Найти произведения матриц: Онлайн калькулятор. Умножение матриц

05.3. Произведение матриц. Многочлены от матриц

 

Произведение определяется для квадратных матриц одного и того же порядка, а также для прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы множимого равно числу строк матрицы множителя.

Произведением матрицыНа матрицуНазывается та

Кая матрица, для которой

(5.6)

Т. е. элементМатрицы равен — сумме произведений элементов ?-й строки матрицыНа соответствующие элементыСтолбца матрицыМатрица ИмеетСтрок (как и матрица) ИСтолбцов (как и матрица). Произведение матрицыНа матрицуОбозначается

Замечание. Из того, что матрицуМожно умножить на, не следует, что матрицу В можно умножать наОбщем случаеБелиТо

Матрицы А и В называются перестановочными или коммутативными.

При умножении матриц единичная матрица Е играет роль единицы, а нулевая матрица— роль нуля, так как

Умножение матриц обладает следующими свойствами. Если имеют смысл соответствующие действия, то выполняются равенства:

Где- любое действительное число.

Отметим, что, где штрихом обозначена матрица, транспо

Нированная данной.

Целой положительной степеньюКвадратной матрицыНазывается

ПроизкДение к матриц, каждая из которых равна, т. е.. Мат

РицаИмеет тот же порядок, что и матрица. Нулевой степенью квадратной матрицыНазывается единичная матрица того же порядка, что и, т. е.

Первой степеньюМатрицыНазывается сама матрица, т. е. Многочленом (или полиномом) степени(-> целое неотрицательное число) от квадратной матрицыНазывается выражение вида

Где- любые числа, причемОбозначим многочлен от

МатрицыЧерез, тогда по определению

(5.7)

Из определения следует, что многочлен от матрицы можно получить, если в обычный многочленВместоПодставить

Квадратную матрицу (и учесть, что).

Пусть дан многочлен, ЕслиЯвляется нулевой матрицей, т. е.

То матрицаНазывается корнем многочлена, а многочлен

— аннулирующим многочленом для матрицы..

Пример 5.3. Найти произведение,ИМатриц

Обе матрицы являются квадратными матрицамиодного и того же порядка (второго), поэтому можно получить произведенияИПрименяя формулу

(5. 6) для случаяПолучаем

Отметим, чтоТ. е. результат умножения зависит от порядка множителей.

Пример S.4. Даны две матрицы

Найти произведение. Можно ли получить произведение?

Число столбцов матрицыРавно числу строк матрицы(ширина матрицы равна высоте матрицы), поэтому произведениеОпределено. Умножая строку матрицыНа столбец матрицы, по формуле (5.6) получаем

ПроизведениеНе определено, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы.

Пример 5.5. Найти многочлен, еслиИ

В соответствии с определением многочлена от матрицы (см. формулу (5.7)) получаемИли

< Предыдущая		Следующая >

матрицы — Произведение матриц Python

Задать вопрос

Вопрос задан 4 месяца назад

Изменён 4 месяца назад

Просмотрен 151 раз

Заданы две целочисленные матрицы A и B. Матрица A состоит из N строк и M столбцов, Матрица B состоит из M строк и P столбцов. Требуется вычислить произведение данных матриц AB. Входные данные Первая строка входного файла INPUT.TXT содержит три натуральных числа N, M и P. Далее следует описание матриц A и B. Матрица A состоит из N строк по M целых чисел. Матрица B состоит из M строк по P чисел. Матрицы отделены друг от друга пустой строкой. Все числа во входных данных не превышают 100 по абсолютной величине. Выходные данные В выходной файл OUTPUT.TXT выведите матрицу, полученную в результате произведения A

B.

---

Мой код:

n, m, p = map(int, input().split())
X = [list(map(int, input().split())) for i in range(n)]
input()
Y = [list(map(int, input().split())) for j in range(m)]
result = [[sum(a * b for a, b in zip(X_row, Y_col)) for Y_col in zip(*Y)] for X_row in X]
for i in range(m):
    for j in range(p):
        print(result[i][j], end=' ')
    print()

---

Тестовые данные для ввода: размерности 2 2 3

Матрица А

2 3

-1 4

Матрица Б

2 -3 4

3 1 0

Вывод:

13 -3 8

10 7 -4

Не могу найти решение для матриц разного размера, 2х2 на 2х3

• python
• матрицы

6

При перемножении матриц указанных размеров получается матрица n x p.
Так что достаточно исправить при выводе

for i in range(n):

и код будет работать с любыми размерами

Если не использовать никаких питоновских штучек, кроме задания результирующей матрицы (так что циклы будут выглядеть так же в большинстве языков):

c = [[0]*p for _ in range(n)]
for i in range(n):
    for j in range(p):
        for k in range(m):
            c[i][j] += X[i][k] * Y[k][j]

4

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

k$ как линейную комбинацию столбцов $A$. 2$ или $2$-го столбца $C$, и следуйте подходу, данному здесь, чтобы выразить как линейную комбинацию $A$. 92$ является вторым сроком.

У меня возникает соблазн (из-за отсутствия ясности из-за обобщенных терминов) рассмотреть практический пример двух линейно независимых векторов $A,B$ с заданными размерностями. Взяв пример на основе фактического значения для $A,B$, получим:

$A = \begin{bmatrix} 2 и 3 и 4\\ 5 и 6 и 7 \\ \end{bmatrix} $, $B = \begin{bmatrix} 1 и 2\\ 3 и 4\\ 5 и 6 \end{bmatrix} $, $AB = \begin{bmatrix} 2\х 1 + 3\х 3 + 4\х 5 и 2\х 2 + 3\х 4 + 4\х 6\\ 5\х 1 + 6\х 3 + 7\х 5 и 5\х 2 + 6\х 4 + 7\х 6\\ \end{bmatrix}$ $AB = \begin{bmatrix} 2 + 93b_{32} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ 5\\ \end{bmatrix}\cdot 2 + \begin{bmatrix} 3\\ 6\ \end{bmatrix}\cdot 4 + \begin{bmatrix} 4\\ 7\\ \end{bmatrix}\cdot 6 $.

Хотя я ничего не знаю, но следуйте подсказке, данной здесь, в mse, даже несмотря на то, что выбранная мной матрица $A$ не приведет к единичной ($I$) матрице (

, поскольку форма $rref$ работает для прямоугольных матриц. Но , он будет «только» создавать запись в первой строке (слева направо, по строкам) как $1$).
Тем не менее, следует найти $rref$ форму расширенной матрицы $[A|AB]$, заданную как : $[A|AB] = \begin{массив}{ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13}&a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + а_{12}b_{22} + а_{13}b_{32}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + а_{12}b_{22} + а_{13}b_{32}\\ \end{массив} $
, что для рассматриваемого примера:
$[A|AB] = \begin{array}{ccc|cc} 2 и 3 и 4 и 31 и 40\\ 5 и 6 и 7 и 58 и 76\\ \end{массив}\подразумевает \begin{массив}{ccc|cc} 2 и 3 и 4 и 31 и 40\\ 0 и -1,5 и -3 и -19,5 и -24\\ \end{массив}\подразумевает \begin{массив}{ccc|cc} 2 и 0 и -2 и -7 и -16\\ 0 и -1,5 и -3 и -19,5 и -24\\ \end{массив}\подразумевает \begin{массив}{ccc|cc} 1 и 0 и -1 и -7/2 и -8\\ 0 и 1 и 2 и 13 и 36\\ \end{массив}$ 92$ правильно как линейную комбинацию $A$,
(iii) как узнать коэффициенты, исходящие из матрицы $B$.

Матричный продукт и ранг

Марко Табога, доктор философии

В этой лекции обсуждаются некоторые факты о матричные продукты и их классифицировать. В частности, мы анализируем, при каких условиях ранг матрицы перемножаются сохраняется.

Содержание

1. Привязка к рангу продукта

2. Умножение на полноценную квадратную матричную консервов Рейнг

3. Продукт двух полных квадратных матриц-полноценная

4. Грамовые матрицы

5. Упражнения по решанию

   2. Упражнения по решанию

      2. Упражнения по решанию

         2. Упражнения по решанию

            2. Упражнения по рельсу

               2. .

            Привязка к рангу товара

            Следующее предложение дает оценку ранга произведения двух матрицы.

            Предложение Позволять быть матрица и ан матрица. Затем

            Доказательство

            Пробел охватывают колонны это пространство всех векторов который можно записать как линейный комбинации столбцов :куда это вектор коэффициентов линейной комбинации. Мы также можем написатьгде является вектор (будучи произведением матрица и вектор). Таким образом, любой вектор может быть записана как линейная комбинация столбцов , с коэффициентами, взятыми из вектора . Как следствие, пространство не больше размаха столбцов , чья размерность . Это означает, что размерность меньше или равно . Поскольку размерность ранг , мы есть сейчас, пространство, затянутое рядами это пространство всех векторов которые можно записать в виде линейных комбинаций строк :куда это вектор коэффициентов линейной комбинации. Мы также можем написатьгде это вектор (будучи произведением вектор и матрица).

            Таким образом, любой вектор можно представить в виде линейной комбинации строк , с коэффициентами, взятыми из вектора . Как следствие, пространство не больше размаха рядов , чья размерность . Это означает, что размерность меньше или равно . Поскольку размерность ранг , мы есть два неравенства удовлетворен, если и только если

            Умножение на квадратную матрицу полного ранга сохраняет ранг

            Другим важным фактом является то, что ранг матрицы не меняется, когда мы умножить на полноранговую матрицу.

            Предложение Позволять быть матрица и площадь матрица. Если полноценный, затем

            Доказательство

            Помните, что ранг матрицы измерение линейного пространства, охватываемого его столбцами (или строками). Мы собираемся доказать, что ранги и равны, так как пространства, порожденные их столбцами, совпадают. Обозначим через пространство, образованное колоннами . Любой вектор может быть записана как линейная комбинация столбцов :куда это вектор коэффициентов линейной комбинации. С полноранговый и квадратный, он имеет линейно независимый столбцы, которые охватывают пространство всех векторов (они эквивалентны каноническая основа). Следовательно, существует вектор такой чтотаким образом мы только что доказали, что любой вектор может быть записана как линейная комбинация столбцов . Кроме того, колонны не генерировать никаких векторов . Чтобы убедиться в этом, заметим, что для любого вектора коэффициентов , если тогда так что . Таким образом, мы доказали, что пространство, натянутое на столбцы и который охватывает колонны совпадают. Как следствие, и их размеры (которые по определению равные по званию и ) совпадают.

            Предложение Позволять быть матрица и площадь матрица. Если полноценный, то

            Доказательство

            Доказательство этого предложения почти аналогично предыдущему предложению. Оставлено в качестве упражнения (см. приведенное ниже упражнение с его решением).

            Произведение двух квадратных матриц полного ранга равно полному

            Непосредственным следствием двух предыдущих утверждений является то, что произведение две полноранговые квадратные матрицы являются полноранговыми.

            Предложение Позволять и быть двумя матрицы полного ранга. Затем их продукция и являются полноценными.

            Доказательство

            Будучи полноранговыми, обе матрицы имеют ранг . Таким образом, по двум предыдущим предложенияНо и находятся , так они полноценные.

            Матрицы Грамма

            Приведем теперь очень полезный результат о произведении неквадрата. матрица и ее транспонирование.

            Предложение Позволять быть полноранговая матрица с . Затем продукт является полноценным.

            Доказательство

            Пусть быть пространством всех векторы. Предположим, что существует ненулевой вектор такой чтотогда илигде обозначает -й вход в вектор столбца . Это возможно, только если за , то есть только если какой невозможно, потому что является полноранговым, в нем меньше столбцов, чем строк, и, следовательно, его столбцы линейно независимы. Таким образом, единственный вектор, который даетис , что означает, что столбцы линейно независимы и является полноценным.

            Матрица называется матрицей Грама.

            Решенные упражнения

            Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

            Упражнение 1

            Позволять быть матрица и полный ранг матрица. Докажите, что если полноценный, затем

            Решение

            Имейте в виду, что ранг матрицы размер пространства, генерируемого его строками. Мы собираемся доказать, что пространства, образованные строками и совпадают, так что они тривиально имеют одинаковую размерность, а ранги две матрицы равны. Обозначим через пространство, затянутое рядами . Любой представляет собой линейную комбинацию строк :куда это вектор коэффициентов линейной комбинации. С полноценный, он имеет линейно независимые строки, охватывающие пространство всех векторы. Как следствие, существует вектор такой что таким образом это означает, что любой представляет собой линейную комбинацию строк . Более того, ряды не генерировать никаких векторов : для любого вектора коэффициентов , если тогда так что .

            No related posts.