|
Ответы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука
Пользуйтесь нашим приложением
| 1 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм x | |
| 2 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма x по x | |
| 3 | Trovare la Derivata — d/dx | e^x | |
| 4 | Вычислим интеграл | интеграл e^(2x) по x | |
| 5 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/x | |
| 6 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2 | |
| 7 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^2) | |
| 8 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(x)^2 | |
| 9 | Trovare la Derivata — d/dx | sec(x) | |
| 10 | Вычислим интеграл | интеграл e^x по x | |
| 11 | Вычислим интеграл | интеграл x^2 по x | |
| 12 | Вычислим интеграл | интеграл квадратного корня из x по x | |
| 13 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(x)^2 | |
| 14 | Вычислим интеграл | интеграл 1/x по x | |
| 15 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x)^2 по x | |
| 16 | Trovare la Derivata — d/dx | x^3 | |
| 17 | Trovare la Derivata — d/dx | sec(x)^2 | |
| 18 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x)^2 по x | |
| 19 | Вычислим интеграл | интеграл sec(x)^2 по x | |
| 20 | Trovare la Derivata — d/dx | e^(x^2) | |
| 21 | Вычислим интеграл | интеграл в пределах от 0 до 1 кубический корень из 1+7x по x | |
| 22 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(2x) | |
| 23 | Trovare la Derivata — d/dx | tan(x)^2 | |
| 24 | Вычислим интеграл | интеграл 1/(x^2) по x | |
| 25 | Trovare la Derivata — d/dx | 2^x | |
| 26 | График | натуральный логарифм a | |
| 27 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(2x) | |
| 28 | Trovare la Derivata — d/dx | xe^x | |
| 29 | Вычислим интеграл | интеграл 2x по x | |
| 30 | Trovare la Derivata — d/dx | ( натуральный логарифм от x)^2 | |
| 31 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм (x)^2 | |
| 32 | Trovare la Derivata — d/dx | 3x^2 | |
| 33 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(2x) по x | |
| 34 | Trovare la Derivata — d/dx | 2e^x | |
| 35 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 2x | |
| 36 | Trovare la Derivata — d/dx | -sin(x) | |
| 37 | Trovare la Derivata — d/dx | 4x^2-x+5 | |
| 38 | Trovare la Derivata — d/dx | y=16 корень четвертой степени из 4x^4+4 | |
| 39 | Trovare la Derivata — d/dx | 2x^2 | |
| 40 | Вычислим интеграл | интеграл e^(3x) по x | |
| 41 | Вычислим интеграл | интеграл cos(2x) по x | |
| 42 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/( квадратный корень из x) | |
| 43 | Вычислим интеграл | интеграл e^(x^2) по x | |
| 44 | Вычислить | e^infinity | |
| 45 | Trovare la Derivata — d/dx | x/2 | |
| 46 | Trovare la Derivata — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(3x) | |
| 48 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^3) | |
| 49 | Вычислим интеграл | интеграл tan(x)^2 по x | |
| 50 | Вычислим интеграл | интеграл 1 по x | |
| 51 | Trovare la Derivata — d/dx | x^x | |
| 52 | Trovare la Derivata — d/dx | x натуральный логарифм от x | |
| 53 | Trovare la Derivata — d/dx | x^4 | |
| 54 | Оценить предел | предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3 | |
| 55 | Вычислим интеграл | интеграл x^2 натуральный логарифм x по x | |
| 56 | Trovare la Derivata — d/dx | f(x) = square root of x | |
| 57 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2sin(x) | |
| 58 | Вычислим интеграл | интеграл sin(2x) по x | |
| 59 | Trovare la Derivata — d/dx | 3e^x | |
| 60 | Вычислим интеграл | интеграл xe^x по x | |
| 61 | Trovare la Derivata — d/dx | y=x^2 | |
| 62 | Trovare la Derivata — d/dx | квадратный корень из x^2+1 | |
| 63 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(x^2) | |
| 64 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-2x) по x | |
| 65 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма квадратного корня из x по x | |
| 66 | Trovare la Derivata — d/dx | e^2 | |
| 67 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2+1 | |
| 68 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x) по x | |
| 69 | Trovare la Derivata — d/dx | arcsin(x) | |
| 70 | Оценить предел | предел (sin(x))/x, если x стремится к 0 | |
| 71 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x) по x | |
| 72 | Trovare la Derivata — d/dx | x^5 | |
| 73 | Trovare la Derivata — d/dx | 2/x | |
| 74 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 3x | |
| 75 | Trovare la Derivata — d/dx | x^(1/2) | |
| 76 | Trovare la Derivata — d/[email protected] | f(x) = square root of x | |
| 77 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(x^2) | |
| 78 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^5) | |
| 79 | Trovare la Derivata — d/dx | кубический корень из x^2 | |
| 80 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x) по x | |
| 81 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x^2) по x | |
| 82 | Trovare la Derivata — d/[email protected] | f(x)=x^3 | |
| 83 | Вычислим интеграл | интеграл 4x^2+7 в пределах от 0 до 10 по x | |
| 84 | Вычислим интеграл | интеграл ( натуральный логарифм x)^2 по x | |
| 85 | Trovare la Derivata — d/dx | логарифм x | |
| 86 | Trovare la Derivata — d/dx | arctan(x) | |
| 87 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 5x | |
| 88 | Trovare la Derivata — d/dx | 5e^x | |
| 89 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(3x) | |
| 90 | Вычислим интеграл | интеграл x^3 по x | |
| 91 | Вычислим интеграл | интеграл x^2e^x по x | |
| 92 | Trovare la Derivata — d/dx | 16 корень четвертой степени из 4x^4+4 | |
| 93 | Trovare la Derivata — d/dx | x/(e^x) | |
| 94 | Оценить предел | предел arctan(e^x), если x стремится к 3 | |
| 95 | Вычислим интеграл | интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x | |
| 96 | Trovare la Derivata — d/dx | 3^x | |
| 97 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(x^2) по x | |
| 98 | Trovare la Derivata — d/dx | 2sin(x) | |
| 99 | Вычислить | sec(0)^2 | |
| 100 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм x^2 |
— производная функции синуса, когда аргумент измеряется в градусах
Это раздражало меня, когда я пересматривал этот материал много лет спустя, и мне пришлось преподавать этот материал кому-то другому, поэтому я публикую ответ здесь.
(Другой ответ вполне приемлем, но я хотел дать более полное изложение.)
Теперь вот что: вам нужно найти производную от $\sin(\theta)$, когда $\theta$ находится в градусов. На первый взгляд это кажется простым: это должно быть просто $\cos(\theta)$. Однако этот ответ неверен, потому что вы обнаружили, что $\sin(\theta)$ имеет производную $\cos(\theta)$ в предположении, что $\theta$ измеряется в радиан , а не в градусах.
Вот как вы должны подойти к проблеме.
Обратите внимание, что $\sin(\theta)$, когда $\theta$ выражено в градусах или когда $\theta$ выражено в радианах, дает два разных значения. Таким образом, , на самом деле, для этой задачи запись $\sin(\theta)$ сама по себе неоднозначна, потому что неясно, выражается ли $\theta$ в градусах или в радианах. (Однако для остальных ваших исследований вы, вероятно, примете форму в радианах.)
На данный момент предположим, что $\sin_d(\theta)$ обозначает $\sin(\theta)$, когда $\theta$ измеряется в градусах, а $\sin_r(\theta)$ обозначает $\sin(\theta)$, когда $\theta$ измеряется в радианах.
Мы применяем аналогичный смысл для $\cos_d$ и $\cos_r$.
Мотивация для этого на первый взгляд кажется запутанной: зачем нам это нужно? Это потому, что когда мы вычисляем $\sin(\theta)$ в зависимости от того, выражается ли $\theta$ в градусах или радианах, мы принципиально работаем с двумя разными функциями . Предполагая, что нас интересует только стандартный единичный круг, когда $\theta$ выражается в градусах, домен равен $[0, 360)$. Когда $\theta$ выражено в радианах, домен равен $[0, 2\pi)$. Вот почему мы используем $\sin_d$ и $\sin_r$ для этих двух разных случаев.
Теперь вернемся к проблеме: вас просят найти $$\dfrac{\text{d}}{\text{d}\theta}\sin_d(\theta)\text{.}$$ Вы знаете за то, что $$\dfrac{\text{d}}{\text{d}\theta}\sin_r(\theta) = \cos_r(\theta)\text{.}$$ Итак, теперь проблема сводится к следующему: как мы можем записать $\sin_d$ в терминах $\sin_r$, чтобы мы могли применить цепное правило для нахождения $\dfrac{\text{d}}{\text{d }\тета}\sin_d(\тета)$?
Напомним, что $\pi$ радиан составляет $180$ градусов.
Итак, если у нас есть угол, равный $\theta$ градусам, отсюда следует, что эквивалентный угол в радианах равен $\dfrac{\theta}{180}\pi$. Следует, что
$$\sin_d(\theta)=\sin_r\left(\dfrac{\theta}{180}\pi \right)\text{.}$$
Следовательно,
$$\dfrac{\text{d}}{\text{d}\theta}\sin_d(\theta) = \dfrac{\text{d}}{\text{d}\theta }\sin_r\left(\dfrac{\theta}{180}\pi \right) = \dfrac{\pi}{180}\cos_r\left(\dfrac{\pi}{180}\theta \right)$ $ из применения цепного правила.
Наконец, обратите внимание, что угол $\dfrac{\pi}{180}\theta$ указан в радианах. Эквивалентная градусная мера будет $$\dfrac{\pi}{180}\theta \cdot \dfrac{180}{\pi} = \theta$$ следовательно, $$\dfrac{\pi}{180}\cos_r\left(\dfrac{\pi}{180}\theta \right) = \dfrac{\pi}{180}\cos_d(\theta)$$ и тогда мы получаем $$\dfrac{\text{d}}{\text{d}\theta}\sin_d(\theta) = \dfrac{\pi}{180}\cos_d(\theta)$$ по желанию.
Примечание : Это упражнение по тексту Стюарта. Я бы не ожидал, что типичный студент, изучающий исчисление I, сможет выполнить это упражнение, учитывая, что очень мало времени (по моему опыту) тратится на функции и учитывая странные обозначения (это выглядело бы странно для студента, изучающего исчисление I — помните).
, большинство из этих людей даже не читали пруфы). Как вы можете догадаться, хотя эта задача и интересна, учитывая то, как это упражнение обычно пишется и реализуется в курсах по математическому анализу, я не фанат. Следует уделять больше времени размышлениям о функциях, чем обычно для Calc. Я, конечно, должен поставить эту задачу в качестве упражнения.
Численные методы дифференцирования в Python
Мы наблюдаем интенсивное использование численных методов в различных современных областях науки и техники.
Почему? Широкий спектр прикладных задач может быть решен с помощью методов расчета, основанных на математических принципах с использованием цифровых величин, в отличие от аналитических и символьных методов.
Например, при решении инженерных задач относительно часто используется вычисление производной функции.
В науке о данных все так же. Часто входные значения функций задаются в виде пары аргумент-значение, что в больших массивах данных может потребовать значительных объемов данных для обработки.
К счастью, многие проблемы гораздо проще решить, если использовать производную функции, что помогает в различных областях, таких как экономика, обработка изображений, маркетинговый анализ и т. д.
Вычисление производных часто используется при анализе данных. Например, при нахождении оптимума значений функций. Вычисление производной также используется для градиентных методов при обучении нейронных сетей.
В этом посте мы рассмотрим, как можно вычислить значение производной с помощью численных методов в Python.
Принцип численного дифференцирования
Численное дифференцирование основано на аппроксимации функции, производная которой берется интерполяционным полиномом. Все основные формулы для численного дифференцирования можно получить с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона.
Общая формула для расчета производной:
Здесь коэффициенты aj и b зависят от степени n используемого интерполяционного полинома, т.
е. от требуемой точности. Коэффициенты до 5-го порядка можно представить в виде таблицы:
Формулу численного дифференцирования функции в точке легко получить, подставив нужные значения коэффициентов.
Например, метод Эйлера, простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, будет выглядеть так
Графически метод Эйлера можно представить следующим образом: Затем зададим значение функции в виде пар x, y с шагом 0,01 для диапазона x от 0 до 4.
Мы собираемся использовать производную scipy для вычисления первой производной функции. Пожалуйста, не пишите свой собственный код для вычисления производной функции, пока не узнаете, зачем он вам нужен. Scipy обеспечивает быструю реализацию численных методов, предварительно скомпилирован и протестирован во многих случаях использования.
импорт numpy импортировать matplotlib.pyplot как plt защита f(x): вернуть х * х х = numpy.arange (0,4,0,01) у = е (х) plt.figure(figsize=(10,5)) plt.plot (х, у, 'б') plt.grid (ось = 'оба') plt.show()
Теперь возьмем функцию из библиотеки scipy.misc и вычислим значение производной в точке x = 1. Установим шаг вывода метода равным 0,001.
Чтобы получить дополнительную информацию о scipy.misc.derivative, обратитесь к этому руководству. Он позволяет вычислять производную первого порядка, производную второго порядка и так далее. Он принимает функции в качестве входных данных, и эта функция может быть представлена как функция Python. Также можно указать параметр «spacing» dx, который даст вам возможность установить шаг производных интервалов.
# https://docs.scipy.org/doc/scipy-0.18.0/reference/generated/scipy.misc.derivative.html # из производного импорта scipy.misc d = производная (f, 1,0, dx=1e-3) печать (г) 1.9999999999998352
Кроме того, вы можете использовать библиотеку numpy для вычисления всех значений производных в диапазоне x = 0.
импортировать numpy как np dy = np.градиент (y) dx = np.градиент (х) д = дх/дх г массив([0,01, 0,02, 0,04, 0,06, 0,08, 0,1, 0,12, 0,14, 0,16, 0,18, 0,2, 0,22, 0,24, 0,26, 0,28, 0,3, 0,32, 0,34, 0,36, 0,38, 0,4, 0,42, 0,44, 0,46, 0,48, 0,5, 0,52, 0,54, 0,56, 0,58, 0,6, 0,62, 0,64, ... 7,26, 7,28, 7,3, 7,32, 7,34, 7,36, 7,38, 7,4, 7,42, 7,44, 7,46, 7,48, 7,5, 7,52, 7,54, 7,56, 7,58, 7,6, 7,62, 7,64, 7,66, 7,68, 7,7, 7,72, 7,74, 7,76, 7,78, 7,8, 7,82, 7,84, 7,86, 7,88, 7,9, 7.92, 7.94, 7.96, 7.97])
Вы также можете использовать эту опцию, чтобы получить немного более точный результат, чем предыдущая опция.
импортировать numpy как np np.градиент (у, х) массив([0,01, 0,02, 0,04, 0,06, 0,08, 0,1, 0,12, 0,14, 0,16, 0,18, 0,2, 0,22, 0,24, 0,26, 0,28, 0,3, 0,32, 0,34, 0,36, 0,38, 0,4, 0,42, 0,44, 0,46, 0,48, 0,5, 0,52, 0,54, 0,56, 0,58, 0,6, 0,62, 0,64, ... 7,26, 7,28, 7,3, 7,32, 7,34, 7,36, 7,38, 7,4, 7,42, 7,44, 7,46, 7,48, 7,5, 7,52, 7,54, 7,56, 7,58, 7,6, 7,62, 7,64, 7,66, 7,68, 7,7, 7,72, 7,74, 7,76, 7,78, 7,8, 7,82, 7,84, 7,86, 7,88, 7,9, 7.92, 7.94, 7.96, 7.98, 7.99])
Если посмотреть на график производной функции, то получится следующий вид.
Оценка погрешности с помощью аналитической формы дифференциала
Оценку погрешности для вычисления числового значения производной можно выполнить, вычислив формулу для производной аналитическим способом и подставив значение в нужной точке.
Например, для рассматриваемой нами в данном примере функции можно аналитически вычислить формулу следующим образом:
y = x2
y ‘ = 2 x
Тогда в точке x = 4 вы получите значение производной 8. Численные методы, полученные ранее, дали результаты 7,97 и 7,99, что связано с аппроксимацией производная.
Расчетное значение с использованием вышеуказанных методов может отличаться примерно на 0,01.
В чем причина этого несоответствия?
Во-первых, вам нужно выбрать правильное значение выборки для функции. Чем меньше шаг, тем точнее будет вычисленное значение.
Во-вторых, необходимо выбрать порядок функции интегрирования, аналогичный степени многочлена дифференцируемой функции.
Также необходимо учитывать область абсолютной устойчивости для данных методов численного дифференцирования. Например, обратный и прямой методы Эйлера могут показывать разные области устойчивости, т. е. необходимо иметь небольшой шаг дифференцирования. Дополнительную информацию можно найти здесь.
Помимо scipy-дифференциации, вы также можете использовать аналитическую дифференциацию в Python. Пакет SymPy позволяет выполнять расчеты аналитической формы производной. В некоторых случаях вам нужно иметь аналитическую формулу для производной функции, чтобы получить более точные результаты. Символьные формы расчета могут быть медленными для некоторых функций, но в процессе исследования бывают случаи, когда аналитические формы дают преимущество по сравнению с численными методами.