Найти производную x корень из x: Производная корня из х, sqrt(x)’

2

Содержание

3 корень 3 степени из х производная

Вы искали 3 корень 3 степени из х производная? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и x корень x производная, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «3 корень 3 степени из х производная».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 3 корень 3 степени из х производная,x корень x производная,как найти производную корня,корень x производная,корень из x производная,корень из икс производная,корень из х производная,корень кубический из х производная,корень производная,корень х производная,кубический корень из х производная,найти производную x корень из x,под корнем производная,производная x корень x,производная из квадратного корня,производная из корень из икс,производная из корня,производная из корня 3 степени,производная из корня 3 степени из х,производная из корня из 3,производная из корня квадратного,производная из корня х,производная из кубического корня из х,производная из х в степени корень из х,производная квадратного корня,производная квадратного корня из,производная корень,производная корень x,производная корень из x,производная корень из икс,производная корень из х,производная корень из х в степени корень из х,производная корень из х в степени х,производная корень из х в степени х в,производная корень кубический из х,производная корень х,производная корней,производная корня,производная корня 3 степени,производная корня 4 степени,производная корня из 3 степени,производная корня из x,производная корня из х,производная корня из х 3 степени,производная корня квадратного,производная корня кубического,производная корня кубического из x,производная кубический корень из х,производная кубического корня,производная кубического корня из x,производная от x корень из x,производная от квадратного корня,производная от корень из x,производная от корня,производная от корня 3 степени,производная от корня из х,производная от корня квадратного,производная от корня кубического,производная от корня кубического из х,производная от кубического корня,производная от кубического корня из х,производная под корнем,производная с корнем,производная х в степени корень из х,производная х корень,производные с корнями,х под корнем производная,чему равна производная корня из х.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 3 корень 3 степени из х производная. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как найти производную корня).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 3 корень 3 степени из х производная Онлайн?

Решить задачу 3 корень 3 степени из х производная вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Как найти производную корня

В задачах по математическому анализу иногда требуется найти производную корня. (-⅔).

Продифференцировав все корни, внимательно посмотрите на остальные части примера. Если в ответе у вас получилось очень громоздкое выражение, то наверняка его можно упростить. Большинство школьных примеров составлено таким образом, чтобы в итоге получилось небольшое число или компактное выражение.

Во многих задачах на нахождение производной, корни (квадратные и кубические) встречаются вместе с другими функциями. Чтобы найти производную корня в этом случае, применяйте следующие правила:

• производная константы (постоянного числа, C) равняется нулю: C' = 0;
• постоянный множитель выносится за знак производной: (k*f)' = k * (f)' (f – произвольная функция) ;
• производная суммы нескольких функций равняется сумме производных: (f + g)' = (f)' + (g)';
• производная произведения двух функций равняется… нет, не произведению производных, а следующему выражению: (fg)' = (f)'g + f (g)';
• производная частного также равняется не частному производных, а находится согласно следующего правила: (f/g)' = ((f)'g – f(g)') / g².

Производная показательно-степенной функции | Математика

Мы рассмотрели общую схему нахождения производной показательно-степенной функции. Производная показательно-степенной функции вычисляется достаточно легко. Рассмотрим конкретные примеры.

Найти производную показательно-степенной функции:

 

   

Это показательно-степенная функция, поскольку и основание, и показатель степени содержат переменную x.

Действуем по схеме: сначала логарифмируем обе части по основанию e:

   

Показатель степени выносим за знак логарифма:

   

Теперь дифференцируем обе части равенства, с учетом того, что y=y(x), а значит, lny — сложная функция:

   

   

   

Обе части равенства умножаем на y:

   

Вспоминаем, что по условию y — это x  в степени sinx, и подставляем это выражение вместо y:

   

   

Действуем по схеме:

   

   

   

   

Здесь ln(2x+3) — сложная функция, внешняя функция f=lnu. внутренняя u=2x+3:

   

Умножаем обе части равенства на y:

   

Теперь подставляем в  вместо y его выражение из условия:

   

   

Логарифмируем обе части по основанию e:

   

Показатель степени выносим за знак логарифма:

   

Теперь дифференцируем обе части равенства:

   

   

√(7-x) сложная функция, внешняя функция f=√u, внутренняя u=7-x:

   

   

Теперь обе части умножаем на y:

   

И в заверщении, заменяем y на соответствующее выражение из условия: 

   

Примеры для самопроверки: найти производную показательно-степенной функции:

   

   

   

Показать решение

   

   

   

   

   

Здесь ln(sinx) — сложная функция. f=lnu — внешняя функция, u=sinx — внутренняя:

   

   

   

Умножаем обе части равенства на y:

   

и заменяем y выражением из условия: 

   

   

   

   

   

Здесь ln(arcsinx) — сложная функция. Внешняя функция f=lnu, внутренняя u=arcsinx: 

   

   

   

Теперь умножаем обе части равенства на y: 

   

И заменяем y на выражение из условия:

   

   

   

   

   

   

   

   

Теперь умножаем обе части равенства на y:

   

И заменяем y на его выражение из условия: 

   

система управления знаниями (инженерия, математика)

Для кого

Система управления техническими знаниями (СУТЗ) позволяет собирать, конструировать, хранить и извлекать знания из базы знаний (БЗ) в формате микрокурсов. В первую очередь решение адресовано корпоративным заказчикам, для которых нематериальные активы (интеллектуальный капитал и профессиональные инженерные и научные компетенция кадров) имеют ключевое значение. Система способна представлять техническую информацию в супер-лаконичном виде за счет применения атомарного контента в базе знаний и ее "ручной" систематизации нашими экспертами. С одной стороны, это позволяет на основе поискового запроса клиента динамически формировать микрокурсы по интересующей его теме. С другой стороны, наличие собственной библиотеки контента (видео, текст, расчеты, библиография и т.д.) дает возможность клиенту оформлять и хранить собственные структурированные знания, добавляя пользовательский контент в свою локальную базу знаний (для КОРП версии). Важно, что неявные знания и экспертиза, которые находятся в головах сотрудников (даже без создания новых материальных продуктов - отчетов, CAD моделей, математических расчетов и т.д.), трудно поддаются систематизации и оформлению в виде отчужденных знаний.

Наш сервис позволяет управлять именно такими знаниями, предлагая в качестве основы систематизированную общеизвестную техническую информацию, облегчающую формализацию знаний сотрудников и сохранение интеллектуального капитала компании. Из теории инженерии знаний известно, что знания не рождаются сами по себе, они появляются в результате трансформации одних элементов информационного пространства в другие. Мы предлагаем не только и не столько систему менеджмента знаний, но в первую очередь - структурированную, нормализованную и лаконичную базу общеупотребительного математического, инженерного и научного контента, которая постоянно пополняется и улучшается при помощи наших экспертизы. СУТЗ по умолчанию содержит документы с "живыми" расчетами в среде Mathcad. Немаловажно, что Mathcad имеет бесплатную версию, которую можно использовать как среду расчетов для 50-60% документов базы знаний и как просмотровщик расчетов для 100% документов.

Описание технологии

Предположим, потребитель (инженер, студент, музыкант и т.д.) хочет разобраться в основах спектров и начинает искать курс по Фурье-анализу. Скорее всего, он отыщет нужную информацию в курсах по мат.анализу, а при недостатке базовых знаний, будет вынужден обращаться и к предыдущим курсам по математике.

Вероятно, потребителю придется самому отфильтровывать нужную информацию, двигаясь в обратном направлении, т. е. от сложного – к простому. Это и неэффективно в смысле освоения материала, и приводит к потерям времени. Гораздо более привлекательным выглядел бы вариант курса, сразу очищенного от «лишних» тем. В нашем примере, важные, но для данного конкретного случая необязательные темы, такие, как дифференциалы, пределы, первообразные и правило Лопиталя и т.п., вполне могут быть исключены из траектории обучения, минимальную структуру которой можно описать примерно так:

Конечно, может встать закономерный вопрос «как же пользователь будет разбираться с определенным интегралом, если ему «не нужны первообразные»?». Однако в данном случае, ему будет упрощенно объяснено понятие определенного интеграл через соответствующую площадь под графиком кривой и Риманову сумму. Ведь в данной постановке задачи строгое объяснение не является необходимым, а на практике, для вычисления спектров, интегралы считаются все равно численно, как раз через площадь. Для реализации динамического формирования микрокурсов нужен, во-первых, контент иного типа («нормализованный») и, во-вторых, соответствующая система управления этим контентом (базой знаний). Именно эту задачу и решает наш сервис. Более подробно о технологии написано в блоге проекта.

Быстрый старт

Для быстрого знакомства с системой используйте три демонстрационных примера. Оставьте в поле поиска слово "демо" и просто нажмите красную кнопку

Найти. В результате, под полем поиска появятся три ссылки - результаты поиска тем по заготовленному слову "демо". Поочередно нажмите каждую из кнопок и работайте с микрокурсами - списками видео, заметок, расчетов и т.д., извлеченных из базы знаний.

При каждом нажатии соответствующая тема будет открываться в виде динамического микрокурса - списка видеороликов, заметок, расчетов или внешних вики-ссылок, извлеченных из базы знаний. Некоторые будут снабжаться короткими пояснениями и дополнительными математическими расчетами (в формате PDF). Зеленым фоном выделяется ключевая статья из базы знаний, а желтым - ссылки на дополнительную информацию: библиографические, на внешние онлайн-курсы, вебинары и т. д. Три демо-темы демонстрируют разные опции системы: 1. пример динамического курса по Фурье-преобразованию, принцип формирования которого вы найдете в описании системы УТЗ, 2. пример пользовательских знаний (расчетов по ГОСТ) и 3. демо дополнительного функционала системы (вывода картинок в оглавлении микрокурса).

Для того, чтобы сформировать микрокурсы по другим темам, используйте поиск или выбор темы из иерархического списка база знаний.

Идея и разработка: Дмитрий Кирьянов.

Формула Эйлера - это... Что такое Формула Эйлера?

Геометрический смысл формулы Эйлера

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство:

,

где  — основание натурального логарифма,

 — мнимая единица.

История

Формула Эйлера впервые была приведена в книге «Гармония мер» английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора. Котс открыл формулу около 1714 года и выразил её в логарифмической форме:

.

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя (см. Г. Вессель).

Производные формулы

При помощи формулы Эйлера можно определить функции и следующим образом:

,
.

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть , тогда:

,
.

Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

является частным случаем формулы Эйлера при .

Применение в комплексном анализе

Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: .

Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: , . Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа в степень его расстояние до центра возводится в степень , а угол поворота относительно оси увеличивается в раз.

Формула возведения в степень верна не только для целых , но и для вещественных. В частности, комплексная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа, что и используется при доказательстве основной теоремы алгебры: «Многочлен степени имеет ровно комплексных корней».

Взаимосвязь с тригонометрией

Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путем сложения или вычитания формул Эйлера :

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения, результат выражения остается вещественным. Например:

Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например:

Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).

Доказательство

Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием рядов Тейлора. Разложим функцию в ряд Тейлора по степеням . Получим:

Но

Поэтому

ч. т. д.

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь ,.

См. также

Литература

ЕГЭ. Русский язык. ШПАРГАЛКА – подсказка. ВСЕ ТРУДНЫЕ СЛУЧАИ в одном месте.Задания № 2, 4,7,9,15.

Шпаргалка — подсказка.

Данная шпаргалка поможет при выполнении заданий № 2,4,6,7,9,15.

Здесь собраны примеры трудных случаев, слов, которые нужно запомнить.

Почаще читайте данную книжку-шпаргалку, запоминайте слова.

Задание № 2.
НАРЕЧИЯ.
Часто подходят в заданиях следующие наречия.

Зачем.

Затем.

Отчего.

Оттого.

Почему.

Потому.

Посему.

Поэтому.

Наречий очень много: сейчас, здесь, тут, там, сегодня завтра и др.

 

Задание: найти частицу и местоименное наречие (пример: именно+ поэтому).

 

Местоименные наречия указывают на место, время, способ действия и пр. или спрашивают о них.

Указательные там, туда, оттуда, сюда, здесь, так, тогда, потому, поэтому, затем
Определительные всегда, иногда, везде, всюду, повсюду
Вопросительно-относительные как, где, куда, откуда, когда, почему, зачем, отчего
Неопределённые как-то, как-нибудь, кое-как, где-то, где-либо, где-нибудь, кое-где, когда-то, когда-нибудь, когда-либо, зачем-то, почему-то
Отрицательные никак, нигде, негде, ниоткуда, неоткуда, никуда, некуда, никогда, некогда, незачем
Сочинительные союзы.
И ,а, но, однако, тоже ,также, или, либо.

Да=и, да= но.

 

Иногда в задании необходимо подобрать сочинительный союз определённого разряда. Приведём их здесь.

Соединительные: и, да=и, ни-ни, тоже, также.

Противительные: а, но, зато, однако, да=но.

Разделительные: или, либо, не то-не то, то-то.

Подчинительные союзы.
Как, чтобы, что, будто.
Когда, как, как только, между тем как, лишь, лишь только, едва лишь, пока.
Ибо, потому что, оттого что, так как, из-за того что, благодаря тому что, вследствие того что, в связи с тем что
Чтобы (чтоб), дабы, для того чтобы, с тем чтобы
Если, если бы, ежели, ежели бы, коли (коль), когда, когда бы, раз
Хотя (хоть), хотя бы, пусть, даром что, несмотря на то что, невзирая на то что
Как, как бы, как будто, будто, будто бы, словно, словно как, точно
Так что.
Вводные слова.
Различные чувства говорящего в связи с сообщением:

к счастью, к несчастью, к радости, к ужасу, к сожалению и др.

Оценка степени реальности сообщения (уверенность, возможность, неуверенность):

конечно, несомненно, вероятно, может быть, кажется и др.

Источник сообщения:

говорят, сообщают, по словам, по-моему, по мнению и др.

Связь мыслей, последовательность изложения:

итак, следовательно, во-первых, наконец, между прочим, …

Оформление высказываемых мыслей:

одним словом, вообще, иначе говоря, так сказать и др.

Привлечение внимания:

видишь (ли), понимаешь, пожалуйста, скажем, допустим и др.

Указывают на степень обычности того, о чем говорится: бывает, бывало, как водится, как всегда, по обыкновению, по обычаю, случается, случалось.

 

Внимание!

 

Вводных слов очень много, приведены лишь наиболее распространённые.

 

Запомните слова, которые НЕ являются вводными.

авось, будто, буквально; вдобавок, вдруг, ведь, в конечном счете, вряд ли, вроде бы, всё-таки, даже, едва ли, исключительно, именно, как будто (будто), как бы, как раз, к тому же, между тем, небось, по постановлению (чьему), по решению (чьему), почти, приблизительно, примерно, просто, решительно, якобы.

Частицы.
Отрицательные: не, ни, вовсе не, отнюдь не, далеко не.

Вопросительные: неужели, разве, ли, ль.

Указательные: вон, вот, это.

Уточняющие: именно, как раз, прямо, точно, точь-в-точь.

Ограничительные и выделительные: только, лишь, исключительно, почти, единственно.

Усилительные: даже, же, ведь, уж, ну.

Сомнительные: едва ли, вряд ли.

Восклицательные: что за, ну и, как.

 

Как, что за  – это частицы, если находятся в восклицательных предложениях.

Что за прелесть эти сказки!

Как прекрасен это мир!.

Задание: подобрать местоимение (и указан его разряд).

Разряды местоимений.

1.Личные.
Я, ты, он (она, оно), мы, вы, они
2.Возвратное- себя.
себе, себя, собой, собою, сам, само собой, от себя
3.Притяжательные .
Мой, твой, свой, наш, ваш, его, ее, их
4.Относительные.
Кто, что, какой, каков, который, чей, сколько
5.Неопределённые.

Некто, нечто, некий, некоторый, несколько, кто-то, что-то, какой-то, чей-то, сколько-то, кое-кто, кое-что, кое-какой, кто-нибудь, что-нибудь, какой-нибудь, чей-нибудь, сколько-нибудь, кто- либо, что-либо, какой-либо, чей-либо
6. Отрицательные.
Никто, ничто, никакой, ничей, некого, нечего.
7.Вопросительные.
Кто, что, какой, каков, который, чей, сколько.
8.Указательные.
Тот, этот, такой, таков, столько, этакий (устар.), экий (устар.), сей (устар.), оный (устар.)
9.Определительные.
Сам, самый, весь, всякий, каждый, иной, любой, другой, всяк, всяческий \

Задание: подберите сочетание производного предлога с местоимением.

 

Производные предлоги.

В течение.

В продолжение.

В заключение.

Вследствие.

Благодаря, согласно, вопреки.

Несмотря на.

Невзирая на.

Ввиду.

Насчёт.

 

Навстречу, напротив, впереди, везде, вокруг, вдоль, вопреки, наперекор, наперерез, позади, внутри, мимо, посередине и др.

 

Вместо, вроде, ввиду, в виде, в отличие от, за счёт, насчёт (=о),по причине, по поводу, за исключением, в связи с и др.

 

Задание: подберите союзное слово.

 

Союзное слово – это  самостоятельные части речи, служащие средством связи придаточных предложений с главным и являющиеся одновременно членами предложения.

 

В роли союзных слов могут выступать:

1. Относительные местоимения: какой, который, кто, что, кем, чем, кого, сколько.

2. Местоименные наречия: где, куда, откуда, как, когда, зачем, почему, отчего.

Частица + указательное местоимение:

Именно такая.

СЛОВА, встречающиеся в ответах ФИПИ.

С этой целью.
Не случайно.

Другие же.

И всё-таки.

Дело в том, что.

Именно из-за.

Именно так.

Прежде чем.

На самом деле.

Другие же.

С другой стороны.

Несмотря на это.

Иными словами.

В конце концов.

Помимо.

Кроме.

 

Задание № 4

1.анАлог 1.аристокрАтия 1.бАнты (бАнтов)
2. анАтом 2. асимметрИя 2.бухгАлтеры (бухгАлтеров)
3. апострОф 3. баловАть 3. вЕчеря
4. валовОй 4. вероисповЕдание 4. включИшь (включИт)
5. ветеринАрия 5. ворожеЯ 5. дипломИрованный
6. гофрирОванный 6. гЕнезис 6. добелА
7. диоптрИя 7. граффИти 7.забронИровать
8. дОгмат 8.диспансЕр (сэ) 8. завИдно
9. еретИк 9. договОры 9. инспЕкторы
10. жалюзИ 10. жерлО 10.искрИться
11.завсегдАтай 11. заплЕсневеть 11.кровоточИть
12. закУпорив 12. знАмение 12. кУхонный
13. зубчАтый 13.исчЕрпать 13.маркировАть
14. Иконопись 14. квартАл 14.ободрИть
15. инженЕрия 15. красИвее 15.освЕдомиться
16.Искра 16. лЕкторов 16.тОрты (тОртов)
17. каталОг 17. мозаИчный 17.трЕнеры
18.  кружевА 18.мышлЕние 18.увЕдомить
19. мастерскИ 19. недУг 19.украИнский
20.намЕрение 20. начатА 20.фенОмен
21. новорождЁнный 21.озорничАть 21.фетИш
22. обеспЕчение 22. Опрометью 22.чЕрпать
23. облегчИть 23.ракУшка 23.черствЕть
24. Отрочество 24. рефлЕксия 24.шАрфы(шАрфов)
25. пулОвер 25.сосредотОчение 25.щавЕль
26. ретировАться 26.тефтЕли 26.щепОть
27. свЁкла 27.тУфля 27.Экскурс
28. слИвовый 28.углубИть 28.экспЕрт
29.страхОвщик 29.факсИмиле 29.Ягодицы
30.танцОвщица 30.ходАтайствовать 30.Ясли (яслей)
1.агЕнт 1.безУдержный 1.взялА
2. алкогОль 2.боЯзнь 2.вручИт,вручАт
3. алфавИт 3.бралАсь 3.зАгодя
4.берЁста 4.дефИс 4.зАговор
5.балОванный 5. двИжимый 5.зевОта
6.бАрмен 6.дОверху 6.кАмфора
7.бОчковое 7.зАгодя 7.квАшение
8.бытиЕ 8.заперлАсь 8.кедрОвый
9. взялА 9.знАчимый 9.киркА (орудие труда)
10. вОзрасты

(вОзрастов)

10.манЯщий 10.кИрка (лютеранская церковь)
11.главЕнство 11.клАла 11.клАла
12. гренадЕр 12.нет кОнусов 12.клЕщи (инструмент)
13. добЫча 13.кормЯщий 13.клещИ (насекомое)
14.дремОта 14.крАны 14.комбАйнер
15.заИндеветь 15.красИвейший 15.костюмирОванный
16. знАхарка 16.наделИт 16.мЕстностей
17.издрЕвле 17.накренИт 17.надОлго
18.инсУльт 18.налитА 18. некролОг
19.наращЁнные 19.нарвалА 19.новостЕй
20.обеспЕчение 20.начАвшись 20.облилАсь
21.Обнял 21.обогналА 21.ободрИть
22. осЕдлый 22.пЕрчить 22.обострЁнный
23. откУпорить 23.повторЁнный 23.опОшлить
24.тОтчас 24.понЯвший 24.пОгнутый
25.чЕрпать 25.пОчестей 25.прИнялись
26. шассИ 26.предпринЯв 26.произвдЁн
27. шелковИца 27.прожИвший 27.профессорОв
28. щИколотка 28.сверлИт 28.снятА
29.Экспорт 29. цыгАн 29.солгалА
30.электропрОвод 30. щИколотка 30.экскОрт

 

 

1.АльтЫ, альтОв 1. блЁкнуть 1.быстрА
2.анонИм 2.ворОта, в ворОтах 2.валИть, валИт (снег)
3.асбЕст 3.ломОть 3.вАлит (деревья)
4.афИнянин 4.лубОчный 4.ветлА
5.баловнИца 5.нЕнецкий 5.вЫстрочить
6.БальмОнт 6.обгрЫзенный 6.вЫстругать
7.безнадЁжный 7.Обнял 7.децимЕтр
8.бЕсишь 8.озлОбленность 8.добылА, добЫта
9.бечевА 9.отчАсти 9.заглушИт
10.бряцАть 10.пАмятовать 10.Из лесу, Из дому, Из носу, Из виду
11.блЁклый 11.партЕр (э) 11. исповЕдание
12.волкОв 12.перИод 12.крАла
13.ворОв 13.пепелИще 13.лЕкторы
14..воспринЯть 14.пЕтля 14.МеримЕ ПроспЕр
15. горА, зА гору, нА гору,

пОд гору

15.плЕсневеть 15.мИнуть, минУв
16.дИптрих 16.повАренный 16.простолюдИн
17.из двЕри, на двЕри 17.поедОм 17.расщепИт
18.дЕбет 18.полшагА 18.рыкАть
19.деньгАм, о деньгАх 19.прИработок 19.свАленный
20.дефИс 20.прОтивень 20.сегмЕнт
21.домЕн 21.расклЁшенный 21.сверлИт
22.зА бороду, зА день 22.расщепИт 22.силОк
23.заЁм 23.убыстрИть 23.сИлос
24.ИешуА 24.цемЕнт 24.сорИт
25.интервьюЕр (Э) 25.часовщИк 25.топОрщить
26.крамОла 26.чуднОй(странный) 26.тошнотА
27.лососЁвый 27.чУдный (красивый) 27.удилА
28. нАчал, начАть, начатА 28.щемИт 28.умнО
29.нЕ дал, не далА, нЕ дало, нЕ дали 29.экзальтирОванный 29.усОвестить
30. нет дУпел 30.юрОдивый 30.облилАсь

31. Углей

 

Задание № 7.
-а, -я -ы, -и
борт-бОрты бухгАлтер-бухгАлтеры
порт-пОрты возраст-вОзрасты
торт-тОрты грифель- грИфели
вексель- векселЯ грунт- грУнты
вензель- вензелЯ диспетчер-диспЕтчеры
директор-директорА договОр-договОры
инспектор- инспекторА дрАйвер- дрАйверы
катер- катерА инженЕр- инженЕры
китель-кителЯ констрУктор- констрУкторы
кузов-кузовА лектор-лЕкторы
купол-куполА лифт-лИфты
округ-округА плЕйер-плЕйеры
ордер-ордерА пиговОр- приговОры
паспорт-паспортА прИнтер- прИнтеры
погреб-погребА прожЕктор-прожЕкторы
профессор-профессорА редАктор-редАкторы
сторож-сторожА рЕктор-рЕкторы
тенор-тенорА свИтер-свИтеры
флюгер-флюгерА сЕктор- сЕкторы
фельдшер-фельдшерА склад-склАды
хутор-хуторА слЕсарь-слЕсари
штАбель- штабелЯ снАйпер- снАйперы
штЕмпель- штемпелЯ трЕнер-трЕнеры
шУлер-шулерА флот- флОты
фронт- фронтЫ
шофёр-шофЁры
штаб-штабЫ
штурман- штУрманы

 

Родительный падеж множественного числа в названиях национальностей.
казАхи-казахов армяне-армЯн
калмЫки-калмЫков башкИры-башкИр
киргИзы-киргИзов болгАры-болгАр
монгОлы-монгОлов бурЯты-бурЯт
таджИки- таджИков грузИны-грузИн
тунгУсы-тунгУсов лезгИны-лезгИн
узбЕки- узбЕков осетИны-осетИн
хорвАты-хорвАтов румЫны-румЫн
якУты-якУтов татары-татАр
тУрки- тУрок
туркмЕны-туркмЕн
цыгАне-цыгАн

 

Родительный падеж множественного числа существительных.
Нулевое окончание Нулевое окончание Нулевое окончание Окончание –ев (-ов) Окончание   -ей
НЕТ партизан колен барышень платьев ружей
солдат плеч боярышень устьев свечей
гусар чисел деревень подмастерьев кеглей
драгун кресел одеялец носков саклей
кирасир брёвен яблок метров распрей
валенок полотенец блюдец граммов пашей
сапог волокон вафель килограммов юношей
чулок рёбер туфель гектаров будней
ботинок ядер кровель рельсов яслей
погон розог оглобель апельсинов дрожжей
эполет кухонь свадеб мандаринов дровней
ампер кочерёг усадеб помидоров людей
ватт ставен нянь томатов отрубей
вольт басен дел баклажанов саней
ом песен брызг лимонов  углей(мн. ч.)
аршин сплетен брюк болотцев
микрон домен бус копытцев
герц черешен каникул кружевцев
рентген носилок макарон оконцев
денег потёмок салазок заморозков
сумерек брелоков

Запомните: игра не стоит свеч.

Запомните: снадобий, захолустий, раздумий.

Количественные числительные (сколько?)

 

И.п. тысяча восемьсот двадцать пять
Р.п. тысячи восьмисот двадцати пяти
Д.п. тысяче восьмистам двадцати пяти
В.п тысяча восемьсот двадцать пять
Т.п. тысячей восьмьюстами двадцатью пятью( восемьюстами)
П. п. о тысяче восьмистах двадцати пяти

 

Порядковые числительные ( какой?)

 

И.п. три седьмых
Р.п. трёх седьмых
Д.п. трём седьмым
В.п три седьмых
Т.п. тремя седьмыми
П.п. о трёх седьмых
Собирательные числительные.
И.п. шестеро
Р.п. шестерых
Д.п. шестерым
В.п шестерых
Т.п. шестерыми
П.п. о шестерых

 

Числительные ОБА,ОБЕ.

 

И.п. оба обе
Р.п. обоих обеих
Д. п. обоим обеим
В.п оба, обоих обе, обеих
Т.п. обоими обеими
П.п. об обоих об обеих

 

И.п. тысяча миллион миллиард
Р.п. тысячи миллиона миллиарда
Д.п. тысяче миллиону миллиарду
В.п. тысячу миллион миллиард
Т.п. тысячей миллионом миллиардом
П.п. о тысяче о миллионе о миллиарде

 

ГЛАГОЛЫ.

Запомните трудные формы:

выздоровеют, опостылеют, опротивеют

чтить- чтут ( допускается – чтят)

стлать ( -ся)- доп. стелить(-ся)

ездить – ездит, ездят

мучить, мерить.

лазить – лазишь, лазим, лазят, лазь

чтить – чту, чтишь, чтит, чтим, чтите, чтят

жечь — жгу, жжём, жжёшь, жжёте, жжёт, жгут

(запомните, что неверно следующее: жгёшь, жгём, жгёт, жгёте)

Запомните формы настоящего и будущего времени:

внимать – внимают (внемлют- поэтич. )

глодать – гложет

дремать – дремлет

кликать –кличет

клокотать- клокочет

колыхать – колышет

кудахтать- кудахчет

махать – машет,

мурлыкать – мурлычет,

плескать- плещет,

полоскать- полощет

рыскать – рыщет

сыпать- сыплет

трепать – треплет

хлестать- хлещет

щипать — щиплет

лечь- лягу, ляжет, лягут

течь – теку, течёт, текут

беречь- берегу, бережёт, берегут

Исключение: ткать – тку, ткёт, ткут

возникнуть – возник

высохнуть – высох

исчезнуть – исчез

погибнуть- погиб

привыкнуть – привык

промокнуть – промок

проникнуть – проник

( то есть нельзя употреблять слова типа: возникнул, проникнул и т.д.!)

Запомните:

глохнуть – глох

достигнуть – достиг,

киснуть – кис,

пахнуть – пах,

подвергнуться- подвергся,

вянуть – вял.

Запомните некоторые формы повелительного наклонения:

лечь – ляг, лягте

сесть – сядь, сядьте

резать – режь, режьте

мазать – мажь, мажьте

ехать – поезжай, поезжайте (неверно: езжай, ехай, ехайте).

Но при отрицании : не езди, не ездите.

пойти – пойдёмте, пойдём

 

Запомните  наиболее часто встречающиеся примеры
в задании № 7.
Существительные Числительные
любимые профессора в двухстах метрах
греческих богинь в полутора часах
несколько ножниц из полутора метров ткани
хорошие доктора пять барышень
умелые повара до тысяча восемьсот двенадцатого года
несколько яблок в обеих руках
лежат на шкафу обоих студентов
пять кочерёг до тысяча девятьсот пятого года
пара туфель шестьюстами учебниками

 

несколько пар туфель с тремястами бойцами
домашняя туфля о трёхстах участниках
несколько полотенец в трёхстах метрах
новые выборы на триста пятьдесят седьмой странице
косвенных падежей четырьмястами студентами
здоровые дёсны свыше четырёх тысяч метров
об аэропорте в течение тридцати пяти минут
уважаемые директора с пятьюдесятью рублями
спелых абрикосов семьюдесятью процентами
несколько мандаринов почти в ста странах
новых полотенец с семьюстами метрами
много облаков четырьмястами рублями
пара ботинок четырьмястами рублями
ряд критериев пятьюстами тридцатью тремя метрами
несколько яблок в тысяча девятисотом году
новых джинсов две седьмых
пачка макарон более полутораста зрителей
сладких помидоров о полутора часах
молодые бухгалтеры Глаголы
пять граммов быстро выздоровеет
пропуска на предприятия выправь текст
согласно графику мокла под дождём
в боку поезжай побыстрее
благодаря решению поезжай вперёд
две пары чулок поезжайте в город
три пары носков заезжай завтра
опытные шофёры хорошо проповедует
пара ботинок жжёт костёр
двух пар ботинок зажжёт фейерверк
согласно тарифу совсем озяб
часовые пояса оденьтесь теплее
среди грузин одень ребёнка
пять блюдец высохла шапка
все возрасты лягте на пол
ряд критериев лажу по крышам
килограмм вафель разожжёт костёр
почерк прополощи бельё
много вишен попробуем
опытные тренеры пусть попробует
килограмм помидоров попробует торт
около двух килограммов мокла под дождём
лучшие парикмахеры лягте на коврик
все возрасты насмехаться
милых барышень разъезжайтесь
современных кухонь поскользнуться
пара варежек посади дерево
модных серёг надень перчатки
несколько сотен зажжётся огонь
почётные титулы поймать кошку
банка сардин полощет рот
нет заморозков полощет бельё
старых басен клади на место
полки для кухонь жаждет славы
новые компьютеры насквозь промок
новый шампунь помашите отъезжающим
дальние деревни Степени сравнения
вместе с детьми наиболее решительно поступил
тонкий тюль наиболее уместно
летних каникул богатейший выбор
без погон пришёл более поздно
варка макарон чудеснейшим образом
песни цыган товары дешевле
взвод солдат жёстче дерева
жареные тетерева фильм интереснее
около трёх аршин менее значительный
по приезде в город более глубокий конфликт
горячие супы петь ещё звонче
иностранные паспорта самый молодой
все инженеры более высоко прыгнуть
уборка яслей серьёзнейшее замечание
несколько яблонь эта работа более хорошая
Причастия повеселее
обгрызенное яблоко наисложнейший
обгрызенная груша длиннее
полощущий бельё более резкое движение
запрещающий игры наиболее интересный
Деепричастия торт менее сладкий
смотря вперёд наилучших снимков
почитав рассказ повеселее
не проронив ни слова Местоимения
Наречие на их территории
поделить напополам их письма
по их указанию

Степени сравнения качественных имён прилагательных и наречий.

Прилагательные. Наречия.
Красивый. Красиво.
Красивее. Красивее.
Более красивый. Боле красиво.
Красивейший.
Красивее всех.

Самый красивый.

Красивее всех.

 

Задание № 9
Корни с чередующимися гласными.
О-А (11 корней) Е-И (9 корней. А , Я – ИМ, ИН
Без ударения — О.

гар — гор

твар — твор

клан — клон

 

Без ударения А.

зар- зор

плав-плов

 

См. на конечную согласную в корне.

лаг-лож

раст-, ращ-

рос-

скак-скоч

 

кас — (есть суффикс А)

кос-  (нет)

 

См. на значение.

равн-(одинаковый) ровн- (ровный)

 

мак-(окускать в жидкость),

мок- (пропускать жидкость)

Правило:

И- есть суффикс А

Е- нет суффикса А.

 

бер-бир

дер-дир

мер-мир

пер-пир

тер-тир

 

блест- блист

стел-стил

 

жег-жиг

чет-чит

 

занять- занимать

начать -начинать

пожать — пожинать

понять – понимать

примять -приминать

проклясть- проклинать

распять -распинать

сжать – сжимать

снять -снимать

 

 

 

 

Запомните слова- исключения.
О-А О-А Е-И
зоревать

зорянка

 

пригарь

выгарки

изгарь

утварь

полог

 

росток

ростовщик

Ростов

Ростислав

отрасль

скачок

скачу

 

пловец

пловчиха

плывуны

 

уровень

ровесник

равнина

равняйсь

равнение(направо)

сочетать

сочетание

чета

 

Задание № 10
ПРЕ- прелюдия
преамбула премьера
пребывать пренебречь
превалировать преобладать
превентивный преодолеть
превзойти препарат
превозмочь препинания (знак)
превратный препираться
превращение преподаватель
превосходство преподобный
прегрешения препона
предание препроводить
преданность препятствие
предатель пререкаться
предать прерогатива
предел прервать
преемник преследовать
презентабельный пресловутый
презентация пресмыкаться
президиум преставиться
презирать престиж
презумпция престол
преимущество преткновение
преисподняя претворить
прейскурант претендент
преклонный претензия
преклоняться префект
прекословить преходящий
прекращение преклонять
преломление преступить
прельстить прецедент

 

Приставка ПРИ- приличия
прибаутка примадонна
прибор примат
приватизация примета
приватный примитивный
приведение принадлежность
привилегия принизить
привередливый принцесса
приверженец принципиальный
привет принять
приветствие приоритет
приволье припев
привратник природа
привыкать прискорбное
приглашение приспособить
пригодиться пристойно
пригожий присутствие
придать присяга
придел (в церкви) притворство
придирчивый притворщица
приесться притон
приёмник притязание
призирать (заботиться) приурочить
призвание прицел
признание причёска
приказ причина
приключение причиндалы
прикорнуть причудливый
прилежание приятель
приятный

 

Ъ Ь
абъюрация альтернатива
адъютант арьергард
безъядерный батальон
изъявительное (наклонение) бильярд
изъять бульон
инъекция Вьетнам
дизъюнкция вьюга
двухъярусный вьюн
конръякобинский вьючный
конъектура (восстановление испорченного текста) дьяк
конъюнктивит интерьер
конъюнктура (сложившаяся обстановка, например, на рынке) интервьюировать
межъярусный интервьюер
неотъемлемый компаньон
объект компьютер
объём медальон
объявление Нью-Йорк
объяснительная Ньютон
объять обезьяна
отъявленный павильон
панъевропейский пасьянс
подъезд пеньюар
предъюбилейный подьячий
предъявить портьера
сверхъестественный премьера
съезд пьедестал
съёжился пьеса
субъект сеньор
суперъястребы серьёзный
трансъевропейский синьорина
трёхъязычный фортепьяно
фельдъегерь фельдмаршал
четырёхъярдовый шампиньон

 

 

И Ы
взимать взыгравший
дезинформация взыскать
дезинтегральный возыметь
контригра безыглый
контритог безыдейный
контриск безынвентарный
межигровой безынициативный
межиздательский безынтересный
межинститутский безымянный
панисламизм безыскровая
панисламский безыскусный
постиндустриальный безысходность
постимпрессионизм изымать
постинфарктный изыскать
сверхизысканный небезызвестный
сверхиндивидуальный обындеветь
сверхинтеллигентный обыскать
сверхинтересный подыгрывать
субинспектор подыскать
суперигровой подытожить
суперизящный предыдущий
трансиорданский предынфарктный
трансиндийский предыстория
Сложные слова. разыскивать
двухигольный розыгрыш
трёхимпульсный сыгранный
четырёхигровой сыздавна
Сложносокращённые слова. сызмальства
мединститут сымитировать
предисполкома сымпровизировать
сельхозинвентарь сыронизировать
специнстурмент
спортинвентарь

 

Задание № 15
Исключения.
-Н- -НН-
Ветреный Оловянный
Юный Деревянный
Зелёный Стеклянный
Синий
Румяный Нежданный
Пряный Негаданный
Невиданный
Посажёный отец Неслыханный
Названый брат Нечаянный
Прощёное воскресенье Отчаянный
Приданое Желанный
Смышлёный Священный
Кованый Медленный
Жёваный Виденный
Клеваный Жеманный
Раненый( кто? боец, зверь)

Но: израненный, раненный в руку.

Недрёманноё око
читаный-перечитаный

глаженый-переглаженый

хоженый-перехоженый и др.

 

Пеклеванный
Считанный
Чеканный
Чванный
Деланный
Ставленник
Нетленный
Обещанный
Штукатуренный

 

Материал подготовила: Мельникова Вера Александровна.

   Вернутьсяк списку тестов по русскому языку ЕГЭ

Поиск производной квадратного корня от x - стенограмма видео и урока

Решение

Формула показывает, что производная квадратного корня из x равна (1/2) x -1/2. Это можно записать в нескольких разных формах:

Проверка вашей работы

Есть несколько различных способов, которыми мы можем проверить нашу работу при работе с деривативами. Первый касается определения производной с использованием лимитов.

Мы можем использовать это определение для проверки нашей работы. При этом мы должны получить тот же результат, что и при использовании формулы. Мы начинаем с того, что позволяем f ( x ) = sqrt ( x ) и подключаемся соответственно.

Теперь мы хотим найти предел, так как h приближается к 0. Один из способов оценки предела - подставить число, которое приближается к h , на h .Однако в этом случае мы будем вставлять 0 для h . Вы понимаете, почему мы не можем этого сделать? Если вы думаете, что мы не можем подставить 0 для h , потому что это приведет к нулевому знаменателю, то вы правы! Следовательно, мы собираемся манипулировать лимитом, чтобы преобразовать его в форму, в которой мы можем вставить 0 для h без создания неопределенного выражения. Умножим все это на версию числа 1:

Помните, мы не меняли предел, поскольку в конечном итоге мы просто умножили его на единицу.Также обратите внимание, что теперь мы можем подставить ноль для h без создания нулевого знаменателя или неопределенного выражения. Давайте сделаем это, чтобы найти предел и, в процессе, найти производную квадратного корня из x . Как только мы вставим 0 для ч , наше уравнение станет:

Видите ли, производная квадратного корня из x равна (1/2) x -1/2, и это именно то, что мы получили, когда использовали формулу.Уф! Это хорошие новости! Значит, мы сделали свою работу правильно.

Интегралы

Другой способ проверить нашу работу - использовать интегралы. Интегралы называются антипроизводными, и они в основном отменяют производные. То есть, если a является производной от b , то интеграл от a равен b + C , где C - константа.

Это говорит нам о том, что в нашем примере, поскольку производная sqrt ( x ) равна (1/2) x -1/2, то интеграл от (1/2) x -1/2 - это sqrt ( x ) + C , где C - постоянная.Возможно, вы еще не знакомы с интегралами, но это нормально. Нам посчастливилось иметь два простых факта, которые позволят нам найти интеграл от (1/2) x -1/2.

1.) Интеграл от постоянной, умноженной на функцию, равен этой константе, умноженной на интеграл функции.

2.) Формула для интеграла x n равна:

Используя эти два правила, мы можем найти интеграл (1/2) x -1/2 и проверить, что это sqrt ( x ) + C , где C - это постоянный.Это позволит нам проверить, правильно ли мы сделали свою работу.

Как мы и надеялись, мы видим, что интеграл от (1/2) x -1/2 равен sqrt ( x ) + C , где C - постоянная. Большой! И снова наша работа проходит проверку.

При работе с производными функции производных с использованием пределов и интегралов чрезвычайно полезны для проверки правильности нашей работы.

Результаты обучения

Тщательно изучите урок и запомните достаточно информации, чтобы уверенно:

  • Найдите производную квадратного корня x
  • Использовать интегралы для проверки своей работы

Математическая сцена - Производные - Урок 3

Математическая сцена - Производные - Урок 3 - Корни, отрицательные степени, умноженные и разделенные функции

2009 Rasmus ehf и Джанн Сак

Производные

Урок 3

.

Корни, отрицательные силы, умноженные и разделенные функции


Пример 1

Найдите производную от.

Используйте правило:
а 2 б 2 = (ab) (a + b)
так что h можно исключить.

Мы тоже можем написать так проверим, действует ли правило дифференцирования степеней целыми числами То, что использовалось в уроке 2, также применимо и в этом случае. Мы бы получили

.

Мы можем показать, что правило f (x) = nx n1 также применяется, когда n является дробь

Пример 2

Используйте правило, чтобы различать следующие Например, сначала упростив корень и записав его в виде дроби с помощью обозначение.

Двигаться 7 / 6 вперед, затем уменьшите мощность на 1.

Пример 3

Используйте определение производного инструмента для дифференцировать f (x) = x 1 = 1 / х.

Сначала упростите числитель, затем упростите и отмените столько, сколько возможный.

Это говорит о том, что мы можно использовать правило f (x) = nx n1 на отрицательных степенях

Теперь докажем правило который показывает, как различать функцию, состоящую из двух функций, умноженных все вместе.

f (х) = и (х) v (х).

Мы знаем, что когда h мало

и

, что дает нам

ху (х) u (x + h) u (x) и, следовательно, u (x + h) ху (х) + и (х)

и hv (x) v (x + h) v (x) и, следовательно, v (x + h) hv (x) + v (x)

Ввод этих значений в приведенное выше уравнение, упрощая, отменяя и затем принимая предел, дает нам Правило нахождения производной при умножении двух функций:

(и (х) v (х)) = и (х) v (х) + и (х) v (х)

Легче запомнить правило, если мы опускаем x.

Пример 4

Проверим правило и убедитесь, что вы это понимаете, найдя производную от f (x) = x 3 x 2 .

Самый простой и очевидный способ состоит в том, чтобы сначала упростить, а затем найти производную: f (x) = x 5 и f (x) = 5x 4 .

Теперь воспользуйтесь правилом умножения:

Положим u = x 3 дает u = 3x 2 и v = x 2 дает v = 2x.

f (x) = (УФ) = УФ + УФ

= 3x 2 x 2 + x 3 2x

= 3x 4 + 2x 4 = 5x 4

, который соответствует нашему первому метод.

Теперь посложнее правило, правило дифференцирования рациональных функций u / v, где u и v являются функциями x:

Это можно доказать с помощью определение производной так же, как правило умножения доказано.Это также можно доказать с помощью правила, называемого цепным правилом, которое будет представлен в 5 уроке.

Даем цепное правило доказательство здесь, вы можете вернуться к этому доказательству, когда закончите урок 5.

Мы используем цепное правило (v 1 ) = v 2 v и правило (uv) = uv + uv где u и v являются функциями от x.

Это правило:

Пример 5

Используйте правило деления на дифференцировать

u = x + 1, так что u = 1 и v = x 2 давая v = 2x.

Поместив их в формула выше дает нам


Попрактикуйтесь в этих методах, а затем пройдите тест 3 по производным.

л.с. Запомните свой контрольный список.

Если y = √sinx, найти dy / dx

В этой производной задаче задано, что $ y = \ sqrt {\ sin {x}} $.Итак, дифференцирование квадратного корня из $ \ sin {x} $ по $ x $ необходимо вычислить, чтобы найти производную $ y $ по $ x $. Это можно сделать двумя разными способами.

Метод дифференциации

Мы знаем, что $ y = \ sqrt {\ sin {x}} $, и берем производную с обеих сторон для нахождения дифференцирования $ y $ по $ x $.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {d} {dx} {\, y} $ $ \, = \, $ $ \ dfrac {d} {dx} {\, \ sqrt {\ sin {x}}} $

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ dfrac {d} {dx} {\, \ sqrt {\ sin {x}}} $

В дифференциальном исчислении нет прямой формулы для нахождения производной квадратного корня из функции $ \ sin {x} $.Функция $ \ sqrt {\ sin {x}} $ представляет собой композицию двух функций $ \ sqrt {x} $ и $ \ sin {x} $. Следовательно, дифференцирование $ \ sqrt {\ sin {x}} $ можно вычислить по цепному правилу.

Возьмите $ u = \ sin {x} $, затем $ \ dfrac {d} {dx} {\, u} = \ dfrac {d} {dx} {\, \ sin {x}} $ согласно производной от Формула sinx. Следовательно, $ \ dfrac {du} {dx} = \ cos {x} $

.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ dfrac {d} {dx} {\, \ sqrt {u}} $

Правую часть уравнения можно записать следующим образом согласно цепному правилу.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ dfrac {du} {dx} \ times \ dfrac {d} {du} {\, \ sqrt {u}}

долл. США

Вычислено примерно, что $ \ dfrac {du} {dx} = \ cos {x} $

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ cos {x} \ times \ dfrac {d} {du} {\, \ sqrt {u}} $

Теперь найдите производную квадратного корня из $ u $ по $ u $ по производной формулы квадратного корня.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ cos {x} \ times \ dfrac {1} {2 \ sqrt {u}} $

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ dfrac {\ cos {x}} {2 \ sqrt {u}} $

На самом деле, в этом примере $ u = \ sin {x} $.Итак, замените $ u $ его фактическим значением.

$ \, \, \, \ следовательно \, \, \, \, \, \, $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ dfrac {\ cos {x}} {2 \ sqrt {\ sin {x}}}

долларов США

Метод пределов

Производная квадратного корня из $ \ sin {x} $ по $ x $ может быть вычислена из первого принципа. Согласно определению производной, дифференцирование $ \ sqrt {\ sin {x}} $ можно записать в предельной форме.

Возьмем $ y = f {(x)} $. Итак, $ f {(x)} = \ sqrt {\ sin {x}} $, тогда $ f {(x + \ Delta x)} = \ sqrt {\ sin {(x + \ Delta x)}} $

.

$ \ dfrac {d} {dx} {\, f {(x)}} $ $ \, = \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Delta x \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {f {(x + \ Delta x)} - f {(x)}} {\ Delta x}}

долларов

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ dfrac {d} {dx} {\, f {(x)}} $ $ \, = \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Delta x \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {f {(x + \ Delta x)} - f {(x)}} {\ Delta x}} $

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim _ {\ Delta x \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ sqrt { \ sin {(x + \ Delta x)}} - \ sqrt {\ sin {x}}} {\ Delta x}}

долларов

Возьмите $ h = \ Delta x $ и выразите выражение через $ h $.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ sqrt {\ sin {(x + h)}} - \ sqrt {\ sin {x}}} {h}}

долларов
Попробуйте метод прямой замены

Попробуем вычислить дифференцирование квадратного корня из функции $ \ sin {x} $, вычислив предел тригонометрической функции методом прямой подстановки.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ dfrac {\ sqrt {\ sin {(x + 0)}} - \ sqrt {\ sin {x}}} {0}

долларов США

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ dfrac {\ sqrt {\ sin {x}} - \ sqrt {\ sin {x}}} {0} $

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ dfrac {0} {0} $

вычислено, что производная от $ \ sqrt {\ sin {x}} $ по $ x $ не определена.Таким образом, невозможно найти производную, оценивая предел методом прямой подстановки.

Использовать метод рационализации

Теперь попробуйте вычислить предел тригонометрической функции методом рационализации, чтобы найти производную функции $ \ sqrt {\ sin {x}} $ по $ x $.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ Bigg [\ dfrac {\ sqrt {\ sin {(x + h)}} - \ sqrt {\ sin {x}}} {h}} $ $ \ times $ 1 \ Bigg] $

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ Bigg [\ dfrac {\ sqrt {\ sin {(x + h)}} - \ sqrt {\ sin {x}}} {h}} $ $ \ times $ $ \ dfrac {\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}}} {\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}}} \ Bigg]

долларов

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ Bigg [\ dfrac {\ Big (\ sqrt {\ sin {(x + h)}} - \ sqrt {\ sin {x}} \ Big) \ times \ Big (\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}} \ Big)} {h \ times {\ Big (\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}} \ Big)}} \ Bigg]} $

Числитель представляет собой специальное произведение биномов, и их произведение может быть записано по формуле разности квадратов.2} {h \ times {\ Big (\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}} \ Big)}} \ Bigg]} $

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ Bigg [\ dfrac {\ sin {(x + h)} - \ sin {x}} {h \ times {\ Big (\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}} \ Big)}} \ Bigg]}

долларов

Используйте тригонометрическую идентичность преобразования разницы в произведении, чтобы объединить синусоидальные функции в числителе.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ Bigg [\ dfrac {2 \ cos {\ Bigg (\ dfrac {x + h + x} {2} \ Bigg)} \ sin {\ Bigg (\ dfrac {x + hx} {2} \ Bigg)}} {h \ times {\ Big ( \ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}} \ Big)}} \ Bigg]}

долларов США.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ require {cancel} \ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ Bigg [ \ dfrac {2 \ cos {\ Bigg (\ dfrac {2x + h} {2} \ Bigg)} \ sin {\ Bigg (\ dfrac {\ cancel {x} + h- \ cancel {x}} {2} \ Bigg)}} {h \ times {\ Big (\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}} \ Big)}} \ Bigg]} $

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ Bigg [\ dfrac {2 \ cos {\ Bigg (\ dfrac {2x + h} {2} \ Bigg)} \ sin {\ Bigg (\ dfrac {h} {2} \ Bigg)}} {h \ times {\ Big (\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}} \ Big)}} \ Bigg]}

долларов

Теперь разложите функцию на множители как произведение двух тригонометрических функций следующим образом.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ Bigg [\ dfrac {\ cos {\ Bigg (\ dfrac {2x + h} {2} \ Bigg)} \ times 2 \ sin {\ Bigg (\ dfrac {h} {2} \ Bigg)}} {{\ Big (\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}} \ Big)} \ times h} \ Bigg]}

долларов

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ Bigg [\ Bigg (\ dfrac {\ cos {\ Bigg (\ dfrac {2x + h} {2} \ Bigg)}} {\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}}} \ Bigg) \ times \ Bigg (\ dfrac {2 \ sin {\ Bigg (\ dfrac {h} {2} \ Bigg)}} {h} \ Bigg) \ Bigg]}

долларов США.

Теперь используйте правило пределов продукта, чтобы найти предел продукта на произведение их пределов.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ Bigg (\ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ cos {\ Bigg (\ dfrac {2x + h} {2} \ Bigg)}} {\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}}} \ Bigg)} $ \ раз $ $ \ Bigg (\ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {2 \ sin {\ Bigg (\ dfrac {h} {2} \ Bigg)}} { h} \ Bigg)}

долларов

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ Bigg (\ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ cos {\ Bigg (\ dfrac {2x + h} {2} \ Bigg)}} {\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}}} \ Bigg)} $ \ раз $ $ \ Bigg (\ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {\ Bigg (\ dfrac {h} {2} \ Bigg)}} {\ dfrac {h} {2}} \ Bigg)}

долларов США

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ Bigg (\ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ cos {\ Bigg (\ dfrac {2x + h} {2} \ Bigg)}} {\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}}} \ Bigg)} $ \ раз $ $ \ Bigg (\ displaystyle \ large \ lim _ {\ frac {h} {2} \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {\ Bigg (\ dfrac {h} {2}) \ Bigg)}} {\ dfrac {h} {2}} \ Bigg)}

долларов США.

Возьмите $ q = \ dfrac {h} {2} $ и замените $ \ dfrac {h} {2} $ на $ q $ только во втором множителе.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ Bigg (\ displaystyle \ large \ lim_ {h \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ cos {\ Bigg (\ dfrac {2x + h} {2} \ Bigg)}} {\ sqrt {\ sin {(x + h)}} + \ sqrt {\ sin {x}}} \ Bigg)} $ \ раз $ $ \ Bigg (\ displaystyle \ large \ lim_ {q \, \ to \, 0} {\ normalsize \ dfrac {\ sin {q}} {q} \ Bigg)} $

Вычислить пределы функций

Найдите значение первого фактора, оценив предел тригонометрической функции методом прямой подстановки, а затем найдите значение второго фактора по пределу sinx / x, когда x приближается к 0 по формуле стандартной формы.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ Bigg (\ dfrac {\ cos {\ Bigg (\ dfrac {2x + 0} {2} \ Bigg)}} {\ sqrt {\ sin {(x + 0)}} + \ sqrt {\ sin {x}}} \ Bigg) $ $ \ times $ $ \ Bigg (1 \ Bigg) $

.

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ dfrac {\ cos {\ Bigg (\ dfrac {2x} {2} \ Bigg)}} {\ sqrt {\ sin {x}} + \ sqrt {\ sin {x}}}

долларов

$ \ подразумевает $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ require {cancel} \ dfrac {\ cos {\ Bigg (\ dfrac {\ cancel {2} x} {\ cancel {2}} \ Bigg)}} {2 \ sqrt {\ sin {x}}}

долл. США

$ \, \, \, \ следовательно \, \, \, \, \, \, $ $ \ dfrac {dy} {dx} $ $ \, = \, $ $ \ dfrac {\ cos {x}} {2 \ sqrt {\ sin {x}}}

долларов США

3.2: Производная как функция

Цели обучения

  • Определите производную функцию заданной функции.
  • Постройте производную функцию от графика заданной функции.
  • Укажите связь между производными и непрерывностью.
  • Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
  • Объясните значение производной высшего порядка.

Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке.Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

Производные функции

Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

Определение: производная функция

Пусть \ (f \) - функция. Производная функция , обозначаемая \ (f '\), является функцией, область определения которой состоит из таких значений \ (x \), что существует следующий предел:

\ [f '(x) = \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h}. \ label {derdef} \]

Функция \ (f (x) \) называется дифференцируемой в точке \ (a \), если существует \ (f '(a) \). В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на \ (S \), если она дифференцируема в каждой точке открытого множества \ (S \), а дифференцируемая функция - это функция, в которой \ (f '( x) \) существует в своем домене.

В следующих нескольких примерах мы используем уравнение \ ref {derdef}, чтобы найти производную функции.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск производной функции квадратного корня

Найдите производную от \ (f (x) = \ sqrt {x} \).

Решение

Начните непосредственно с определения производной функции.

Заменить \ (f (x + h) = \ sqrt {x + h} \) и \ (f (x) = \ sqrt {x} \) в \ (f '(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \).

\ (f '(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {\ sqrt {x + h} - \ sqrt {x}} {h} \)
\ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {\ sqrt {x + h} - \ sqrt {x}} {h} ⋅ \ frac {\ sqrt {x + h} + \ sqrt { x}} {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x}} \) Умножьте числитель и знаменатель на \ (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x} \) без распределения в знаменателе.
\ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {h} {h \ left (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x} \ right)} \) Умножьте числители и упростите. 2 \).2−2x \ справа) = 2x − 2 \). Таким образом, для функции \ (y = f (x) \) каждое из следующих обозначений представляет производную от \ (f (x) \):

\ (f '(x), \ quad \ dfrac {dy} {dx}, \ quad y', \ quad \ dfrac {d} {dx} \ big (f (x) \ big) \).

Вместо \ (f '(a) \) мы также можем использовать \ (\ dfrac {dy} {dx} \ Big | _ {x = a} \). Нотация \ (\ dfrac {dy} {dx} \) (называемая нотацией Лейбница) довольно распространена в технике и физике. Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке - это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной.Наклоны этих секущих часто выражаются в виде \ (\ dfrac {Δy} {Δx} \), где \ (Δy \) - разность значений \ (y \), соответствующая разнице в \ (x \) значения, которые выражаются как \ (Δx \) (Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения \ (y \) по отношению к \ (x \), выражается как

\ (\ Displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): производная выражается как \ (\ dfrac {dy} {dx} = \ displaystyle \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

График производной

Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку \ (f '(x) \) дает скорость изменения функции \ (f (x) \) (или наклон касательной линия к \ (f (x) \)).

В примере \ (\ PageIndex {1} \) мы обнаружили, что для \ (f (x) = \ sqrt {x} \), \ (f '(x) = \ frac {1} {2 \ sqrt { Икс}}\).Если мы построим график этих функций на тех же осях, как на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что \ (f (x) \) увеличивается по всей своей области, а это означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем \ (f '(x)> 0 \) для всех значений x в его области определения. Кроме того, по мере увеличения \ (x \) наклон касательных к \ (f (x) \) уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение \ (f '(x) \).2−2x, \; f '(x) = 2x − 2 \). Графики этих функций показаны на рисунке \ (\ PageIndex {3} \). Обратите внимание, что \ (f (x) \) убывает при \ (x <1 \). Для тех же значений \ (x \), \ (f '(x) <0 \). Для значений \ (x> 1 \), \ (f (x) \) увеличивается и \ (f '(x)> 0 \). Кроме того, \ (f (x) \) имеет горизонтальную касательную в \ (x = 1 \) и \ (f '(1) = 0 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): производная \ (f '(x) <0 \), где функция \ (f (x) \) убывает, и \ (f' (x)> 0 \), где \ (f (x) \) возрастает. Производная равна нулю, если функция имеет горизонтальную касательную.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): эскиз производной с использованием функции

Используйте следующий график \ (f (x) \), чтобы нарисовать график \ (f '(x) \).2−4 \). На каком интервале находится график \ (f '(x) \) над осью \ (x \)?

Подсказка

График \ (f '(x) \) положительный, где \ (f (x) \) возрастает.

Ответ

\ ((0, + ∞) \)

Деривативы и непрерывность

Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью.Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, непрерывная в какой-то точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

Дифференцируемость предполагает непрерывность

Пусть \ (f (x) \) - функция и \ (a \) находится в ее области определения. Если \ (f (x) \) дифференцируема в \ (a \), то \ (f \) непрерывна в \ (a \).

Проба

Если \ (f (x) \) дифференцируемо в \ (a \), то \ (f '(a) \) существует и, если мы положим \ (h = x - a \), имеем \ (x = a + h \), и поскольку \ (h = xa \ to 0 \), мы можем видеть, что \ (x \ to a \).

Затем

\ [f '(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ nonumber \]

можно переписать как

\ (F '(a) = \ displaystyle \ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \).

Мы хотим показать, что \ (f (x) \) непрерывно в \ (a \), показав, что \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a). \) Таким образом,

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) & = \ lim_ {x → a} \; \ big (f (x) −f (a) + f (a)) \ big) \\ [4pt]
& = \ lim_ {x → a} \ left (\ frac {f (x) −f (a)} {x − a} ⋅ (x − a) + f (a) \ right) & & \ text {Умножить и разделить} (f (x) −f (a)) \ text {by} x − a.\\ [4pt]
& = \ left (\ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \ right) ⋅ \ left (\ lim_ {x → a} \; (x − a) \ right) + \ lim_ {x → a} f (a) \\ [4pt]
& = f '(a) ⋅0 + f (a) \\ [4pt]
& = f (а). \ end {align *} \)

Следовательно, поскольку \ (f (a) \) определено и \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a) \), мы заключаем, что \ (f \) непрерывно в \ (а \).

Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию \ (f (x) = | x | \).2}} = + ∞ \).

Таким образом, \ (f '(0) \) не существует. Быстрый взгляд на график \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке \ (0 \) (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): функция \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) имеет вертикальную касательную в точке \ (x = 0 \). Он непрерывен в \ (0 \), но не дифференцируем в \ (0 \).

Функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {ases} \) также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение в \ (0 \).

Мы видим, что

\ (е '(0) = \ displaystyle \ lim_ {x → 0} \ frac {x \ sin \ left (1 / x \ right) −0} {x − 0} = \ lim_ {x → 0} \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right) \).

Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю (Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {ases} \) не дифференцируем в \ (0 \).

Итого:

  1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно может быть не дифференцируемой.
  2. Мы видели, что \ (f (x) = | x | \) не может быть дифференцируемым в точке \ (0 \), потому что предел наклона касательных линий слева и справа не одинаков. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в точке \ (0.\) Отсюда заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
  3. Как мы видели в примере с \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \), функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
  4. Как мы видели с \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {cases} \) функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.2 + bx + c, & & \ text {if} x <−10 \\ - \ frac {1} {4} x + \ frac {5} {2}, & & \ text {if} x≥ − 10 \ end {case} \), где \ (x \) и \ (f (x) \) указаны в дюймах. Чтобы машина могла плавно двигаться по рельсам, функция \ (f (x) \) должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой в точке \ (- 10 \). Найдите значения \ (b \) и \ (c \), которые делают \ (f (x) \) одновременно непрерывным и дифференцируемым.

    Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Чтобы автомобиль плавно двигался по рельсам, функция должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой.

    Решение

    Чтобы функция была непрерывной в точке \ (x = −10 \), \ (\ displaystyle \ lim_ {x → 10 ^ -} f (x) = f (−10) \). 2 + bx + (10b − 5) −5} {x + 10} & & \ text {Substitute} c = 10b − 5.2, & & \ text {if} x≥3 \ end {cases} \) как непрерывные, так и дифференцируемые в \ (3 \).

    Подсказка

    Используйте пример \ (\ PageIndex {4} \) в качестве руководства.

    Ответ

    \ (a = 6 \) и \ (b = −9 \)

    Производные инструменты высшего порядка

    Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения - это скорость изменения положения или скорости.Производная скорости - это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее. В совокупности они называются производными более высокого порядка . n}.2−3h} {h} \)

Упростим числитель.
\ (= \ Displaystyle \ lim_ {h → 0} (4x + h − 3) \) Выносим за скобки \ (h \) в числителе и сокращаем, добавляя \ (h \) в знаменатель.
\ (= 4x − 3 \) Возьми предел.

Затем найдите \ (f '' (x) \), взяв производную от \ (f '(x) = 4x − 3. \)

\ (f '' (x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f '(x + h) −f' (x)} {h} \) Используйте \ (f '(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \) с \ (f' (x) \) в место \ (f (x).3 \), найти \ (a (t). \)

Подсказка

Используйте пример \ (\ PageIndex {6} \) в качестве руководства.

Ответ

\ (а (т) = 6т \)

Ключевые концепции

  • Производная функции \ (f (x) \) - это функция, значение которой в \ (x \) равно \ (f '(x) \). {\ text {th}} \).

Ключевые уравнения

\ (е '(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \)

Глоссарий

производная функция
дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная
с дифференциацией \ (a \)
функция, для которой существует \ (f '(a) \), дифференцируема в \ (a \)
дифференцируемый на \ (S \)
функция, для которой \ (f '(x) \) существует для каждого \ (x \) в открытом множестве \ (S \), дифференцируема на \ (S \)
дифференцируемая функция
функция, для которой существует \ (f '(x) \), является дифференцируемой функцией
производная высшего порядка
производная от производной от второй производной до производной \ (n ^ {\ text {th}} \) называется производной более высокого порядка

Авторы и авторство

  • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.2/36)

    Правило степени для производных

    Обычно первое сокращенное правило, которое вы изучаете для поиска производных, - это правило мощности. Причина в том, что это простое правило, которое следует запомнить, и оно применимо ко всем различным функциям. Для числа n правило мощности гласит:

    Давайте начнем с нескольких действительно простых примеров, чтобы увидеть это в действии.

    объявление

    Пример

    Найдите производную каждой функции.{545} \)

    Как видите, все дело в запоминании шаблона. Теперь посмотрим, как этот шаблон можно применить к более сложным примерам.

    Производные полиномиальных функций

    Напомним, что производная константы всегда равна нулю. Итак, производная 5 равна 0, а производная 2 000 также равна 0. Кроме того, вы можете разбить производную на сложение / вычитание и умножение на константы. Объединение этих идей с правилом мощности позволяет нам использовать его для нахождения производной любого многочлена.2 - 6x + 10} \)

    Вы можете подумать, что это все, что вы действительно можете сделать с помощью правила силы. Однако пара старых фактов из алгебры может помочь нам применить это к более широкому кругу функций. Ниже мы рассмотрим два из этих примеров.

    Производные функций с отрицательными показателями

    Правило мощности применяется независимо от того, является ли показатель положительным или отрицательным. Но иногда функцию, не имеющую показателей степени, можно переписать таким образом, чтобы она имела место, используя отрицательные показатели.{3}}} \ end {align} \)

    На последнем этапе обратите внимание, что только члены с отрицательной степенью были перемещены в нижнюю часть дроби. У восьмерки не было отрицательной экспоненты, поэтому она осталась.

    Производные функций с радикалами (квадратные корни и прочие корни)

    Еще одно полезное свойство алгебры заключается в следующем.

    Используя это правило, мы можем взять функцию, записанную с корнем, и найти ее производную, используя правило мощности.

    Пример

    Найдите производную функции.{\ frac {1} {3}}} \\ & = \ dfrac {2} {\ sqrt {x}} - \ dfrac {4} {\ sqrt [3] {x}} \ end {align} \)

    Во многих классах любая из последних двух строк может быть записана в качестве окончательного ответа. Они эквивалентны. Однако у вашего учителя или профессора могут быть предпочтения, поэтому всегда спрашивайте!

    Сводка

    Как студент, изучающий математический анализ, вы хотите, чтобы правило мощности было второй натурой. Оно будет применяться не только так - само по себе, но и как часть других правил, таких как правило цепочки, правило частного и правило продукта.Чем лучше вы это поймете, тем больше сможете сосредоточиться на более сложных идеях.

    объявление

    Продолжить изучение деривативов

    Предыдущая: Производная константы

    Далее: Правило продукта

    Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

    Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

    Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

    Связанные

    Калькулятор производной

    с шагами - Open Omnia

    Войдите в функцию.Используйте x в качестве переменной.
    См. Примеры

    ПОМОЩЬ

    Используйте предоставленную клавиатуру для ввода функций. Используйте x в качестве переменной. Нажмите «РЕШИТЬ», чтобы обработать введенную вами функцию.

    Вот несколько примеров того, что вы можете ввести.

    Вот как вы используете кнопки

    долларов США
    РЕШЕНИЕ Обрабатывает введенную функцию.
    ПРОЗРАЧНЫЙ Удаляет весь текст в текстовом поле.
    DEL Удаляет последний элемент перед курсором.
    а-я Показывает алфавит.
    триг Показывает тригонометрические функции.
    Переместите курсор влево.
    Переместите курсор вправо.{□} {□} N-й корень.
    (□) Скобка.
    журнал База 10.
    пер. Натуральное бревно (база д).
    | $ □ $ | Абсолютное значение.
    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта