Вычисление производных функций в Python — заметки Джошуа Боуэна
В машинном обучении производные используются для решения задач оптимизации. Алгоритмы оптимизации, такие как градиентный спуск, используют производные, чтобы решить, следует ли увеличивать или уменьшать веса, чтобы все ближе и ближе приближаться к максимуму или минимуму функции. В этом посте рассказывается, как эти функции используются в Python.
Символическое дифференцирование манипулирует заданным уравнением, используя различные правила, для получения производной этого уравнения. Если вы знаете уравнение, из которого хотите получить производную, вы можете выполнить символьное дифференцирование в Python. Давайте используем это уравнение в качестве примера:
f(x) = 2x 2 +5
Импорт SymPy
Для символьного дифференцирования нам понадобится библиотека SymPy. SymPy — это библиотека Python для символьной математики. Он призван стать полнофункциональной системой компьютерной алгебры (CAS).
Сначала импортируйте SymPy:
из sympy import *
Создайте символ
Переменные не определяются автоматически в SymPy. Их необходимо определить явно, используя символов . символов берет строку имен переменных, разделенных пробелами или запятыми, и создает из них символы. Символ — это просто термин SymPy для переменной.
В нашем примере функция f(x) = 2x 2 +5 имеет одну переменную x , поэтому давайте создадим для нее переменную:
x = символы ('x') Если уравнение Работая с несколькими переменными, вы можете определить их все в одной строке:
x, y, z = symbols('x y z') Символы можно использовать для создания символических выражений в коде Python.
>>> х**2 + у х 2 +у >>> х**2 + грех(у) x 2 +sin(y)
Напишите символическое выражение
Итак, используя только что определенный символ x , давайте создадим символическое выражение на Python для нашего примера функции f(x) = 2x 2 +5 :
f = 2*x**2+5
Возьмем производную
Теперь, наконец, возьмем производную функции.
Для вычисления производных используйте
х = символы ('х')
ф = 2*х**2+5
df = diff(f, x) Вывод для f и df должен выглядеть следующим образом:
>>> f 2*х**2+5 >>> дф 4*x
Вы можете получить n-ю производную, добавив необязательный третий аргумент, количество раз, которое вы хотите дифференцировать. Например, взяв 3-ю производную:
d3fd3x = diff(f, x, 3)
Подстановка значений в выражения
Итак, мы можем создавать символьные функции и вычислять их производные, но как мы используем эти функции? Нам нужно иметь возможность подставить значение в эти уравнения и получить решение.
Мы можем подставлять значения в символьные уравнения, используя метод subs . Метод subs заменяет все экземпляры переменной заданным значением.
subs возвращает новое выражение; он не изменяет исходный. Здесь мы подставляем 4 вместо переменной x в df :>>> df.subs(x, 4) 16
Чтобы преобразовать числовое выражение в число с плавающей запятой, используйте evalf .
>>> df.subs(x, 4).evalf() 16.0
Чтобы выполнить несколько замен одновременно, передайте список из (старый, новый) пар подпрограммам . Вот пример:
>>> expr = x**3 + 4*x*y - z >>> expr.subs([(x, 2), (y, 4), (z, 0)]) 40
Функция lambdify
Если вы оцениваете выражение только в одной или двух точках, subs и evalf работают хорошо. Но если вы собираетесь оценивать выражение во многих точках, вам следует преобразовать выражение SymPy в числовое выражение, что дает вам больше возможностей для вычисления выражений, в том числе с использованием других библиотек, таких как NumPy и SciPy.
Самый простой способ преобразовать символьное выражение в числовое — использовать функцию lambdify .