Найти ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½: Онлайн ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.ВычислСниС ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π° плоскости Π·Π°Π΄Π°Π½Π° прямая l ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π΅Π΅ прямая m . ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ l ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой m (вдоль прямой m ) называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (рис.1.13,Π°). Если прямая m пСрпСндикулярна прямой l , Ρ‚ΠΎ проСкция называСтся ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² пространствС Π΄Π°Π½Π° прямая l ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π΅Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ \rho . ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \vec{a}=\overrightarrow{AB} Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ l ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ плоскости \rho (вдоль плоскости \rho ) называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \vec{a}_l=\overrightarrow{AB}_l , Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ слуТит проСкция A_l , Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° A , Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ — проСкция B_l ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° B Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \overrightarrow{AB} (рис. 1.13,6). Если ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ \rho пСрпСндикулярна прямой l , Ρ‚ΠΎ проСкция называСтся ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² пространствС Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ я ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π΅Π΅ прямая \rho . ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \vec{a}=\overrightarrow{AB} Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ \rho ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой m (вдоль прямой m ) называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \vec{a}_{\rho}=\overrightarrow{AB}_{\rho} , Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ слуТит проСкция A_{\rho} Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° A , Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ — проСкция B_{\rho} ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° B Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \overrightarrow{AB} (рис.

1.14). Если прямая m пСрпСндикулярна плоскости \rho , Ρ‚ΠΎ проСкция называСтся ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

Бвойства ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

1. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС (ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ плоскости) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

2. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

3. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

4. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ этого числа Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Ссли ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ).

5. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Рассмотрим эти свойства для ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ l ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой m . Для ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ плоскости Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ свойство. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \vec{a}_l — проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \vec{a} Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ l вдоль прямой m , Π° \vec{a}_l — проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \vec{a} Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ l» вдоль Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ прямой m , ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ прямыС l ΠΈ l» ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ (рис.

1.15). Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ пСрСсСчСниСм ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых l ΠΈ l» ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ линиями, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямой m , являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, \vec{a}_{l»}=\vec{a}_l , Ρ‚.Π΅. ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \vec{a} Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ свойство. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π° плоскости Π΄Π°Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ \overrightarrow{AB} ΠΈ \overrightarrow{CD} , Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямой m (см. рис. 1.16). ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ \mathop{\overrightarrow{A_lB»}= \overrightarrow{AB}}\limits_{.} ΠΈ \mathop{\overrightarrow{C_lD»}= \overrightarrow{CD}}\limits_{.} . Из равСнства \mathop{\overrightarrow{A_lB»}= \overrightarrow{C_lD»}}\limits_{.} слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ A_lB»D»C_l — ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ, Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ A_lB»B_l ΠΈ C_lD»D_l Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ сторонС ΠΈ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌ

\big(A_lB»=C_lD»,\qquad \angle B»A_lB_l=\angle D»C_lD_l,\qquad \angle A_lB»B_l=\angle C_lD»D_l

ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ с соотвСтствСнно ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, \mathop{\overrightarrow{A_lB_l}= \overrightarrow{C_lD_l}}\limits_{. } , Ρ‚.Π΅. Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямой m , ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Если ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ прямой m , Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ свойство Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ свойства ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \overrightarrow{AB} ΠΈ (рис. 1.17): проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ \overrightarrow{B_lC_l} , Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \overrightarrow{AB} ΠΈ \overrightarrow{BC} , Ρ‚.Π΅. \overrightarrow{A_lC_l}= \overrightarrow{A_lB_l}+ \overrightarrow{B_lC_l} . Для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \vec{a} ΠΈ \vec{b} (Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \vec{a} Π½Π΅ совпадаСт с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \vec{b} ) Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ сводится ΠΊ рассмотрСнному ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ для Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \overrightarrow{AB}=\vec{a} ΠΈ \overrightarrow{BC}=\vec{b} , Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ свойству).

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ свойства слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ЀалСса (см. Ρ€Π°Π·Π΄. Π’.2). На рис.1.18 ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ \overrightarrow{AB} ΠΈ \overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB} (\lambda>0) , Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \overrightarrow{A_lB_l} ΠΈ \overrightarrow{A_lC_l} . По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ЀалСса \frac{AC}{AB}=\frac{A_lC_l}{A_lB_l}=\lambda , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, \overrightarrow{A_lC_l}= \lambda\overrightarrow{A_lB_l} , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Π’ случаС \lambda

ΠŸΡΡ‚ΠΎΠ΅ свойство ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1.1 (ΠΎ проСкциях Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ прямыС).

1. Если Π½Π° плоскости Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ прямыС l_1 ΠΈ l_2 , Ρ‚ΠΎ любой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \vec{a} Π½Π° плоскости ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы своих ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ \vec{a}_1 ΠΈ \vec{a}_2 Π½Π° эти прямыС (ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ бСрутся вдоль Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ прямой), Ρ‚.Π΅. .

2. Если Π² пространствС Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈ прямыС l_1,l_2 ΠΈ l_3 , ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости, Ρ‚ΠΎ любой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \vec{a} Π² пространствС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы своих ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 Π½Π° эти прямыС (ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ бСрутся вдоль плоскости, содСрТащСй Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ прямыС), Ρ‚.Π΅. .

Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ прямыС l_1 ΠΈ l_2 ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ O (рис. 1.19,Π°). ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \vec{a} ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ O , Ρ‚.Π΅. рассмотрим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \overrightarrow{OA}=\vec{a} . По ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (см. Ρ€Π°Π·Π΄. 1.2) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ равСнство \overrightarrow{OA}=\vec{a}_1+\vec{a}_2 , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡƒ равСнству \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2 , Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (см. свойство 2 ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ). Π•Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прСдставлСния слСдуСт ΠΈΠ· однозначности нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Если ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \vec{a} ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π΅Π½ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· прямых, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ l_1 , Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΈΠ΄: \vec{a}_1=\vec{a},~\vec{a}_2=\vec{o} ΠΈ равСнство \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2=\vec{a}+\vec{o} , ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, выполняСтся.

Аналогично доказываСтся Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ 1.3.

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ‹ утвСрТдСния, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ 1.1.

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° плоскости Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‚.Π΅. \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2 , Ρ‚ΠΎ слагаСмыС \vec{a}_1 ΠΈ \vec{a}_2 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ проСкциями Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \vec{a} Π½Π° прямыС, содСрТащиС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ \vec{a}_1 ΠΈ \vec{a}_2 соотвСтствСнно.

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² пространствС Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‚.Π΅. \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3 , Ρ‚ΠΎ слагаСмыС \vec{a}_,\vec{a}_2 ΠΈ \vec{a}_3 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ проСкциями Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \vec{a} Π½Π° прямыС, содСрТащиС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ \vec{a}_,\vec{a}_2,\vec{a}_3 соотвСтствСнно.

Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ O Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ \overrightarrow{OA}=\vec{a},\,\overrightarrow{OA_1}=\vec{a}_1,\,\overrightarrow{OA_2}=\vec{a}_2,\,\overrightarrow{OA_3}=\vec{a}_3 (рис.1.19,6). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· равСнства \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3 слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3} , Ρ‚.Π΅. Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ — являСтся диагональю ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, построСнного Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… (ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° слоТСния Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ \overrightarrow{OA_1},\,\overrightarrow{OA_2},\,\overrightarrow{OA_3} — ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \overrightarrow{OA} Π½Π° прямыС l_1,\,l_2,\,l_3 (проСкция Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ бСрСтся вдоль плоскости, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ прямыС).

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ \vec{a} ΠΈ \overrightarrow{OA} ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (свойство 2), Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \vec{a} Π½Π° прямыС l_1,\,l_2,\,l_3 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно. НаконСц, ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° прямыС l_1,\,l_2,\,l_3 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ проСкциям Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌ прямыС, содСрТащиС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ \vec{a}_1,\,\vec{a}_2,\,\vec{a}_3 соотвСтствСнно.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.5. Если прямая пСрСсСкаСт стороны AB,~BC,~CA Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ… продолТСния) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… C_1,~B_1,~C_1 соотвСтствСнно, Ρ‚ΠΎ

\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=1.

РСшСниС. НайдСм ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ AB вдоль прямой A_1C_1 (рис. 1.20). Для этого Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ B ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ BB_2 , ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ прямой A_1C_1 . По свойству 4 ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}};~~~~\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}=\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{CB_1}}.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ эти ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ \frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}} , Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡƒ равСнству.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ МСнСлая.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.6. Если Π½Π° сторонах AB,~BC,~CA Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC взяты соотвСтствСнно Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A_1,~B_1,~C_1 Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямыС AA_1,~BB_1,~CC_1 ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ

\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=-1.

РСшСниС. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ прямыС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Q (рис.1.21). Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ C_1 ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ прямыС C_1B_2 ΠΈ C_1A_2 ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ BB_1 ΠΈ AA_1 соотвСтствСнно. По свойству ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (свойство 4):

\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}}=-\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC_1}};~~~\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}};~~~\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CQ}}{\overrightarrow{C_1Q}}=\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}}

Учитывая эти равСнства ΠΈ свойства ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (см, Ρ€Π°Π·Π΄. 1.2.1), ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ части послСднСго равСнства:

\begin{gathered}\frac{\overrightarrow{CQ}}{\overrightarrow{C_1Q}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}}\\\frac{\overrightarrow{C_1Q}}{\overrightarrow{CQ}}=\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{CB_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\left(-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AB}}\right)\end{gathered}

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹Ρ… частСй этих равСнств, учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»Π΅Π²Ρ‹Ρ… частСй Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅:

\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\left(-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AB}}\right)=-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}=-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}=1

НайдСм ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ \frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=-1 , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π§Π΅Π²Ρ‹.

Π’ вашСм Π±Ρ€Π°ΡƒΠ·Π΅Ρ€Π΅ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ Javascript.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ произвСсти расчСты, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ элСмСнты ActiveX!
АлгСбраичСская проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ось Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ осью ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ:

ΠŸΡ€ a b = |b|cos(a,b) ΠΈΠ»ΠΈ

Π“Π΄Π΅ a b — скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² , |a| — ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a .

Π˜Π½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡ . Для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Пp a b Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² a ΠΈ b . ΠŸΡ€ΠΈ этом Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ Π½Π° плоскости (Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹) ΠΈ Π² пространствС (Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹). ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сохраняСтся Π² Ρ„Π°ΠΉΠ»Π΅ Word . Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ .

Π—Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ :
Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°
Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°
a: ; ;
b: ; ;

ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π’ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π’ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚

Бвойства ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

  1. ГСомСтричСская проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅).
  2. АлгСбраичСская проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ число.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ проСкциях Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1 . ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ось Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ слагаСмых Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ось.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 2 . АлгСбраичСская проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ось Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ осью ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ:

ΠŸΡ€ a b = |b|cos(a,b)

Π’ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

  1. проСкция Π½Π° ось OX.
  2. проСкция Π½Π° ось OY.
  3. проСкция Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.
ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π½Π° ось OXΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π½Π° ось OYΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€
Если Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ совпадаСт с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси OX, Ρ‚ΠΎ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ.
Если Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ совпадаСт с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси OY, Ρ‚ΠΎ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ.
Если Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ совпадаСт с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° NM, Ρ‚ΠΎ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ.
Если Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси OX, Ρ‚ΠΎ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ.
Если Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси OY, Ρ‚ΠΎ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ.
Если Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° NM, Ρ‚ΠΎ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ.
Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ AB ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ оси OX, Ρ‚ΠΎ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° AB.

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ AB ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ оси OY, Ρ‚ΠΎ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° AB.

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ AB ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ NM, Ρ‚ΠΎ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A’B’ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° AB.

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ AB пСрпСндикулярСн оси OX, Ρ‚ΠΎ проСкция A’B’ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ (Π½ΡƒΠ»ΡŒ-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€).

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ AB пСрпСндикулярСн оси OY, Ρ‚ΠΎ проСкция A’B’ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ (Π½ΡƒΠ»ΡŒ-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€).

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ AB пСрпСндикулярСн Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ NM, Ρ‚ΠΎ проСкция A’B’ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ (Π½ΡƒΠ»ΡŒ-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€).

1. Вопрос: ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π”Π°, ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ. Π’ этом случаС, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (см. ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ ось OX ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ AB)
2. Вопрос: ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π”Π°, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚. Π’ этом случаС, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ (ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой).
3. Вопрос: ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ (Π½ΡƒΠ»ΡŒ-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€). ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π”Π°, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚. Π’ этом случаС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ пСрпСндикулярСн ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ оси (Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1 . Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (рис. 1) ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с осью OX (ΠΎΠ½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ a) ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60 ΠΎ. Если OE Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π°, Ρ‚ΠΎ |b|=4, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ .

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (гСомСтричСской ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ b) Ρ€Π°Π²Π½Π° 2, Π° Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ совпадаСт с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси OX.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2 . Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (рис. 2) ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с осью OX (с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ a) ΡƒΠ³ΠΎΠ» (a,b) = 120 o . Π”Π»ΠΈΠ½Π° |b| Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° b Ρ€Π°Π²Π½Π° 4, поэтому ΠΏΡ€ a b=4Β·cos120 o = -2.

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 2, Π° Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ оси.

Π° Π½Π° ось ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ понятия Π΅Π΅ гСомСтричСской ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ числовой (ΠΈΠ»ΠΈ алгСбраичСской) ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ гСомСтричСской ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ алгСбраичСской – Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. Но ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ этим понятиям вспомним Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ.

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ свСдСния

ОсновноС понятиС – нСпосрСдствСнно понятиС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ввСсти ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ гСомСтричСского Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ . Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ прямой, которая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ 2 направлСния. Для обозначСния направлСния Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ† ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρƒ — Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ. НаправлСниС указываСтся ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ извСстно, какая ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ† ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° считаСтся Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ, Π° какая Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: Двумя Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ: $\overline{AB}$ – (Π³Π΄Π΅ $A$ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ, Π° $B$ – Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†).

Одной малСнькой Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ: $\overline{a}$ (рис. 1).

Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ нСсколько понятий, связанных с понятиСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3

Π”Π²Π° Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ прямой ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° прямых, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ (рис.2).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4

Π”Π²Π° Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ сонаправлСнными, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ Π΄Π²ΡƒΠΌ условиям:

  1. Π­Ρ‚ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹.
  2. Если ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сторону (рис. 3).

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: $\overline{a}\overline{b}$

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5

Π”Π²Π° Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ Π΄Π²ΡƒΠΌ условиям:

  1. Π­Ρ‚ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹.
  2. Если ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ стороны (рис. 4).

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: $\overline{a}↓\overline{d}$

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6

Π”Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° $\overline{a}$ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° $a$.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: $|\overline{a}|$

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ равСнства Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7

Π”Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ Π΄Π²ΡƒΡ… условиям:

  1. Они сонаправлСны;
  2. Π˜Ρ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (рис. 5).

ГСомСтричСская проСкция

Как ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ сказали Ρ€Π°Π½Π΅Π΅, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ гСомСтричСской ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 8

ГСомСтричСской ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° $\overline{AB}$ Π½Π° ось Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ получаСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° $A$ проСцируСтся Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ось. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ $A»$ — Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ искомого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° $B$ проСцируСтся Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ось. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ $B»$ — ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† искомого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ $\overline{A»B»}$ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ искомым Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

Рассмотрим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ $\overline{AB}$ Π½Π° ось $l$, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° рисункС 6.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ $A$ пСрпСндикуляр ΠΊ оси $l$, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ $A»$. Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ $B$ пСрпСндикуляр ΠΊ оси $l$, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ $B»$ (рис. 7).

ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ ΠΈ повСрхностСй Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ позволяСт ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ наглядноС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ°. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π»ΡƒΡ‡ΠΈ пСрпСндикулярны плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠ ΠžΠ•ΠšΠ¦Π˜Π•Π™ Π’Π•ΠšΠ’ΠžΠ Π НА ΠŸΠ›ΠžΠ‘ΠšΠžΠ‘Π’Π¬ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ = (рис. 3.22), Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ пСрпСндикулярами, ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°.

Рис. 3.22. ВСкторная проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Рис. 3.23. ВСкторная проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось.

Π’ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ часто приходится ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° ОБЬ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ выполняСтся Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ, Ссли Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ ось L Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости (рис. 3.23). Однако Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° услоТняСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° это условиС Π½Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ ось Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости (рис. 3.24).

Рис. 3.24. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось
Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС.

Π§Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ плоскости, пСрпСндикулярныС прямой L. Π’ пСрСсСчСнии с этой прямой Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ плоскости ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1 ΠΈ B1 — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° нахоТдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, Ссли Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ с осью, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ свободныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.

Наряду с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, сущСствуСт ΠΈ Π‘ΠšΠΠ›Π―Π ΠΠΠ― ΠŸΠ ΠžΠ•ΠšΠ¦Π˜Π―, которая Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ссли вСкторная проСкция совпадаСт с ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ оси L, ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ, Ссли вСкторная проСкция ΠΈ ось L ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ:

ВСкторная ΠΈ скалярная ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ всСгда тСрминологичСски Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ строго Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠΌ «проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Β», подразумСвая ΠΏΠΎΠ΄ этим ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ эти понятия Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ. БлСдуя ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ²ΡˆΠ΅ΠΉΡΡ Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΈ, Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ «проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Β», подразумСвая ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΈ «вСкторная проСкция» — Π² соотвСтствии с установлСнным смыслом.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π’Π•ΠžΠ Π•ΠœΠ 5. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось L Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ модуля Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈ осью, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

(3.5)

Рис. 3.25. НахоТдСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΠΈ скалярной
ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось L
( ΠΈ ось L ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹).

Π”ΠžΠšΠΠ—ΠΠ’Π•Π›Π¬Π‘Π’Π’Πž . Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ построСния, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» G ΠœΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈ осью L. Для этого построим ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ MN, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ оси L ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ О — Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (рис. 3.25). Π£Π³ΠΎΠ» ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ искомым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΈ О Π΄Π²Π΅ плоскости, пСрпСндикулярныС оси L. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ось L ΠΈ прямая MN ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΄Π²Π° случая Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ располоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ оси L.

1. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ вСкторная проСкция ΠΈ ось L ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ (рис. 3.25). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ скалярная проСкция .

2. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΈ L ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ стороны (рис. 3.26).

Рис. 3.26. НахоТдСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΠΈ скалярной ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось L ( ΠΈ ось L ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стороны).

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… случаях справСдливо ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹.

Π’Π•ΠžΠ Π•ΠœΠ 6. Если Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ оси L, ΠΈ эта ось располоТСна Π² плоскости s, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ s ΡƒΠ³ΠΎΠ» , Π° с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π° ось L — ΡƒΠ³ΠΎΠ» , ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ сами Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой ΡƒΠ³ΠΎΠ» , Ρ‚ΠΎ

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° — ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ справочник для студСнтов

Π€ΠžΠ ΠœΠ£Π›Π

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

\(\ \overline{a} \) Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\ \overline{b} \), Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ (ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\ \overline{b} \) , Ρ‚.Π΅.

\(\ \Pi_{\mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|} \)

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Π½Π° плоскости ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ \(\ \Pi_{\mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|} \) , Ρ‚ΠΎ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\ \overline{a} \) Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\ \overline{b} \) рассчитываСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

\(\ \Pi_{\mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}} \)

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Π² пространствС, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ \(\ \overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)\quad{ΠΈ}\quad \overline{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right) \) ,Ρ‚ΠΎ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\ \overline{a} \text { Π½Π° } \overline{b} \) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ рассчитываСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

\(\ \Pi_{\mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}} \)

ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π Π« ΠŸΠ ΠžΠ•ΠšΠ¦Π˜Π˜ Π’Π•ΠšΠ’ΠžΠ Π НА Π’Π•ΠšΠ’ΠžΠ 

ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π 

  • Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅: Найти ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\ \overline{a} \text { Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€} \overline{b} \) , Ссли \(\ \overline{a}=(-1 ; 0)\quad{ΠΈ}\quad \overline{b}=(3 ;-4) \)
  • РСшСниС: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\ \overline{a} \text { Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€} \overline{b} \) , Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ

    \(\ \Pi p_{\overline{b}} \overline{a}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|b|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}} \)

    ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ Π² Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

    \(\ \Pi \mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|}=\frac{-1 \cdot 3+0 \cdot(-4)}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{-3+0}{\sqrt{9+16}}=\frac{-3}{\sqrt{25}}=-\frac{3}{5} \)

  • ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \(\ \Pi \mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}=-\frac{3}{5} \)

    ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π 

  • Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅: Найти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ \(\ \overline{a}=(-2 ; 3 ; 0) \) Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\ \overline{b}=(-2 ;-1 ; 5) \)
  • РСшСниС: ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ

    \(\ \Pi \mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}} \)

    ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

    \(\ \Pi p_{b} \overline{a}=\frac{(\overline{a}, b)}{|b|}=\frac{-2 \cdot(-2)+3(-1)+0 \cdot 5}{\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+5^{2}}}=\frac{4-3+0}{\sqrt{4+1+25}}=\frac{1}{\sqrt{30}} \)

  • ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \(\ \Pi p_{\overline{b}} \overline{a}=\frac{1}{\sqrt{30}} \)
  • Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°

    166

    Π Π΅ΠΊΠ»Π°ΠΌΠ° ΠΈ PR

    31

    ПСдагогика

    80

    ΠŸΡΠΈΡ…ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ

    72

    Боциология

    7

    Астрономия

    9

    Биология

    30

    ΠšΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ

    86

    Экология

    8

    ΠŸΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ ΡŽΡ€ΠΈΡΠΏΡ€ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ

    36

    ΠŸΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ

    13

    Π­ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠ°

    49

    Ѐинансы

    9

    Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ

    16

    Ѐилософия

    8

    Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

    20

    ΠŸΡ€Π°Π²ΠΎ

    35

    Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ

    6

    ЭкономичСская тСория

    7

    ΠœΠ΅Π½Π΅Π΄ΠΆΠ΅Π½Ρ‚

    719

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

    338

    Π₯имия

    20

    ΠœΠΈΠΊΡ€ΠΎ- ΠΈ макроэкономика

    1

    ΠœΠ΅Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠ½Π°

    5

    ГосударствСнноС ΠΈ ΠΌΡƒΠ½ΠΈΡ†ΠΈΠΏΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

    2

    ГСография

    542

    Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ Π±Π΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

    2

    Аудит

    11

    Π‘Π΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠΈΠ·Π½Π΅Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ

    3

    АрхитСктура ΠΈ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

    1

    БанковскоС Π΄Π΅Π»ΠΎ

    1

    Π Ρ‹Π½ΠΎΠΊ Ρ†Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π±ΡƒΠΌΠ°Π³

    6

    ΠœΠ΅Π½Π΅Π΄ΠΆΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ

    2

    ΠœΠ°Ρ€ΠΊΠ΅Ρ‚ΠΈΠ½Π³

    238

    ΠšΡ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚

    3

    Π˜Π½Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈΡ†ΠΈΠΈ

    2

    Журналистика

    1

    ΠšΠΎΠ½Ρ„Π»ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ

    15

    Π­Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

    9

    Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ диффСрСнцирования Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сумму Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ дСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ

    Π£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π½Ρƒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

    Π£Π·Π½Π°ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρƒ

    своСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

    Имя

    Π’Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΈΠΏ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ°Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ½Π°ΡΠšΡƒΡ€ΡΠΎΠ²Π°ΡΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°ΡΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ задачРСфСратНаучно — ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠ°ΡΠžΡ‚Ρ‡Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π° билСтыВСст/экзамСн onlineΠœΠΎΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΡΠ­ΡΡΠ΅Π”ΠΎΠΊΠ»Π°Π΄ΠšΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Ρ‚Π΅ΠΊΡΡ‚Π°ΠšΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ Π΅Ρ†Π΅Π½Π·ΠΈΡΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π‘ΠΈΠ·Π½Π΅Ρ-ΠΏΠ»Π°Π½ΠšΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° качСстваЭкзамСн Π½Π° сайтСАспирантский Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠœΠ°Π³ΠΈΡΡ‚Π΅Ρ€ΡΠΊΠ°ΡΠΠ°ΡƒΡ‡Π½Π°Ρ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΠΠ°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ трудВСхничСская рСдакция тСкстаЧСртСТ ΠΎΡ‚ Ρ€ΡƒΠΊΠΈΠ”ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ΠŸΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡ ΠΊ защитСВСзисный ΠΏΠ»Π°Π½Π Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΡƒΠ”ΠΎΡ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° Π·Π°ΠΊΠ°Π·Π° ΠΊΠ»ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠžΡ‚Π·Ρ‹Π² Π½Π° Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠŸΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ Π² Π’ΠΠšΠŸΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ Π² ScopusΠ”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ MBAΠŸΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈΠšΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅

    ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽ Β ΠŸΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΡƒ Β ΠΊΠΎΠ½Ρ„ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ

    Подпишись Π½Π° рассылку, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎΠ± акциях

    Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ.

    ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Базис Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Π΅ΠΌΠ° 5

    ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ:

    Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ ( 9-11 классы)

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅ ΠΈ Π² ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ

    ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ нас. Π£Π·ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ ΠΎΡ€Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π½Π° посудС»

    Знакомство Π΄Π΅Ρ‚Π΅ΠΉ с матСматичСскими Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ

    Π’Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΡ‘Ρ€ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Β«Π‘ΠΎΠ±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΆΠ°ΠΉΒ». Π‘Ρ‡Π΅Ρ‚ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… 10

    ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…

    ЛСкция 6. ΠšΠΎΡ€Ρ€Π΅Π»ΡΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈ рСгрСссионный Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·

    РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ части ΠžΠ“Π­ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

    Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния

    ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π‘Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

    1. Π’Π΅ΠΌΠ° 1-6. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Базис Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

    Π Π°Π·Π΄Π΅Π» II. ВСкторная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°
    Π’Π΅ΠΌΠ° 1-6.
    Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ
    Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось. БкалярноС
    ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Базис
    Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅
    ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².
    БмСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
    Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

    2. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ опрСдСлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

    β€’ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ называСтся Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ.
    β€’ Π”Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ a Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a называСтся Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ
    Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.
    β€’ НулСвым Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ
    Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹.
    β€’ Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ 1.
    β€’ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹
    ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹.
    β€’ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚
    Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых.
    β€’ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ
    ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости (Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
    плоскости).

    3. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ

    1) Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: (ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ…,
    Ρ‚.Π΅. Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости)

    4. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ

    2) Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅:
    3) Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° число:

    5. Бвойства Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ

    6. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось

    7. Бвойства ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

    8. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

    Если скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚
    ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

    9. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ… ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ скалярного произвСдСния

    10. Базис Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

    11. Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ базисом

    14. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

    17. БмСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

    19. Π Π•Π¨Π•ΠΠ˜Π• ЗАДАЧ

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Найти Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {2; 4; 4}.
    РСшСниС: |a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.
    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ равСнства Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° n Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {1; 2; 4} ΠΈ b = {1; 2; 2n}
    Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.
    РСшСниС:
    ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ равСнство ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
    ax = bx = 1
    ay = by = 2
    az = bz => 4 = 2n => n = 4/2 = 2
    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠΏΡ€ΠΈ n = 2 Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a ΠΈ b Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ . Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {1; 2} Π½Π° 3.
    РСшСниС: 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}.
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π½Π° слоТСниС (Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Найти сумму Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² a = {1; 2} ΠΈ b = {4; 8}.
    РСшСниС: a + b = {1 + 4; 2 + 8} = {5; 10}
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {1; 4; 0} Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ b = {4; 2; 4}.
    РСшСниС:
    НайдСм скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
    a Β· b = 1 Β· 4 + 4 Β· 2 + 0 Β· 4 = 4 + 8 + 0 = 12
    НайдСм ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° b
    |b| = √42 + 22 + 42 = √14 + 4 + 16 = √36 = 6
    НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ b
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния скалярного произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ . Найти скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² a = {1; 2; -5} ΠΈ b = {4; 8; 1}.
    РСшСниС: a Β· b = 1 Β· 4 + 2 Β· 8 + (-5) Β· 1 = 4 + 16 — 5 = 15.
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ . Найти скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² a ΠΈ b, Ссли ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹
    |a| = 3, |b| = 6, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60˚.
    РСшСниС: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
    ВычислСниС ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Найти ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ a = {3; 4; 0} ΠΈ b = {4; 4; 2}.
    РСшСниС: НайдСм скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:
    aΒ·b = 3 Β· 4 + 4 Β· 4 + 0 Β· 2 = 12 + 16 + 0 = 28.
    НайдСм ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:
    |a| = √32 + 42 + 02 = √9 + 16 = √25 = 5
    |b| = √42 + 42 + 22 = √16 + 16 + 4 = √36 = 6
    НайдСм ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ:
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ косинусами Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Найти Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ косинусы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {3; 4}.
    РСшСниС:
    НайдСм ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a:
    |a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5.
    НайдСм Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ косинусы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a:

    22. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ зависимости

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1} Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ
    нСзависимыми.
    Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ систСма ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мноТСство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ
    сущСствуСт Π½Π΅ нулСвая комбинация Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ чисСл x1, x2, x3 Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ линСйная
    комбинация Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² a, b, c Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: -a + b + c = 0, Π°
    это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a, b, c Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ зависимы.
    ΠšΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° n ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {3; 2} ΠΈ b =
    {9; n} ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹.
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. КакиС ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12}
    ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹?
    ΠžΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ . ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {3; -1} ΠΈ b = {7; 5}
    ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.
    РСшСниС:
    НайдСм скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:
    a Β· b = 3 Β· 7 + (-1) Β· 5 = 21 — 5 = 16
    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a ΠΈ b Π½Π΅
    ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹.
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ . Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа n ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {2; 4} ΠΈ b = {n; 1}
    Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹.
    РСшСниС:
    НайдСм скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:
    a Β· b = 2 Β· n + 4 Β· 1 = 2n + 4
    2n + 4 = 0
    2n = -4
    n = -2
    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a ΠΈ b Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ n = -2.
    ВычислСниС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Найти ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° AB, Ссли A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).
    РСшСниС: AB = {3 — 1; 1 — 4; 1 — 5} = {2; -3; -4}.
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Найти ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ B Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° AB = {5; 1; 2}, Ссли ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹
    Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A(3; -4; 3).
    РСшСниС:
    ABx = Bx — Ax => Bx = ABx + Ax => Bx = 5 + 3 = 8
    ABy = By — Ay => By = ABy + Ay => By = 1 + (-4) = -3
    ABz = Bz — Az => Bz = ABz + Az => Bz = 2 + 3 = 5
    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: B(8; -3; 5).
    ВычислСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Найти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² a = {1; 2; 3} ΠΈ b = {2; 1; -2}.
    БмСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Найти смСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² a = {1; 2; 3}, b = {1; 1;
    1}, c = {1; 2; 1}.
    ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹ Π»ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {1; 2; 3}, b = {1; 1;
    1}, c = {1; 2; 1}.

    27. Базис Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

    English Β  Β  Русский ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°

    Бкалярный ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ β€” Math Insight

    Бкалярный ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ β€” Math Insight

    БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

    БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² основано Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{b}$, ΠΈ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ подсчитайтС, какая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ $\vc{a}$ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ $\vc{b}$. Нам Π½ΡƒΠΆΠ½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, которая Π±Ρ‹Π»Π° Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ссли Π±Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… направлСниях, Π½ΡƒΠ»ΡŒ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ пСрпСндикулярны, ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ссли Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… направлСниях. ΠœΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ эти Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

    Но сначала ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° вопрос «сколько $\vc{a}$ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ $\vc{b}$Β» Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ с Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ) $\vc{b}$; ΠΎΠ½ΠΎ основано Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. (Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.) ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° этот вопрос Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ $\vc{b}$, Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ Π΅Π΅ направлСния. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹, Π²Ρ‹Π·Π²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ $\vc{b}$, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½ΡΠ»Π°ΡΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ $\vc{b}$ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ $\vc{b}$. ΠœΡ‹ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ этот Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ $\vc{u}$, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ опрСдСляСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ $$\vc{u} = \frac{\vc{b}}{\|\vc{b}\|}.$$

    БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\vc{a}$ с Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ $\vc{u}$, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ $\vc{a} \cdot \vc{u}$, опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ проСкция $\vc{a}$ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\vc{u}$ ΠΈΠ»ΠΈ количСство, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ $\vc{a}$ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ $\vc{u}$. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{u}$ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ направлСния. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ $\vc{a} \cdot \vc{u}$ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Ρ‚Π΅Π½ΠΈ $\vc{a}$ Π½Π° $\vc{u}$, Ссли ΠΈΡ… хвосты Π±Ρ‹Π»ΠΈ вмСстС ΠΈ солнцС свСтило с направлСния, пСрпСндикулярного $\vc{u}$. ΠžΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с $\vc{a}$ ΠΈ этой Ρ‚Π΅Π½ΡŒΡŽ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ это \begin{gather}\vc{a} \cdot \vc{u} = \|\vc{a}\| \cos\Ρ‚Π΅Ρ‚Π°, \label{dot_product_unit} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{ΡΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ} Π³Π΄Π΅ $\theta$ β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{u}$.

    Если Π±Ρ‹ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{u}$ Π±Ρ‹Π»ΠΈ пСрпСндикулярны, Ρ‚Π΅Π½ΠΈ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΎ соотвСтствуСт ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $\cos\theta = \cos\pi/2=0$ ΠΈ $\vc{a} \cdot \vc{u}=0$. Если Π±Ρ‹ ΡƒΠ³ΠΎΠ» $\theta$ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{u}$ Π±Ρ‹Π» большС, Ρ‡Π΅ΠΌ $\pi/2$, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π»Π° Π±Ρ‹ Π² $\vc{u}$. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² этом случаС $\cos\theta

    Но Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ скалярному ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ $\vc{a}\cdot \vc{b}$, Π³Π΄Π΅ $\vc{b}$ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΎ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\vc{a}\cdot \vc{b}$ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, $\|\vc{a}\|$ ΠΈ $\|\vc{b}\|$, ΠΈ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ симмСтричным ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ $\vc{a}\cdot \vc{b}$ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ проСкция $\vc{a}$ Π½Π° $\vc{b}$; ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ сводился ΠΊ этой ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для случая, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $\vc{b}$ являСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ: просто ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\vc{u}=\frac{\vc{b}}{\|\vc{b}\|}$ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ скалярного произвСдСния уравнСния \eqref{dot_product_unit }. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\vc{a} \cdot \vc{b}$, дСлСнная Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ $\|\vc{b}\|$ $\vc{b}$, являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ $\vc{a}$ Π½Π° $\vc{b}$. $$\frac{\vc{a}\cdot \vc{b}}{\|\vc{b}\|} = \|\vc{a}\| \cos\Ρ‚Π΅Ρ‚Π°.$$ Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Ссли ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° сквозноС Π½Π° $\|\vc{b}\|$, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΉ симмСтричноС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ скалярного произвСдСния $\vc{a} \cdot \vc{b}$. \Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{ΡΠΎΠ±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ} \vc{a}\cdot \vc{b} = \|\vc{a}\| \|\vc{b}\|\cos\Ρ‚Π΅Ρ‚Π°. \ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠ°{dot_product_definition}\Ρ‚Π΅Π³{2} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{ΡΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ}

    Рисунок гСомСтричСской ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ $\vc{a} \cdot \vc{b}$ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ΅ для $\vc{a} \cdot \vc{u}$. Нам просто Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° $\|\vc{b}\|$ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ $\vc{a}$ Π½Π° $\vc{b}$.

    Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ этот Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ скалярного произвСдСния ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΎ зависит ΠΎΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. (Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ зависит ΠΎΡ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ $\|\vc{b}\|$, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° эту Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ.)

    БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ проСкция. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² $\vc{a}$ (синий) ΠΈ $\vc{b}$ (Π·Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ) ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ $\vc{b}$ являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ $ \vc{a}$ Π½Π° $\vc{b}$. Π­Ρ‚Π° проСкция ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ красной Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ хвоста $\vc{b}$ Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρ‹ $\vc{a}$ Π½Π° $\vc{b}$. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{b}$, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‰ΠΈΠ² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‰ΠΈΠ² сами Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ для острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ для Ρ‚ΡƒΠΏΡ‹Ρ…. Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ число Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ $\|\vc{b}\|$ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° эту Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ.

    Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ информация ΠΎΠ± Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅Ρ‚Π΅.

    ГСомСтричСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния \eqref{dot_product_definition} проясняСт свойства скалярного произвСдСния. Из Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сразу Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\vc{a}\cdot\vc{b}$ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ для острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ для Ρ‚ΡƒΠΏΡ‹Ρ…. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ растСт Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ с Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ являСтся ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚. Π΅. $\vc{a} \cdot \vc{b} = \vc{b} \cdot \vc{a}$.

    Однако гСомСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° \eqref{dot_product_definition} Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π° для вычислСния скалярного произвСдСния, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{b}$ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹. Для облСгчСния Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… вычислСний ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ скалярного произвСдСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. ИмСя Π½Π° Ρ€ΡƒΠΊΠ°Ρ… Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ​​формулу, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌ вычислСния скалярного произвСдСния.

    Навигация ΠΏΠΎ нитям
    ВСкторная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°
    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° 2374
    ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ страницы

    V5 ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² | УчСбная лаборатория

    ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

    Π’ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Π Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… измСрСниях ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ осям. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (вмСсто осСй x-y).

    (см. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ)

    Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ (Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅) ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

    БущСствуСт Π΄Π²Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

    1. Бкалярная проСкция

    2. ВСкторная проСкция

    Для скалярной ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ вычисляСм Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ (ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.

    Для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ вычисляСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.

    Часто Π½Π° курсах Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ вас просят Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, пСрпСндикулярныС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. НапримСр, Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\vec{a}\) являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ \(\overrightarrow{F}\) Π² Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π° \(\vec{b}\) являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ \(\overrightarrow{F}\) Π² Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.

    Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² любом Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ.

    Π’ этом ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ скалярныС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    Бкалярная проСкция

    Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ:

    ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \(\overrightarrow{PQ}=\vec{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{PS}=\vec{b}. {2}}\\ & =\sqrt{4+9+1}\\ & =\sqrt{14} \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]

    \[\begin{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} \cos\left(\theta\right) & =\frac{\text{смСТный}}{\text{Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°}}\\ & =\frac{\left|\overrightarrow{PR}\right|}{\left|\vec{a}\right|}. \end{align*}\] ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π΄Π°Π΅Ρ‚, \[\begin{align*} \left|\overrightarrow{PR}\right| & =\left|\vec{a}\right|\cos\left(\theta\right). & \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(1\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ) \end{align*}\] Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… скалярного произвСдСния.22 БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅) Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \[\begin{align*} \vec{a} & =a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}\\ \vec{b} & =b_{1}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+b_{3}\vec{k} \end{align*}\] опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ \[\begin{align*} \vec{a}\cdot\vec{b} & =\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\left(\theta\right) \end{align*}\] ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: \[\begin{align*} \vec{a}\cdot\vec{b} & =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}. \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]

    ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ \[\begin{align*} \vec{a}\cdot\vec{b} & =\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\left(\theta\right) \end{align*}\] ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ \[\begin{align*} \cos\left(\theta\right) & =\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right |}. \end{align*}\]

    ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° этого выраТСния для \(\cos\left(\theta\right)\) Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅\(\left(1\right)\) Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚:

    \[\begin {Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠ²Π½ΡΡ‚ΡŒ*} \left|\overrightarrow{PR}\right| & =\left|\vec{a}\right|\cos\left(\theta\right)\\ \left|\overrightarrow{PR}\right| & =\left|\vec{a}\right|\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b }\справа|}\\ & =\frac{\vec{a}\cdot b}{\left|\vec{b}\right|}\\ & =\vec{a}\cdot\frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}\\ & =\vec{a}\cdot\шляпа{b} \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]

    Π³Π΄Π΅ \(\hat{b}=\frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}\) — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b} \).33 Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\vec{b}\) обозначаСтся \(\hat{b}\) ΠΈ прСдставляСт собой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\vec{b}\), Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ \( \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ|\vec{b}\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ|\). Π­Ρ‚ΠΎ \[\begin{align*} \шляпа{b} & =\frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}. \end{align*}\] Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ β€” это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ исходного Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.


    Бкалярная проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\vec{b}\) опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ: 9{2}}\\ & =\sqrt{25+4+4}\\ & =\sqrt{33} \end{alignat*}\]

    поэтому \[\begin{alignat*}{1} \шляпа{b} & =\frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}\\ & =\frac{(5,-2,2)}{\sqrt{33}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{33}}(5,-2,2) \end{alignat*}\]

    , поэтому скалярная проСкция \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\):

    \[\begin{alignat*}{ 1} \vec{a}\cdot\hat{b} & =(2,3,1)\cdot\frac{(5,-2,2)}{\sqrt{33}}\\ & =\frac{\left(2\times5\right)+\left(3\times\left(-2\right)\right)+\left(1\times2\right)}{\sqrt{33}} \\ & =\frac{10-6+2}{\sqrt{33}}\\ & =\frac{6}{\sqrt{33}}. \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]

    ВСкторная проСкция

    ВСкторная проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\vec{b}\) β€” это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\ ) с Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ \(PR\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\left|\overrightarrow{PR}\right|\), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

    Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, вСкторная проСкция \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\) Π΅ΡΡ‚ΡŒ скалярная проСкция, умноТСнная Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b }\).


    9009{2}}\\ & =\frac{\left(2\times5+3\times\left(-2\right)+1\times2\right)\left(5,-2,2\right)}{33}\\ & =\frac{\left(10-6+2\right)\left(5,-2,2\right)}{33}\\ & = \ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (6 \ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ) \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (5, -2,2 \ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)} {33} \end{alignat*}\]

    ВСкторная проСкция \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\) Ρ€Π°Π²Π½Π°

    \[\begin{alignat*}{1} \frac{6\left(5,-2,2\right)}{33} & =\frac{6}{33}\left(5,-2,2\right)\\ & =\frac{2}{11}\left(5\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\right). \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

    Если \(\vec{a}=(1,-2,2)\) ΠΈ \(\vec{b}=(5,-2,2)\) Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ:

    \( (a)\) Бкалярная проСкция \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\).

    \((b)\) ВСкторная проСкция \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\).

    РСшСниС:

    \((a)\) Бкалярная проСкция \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\) Ρ€Π°Π²Π½Π° \(\vec{a}\cdot\ шляпа{Π±}\).

    Если \[\begin{alignat*}{1} \vec{b} & =(5,-2,2) \end{alignat*}\]

    , Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ \[\begin{alignat*}{1} \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ|\vec{b}\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ| & =\sqrt{33} \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]

    и \[\begin{alignat*}{1} \шляпа{b} & =\frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}\\ & =\frac{\left(5,-2,2\right)}{\sqrt{33}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{33}}\left(5,-2,2\right). \end{alignat*}\]

    ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ \[\begin{alignat*}{1} \vec{a}\cdot\hat{b} & =\left(1,-2,2\right)\cdot\frac{\left(5,-2,2\right)}{\sqrt{33} }\\ & =\ frac{\left(\left(1\times5\right)+\left(\left(-2\right)\times\left(-2\right)\right)+\left(2\times2\ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)}{\sqrt{33}}\\ & = \ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (5 + 4 + 4 \ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)} {\ sqrt {33}} \\ & =\frac{13}{\sqrt{33}}. \end{alignat*}\] Бкалярная проСкция Ρ€Π°Π²Π½Π° \(13/\sqrt{33}.\)

    \((b)\) ВСкторная проСкция \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\) Ρ€Π°Π²Π½Π° \(\left(\vec{a}\cdot\hat {b}\right)\hat{b}\)

    ΠΈΠ· части \((a)\) \[\begin{alignat*}{1} \vec{a}\cdot\hat{b} & =\frac{13}{\sqrt{33}} \end{alignat*}\]

    , Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ вСкторная проСкция \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\) Ρ€Π°Π²Π½Π° \[\begin{alignat*}{1} \left(\vec{a}\cdot\hat{b}\right)\hat{b} & =\left(\frac{13}{\sqrt{33}}\right)\frac{(5,- 2,2)}{\sqrt{33}}\\ & =\frac{13(5,-2,2)}{33}\\ & =\frac{13}{33}(5,-2,2)\\ & =\frac{13}{33}\left(5\шляпа{i}-2\шляпа{j}+2\шляпа{k}\ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ) \end{alignat*}\] ВСкторная проСкция \(\frac{13}{33}(5,-2,2)\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\frac{13}{33}\left(5\hat{ i}-2\шляпа{j}+2\шляпа{k}\ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)\)

    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1

    Для \(\vec{a}=\left(2,3,1\right)\) , \(\vec{b}=\left(5,0,3\right)\) , \(\vec{c}=\left(0,0,3\right)\) ΠΈ \(\vec{d}=\left(-2,2,-1\right)\) Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ:

    1. Бкалярная проСкция \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\).
      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \(\frac{13}{34}\)

    2. ВСкторная проСкция \(\vec{a}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\).
      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \(\frac{13}{34}\left(5,0,3\right)\)

    3. Бкалярная проСкция \(\vec{c}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{b}\).
      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \(\frac{9}{\sqrt{34}}\)

    4. ВСкторная проСкция \(\vec{c}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{a}\).
      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \(\frac{3}{14}\left(2,3,1\right)\)

    5. ВСкторная проСкция \(\vec{d}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{a}\).
      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \(\frac{1}{14}\left(2,3,1\right)\)

    6. ВСкторная проСкция \(\vec{b}\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \(\vec{d}\).
      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \(\frac{-13}{9}\left(-2,2,-1\right)\)

    9{\circ}=0\) ΠΈ см. ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1) Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

    Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ эту страницу: ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² V5 (PDF 150 ΠšΠ‘)

    Π§Ρ‚ΠΎ дальшС… V6 Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° — ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ прямых Π½Π° плоскости

    ΠœΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ прямой A, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ проСцируСтся Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ B ΠΈ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ прямой А, проСцируСмая Π½Π° Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒ плоскости.

    Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ рассмотрСли ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.

    ΠžΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡ плоскости опрСдСляСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈ B, ΠΊΠ°ΠΊ описано здСсь.

    Для этого ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ обозначСния:

    • A || B = ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ A, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ проСцируСтся Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ B, Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… слова Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° плоскости, Π³Π΄Π΅, Ссли Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒ Π² этом Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΠΎΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A.
    • A B = ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ A проСцируСтся Π½Π° Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒ плоскости B.

    ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ:

    • |A| = скалярная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A.
    • ΞΈ = ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ А ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒ ΠΊ плоскости Π’
    • = Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ· А

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ: = А / |А|

    Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ

    Если ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

    A = A || B + A B

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ пСрпСндикулярная ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ. ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

    РасчСт ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ

    Из ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ скалярная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ |А| sin(ΞΈ) ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ вдоль плоскости (пСрпСндикулярной Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈ B).

    Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, сначала возьмСм Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊ A ΠΈ B, это даСтся пСрСкрСстным ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ A x B (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ находится Π·Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ страницы Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ схСмС). Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ возьмСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярный это ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ B, это Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ.

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:

    B Γ— (A Γ— B)

    ΠΈΠ»ΠΈ: (B Γ— A) Γ— B

    Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это, поэтому Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ:

    x

    Из ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π°:

    |A| sin(ΞΈ)

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, проСкция Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ:

    A || Π’ = |А| sin(ΞΈ) Γ—

    Но с этой страницы ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ: Γ— = Π³Ρ€Π΅Ρ… (ΞΈ) Ρ‚Π°ΠΊ:

    А || Π’ = |А| Икс Ρ…

    Π½ΠΎ = А / |А| Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ = Π’ / |Π’|

    Ρ‚Π°ΠΊ:

    А || B = B Γ— (AΓ—B / |B|) / |B

    РасчСт пСрпСндикулярной ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ

    |Из Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ скалярная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° пСрпСндикулярной ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ |А| cos(ΞΈ) ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° B. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ |A| ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ (ΞΈ) Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ вдоль B, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ B/|B|

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€:

    A B = |A| ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ (ΞΈ) * Π’/|Π’|

    ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ это, ΠΈΠ· этого страницы ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

    AB = |A| |Π‘| cos(ΞΈ)

    Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, объСдинСниС этих ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ‚:

    A B = AB * B/|B| 2

    ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π° с использованиСм ΠšΠ»ΠΈΡ„Ρ„ΠΎΡ€Π΄Π° ΠΈΠ»ΠΈ гСомСтричСской Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

    Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ ΠšΠ»ΠΈΡ„Ρ„ΠΎΡ€Π΄Π΅/гСомСтричСской Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ см. здСсь. Π’ гСомСтричСской Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ прСдставлСны Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

    Π’ этом случаС:

    • A являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ
    • B β€” Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ)

    Π’Π½Π΅ΡˆΠ½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

    Π­ΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π² гСомСтричСской Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΎΠ½ΠΎ увСличиваСтся Π΄ΠΎ стСпСни ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Π½Π΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

    • скаляр Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ = Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€
    • Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ = Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€
    • Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ = Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

    Π’Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚

    Π­Ρ‚ΠΎ эквивалСнт скалярного произвСдСния Π² гСомСтричСской Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, Π½ΠΎ Π½Π΅ ограничиваСтся ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΎΠ½ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π΄ΠΎ стСпСни ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Π½Π΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

    • Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ = скаляр
    • Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ = Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€
    • Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ = Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ внСшниС ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹ симмСтричны ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

    Для ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½Π° линию Ρƒ нас Π±Ρ‹Π»ΠΎ:

    • А || Π’ = АВ / Π’
    • А Π’ = (А Π‘) / Π‘

    Π’ этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ уравнСния, Π½ΠΎ B Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ прСдставлСн ΠΏΠΎ Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ.

    ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π° с использованиСм ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ прСдставлСния

    (Моя исходная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° находится Π½Π° этой страницС Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠšΡΠ°Π²ΡŒΠ΅Ρ€ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π» Π½Π° нСсоотвСтствия)

    Начиная с ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

    ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ = A || B = B Γ— (A Γ— B) / |B|Β²

    пСрпСндикулярная ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° =A B = AB * B / |B|Β²

    Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эти уравнСния ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ эквивалСнты пСрСкрСстноС ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅:

    Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, ΠΊΠ°ΠΊ описано Π½Π° этой страницС:

    Б×А = [~B][A] =
    0 -Π‘Π· По
    Π‘Π· 0 -Π‘Ρ…
    -По Π‘Ρ… 0
    Π’ΠΎΠΏΠΎΡ€
    Ай
    Аз

    Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ скалярным (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ 1Γ—1, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Π½Π° транспонированиС B ΠΈΠ»ΠΈ просто ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Π½Π° скалярный ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ: (Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz)

    BA =
    Π‘Ρ… По Π‘Π·
    Π’ΠΎΠΏΠΎΡ€
    Ай
    Аз
    пСрпСндикулярная ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вычислим ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Π΅ условия для пСрпСндикулярной ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ:

    A B = AB * B / |B|Β² =
    Π‘Ρ… * (Ах * Π‘Ρ… + Ау * Π’ΠΈ + Аз * Π‘Π·)
    /(BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²)
    По * (Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz)
    /(BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²)
    Π‘Π· * (Ах * Π‘Ρ… + Ау * Π‘Ρ‹ + Аз * Π‘Π·)
    /(BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²)

    ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ B Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ (BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²=1), ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ A ΠΈ B Π΄Π°Π΅Ρ‚:

    A B =
    BxΒ² Π‘Ρ…*По Π‘Ρ…*Π‘Π·
    По*Π’Ρ… К² По*Π‘Π·
    Π‘Π·*Π‘Ρ… Π‘Π·*По Π‘Π·Β²
    Π’ΠΎΠΏΠΎΡ€
    Ай
    Аз
    ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚

    ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†:

    А || B = B Γ— (A Γ— B) / |B|Β²

    ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π½Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚, Ρ‚. Π΅. ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ порядка ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Π½Π΄ΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

    A || B = — B Γ— (B Γ— A) / |B|Β²

    ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ этого уравнСния Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с использованиСм кососиммСтричной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ описано Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Π΄Π°Π΅Ρ‚:

    A || B = — [~B][~B][A] / |B|Β²

    Π’Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ²:

    A || Π’ = —
    0 -Π‘Π· По
    Π‘Π· 0 -Π‘Ρ…
    -По Π‘Ρ… 0
    0 -Π‘Π· По
    Π‘Π· 0 -Π‘Ρ…
    -По Π‘Ρ… 0
    Π’ΠΎΠΏΠΎΡ€
    Ай
    Аз
    /(BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²)

    ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ B Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ (BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²=1), ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² косой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π΄Π°Π΅Ρ‚:

    A || Π’ = —
    -BzΒ² — ByΒ² Π‘Ρ…*По Π‘Ρ…*Π‘Π·
    По*Π’Ρ… -BzΒ² — BxΒ² По*Π‘Π·
    Π‘Π·*Π‘Ρ… Π‘Π·*По -BxΒ² — ByΒ²
    Π’ΠΎΠΏΠΎΡ€
    Ай
    Аз

    Π’Π²ΠΎΠ΄ Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ‘-‘ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π°Π΅Ρ‚:

    A || Π’ =
    Π‘Π·Β² + Π‘Π°ΠΉΒ² -Bx*By -Π‘Ρ…*Π‘Π·
    -By*Bx BzΒ² + BxΒ² -By*Bz
    -Π‘Π·*Π‘Ρ… -Π‘Π·*По Π‘Ρ…Β² + Π’Ρ…Β²
    Π’ΠΎΠΏΠΎΡ€
    Ай
    Аз

    , снова ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ (BxΒ² + ByΒ² + BzΒ²=1) ΠΏΠΎ Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ:

    A || Π’ =
    1 — BxΒ² -Bx*By -Π‘Ρ…*Π‘Π·
    -By*Bx 1 — По² -By*Bz
    -Π‘Π·*Π‘Ρ… -Π‘Π·*По 1 — Π‘Π·Β²
    Π’ΠΎΠΏΠΎΡ€
    Ай
    Аз
    ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°

    ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрпСндикулярная ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ исходный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ A, Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами:

    А = А || B + A B

    ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:

    A || Π‘ + А Π‘
    1 — BxΒ² + BxΒ² -Bx*By + Bx*By -Π‘Ρ…*Π‘Π·+Π‘Ρ…*Π‘Π·
    -By*Bx+By*Bx 1 — ByΒ² + ByΒ² -By*Bz+By*Bz
    -Bz*Bx + Bz*Bx -Bz*By+Bz*By 1 — Π‘Π·Β²+ Π‘Π·Β²
    Π’ΠΎΠΏΠΎΡ€
    Ай
    Аз

    Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ‚:

    A || Π‘ + А Π‘
    1 0 0
    0 1 0
    0 0 1
    Π’ΠΎΠΏΠΎΡ€
    Ай
    Аз

    Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ B сводится ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ [I], ΠΈ Ρƒ нас остаСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ A, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π°ΠΌ ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½.

    Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

    Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *