всех корней уравнения:

14. ; 15..

Решите уравнения:

16. ; 17.;

18. .

Тема №7. Показательные уравнения.

7.1. Методы решения показательных уравнений.

1º. Показательными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

2º. Основные способы решения показательных уравнений:

1) простейшее уравнение имеет решение;

2) уравнение вида логарифмированием по основаниюa сводят к виду;

3) уравнение вида равносильно уравнению;

4) уравнение вида равносильно уравнению.

5) уравнение вида через заменусводят к уравнению, а затем решают совокупность простейших показательных уравнений;

6) уравнение со взаимно обратными величинами заменойсводят к уравнению, а затем решают совокупность уравнений;

7) уравнения, однородные относительно ag(x)иbg(x)при условиивидачерез заменусводят к уравнению, а затем решают совокупность уравнений.

x
log a x : Log[a, x]
ln x : Log[x]
cos x : cos[x] или Cos[x]

sin x : sin[x] или Sin[x]
tg : tan[x] или Tan[x]
ctg : cot[x] или Cot[x]
sec x : sec[x] или Sec[x]
cosec x : csc[x] или Csc[x]
arccos x : ArcCos[x]
arcsin x : ArcSin[x]
arctg x : ArcTan[x]
arcctg x : ArcCot[x]
arcsec x : ArcSec[x]

arccosec x : ArcCsc[x]
ch x : cosh[x] или Cosh[x]
sh x : sinh[x] или Sinh[x]
th x : tanh[x] или Tanh[x]
cth x : coth[x] или Coth[x]
sech x : sech[x] или Sech[x]
cosech x : csch[x] или Csch[е]
areach x : ArcCosh[x]
areash x : ArcSinh[x]
areath x : ArcTanh[x]

areacth x : ArcCoth[x]
areasech x : ArcSech[x]
areacosech x : ArcCsch[x]
конъюнкция «И» ∧ : &&
дизъюнкция «ИЛИ» ∨ : ||
отрицание «НЕ» ¬ : !
импликация =>
число π pi : Pi
число e : E

бесконечность ∞ : Infinity, inf или oo

Данный калькулятор позволит найти область определения функции онлайн.
Область определения функции y=f(x) – это множество всех значений аргумента x, на котором задана функция. Другими словами, это все x, для которых могут существовать значения y. На графике областью определения функции является промежуток, на котором есть график функции.
Область определения функции f(x), как правило, обозначается как D(f). Принадлежность к определенному множеству обозначается символом ∈, а X – область определения функции. Таким образом, формула x∈X означает, что множество всех значений x принадлежит к области определения функции f(x).
Приведем примеры определения основных элементарных функций. Областью определения постоянной функции y=f(x)=C является множество всех действительных чисел. Когда речь идет о степенной функции y=f(x)=xa, область определения зависит от показателя степени данной функции. При нахождении области определения функции y=f(x)= √(n&x) (корень n-ой степени) следует обращать внимание на четность или нечетность n.

Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа, и она не зависит от основания логарифма. 4)


Читайте также:

      
  • Payday 2 маска death wish
  •   
  • Стоит ли брать payday 2 legacy collection
  •   
  • 8 стоит ли в солнечный летний день поливать растения в саду
  •   
  • Cs go наклейка когти
  •   
  • Pathfinder kingmaker секретная концовка

Дидактический материал «Множество значений функций» 10-11 класс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГБОУ  лицей (экономический) с. Исаклы

 

 

 

Учитель математики  Кузаева В.Н.

 

 2016 год

 

Справочные материалы

Образец решения   Найти множество значений функций

 

 

Задание функции

Решение

 

Область значения функции  является

  y — любое число

Область значения функции  является  y — любое число

Множество значений

  y — любое число

Наибольшее значение

нет

нет

нет

нет

Наименьшее значение

нет

нет

-7

-7

 

 

Область определения  х — любое число , где             , где

Множество значений    y — любое число                    y — любое число

 

 

Шаблоны графиков некоторых тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

 

Множество значений тригонометрических функций

Вариант 1

1. Укажите множество значений функции у = sin3х+2.

     1) (-5;5)    2) [1;3]    3) [1;5]    4) (1;5)

2. Найдите область значения функции у = tgх + 1.

     1) [1;+∞)    2) (-∞;1]    3) (-∞;∞)    4) [0;1]

3. Укажите наибольшее число из области значений функции

     1) -6    2) 6    3) -4    4) -2

4. Укажите наименьшее целое число из области значений функции

 у = 12,7 + 5sin(3х-2).

     1) -5    2) 8    3) 5    4) 17

5. Укажите функцию, множеством значений которой является отрезок  [-2;2].  

     1) у = cos 2х    2) у = sin 2x    3) y = cos 2x +2   

4) y = 2 sin 4x

6. Найдите множество значений функции y = tg 2x на отрезке

                 

7. Найдите сумму всех целых чисел, которые входят в область значений функции y = 4cos2 x – 7.

     1) -25    2) 25    3) -22    4) 0

Вариант 2

1. Укажите множество значений функции y = 2 cos 5x +3.

1) (2;3)    2)   [0;1]     3) (1;5)    4)  [2;3].     

2. Найдите область значения функции      

          1) [2;+∞)    2) (-∞;2]    3) (-∞;∞)    4) [0;2].

3. Укажите наименьшее число из области значений функции    

     

          1) 4    2) -3    3) 1     4) -7

 4. Укажите наибольшее целое из области значений функции     

       

          1) 2    2) 13    3) 12    4) -2

5. Укажите функцию, множеством значений которой является отрезок [-5;5].

          1) y = sin 5x    2) y = 5 cos 5x    3) y = cos (-5x)  

 4) y = sin 5x + 5

6. Найдите множество значений функции  на отрезке   

                        

7. Найдите произведение всех целых чисел, которые входят в область значений функции у = 5 – 3 sin2 x.

          1) 120    2) 14    3) -15    4) 0

Вариант 3
1. Укажите множество значений функции y = sin 3x + 5.

          1) (-4;6)     2) [4;6]    3) [-1;5)    4) (0;6)

2. Найдите область значений функции       

          1) [1;3]    2) (0;3)    3) (1;3)    4) [-1;3)

3. Укажите наименьшее число из области значений функции у = 5tg2x+2?

          1) 5    2) 0    3) 7    4) 2

4. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции     

          1) -1    2) -2,7    3) -2,3    4)-3

5. Укажите функцию, множеством значений которой является отрезок

[-17;-13].

          1) y = 5 sin x – 8           3) y = -cos x +15

          2) y = 2 cos x – 15        4) y = 3 sin x +10

6. Укажите наименьшее натуральное число, которое не входит в множество значений функции

           1) 2    2) 4    3) 15    4) 6

7. Сколько целых чисел принадлежит множеству значений функции

y = 2cos 3x +10?

            1) 2     2) 3    3) 4    5) 5

 

 

Вариант 4

1. Укажите отрезок, соответствующий множеству значений функции    

           1) [1;4]    2) [4;3)    3) [-5;-1]    4) (-7;-6)

 2. Найдите область значений функции        

           1) (1;5)    2) [4;6]    3) (4;6)    4) [-6;-4] 

3. Укажите наибольшее число из области значений функции y = -3ctg 2x+7.

          1) 10    2) 4    3) 7    4) -3

4. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции   

          1) -6    2) -5    3) -10    4) -7

5. Укажите функцию, множеством значений которой является отрезок [1;1,2].

                    

                  

6. Укажите наибольшее целое отрицательное число, которое не входит в область значений функции

          1) -1    2) -25    3) -6    4) -2

7. Сколько целых чисел принадлежит множеству значений функции

          1) 11    2) 3    3) 5    4) 4

Вариант 5

1. Укажите множество значений функции у = 2 -sin 5x.

          1) (2;5)    2) [1;3]    3) (1;3)    4) [-3;7] 

2. Найдите область значений функции  

          1) [-8;-6]    2) [-8;-6)    3) (-8;-6)    4) [8;10]

3. Укажите наименьшее целое число из области значений функции

y = 3 + sin2 2x.

          1) 0    2) 1    3) 3    4) 4

4. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции        

          1) 128    2) 10,5    3) 3    4) -235

5. Укажите функцию, множеством значений которой является отрезок [-9;15].

                       

                     

6. Найдите сумму целых чисел, входящих в множество значений функции

          1) 0    2) 7    3) 18    4) 22

7. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

          1) 0,5    2) 1,5    3) 0    4) 2

 

 

Вариант 6

1. Укажите отрезок, соответствующий множеству значений функции

          1) [2;10]    2) (-2;-1)    3) (0;1)    4) [-6;-4]

2. Найдите область значений функции    

          1) [0;3)    2) (1;6)    3) (2;4)    4) [2;4]

3. Укажите наибольшее число из области значений функции

          1) 5    2) -6    3) -3    4) 4

4. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции

          1) 5    2) 0    3) -3    4) 4

5. Укажите функцию, множество значений которой является отрезок [8;22].

          1) у = 15 – 7 cos 2x     3) y = 7 cos 2x + 3

          2) y = 5 cos 4x             4) y = — tg 2x + 1

6. Найдите произведение целых чисел, входящих в множество значений

y = 3,8 – 1,4 sin 3x.

          1) 17    2) 12    3) 0    4) 60

7. Найдите множество значений функции  на промежутке

          1) (3;4)    2) [3;4]    3) [3;4)    4) (3;4]  

 

Вариант 7

1. Найдите область значений функции

                      

2. Найдите наименьшее целое значение функции

          1) 2    2) 0    3) -3    4) -4

3. Какое из следующих чисел может быть значением функции

          1) 0    2) 2    3) 4   4) 6

4. При каких значениях а уравнение sin(3x-4)+5=a разрешимо?

          1) [2;3]    2) [4;6]    3) (4;6)    4) (-6;4]

5. Найдите множество значений функции у = -sin22x – 2.

          1) [-3;-2]    2) [-1;0]    3) [-4;0]    4) [-3;-1]   

6. Укажите наибольшее значение функции  на промежутке

              2) 0    3) 1   

7. Сколько целых чисел принадлежит области значений функции

y = 4 sin(x4) -2?

          1) 8    2) 9    3) 7    4) 10

 

 

 

Вариант 8

1. Найдите множество значений функции y = arctg x — 2π.

                      

2. Найдите наибольшее значение функции

          1) 1,75    2) 0    3) 2,25    4) -1,75

3. Какое из следующих чисел может быть значением функции

          1) -4    2) -2    3) 0    4) 2

4. При каких значениях р уравнение -2+cos(4x-1)=p имеет корни?

          1) [-3;-1]    2) [-3;-1)    3) (-3;1]    4) (-3;-1)

5. Найдите множество значений функции y = -2tg2x + 1.

          1) [-1;3]    2) (-∞;1]    3) (-∞;∞)    4) [-1;+∞)

6. Укажите наименьшее значение функции  на промежутке .

          1) 0    2) 1    3) -1     4) 3

7. Сколько целых чисел принадлежит области значений функции

          1) 4   2) 3    3) 5    4) 2

 

 

 

 

 

Вариант 9

1. Найдите область значений функции

                      

2. Найдите наибольшее целое значение функции

          1) 4    2) 5    3) 6    4) 7

3. Какое из следующих чисел может быть значением функции

          1) 0    2) 3    3) 6    4) 9

4. При каких значениях параметра k  уравнение –k + sin(2x-1) = 2 разрешимо?

          1) [4;6]    2) (4;6)    3) (-3;-1)    4) [-3;-1]

5. Найдите множество значений функции  у = — cos23x + 4.

          1) [3;4]    2) [1;4]    3) [1;7]    4) [0;4]

6. Укажите наименьшее значение функции на промежутке

               2) -1    3) 0    4) 1

7. Найдите, сколько целых чисел входит в область значений функции у = 12 cos 3x +5 sin 3x.

          1) 13    2) 27    3) 26    4) 14

Вариант 10

1. Найдите область значений функции

                      

2. Найдите наименьшее значение функции

          1) 3,5    2) 0    3) 2,5    4) -3,5

3. Какое из следующих чисел может быть значением функции

          1) -4    2) -1    3) 3    4) 7

4. При каких значениях параметра m  уравнение cos (3x + 2)-m = 5 имеет корни?

          1) [-6;-4]    2) (-6;-4)    3) (-4;3)    4) [-6;-5]

5. Найдите множество значений функции у = -2ctg23x + 7.

          1) (-∞;5]    2) (-∞;1]    3) (-∞;0]    4) (-∞;7]

6. Укажите наибольшее значение функции   на промежутке

              2) 0    3) 2    4) 1

7. Найдите, сколько целых чисел входит в область значений функции

          1) 30    2) 35    3) 17    4) 7

 

 

 

 

Множество значений показательной и логарифмической функций

Вариант 1

1. Найдите область значений функции

          1) [3;+∞)    2) (3;+∞)    3) (-∞;3]    4) (-∞;3)

2. Укажите множество значений функции

          1) (-∞;7)    2) (-∞;-7)    3)(7;∞)    4) (-∞;7]

3. Укажите наибольшее целое значение функции

          1) 0    2) 4    3) -3    4) -4

4. Укажите число, не принадлежащее множеству значений функции

          1) 15    2) 20    3) 43    4) 28

5. Укажите множество значений функции

          1) (0;-2)    2) (0;2)    3) (-∞;+∞)    4) [-2;0)

6. Укажите наименьшее целое значение функции

          1) 1    2) -1    3) 0    4) -5

7. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток (1;∞).

              

 

 

 

Вариант 2

1. Укажите множество значений функции

          1) [-1;∞)    2)(-1;∞)    3) (3;∞)    4) [3;∞)

2.Найдите область значений функции

          1) [2;∞)    2) (3;∞)    3) (2;∞)    4) [3;∞)

3. Укажите наименьшее целое значение функции

          1) -6    2) -7    3) -8    4) 0

4. Укажите число, не принадлежащее множеству значений функции

          1) -41    2) 3    3) 2,7    4) 4,8

5. Укажите множество значений функции

          1) (0;∞)    2) (-∞;∞)        

6. Укажите наибольшее значение функции

          1) 7    2) -1    3) 1    4) -7

7. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток

              

 

 

 

 

Вариант 3

1. Укажите множество значений функции

          1) (-∞;-3)    2) (-3;∞)    3) (-∞;-3]    4) [-3;∞)

2. Найдите область значений функции

          1) (-4;∞)    2) (4;∞)    3) (-∞;4]    4) [4;∞)

3. Укажите наибольшее целое значение функции

          1) -3    2) -7    3) -11    4) -12

4. Укажите число, принадлежащее множеству значений функции

          1) 0,25    2) -4    3) 42    4) -2,5

5. Укажите множество значений функции

          1) [0;∞)    2) (-∞;∞)    3) (-∞;0)    4) (0;∞)

6. Укажите наименьшее значение функции

          1) -2    2) 4    3) -1/2    4) ½

7. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток

(-1;2).

               

 

 

 

 

Вариант 4

1.Укажите множество значений функции

          1) (-2;∞)    2) [-2;∞)    3) (1/5;∞)    4) (-1/5;∞)

2. Найдите область значений функции

          1) (4;∞)    2) [4;∞)    3) (-∞;4] 4) (-∞;4)

3. Укажите наименьшее целое значение функции

          1) -12    2) -11    3) -10    4) -15

4. Укажите число, не принадлежащее множеству значений фунукции

          1) -42    2) 3    3) 1    4) -20

5. Укажите множество значений функции

          1) (-∞;0)    2) (0;∞)    3) (-∞;∞)    4) [-2;2]

6. Укажите наибольшее целое значение функции

          1) 10    2) 3    3) 9    4) 2

7. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток

 (-∞;13).

               

 

 

 

Вариант 5

1. Укажите наименьшее целое значение функции

          1) 0    2) -1    3) -2    4) -3

2. Какое из следующих чисел входит в область значений функции

          1) -3    2) -4    3) 5    4) 0 

3. Укажите множество значений функции

          1) (-∞;2]    2) [0;1/2)    3) (2;∞)    4) (0;1/2)

4.Найдите все точки на оси ОУ, являющиеся проекциями точек графика функции

          1) (-∞;50)    2) (-∞;5)    3) (0;∞)    4) (-∞;10)

5. Укажите область значений функции

          1) [4;5]    2) [-1;1]    3) (-1;1)    4) (0;∞)

6. Найдите, на каком отрезке функция  принимает наибольшее значение, равное 2, и наименьшее значение, равное -3.

          1) [4,75;10]    2) (-5;2)    3) [5,25;13]    4) (-3;2)

7. Укажите наибольшее значение функции на промежутке

          1) -1/2    2) 5    3) 2    4) 4

8. Найдите сумму всех натуральных чисел, не входящих в множеств значений функции

          1) 3   2) 6    3) 10    4) 8

Вариант 6

1. Укажите наибольшее целое значение функции

1) 2    2) 4    3) 3    4) 5

2. Какое из следующих чисел не входит в область значений функции

1) 35    2) 7, 28    3) 7, 85    4) 128

3. Укажите множество значений функции

1) [-1/3;0]     2) (-3;2/5)    3) (0;1/3)     4) (0;2/5)

4. Найдите все точки на ОУ, являющиеся проекциями точек графика функции

1) (0;∞)    2) [35;∞)    3) (70;∞)    4) (-∞;70)

5. Укажите область значений функции

1) [3;4]    2) (-3;2)    3) [log23;2]    4) (log23;2)

6. Найдите на каком отрезке функция принимает наименьшее значение, равное -2, и наибольшее значение, равное 4.

1) [-17/9;79]     2) [-1,5;82]    3) (-11/9;79]    4) (-17/9;79)

7. Укажите наибольшее значение функции  на промежутке

[-0,9; 0].

1)-1    2) -2    3) 0    4) 2

8. Найдите сумму целых чисел, входящих в область значений функции

1) -10    2) 0    3) -3    4) -7

Вариант 7

1. Укажите наименьшее целое значение функции

          1)-2    2) -1    3)10    4)-15

2. Какое из следующих чисел входит в область значений функции

          1) 1    2) -4    3) -127    4) 28

3. Укажите множество значений функции

          1) (0;∞)    2) (5/10;10/5)    3) (1/2;1)    4) (0;1/2)

4. Найдите все точки на ОУ, являющиеся проекциями точек графика функции

          1) (-∞;-28)    2) (-28; ∞)    3) (4;-7)    4) [0;e]

5. Укажите область значений функции

          1) (0;∞)    2) [0;∞)    3) (7;∞)    4) (-∞;∞)

6. Найдите, на каком отрезке функция принимает наибольшее значение, равное -1, и наименьшее значение, равное -2.

                      

7. Укажите наибольшее значение функции  на промежутке

          1) 3    2) 2    3) -1    4) 1

8. Найдите произведение натуральных чисел, не входящих в область значений функции

          1) 2    2) 1    3) 6    4) 5

Часть 2

Вариант 1

1. Найдите множество значений функции

2. Найдите наибольшее значение функции

3. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции

4. Найдите наибольшее значение функции

Вариант 2

1. Найдите множество значений функции

2. Найдите наименьшее значение функции

3. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции

4. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых значений функции , если х 3,2

 

 

Вариант 3

1. Найдите множество значений функции

2. Найдите наименьшее значение функции

3. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции

4. Найдите наименьшее целое значение функции

Вариант 4

1. Найдите множество значений функции

2. Найдите наименьшее значение функции

3. Найдите сумму наименьшего и наибольшего значений функции

4. Сколько целых значений принимает функция

 

 

 

 

Вариант 5

1. Найдите множество значений функции

2. Найдите наибольшее значение функции

3. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции

4. Найдите наибольшее целое значение функции

Вариант 6

1. Найдите наибольшее значение функции

2. Найдите множество значений функции

3. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции

4. Найдите наименьшее значение функции

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 7

1. Найдите множество значений функции

2. Найдите наименьшее значение функции

3. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции 

4. Сколько целых значений функции

Вариант 8

1. Найдите множество значений функции

2. Найдите наибольшее значение функции

3. Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых значений функции

4. Сколько различных целых значений принимает функция

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 9

1. Найдите значение функции  в точках экстремума.

1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;3].

2. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке [1;5].

3. Найдите среднее арифметическое наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке .

Вариант 10

1. Найдите множество значений функции .

2. Укажите наименьшее целое значение функции

3. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции

4. Сколько целых значений принимает функция

 

 

 

 

 

 

Ответы

 

Часть 1

 

1

2

3

4

1

25

-1

2

8

3

9

3

16

2

4

-1

3

4

5

8

16

2

6

1

2

-1

7

-1

-1

3

8

2,5

8

3

9

1

6

0

10

-1

-3

5

Множество значений тригонометрической функции

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

2

4

1

3

2

2

3

4

3

2

1

1

3

2

1

4

3

2

1

4

4

3

2

3

2

1

4

1

5

2

1

3

4

3

3

2

6

1

4

3

2

1

4

4

7

2

4

3

2

1

3

2

8

3

3

1

1

2

1

2

9

4

1

2

4

1

3

2

10

1

3

3

1

4

3

2

 

Множество значений показательной и логарифмической функции

 

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

1

4

1

3

1

2

2

2

3

1

4

2

2

3

3

2

2

4

3

2

3

3

4

1

1

2

2

3

4

3

5

3

2

4

1

2

3

4

2

6

1

2

3

4

3

1

2

3

7

2

3

4

2

2

3

4

1

 

 

Часть 2

Система творческих заданий по подготовке к ЕГЭ по теме «Множество значений функции» | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (11 класс) на тему:

Система творческих заданий по подготовке к ЕГЭ

по теме «Множество значений функции»

                   Множество значений функции.

Множеством (областью) значений Е(y) функции y=f(x) называется множество всех таких чисел , для каждого из которых найдется число, такое что: .

Напомним области значений основных элементарных функций.

Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток [m,+, где m – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток [–], где n – наибольшее значение этого многочлена.

Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.

 1.У любой функции y=f(x) есть множество значений, которое обозначается E(y)  или E(f).

Как найти множество значений? Проще всего это сделать если построить эскиз графика заданной функции. А это проще всего сделать, если уметь строить графики элементарных функций и их композиций (сложных функций).

Пример 1.: Найдите множество значений функции y=sin x, x;]

Решение.

Функция не является монотонной на заданном промежутке. Можно, например, посмотреть множество значений на тригонометрическом круге. Видно (рис.1), что при изменении x от  до синус изменяется от  до 1, а при изменении х от   до  синус изменяется от 1 до  >. Отсюда следует, что синус принимает все значения от  до 1, т.е.

 (sinx; x;)=[ ;1]

Ответ: [ ;1]

                             у

                       1      

                                             

 -1                                               1            х

                     -1

Пример 2.:Найдите множество значений функции 

Решение.

Основной способ решения таких задач  известен: надо построить график функции и с его помощью найти E(f). Но чтобы построить график заданной функции, следует провести ее исследование на экстремум с помощью производной, если учащиеся пока не знают. То поступим по-другому: выясним, при каких значениях параметра а уравнение имеет корни. Множество таких значений а совпадает с множеством значений функции.

Имеем: Уравнение имеет корни, если  Значит, E(f)=

2.  Пусть f(x) является сложной функцией, в которой можно выделить «подфункцию» t=t(x). Тогда y=f(t)=f(t(x)).Сначала мы находим E(t), потом E(f).

Пример 1.: Найдите множество значений функции

(6-x-)

Решение. В задачах, если это возможно, лучше перейти к основанию, большему 1. (с ним работать проще)

(6-x-)(6-x-)=(6,25-(х+)

Квадратный трехчлен

f(x)=6-x- =  — (x+ принимает все значения из промежутка (∞;].

Логарифмы существуют только у положительных чисел, поэтому

 (∞;] тогда ( — (x+ принимает все значения из промежутка (-∞;]. Отсюда следует, что (6-x-) принимает все значения из промежутка [-;+∞), т.е. =[; +∞)

Пример 2.:Найдите множество значений функции

y=()

Решение.

Найдем сначала область определения Д(y)

Из найденной области определения следует, что

х+2>0 и х-4=2 и =1

Поэтому в области определения

y(x)=()==

 квадратный трехчлен f(x)=8-(x- принимает все значения из промежутка

 (-∞;8], логарифм  f(x) существует для всех значений f(x)∊(0;8].  Но логарифм стоит в знаменателе – поэтому необходимо разбить промежуток на два, исключив значение f(x)=1.

Итак,

[⇒[

Поэтому ℇ(y)=(-∞;0)[;+∞)

Ответ: (-∞;0)[;+∞) 

Пример 3. Найдите наименьшее целое значение функции:

y=

Решение.

y=. Пусть y=,где t0 монотонно возрастает. , если t наименьшее, то выражение т.е. при  — наибольшее значение принимает;- — наибольшее, если x=0, то =13. =16-13=3.=1,7. Наименьшее целое число y=2.

Ответ: 2.

Примеры для решения:

1). y=.

2).y=7∙

3).y=9∙

4).y=

Пример 4. Найдите наибольшее целое значение функции:

Решение.

Рассмотрим функцию:

Найдем E(y) и выберем наибольшее целое:

выражение

 

Ответ:3.

Примеры для решения:

1).

Пример 6.Найдите наибольшее целое значение функции:

 

Решение:

,преобразуем показатель степени по формуле сложения тригонометрических функций.  y=4∙ Найдем множество значений выражения, –2Наибольшее значение 2sin(x-3) –3=–1, то наибольшее значение , . Наибольшее целое равно 1.

Ответ: 1.

Пример для решения:

 

Пример 7. Найдите наибольшее целое значение функции:

 

Решение:

Областью определения данной  в условии функции является интервал (0;+∞). На этой области определения, то есть при x >0 выражение  пробегает все множество действительных чисел. Следовательно, –1 при x >0. Тогда в силу монотонности функции ( на всем множестве действительных чисел, при x >0 выполняется неравенство. Поэтому

Значит, наибольшим целым значением функции является 21.

Ответ: 21.

Пример для решения:

 

Пример 8. Найдите наибольшее целое значение функции:

Решение: D(y)=R при x∊R.

 Преобразуем дробь,т.е. представим в виде суммы целой и дробной части  

Наибольшее целое y= –1.

Ответ: –1.

Пример 9. Найдите наибольшее целое значение функции:

 

Решение:

Чтобы ответить на поставленный вопрос задания, найдем множество значений данной функции. Для этого найдем множество неотрицательных значений функции

Так как функция является квадратным трехчленом с отрицательным старшим коэффициентом, то наибольшее значение этой функции достигается в абсциссе вершины параболы, соответствующей этому трехчлену. Указанная абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:

 (a и b – старший и второй коэффициенты трехчлена). Значит, наибольшее значение y(1)=152∙(1=16.  Таким образом, отрезок [0;16] является множеством неотрицательном значений этой функции. Так как функция  является возрастающей, то множеством значений исходной функции

  является отрезок []. Этот отрезок содержит единственное целое число, равное 3, которое и будет наибольшим целым значением данной в условии функции.

Ответ: 3.

Пример 10.

Найдите длину отрезка, которой является областью значений для функции

заданной  на промежутке [2;5].

Найдем область определения E(y) данной функции. Рассмотрим данную функцию как произведение двух функций:  и . Обе эти функции возрастают на отрезке [2;5]. Однако, каждая из функций  и  меньше нуля на [2;3], равна нулю при нули на (3;5]. Поэтому функция  убывает на [2;3] и возрастает на [3;5]. Значит, минимальное значение функции на отрезке [2;5] – это =0, а максимальное значение равняется max=maxследовательно, E(y)=[0;64].

Ответ: 64.

Пример 11.

Найдите наибольшее целое число, входящее в область значений функции

Решение:

Для ответа на вопрос задания найдем множество значений функции
. На множестве действительных чисел функция
 принимает любое значение из отрезка [–1;1]. Поэтому функция
 принимает любое  значение из отрезка [0;1].  Найдем множество значений функции  на отрезке [0;1].  Функция  является непрерывной и убывающей на всей числовой оси и, в частности, на отрезке [0;1]. Поэтому множеством ее значений на отрезке [0;1] является отрезок [arcctg1;arcctg0]= . Учитывая коэффициент 6, получаем, что отрезок   – область значений функции , заданной на всей числовой оси. Наибольшее целое число из отрезка  – 9.

Ответ: 9.

Примеры для решения:

1).Найдите длину отрезка, которой является областью значений для функции

заданной  на промежутке [–2;3].

2).Найдите наибольшее целое число, входящее в область значений функции

.

3).Найдите наименьшее целое число, входящее в область значений функции

.

4).Найдите наименьшее целое число, входящее в область значений функции

.

5).Найдите количество целых чисел, входящих в область значений функции

6).Найдите количество целых чисел, входящих в область значений функции

Пример 12.

Найдите разность между наибольшим целым и наименьшим целым значениями функции

Решение .

, .

.

Наибольшее целое y=4, наименьшее целое y=4. Разность равна 0.

Ответ: 0 .

Пример 13.

Найдите количество целых значений функции  

Решение.

Согласно равенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом,

,

. Следовательно, . С другой стороны, при x∊ обе функции  определены, неотрицательны и множество значений функции  на этом интервале совпадает с интервалом (0;+∞), следовательно их сумма может принимать любое значение  из промежутка [2; +∞). Поэтому ,0 значит количество целых значений функции  равно 8.

Ответ: 8.

Пример 14.Найдите количество целых значений функции 

Решение.

Количество целых значений 5.

Ответ:5

Пример 15.

Сколько нечетных целых чисел входит в область определения функции

?

Решение.

Область определения функции  является множество решений неравенства . Решим его, для чего определим корни трехчлена

Решений неравенства , а соответственно и областью определения исходной функции. Найденный промежуток содержит целые числа с 1 по 12, среди которых 6 нечетных чисел.

Ответ: 6.

Примеры для решения:

1).Сколько нечетных целых чисел входит в область определения функции

?

2). Сколько целых чисел входит в область определения функции

?

3).Сколько целых чисел входит в область определения функции

?

Пример 16.

Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции

Решение.

Разность между наибольшим и наименьшим значением равна 8-4=4.

Ответ: 4.

Пример для решения:

Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции

Пример 17.Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1;a].

Решение.

У этой задачи  только одна трудность – наличие параметра a.

Найдем абсциссу вершины параболы , получим –x=2. Значит, при x функция  убывает, а при x2 – возрастает. Дальнейшие рассуждения зависят от того, попала ли точка 2 в заданный отрезок или нет.

Если -1 a, то на [-1;a] функция убывает, следовательно

Если a то Что касается наибольшего значения, то его функция достигает либо в точке , и тогда это значение равно 5, либо в точке , и тогда это значение равно . Сравним эти значения, выясним, когда наибольшим значением функции является первое из них. Решив неравенство 5, получим: -15. Поскольку мы рассматриваем случай, то получаем 2, в этом случае .

Если  то 5. В этом случае

Если, наконец,то 5= В этом случае

Итак, если -1, то ,; если 2 то

; если  5, то.

Пример 18. При каком значении параметра  наибольшее значение функции  равно наименьшему значению функции:

Решение. Поскольку , выражение  можно преобразовать к виду , где вспомогательный аргумент. Значит,  а потому для функции получаем: +24. Так как далее , то для функции  получаем:  Осталось решить уравнение

Ответ: -23. 

1. Дан график функции. a) Запишите область определения функц… — Учеба и наука

Лучший ответ по мнению автора

14. 10.19
Лучший ответ по мнению автора

Ответ понравился автору вопроса

Михаил Александров

Читать ответы

Андрей Андреевич

Читать ответы

Eleonora Gabrielyan

Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Пользуйтесь нашим приложением

Функции — Диапазон и набор значений

Задавать вопрос

Спросил

Изменено 6 лет, 4 месяца назад

Просмотрено 497 раз

$\begingroup$

Спасибо, что уделили свое драгоценное время рассмотрению моего вопроса. Я действительно застрял с приведенными ниже вопросами, и ниже вопроса я написал, что я сделал до сих пор (моя цепочка мыслей). Если бы вы могли сказать мне, что я сделал правильно/неправильно, и как достигается конечный ответ, включая работу, я был бы признателен. (Пожалуйста, не смейтесь над тем, что я сделал, я знаю, что некоторые вещи могут показаться глупыми!, и извините!) 92-2x $, что равно $x \in\mathbb R$ а также $g (x)= 2x + 3$, что равно $x\in \mathbb R$

i) Найдите множество значений, для которых $f(x) > 15 $.

(Я НЕ ПОНИМАЮ, как подойти к этому вопросу, некоторые указатели приветствуются). Дело в том, что ЛЮБОЕ значение $x$, подходящее для уравнения, должно быть больше $15$? Но не будет ли много наборов значений?

ii) Найдите диапазон $f$ и объясните причину, имеет ли $f$ обратное значение.

Минимальная точка $(1, -1)$, поэтому диапазон $f(x) \ge -1$ правильный? И да, у него есть инверсия, потому что инверсия — это другая точка минимума?

iii) Покажите, что уравнение $gf(x) = 0$ не имеет действительных решений.

Квадрат недействительного числа дает отрицательное целое число?. значит уравнение не имеет действительных решений?

Большое вам спасибо, ребята! Я попытался показать свою цепочку мыслей как можно лучше, потому что я не хочу, чтобы казалось, что я заставляю вас «делать домашнее задание» (что на самом деле не так, поскольку на самом деле это просто практические вопросы): ) и я сделал попытку как можно лучше. С приближением экзамена я надеюсь, что ответы на эти дополнительные вопросы помогут. 92-2x \подразумевается f'(x)=2x-2=0 \подразумевается x=1$$ Если вы дважды продифференцируете $f(x)$ и получите $f»(x)$ при $x=1$, вы получите положительное значение, что означает, что при $1$ оно минимально, т.е. $f(1)$ минимально, и как вы можно видеть, что f(x) прямо пропорциональна $x$, поэтому она максимальна при $\infty$, поэтому мы получаем ее диапазон ($f(\infty)$ максимален, а $f(1)$ минимален) .
Обратного к $f(x)$ не существует, так как для одного значения $y$ мы получаем два значения $x$, что противоречит определению функции. {-1}(15)$. Чтобы существовала обратная функция, для каждого значения $f(x)$ должно быть уникальное значение $x$. 92 & = -\frac{1}{2} \конец{выравнивание*} Поскольку ни одно действительное число не имеет отрицательного квадрата, $g \circ f$ не имеет действительных корней.

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

алгебраическое предварительное исчисление — функция модуля: поиск набора значений.

Спросил

Изменено 1 год, 5 месяцев назад

Просмотрено 94 раза

$\begingroup$

Я не изучал это в своей программе, но это было в некоторых прошлых работах. Мне нужно небольшое объяснение того, как найти возможные значения p, чтобы получить 0, 1 или 2 корня.

Вот пример вопроса: $f(x)=6-|x+2|$ с корнями (-8,0) и (4,0)

Найдите множество значений p, для которых уравнение $ f(x)=px+5$ имеет 0 решений, 1 решение или 2 решения.

Я пытался приравнять обе версии модуля ко второму определению функции, но это ни к чему не привело.

  • алгебра-предварительное исчисление

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Я думаю, что вы имеете в виду, чтобы найти значения, для которых $6-|x+2| = px + 5$ имеют $0, 1$ или $2$ решений . Решения , а не root s , это когда $6-|x+2|$ и $px+5$ равны одному и тому же числу , которое может не быть и, вероятно, не будет $0$ . $6-|x+2|$ имеет два корня; $x=4$ и $x = -8$ и $px +5$ будут иметь один корень, если $p\ne 0$, а это $x =-\frac 5p$. Но мы ищем не тогда, когда они равны и оба $0$ (что может случиться, только если $-\frac 5p =-8$ или если $-\frac 5p = 4$), а когда они оба равны… что-то .

Если $6-|x+2| = px + 5$, то у нас есть два возможных случая и два уравнения для решения.

  1. $x+2\ge 0$. Это $x\ge-2$. Затем

$6 -(x+2) = px + 5$

$4 -x = px + 5$

$-1 = px + x= x(p+1)$

$x = -\frac 1 {p+1}$. Но это может быть решением, только если а) $p+1\ne 0$, то есть $p \ne -1$ и б) $x \ge -2$. А если $x =-\frac 1{p+1} \ge -2$, то

$\frac 1{p+1} \le 2$

Если $p< -1$, то $\frac 1{ p+1} < 0 < 2$, так что это всегда будет верно.

Но если $p > -1$, то нам нужно $0< \frac 1{p+1} < 2$ или $1 < 2(p+1)$, поэтому $p>-\frac 12$.

$x =-\frac 1{p+1}$ будет одним решением, если $p < -1$ или $p>-\frac 12$.

  1. $x+2 < 0$. Это $x < -2$. затем

$6 -(-(x+2)) = px + 5$

$6 + x+2 = px+5$

$8 + x= px + 5$

$3 = px -x= x(p -1)$

$x = \frac 3{p-1}$

Но это может быть решением, только если а) $p-1\ne 0$ или $p =1$. и $b) x = \frac 3{p+1} < -2$.

Если $p > 1$, то $\frac 3{p-1} > 0 > -2$, а этого не может быть никогда.

Если $p < 1$, то $\frac 3{p-1} < 0$ и нам нужно

$\frac 3{p-1} < -2$

$3 > -2(p- 1)= -2p +2$

$1 > -2p$

$p > -\frac 12$.

$x = \frac 3{p-1}$ будет одним решением, если $-\frac 12 < p < 1$.

Если объединить эти два результата:

, если $p < -1$, то $x=-\frac 1{p+1}$ будет единственным решением.
если $-1 \le p \le -\frac12$ то решений не будет.
если $-\frac 12 < p < 1$ там будет два решения. $x =-\frac 1{p+1}$ и $x = \frac 3{p-1}$.
если $x \ge 1$, то $x=-\frac 1{p+1}$ будет единственным решением.

$\endgroup$

$\begingroup$

Пусть $$g(x):=6-|x+2|-(px+5)=1-|x+2|-px.$$

Вы спрашиваете корни этой функции.

Заметим, что она кусочно-линейна, т.е. монотонна между «угловыми» точками, и достаточно обнаружить смену знаков между этими угловыми точками и точками в $\pm\infty$.

Мы видим, что

Теперь на графике ниже показаны значения этих функций (в порядке синий, зеленый, пурпурный), и вам просто нужно подсчитать изменения знака.

Синий и зеленый цвета различаются по знаку между $-\frac12$ и $1$, а зеленый и пурпурный отличаются везде, кроме $-1$ и $-\frac12$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Решение, данное @fleablood, является точным.

В таком случае, я думаю, инструктор может также принять графическое решение, потому что

Если это так, то все можно вывести из наблюдения следующего графика с «критическими» наклонами $m = -1,-1/2,1.$

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Функция Equation Finder из таблицы точек

Поиск инструмента

Поиск инструмента в dCode по ключевым словам:

Просмотрите полный список инструментов dCode

Поиск уравнения функции

Инструмент для поиска уравнения функции по ее точкам, ее координатам x, y=f(x) в соответствии с некоторой интерполяцией методы и алгоритмы поиска уравнений

Результаты

Функция Поиск уравнений — dCode

Теги: Функции

Поделиться

dCode и многое другое

dCode бесплатен, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение ? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Поиск уравнения функции

Список координат по осям x,y: (x1,y1) (x2,y2) и т. д.

Загрузка…
(если это сообщение не исчезнет, ​​попробуйте обновить страницу)

Цель и метод расчета
Аффинная/линейная с использованием кривой
Парабола/гипербола с использованием кривой
Экспоненциальная с использованием кривой Интерполяция
Полином с использованием Невилла Интерполяция
Постройте соответствующую кривую (при подгонке)

См. также: Интерполяционный полином Лагранжа — Интерполяционный полином Ньютона — Интерполяционный полином Невилла

Ответы на вопросы (FAQ)

Как найти уравнение кривой?

Чтобы найти уравнение по графику:

Метод 1 (аппроксимация): проанализируйте кривую (взглянув на нее), чтобы определить, к какому типу она относится (линейная, экспоненциальная, логарифмическая, периодическая и т. д.) и укажите некоторые значения в таблице, и dCode найдет функцию, которая ближе всего подходит к этим точкам.

Метод 2 (интерполяция): из конечного числа точек есть формулы, позволяющие создать полином, который проходит точно через эти точки (см. Интерполяция Лагранжа), указать значения определенных точек и dCode рассчитает проходящий полином по этим точкам точки.

Как найти уравнение по набору точек?

Чтобы вывести уравнение функции из таблицы значений (или кривой), существует несколько математических методов.

Метод 1: обнаружить замечательные решения , как и замечательные тождества, иногда легко найти уравнение, анализируя значения (путем сравнения двух последовательных значений или определения определенных точных значений).

Пример: функция имеет для точек (пары $(x,y)$) координаты: $(1,2)(2,4),(3,6),(4,8)$, ординаты увеличиваются на 2, а абсциссы увеличиваются на 1, решение тривиально: $ f (x) = 2x $

Метод 2: использовать функцию интерполяции , более сложный, этот метод требует использования математических алгоритмов, которые могут найти многочлены, проходящие через любые точки. Наиболее известными интерполяциями являются лагранжева интерполяция, ньютоновская интерполяция и интерполяция Невилла.

NB: для заданного набора точек существует бесконечность решений, потому что через определенные точки проходят бесконечные функции. dCode пытается предложить максимально упрощенные решения, основанные на аффинной функции или полиноме низкой степени (степень 2 или 3).

Как найти уравнение прямой?

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Function Equation Finder». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Function Equation Finder», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Function Equation Finder». Функции Finder» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, сценарий или доступ к API для «Function Equation Finder» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

Cite dCode

Копирование и вставка страницы «Function Equation Finder» или любых ее результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
Цитировать как источник (библиографию):
Function Equation Finder на dCode.fr [онлайн-сайт], получено 23 сентября 2022 г., https://www.dcode.fr/function-equation-finder

Сводка

  • Поиск уравнения функции
  • Как найти уравнение кривой?
  • Как найти уравнение по набору точек?
  • Как найти уравнение прямой?

Аналогичные страницы

  • Лагранж Интерполирующее полиномиальное
  • Невилл. Полиномиальный полиномиальный калькулятор
  • . Поддержка

    • Paypal
    • Patreon
    • Подробнее

     

    Форум/Помощь

    Ключевые слова

    уравнение,координата,кривая,точка,интерполяция,таблица

    Ссылки

    1.5 Поиск входных и выходных значений функции – математика 3080 Подготовка

    Когда мы знаем входное значение и хотим определить соответствующее выходное значение для функции, мы оцениваем функцию. {2}\text{}[/latex] можно вычислить, возведя входное значение в квадрат, умножив на 3, а затем вычесть произведение из 5. 9{2}+2p\text{}[/latex] решить для [латекс]\текст{}h\left(p\right)=3[/latex].

  • Учитывая функцию [латекс]\текст{}г\влево(м\вправо)=\sqrt{м-4},\текст{}[/латекс] решить [латекс]\текст{}г\влево(м\ справа)=2[/латекс].
  • Раствор

    Вычисление функций, выраженных в формулах

    Некоторые функции определяются математическими правилами или процедурами, выраженными в форме уравнения. Если возможно выразить выход функции с помощью формулы, включающей входную величину, то мы можем определить функцию в алгебраической форме. Например, уравнение [латекс]\текст{}2n+6p=12\текст{}[/латекс] выражает функциональную связь между [латекс]\текст{}n\текст{}[/латекс] и [латекс] \текст{}р\текст{}[/латекс]. Мы можем переписать его, чтобы решить, является ли [latex]\text{}p\text{}[/latex] функцией [latex]\text{}n\text{}[/latex].

    Дана функция в виде уравнения, напишите ее алгебраическую формулу.

    1. Решите уравнение, чтобы изолировать выходную переменную с одной стороны от знака равенства, а с другой стороны как выражение, включающее только входную переменную.
    2. Используйте все обычные алгебраические методы решения уравнений, такие как прибавление или вычитание одной и той же величины из обеих частей или умножение или деление обеих частей уравнения на одну и ту же величину. 9{y},\text{}[/latex], если мы хотим выразить [latex]\text{}y\text{}[/latex] как функцию [latex]\text{}x,\text{} [/latex] не существует простой алгебраической формулы, включающей только [латекс]\текст{}х\текст{}[/латекс], равной [латекс]\текст{}у\текст{}[/латекс]. Однако каждый [латекс]\текст{}х\текст{}[/латекс] определяет уникальное значение для [латекс]\текст{}у\текст{}[/латекс], и существуют математические процедуры, с помощью которых [ латекс]\текст{}у\текст{}[/латекс] можно найти с любой точностью. В этом случае мы говорим, что уравнение дает неявное (подразумеваемое) правило для [латекс]\текст{}у\текст{}[/латекс] как функцию от [латекс]\текст{}х\текст{}[ /latex], хотя формулу нельзя написать явно.

      Вычисление функции, заданной в табличной форме

      Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц. И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции, используя таблицы. Например, насколько хорошо наши питомцы помнят приятные воспоминания, которыми мы делимся с ними? Существует городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, а бета-рыбка имеет память до 5 месяцев. И если память щенка не превышает 30 секунд, то взрослая собака может помнить 5 минут. Это мизер по сравнению с кошкой, память которой длится 16 часов.

      Функцию, связывающую тип питомца с длительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы. См. Таблицу 1-10. [1]

      Домашнее животное Объем памяти в часах
      Щенок 0,008
      Взрослая собака 0,083
      Кат 16
      Золотая рыбка 2160
      Бета-рыба 3600

      Иногда вычисление функции в виде таблицы может оказаться более полезным, чем использование уравнений. Здесь давайте вызовем функцию [latex]P[/latex]. Домен функции — это тип питомца, а диапазон — действительное число, представляющее количество часов, в течение которых сохраняется память питомца. Мы можем оценить функцию [latex]\text{}P\text{}[/latex] по входному значению «золотая рыбка». Мы бы написали [латекс]P\влево(\текст{золотая рыбка}\вправо)=2160[/латекс]. Обратите внимание, что для вычисления функции в форме таблицы мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функции [latex]\text{}P\text{}[/latex] кажется идеально подходящей для этой функции, в большей степени, чем ее запись в форме абзаца или функции.

      Для функции, представленной в виде таблицы, определите конкретные выходные и входные значения.

      1. Найдите заданный вход в строке (или столбце) входных значений.
      2. Идентифицируйте соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением.
      3. Найдите указанные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется.
      4. Определите входное значение(я), соответствующее данному выходному значению.

      Используя таблицу 1-11,

      1. Вычислить [латекс]\текст{}г\влево(3\вправо)[/латекс].
      2. Решить [латекс]\текст{}г\влево(п\вправо)=6[/латекс].
      3. Вычислить [латекс]\текст{}г\влево(1\вправо)[/латекс].
      Таблица 1-11
      [латекс]n[/латекс] 1 2 3 4 5
      [латекс]г\влево(н\вправо)[/латекс] 8 6 7 6 8

      Раствор

      Поиск значений функции на графике

      Вычисление функции с помощью графика также требует нахождения соответствующего выходного значения для заданного входного значения, только в этом случае мы находим выходное значение, глядя на график. Решение функционального уравнения с использованием графика требует нахождения всех экземпляров заданного выходного значения на графике и наблюдения за соответствующим входным значением (значениями).

      Учитывая график на рис. 1-4,

      1. Вычислить [latex](\text{}f\left(2\right)[/latex].
      2. Решите [латекс]\текст{}f\влево(х\вправо)=4[/латекс].
      3. Решите [латекс]\текст{}f\влево(х\вправо)=1[/латекс].
      Рисунок 1-4

      Решение

      Бесплатный доступ на https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions


      1. http://www.kgbanswers.com/how-long-is-a-dogs-memory-span/4221590. По состоянию на 24 марта 2014 г. ↵

      5.1 — Введение в функции

      5.1 — Введение в функции

      5.1 — Введение в функции

      • Определение функции
      • Концепция функциональной машины и функциональная нотация
      • Способы выражения функции: форма списка, графическая форма, форма формулы
      • Аргумент и значение функции
      • Определение домена и диапазона функции
      • Тест вертикальной линии для функции
      • Функции «один к одному» и «многие к одному»
      • Подстановка выражений в функции
      • Состав функций
      • Обратная функция



      Определение: Функция является соответствием или отображением из первого набора чисел, называемого доменом функции, ко второму набору чисел, называемому диапазон функции, так что на каждого члена домена приходится ровно один член домена диапазон, как показано на этом рисунке:

      Концепция функциональной машины и функциональная нотация

      Полезно думать о функции как о машине с числом из домена в качестве входных данных и соответствующий номер диапазона в качестве вывода. Функция получает имя вроде f . (сокращение от слова «функция»), и если номер, поступающий в машину, позвонил x , затем соответствующий номер возвращается или выходит из машины обозначается f  ( x ). Вот изображение:

      Функциональное обозначение f ( x ) буквально означает «Функция x ».

      Способы выражения функции

      Функция может быть выражена различными способами:



      Аргумент и значение функции

      Значение домена, которое входит в функциональную машину, также называется аргумент функции и значение диапазона, которое выходит из функциональная машина также называется значением функции. Например, предположим, что f (5) = 15. Тогда мы говорим, что аргумент функции f равен 5, а значение f равно 15.

      Определение домена и диапазона функции

      Область определения и диапазон функции не всегда являются множеством всех действительных чисел. Если функция представлена ​​в виде списка или графика, вы можете определить домен и диапазон, просто взглянув на список или график. Но если функция выражается в виде формулы, то необходимо сделать следующее:
      • Подставьте значения потенциальных доменов в формулу и убедитесь, что что они не вызывают неопределенных операций (таких как деление на ноль или квадратный корень из отрицательного числа). Если они это сделают, то они не в домене.
      • Когда домен известен, вы можете найти диапазон, заменив различные значения домена в формулу.

      Пример: Рассмотрим функцию . Домен должно быть, потому что в противном случае мы пытаемся извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Тогда, если мы подставим в формулу различные значения домена, мы видим, что диапазон . Вот график этой функции, который подтверждает наши выводы:

      Тест вертикальной линии для функции

      Определение функции гласит, что для каждого члена домена существует может быть только одним членом диапазона . Таким образом, график функции не может выглядеть так:
      где есть значение x , для которого есть два или более соответствующих и значений. Если график не проходит эту так называемую вертикальную линию test , то это не график функции. Вместо этого мы говорим, что это график отношение между x и y .

      Функции «один к одному» и «многие к одному»

      Говорят, что функция является взаимно однозначной , если каждое значение и имеет ровно одно значение x , отображаемое на него, и много к одному , если есть y значений, которым сопоставлено более одного значения x . На этом графике показана функция «многие к одному». Три точки обозначают три х значения, которые все отображаются на одно и то же значение y .
      Одна сложность с функцией «многие к одному» заключается в том, что она не может иметь обратная функция. Если бы это было возможно, это обратное будет один ко многим, и это нарушит определение функции.

      Подстановка выражений в функции

      Часто, особенно в исчислении, мы используем формульную форму функции и пусть аргумент будет выражением вместо просто число. Единственная сложность в этом случае состоит в том, что мы обычно должны поместите аргумент в скобки, чтобы сохранить правильный порядок операций. Это потому, что формула — это всего лишь рецепт того, что сделать с вводом (аргументом), чтобы получить вывод (значение функции). Например, функциональная запись:
      f  ( x ) = x 2 − 2 x
      означает, что значение функции получается путем возведения в квадрат аргумента и вычитание из него удвоенного аргумента. На самом деле это не имеет значения какую букву мы используем для аргумента; это как работает функция что является важным.

      Таким образом, следующие замены являются допустимыми:

      • f  (4) = 4 2 − 2 · 4
      • f  ( t ) = t 2 − 2 t
      • f  ( x+ h ) = ( x+ h ) 2 − 2 ( x+ h )
      • f  ( a x ) = ( a x ) 2 − 2 ( a x )

      Предупреждение:   Пусть вас не смущают скобки. В левой части каждого примера скобки обозначают функциональное обозначение. Таким образом:
      f  ( независимо от )
      означает, что у нас есть функция с именем f и ее аргумент что угодно . Мы не умножаем f на что угодно ! С правой стороны мы используем скобки, чтобы сохранить порядок операций.
      Упражнения для тренера по алгебре


      Состав функций

      Точно так же, как мы можем подставить выражение в функцию, мы можем подставьте другую функцию в функцию . Например, в предыдущем section мы определили функцию:
      ф  ( х ) = х 2 — 2 х
      Если мы подставим другую функцию g  ( x ) в эту функцию тогда мы получаем:
      Например, если г ( х ) = х + 3, то:
      Мы также можем поменять порядок и заменить f на g , как это:
      Обратите внимание, что результат совершенно другой. Если мы подумаем о ф и г как автоматы, затем заменяя f в g означает, что выход f — это ввод g , как показано здесь:
      Состав функций важен, потому что этот метод можно использовать создавать сложные функции из простых компонентов.
      Упражнения для тренера по алгебре


      Обратная функция

      Предположим, что функция f отображает x в y и что другая функция g отображает y обратно на исходное x , как показано здесь:
      Тогда функция g называется обратной функцией функции f а композиция f и g не имеет общего эффекта. Обратите внимание, что функция f должна быть взаимно однозначной, чтобы иметь обратную.

      Один из способов получения обратной функции g для любой функции f заключается в следующем:

      • Установите f ( x ) равным y .
      • Решите уравнение y = f ( x ) для x . Если есть ровно одно решение, то существует обратное; в противном случае это не так.
      • В только что найденном уравнении переименуйте x будет г ( у ).

      Пример: Найти обратную функцию g функции ф ( х ) = 2 х + 3.

      Установить f ( x ) равным y

      Решить для x

      Переименовать x как г ( 6 y 90). Это обратное.

      Обратите внимание, что функция f берет свой аргумент, умножает его на 2, а затем добавляет 3. Обратная функция, г , выполняет прямо противоположные шаги в порядке, обратном . Он принимает свой аргумент, сначала вычитает 3, а затем делит на 2. Это именно то, что вы ожидаете от обратного.
      Пример: Попробуйте найти обратную функцию функции ф ( х ) = х 2 .
      Установите f ( x ) равным y

      Найдите x . Есть два решения, поэтому обратного не существует.

      Обратите внимание, что f сопоставляет две точки каждой точке. Например f (2) = 4 и f (−2) = 4. Таким образом, обратное должно было бы сопоставьте точку 4 обратно с точками 2 и −2. Но это нарушает определение функции, так что нет обратной.
      Упражнения для тренера по алгебре



      Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
      Оглавление в рамке слева.
      Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

      Как найти значение функции на TI-84 Plus.0461 Ti-84 Plus Графический калькулятор для «чайников»

      Ti-84 Plus Графический калькулятор для «чайников»

      Explore Book Купить на Amazon

      Если вы хотите заменить значение в функции, вы можете выполнить эту задачу, используя бумагу и карандаш. . Однако не будет ли проще использовать ваш калькулятор TI-84 Plus для нахождения значения функции? Есть несколько различных способов выполнить эту задачу.

      TI-84 Plus C отображает функции и информацию на границе графического экрана. TI-84 Plus отображает аналогичную информацию непосредственно на экране графика.

      Использование графика для нахождения значения функции

      Меню CALC можно использовать для оценки функции при любом указанном значении x . Чтобы получить доступ к этой команде и использовать ее, выполните следующие действия:

      1. График функций в окне просмотра, содержащем указанное значение x .

        Чтобы получить окно просмотра, содержащее указанное значение x , это значение должно быть между Xmin и Хмакс .

      2. Нажмите [2 nd ][TRACE] для входа в меню «Расчет».

      3. Нажмите [ENTER], чтобы выбрать вариант значения.

      4. Введите заданное значение x .

        При использовании команды value для оценки функции с заданным значением x это значение должно быть значением x , которое появляется на оси x отображаемого графика, т. е. оно должно быть между Xмин и Xмакс . Если это не так, вы получите сообщение об ошибке.

        С помощью клавиатуры введите значение x (как показано на первом экране). Если вы ошиблись при вводе номера, нажмите [ОЧИСТИТЬ] и введите номер еще раз.

      5. Нажмите [ВВОД].

        После нажатия [ENTER] первая выделенная функция в редакторе Y= появляется в рамке вверху экрана, курсор появляется на графике этой функции при указанном значении x , а координаты курсора отображаются на рамке внизу экрана. Смотрите второй экран.

        Вы также можете найти значение функции, нажав [TRACE], введя значение x и нажав [ENTER].

      6. Несколько раз нажмите кнопку

        клавиш, чтобы увидеть значение других графических функций при указанном вами значении x .

        Каждый раз, когда вы нажимаете клавиши со стрелками вверх и вниз, имя оцениваемой функции появляется на границе в верхней части экрана, а координаты местоположения курсора появляются на границе в нижней части экрана. Это показано на третьем экране.

      После использования команды value для оценки ваших функций при одном значении x вы можете оценить свои функции при другом значении x , введя новое значение и нажав [ENTER]. Нажатие любой функциональной клавиши (например, [ENTER] или [TRACE]) после оценки функции деактивирует команду value .

      Если вы планируете оценивать функции при нескольких заданных значениях x , рассмотрите возможность создания определяемой пользователем таблицы функциональных значений.

      Использование калькулятора для нахождения значения функции

      Еще один способ найти значение функции — воспользоваться калькулятором. Этот метод прост и не имеет ограничений, которые есть у графического метода (значение x должно быть между Xmin и Xmax).

      Выполните следующие действия, чтобы с помощью калькулятора найти значение функции:

      1. Введите функцию в редакторе Y=.

        Вам нужно запомнить название функции, которую вы вводите. Уравнение вводится в Y 1 , как показано на первом экране.

      2. Нажмите [2nd][MODE] для доступа к главному экрану.

      3. Нажмите [ALPHA][TRACE], чтобы открыть меню Y-VAR и выбрать нужную функцию.

        См. второй экран.

      4. Нажмите [(] и введите значение x , которое вы хотите оценить.

      5. Нажмите [)], а затем нажмите [Enter].

        См. третий экран.

      Об этой статье

      Эта статья взята из книги:

      • Ti-84 Plus Graphing Calculator For Dummies,

      Об авторах книги:

      Джефф МакКалла — учитель математики в Епископальной школе Святой Марии в Мемфисе.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.