Antiderivative Calculator — Online Antiderivative Calculator
Антипроизводный калькулятор находит интегральное значение функции. Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием. Другими словами, обратный процесс дифференциации называется интеграцией. Антипроизводная также известна как интеграл функции.
Что такое антипроизводный калькулятор?
Антипроизводный калькулятор — это онлайн-инструмент, используемый для вычисления значения заданного неопределенного интеграла. С помощью интегрирования можно найти площадь под кривой. Его также можно использовать для определения объема трехмерной твердотельной формы. Чтобы использовать антипроизводный калькулятор , введите функцию в поле ввода.
Калькулятор антипроизводной
Как пользоваться калькулятором антипроизводной?
Пожалуйста, следуйте простым шагам, чтобы найти антипроизводную функции с помощью калькулятора антипроизводной:
- Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору антипроизводной функции Cuemath.
- Шаг 2: Введите функцию в поле ввода антипроизводного калькулятора.
- Шаг 3: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы найти первообразную функции.
- Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.
Как работает антипроизводный калькулятор?
Существует множество применений интеграции. Среднее значение кривой, площадь между двумя кривыми, центр тяжести и центр масс можно определить с помощью интегрирования. В исчислении доступны два типа интегралов. Они следующие:
- Неопределенные интегралы — Такие интегралы не имеют указанных пределов, поэтому конечное значение интеграла неопределенно. Если мы проинтегрируем производную функции, скажем, g'(x), мы получим саму функцию.
- Определенные интегралы — Интегралы, которые имеют определенные пределы с уже существующими значениями, известны как определенные интегралы. Такой интеграл используется для нахождения площади под кривой между двумя заданными точками (эти точки действуют как пределы).
Такой интеграл используется для нахождения площади под кривой между двумя заданными точками (эти точки действуют как пределы).Ниже приведены некоторые свойства интеграции.
- Дифференцирование интеграла даст подынтегральную функцию; ∫ f(x) dx = f(x) + C,
- Если два неопределенных интеграла имеют одну и ту же производную, то они будут эквивалентны. Это потому, что два интеграла приводят к одному и тому же семейству кривых; ∫ [ f(x) dx — g(x) dx] =0
- При интегрировании коэффициент при переменной выносится за знак интеграла; ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx.
Формула для определения значения простого интеграла выглядит следующим образом: ∫x n dx = (x n+1 / n+1) + C.
Хотите найти сложные математические решения за секунды ?
Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.
Записаться на бесплатный пробный урок
Решенные примеры по антипроизводным
Пример 1: Найти антипроизводное значение 5x 3 + 2x 2 и проверьте это с помощью антипроизводного калькулятора.
Решение:
Использование формулы: ∫x N DX = (x N + 1 / N + 1) + C
= ∫ (5x 3 + 2x 2 ) DX
= ∫( 5x 3 ) dx + ∫(2x 2 ) dx
= [5 × (x
= 5x 4 / 4 + 2x 3 / 3.
Таким образом, антипроизводное значение 5x 3 + 2x 2 равно 5x 4 / 4 + 2x 3 / 3.
Решение:
Использование формулы: ∫x N DX = (x N + 1 / N + 1) + C
= ∫ (1 + x 4 ) DX
= ∫ (1 + x 4 ). ( 1.х 0 ) dx + ∫(x 4 ) dx
= [1 × (x 0 + 1 / 0 + 1)] + [x 4 + 1 90 0 3 / 40 0 72] = x + x 5 / 5
Таким образом, антипроизводная 1 + x 4 равна x + x 5 / 5
Аналогично, вы можете использовать калькулятор антипроизводной, чтобы найти значение антипроизводные для следующего:
- x 3 / 2
- 5x 2 + 6x
☛ Математические калькуляторы:
Интеграция функции с программой «Пошаговое решение математических задач»
Введите выражение, введите переменную для интегрирования и нажмите кнопку «Интегрировать».
Помощь
| Интегрирование |
| С уважением к |
6
6.
которые тесно связаны с производными. После введения интеграла через
показано, что задача площадей, интеграл и первообразная связаны соотношением
удивительная теорема, называемая основной теоремой исчисления. После
устанавливая некоторые методы вычисления интегралов, мы обнаруживаем важные
интерпретация интеграла как предела некоторой суммы и
разнообразие приложений интеграла к задачам в бизнесе и экономике,
геометрия и наука.
Три примера типа проблемы, которая возникает в различных контекстах:
следующее: найти функцию издержек C(x), если известны предельные издержки C'(x); найти
население P (t) биологической колонии, если скорость P ‘(r), с которой
изменение населения известно; найти перемещение s(t) тела в
момент времени t, если известна скорость v (t) = s ‘(r).
Обратите внимание, что все эти задачи имеют один и тот же базовый формат: найти f(x), зная
ф'(х). Все такие проблемы решает антидифференциация. элементарный
Примером из бизнеса является случай производителя, который определяет, что над
начальный период производства. предельные издержки производства растут линейно
и определяется как C ‘(x) = 2x. Попытаемся найти соответствующую функцию стоимости
С(х), для которого С'(х) = 2х. Хотя у нас нет аналитических процедур для
при нахождении такого C(x) должно быть ясно, что функция стоимости C(x) = x 2 даст нам известные предельные издержки C ‘(x) = 2x. Но другие функции затрат будут
работать также. Например,
и фактически для любого числа a
Таким образом, любая функция стоимости вида C (x) = x 2 + a даст
желаемый предельный доход C ‘(x) = 2x; требуется дополнительная информация для определения
конкретное значение а. Мы вернемся к этому через мгновение. Процесс, который мы
сейчас рассмотрение называется антидифференциацией.
В общем случае может быть
указано следующее:
Определение
Для заданной функции f(x) функция g такая, что
В нашем вводном примере каждая из функций затрат x 2 , x 2 + 1, а x 2 + 10 — первообразная f(x) = 2x; кроме того, C(x) = х 2 + a является первообразной f(x) = 2x для любого выбора a. В вообще говоря, всякий раз, когда g (x) является первообразной f (x), то g (x) + a для любого числа a, так как
Можно доказать следующий еще более сильный результат:
форма g(x) + a для некоторого числа a.
Таким образом, мы можем думать о g(x) + a как о самой общей первообразной функции f.
Следовательно, наиболее общая первообразная функции f — это не одна функция, а
скорее класс функций g (x) + a, зависящих от a.
Немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) ввел обозначение
(читается как «первообразная от f» или «неопределенный интеграл от f») до
представляют собой наиболее общую первообразную f. Таким образом, если g — любая первообразная
f, то для любого числа a.
Итого:
Пример 1
Пример 2
2 2
31
Число а, возникающее при антидифференцировании, часто называют «произвольным постоянной.» (По причинам, которые станут очевидными позже, это также называется «постоянная интегрирования».) В наших примерах мы использовали букву a для обозначают эту константу, но на практике обычно используется c. (Мы использовали букву a вместо c для нашего первоначального примера, включающего стоимость, поскольку c использовался для обозначения стоимости.) Следующий пример дает нам представление о значение этой произвольной константы.
Пример 4
Предположим, что на начальных этапах производства предельные издержки
произвести товар C ‘(x) = 2x долларов за единицу.
На этот раз, предположим,
Производитель также знает, что постоянные издержки производства C(0) составляют 500 долларов. Находить
соответствующую функцию стоимости C(x).
Мы уже видели, что любая функция затрат для этих предельных затрат должна иметь вид форма C(x) = x 2 + a для некоторой константы a. Поскольку
С (0) = 500 = 0 2 + a = a,
имеем a = 500. Таким образом, функция стоимости задается выражением C(x) = x 2 + 500
Из этого примера мы видим, что произвольная константа c представляет собой фиксированную стоимость производство. Знание только предельных издержек не может сказать нам, каковы будут эти постоянные издержки. является; фиксированная стоимость является дополнительной информацией. Каждая из функций затрат соответствующий предельным издержкам C'(x) = 2x, будет иметь вид
C(x) = x 2 + (постоянные издержки).
Следующие два результата очень полезны при оценке первообразных.
Здесь n обозначает действительное число, а c — константа интегрирования.