Найти производную примеры с решением: Как найти производную функции, примеры решения

определение, как найти, примеры решений Решение производной дроби

При нахождении производной суммы дробей со степенями и корнями во избежание распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:

• применяя формулу дифференцирования произведения и частного, чётко определять разницу между константой, производная которой равна нулю, и постоянным множителем, который просто выносится за знак производной;
• необходимо уверенно пользоваться знаниями из школьного курса по действиям со степенями и корнями, например, что происходит с показателями степени, когда умножаются степени с одинаковыми основаниями;
• что происходит со знаками, когда у производной слагаемого знак противоположен знаку самого слагаемого.

Пример 1. Найти производную функции

.

.

Здесь двойка перед иксом — постоянный множитель, поэтому его просто вынесли за знак производной.

Собираем всё вместе:

.

Если требуется в окончательном решении получить выражение с корнями, то преобразуем степени в корни и получаем искомую производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

.

Здесь первая двойка в числителе промежуточного выражения была константой, её производная равна нулю.

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Здесь применяли знания из школьного курса о действиях с дробями , их преобразовании и сокращении.

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных первого и третьего слагаемых противоположны знакам слагаемых в исходном выражении:

.

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Находим производную второго слагаемого:

Производная третьего слагаемого — константы 1/2 — равна нулю (бывает, что студенты упорно пытаются найти отличную от нуля производную константы).

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной второго слагаемого противоположен знаку слагаемого в исходном выражении:

Пример 4. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных второго и третьего слагаемых — минусы:

.

Пример 5. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого.

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Происхождение дифференциального исчисления вызвано необходимостью решать определенные физические задачи. Предполагается, что человек, обладающий дифференциальным исчислением, может брать производные от разных функций. Умеете ли вы брать производную от функции, выраженной дробью?

Инструкция

1. Любая дробь имеет числитель и знаменатель. В процессе нахождения производной от дроби понадобится находить отдельно производную числителя и производную знаменателя.

2. Дабы обнаружить производную от дроби , производную числителя домножьте на знаменатель. Вычтите из полученного выражения производную знаменателя, помноженную на числитель. Итог поделите на знаменатель в квадрате.

3. Пример 1’ = / cos? (x) = / cos? (x) = / cos? (x) = 1 / cos? (x).

4. Полученный итог является ничем другим, как табличным значением производной функции тангенса. Оно и внятно, чай отношение синуса к косинусу и есть, по определению, тангенс. Выходит,tg (x) = ’ = 1 / cos? (x).

5. Пример 2[(x? — 1) / 6x]’ = [(2x · 6x — 6 · x?) / 6?] = / 36 = 6x? / 36 = x? / 6.

6. Частным случаем дроби является такая дробь, у которой в знаменателе единица.

(-2) = -1 / x?.

Обратите внимание!
Дробь может содержать в своем составе еще несколько дробей. В таком случае комфортнее находить вначале отдельно производные «первичных» дробей.

Полезный совет
Когда вы ищите производные знаменателя и числителя, применяйте правила дифференцирования: суммы, произведения, трудных функций. Пригодно удерживать в голове производные простейших табличных функций: линейной, показательной, степенной, логарифмической, тригонометрических и т.д.

Основные правила дифференцирования. Сумма.

Выведем несколько правил вычисления производных, В этом пункте значения функций u и v и их производных в точке х 0 обозначаются для краткости так: u(х 0) = u, v(х 0) = v, u»(х 0) = u», v»(х 0)=v`. Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0 , то их сумма дифференцируема в этой точке и

(u+v)» = u» + v» .

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных . 1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке: Δ(u+v) = u (х 0 +Δx)+ v(х 0 +Δx) – (u(х 0)+v(х 0)) = (u(х 0 +Δx)-u(х 0)) + (v(х 0 +Δx)-v(х 0)) = Δu + Δv 2)

3) Функции u и v дифференцируемы в точке х 0 , т. е. при Δх→0

при Δх→0 (см. правило 3, а) предельного перехода ), т. е. (u+v)» = u»+v’

Основные правила дифференцирования. Произведение.

Если функции и и v дифференцируемы в точке х 0 , то их произведение дифференцируемо в этой точке и

(uv)» = u»v+uv» .

1) Найдем сначала приращение произведения:

Δ(uv) = u(х 0 +Δx)v(х 0 +Δx)-u(х 0)v(х 0)=(u(х 0)+ Δu)(v(х 0)+ Δv)-u(х 0)v(х 0) =

U(х 0)v(х 0)+ Δuv(х 0)+u(х 0) Δv+ΔuΔv-u(х 0)v(х 0)= Δuv(х 0)+u(х 0) Δv+ΔuΔv

3) В силу дифференцируемости функций u и v в точке х 0 при Δx→0 имеем

т. е. (uv)» = u»v+uv», что и требовалось доказать. Следствие. Если функция u дифференцируема в х 0 , а С — постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и

(Сu)» = Сu» .

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной . Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным из пункта о производной , фактом С» = 0:

(Сu)» = Сu» + С»u = Cu» + 0⋅u = Cu».

Пример.

Продифференцировать функцию .

Решение.

В данном примере . Применяем правило производной произведения:

Обращаемся к таблице производных основных элементарных функций и получаем ответ:

Основные правила дифференцирования. Частное

Если функции u и v дифференцируемы в точке x 0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо в x 0 и

Выведем сначала формулу

1) найдем приращение функции 1/v:

2) Отсюда

3) При Δx→0 имеем Δv/Δx→v’ (в силу дифференцируемости v в точке x 0), Δv→0 (по доказанной лемме ). Поэтому

Теперь, пользуясь правилом нахождения производной произведения функций, находим производную частного:

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и 2x+1 . Применим правило дифференцирования дроби:

Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

Производная сложной функции.

Если функция f имеет производную в точке х 0 , а функция g имеет производную в точке y 0 =f(x 0 )y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х 0 , причем

h’(x 0 ) = g’(f(x 0 )) f’(x 0 ) (1)

Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что

при Δx→0. Введем обозначения:

Δy = f(x 0 +Δx)-f(x 0)= Δf

Тогда Δh = h(х 0 + Δх) — h(x 0) = g(f(x 0 +Δx)) — g(f(x 0)) = g(y 0 + Δy) — g(y 0) = Δg. Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x 0 . Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х 0 . Тогда

при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x 0) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y 0) при Δy→0, что выполнено при Δx→0.

Пример.НА ВСЯКИЙ СЛУЧАЙ!! ! ! !!! http://www.mathelp.spb.ru/book1/proizvodnaya.htm

Производная обратной функции.

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к , а ее производная вычисляется по формуле .

Найти производную обратной тригонометрической функции y = arcsinx. Обратная функция x = siny и , по формуле для обратной функции .

Найдем функции y = arctgx. Обратная функция x = tgy,

Производная суммы, производная разности.

Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.

Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных

Пример.

Найти производную функции

Решение.

Упростим вид исходной функции

Используем правило производной суммы (разности):

В предыдущем пункте мы доказали, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому

Осталось воспользоваться таблицей производных:

Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) . Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X .

По определению производной

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и 2x+1 . Применим правило дифференцирования дроби:

Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

В заключении, давайте соберем все правила в одном примере.

Пример.

Найти производную функции , где a – положительное действительное число.

Решение.

А теперь по порядку.

Первое слагаемое .

Второе слагаемое

Третье слагаемое

Собираем все вместе:

4.Вопрос.Производные Основных элементарных функций.

Задание. Найти производную функции

Решение. Используем правила дифференцирования и таблицу производных:

Ответ.

5.Вопрос.Производная сложной функции примеры

Все примеры этого раздела опираются на таблицу производных и теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:

Пусть 1) функция u=φ(x) имеет в некоторой точке x0 производную u′x=φ′(x0), 2) функция y=f(u) имеет в соответствующей точке u0=φ(x0) производную y′u=f′(u). Тогда сложная функция y=f(φ(x)) в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций f(u) и φ(x):

(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)

или, в более короткой записи: y′x=y′u⋅u′x.

В примерах этого раздела все функции имеют вид y=f(x) (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной x). Соответственно, во всех примерах производная y′ берётся по переменной x. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной x, часто вместо y′ пишут y′x.

В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.

Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.

Пример №1

Найти производную функции y=ecosx.

Решение

Нам нужно найти производную сложной функции y′. Так как y=ecosx, то y′=(ecosx)′. Чтобы найти производную (ecosx)′ используем формулу №6 из таблицы производных. Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае u=cosx. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения cosx вместо u:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1.1)

Теперь нужно найти значение выражения (cosx)′. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя u=x в формулу №10, имеем: (cosx)′=−sinx⋅x′. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)

Так как x′=1, то продолжим равенство (1.2):

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1.3)

Итак, из равенства (1.3) имеем: y′=−sinx⋅ecosx. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, – как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.

Ответ : y′=−sinx⋅ecosx.

Пример №2

Найти производную функции y=9⋅arctg12(4⋅lnx).

Решение

Нам необходимо вычислить производную y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′(2.1)

Теперь обратимся к выражению (arctg12(4⋅lnx))′. Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: ((arctg(4⋅lnx))12)′. Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. В эту формулу подставим u=arctg(4⋅lnx) и α=12:

Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′(2.2)

Примечание: показать\скрыть

Теперь нужно найти (arctg(4⋅lnx))′. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё u=4⋅lnx:

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′

Немного упростим полученное выражение, учитывая (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′

Равенство (2.2) теперь станет таким:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2. 3)

Осталось найти (4⋅lnx)′. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Для того, чтобы найти (lnx)′ используем формулу №8, подставив в нее u=x: (lnx)′=1x⋅x′. Так как x′=1, то (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅4⋅1x=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, – как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.

Ответ : y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Пример №3

Найти y′ функции y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Решение

Для начала немного преобразим функцию y, выразив радикал (корень) в виде степени: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Теперь приступим к нахождению производной. Так как y=(sin(5⋅9x))37, то:

y′=((sin(5⋅9x))37)′(3.1)

Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё u=sin(5⋅9x) и α=37:

((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))37−1(sin(5⋅9x))′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′

Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′(3.2)

Теперь нужно найти (sin(5⋅9x))′. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё u=5⋅9x:

(sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′

Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3.3)

Осталось найти (5⋅9x)′. Для начала вынесем константу (число 5) за знак производной, т.е. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Для нахождения производной (9x)′ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё a=9 и u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Так как x′=1, то (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Теперь можно продолжить равенство (3. 3):

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.

Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав (sin(5⋅9x))−47 в виде 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7. Тогда производная будет записана в такой форме:

y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Ответ : y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Пример №4

Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.

Решение

В формуле №2 таблицы производных записана производная функции uα. Подставляя α=−1 в формулу №2, получим:

(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)

Так как u−1=1u и u−2=1u2, то равенство (4.1) можно переписать так: (1u)′=−1u2⋅u′. Это и есть формула №3 таблицы производных.

Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё α=12:

(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4. 2)

Так как u12=u−−√ и u−12=1u12=1u−−√, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:

(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′

Полученное равенство (u−−√)′=12u−−√⋅u′ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения α.

Пример №5

Найти y′, если y=arcsin2x.

Решение

Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах.

Ответ : y′=2xln21−22x−−−−−−√.

Пример №6

Найти y′, если y=7⋅lnsin3x.

Решение

Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции укажем без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением.

Ответ : y′=21⋅ctgx.

Пример №7

Найти y′, если y=9tg4(log5(2⋅cosx)).

Решение

6 Вопрос. Производная обратной функции примеры.

Производная обратной функции

Формула

Известно свойство степеней, что

Используя производную степенной функции:

производных правил | нул

В исчислении производную можно рассматривать как мгновенную скорость изменения; то есть, насколько количество изменяется в данной точке. Давайте подробнее рассмотрим, как мы можем легко дифференцировать функцию, используя некоторые полезные правила.

Дифференциация — это метод вычисления скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной x. Эта скорость изменения называется производной y по x. Существует множество различных обозначений для обозначения «взять производную от». Связь между y и x обычно обозначается f(x), а ее производная обычно обозначается как f'(x) или y’ или dy/dx. Определение производной дано:

 

— длительная процедура, используемая для оценки производной функции. К счастью, были разработаны более простые методы, помогающие быстрее оценивать деривативы.

Степенное правило

Если n — любое действительное число, то d _{(x ⁿ )   =} n x ^{n-1 9001 .
DX
Также помните, что производные константы равны нулю: d (c) = 0.
DX}

Обратите внимание, что правило суммы и разности:

(просто примените правило мощности к каждому члену в функции в отдельности).

Пример: Найдите производную

Решение:

Сначала перепишите функцию так, чтобы все переменные x имеют показатель степени в числителе:

Теперь применим правило степени к функции:

Наконец, упростим вашу производную:

Правило произведения

Мы уже знаем, как найти

производная суммы или разности функций, а произведение двух функций? Произведение двух функций — это когда две функции перемножаются. Если f и g оба дифференцируемы, то правило произведения гласит:

Пример: Найдите производную h(x) = (3x + 1)(8x ⁴ +5x).

Решение:

Используя приведенную выше формулу, пусть f(x) = (3x+1) и пусть g(x) = (8x ⁴ + 5x).

Теперь найдите

Наконец, примените правило произведения, используя приведенную выше формулу:

Правило отношения ). Если

F и g оба являются дифференцируемыми, то тогда коэффициенты правила:

Пример: Найдите производную

Решение:

Использование вышеуказанной формы, пусть f (x) = =

. (3x-4) и пусть g(x) = (2x ² -1).

Теперь найдите

Наконец, примените правило отношения, используя приведенную выше формулу: (g(x)), то F дифференцируема и к F ‘ можно применить цепное правило, которое определяется как F ‘(x) = f ‘(g(x))g ‘(x)

Пример: Найдите производную F(x) = (3x ⁴ + 2x ² -7) ⁵ .

Решение:

Используя приведенную выше формулу, пусть g(x) = (3x ⁴ + 2x ² — 7) и пусть f(x) = (x) ⁵ .

Теперь найдите f ‘(x) и g ‘(x):  f ‘(x) = 5x ⁴ и g ‘(x) = 12x ³ + 4x — 0

Итак, если f ‘( x) = 5x ⁴ , тогда составная функция f ‘(g(x)) = 5(3x ⁴ + 2x ² — 7) ⁴

Наконец, примените цепное правило, используя приведенную выше формулу: F ‘(x) = f ‘(g(x))g ‘(x)

F ‘(x) )  = 5(3x ⁴ + 2x ^2  -7) ^4  (12x ^3  + 4x)

Найти производные радикальных функций

Чтобы найти производную радикальных функций, сначала запишите знак радикала как показатель степени и найдите производную, используя цепное правило.

Пример:

f(x) = √x

f(x) = x ^1/2

Найдите производную по x.

f'(x) = (1/2)x ^1/2-1 (x’)

f'(x) = (1/2)x ^-1/2 (1)

= (1/2)(1/x ^1/2 )

= (1/2)(1/√x)

= 1/(2√x)

Основываясь на приведенном выше примере, мы можем вывести формулу для производной радикальной функции.

Пусть f(x) = √z. Тогда производная f(x):

Найдите производную следующих радикальных функций по x:

Пример 1:

y = √(x + 2)

Решение:

y = √(x + 2) )

y’ = {1/[2√(x + 2)]}(x + 2)’

y’ = {1/[2√(x + 2)]}(1)

y ‘ = 1/[2√(x + 2)]

Пример 2:

y = √(2x — 1)

Решение:

y = √(2x — 2)

y’ = {1/[2√(2x — 1)]}(2x — 1)’

y’ = {1/[2√ (2x — 1)]}(2)

y’ = 1/√(2x — 1)

Пример 3:

y = √(3x ²  + 5)

Решение:

y 9000√ (3x ²  + 5)

y’ = {1/[2√(3x ²  + 5)]}(3x ²  + 5)’

y’ = {1/[2√ (3x ²  + 5)]}(6x)

= 3x/√(3x ²  + 5)

Пример 4 :

y = √(2x ⁴  + 2x — 1)

Решение :

y = √(2x ⁴  + 2x — 1)

90[0/2′ 2′  + 2x — 1)]}(2x ⁴  + 2x — 1)’

y’ = {1/[2√(2x ⁴  + 2x — 1)]}(8x ³  + 2)

= (4x ³ + 1)/(√2x ⁴ + 2x — 1)

Пример 5:

y = (x ³ + 2x) √x

Решение:

y. = (х ³  + 2х)√х

Поскольку два члена x перемножаются, мы должны использовать правило произведения, чтобы найти производную.

Пусть u = х 3 + 2х. u’ = 3x 2 + 2(1)   = 3x 2 + 2

Пусть v = √x. v’ = 1/2 √x

Правило произведения:

(uv)’ = uv’ + u’v

y’ = (x ³ + 2x)(1/2√x) + (3x ²  + 2)√x

= (x ³ /2√x   + 2x/2√x) 7 + 3x 26 √x + 2√x

= (1/2)x ^(3-1/2)   + x ^{(1 — 1/2)}  + 3x ^{( 2 + 1/2)} + 2√x

= (1/2)x ^5/2   + x ^1/2  + 3x ^5/2  + 2√x

= [(1/2) + 3 x ^5/2   + √x + 2√x

  = (7/2)x ^5/2   + 3√x

Пример 6:

y = (√x + 2x)/x ² — 1

Решение:

y = (√x + 2x)/x ²  — 1

3 у нас есть переменная x как в числителе, так и в знаменателе.