ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. ΠΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
ΠΡΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ l ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠ°Ρ Π΅Π΅ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ m . ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ l ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ m (Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ m ) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (ΡΠΈΡ.1.13,Π°). ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ m ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ l , ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΡΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π΄Π°Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ l ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠ°Ρ Π΅Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ \rho . ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \vec{a}=\overrightarrow{AB} Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ l ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ \rho (Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ \rho ) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \vec{a}_l=\overrightarrow{AB}_l , Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ A_l , Π½Π°ΡΠ°Π»Π° A , Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ — ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ B_l ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° B Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \overrightarrow{AB} (ΡΠΈΡ. 1.13,6). ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ \rho ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ l , ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ
ΠΡΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Ρ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠ°Ρ Π΅Π΅ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ \rho . ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \vec{a}=\overrightarrow{AB} Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ \rho ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ m (Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ m ) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \vec{a}_{\rho}=\overrightarrow{AB}_{\rho} , Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ A_{\rho} Π½Π°ΡΠ°Π»Π° A , Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ — ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ B_{\rho} ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° B Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \overrightarrow{AB} (ΡΠΈΡ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
1. ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ) ΡΠ°Π²Π½Ρ.
2. ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Ρ.
3. ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ.
4. ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ (Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ).
5. ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ l ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ m . ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠ΅.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ. ΠΡΡΡΡ \vec{a}_l — ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \vec{a} Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ l Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ m , Π° \vec{a}_l — ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \vec{a} Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ l» Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ m , ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ l ΠΈ l» ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ (ΡΠΈΡ.
1.15). Π§Π΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ l ΠΈ l» ΡΡΡΠΈΡ ΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ m , ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΎΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, \vec{a}_{l»}=\vec{a}_l , Ρ.Π΅. ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \vec{a} Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ.ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ. ΠΡΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π΄Π°Π½Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \overrightarrow{AB} ΠΈ \overrightarrow{CD} , Π½Π΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ m (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 1.16). ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \mathop{\overrightarrow{A_lB»}= \overrightarrow{AB}}\limits_{.} ΠΈ \mathop{\overrightarrow{C_lD»}= \overrightarrow{CD}}\limits_{.} . ΠΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° \mathop{\overrightarrow{A_lB»}= \overrightarrow{C_lD»}}\limits_{.} ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ A_lB»D»C_l — ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ, Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ A_lB»B_l ΠΈ C_lD»D_l ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π΅ ΠΈ Π΄Π²ΡΠΌ ΠΏΡΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠΌ ΡΠ³Π»Π°ΠΌ
\big(A_lB»=C_lD»,\qquad \angle B»A_lB_l=\angle D»C_lD_l,\qquad \angle A_lB»B_l=\angle C_lD»D_l
ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ³Π»Ρ Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, \mathop{\overrightarrow{A_lB_l}= \overrightarrow{C_lD_l}}\limits_{. } , Ρ.Π΅. ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π½Π΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ m , ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ m , ΡΠΎ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ. ΠΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \overrightarrow{AB} ΠΈ (ΡΠΈΡ. 1.17): ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ \overrightarrow{B_lC_l} , Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \overrightarrow{AB} ΠΈ \overrightarrow{BC} , Ρ.Π΅. \overrightarrow{A_lC_l}= \overrightarrow{A_lB_l}+ \overrightarrow{B_lC_l} . ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \vec{a} ΠΈ \vec{b} (Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \vec{a} Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \vec{b} ) Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \overrightarrow{AB}=\vec{a} ΠΈ \overrightarrow{BC}=\vec{b} , ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ (ΠΏΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ).
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π€Π°Π»Π΅ΡΠ° (ΡΠΌ. ΡΠ°Π·Π΄. Π.2). ΠΠ° ΡΠΈΡ.1.18 ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \overrightarrow{AB} ΠΈ \overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB} (\lambda>0) , Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ \overrightarrow{A_lB_l} ΠΈ \overrightarrow{A_lC_l} . ΠΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π€Π°Π»Π΅ΡΠ° \frac{AC}{AB}=\frac{A_lC_l}{A_lB_l}=\lambda , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, \overrightarrow{A_lC_l}= \lambda\overrightarrow{A_lB_l} , ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ \lambda
ΠΡΡΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ³ΠΎ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 1.1 (ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅).
1. ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ l_1 ΠΈ l_2 , ΡΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \vec{a} Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ \vec{a}_1 ΠΈ \vec{a}_2 Π½Π° ΡΡΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ (ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π±Π΅ΡΡΡΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ), Ρ.Π΅. .
2. ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΡΡΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ l_1,l_2 ΠΈ l_3 , ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \vec{a} Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 Π½Π° ΡΡΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ (ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π±Π΅ΡΡΡΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π΄Π²Π΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅), Ρ.Π΅. .
Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΡΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ l_1 ΠΈ l_2 ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ O (ΡΠΈΡ. 1.19,Π°). ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \vec{a} ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ O , Ρ.Π΅. ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \overrightarrow{OA}=\vec{a} . ΠΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (ΡΠΌ. ΡΠ°Π·Π΄. 1.2) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ \overrightarrow{OA}=\vec{a}_1+\vec{a}_2 , ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Ρ \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2 , ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ (ΡΠΌ. ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ 2 ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ). ΠΠ΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \vec{a} ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ΅Π½ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΡΡΠΌΡΡ , Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ l_1 , ΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄: \vec{a}_1=\vec{a},~\vec{a}_2=\vec{o} ΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2=\vec{a}+\vec{o} , ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ.
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ 1.3.
Π‘ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΌ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ 1.1.
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Ρ.Π΅. \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2 , ΡΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ \vec{a}_1 ΠΈ \vec{a}_2 ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \vec{a} Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \vec{a}_1 ΠΈ \vec{a}_2 ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΡΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Ρ.Π΅. \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3 , ΡΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ \vec{a}_,\vec{a}_2 ΠΈ \vec{a}_3 ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \vec{a} Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \vec{a}_,\vec{a}_2,\vec{a}_3 ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ O Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \overrightarrow{OA}=\vec{a},\,\overrightarrow{OA_1}=\vec{a}_1,\,\overrightarrow{OA_2}=\vec{a}_2,\,\overrightarrow{OA_3}=\vec{a}_3 (ΡΠΈΡ.1.19,6). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3 ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3} , Ρ.Π΅. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ — ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ (ΠΎΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²). ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ \overrightarrow{OA_1},\,\overrightarrow{OA_2},\,\overrightarrow{OA_3} — ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \overrightarrow{OA} Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ l_1,\,l_2,\,l_3 (ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΄Π²Π΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅).
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \vec{a} ΠΈ \overrightarrow{OA} ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ (ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ 2), Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \vec{a} Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ l_1,\,l_2,\,l_3 ΡΠ°Π²Π½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ l_1,\,l_2,\,l_3 ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΌ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠΌ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \vec{a}_1,\,\vec{a}_2,\,\vec{a}_3 ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.5. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ AB,~BC,~CA ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ C_1,~B_1,~C_1 ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΠΎ
\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=1.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ AB Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ A_1C_1 (ΡΠΈΡ. 1.20). ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ B ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΡΠΌΡΡ BB_2 , ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ A_1C_1 . ΠΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ 4 ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}};~~~~\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}=\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{CB_1}}.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ \frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}} , ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Ρ.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠ΅Π½Π΅Π»Π°Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.6. ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°Ρ AB,~BC,~CA ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC Π²Π·ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A_1,~B_1,~C_1 ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ AA_1,~BB_1,~CC_1 ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, ΡΠΎ
\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=-1.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Q (ΡΠΈΡ.1.21). Π§Π΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ C_1 ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ C_1B_2 ΠΈ C_1A_2 ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ BB_1 ΠΈ AA_1 ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ (ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ 4):
\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}}=-\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC_1}};~~~\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}};~~~\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CQ}}{\overrightarrow{C_1Q}}=\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}}
Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (ΡΠΌ, ΡΠ°Π·Π΄. 1.2.1), ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π²ΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°:
\begin{gathered}\frac{\overrightarrow{CQ}}{\overrightarrow{C_1Q}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}}\\\frac{\overrightarrow{C_1Q}}{\overrightarrow{CQ}}=\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{CB_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\left(-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AB}}\right)\end{gathered}
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ², ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅:
\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\left(-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AB}}\right)=-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}=-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}=1
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ \frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=-1 , ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π§Π΅Π²Ρ.
Π Π²Π°ΡΠ΅ΠΌ Π±ΡΠ°ΡΠ·Π΅ΡΠ΅ ΠΎΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ Javascript.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΡ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ActiveX! ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΡΡ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΎΡΡΡ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ:
ΠΡ a b = |b|cos(a,b) ΠΈΠ»ΠΈ
ΠΠ΄Π΅ a b — ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² , |a| — ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a .
ΠΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ . ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Πp a b Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b . ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ) ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ (ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ). ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠ°ΠΉΠ»Π΅ Word . ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΡΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ .
ΠΠ°Π΄Π°Π½Ρ :Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
a: ; ;
b: ; ;
ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠΈΠ΄Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠΈΠ΄Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
- ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅).
- ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 1 . ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΡΡ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΎΡΡ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 2 . ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΡΡ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΎΡΡΡ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ:
ΠΡ a b = |b|cos(a,b)
ΠΠΈΠ΄Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
- ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° ΠΎΡΡ OX.
- ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° ΠΎΡΡ OY.
- ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ.
ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° ΠΎΡΡ OX | ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° ΠΎΡΡ OY | ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ |
ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΈ OX, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ. | ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΈ OY, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ. | ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° NM, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ. |
ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΈ OX, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ. | ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΈ OY, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ. | ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° NM, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ. |
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ AB ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ ΠΎΡΠΈ OX, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AB. | ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ AB ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ ΠΎΡΠΈ OY, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AB. | ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ AB ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ NM, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AβBβ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AB. |
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ AB ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΎΡΠΈ OX, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ AβBβ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ (Π½ΡΠ»Ρ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ). | ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ AB ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΎΡΠΈ OY, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ AβBβ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ (Π½ΡΠ»Ρ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ). | ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ AB ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ NM, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ AβBβ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ (Π½ΡΠ»Ρ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ). |
1. ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ: ΠΠΎΠΆΠ΅Ρ Π»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ. ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΠΠ°, ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΠΌ. ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΎΡΡ OX ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ AB)
2. ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ: ΠΠΎΠΆΠ΅Ρ Π»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΠΠ°, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ (ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ).
3. ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ: ΠΠΎΠΆΠ΅Ρ Π»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ (Π½ΡΠ»Ρ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ). ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΠΠ°, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎΡΠΈ (Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ (ΡΠΈΡ. 1) ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅Ρ Ρ ΠΎΡΡΡ OX (ΠΎΠ½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ a) ΡΠ³ΠΎΠ» 60 ΠΎ. ΠΡΠ»ΠΈ OE Π΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π°, ΡΠΎ |b|=4, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ .
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ b) ΡΠ°Π²Π½Π° 2, Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΈ OX.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2
. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ (ΡΠΈΡ. 2) ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅Ρ Ρ ΠΎΡΡΡ OX (Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ a) ΡΠ³ΠΎΠ» (a,b) = 120 o . ΠΠ»ΠΈΠ½Π° |b| Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° b ΡΠ°Π²Π½Π° 4, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡ a b=4Β·cos120 o = -2.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° 2, Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠΈ.
Π° Π½Π° ΠΎΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ Π΅Π΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ) ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π° ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ β Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΡΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ.
ΠΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ β Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ . ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1
ΠΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π²Π΅ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ.
ΠΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ 2 Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ, Π° Π΄ΡΡΠ³ΡΡ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ — Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ. ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ, Π° ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ²ΡΠΌΡ Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ: $\overline{AB}$ β (Π³Π΄Π΅ $A$ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ, Π° $B$ β Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ).
ΠΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡΠΊΠΎΠΉ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ: $\overline{a}$ (ΡΠΈΡ. 1).
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3
ΠΠ²Π° Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ , ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ (ΡΠΈΡ.2).
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4
ΠΠ²Π° Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ Π΄Π²ΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ:
- ΠΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ.
- ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ (ΡΠΈΡ. 3).
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: $\overline{a}\overline{b}$
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5
ΠΠ²Π° Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ Π΄Π²ΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ:
- ΠΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ.
- ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ (ΡΠΈΡ. 4).
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: $\overline{a}β\overline{d}$
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6
ΠΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° $\overline{a}$ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° $a$.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: $|\overline{a}|$
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7
ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ:
- ΠΠ½ΠΈ ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ;
- ΠΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΡΠ°Π²Π½Ρ (ΡΠΈΡ. 5).
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ
ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ ΡΠ°Π½Π΅Π΅, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 8
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° $\overline{AB}$ Π½Π° ΠΎΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: Π’ΠΎΡΠΊΠ° Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° $A$ ΠΏΡΠΎΠ΅ΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΎΡΡ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ $A»$ — Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. Π’ΠΎΡΠΊΠ° ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° $B$ ΠΏΡΠΎΠ΅ΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΎΡΡ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ $B»$ — ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ $\overline{A»B»}$ ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΉΡΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ $\overline{AB}$ Π½Π° ΠΎΡΡ $l$, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 6.
ΠΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΊΠΈ $A$ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ ΠΊ ΠΎΡΠΈ $l$, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΡ $A»$. ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΊΠΈ $B$ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ ΠΊ ΠΎΡΠΈ $l$, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΡ $B»$ (ΡΠΈΡ. 7).
ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΆΠ°. ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠ΅ Π»ΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ ΠΠΠΠ¦ΠΠΠ ΠΠΠΠ’ΠΠ Π ΠΠ ΠΠΠΠ‘ΠΠΠ‘Π’Π¬ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ = (ΡΠΈΡ. 3.22), Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΎΠΏΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°.
Π ΠΈΡ. 3.22. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ.
Π ΠΈΡ. 3.23. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡ.
Π Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΠΠ‘Π¬, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈ ΠΎΡΡ L Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (ΡΠΈΡ. 3.23). ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΡΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈ ΠΎΡΡ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (ΡΠΈΡ. 3.24).
Π ΠΈΡ. 3.24. ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡ
Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅.
Π§Π΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ L. Π ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π1 ΠΈ B1 — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Ρ ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΈΡΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.
ΠΠ°ΡΡΠ΄Ρ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΈ Π‘ΠΠΠΠ―Π ΠΠΠ― ΠΠ ΠΠΠΠ¦ΠΠ―, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡΠΈ L, ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅, Π΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ ΠΈ ΠΎΡΡ L ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ:
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅. ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΎΠΌ Β«ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Β», ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Ρ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΅ΡΠΊΠΎ ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ°ΡΡ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ²ΡΠ΅ΠΉΡΡ ΡΡΠ°Π΄ΠΈΡΠΈΠΈ, Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Ρ Β«ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Β», ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ, ΠΈ Β«Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΒ» — Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»ΠΎΠΌ.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
Π’ΠΠΠ ΠΠΠ 5. ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡ L ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΡΡΡ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ
(3.5)
Π ΠΈΡ. 3.25. ΠΠ°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ
ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡ L
( ΠΈ ΠΎΡΡ L ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ).
ΠΠΠΠΠΠΠ’ΠΠΠ¬Π‘Π’ΠΠ . ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» G ΠΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΡΡΡ L. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΠΏΡΡΠΌΡΡ MN, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΈ L ΠΈ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ Π — Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (ΡΠΈΡ. 3.25). Π£Π³ΠΎΠ» ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ. ΠΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π ΠΈ Π Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡΠΈ L. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΡ L ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ MN ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ.
ΠΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΄Π²Π° ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ ΠΎΡΠΈ L.
1. ΠΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ ΠΈ ΠΎΡΡ L ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ (ΡΠΈΡ. 3.25). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ .
2. ΠΡΡΡΡ ΠΈ L ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π² ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ (ΡΠΈΡ. 3.26).
Π ΠΈΡ. 3.26. ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡ L ( ΠΈ ΠΎΡΡ L ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ).
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ.
Π’ΠΠΠ ΠΠΠ 6. ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΎΡΠΈ L, ΠΈ ΡΡΠ° ΠΎΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ s, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅Ρ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ s ΡΠ³ΠΎΠ» , Π° Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π° ΠΎΡΡ L — ΡΠ³ΠΎΠ» , ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» , ΡΠΎ
ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° — ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ Π΄Π»Ρ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠΎΠ²
Π€ΠΠ ΠΠ£ΠΠ
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
\(\ \overline{a} \) Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\ \overline{b} \), Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ (ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\ \overline{b} \) , Ρ.Π΅.
\(\ \Pi_{\mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|} \)
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ \(\ \Pi_{\mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|} \) , ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\ \overline{a} \) Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\ \overline{b} \) ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
\(\ \Pi_{\mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}} \)
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ \(\ \overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)\quad{ΠΈ}\quad \overline{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right) \) ,ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\ \overline{a} \text { Π½Π° } \overline{b} \) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
\(\ \Pi_{\mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}} \)
ΠΠ ΠΠΠΠ Π« ΠΠ ΠΠΠΠ¦ΠΠ ΠΠΠΠ’ΠΠ Π ΠΠ ΠΠΠΠ’ΠΠ
ΠΠ ΠΠΠΠ
\(\ \Pi p_{\overline{b}} \overline{a}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|b|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}} \)
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ Π² Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
\(\ \Pi \mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|}=\frac{-1 \cdot 3+0 \cdot(-4)}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{-3+0}{\sqrt{9+16}}=\frac{-3}{\sqrt{25}}=-\frac{3}{5} \)
ΠΠ ΠΠΠΠ
\(\ \Pi \mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}} \)
ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
\(\ \Pi p_{b} \overline{a}=\frac{(\overline{a}, b)}{|b|}=\frac{-2 \cdot(-2)+3(-1)+0 \cdot 5}{\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+5^{2}}}=\frac{4-3+0}{\sqrt{4+1+25}}=\frac{1}{\sqrt{30}} \)
Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°
166
Π Π΅ΠΊΠ»Π°ΠΌΠ° ΠΈ PR
31
ΠΠ΅Π΄Π°Π³ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
80
ΠΡΠΈΡ ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ
72
Π‘ΠΎΡΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ
7
ΠΡΡΡΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡ
9
ΠΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ
30
ΠΡΠ»ΡΡΡΡΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ
86
ΠΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ
8
ΠΡΠ°Π²ΠΎ ΠΈ ΡΡΠΈΡΠΏΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡ
36
ΠΠΎΠ»ΠΈΡΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ
13
ΠΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠ°
49
Π€ΠΈΠ½Π°Π½ΡΡ
9
ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ
16
Π€ΠΈΠ»ΠΎΡΠΎΡΠΈΡ
8
ΠΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°
20
ΠΡΠ°Π²ΠΎ
35
ΠΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ
6
ΠΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ
7
ΠΠ΅Π½Π΅Π΄ΠΆΠ΅Π½Ρ
719
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°
338
Π₯ΠΈΠΌΠΈΡ
20
ΠΠΈΠΊΡΠΎ- ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠ°
1
ΠΠ΅Π΄ΠΈΡΠΈΠ½Π°
5
ΠΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΌΡΠ½ΠΈΡΠΈΠΏΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
2
ΠΠ΅ΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΡ
542
ΠΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ Π±Π΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ
2
ΠΡΠ΄ΠΈΡ
11
ΠΠ΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΆΠΈΠ·Π½Π΅Π΄Π΅ΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ
3
ΠΡΡ ΠΈΡΠ΅ΠΊΡΡΡΠ° ΠΈ ΡΡΡΠΎΠΈΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ
1
ΠΠ°Π½ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΎ
1
Π ΡΠ½ΠΎΠΊ ΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π±ΡΠΌΠ°Π³
6
ΠΠ΅Π½Π΅Π΄ΠΆΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ
2
ΠΠ°ΡΠΊΠ΅ΡΠΈΠ½Π³
238
ΠΡΠ΅Π΄ΠΈΡ
3
ΠΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΠΈΠΈ
2
ΠΡΡΠ½Π°Π»ΠΈΡΡΠΈΠΊΠ°
1
ΠΠΎΠ½ΡΠ»ΠΈΠΊΡΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ
15
ΠΡΠΈΠΊΠ°
9
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ ΠΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ
Π£Π·Π½Π°ΡΡ ΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
Π£Π·Π½Π°ΠΉ ΡΠ΅Π½Ρ
ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
ΠΠΌΡ
ΠΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΡΠΈΠΏ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡΠ§Π°ΡΡΡ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ°ΠΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ½Π°ΡΠΡΡΡΠΎΠ²Π°ΡΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°ΡΠ Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ Π΅ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΠ°ΡΡΠ½ΠΎ — ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠ°ΡΠΡΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅ΠΡΠ²Π΅ΡΡ Π½Π° Π±ΠΈΠ»Π΅ΡΡΠ’Π΅ΡΡ/ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½ onlineΠΠΎΠ½ΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΡΠΡΡΠ΅ΠΠΎΠΊΠ»Π°Π΄ΠΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ°ΠΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΆΠ Π΅ΡΠ΅Π½Π·ΠΈΡΠΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄Π Π΅ΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΎΡΠΠΈΠ·Π½Π΅Ρ-ΠΏΠ»Π°Π½ΠΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π°ΠΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½ Π½Π° ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ΠΡΠΏΠΈΡΠ°Π½ΡΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΠ°Π³ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠΊΠ°ΡΠΠ°ΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ°ΡΡΡΠΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΡΠ΄Π’Π΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ΅Π΄Π°ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π§Π΅ΡΡΠ΅ΠΆ ΠΎΡ ΡΡΠΊΠΈΠΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ, ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡΠΡΠ΅Π·Π΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΊ Π·Π°ΡΠΈΡΠ΅Π’Π΅Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½Π Π΅ΡΡ ΠΊ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΡΠΠΎΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ° Π·Π°ΠΊΠ°Π·Π° ΠΊΠ»ΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΡΠ·ΡΠ² Π½Π° Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ Π² ΠΠΠΠΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ Π² ScopusΠΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ MBAΠΠΎΠ²ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈΠΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΠΉΡΠΈΠ½Π³ΠΡΡΠ³ΠΎΠ΅ΠΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ Β ΠΠΎΠ»ΠΈΡΠΈΠΊΡ Β ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΠΈΡΡ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΡΠ»ΠΊΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΡΠΈΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΠ± Π°ΠΊΡΠΈΡΡ
ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ°Π·ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π’Π΅ΠΌΠ° 5ΠΠΎΡ ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π·Π΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ:
ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ ( 9-11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Π½Π°ΡΠΊΠ΅ ΠΈ Π² ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ
ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Β«ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ Π½Π°Ρ. Π£Π·ΠΎΡΡ ΠΈ ΠΎΡΠ½Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΡΡΠ΄Π΅Β»
ΠΠ½Π°ΠΊΠΎΠΌΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π΅ΡΠ΅ΠΉ Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΌΠΎΠ½Π΅ΡΠ°ΠΌΠΈ
Π’ΡΠ΅Π½Π°ΠΆΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Β«Π‘ΠΎΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎΠΆΠ°ΠΉΒ». Π‘ΡΠ΅Ρ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ 10
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΈΡ 6. ΠΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΉ ΠΈ ΡΠ΅Π³ΡΠ΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΠΠ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΊ ΠΠΠ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅. ΠΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ²Π΅Π½Ρ Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ
1. Π’Π΅ΠΌΠ° 1-6. ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ°Π·ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π°Π·Π΄Π΅Π» II. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°Π’Π΅ΠΌΠ° 1-6.
ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ°Π·ΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
2. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ
β’ ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ.β’ ΠΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ a Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π·Π°Π΄Π°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ
Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°.
β’ ΠΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ
Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ.
β’ ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ 1.
β’ ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ
ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ.
β’ ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ
Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ .
β’ ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ
ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ).
3. ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ
1) Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: (ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ,Ρ.Π΅. Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ)
4. ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ
2) ΠΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅:3) Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ:
5. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ
6. ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡ
7. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ:
8. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ.
9. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
10. ΠΠ°Π·ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
11. Π§Π°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌ Π±Π°Π·ΠΈΡΠΎΠΌ
14. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
17. Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
19. Π ΠΠ¨ΠΠΠΠ ΠΠΠΠΠ§
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {2; 4; 4}.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: |a| = β22 + 42 + 42 = β4 + 16 + 16 = β36 = 6.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° n Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {1; 2; 4} ΠΈ b = {1; 2; 2n}
ΡΠ°Π²Π½Ρ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ax = bx = 1
ay = by = 2
az = bz => 4 = 2n => n = 4/2 = 2
ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΠΏΡΠΈ n = 2 Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a ΠΈ b ΡΠ°Π²Π½Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ . ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {1; 2} Π½Π° 3.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 3 Β· a = {3 Β· 1; 3 Β· 2} = {3; 6}.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a = {1; 2} ΠΈ b = {4; 8}.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: a + b = {1 + 4; 2 + 8} = {5; 10}
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {1; 4; 0} Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ b = {4; 2; 4}.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
a Β· b = 1 Β· 4 + 4 Β· 2 + 0 Β· 4 = 4 + 8 + 0 = 12
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° b
|b| = β42 + 22 + 42 = β14 + 4 + 16 = β36 = 6
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ b
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ . ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a = {1; 2; -5} ΠΈ b = {4; 8; 1}.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: a Β· b = 1 Β· 4 + 2 Β· 8 + (-5) Β· 1 = 4 + 16 — 5 = 15.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ . ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ
|a| = 3, |b| = 6, Π° ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 60Λ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: a Β· b = |a| Β· |b| cos Ξ± = 3 Β· 6 Β· cos 60Λ = 9.
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ a = {3; 4; 0} ΠΈ b = {4; 4; 2}.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
aΒ·b = 3 Β· 4 + 4 Β· 4 + 0 Β· 2 = 12 + 16 + 0 = 28.
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
|a| = β32 + 42 + 02 = β9 + 16 = β25 = 5
|b| = β42 + 42 + 22 = β16 + 16 + 4 = β36 = 6
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {3; 4}.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a:
|a| = β32 + 42 = β9 + 16 = β25 = 5.
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a:
22. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1} Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΠΌΠΈ.
ΠΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ
ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ Π½ΡΠ»Π΅Π²Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΈΡΠ΅Π» x1, x2, x3 ΡΠ°ΠΊΠΈΡ , ΡΡΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ
ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a, b, c ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: -a + b + c = 0, Π°
ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a, b, c Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ.
ΠΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° n ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {3; 2} ΠΈ b =
{9; n} ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12}
ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ?
ΠΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ . ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {3; -1} ΠΈ b = {7; 5}
ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
a Β· b = 3 Β· 7 + (-1) Β· 5 = 21 — 5 = 16
ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a ΠΈ b Π½Π΅
ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ . ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° n ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {2; 4} ΠΈ b = {n; 1}
Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
a Β· b = 2 Β· n + 4 Β· 1 = 2n + 4
2n + 4 = 0
2n = -4
n = -2
ΠΡΠ²Π΅Ρ: Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a ΠΈ b Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ ΠΏΡΠΈ n = -2.
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AB, Π΅ΡΠ»ΠΈ A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: AB = {3 — 1; 1 — 4; 1 — 5} = {2; -3; -4}.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ B Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AB = {5; 1; 2}, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ
ΡΠΎΡΠΊΠΈ A(3; -4; 3).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ABx = Bx — Ax => Bx = ABx + Ax => Bx = 5 + 3 = 8
ABy = By — Ay => By = ABy + Ay => By = 1 + (-4) = -3
ABz = Bz — Az => Bz = ABz + Az => Bz = 2 + 3 = 5
ΠΡΠ²Π΅Ρ: B(8; -3; 5).
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a = {1; 2; 3} ΠΈ b = {2; 1; -2}.
Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a = {1; 2; 3}, b = {1; 1;
1}, c = {1; 2; 1}.
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ Π»ΠΈ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {1; 2; 3}, b = {1; 1;
1}, c = {1; 2; 1}.
27. ΠΠ°Π·ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
English Β Β Π ΡΡΡΠΊΠΈΠΉ ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ β Math Insight
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ β Math InsightΠ‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{b}$, ΠΈ ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡΠ°ΠΉΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ $\vc{a}$ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ $\vc{b}$. ΠΠ°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π±ΡΠ»Π° Π±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ , Π½ΡΠ»Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ, ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ . ΠΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ.
ΠΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Β«ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ $\vc{a}$ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ $\vc{b}$Β» Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ) $\vc{b}$; ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. (ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.) ΠΡΠ²Π΅Ρ Π½Π° ΡΡΠΎΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅ΡΡ ΠΎΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ $\vc{b}$, Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡ Π΅Π΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΏΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ, Π²ΡΠ·Π²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ $\vc{b}$, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½ΡΠ»Π°ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅. ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ $\vc{b}$ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΌ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈ $\vc{b}$. ΠΡ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ ΡΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ $\vc{u}$, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ $$\vc{u} = \frac{\vc{b}}{\|\vc{b}\|}.$$
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\vc{a}$ Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ $\vc{u}$, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ $\vc{a} \cdot \vc{u}$, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ $\vc{a}$ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\vc{u}$ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ $\vc{a}$ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ $\vc{u}$. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{u}$ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ $\vc{a} \cdot \vc{u}$ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΡΠ΅Π½ΠΈ $\vc{a}$ Π½Π° $\vc{u}$, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡ Ρ Π²ΠΎΡΡΡ Π±ΡΠ»ΠΈ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΈ ΡΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ ΡΠ²Π΅ΡΠΈΠ»ΠΎ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ $\vc{u}$. ΠΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Ρ $\vc{a}$ ΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅Π½ΡΡ, Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ \begin{gather}\vc{a} \cdot \vc{u} = \|\vc{a}\| \cos\ΡΠ΅ΡΠ°, \label{dot_product_unit} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΡΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡ} Π³Π΄Π΅ $\theta$ β ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{u}$.
ΠΡΠ»ΠΈ Π±Ρ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{u}$ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ, ΡΠ΅Π½ΠΈ Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ. ΠΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $\cos\theta = \cos\pi/2=0$ ΠΈ $\vc{a} \cdot \vc{u}=0$. ΠΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΡΠ³ΠΎΠ» $\theta$ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{u}$ Π±ΡΠ» Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ $\pi/2$, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ΅Π½Ρ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π»Π° Π±Ρ Π² $\vc{u}$. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ $\cos\theta
ΠΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²Π΅ΡΠ½ΡΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ $\vc{a}\cdot \vc{b}$, Π³Π΄Π΅ $\vc{b}$ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΎΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ. ΠΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\vc{a}\cdot \vc{b}$ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅ΡΡ ΠΎΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, $\|\vc{a}\|$ ΠΈ $\|\vc{b}\|$, ΠΈ Π±ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΡ Π½Π΅ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ $\vc{a}\cdot \vc{b}$ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ $\vc{a}$ Π½Π° $\vc{b}$; ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ½ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΡΡ ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $\vc{b}$ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ: ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\vc{u}=\frac{\vc{b}}{\|\vc{b}\|}$ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ \eqref{dot_product_unit }. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\vc{a} \cdot \vc{b}$, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ $\|\vc{b}\|$ $\vc{b}$, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ $\vc{a}$ Π½Π° $\vc{b}$. $$\frac{\vc{a}\cdot \vc{b}}{\|\vc{b}\|} = \|\vc{a}\| \cos\ΡΠ΅ΡΠ°.$$ ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° ΡΠΊΠ²ΠΎΠ·Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° $\|\vc{b}\|$, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΈΠΉ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ $\vc{a} \cdot \vc{b}$. \Π½Π°ΡΠ°ΡΡ{ΡΠΎΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡ} \vc{a}\cdot \vc{b} = \|\vc{a}\| \|\vc{b}\|\cos\ΡΠ΅ΡΠ°. \ΠΌΠ΅ΡΠΊΠ°{dot_product_definition}\ΡΠ΅Π³{2} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΡΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡ}
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ $\vc{a} \cdot \vc{b}$ ΠΏΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠ½Π° ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΡΠ΅ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½ΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ $\vc{a} \cdot \vc{u}$. ΠΠ°ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π° $\|\vc{b}\|$ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ $\vc{a}$ Π½Π° $\vc{b}$.
Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅ΡΠ΅ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΈΠ·ΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠΎΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ. (Π‘ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ $\|\vc{b}\|$, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ.)
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² $\vc{a}$ (ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ) ΠΈ $\vc{b}$ (Π·Π΅Π»Π΅Π½ΡΠΉ) ΠΏΡΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ $\vc{b}$ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ $ \vc{a}$ Π½Π° $\vc{b}$. ΠΡΠ° ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠΌ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΡ Ρ Π²ΠΎΡΡΠ° $\vc{b}$ Π΄ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρ $\vc{a}$ Π½Π° $\vc{b}$. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{b}$, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠ² ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠ² ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΡΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΏΡΡ . Π‘ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ $\|\vc{b}\|$ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ.
ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΠ± Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅ΡΠ΅.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ \eqref{dot_product_definition} ΠΏΡΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΡΠ°Π·Ρ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\vc{a}\cdot\vc{b}$ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΡΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΏΡΡ . Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ, Ρ. Π΅. $\vc{a} \cdot \vc{b} = \vc{b} \cdot \vc{a}$.
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° \eqref{dot_product_definition} Π½Π΅ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π° Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{b}$ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ. ΠΠ»Ρ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΠΌΠ΅Ρ Π½Π° ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°ΠΊΡΡ ββΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ±Π΅ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠΈΡ ΠΏΠΎ Π½ΠΈΡΡΠΌ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° 2374
ΠΠΎΡ ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ
V5 ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² | Π£ΡΠ΅Π±Π½Π°Ρ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠΈΡ
ΠΡΠΊΡΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Π Π°Π·ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΡ ΡΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² Π΄Π²ΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ΅ΠΉ x-y).
(ΡΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ)
Π£Π·Π½Π°ΠΉΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ (ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅) ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΄Π²Π° ΡΠΈΠΏΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ:
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ
ΠΠ»Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ (ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.
ΠΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.
Π§Π°ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΊΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\vec{a}\) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ \(\overrightarrow{F}\) Π² Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π° \(\vec{b}\) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ \(\overrightarrow{F}\) Π² Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΠΈ ΠΈ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ.
Π ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ:
ΠΡΡΡΡ \(\overrightarrow{PQ}=\vec{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{PS}=\vec{b}. {2}}\\ & =\sqrt{4+9+1}\\ & =\sqrt{14} \end{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]
\[\begin{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} \cos\left(\theta\right) & =\frac{\text{ΡΠΌΠ΅ΠΆΠ½ΡΠΉ}}{\text{Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Π°}}\\ & =\frac{\left|\overrightarrow{PR}\right|}{\left|\vec{a}\right|}. \end{align*}\] ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π΄Π°Π΅Ρ, \[\begin{align*} \left|\overrightarrow{PR}\right| & =\left|\vec{a}\right|\cos\left(\theta\right). & \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(1\Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ) \end{align*}\] ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.22 Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅) Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \[\begin{align*} \vec{a} & =a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}\\ \vec{b} & =b_{1}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+b_{3}\vec{k} \end{align*}\] ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ \[\begin{align*} \vec{a}\cdot\vec{b} & =\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\left(\theta\right) \end{align*}\] ΠΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: \[\begin{align*} \vec{a}\cdot\vec{b} & =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}. \end{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]
ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ \[\begin{align*} \vec{a}\cdot\vec{b} & =\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\left(\theta\right) \end{align*}\] ΠΈ ΡΠ°ΠΊ \[\begin{align*} \cos\left(\theta\right) & =\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right |}. \end{align*}\]
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ \(\cos\left(\theta\right)\) Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅\(\left(1\right)\) Π²ΡΡΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ:
\[\begin {Π²ΡΡΠΎΠ²Π½ΡΡΡ*} \left|\overrightarrow{PR}\right| & =\left|\vec{a}\right|\cos\left(\theta\right)\\ \left|\overrightarrow{PR}\right| & =\left|\vec{a}\right|\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b }\ΡΠΏΡΠ°Π²Π°|}\\ & =\frac{\vec{a}\cdot b}{\left|\vec{b}\right|}\\ & =\vec{a}\cdot\frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}\\ & =\vec{a}\cdot\ΡΠ»ΡΠΏΠ°{b} \end{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]
Π³Π΄Π΅ \(\hat{b}=\frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}\) — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b} \).33 ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\vec{b}\) ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ \(\hat{b}\) ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\vec{b}\), Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ \( \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ|\vec{b}\Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ|\). ΠΡΠΎ \[\begin{align*} \ΡΠ»ΡΠΏΠ°{b} & =\frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}. \end{align*}\] ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ β ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\vec{b}\) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ: 9{2}}\\ & =\sqrt{25+4+4}\\ & =\sqrt{33} \end{alignat*}\]
ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ \[\begin{alignat*}{1} \ΡΠ»ΡΠΏΠ°{b} & =\frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}\\ & =\frac{(5,-2,2)}{\sqrt{33}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{33}}(5,-2,2) \end{alignat*}\]
, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\):
\[\begin{alignat*}{ 1} \vec{a}\cdot\hat{b} & =(2,3,1)\cdot\frac{(5,-2,2)}{\sqrt{33}}\\ & =\frac{\left(2\times5\right)+\left(3\times\left(-2\right)\right)+\left(1\times2\right)}{\sqrt{33}} \\ & =\frac{10-6+2}{\sqrt{33}}\\ & =\frac{6}{\sqrt{33}}. \end{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\vec{b}\) β ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\ ) Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ \(PR\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\left|\overrightarrow{PR}\right|\), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\) Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b }\).
9009{2}}\\ & =\frac{\left(2\times5+3\times\left(-2\right)+1\times2\right)\left(5,-2,2\right)}{33}\\ & =\frac{\left(10-6+2\right)\left(5,-2,2\right)}{33}\\ & = \ Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° {\ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (6 \ Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ) \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (5, -2,2 \ Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ)} {33} \end{alignat*}\]ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\) ΡΠ°Π²Π½Π°
\[\begin{alignat*}{1} \frac{6\left(5,-2,2\right)}{33} & =\frac{6}{33}\left(5,-2,2\right)\\ & =\frac{2}{11}\left(5\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\right). \end{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2
ΠΡΠ»ΠΈ \(\vec{a}=(1,-2,2)\) ΠΈ \(\vec{b}=(5,-2,2)\) Π½Π°ΠΉΡΠΈ:
\( (a)\) Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\).
\((b)\) ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
\((a)\) Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\) ΡΠ°Π²Π½Π° \(\vec{a}\cdot\ ΡΠ»ΡΠΏΠ°{Π±}\).
ΠΡΠ»ΠΈ \[\begin{alignat*}{1} \vec{b} & =(5,-2,2) \end{alignat*}\]
, Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ \[\begin{alignat*}{1} \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ|\vec{b}\Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ| & =\sqrt{33} \end{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]
ΠΈ \[\begin{alignat*}{1} \ΡΠ»ΡΠΏΠ°{b} & =\frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}\\ & =\frac{\left(5,-2,2\right)}{\sqrt{33}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{33}}\left(5,-2,2\right). \end{alignat*}\]
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ \[\begin{alignat*}{1} \vec{a}\cdot\hat{b} & =\left(1,-2,2\right)\cdot\frac{\left(5,-2,2\right)}{\sqrt{33} }\\ & =\ frac{\left(\left(1\times5\right)+\left(\left(-2\right)\times\left(-2\right)\right)+\left(2\times2\ Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ)\Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ)}{\sqrt{33}}\\ & = \ Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° {\ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (5 + 4 + 4 \ Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ)} {\ sqrt {33}} \\ & =\frac{13}{\sqrt{33}}. \end{alignat*}\] Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° \(13/\sqrt{33}.\)
\((b)\) ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\) ΡΠ°Π²Π½Π° \(\left(\vec{a}\cdot\hat {b}\right)\hat{b}\)
ΠΈΠ· ΡΠ°ΡΡΠΈ \((a)\) \[\begin{alignat*}{1} \vec{a}\cdot\hat{b} & =\frac{13}{\sqrt{33}} \end{alignat*}\]
, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\) ΡΠ°Π²Π½Π° \[\begin{alignat*}{1} \left(\vec{a}\cdot\hat{b}\right)\hat{b} & =\left(\frac{13}{\sqrt{33}}\right)\frac{(5,- 2,2)}{\sqrt{33}}\\ & =\frac{13(5,-2,2)}{33}\\ & =\frac{13}{33}(5,-2,2)\\ & =\frac{13}{33}\left(5\ΡΠ»ΡΠΏΠ°{i}-2\ΡΠ»ΡΠΏΠ°{j}+2\ΡΠ»ΡΠΏΠ°{k}\ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ) \end{alignat*}\] ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\frac{13}{33}(5,-2,2)\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\frac{13}{33}\left(5\hat{ i}-2\ΡΠ»ΡΠΏΠ°{j}+2\ΡΠ»ΡΠΏΠ°{k}\ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ)\)
Π£ΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1
ΠΠ»Ρ \(\vec{a}=\left(2,3,1\right)\) , \(\vec{b}=\left(5,0,3\right)\) , \(\vec{c}=\left(0,0,3\right)\) ΠΈ \(\vec{d}=\left(-2,2,-1\right)\) Π½Π°ΠΉΡΠΈ:
9{\circ}=0\) ΠΈ ΡΠΌ. ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1) Π²ΡΡΠ΅.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\).
ΠΡΠ²Π΅Ρ: \(\frac{13}{34}\)ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\).
ΠΡΠ²Π΅Ρ: \(\frac{13}{34}\left(5,0,3\right)\)Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{c}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\).
ΠΡΠ²Π΅Ρ: \(\frac{9}{\sqrt{34}}\)ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{c}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{a}\).
ΠΡΠ²Π΅Ρ: \(\frac{3}{14}\left(2,3,1\right)\)ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{d}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{a}\).
ΠΡΠ²Π΅Ρ: \(\frac{1}{14}\left(2,3,1\right)\)ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ \(\vec{b}\) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{d}\).
ΠΡΠ²Π΅Ρ: \(\frac{-13}{9}\left(-2,2,-1\right)\)Π‘ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡ ΡΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ: ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² V5 (PDF 150 ΠΠ)
Π§ΡΠΎ Π΄Π°Π»ΡΡΠ΅… V6 ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° — ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
ΠΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ A, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ B ΠΈ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π, ΠΏΡΠΎΠ΅ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π½Π° Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.
ΠΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ B, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ Π·Π΄Π΅ΡΡ.
ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ:
- A || B = ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ A, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ B, Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π³Π΄Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π·ΡΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»Ρ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ, ΠΎΠ½ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ Π²Π°ΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A.
- A B = ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ A ΠΏΡΠΎΠ΅ΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ B.
ΠΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ:
- |A| = ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A.
- ΞΈ = ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π ΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»Ρ ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π
- = Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ· Π
ΠΡΠ°ΠΊ: = Π / |Π|
Π‘ΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
A = A || B + A B
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ°Ρ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΡΡ. ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ.
Π Π°ΡΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ
ΠΠ· ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΡΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ |Π| sin(ΞΈ) ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ B).
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊ A ΠΈ B, ΡΡΠΎ Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ A x B (ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π·Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΡΠ΅ ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅). Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ B, ΡΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ.
ΠΡΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:
B Γ (A Γ B)
ΠΈΠ»ΠΈ: (B Γ A) Γ B
ΠΠ°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ:
x
ΠΠ· ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΡΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π°:
|A| sin(ΞΈ)
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ:
A || Π = |Π| sin(ΞΈ) Γ
ΠΠΎ Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ: Γ = Π³ΡΠ΅Ρ (ΞΈ) ΡΠ°ΠΊ:
Π || Π = |Π| ΠΠΊΡ Ρ
Π½ΠΎ = Π / |Π| Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ = Π / |Π|
ΡΠ°ΠΊ:
Π || B = B Γ (AΓB / |B|) / |B
Π Π°ΡΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅ΠΉ
|ΠΠ· Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅ΠΉ |Π| cos(ΞΈ) ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° B. ΠΡΠ°ΠΊ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ |A| ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ (ΞΈ) Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ B, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ B/|B|
ΠΡΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ:
A B = |A| ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ (ΞΈ) * Π/|Π|
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ, ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ:
AB = |A| |Π| cos(ΞΈ)
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ:
A B = AB * B/|B| 2
ΠΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π° Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΠ»ΠΈΡΡΠΎΡΠ΄Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ
ΠΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ ΠΠ»ΠΈΡΡΠΎΡΠ΄Π΅/Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΡΠΌ. Π·Π΄Π΅ΡΡ. Π Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ.
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅:
- A ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ
- B β Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ)
ΠΠ½Π΅ΡΠ½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΎΠ½ΠΎ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°Π½Π΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
- ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ = Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
- Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ = Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
- Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ = ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ
ΠΡΠΎ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΎΠ½ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°Π½Π΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
- Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ = ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ
- Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ = Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
- ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ = Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Ρ Π½Π°Ρ Π±ΡΠ»ΠΎ:
- Π || Π = ΠΠ / Π
- Π Π = (Π Π) / Π
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ B ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ ΠΏΠΎ Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.
ΠΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π° Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ
(ΠΠΎΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅ Π΄ΠΎ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΡΠ°Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π» Π½Π° Π½Π΅ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΡ)
ΠΠ°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ΅, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ = A || B = B Γ (A Γ B) / |B|Β²
ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° =A B = AB * B / |B|Β²
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅:
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅:
ΠΓΠ = [~B][A] =
0 -ΠΠ· ΠΠΎ ΠΠ· 0 -ΠΡ -ΠΠΎ ΠΡ 0
Π’ΠΎΠΏΠΎΡ ΠΠΉ ΠΠ· Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ΠΉ 1Γ1, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Π½Π° ΡΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ B ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ: (Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz)
BA =
ΠΡ ΠΠΎ ΠΠ·
Π’ΠΎΠΏΠΎΡ ΠΠΉ ΠΠ· ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ°Ρ
ΠΡΠ°ΠΊ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅ΠΉ:
A B = AB * B / |B|Β² =
ΠΡ * (ΠΡ * ΠΡ + ΠΡ * ΠΠΈ + ΠΠ· * ΠΠ·)
/(BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²)ΠΠΎ * (Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz)
/(BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²)ΠΠ· * (ΠΡ * ΠΡ + ΠΡ * ΠΡ + ΠΠ· * ΠΠ·)
/(BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²)ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, ΡΡΠΎ B Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ (BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²=1), ΠΈ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ A ΠΈ B Π΄Π°Π΅Ρ:
A B =
BxΒ² ΠΡ *ΠΠΎ ΠΡ *ΠΠ· ΠΠΎ*ΠΡ ΠΒ² ΠΠΎ*ΠΠ· ΠΠ·*ΠΡ ΠΠ·*ΠΠΎ ΠΠ·Β²
Π’ΠΎΠΏΠΎΡ ΠΠΉ ΠΠ· ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ:
Π || B = B Γ (A Γ B) / |B|Β²
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠΈΡΡΠ΅Ρ, Ρ. Π΅. ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°Π½Π΄ΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
A || B = — B Γ (B Γ A) / |B|Β²
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ΅, Π΄Π°Π΅Ρ:
A || B = — [~B][~B][A] / |B|Β²
ΠΡΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ²:
A || Π = —
0 -ΠΠ· ΠΠΎ ΠΠ· 0 -ΠΡ -ΠΠΎ ΠΡ 0
0 -ΠΠ· ΠΠΎ ΠΠ· 0 -ΠΡ -ΠΠΎ ΠΡ 0
Π’ΠΎΠΏΠΎΡ ΠΠΉ ΠΠ· /(BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²) ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, ΡΡΠΎ B Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ (BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²=1), ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΊΠΎΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΄Π°Π΅Ρ:
A || Π = —
-BzΒ² — ByΒ² ΠΡ *ΠΠΎ ΠΡ *ΠΠ· ΠΠΎ*ΠΡ -BzΒ² — BxΒ² ΠΠΎ*ΠΠ· ΠΠ·*ΠΡ ΠΠ·*ΠΠΎ -BxΒ² — ByΒ²
Π’ΠΎΠΏΠΎΡ ΠΠΉ ΠΠ· ΠΠ²ΠΎΠ΄ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Π° ‘-‘ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΄Π°Π΅Ρ:
A || Π =
ΠΠ·Β² + ΠΠ°ΠΉΒ² -Bx*By -ΠΡ *ΠΠ· -By*Bx BzΒ² + BxΒ² -By*Bz -ΠΠ·*ΠΡ -ΠΠ·*ΠΠΎ ΠΡ Β² + ΠΡ Β²
Π’ΠΎΠΏΠΎΡ ΠΠΉ ΠΠ· , ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ (BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²=1) ΠΏΠΎ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅ΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ:
A || Π =
1 — BxΒ² -Bx*By -ΠΡ *ΠΠ· -By*Bx 1 — ΠΠΎΒ² -By*Bz -ΠΠ·*ΠΡ -ΠΠ·*ΠΠΎ 1 — ΠΠ·Β²
Π’ΠΎΠΏΠΎΡ ΠΠΉ ΠΠ· ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ A, Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ:
Π = Π || B + A B
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
A || Π + Π Π
1 — BxΒ² + BxΒ² -Bx*By + Bx*By -ΠΡ *ΠΠ·+ΠΡ *ΠΠ· -By*Bx+By*Bx 1 — ByΒ² + ByΒ² -By*Bz+By*Bz -Bz*Bx + Bz*Bx -Bz*By+Bz*By 1 — ΠΠ·Β²+ ΠΠ·Β²
Π’ΠΎΠΏΠΎΡ ΠΠΉ ΠΠ· Π‘ΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ:
A || Π + Π Π
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Π’ΠΎΠΏΠΎΡ ΠΠΉ ΠΠ· Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΡΡΡ B ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ [I], ΠΈ Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ A, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½Π°ΠΌ ΠΈ Π½ΡΠΆΠ΅Π½.