Найти объем фигуры ограниченной линиями онлайн: Объем тела вращения | Онлайн калькулятор

Вычисление площади поверхности вращения онлайн. Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений. Вычисление объемов тел вращения

Прежде чем перейти к формулам площади поверхности вращения, дадим краткую формулировку самой поверхности вращения. Поверхность вращения, или, что то же самое — поверхность тела вращения — пространственная фигура, образованная вращением отрезка AB кривой вокруг оси Ox (рисунок ниже).

Представим себе криволинейную трапецию, ограниченную сверху упомянутым отрезком кривой. Тело, образованное вращением этой трапеции вокруг то же оси Ox , и есть тело вращения. А площадь поверхности вращения или поверхности тела вращения — это его внешняя оболочка, не считая кругов, образованных вращением вокруг оси прямых x = a и x = b .

Заметим, что тело вращения и соответственно его поверхность могут быть образованы также вращением фигуры не вокруг оси Ox , а вокруг оси Oy .

Вычисление площади поверхности вращения, заданной в прямоугольных координатах

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением

y = f (x ) задана кривая, вращением которой вокруг координатной оси образовано тело вращения.

Формула для вычисления площади поверхности вращения следующая:

(1).

Пример 1. Найти площадь поверхности параболоида, образованную вращением вокруг оси Ox дуги параболы , соответствующей изменению x от x = 0 до x = a .

Решение. Выразим явно функцию, которая задаёт дугу параболы:

Найдём производную этой функции:

Прежде чем воспользоваться формулу для нахождения площади поверхности вращения, напишем ту часть её подынтегрального выражения, которая представляет собой корень и подставим туда найденную только что производную:

Ответ: длина дуги кривой равна

.

Пример 2. Найти площадь поверхности, образуемой вращением вокруг оси Ox астроиды .

Решение. Достаточно вычислить площадь поверхности, получающейся от вращения одной ветви астроиды, расположенной в первой четверти, и умножить её на 2. Из уравнения астроиды выразим явно функцию, которую нам нужно будет подставить в формулу для нахождения площади повержности вращения:

.

Производим интегрирование от 0 до a :

Вычисление площади поверхности вращения, заданной параметрически

Рассмотрим случай, когда кривая, образующая поверхность вращения, задана параметрическими уравнениями

Тогда площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

(2).

Пример 3. Найти площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной циклоидой и прямой y = a . Циклоида задана параметрическими уравнениями

Решение. Найдём точки пересечения циклоиды и прямой. Приравнивая уравнение циклоиды и уравнение прямой y = a , найдём

Из этого следует, что границы интегрирования соответствуют

Теперь можем применить формулу (2). Найдём производные:

Запишем подкоренное выражение в формуле, подставляя найденные производные:

Найдём корень из этого выражения:

.

Подставим найденное в формулу (2):

.

Произведём подстановку:

И, наконец, находим

В преобразовании выражений были использованы тригонометрические формулы

Ответ: площадь поверхности вращения равна .

Вычисление площади поверхности вращения, заданной в полярных координатах

Пусть кривая, вращением которой образована поверхность, задана в полярных координатах.

Если кривая задана параметрическими уравнениями , то площадь поверхности, полученной вращением данной кривой вокруг оси , рассчитывается по формуле . При этом «направление прорисовки» линии, о которое было сломано столько копий в статье , безразлично. Но, как и в предыдущем пункте, важно чтобы кривая располагалась

выше оси абсцисс – в противном случае функция , «отвечающая за игреки», будет принимать отрицательные значения и перед интегралом придётся поставить знак «минус».

Пример 3

Вычислить площадь сферы, полученной вращением окружности вокруг оси .

Решение : из материалов статьи о площади и объемё при параметрически заданной линии вы знаете, что уравнения задают окружность с центром в начале координат радиуса 3.

Ну а сфера , для тех, кто забыл, – это поверхность шара (или шаровая поверхность ).

Придерживаемся наработанной схемы решения. Найдём производные:

Составим и упростим «формульный» корень:

Что и говорить, получилась конфетка. Ознакомьтесь для сравнения, как Фихтенгольц бодался с площадью эллипсоида вращения .

Согласно теоретической ремарке, рассматриваем верхнюю полуокружность. Она «прорисовывается» при изменении значения параметра в пределах (легко видеть, что на данном промежутке), таким образом:

Ответ :

Если решить задачу в общем виде, то получится в точности школьная формула площади сферы , где – её радиус.

Что-то больно простая задачка, даже стыдно стало…. предлагаю вам исправить такую недоработку =)

Пример 4

Вычислить площадь поверхности, полученной вращением первой арки циклоиды вокруг оси .

Задание креативное. Постарайтесь вывести или интуитивно догадаться о формуле вычисления площади поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси ординат. И, конечно, снова следует отметить преимущество параметрических уравнений – их не нужно как-то видоизменять; не нужно заморачиваться с нахождением других пределов интегрирования.

График циклоиды можно посмотреть на странице

Площадь и объем, если линия задана параметрически . Поверхность вращения будет напоминать… даже не знаю с чем сравнить… что-то неземное – округлой формы с остроконечным углублением посередине. Вот для случая вращения циклоиды вокруг оси ассоциация в голову мгновенно пришла – продолговатый мяч для игры в регби.

Решение и ответ в конце урока.

Завершаем наш увлекательный обзор случаем полярных координат . Да, именно обзор, если вы заглянете в учебники по математическому анализу (Фихтенгольца, Бохана, Пискунова, др. авторов), то сможете раздобыть добрый десяток (а то и заметно больше) стандартных примеров, среди которых вполне возможно найдётся нужная вам задача.

Как вычислить площадь поверхности вращения,
если линия задана в полярной системе координат?

Если кривая задана вполярных координатах уравнением , и функция имеет непрерывную производную на данном промежутке, то площадь поверхности, полученной вращением данной кривой вокруг полярной оси, рассчитывается по формуле , где – угловые значения, соответствующие концам кривой.

В соответствии с геометрическим смыслом задачи подынтегральная функция , а это достигается только при условии ( и заведомо неотрицательны). Следовательно, необходимо рассматривать значения угла из диапазона , иными словами кривая должна располагаться выше полярной оси и её продолжения. Как видите, та же история, что и в двух предыдущих параграфах.

Пример 5

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси.

Решение : график данной кривой можно посмотреть в Примере 6 урока о полярной системе координат . Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому рассматриваем её верхнюю половинку на промежутке (что, собственно, обусловлено и вышесказанным замечанием).

Поверхность вращения будет напоминать яблочко.

Техника решения стандартна. Найдём производную по «фи»:

Составим и упростим корень:

Надеюсь, с заштатными тригонометрическими формулами ни у кого не возникло затруднений.

Используем формулу:

На промежутке , следовательно: (о том, как правильно избавляться от корня, я подробно рассказал в статье Длина дуги кривой ).

Ответ :

Интересное и короткое задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Вычислить площадь шарового пояса ,

Что такое шаровой пояс? Положите на стол круглый неочищенный апельсин и возьмите в руки нож. Сделайте два параллельных разреза, разделив тем самым фрукт на 3 части произвольных размеров. Теперь возьмите серединку, у которой сочная мякоть обнажилась с обеих сторон. Данное тело называется

шаровым слоем , а ограничивающая её поверхность (оранжевая кожура) – шаровым поясом .

Читатели, хорошо знакомые с полярными координатами , легко представили чертёж задачи: уравнение задаёт окружность с центром в полюсе радиуса , от которой лучи отсекают меньшую дугу. Данная дуга вращается вокруг полярной оси и таким образом получается шаровой пояс.

Теперь можно с чистой совестью и лёгким сердцем съесть апельсинку, на этой вкусной ноте и завершим занятие, не портить же вам аппетит другими примерами =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : вычислим площадь поверхности, образованной вращением верхней ветви вокруг оси абсцисс. Используем формулу .
В данном случае: ;

Таким образом:


Ответ :

Пример 4: Решение : используем формулу . Первая арка циклоиды определена на отрезке .
Найдём производные:

Составим и упростим корень:

Таким образом, площадь поверхности вращения:

На промежутке , поэтому

Первый интеграл интегрируем по частям :

Во втором интеграле используем тригонометрическую формулу .


Ответ :

Пример 6: Решение : используем формулу:


Ответ :

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как вычислить определенный интеграл

по формуле трапеций и методом Симпсона?

Численные методы – достаточно большой раздел высшей математики и серьезные учебники по данной теме насчитывают сотни страниц. На практике, в контрольных работах традиционно предлагаются для решения некоторые задачи по численным методам, и одной из распространенных задач является – приближенное вычисление определенных интегралов . В этой статье я рассмотрю два метода приближенного вычисления определенного интеграла – метод трапеций и метод Симпсона .

Что нужно знать, чтобы освоить данные методы? Прозвучит забавно, но можно вообще не уметь брать интегралы. И даже вообще не понимать, что такое интегралы. Из технических средств потребуется микрокалькулятор. Да-да, нас ждут рутинные школьные расчёты. А еще лучше – закачайте мой калькулятор-полуавтомат для метода трапеций и метода Симпсона . Калькулятор написан в Экселе и позволит в десятки раз уменьшить время решения и оформления задач. Для экселевских чайников прилагается видеомануал! К слову, первая видеозапись с моим голосом.

Сначала зададимся вопросом, а зачем вообще нужны приближенные вычисления? Вроде бы можно найти первообразную функции и использовать формулу Ньютона-Лейбница, вычислив точное значение определенного интеграла. В качестве ответа на вопрос сразу рассмотрим демонстрационный пример с рисунком.

Вычислить определенный интеграл

Всё было бы хорошо, но в данном примере интеграл не берётся – перед вами неберущийся, так называемый интегральный логарифм . А существует ли вообще этот интеграл? Изобразим на чертеже график подынтегральной функции :

Всё нормально. Подынтегральная функция непрерывна на отрезке и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Да вот только одна загвоздка – интеграл не берётся. И в подобных случаях на помощь как раз приходят численные методы. При этом задача встречается в двух формулировках:

1) Вычислить определенный интеграл приближенно, округляя результат до определённого знака после запятой . Например, до двух знаков после запятой, до трёх знаков после запятой и т.д. Предположим, получился приближенный ответ 5,347. На самом деле он может быть не совсем верным (в действительности, скажем, более точный ответ 5,343). Нашазадача состоитлишь в том , чтобы округлить результат до трёх знаков после запятой.

2) Вычислить определенный интеграл приближенно, с определённой точностью . Например, вычислить определённый интеграл приближенно с точностью до 0,001. Что это значит? Это значит, что если получен приближенный ответ 5,347, то все цифры должны быть железобетонно правильными . А точнее говоря, ответ 5,347 должен отличаться от истины по модулю (в ту или другую сторону) не более чем на 0,001.

Существуют несколько основных методов приближенного вычисления определенного интеграла, который встречается в задачах:

Метод прямоугольников . Отрезок интегрирования разбивается на несколько частей и строится ступенчатая фигура (гистограмма ), которая по площади близка к искомой площади:

Не судите строго за чертежи, точность не идеальна – они лишь помогают понять суть методов.

В данном примере проведено разбиение отрезка интегрирования на три отрезка:
. Очевидно, что чем чаще разбиение (больше более мелких промежуточных отрезков), тем выше точность. Метод прямоугольников даёт грубое приближение площади, видимо, поэтому очень редко встречается на практике (припомнил только один практический пример). В этой связи я не буду рассматривать метод прямоугольников, и даже не приведу простую формулу. Не потому, что лень, а по причине принципа моего решебника: что крайне редко встречается в практических задачах, то – не рассматривается.

Метод трапеций . Идея аналогична. Отрезок интегрирования разбивается на несколько промежуточных отрезков, и график подынтегральной функции приближается ломаной линией:

Таким образом, наша площадь (синяя штриховка) приближается суммой площадей трапеций (красный цвет). Отсюда и название метода. Легко заметить, что метод трапеций даёт значительно лучшее приближение, чем метод прямоугольников (при одинаковом количестве отрезков разбиения). И, естественно, чем больше более мелких промежуточных отрезков мы рассмотрим, тем будет выше точность. Метод трапеций время от времени встречается в практических заданиях, и в данной статье будет разобрано несколько примеров.

Метод Симпсона (метод парабол) . Это более совершенный способ – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

Чертеж строить не вижу смысла, поскольку визуально приближение будет накладываться на график функции (ломаная линия предыдущего пункта – и то практически совпала).

Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона – самая популярное задание на практике. И методу парабол будет уделено значительное внимание.

5. Нахождение площади поверхности тел вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ≥ 0, где х [а; b], а функция у = f(х) и ее производная у» = f»(х) непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис 8).

Применим схему II (метод дифференциала).

Через произвольную точку х [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом у – f(х). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т.е. s = s(х) (s(а) = 0 и s(b) = S).

Дадим аргументу х приращение Δх = dх. Через точку х + dх [а; b] также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(х) получит приращение Δs, изображенного на рисунке в виде «пояска».

Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна: = 2ydl + dydl.

Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds = 2уdl, или, так как d1 = dx.

Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, то формула для площади поверхности вращения принимает вид

S = 2dt.

Пример: Найти площадь поверхности шара радиуса R.

S=2 =

6. Нахождение работы переменной силы

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а

Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т.е. F = kх, где k – коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F =10000х.

Искомая работа на основании формулы

A =

Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания R м (рис 13).

Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р Н. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.

Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат.

1) Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной х (0 ≤ х ≤ Н), есть функция от х, т.е. А = А(х), где (0 ≤ х ≤ Н) (A(0) = 0, A(H) = А 0).

2) Находим главную часть приращения ΔA при изменении х на величину Δх = dx, т.е. находим дифференциал dА функции А(х).

Ввиду малости dх считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dА = dрх, где dр – вес этого слоя; он равен g АV, где g – ускорение свободного падения, – плотность жидкости, dv – объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dр = g. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен , где dx – высота цилиндра (слоя), – площадь его основания, т.е. dv = .

Таким образом, dр = . и

3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим

A

8. Вычисление интегралов с помощью пакета MathCAD

При решении некоторых прикладных задач требуется использовать операцию символического интегрирования. При этом программа MathCad может пригодиться как на начальном этапе (хорошо знать ответ заранее или знать, что он существует), так и на заключительном этапе (хорошо проверить полученный результат с использованием ответа из другого источника или решения другого человека).

При решении большого количества задач можно заметить некоторые особенности решения задач при помощи программы MathCad. Попытаемся понять на нескольких примерах, как работает эта программа, проанализируем решения, полученные с её помощью и сравним эти решения с решениями, полученными другими способами.

Основные проблемы при использовании программы MathCad заключаются в следующем:

а) программа даёт ответ не в виде привычных элементарных функций, а виде специальных функций, известных далеко не всем;

б) в некоторых случаях «отказывается» давать ответ, хотя решение у задачи имеется;

в) иногда невозможно воспользоваться полученным результатом из-за его громоздкости;

г) решает задачу не полностью и не делает анализа решения.

Для того чтобы решить эти проблемы, необходимо использовать сильные и слабые стороны программы.

С её помощью легко и просто вычислять интегралы от дробно-рациональных функций. Поэтому рекомендуется использовать метод замены переменной, т.е. предварительно подготовить интеграл для решения. Для этих целей могут быть использованы подстановки, разобранные выше. Также следует иметь в виду, что полученные результаты необходимо исследовать на совпадение областей определения исходной функции и полученного результата. Кроме этого, некоторые полученные решения требуют дополнительного исследования.

Программа MathCad освобождает обучаемого или исследователя от рутинной работы, но не может освободить его от дополнительного анализа как при постановке задачи, так и при получении каких-либо результатов.

В данной работе были рассмотрены основные положения, связанные с изучением приложений определённого интеграла в курсе математики.

– был проведен анализ теоретической основы решения интегралов;

– материал был подвергнут систематизации и обобщению.

В процессе выполнения курсовой работы были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики.

Заключение

Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения курсовой работы нами были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список наук, которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов.

Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл – это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.

Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.

Литература

1. Волков Е.А. Численные методы. М., Наука, 1988.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Интеграл-Пресс, 2004. Т. 1.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., Высшая школа, 1990.

Пример: Найти объем шара радиуса R .

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q (x ) = .

Получаем объем шара:

Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S .

При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x / H , где х — расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:

Объем тел вращения.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f (x ). Предположим, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [ a , b ]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемоетело вращения .

y = f (x )

Площадь поверхности тела вращения.

М i B

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

Разобьем дугу АВ на n частей точками M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x i и y i . При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна D P i . Эта площадь может быть найдена по формуле :

Пусть в пространстве задано тело. Пусть построены его сечения плоскостями, перпендикулярными осии проходящими через точкиx
на ней. Площадь фигуры, образующейся в сечении, зависит от точки х , определяющей плоскость сечения. Пусть эта зависимость известна и задана непрерывной на функцией. Тогда объем части тела, находящейся между плоскостямих=а и х=в вычисляется по формуле

Пример. Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса :, горизонтальной плоскостьюи наклонной плоскостьюz=2y и лежащего выше горизонтальной плоскости .

Очевидно, что рассматриваемое тело проектируется на осьв отрезок
, а приx
поперечное сечение тела представляет собою прямоугольный треугольник с катетамиy и z=2y, где y можно выразить через x из уравнения цилиндра:

Поэтому площадь S(x) поперечного сечения такова:

Применяя формулу, находим объём тела :

Вычисление объемов тел вращения

Пусть на отрезке[a , b ] задана непрерывная знакопостоянная функция y = f (x ). Объемы тела вращения, образованного вращением вокруг оси Ох (или оси Оу ) криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x ) (f (x )0) и прямыми у=0, х=а, х= b , вычисляются соответственно по формулам:

, (19)

(20)

Если тело образуется при вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой
и прямымиx =0, y = c , y = d , то объем тела вращения равен

. (21)

Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг осиОх .

По формуле (19) искомый объем

Пример. Пусть в плоскости xOy рассматривается линия y=cosx на отрезке .

Эта линия вращается в пространстве вокруг оси, и полученная поверхность вращения ограничивает некоторое тело вращения (см. рис.). Найдём объёмэтого тела вращения.

Согласно формуле, получаем:

Площадь поверхности вращения

,
, вращается вокруг осиOx, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле
, гдеa и b — абсциссы начала и конца дуги.

Если дуга кривой, заданная неотрицательной функцией
,
, вращается вокруг осиOy, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

,

где с и d — абсциссы начала и конца дуги.

Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями
,
, причем
, то

Если дуга задана в полярных координатах
, то

.

Пример. Вычислим площадь поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси части линииy=, расположенной над отрезкомоси.

Так как
, то формула даёт нам интеграл

Сделаем в последнем интеграле замену t=x+(1/2) и получим:

В первом из интегралов правой части сделаем замену z=t 2 -:

Для вычисления второго из интегралов в правой части обозначим его и проинтегрируем по частям, получив уравнение для:

Перенося в левую часть и деля на 2, получаем

откуда, наконец,

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

Работа переменной силы. Рассмотрим движение материальной точки вдоль оси OX под действием переменной силы f , зависящей от положения точки x на оси, т.e. силы, являющейся функцией x . Тогда работа A , необходимая для перемещения материальной точки из позиции x = a в позицию x = b вычисляется по формуле:

Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому давление жидкости на площадку равно ее площади S , умноженной на глубину погружения h , на плотность ρ и ускорение силы тяжести g , т.е.

.

1. Моменты и центры масс плоских кривых . Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность
, тостатические моменты этой дуги M x и M y относительно координатных осей Ox и Oy равны

;

моменты инерции I Х и I у относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам

а координаты центра масс и- по формулам

где l- масса дуги, т. е.

Пример 1 . Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.

Если плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и
. Имеем:Следовательно,

Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти. Имеем:

Отсюда получаем:

В приложениях часто оказывается полезной следующая Теорема Гульдена . Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.

Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности

Вследствие симметрии
. При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна, а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем 4

Отсюда
, т.е. центр масс C имеет координаты C
.

2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах.

Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

Так как путь, пройденный телом со скоростью v(t) за отрезок времени , выражается интегралом

то имеем:

П
ример. Найдём площадь ограниченной области, лежащей между осьюи линиейy=x 3 -x. Поскольку

линия пересекает ось в трёх точка:x 1 =-1, x 2 =0, x 3 =1.

Ограниченная область между линией и осью проектируется на отрезок
,причём на отрезке
,линияy=x 3 -x идёт выше оси (то есть линииy=0, а на — ниже. Поэтому площадь области можно подсчитать так:

П
ример. Найдём площадь области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимедаr=a (a>0) и отрезком горизонтальной оси
.

Первый виток спирали соответствует изменению угла в пределах от 0 до, а второй — отдо. Чтобы привести изменение аргументак одному промежутку, запишем уравнение второго витка спирали в виде
,

. Тогда площадь можно будет найти по формуле, положив
и
:

Пример. Найдём объём тела, ограниченного поверхностью вращения линииy=4x-x 2 вокруг оси (при
).

Для вычисления объёма тела вращения применим формулу

Пример. Вычислим длину дуги линииy=lncosx, расположенной между прямыми и
.

(мы взяли в качестве значения корня , а не -cosx, поскольку cosx >0 при
, длина дуги равна

Ответ:
.

Пример. Вычислим площадь Q поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды x=t-sint ; y=1-cost, при

, вокруг оси.

Для вычисления применим формулу:

Имеем:

, так что

Для перехода под знаком интеграла к переменной заметим, что при

получаем

, а также

Кроме того, предварительно вычислим

(так что
) и

Получаем:

Делая замену , приходим к интегралу

5.2.3. Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?

Помимо нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интегралаважнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения. Материал простой, но читатель должен быть подготовленным: необходимо уметь решатьнеопределенные интегралы средней сложности и применять формулу Ньютона-Лейбница в определенном интеграле. Как и для задачи нахождения площади, нужны уверенные навыки построения чертежей – это чуть ли не самое важное (поскольку интегралы сами по себе чаще будут лёгкими). Освоить грамотную и быструю технику построения графиков можно с помощью методического материала Графики и свойства Элементарных функций. Но, собственно, о важности чертежей я уже неоднократно говорил на уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры.

Вообще в интегральном исчислении очень много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину дуги, площадь поверхности тела и многое другое. Поэтому будет весело, пожалуйста, настройтесь на оптимистичный лад!

Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Представили? … Интересно, кто что представил… =))) Её площадь мы уже находили. Но, кроме того, данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:

– вокруг оси абсцисс  ; – вокруг оси ординат .

В данной статье будут разобраны оба случая. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс. В качестве бонуса я вернусь кзадаче нахождения площади фигуры, и расскажу вам, как находить площадь вторым способом – по оси  . Даже не столько бонус, сколько материал удачно вписывается в тему.

Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.

Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси

Пример 1

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями  ,   вокруг оси   .

Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости   необходимо построить фигуру, ограниченную линиями  ,  , при этом не забываем, что уравнение   задаёт ось  . Как рациональнее и быстрее выполнить чертёж, можно узнать на страницах Графики и свойства Элементарных функций и Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры. Это китайское напоминание, и на данном моменте я больше не останавливаюсь.

Чертёж здесь довольно прост:

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси  . В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси  . На самом деле у тела есть математическое название, но в справочнике что-то лень смотреть, поэтому едем дальше.

Как вычислить объем тела вращения?

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

В формуле перед интегралом обязательно присутствует число  . Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.

Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.

Функция  … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы   сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.

В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси  . Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в квадрат:  , таким образом объем тела вращения всегда неотрицателен, что весьма логично.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

Как я уже отмечал, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.

Ответ: 

В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы  . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубические единицы? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.

Пример 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси   фигуры, ограниченной линиями  ,  , 

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотрим две более сложные задачи, которые тоже часто встречаются на практике.

Пример 3

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями  ,  ,   и 

Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями  ,  ,  ,  , не забывая при этом, что уравнение   задает ось  :

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси   получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси   получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через  .

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси  , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через  .

И, очевидно, разность объемов   – в точности объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения: 

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой  , поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой  , поэтому:

3) Объем искомого тела вращения: 

Ответ: 

Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.

Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:

Методическое пособие для учителя «Интегральное исчисление и его приложения для решения задач»

ГУ «ОТдел образования акимата города костаная»

Методическое пособие

прикладного курса по математике «Интегральное исчисление и его приложения для решения задач» для учащихся 11 класса

Учитель сш №1 Фролова Т.Н.

Костанай 2011

Пояснительная записка

Результаты, показанные в ЕНТ выпускниками школ, являются несомненно беспорной оценкой уровня и качества системы среднего образования в Казахстане.

К сожалению, приходится констатировать, что за последние годы результаты тестирования демонстрируют тенденцию по снижению уровня математической подготовки у выпускников средних школ. Статистика такова- выпускники решают 30% тестовых заданий по математике. Большинство учащихся плохо владеют простейшей техникой тождественных преобразований, не умеют стоить графики элементарных функций, не обладают пространственным воображением и имеют низкие навыки логического мышления.

Материалы методического пособия «Интегральное исчисление и его приложения для решения задач» ориентировано на систематизацию знаний по нахождению первообразной и вычислению определённого интеграла, по приложению интегрального исчисления при решении задач планиметрии и стереометрии и на углубленное изучение интегрального исчисления.

Данное методическое пособие является приложением к прикладному курсу по математике для 11 класса «Интегральное исчисление и его приложения для решения задач».

Проанализировав тестовые задания, предлагаемые учащимся для единого национального тестирования, мы убедились, что в тестах присутствуют задания не только программного материала средней общеобразовательной школы, но и задачи повышенной сложности, изучаемые в классах с углубленным изучением математики. В данном методическом пособии приведено решение наиболее трудных тестовых заданий по интегральному исчислению, встречающихся в ЕНТ за 1999-2010 годы. Все задания были систематизированы, выбраны наиболее простые и общие методы решения, не выходяшие за рамки школьной программы по математике.

Цель пособия — ознакомить учащихся с типовыми методами решения часто встречающихся задач ЕНТ по математике, а также научить их избегать стандартных ошибок при решении задач, связанных с интегральным исчислением. Умение решать такие задачи определят успешность сдачи ЕНТ.

Задачами данного курса являются:

• Повышение математической культуры.

• Развитие пространственного воображения и логического мышления.

• Углубление знаний учащихся по интегральному исчислению

• Развитие умений и формирование навыков решения задач, связанных с интегральным исчисление.

• Развитие познавательной активности и самостоятельности учащихся.

• Подготовка к единому национальному тестированию и к обучению в вузе.

Методы и принципы обучения:

• Научность

• Доступность

• Вариативность

• Опережение программного материала

• Постепенного повышения сложности учебного материала

• Самоконтроль

• Практической направленности курса

Для реализации цели и задач прикладного курса используются такие формы занятий: лекция, практикум по решению задач, индивидуальные домашние задания по вариантам и их защита, в результате которой лежит исследовательская деятельность учащихся.

Содержание

1. Первообразная функции и её вычисление.

2. Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.

3. Приложения определенного интеграла.

4. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Вычисления объемов тел вращения

5. Вычисление площади поверхности

6. Приложение определённого интеграла к решению физических задач

7. Технология работы над тестовыми заданиями

1.Первообразная функции и её вычисление.

До настоящего момента мы рассматривали вопросы нахождения производной известной функции. Но нередко возникает обратная задача: по известной производной функции необходимо найти исходную функцию. Раздел математического анализа, изучающий восстановление функций по их производным, называется интегральным исчислением.

Определение. Функция F(x),заданная на отрезке , называется первообразной для функции f(x), заданной на том же отрезке, если выполнено условие: (х)= f(x).

Операция нахождения первообразной заданной функции называется интегрированием.

Таким образом, операция интегрирования является обратной к операции дифференцирования.

Следует отметить, что операция интегрирования (в отличие от операции дифференцирования) многозначна. Если F(x) — первообразная для функции f(x) на некотором промежутке, то существует бесконечно много первообразных для функции f(x) на этом промежутке и все они имеют вид F(x)+С, где С — произвольная постоянная.

Геометрически это означает, что графики всех первообразных можно получить из графика одной из них сдвигом вдоль оси Оу. Выбором постоянной С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку, то есть постоянная С удовлетворяла уравнению: F()+С=

Множество всех первообразных F(x)+С для функции f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается: .

Приведём таблицу основных интегралов:

1. = +C 7.+C

2. =+C 8.

3. =-+C 9.

4. =2 +C 10.

5. =+C 11. +C

6. =+C 12.=arc +C

Чтобы найти неопределённый интеграл (то есть множество первообразных для подынтегральной функции), достаточно свести его к табличным. Это удаётся сделать путём преобразования подынтегрального выражения и применения основных правил интегрирования:

1. =

2. =

3. Если , то , где k и b —постоянные, k0.

1. Задание: Найдите общий вид первообразной для функции:

а)=

б)=

в)=

г)=2

д)

е)x

Решение:

а)=

F(x)=

Ответ: а)

б)=

F(x) =

Ответ: б) F(x)=

в)=

F(x)=—+3+3+

Ответ: в) F(x)=

г)=2

F(x)==2 (-3)sin sin

Ответ: г) F(x)= sin

д)

F(x)=

Ответ: д) F(x)=

е)x

По определению модуля f(x)=

—

F(x)=

—

Поскольку F(x) непрерывна на R, то F(-1)=+-

Заменим

Ответ: е) F(x)=

—

2 Задание: Найдите: а)

б)

в)

г)

д)

е)dx

ж)

Решение:

а)

Преобразовав подынтегральное выражение, получим:

==2+C=2+C.

Ответ: 2+C.

б) =

Ответ:

в)===+C=+C.

Ответ:+C.

г)==

Ответ:

д)

Решим квадратное уравнение относительно Разложим квадратный трехчлен на множители и получим:

== sinx – x + C.

Ответ: sin x – x + C.

е)dx =dx =dx +16==

Ответ:

ж)

Избавимся от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, получим:

=

=

Ответ:

3.Задание:Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку А:

а) f(x)=

б) f(x)=6, A (3 55).

Решение:

а) f(x) =

Найдем общий вид первообразной для функции:

++C.

Для того, чтобы их всех первообразных выбрать ту, которая проходит через заданную точку, решим уравнение: F()+C=.

++C =

+C =

C= — .

Ответ:++.

б) f(x)=6

— ·(-3) ·2·+C.

Первообразная проходит через точку А(3;55), значит:

2 ·+C=55[

55+С=55, С=0.

Ответ:=.

2.Определённый интеграл.

Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то определенный интеграл от этой функции на заданном отрезке равен приращению любой её первообразной

4. Задание: Вычислите интеграл:

а) dx

б)

Решение:

а) dx= dx= — =

Ответ:

б)= =

Ответ: 2.

Основные правила вычисления определённого интеграла:

1.

2.

3. =

4.

5.

5. Задание: Вычислите:

а) б) в)

г) д) е)

ж)

Решение:

а) =

Ответ: —

б)

Решим квадратное уравнение и разложим квадратный трехчлен на множители. Получим два одинаковых корня, равных 3. Тогда имеем интеграл от функции :

+

Ответ: 21.

в)

Преобразуем числитель по формулам сокращённого умножения (разность кубов). Имеем функцию: (1+2

=

Ответ:.

г)

Разделим числитель на знаменатель почленно, имеем:

= — =2 .

Ответ: .

д)

Применив тригонометрическую формулу синус двойного угла, имеем:

= )=- —

Ответ:

е) = = .

Ответ: .

ж) = ) = ) — )=.

Ответ:.

6.Задание: Вычислить:

а) б)

в) г)

а) — )= (-1- ) – (0 – 0 – )=-

Ответ: —

б)+1.

Ответ:+1.

Замечание. Если подынтегральная функция представляет собой выражение, содержащее переменную под знаком модуля, то вычисление определённого интеграла с данными пределами интегрирования можно свести к вычислению суммы определённых интегралов с подынтегральными функциями, не содержащими переменную под знаком модуля.

в)

Воспользуемся свойством 3определённого интеграла:

— 0)+

+ (2 – 2 — +1) = 1.

Ответ: 1.

г)

х+1 _ + +

……………………—1……...…………………0………………………………>х

х _ _ +

Воспользуемся правилом 3 определённого интеграла:

Ответ: 5.

Рассмотрим задачи, которые решаются с использованием свойств первообразных и интегралов.

7.Задание: При каком значении а выполняется равенство:

Решение:

Имеем уравнение , правая часть которого есть определённый интеграл, левая- число. Правую часть уравнения вычислим относительно параметра а:

(x—

Подставим значение интеграла в уравнение, имеем:

= .

Ответ: = .

8. Задание: Решить неравенство: — .

Решение:

Вычислим каждый интеграл.

1)

2)=0.

3) –x

Решаем методом интервалов:

f(x)=

x=-12 – не удовлетворяет условию.

____+________________________________4______-_____________

Ответ: x

9. Задание: Найдите все числа b

Решение:

=(bx-2

Ответ: b=2.

10. Задание: Найдите все числа А и В , при которых функция вида f(x)=A+B удовлетворяет условиям: f ‘ (x)=2 и

Решение:

f(x)=A+B: f ‘ (x)=

f ‘ (1)=

Тогда : 2В=4, В=2.

Ответ:

11. Задание: При каких значениях параметра а значение интеграла

Решение:

=(=а-

Значение интеграла максимально, при

Ответ:

III. Приложения определенного интеграла.

1.Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

1. а) y=x²+1 , y=0 , x=-1 , x=2

б)y=√x, y=0 , x=1 , x=4

5. a) y=√x-1 , y=1 , y=0 , x=0

б) y=, y=1 , y=4 , x0

2. a) y=-x² , y=0 , x=3

б) y=³√x , y=0 , x=-1

6. y=x², y= (x0) , y=0 , x=5

3. a)y=4x-x² , y=0 , x=0 , x=5

б)y=cosx, y=0 , x=- , x=

7. y=√x , y=|x-2|

4. а) y= , y=x , x=2

б) y=x+3 , y=x² + 1

в) y= sinx , y=cosх, x=0

г) y=, y=

д) y=9/x² , y=-x-2 , x=-2

е) y=-2+|x|, y= -x²

8.а) y= — 4x , y=0

2. ^{Вычисления объемов тел вращения}

9.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

y=√x+1 , x=0 , x=1 , y=0

12. Найдите объем тела , полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у=х² , осью ординат и прямой у=1.

10.Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой х∙у=2 , прямыми: х=1 , х=2 и осью абсцисс.

13.Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у=х² , у=2-х , у=0.

11.Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана уравнениями: у=х∙|x-2| , x=0 , x=3, y=0.

14.Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у=√7∙х³ , у=0 , х=-1 и х=1.

1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла общим методом.

Используя понятие определенного интеграла, рассмотрим общий метод вычисления площадей фигур.

Определение. Фигура, ограниченная прямыми y=0, x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на [a;b] функции f(x), называется криволинейной трапецией.

S_ф=

1.Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y=x²+1, y=0, x=-1, x=2.

б) y=, y=0, x=1, x=4.

в) y= , y=0 , x=1, x=2.

Решение:

а) y=x²+1,y=0,x=-1,x=2

S_ф =dx = = ( + 2) — =3+3=6

Ответ: 6.

б) y=, y=0, x=1, x=4

S_ф= = · (-1)= ·7=

Ответ:

в) y=, y=0, x=1, x=2

S_ф=dx= =.

Ответ: .

2. Рассмотрим случай, когда у=непрерывная функция. Тогда график функции расположен ниже оси Ох. Для вычисления площади соответствующей криволинейной трапеции следует использовать формулу:

2.Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

_{, ,}

_{, ,}

Решение:

_{, ,}

Ответ: 9.

1. _{, ,}

Ответ :

3.Пусть функция f(x) непрерывна на и принимает на этом отрезке как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае отрезок разбивается на части, в каждой из которых функция не изменяет свой знак. Затем вычисляются соответствующие этим частям площади по приведённым выше формулам. После этого полученные результаты складываются.

3.Задание: Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями :

1. _{, , ,}

2. _{, ,,}

Решение:

1. _{, , ,}

Ответ: 13.

2. _{, , ,}

Ответ: _.

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций f(x) и g(x) , а так же двумя прямыми x=a и x=b, где f(x)g(x) на отрезке [a;b] находиться по формуле:

Замечание. Если известно,что график одной из функций f(x ) или g(x) лежит выше другого,то можно не выяснять какой именно, а воспользоваться формулой :

4.Задание: Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями:

a)

_б)

_в)

_г)

д)

е)

Решение:

a)

Найдём точки пересечения графиков заданных линий:

Ответ:

б₎

Найдём точки пересечения графиков заданных линий:

Ответ: .

в)

Решение:

Найдём точки пересечения графиков функций :

tq x =1

Ответ:

г)

Область определения функции есть

Найдем точки пересечения графиков функций:

=

_=.

Ответ:

д)

Ответ: 1.

е)

Решение:

Ответ:

5.Если фигура ограничена прямыми : у=с, у=d (d и графиком непрерывно возрастающей (убывающей) функции у=f () (, то её площадь вычисляеися по формуле

5 Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у= ,у=1, у=0,=0.

б) у=у=1, у=4,0.

Решение:

а) у= ,у=1, у=0,=0.

Найдём функцию, обратную данной у=:

Ответ:

б) у=у=1, у=4,0.

Найдём функцию, обратную данной у=

Ответ: 2.

6.Если требуется вычислить площадь более сложной фигуры, то стараются представить искомую площадь в виде алгебраической суммы площадей криволинейных трапеций.

6. Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: при условии0,у=0, х=5.

Решение:

Кривые у=и при условии0 пересекаются в точке х=1.

Ответ:

7.Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение: По определению модуля имеем:

Построим графики данных функций и найдем абсциссы точек пересечения:

_,

х =-4х+4

-5х+4=0

2)

-5х+4=0

Искомая площадь равна:

Ответ:

8.Задание: Вычислите без рисунка площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у =

б) у =, у=1, х=_.
в) у =

Решение:

у =

Найдем нули функции:

Функция у =

у =

у =х

Ответ:8

3. Вычисление объемов тел вращения

Объем V тела, полученного в результате вращения криволинейной трапеции, ограниченной линиями Y=f(x) (f(x)>0) , x=a , x=b (b>a) вокруг оси Ох, вычисляется по формуле: V=

9.Задание: Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

y=, =0, =1, y=0

Решение:

Воспользуемся формулой объема тела вращения:

V=

Ответ:

10.Задание: Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой xy=2, прямыми х=1 , х=2 и осью абсцисс.

Решение:

V== ₌

Ответ:

11.Задание: Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана уравнениями: y=x|x-2| , x=0 , x=3 , y=0.

Решение:

V= =

Ответ: 3.6

12.Задание: Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у=х² , осью ординат и прямой у=1.

Решение:

Искомый объем состоит из разности объемов цилиндра, полученного вращением квадрата ОАВС вокруг оси Ох и фигуры, ограниченной параболой у=х² , осью Ох и прямой х=1.

Поэтому: V=

Ответ:

13.Задание: Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=х ² , у=2-х, у=0.

Решение:

V=

Ответ:

14.Задание: Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=√7х³ , y=0 , x= -1 и х=1.

Решение:

V=2dx=

Ответ:

4.Приложение определённого интеграла к решению физических задач

IV. Технология работы над тестовыми заданиями.

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=

Решение:

1)График функции у=у =

2)Функцию f(x)=| можно переписать в виде:

F(x)=

Из условия задачи следует, что нам необходимо найти площадь фигуры, ограниченной функцией у=4-2 на отрезке [-1;2];

S== ===12 — — =9

Ответ: 9.

2.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= , у= , у=0

Решение:

Построим схематично графики данных функций в одной системе координат.

Вычислим абсциссы точек пересечения графиков функций:

Х=2

Найдем площадь фигуры:

S=+=x+(4-x) = — (0-2)=

Ответ:

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой х=0, графиком функции у=4х- и касательной к этому графику в точке с абсциссой =3

Решение:

1)Найдем касательную к графику функции у=4х- в точке с абсциссой =3

У(3)=12-9=3

(х)=4-2х =>

Уравнение касательной: у=-2(х-3)+3=-2х+9

2) Схематично изобразим графики функций у=4х- и у=-2х+9.

S=-=dx==0-(-9)=9

Ответ: 9.

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=-2x+1 и графиком ее производной

Решение:

2)Найдем точки пересечения графиков функций f(x) и :

;

Точки пересечения (1;0) и (3;4).

3)Схематично изобразим графики функций у= и у=2х-2

S==)dx==4 — =

Ответ:

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=3,у=5-2

Решение:

1)Найдем точки пересечения графиков функций:

3

=1

Точки пересечения (-1; 3)и(1;3).

2)Схематично изобразим графики функций у=3 и у=5-2

S==2=10=

=10=10=

Ответ:

6.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=-+2х+3, у=3-х

Решение:

1)Найдем точки пересечения графиков функций:

—

=0; =3

Точки пересечения: (0;3)и(3;0).

2)Схематично изобразим графики функций у=-+2х+3 и у=3-х

S=====27=27* =

Ответ:

7.При каких значениях параметра а верно равенство:

Решение:

1)Найдем интеграл: =sina

2)Решим тригонометрическое уравнение:

Sina=1

a=+2;

Ответ: a=+2; .

8.При каких значениях параметра a площадь фигуры, ограниченной линиями у=,у=0,х=a (a>0) равна 4?

Решение:

1)Площадь фигуры, ограниченной линиями у= и х=a (a>0) есть интеграл

=

2)Решим уравнение:

=>a =

Согласно условиям задачи a>0,следовательно а=2

Ответ: 2.

9.При каких значениях параметра а верно неравенство

Решение:

1)Найдем интеграл:=-cosa+1=1-cosa.

2)Решим неравенство:

1-cosa>0 =>cosa<1

Поскольку функция cosx принимает только значения из интервала -1cosx1,

полученное неравенство равносильно соотношению:

cosa1 =>a ; n

Ответ: а.

10.При каких значениях параметра а значение интеграла

Решение.

1)Найдем интеграл: =а-.

2)Определим точки максимума функции f(a)=a-,приняв ее первую производную

(a)=1-2a к нулю:

1-2а=0 => a=

3)Исследовав знак производной, получаем, что a= – точка максимума

Ответ:

Для решения следующих задач воспользуемся свойством:

Объем V тела, полученного в результате вращения криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=f(x) (f(x)0),x=a, x=b (b>a) вокруг оси Ох, вычисляете по формуле:

V=(x)dx

11.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у= , x=0, x=1, y=0.

Решение:

По формуле объема тела вращения:

V=dx====

Ответ:

12.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=, х=1, х=2, у=0.

Решение:

По формуле объема тела вращения:

V=dx=dx===

Ответ:

13.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=1-, у=0

Решение:

Парабола у=1-пересекает ось Ох при х=-1 и х=1, поэтому объем тела вращения равен:

V=dx=dx=)dx===

Ответ:

14.Вычислите интеграл

Решение:

==+=1

Ответ: 1.

Резюме

«Основы математического анализа» — единственный раздел математики, изучаемый в школе, который не относится к элементарной математике. Основным объектом изучения данного раздела является числовая функция. В пособии вы ознакомились с первообразной функции f(x) и её применением, нахождением неопределённого интеграла, с определённым интегралом и его приложениями при решении задач.

В начале пособия описаны методы нахождения первообразной и неопределённого интеграла. Подробно с многочисленными примерами, изложены методы вычисления табличных интегралов. При вычислении интегралов на примерах показаны способы сведения их к «табличным». В заключительной части дано приложение определённого интеграла к решению задач.

Особенность математического анализа — кинематический подход к функции, где основной акцент делается на изучение изменения функции в независимости от изменения аргумента. В отличие от обычного подхода в курсе общеобразовательной школьной программы, введено понятие неопределенного интеграла, как это делается в традиционных курсах ВУЗов. Такой подход должен облегчить преемственность перехода от школьной программы к методике изложения математического анализа в ВУЗах.

Глоссарий по дисциплине

Список принятых сокращений

в. (вв.) — век (века)

г. (гг.) — год (годы) др. — другой, другие

и т.п. — и тому подобное

лат. — латинский

мин — минута

млн — миллион

млрд — миллиард

пр. — прочий

с — секунда

с. — страница

т. — том

т.е. — то есть

т.к. — так как

т.н. — так называемый

А

Аксиома – предложение, не требующее доказательства.

Аксиоматический метод – важный научный инструмент познания мира, который даёт законченное, логически стройное построение научной теории.

Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными

величинами и решение различных уравнений, связанных с этими действиями.

Алгебраическое уравнение– это уравнение вида Р(x,z,.,…,к,е)=0, где Р – это многочлен, х,у,…е – переменные.

Алгоритм – это точное предписание определяющее процесс перехода от исходных данных к искомому результату.

Асимптота кривой -это прямая, в которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность.

В

Вероятность – числовая характеристика возможности появления случайного события в определённых условиях, которые могут быть воспроизведены.

Теория вероятностей – наука о вычислении вероятностей случайных событий.

Выпуклая фигура – эта фигура, которой принадлежат все точки отрезка, соединяющего любые её две точки.

Г

Графом в математике называется конечная совокупность точек, называемых вершинами, некоторые из них соединены друг с другом линиями, называемыми ребрами графа.

Группа – одно из основных понятий математики.

Множество G , в котором задана некоторая операция, соответствующая двум элементам а, в из этого множества G некоторый элемент а * в того же множества G, наз. группой, если выполняются следующие свойства:

1. а* (в* с)= (а * в ) *с, для любых а, в, с из G

2.существует нейтральный элемент е из G, такой, что а * е =а и е* а = а, для любого а.

3. существует обратный элемент аֹ из G, такой, что а* аֹ = е и аֹ* а = е, для любого а.

Д

Делимость. Говорят, что целое число а делится на число в, если существует целое число с, что а = в · с.

Доказательство – цепочка умозаключений, устанавливающая истинность данного суждения.

Е

Единица – это первое число натурального ряда чисел, а также одна из цифр в десятичной системе счисления.

Евклида алгоритм – это способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также наибольшей общей меры двух соизмеримых отрезков.

К

Комбинаторика – раздел математики, который изучает вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комплексные числа — числа вида а + в · i , где а и в- действительные числа, i— мнимая часть, где i · i= -1.

Л

Логика – это наука, изучающая такие способы рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные предположения.

М

Математическая индукция – метод доказательства, при котором используются индуктивные рассуждения (от частных заключений переходим к общим).

Математическая статистика – наука, изучающая методы обработки результатов наблюдений.

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел.

Математические объекты — это результат выделения из предметов и явлений количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования (отвлечения) от всех других свойств.

Многоугольник – часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной A¸ В , С ¸ …, М¸ не имеющей точек самопересечения. Звенья ломаной – отрезки- стороны многоугольника; точки А,В,С…,М – вершины многоугольника; — углы многоугольника.

Многогранники – простейшие тела в пространстве.

Множество – это неопределяемое понятие. Математик Кантор о нём сказал так,

« Множество- это многое, мыслимое как единое целое».

Н

Наибольший общий делитель (НОД) – это наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из целых чисел.

Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из данных целых чисел.

Необходимое и достаточное условие – форма записи и осмысления математической теоремы.

Неравенство – это два числа или математических выражения, соединённых одним из знаков: «> — больше», «< — меньше», «- больше или равно», « — меньше или равно».

О

Объём – величина, характеризующая размер геометрического тела.

Окружность и круг. Кругом с центром в точке О и радиусом r наз. множество точек плоскости, удалённых от точки О на расстояние не больше r. Круг ограничен окружностью — множество точек плоскости, удалённых от точки О на расстояние равное r.

Определение – математическое предложении, предназначенное для введения нового понятия на основе уже известных нам понятий.

Определитель – число, поставленное по определённому правилу в соответствие квадратной матрице.

П

Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определённая группа цифр.

Площадь – это величина, характеризующая размер геометрической фигуры.

Поле – множество элементов, для которых определены арифметические операции.

Последовательность — считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу п ставится в соответствие элемент х(п) некоторого множества.

Пропорция – равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин.

Процент – сотая часть числа.

Р

Расстояние – длина отрезка между заданными точками.

Ряд – это выражение вида , составленное из чисел х, , которые называются членами ряда.

С

Системы счисления – это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

Софизм – это доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована.

Т

Теорема – это высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства.

Тождество – это запись вида АВ, где А,В – выражения, принимающие одинаковые значения при всех значениях входящих в А и В переменных, взятых из некоторого множества М.

У

Уравнение – это выражения, соединённые знаком равенства.

Ф
Факториал – так называют встречающуюся в практике функцию, определенную для целых неотрицательных чисел. Обозначается она: п! = 1·2·3·4·5·…·п.

Формула – комбинация математических знаков и букв, выражающая какое-либо предложение.

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Ц

Цифры – условные знаки для обозначения чисел.

Ч

Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счёта или измерения.

Рекомендуемые сборники задач и упражнений

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.— М.: Наука, 1985.— 446 с.

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.— М.: Высш. шк., 1986.— Ч. 1.— 446 с; Ч. 2.— 464 с.

Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.— М.: Наука, 1977.— 528 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демидовича.— М.: Наука, 1978.— 380 с.

Краснов М. Л., Киселев А. П., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Высш. шк., 1978,— 288 с.

Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.— М.: Высш. шк., 1983.— 176 с.

Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.— М.: Наука, 1970.— 400 с.

Сборник задач по курсу высшей математики/Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарина, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.— М.: Высш. шк., 1973.— 576 с.

Рустюмова И.П. Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике , Алматы 2010.

Список рекомендуемой литературы

4. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.— М.: Наука, 1985.— 446 с.

5. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.— М.: Высш. шк., 1986.— Ч. 1.— 446 с; Ч. 2.— 464 с.

6. Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.— М.: Наука, 1977.— 528 с.

7. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демидовича.— М.: Наука, 1978.— 380 с.

8. Краснов М. Л., Киселев А. П., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Высш. шк., 1978,— 288 с.

9. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.— М.: Высш. шк., 1983.— 176 с.

10. Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.— М.: Наука, 1970.— 400 с.

11. Сборник задач по курсу высшей математики/Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарина, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.— М.: Высш. шк., 1973.— 576 с.

12. Рустюмова И.П. Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике , Алматы 2010.

1.9. Объём тела вращения для «чайников»



Рассмотрим ещё одно распространённое приложение определённого интеграла.

Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Представили? … интересно, кто что представил… 🙂 Её площадь мы уже находили. Но, кроме того, данную фигуру можно ещё и вращать: вокруг оси  или вокруг оси .
В рамках данного курса я остановлюсь на стандартном варианте:

Пример 17
Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями ,  вокруг оси  .

Решение: как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. Да, с точно такого же чертежа:

Искомая плоская фигура заштрихована серым цветом, именно она и вращается вокруг оси . В результате получается такое… загадочное яйцо.

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:
, где  – неотрицательная или неположительная функция, график которой ограничивает плоскую фигуру на отрезке . Заметьте, что здесь не нужно думать, над осью расположена криволинейная трапеция или под осью, т.к. возведение в квадрат стирает разницу между функциями  и .

В нашей задаче:

Интеграл почти всегда получается простой, главное, быть ВНИМАТЕЛЬНЫМ.

Ответ:  (кубических единиц — «кубиков» единичного объема)

Напоминаю, что , обычно принимают  либо .

Пример 18
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры, ограниченной линиями , ,

Тренируемся и переходим к более содержательному случаю:

Пример 19
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , ,  и .

Решение: изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями , , , , не забывая, что уравнение  задаёт ось :

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси  получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами. Объем этого бублика вычислим как разность объёмов с помощью стандартной формулы .

1) Фигура, обведённая красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

3) Объем искомого тела вращения:

Ответ:

Решение можно оформить и короче, примерно в таком духе:
., но, как вы уже поняли, за скорость приходится расплачиваться повышенным риском допустить ошибку.

И ещё хочу вас предостеречь от оценки результата «на глазок». При вычислении объёмов этого делать НЕ НАДО. Дело в том, что человек склонен неверно оценивать объёмы. Посмотрите на плоскую фигуру в прорешанной задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составил чуть более 50 «кубиков», что кажется слишком большим. Кстати, среднестатистический человек за всю свою жизнь выпивает жидкость объемом с комнату площадью 18 квадратных метров, что, наоборот, кажется слишком маленьким объемом.

И после лирического отступления уместно решить изящную и, конечно же, важную;) задачу:

Пример 20
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , ,

Дополнительные примеры можно найти в соответствующей статье сайта, в том числе вращение вокруг оси , ну а сейчас есть более срочный материал:

1.10. Интеграл от чётной функции по симметричному относительно нуля отрезку

1.8. Как вычислить площадь фигуры с помощью определённого интеграла?

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла

Тип урока:

комбинированный.

Цель урока: научиться вычислять объемы тел вращения с помощью интегралов.

Задачи:

• закрепить умение выделять криволинейные трапеции из ряда геометрических фигур и отработать навык вычислений площадей криволинейных трапеций;
• познакомиться с понятием объемной фигуры;
• научиться вычислять объемы тел вращения;
• способствовать развитию логического мышления, грамотной математической речи, аккуратности при построении чертежей;
• воспитывать интерес к предмету, к оперированию математическими понятиями и образами, воспитать волю, самостоятельность, настойчивость при достижении конечного результата.

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие группы. Сообщение учащимся целей урока.

Рефлексия. Спокойная мелодия.

– Сегодняшний урок мне бы хотелось начать с притчи. “Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая – я ее умертвлю, скажет мертвая – выпущу”. Мудрец, подумав, ответил: “Все в твоих руках”. (Презентация. Слайд)

– Поэтому давайте сегодня плодотворно поработаем, приобретем новый багаж знаний, и полученные умения и навыки будем применять в дальнейшей жизни и в практической деятельности. “Все в Ваших руках”.

II. Повторение ранее изученного материала.

– Давайте вспомним основные моменты ранее изученного материала. Для этого выполним задание “Исключите лишнее слово”. (Слайд.)

(Учащийся выходит к И.Д.с помощью ластика убирает лишнее слово.)

– Правильно “Дифференциал”. Попробуйте оставшиеся слова назвать одним общим словом. (Интегральное исчисление.)

– Давайте вспомним основные этапы и понятия связанные с интегральным исчислением..

“Математическая гроздь”.

Задание. Восстановите пропуски. (Студент выходит и вписывает ручкой необходимые слова.)

– Реферат о применении интегралов мы заслушаем позже.

Работа в тетрадях.

– Формулу Ньютона-Лейбница вывели английский физик Исаака Ньютона (1643–1727) и немецкий философ Готфрида Лейбница (1646–1716). И это не удивительно, ведь математика – язык, на котором говорит сама природа.

– Рассмотрим, как при решении практических заданий используется эта формула.

Пример 1:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Построим на координатной плоскости графики функций . Выделим площадь фигуры, которую надо найти.

III. Изучение нового материала.

– Обратите внимание на экран. Что изображено на первом рисунке? (Слайд) (На рисунке представлена плоская фигура.)

– Что изображено на втором рисунке? Является ли эта фигура плоской? (Слайд) (На рисунке представлена объемная фигура.)

– В космосе, на земле и в повседневной жизни мы встречаемся не только с плоскими фигурами, но и объемными, а как же вычислить объем таких тел? Например объем планеты, каметы, метеорита, и т.д.

– Об объеме задумываются и строя дома, и переливая воду из одного сосуда в другой. Правила и приёмы вычисления объёмов должны были возникать, другое дело, насколько они были точны и обоснованны.

Сообщение студентки. (Тюрина Вера.)

 

1612 год был для жителей австрийского города Линц, где жил тогда известный астроном Иоганн Кеплер очень урожайным, особенно на виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определить их объёмы. (Слайд 2)

– Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. оформлением в трудах И. Ньютона и Г.В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления. Математика переменных величии заняла с этого времени ведущее место в системе математических знаний.

– Вот сегодня мы с вами и займемся такой практической деятельностью, следовательно,

Тема нашего урока: “Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла”. (Слайд)

– Определение тела вращения вы узнаете, выполнив следующее задание.

“Лабиринт”.

Лабиринт (греческое слово) означает ход в подземелье. Лабиринт– запутанная сеть дорожек, ходов, сообщающихся друг с другом помещений.

Но определение “разбилось”, остались подсказки в виде стрелок.

Задание. Найдите выход из запутанного положения и запишите определение.

Слайд. “Карта инструктаж” Вычисление объемов.

При помощи определенного интеграла можно вычислить объем того или иного тела, в частности, тела вращения.

Телом вращения называется тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг ее основания (рис. 1, 2)

Объем тела вращения вычисляется по одной из формул:

1., если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.

2. , если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

Карту инструктаж получает каждый студент. Преподаватель подчеркивает основные моменты.

– Преподаватель объясняет решение примеров на доске.

Пример.

Рассмотрим отрывок из известной сказки А. С. Пушкина “Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне Лебеде” (Слайд 4):

…..
И привез гонец хмельной
В тот же день приказ такой:
“Царь велит своим боярам,
Времени не тратя даром,
И царицу и приплод
Тайно бросить в бездну вод”.
Делать нечего: бояре,
Потужив о государе
И царице молодой,
В спальню к ней пришли толпой.
Объявили царску волю –
Ей и сыну злую долю,
Прочитали вслух указ,
И царицу в тот же час
В бочку с сыном посадили,
Засмолили, покатили
И пустили в окиян –
Так велел-де царь Салтан.

(Слайд 5):

Какими же должен быть объем бочки, чтобы в ней поместились царица и её сын?

– Рассмотрим следующие задания

1. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной линиями: x² + y²  = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Решение.

Ответ : 1163 cm³.

Найти объем тела, получаемого вращением параболической трапеции, вокруг оси абсцисс y = , x = 4, y = 0.

Решение .

IV. Закрепление нового материала

Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением лепестка, вокруг оси абсцисс y = x², y² = x.

Решение .

Построим графики функции. y = x², y² = x. График y² = x   преобразуем к виду y = .

Имеем V = V₁ – V₂ Вычислим объем каждой функции

– Теперь, давайте, рассмотрим башню для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенной по проекту замечательного русского инженера, почётного академика В. Г. Шухова. Она состоит из частей – гиперболоидов вращения. Причём, каждый из них изготовлен из прямолинейных металлических стержней, соединяющих соседние окружности (рис.8, 9).

– Рассмотрим задачу.

Найти объем тела, получаемого вращением дуг гиперболы вокруг ее мнимой оси, как показано на рис. 8, где

Решение.

куб. ед.

Задания по группам. Учащиеся вытягивают жребий с задачами, рисунки выполняют на ватмане, один из представителей группы защищает работу.

1-я группа.

Удар! Удар! Ещё удар!
Летит в ворота мячик – ШАР!
А это– шар арбузный
Зелёный, круглый, вкусный.
Вглядитесь лучше – шар каков!
Он сделан из одних кругов.
Разрежьте на круги арбуз
И их попробуйте на вкус.

 

Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ОХ функции, ограниченную

Решение.

Ошибка! Закладка не определена.

– Скажите, пожалуйста, где мы встречаемся с данной фигурой?

Дом. задание для 1 группы. ЦИЛИНДР (слайд) .

«Цилиндр – что такое?» – спросил я у папы.
Отец рассмеялся: Цилиндр – это шляпа.
Чтобы иметь представление верное,
Цилиндр, скажем так, это банка консервная.
Труба парохода – цилиндр,
Труба на нашей крыше – тоже,

Все трубы на цилиндр похожи.
А я привёл пример такой –
Калейдоскоп любимый мой,
Глаз от него не оторвёшь,
И тоже на цилиндр похож.

– Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем .

2-я группа. КОНУС (слайд).

Сказала мама: А сейчас
Про конус будет мой рассказ.
В высокой шапке звездочёт
Считает звёзды круглый год.
КОНУС – шляпа звездочёта.
Вот какой он. Понял? То-то.
Мама у стола стояла,
В бутылки масло разливала.
– Где воронка? Нет воронки.
Поищи. Не стой в сторонке.
– Мама, с места я не тронусь,
Расскажи ещё про конус.
– Воронка и есть в виде конуса лейка.
Ну-ка, найди мне её поскорей-ка.
Воронку я найти не смог,
Но мама сделала кулёк,
Картон вкруг пальца обкрутила
И ловко скрепкой закрепила.
Масло льётся, мама рада,
Конус вышел то, что надо.

Задание . Вычислить объем тела полученный вращением вокруг оси абсцисс

Дом. задание для 2-й группы. ПИРАМИДА (слайд).

Я видел картину. На этой картине
Стоит ПИРАМИДА в песчаной пустыне.
Всё в пирамиде необычайно,
Какая-то есть в ней загадка и тайна.
А Спасская башня на площади Красной
И детям, и взрослым знакома прекрасно.
Посмотришь на башню – обычная с виду,
А что на вершине у ней? Пирамида!

Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем пирамиды

Вывод.

– Объёмы различных тел мы вычисляли опираясь на основную формулу объёмов тел с помощью интеграла.

Это является ещё одним подтверждением того, что определённый интеграл есть некоторый фундамент для изучения математики.

– Ну а теперь давайте немного отдохнем.

Найди пару.

Символ ʃ введен

Математическое домино мелодия играет.

“Дорога та, что сам искал, вовек не позабудется…”

Исследовательская работа. Применение интеграла в экономике и технике.

Тесты для сильных учащихся и математический футбол.

Математический тренажер.

2. Совокупность всех первообразных от данной функции называется

А) неопределенным интегралом,

Б) функцией,

В) дифференциацией.

7. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

Д/З. Вычислить объемы тел вращения.

Рефлексия.

Приём рефлексии в форме синквейна (пятистишия).

1-я строка – название темы (одно существительное).

2-я строка – описание темы в двух словах, два прилагательных.

3-я строка – описание действия в рамках этой темы тремя словами.

4-я строка – фраза их четырёх слов, показывает отношение к теме (целое предложение).

5-я строка – синоним, который повторяет суть темы.

1. Объем.
2. Определенный интеграл, интегрируемая функция.
3. Строим, вращаем, вычисляем.
4. Тело, полученное вращением криволинейной трапеции (вокруг ее основания).
5. Тело вращения (объемное геометрическое тело).

Вывод (слайд).

• Определенный интеграл – это некоторый фундамент для изучения математики, которая вносит незаменимый вклад в решение задач практического содержания.
• Тема “Интеграл” ярко демонстрирует связь математики с физикой, биологией, экономикой и техникой.
• Развитие современной науки немыслимо без использования интеграла. В связи с этим, начинать его изучение необходимо в рамках средне специального образования!

Выставление оценок . (С комментированием.)

Великий Омар Хайям – математик, поэт, философ. Он призывает быть хозяевами своей судьбы. Слушаем отрывок из его произведения:

Ты скажешь, эта жизнь – одно мгновенье.
Её цени, в ней черпай вдохновенье.
Как проведёшь её, так и пройдёт.
Не забывай: она – твоё творенье.

Приложение 2.

Геометрические приложения определенного интеграла — презентация онлайн

1. Геометрические приложения определенного интеграла

Для студентов 1 курса напр. «Мед.физика»

2. Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление площадеий плоских фигур
b
S = y ( x) dx
a
b
S = [ y2 ( x) y1 ( x)] dx
a

3. Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление площадеий плоских фигур
d
S = x( y ) dy
c
d
S = [ x2 ( y ) x1 ( y )] dy
c

4. Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Пример. Наий ти площадь фигуры, ограниченноий
линиями xy = 2, y = 2 x, y = 3.
1. Строим фигуру.
d
2. Удобнее воспользоваться формулой
S = [ x2 ( y ) x1 ( y )] dy,
где
c
x1 ( y ) = 2/y, x2 ( y ) = y/2,
Значение
d = 3 определилось по построению
Значение
c = 2 получим, решая систему
ì xy = 2,
í
î y = 2 x.
3
y
y 2
9 4
5
3
S = dy = 2 ln y 2(ln 3 ln 2) 2 ln .
2 y
4
2
4
2 4 4
2
3
2

5. Вычисление площади криволинейного сектора в полярной системе координат

Вычисление площади криволинеий ного сектора
в полярноий системе координат
Y
( )
1
S 2 ( )d
2 1
2
1
2
X
Вычисление площади фигуры, заданноий
параметрически уравнениями
ì x = x(t )
L: í
,
t2
î y = y (t )
S = y (t ) x (t ) dt
t1

6. Вычисление объемов тел вращения

Вращение вокруг оси OX
b
Vox = y 2 ( x) dx
a
b
Vox = [ y2 2( x) y1 2( x)] dx
a

7. Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ кривой и ограниченного прямыми х=0 и у=1.

Пример. Наий ти объем тела, полученного
вращением вокруг оси ОХ кривоий y = 2 x и
ограниченного прямыми х=0 и у=1.
b
Vox = [ y2 2( x) y1 2( x)] dx.
a
y2 ( x) = 1, y1 ( x) = 2 x .
Находим пределы интегрирования из условия
1/4
1/4
2 x = 1 x = 1/4.
2 14
Vox = [1 (2 x ) ] dx = (1 4 x) dx = ( x 2 x )
2
0
2
0
0
= .
8

8. Вычисление объемов тел вращения

Вращение вокруг оси OY
d
Voy = x ( y ) dy
2
c
d
2
2
Voy = [ x2 ( y ) x1 ( y )] dy
c
b
Voy = 2 x y ( x) dx
a

9. Вычисление длин дуг

b
L : y f ( x), a x b
l
1 f ‘ ( x) dx
2
a
L : ( ),
l
( ) 2 ‘ ( ) 2 d
ì x x(t )
L: í
, t1 t t 2
î y y (t )
t2
l
t1
x’ (t )
2
y ‘ (t ) dt
2

10. Пример. Найти длину части астроиды

Пример. Наий ти длину части астроиды
ì x = 2 cos 3 t ,
í
3
y
=
2
sin
t
î
L=
t2
0 t
2
xt2 yt2 dt.
t1
2
x
6
cos
t sin t ,
Предварительно находим t
2
yt 6 sin 2 t cos t ,
2
x y = 36 sin 2 t cos 4 t 36 sin 4 t cos 2 t = 36 sin 2 t cos 2 t sin 2 t cos 2 t =
t t
= 36 sin 2 t cos 2 t = 9 sin 2 2t.{13} =\] \[=\frac{\pi }{480} \cdot \left(\left(320\cdot 13+6460\right)\cdot \sqrt{320\cdot 13+6460} -\right. \] \[\left. -\left(320\cdot 3+6460\right)\cdot \sqrt{320\cdot 3+6460} \right)=\] \[=\frac{\pi }{480} \cdot \left(10620\cdot \sqrt{10620} -7420\cdot \sqrt{7420} \right)\approx \] \[\approx \frac{3,14}{480} \cdot \left(10620\cdot 103,053-7420\cdot 86,139\right)\approx \]

$\approx \frac{3,14}{480} \cdot \left(1094423-639151\right)\approx \frac{3,14}{480} \cdot 455272\approx 2978$ кв.од.

Как рассчитать объем

Расчет объема

Объем измеряется в кубах (или кубических единицах).

Сколько кубиков в этой прямоугольной призме (кубоиде)?

Мы можем считать кубики, хотя быстрее вычислить длину, ширину и высоту и использовать умножение. Прямоугольная призма выше имеет объем 48 кубических единиц.

Объем прямоугольной призмы = длина x ширина x высота

Примеры расчета площади прямоугольника

Нам нужно сделать два умножения, чтобы вычислить объем.Мы вычисляем площадь одной грани (или стороны) и умножаем ее на ее высоту. Примеры ниже показывают, как это можно сделать тремя способами.

Обратите внимание, как мы получаем один и тот же ответ независимо от того, какой стороной мы ищем область.

Когда ваш ребенок начинает работать с площадью и периметром, он или она обычно работает с двумя измерениями — квадратами, прямоугольниками, треугольниками и т. Д., Которые показаны на бумаге как плоские — нет глубины или третьего измерения. Работа с объемом действительно включает 3 измерения.Убедитесь, что ваш ребенок знает об этом и не думает о кубах и других трехмерных фигурах, показанных на бумаге, просто как о еще одной «фигуре на странице». Покажите им настоящие коробки и покажите, как их можно нарисовать (или изобразить) на двухмерном листе бумаги. Другими словами, убедитесь, что существует связь между тем, что написано на бумаге, и тем, что она представляет в реальном мире.

Убедитесь, что вашего ребенка не смущает использование громкости , когда речь идет о громкости.

Единицы измерения объема

Есть очень большие различия между единицами измерения объема.Например, в 1 метре 100 сантиметров, а в кубическом метре 1000000 (да, 1 миллион) кубических сантиметров.

Почему большая разница? Потому что по объему у нас есть не только длина; у нас есть длина, ширина и высота. Пример кубика сахара ниже показывает это.

Сколько сахара? 1 м ³ или 1000000 см ³

Подумайте о наполнении очень большой коробки (шириной 1 метр, длиной 1 метр и высотой 1 метр) кубиками сахара (с каждой стороной 1 сантиметр).

	Шаг 1: один ряд по дну коробки — , что составляет 100 кубиков сахара
	Шаг 2: закройте остальную часть основания коробки — , что даст в общей сложности 100 рядов с 100 кубиками сахара. 100 x 100 = 10000 сахара кубиков на дне большой коробки.
	Шаг 3: Повторите это 99 раз, пока не будет слоев по 10 000 кубов, уложенных стопкой в ​​100 слоев. 10 000 x 100 = 1 000 000 кубиков сахара

1000000 см ³ в 1 м ³ — будьте осторожны, чтобы не было слишком много сахара!

Есть другие единицы измерения объема; кубические дюймы, кубические футы, кубические ярды — все это единицы измерения объема.Миллилитры, литры, галлоны также используются, особенно при измерении жидкостей.

Не забывайте крошечный 3

Пишем кубические размеры с помощью маленькой 3 рядом с единицей. Мы пишем mm 3 , cm 3 , m 3 , km 3 , cm 3 Мы можем сказать «85 сантиметров в кубе» или «85 кубических сантиметров»

Примеры расчета объема прямоугольных призм

	Объем = длина x ширина x высота Объем = 12 см x 8 см x 6 см = 576 см 3
	Объем = длина x ширина x высота Объем = 20 м x 2 м x 2 м = 80 м 3
	Объем = длина x ширина x высота Объем = 10 м x 4 м x 5 м = 200 м 3

Объем цилиндра

Для вычисления объема цилиндра нужно умножить площадь основания на высоту цилиндра.Основание цилиндра круглое, а формула для вычисления площади круга: площадь круга = πr ² . Здесь больше о площади круга.

Объем = Площадь основания x Высота Объем = πr 2 x h Объем = πr 2 h

Примечание: в приведенных ниже примерах мы будем использовать 3,14 в качестве приблизительного значения для π (Pi).

Пример расчета объема цилиндра

Размеры указаны в см.

Объем = πr 2 h Объем = 3,14 x 3 x 3 x 8 Объем = 226,08 см 3

Объем конуса

Объем конуса равен одной трети объема цилиндра с соответствующей высотой и площадью основания. Это дает формулу для объема конуса, как показано ниже.

Объем = 1/3 πr 2 ч

Пример расчета объема конуса

Размеры указаны в см.

Объем = 1/3 πr 2 h Объем = 1/3 x 3,14 x 2 x 2 x 7 Объем = 29,31 см 3

Объем сферы

Формула объема шара приведена ниже.

Объем = 4/3 πr 3

Пример расчета объема сферы

Размеры указаны в см.

Объем = 4/3 πr 3 Объем = 4/3 x 3,14 x 4 x 4 x 4 Объем = 267,95 см 3

Рабочие листы для печати

Используйте таблицу ниже, чтобы попрактиковаться в вычислении объемов.

Здесь вы получите другие рабочие листы геометрии по периметру, площади и т. Д.

Расчет объемов с использованием тройных интегралов

Объем твердого тела \ (U \) в декартовых координатах \ (xyz \) равен

\ [V = \ iiint \ limits_U {dxdydz}. 2} \; \; \ text {и} \; \;} \ kern-0.3}}} {3}.}
\]

В результате получаем известное выражение для объема шара радиуса \ (R. \)

Калькулятор объема

. Определение | Формулы

Калькулятор объема рассчитает объем некоторых наиболее распространенных трехмерных твердых тел. Прежде чем мы перейдем к тому, как рассчитать объем, вы должны знать определение объема. Объем отличается от площади, которая представляет собой объем пространства, занимаемого двухмерной фигурой. Поэтому вы можете быть сбиты с толку относительно того, как найти объем прямоугольника, а не как найти объем коробки.Калькулятор поможет вычислить объем сферы, цилиндра, куба, конуса и прямоугольных тел.

Что такое объем? Определение объема

Объем — это объем пространства, занимаемого объектом или веществом. Обычно под объемом контейнера понимается его вместимость, а не пространство, которое сам контейнер перемещает. Кубический метр (м ³ ) — это единица измерения объема в системе СИ.

Однако термин том может также относиться ко многим другим вещам, например,

• степень громкости или интенсивность звука (вы можете проверить наш калькулятор шумового загрязнения или калькулятор дБ)
• количество или количество чего-либо (обычно большого количества)
• формальное слово для книги или одной из набора связанных книг.

Единицы объема, таблица пересчета

Популярные единицы объема:

1. Метрические единицы объема

• кубических сантиметров (см³)
• кубических метров (м³)
• литров (л, л)
• миллилитров (мл, мл)

2. Стандарт США, Великобритания

• жидкая унция (жидкая унция)
• кубических дюймов (у.е.в)
• кубических футов
• чашек
• пинт (пт)
• кварты (кварты)
• галлонов (гал.)

Если вам нужно преобразовать единицы объема, вы можете использовать наш конвертер больших объемов.Еще один полезный инструмент — наш калькулятор граммов в чашки, который может помочь, если вы хотите использовать рецепт еды из другой страны. Обратите внимание, что это не простое преобразование, а переход от веса (граммы) к единице объема (чашки) — поэтому вам необходимо знать тип ингредиента (или, точнее, его плотность).

Кроме того, вы можете взглянуть на эту аккуратную таблицу преобразования единиц объема, чтобы узнать коэффициент преобразования в мгновение ока:

	кубических дюймов	кубических футов	кубических ярдов	галлонов жидкости сша	галлонов сухих сша	imp жидких галлонов	баррелей (нефть)	стаканов	жидких унций (Великобритания)	жидких унций (США)	пинт (Великобритания)
куб.м	6.1 10 4	35,3	1,30 8	264,2	227	220	6,29	4227	3,52 10 4	3,38 10 4	1760
дециметр кубический	61.02	0,035	1,3 10 -3	0,264	0,227	0,22	0,006	4,23	35,2	33,8	1,76
кубический сантиметр	0.061	3,5 10 -5	1,3 10 -6	2,64 10 -4	2,27 10 -4	2,2 10 -4	6,29 10 -6	4,2 10 -3	3,5 10 -2	3.34 10 -2	1,76 10 3
кубический миллиметр	6,1 10 -5	3,5 10 -8	1,31 10 -9	2,64 10 -7	2,27 10 -7	2,2 10 -7	6.3 10 -9	4,2 10 -6	3,5 10 -5	3,4 10 -5	1,76 10 -6
гектолитров	6,1 10 3	3,53	0,13	26.4	22,7	22	0,63	423	3,5 10 3	3381	176
литров	61	3,5 10 -2	1.3 10 -3	0,26	0,23	0,22	6,3 10 -3	4,2	35,2	33,8	1,76
сантилитров	0,61	3.5 10 -4	1,3 10 -5	2,6 10 -3	2,3 10 -3	2,2 10 -3	6,3 10 -5	4,2 10 -2	0,35	0,338	1.76 10 -2
миллилитры	6,1 10 -2	3,5 10 -5	1,3 10 -6	2,6 10 -4	2,3 10 -4	2,2 10 -4	6,3 10 -6	4.2 10 -3	3,5 10 -2	3,4 10 -2	1,76 10 -3
куб. Дюймов	1	5,79 10 -4	2,1 10 -5	4,3 10 -3	3.7 10 -3	3,6 10 -3	10 -4	6,9 10 -2	0,58	0,55	2,9 10 -2
кубических футов	1728	1	0.037	7,48	6,43	6,23	0,18	119,7	997	958	49,8
кубических ярдов	4,7 10 4	27	1	202	173.6	168,2	4,8	3232	2,69 10 4	2,59 10 4	1345
галлонов сша	231	0,134	4,95 10 -3	1	0.86	0,83	0,024	16	133,2	128	6,7
галлонов США в сухом состоянии	268,8	0,156	5,76 10 -3	1.16	1	0,97	0,028	18,62	155	148,9	7,75
имп жидких галлонов	277,4	0,16	5,9 10 -3	1.2	1,03	1	0,029	19,2	160	153,7	8
баррелей (нефть)	9702	5,61	0,21	42	36.1	35	1	672	5596	5376	279,8
стаканов	14,4	8,4 10 -3	3,1 10 -4	6.2 10 -2	5,4 10 -2	5,2 10 -2	1,5 10 -3	1	8,3	8	0,4
жидких унций (Великобритания)	1,73	10-3	3.7 10 -5	7,5 10 -3	6,45 10 -3	6,25 10 -3	1,79 10 -4	0,12	1	0,96	5 10 -2
жидких унций (США)	1.8	10 -3	3,87 10 -5	7,8 10 -3	6,7 10 -3	6.5 10 -3	1,89 10 -4	0,13	1,04	1	0.052
пинт (Великобритания)	34,7	0,02	7,4 10 -4	0,15	0,129	0,125	3,57 10 3	2,4	20	19.2	1

Как рассчитать объем? Формулы объема

На этот вопрос нет однозначного ответа, так как он зависит от формы рассматриваемого объекта. Вот формулы для некоторых наиболее распространенных форм:

1. Куб = с³ , где с — длина стороны.

2. Сфера = (4/3) πr³ , где r — радиус.

3. Цилиндр = πr²h , где r — радиус, а h — высота.

4. Конус = (1/3) πr²h , где r — радиус, а h — высота.

5. Прямоугольное тело (объем ящика) = lwh , где l — длина, w — ширина и h — высота (примером такой формы может служить простой бассейн).

6. Пирамида = (1/3) Ач , где A — площадь основания, а h — высота. Для пирамиды с правильным основанием также можно использовать другое уравнение: Пирамида = (n / 12) * h * длина_сокры ² * кроватка (π / n) , где n — количество сторон основания для правильный многоугольник.

7. Призма = πAh , где A — площадь основания, а h — высота. Для прямоугольной призмы уравнение можно легко вывести, как и для правой прямоугольной призмы, которая, по-видимому, имеет такую ​​же форму, как прямоугольник.

л / ч Ач

Форма	Имя	Формула
	Куб	В = с³
	Призма прямоугольная правая (прямоугольная, прямоугольная)	В =
	Призма или цилиндр	В =
	Пирамида или конус	В = Ач / 3
	Сфера	В = 4πr³ / 3

Калькулятор объема и инструменты, предназначенные для определенных форм

Мы решили сделать из этого калькулятора объема простой инструмент, охватывающий пять самых популярных трехмерных фигур.Однако не все уравнения объема и формы могут быть реализованы здесь, так как это сделает калькулятор перегруженным и не интуитивно понятным. Так что, если вы ищете конкретную форму, ознакомьтесь с калькуляторами, посвященными объемам выбранных форм:

Калькулятор объема

— как использовать

Давайте посмотрим на примере использования этого калькулятора объема:

1. Выберите тип 3D-формы . Если вы не можете найти форму, объем которой хотите рассчитать, выберите другие специальные специальные калькуляторы (ссылки вы найдете выше).В этом примере предположим, что вы хотите рассчитать объем цилиндра.

2. Выберите правый раздел калькулятора объема . В нашем случае это деталь под названием Объем цилиндра .

3. Введите данные в соответствующие поля . Наш цилиндр имеет радиус 1 фут и высоту 3 фута. Вы можете изменить единицы измерения простым щелчком по названию единицы.

4. Поехали! Объем выбранной формы отображается .В нашем случае это 9,42478 куб. Футов

Если вы хотите проверить, сколько это в баррелях США, просто нажмите на название единицы и выберите бочки из раскрывающегося списка. Наш цилиндр вмещает ~ 2,24 баррелей масла.

Измерение объема твердых тел, жидкостей и газов

Как найти объем объектов с разным состоянием материи?

1. Цельный

Для обычных трехмерных объектов вы можете легко вычислить объем, измерив его размеры и применив соответствующее уравнение объема.Если это неправильная форма, вы можете попробовать сделать то же самое, что заставило Архимеда выкрикнуть знаменитое слово * Эврика *! Вероятно, вы слышали эту историю — Архимеда попросили выяснить, сделана ли корона Иеро из чистого золота или просто позолочена, но не сгибая и не разрушая ее. Идея пришла ему в голову, когда он принимал ванну — войдя в ванну, он заметил, что уровень воды поднялся. Из этого наблюдения он пришел к выводу, что объем вытесненной воды должен быть равен объему той части его тела, которую он погрузил в воду.Зная объем необычного объекта и его вес, он мог вычислить плотность и сравнить ее с плотностью чистого золота. Легенда гласит, что Архимед был так взволнован этим открытием, что выскочил из ванны и побежал голым по улицам Сиракуз.

Итак, если вы хотите измерить объем необычного объекта, просто следуйте по стопам Архимеда (хотя вы можете опустить часть «голая гонка»):

• Возьмите емкость больше, чем объект, объем которого вы хотите измерить, .Это может быть ведро, мерный стаканчик, химический стакан или мерный цилиндр. На нем должна быть шкала.

• Налейте воду в емкость и снимите показания объема.

• Поместите объект внутрь . Он должен быть полностью погружен для измерения всего объема объекта. Прочтите том. Этот метод не сработает, если ваш объект растворяется в воде.

• Разница между замерами — это объем нашего объекта.

Эти измерения необходимы для расчета выталкивающей силы, основанной на принципе Архимеда.

2. Жидкость

Обычно измерить объем жидкости довольно просто — все, что вам нужно, это какой-нибудь мерный сосуд с градуировкой. Выберите тот, который соответствует вашим потребностям: необходимо учитывать количество жидкости и степень точности. Емкости, используемые для выпечки торта (посмотрите отличный калькулятор для рецепта блинов), будут отличаться от тех, которые используются в химии (например.грамм. в расчетах молярной концентрации) будет отличаться от тех, которые используются в медицинских целях (например, доза лекарства).

3. Газ

Мы должны использовать более сложные методы для измерения объема газа. Вы должны помнить, что на объем газа влияют температура и давление, и что газы расширяются, чтобы заполнить любой контейнер, в который они помещены. Вы можете попробовать измерить это:

• Надуйте баллон газом, который вы хотите измерить (например,г., с гелием, чтобы поднять вас в воздух). Затем можно воспользоваться методом Архимеда — опустить баллон в ведро с водой и проверить разницу объемов. Вы найдете подробные инструкции на странице wikihow.

• Проверьте показатели, связанные с объемом легких, с помощью прибора под названием спирометр .

• В химии, газовый шприц используется для ввода или отбора объема газа из закрытой системы . Эту лабораторную посуду также можно использовать для измерения объема газа, выделяющегося в результате химической реакции.

Или рассчитать :

• Найдите объем газа , учитывая его плотность и массу . Используйте простое уравнение объема V = m / d .

• Рассчитайте объем сжатого газа в баллоне, используя уравнение идеального газа.

Как найти объем * прямоугольника * по сравнению с объемом * коробки *

Вы не можете рассчитать объем прямоугольника , объем круга или объем квадрата, потому что это двухмерные геометрические фигуры.Таким образом, прямоугольник не имеет объема (но имеет площадь). Вероятно, вы ищете объем прямоугольного кубоида (или, говоря более общим языком, вы хотите найти объем коробки), который представляет собой трехмерный объект.

Чтобы найти объем коробки, просто умножьте длину, ширину и высоту — и готово! Например, если размер коробки 5х7х2 см, то объем коробки составляет 70 кубических сантиметров. Для размеров, которые представляют собой относительно небольшие целые числа, легко вычислить объем вручную.Для больших или десятичных чисел использование калькулятора объема очень эффективно.

В реальной жизни есть много приложений, в которых можно использовать калькулятор объема. Один из таких примеров — строительство дорог или тротуаров, где должны быть построены бетонные плиты. Как правило, бетонные плиты представляют собой твердые тела прямоугольной формы, поэтому можно использовать калькулятор бетона, который является приложением калькулятора объема.

Также формулы объема могут быть полезны, если вы увлеченный садовник или просто счастливый обладатель дома с двором.Ознакомьтесь с нашими замечательными инструментами, такими как:

Более того, вы можете встретить volume на своей кухне или в ванной: у любой жидкости, которую мы пьем (например, воды в бутылках), а также косметических товаров или зубной пасты, на упаковке продукта указан объем (в миллилитрах / литрах или жидких унциях). / галлоны).

Еще одно родственное приложение, хотя и немного другое, — это концепция площади поверхности. Предположим, весь фасад здания должен быть окрашен. Чтобы знать, сколько нужно приобрести краски, необходимо рассчитать площадь здания.Удобный в использовании калькулятор площади рассчитает это за вас.

FAQ

Как найти объем?

Формула объема зависит от формы объекта . Одна из самых популярных форм — это прямоугольная призма, также известная как коробка, где вы можете просто умножить длину на ширину на высоту , чтобы найти ее объем. Другой распространенной формой является цилиндр — чтобы найти его объем, умножьте высоту цилиндра на площадь его основания (π ⨉ r ² ).Для других трехмерных фигур проверьте Калькулятор объема Omni.

Как измерить объем?

Измерение объема зависит от состояния вещества вашего объекта. Для жидкостей вы можете использовать мерный цилиндр или бюретку для измерений в химической лаборатории или мерную чашку и ложку для повседневных целей. Что касается газов, чтобы приблизительно измерить объем, вы можете надуть баллон и использовать его для вытеснения воды в мерном цилиндре. Аналогичный метод работает для твердых тел — поместите объект в градуированный контейнер и измерьте изменение показаний.

Объем — квадрат или куб?

Объем кубический, так как это трехмерная мера. Площадь — это «квадратное» значение, поскольку площадь фигуры охватывает два измерения. Вы можете вспомнить, что объем представляет собой кубическое значение, вспомнив несколько названий единиц объема, например, кубических метров , кубических футов или кубических ярдов .

Как рассчитать объем?

В зависимости от формы объекта вы можете использовать разные формулы для расчета объема:

• Объем куба = сторона ³ .
• Кубоид (прямоугольная коробка) объем = длина ⨉ ширина ⨉ высота
• Объем сферы = (4/3) ⨉ π ⨉ радиус ³
• Объем цилиндра = π ⨉ радиус ² ⨉ высота
• Объем конуса = (1/3) ⨉ π ⨉ радиус ² ⨉ высота
• Объем пирамиды = (1/3) площадь основания ⨉ высота

В чем измеряется объем?

Кубический метр — единица объема в системе СИ.Однако, поскольку это непрактично, чаще всего вы можете встретить объем, выраженный в:

.

• Кубические сантиметры
• Кубические дюймы
• Миллилитры
• литров
• галлонов

Как найти объем жидкости?

Градуированные цилиндры и Колбы Эрленмейера подойдут, если вам нужно приблизительно измерить объем жидкости. Для более точных измерений нужно использовать мерную пипетку и бюретку.Однако, если вы печете торт или готовите вкусное блюдо и в рецепте используются единицы измерения объема, вы можете просто использовать мерный стакан, стакан или ложку.

Что такое единица СИ для объема?

Кубический метр (м ³ ) — единица объема в системе СИ. Он образован от основной единицы измерения длины в системе СИ — метра. Хотя кубический метр является базовой единицей СИ, чаще используются другие единицы: для метрической системы популярны миллилитры, литры или кубические сантиметры, а для имперской системы вы можете найти объем, выраженный в пинтах, галлонах, кубических дюймах и т. Д. кубические футы или кубические ярды.

Объем интенсивный или обширный?

Объем — это обширное свойство , такое же, как количество вещества, массы, энергии или энтропии. Обширное свойство — это мера, в которой зависит от количества вещества . Посмотрите на этот пример: стакан, бочка и бассейн, полный воды, имеют разные объем и массу ( расширенных свойств ), но вода в этих трех контейнерах будет иметь одинаковую плотность, показатель преломления и вязкость ( интенсивных свойств ). ).

В чем разница между площадью поверхности и объемом?

Объем — это трехмерная мера , а площадь поверхности — двумерная . Объем сообщает нам о кубическом пространстве, которое занимает объект, а площадь поверхности — это сумма всех областей, образующих трехмерную форму. Возьмем, например, картонную коробку 📦:

• Объем — это объем места, занимаемого коробкой, просто это свободного места внутри коробки
• Площадь поверхности — это пространство , занимаемое сторонами коробки , вычисленное при окрашивании сторон или упаковке коробки в бумагу.

Как найти объем объекта неправильной формы?

Вы можете использовать метод смещения жидкости для твердых объектов неправильной формы:

1. Наполните емкость водой и отметьте уровень воды.
2. Бросьте ваш объект внутрь и снова отметьте уровень. Убедитесь, что ваш объект не растворяется в воде.
3. Для масштабированных контейнеров вы можете всего вычесть исходного объема из нового объема. И все, поздравляю!

Но если на вашем оригинальном контейнере нет весов:

4. Вынести предмет.
5. Заполните вашу емкость водой до второй отметки, налейте этой воды в мерный цилиндр / другую мерную емкость.
6. Повторите шаг 6 для другого отмеченного уровня и вычтите объемы.
7. Пэт себе на спину — вы нашли объем объекта неправильной формы!

Что измеряет объем?

Объем измеряет пространства, занимаемого объектом в трех измерениях .Еще один близкий термин — вместимость, то есть объем внутреннего пространства объекта. Другими словами, вместимость описывает, сколько контейнер может вместить (воды, газа и т. Д.).

Каков объем Земли?

Объем Земли примерно равен 1,08321 × 10 ¹² км ³ ( 1,08 квадриллион кубических километров ), или 2,59876 × 10 ¹¹ кубических миль ( 259 триллионов кубических миль ). Вы можете получить этот результат, используя формулу объема сферы (4/3) ⨉ π ⨉ radius ³ и предполагая, что средний радиус Земли составляет 6 371 километр (3958.76 миль).

Как рассчитать отношение площади поверхности к объему?

Чтобы вычислить отношение площади поверхности к объему SA: V, вы просто разделите площадь поверхности на объема. Для некоторых выбранных форм:

• Соотношение SA: V для куба = (сторона 6 ⨉ ² ) / (сторона ³ ) = 6 / сторона
• Отношение SA: V для сферы = (4 ⨉ π ⨉ радиус ² ) / ((4/3) ⨉ π ⨉ радиус ³ ) = 3 / радиус
• Отношение SA: V для цилиндра = (2 ⨉ π ⨉ радиус ² + 2 ⨉ π ⨉ радиус ⨉ высота) / (π ⨉ радиус ² ⨉ высота) = 2 ⨉ (радиус + высота) / ( радиус ⨉ высота)

4а.Объем Solid of Revolution путем интеграции (дисковый метод)

М. Борна

Токарный станок

Многие твердые объекты, особенно сделанные на токарном станке , имеют круглое поперечное сечение и изогнутые стороны. На этой странице мы видим, как с помощью интеграции найти том таких объектов.

Предметы, изготовленные на токарном станке …

Пример 1

Рассмотрим область, ограниченную прямой y = 3x, осью x и x = 1:

График y = 3x с заштрихованной областью под «кривой» от x = 0 до x = 1.

Когда заштрихованная область поворачивается на 360 ° вокруг оси «x», создается объем.

Полученное твердое тело представляет собой конус:

Область под кривой `y = 3x` от` x = 0` до `x = 1`, повернутой вокруг оси` x`, показывая типичный диск.

Дисковый метод для поиска томов

Чтобы найти этот объем, мы могли бы взять срезы (показанный выше темно-зеленый диск — это типичный срез), каждый шириной `dx` и радиусом` y`:

Типичный диск, показанный с его размерами, радиусом `= y` и« высотой »` = dx`. 3` (Проверяет ОК.2] dx`

На следующем общем графике y_2 выше y_1. Нижний и верхний пределы для области, которая должна быть повернута, обозначены вертикальными линиями в точках «x = a» и «x = b».

Площадь, ограниченная кривыми y_1 и y_2 и линиями x = a и x = b, включая типичный прямоугольник .xyab

`y_2`

`y_1`

Площадь, ограниченная кривыми y_1 и y_2 и линиями x = a и x = b.

Когда мы вращаем такую ​​фигуру вокруг оси и делаем срезы, в результате получается форма с шайбой (с круглым отверстием посередине).2` (нижняя кривая), `y = x + 1` (линия вверху) и` x = 0`, показывая типичный прямоугольник.

Нижний предел интегрирования равен «x = 0» (поскольку в вопросе указано «x ≥ 0»).

Затем нам нужно найти место пересечения кривых, чтобы мы знали верхний предел интегрирования.

Приравнивая 2 выражения и решая:

2 x ² = x + 1

2 x ² — x — 1 = 0

(2 x + 1) ( x — 1) = 0

x = 1 (поскольку нам нужно учитывать только x ≥ 0. 3`

`~~ 8.2 = 4` в квадранте I, повернутом вокруг оси `y`.

Ответ

Мы понимаем, что это эллипс. Вопрос говорит нам, что интересующая нас область находится только в первом квадранте.

Эллипс x ² + 4 y ² = 4, показывающий часть, ограниченную кривой, x = 0, x = 2 и ось x .

Из диаграммы видно, что пределы ограниченной области составляют y = 0 и y = 1.3`

Приложения

1. Объем винной бочки

Винная бочка имеет радиус в верхней части 30 см и радиус в середине 40 см. Высота бочки 1 м. Каков объем бочки (в л), если предположить, что форма сторон параболическая?

Ответ

Положим бочку набок, чтобы облегчить алгебру:

Парабола с вершиной в точке `(0, 40)` и проходящая через `(50, 30)`.

Нам нужно найти уравнение параболы с вершиной в точке `(0, 40)` и проходящей через `(50, 30)`. 2) / (250) + 40`

Нам нужно найти объем бочки, который образуется, когда мы вращаем эту параболу между x = -50 и x = 50 вокруг оси x .2ч.

Интересно, что Архимед (тот, кто, как известно, выпрыгнул из ванны и побежал по улице с криком «Эврика! Я понял») использовал этот подход, чтобы найти объемы сфер около 200 г. до н.э. Этот метод был почти забыт до начала 1700-х годов, когда исчисление было разработано Ньютоном и Лейбницем.

Мы видим, как решить проблему, используя оба подхода.

Объем историческим методом:

Ответ

Поскольку дыня симметрична, мы можем вычислить объем одной половины дыни, а затем удвоить наш ответ.3` или `9.161 \» L «`. Это примерно то же самое, что мы получили, нарезав арбуз и увеличив объем ломтиков.

[См. Также Архимед и площадь параболического сегмента.]

Рабочие листы для 5-го класса

Добро пожаловать на нашу страницу рабочих листов для 5-го класса.

Здесь вы найдете нашу коллекцию рабочих листов, которые помогут вам узнать о томе.

Эти рабочие листы помогут вам понять и попрактиковаться в определении объема прямоугольных призм и других простых форм.

На этой веб-странице вы найдете наш ассортимент рабочих листов, которые помогут вам тренироваться. объем простых трехмерных фигур, таких как прямоугольные призмы.

Они также очень полезны для введения понятия объема как количества кубиков, заполняющих пространство.

Эти листы отсортированы от самого простого к сложному, и на каждом листе есть ответы.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

• научитесь находить объем простых 3д фигур, считая кубики;
• узнайте, как найти объем прямоугольных призм, умножив длину на ширину на высоту
• попрактиковаться в использовании своих знаний для решения основных задач по объему.

• Объем — это объем пространства внутри трехмерной формы.
• Поскольку это объем пространства, его следует измерять в кубах.
• Если форма измеряется в см, то объем будет измеряться в кубических см или см ³
• Если форма измеряется в дюймах, то объем будет измеряться в кубических дюймах или в ³

Объем прямоугольной призмы

• Объем прямоугольной призмы — это количество кубиков, из которых она состоит.
• Чтобы найти количество кубиков, нам нужно умножить длину на ширину на высоту.
• Итак, объем = длина x ширина x высота или l x ширина x высота.
• Мы также можем умножить площадь основания (длина x ширина) на высоту.
• Итак, Объем = l x w x h или b x h (где b — площадь основания)

Пример

В приведенном выше примере длина равна 3, ширина — 6, а высота — 2.

Таким образом, объем составляет 3 x 6 x 2 = 36 см ³ или 36 см куб.

Это говорит нам о том, что форма состоит из кубиков размером 36 см.

Мы разделили наши рабочие листы на разные разделы, чтобы вам было проще выбрать нужные листы для ваших нужд.

• Раздел 1. Найдите объем путем подсчета кубиков
• Раздел 2 — Определение объема умножением
• Раздел 3 — Соответствие объема (умножение)
• Раздел 3 — Загадки решения проблем с объемом

Первый лист поддерживается, два других листа более независимы.

Вы можете выбрать между стандартным или метрическим вариантом листов 2 и 3 (размеры совпадают)

Взгляните на еще несколько наших рабочих листов, похожих на эти.

Вот наша подборка рабочих листов по геометрии для 5-го класса об углах.

В центре внимания этих листов — углы на прямой линии, углы вокруг точки и углы в треугольнике.

Вот наша подборка бесплатных рабочих листов для печати для 3-го и 4-го классов.

Все листы отсортированы от самого простого к самому сложному.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

• проработать области диапазона прямоугольников;
• найти область прямолинейных форм.

Вот наша подборка бесплатных распечатываемых листов периметра для 3-го и 4-го классов.

Все листы отсортированы от самого простого к самому сложному.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

• определить периметр диапазона прямоугольников;
• найти периметр прямолинейных форм.

Все практические рабочие листы по математике в этом разделе поддерживают тесты Elementary Math Benchmarks.

Саламандры по математике надеются, что вам понравятся эти бесплатные распечатываемые рабочие листы по математике. и все другие наши математические игры и ресурсы.

Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте или рабочие листы в поле для комментариев Facebook внизу каждой страницы.

Как найти диагональ призмы

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

1.1: Площадь между двумя кривыми

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

1. Площадь, ограниченная двумя функциями от \ (y \)
2. Приложение
3. Участники и авторства

Напомним, что площадь под кривой и над осью x может быть вычислена с помощью определенного интеграла.1 \\ & = \ big (- \ dfrac {3} {4} + \ dfrac {3} {2} \ big) — \ big (\ dfrac {3} {4} — \ dfrac {3} {2} \ big) \\ & = \ dfrac {3} {2} \ end {align *}. \]

Приложение

Пусть \ (y = f (x) \) будет функцией спроса на продукт, а \ (y = g (x) \) будет функцией предложения. Затем мы определяем точку равновесия как пересечение двух кривых. Излишек потребителя определяется площадью выше равновесного значения и ниже кривой спроса, в то время как излишек производителя определяется площадью ниже равновесного значения и выше кривой предложения.х \) и \ (у = 2х +1 \).

Авторы и авторство

.

No related posts.