Задачи теория вероятности 11 класс – Сборник задач по теории вероятностей (с решениями) 11 класс скачать

Урок итогового повторения по теме "Теория вероятностей в задачах ЕГЭ-2014". 11-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (327,3 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.


Актуальность темы

Очень часто в жизни мы, оценивая возможность наступления какого-либо события, говорим: "Это невозможно", "Это непременно произойдет", "Это маловероятно", "Это обязательно случится". Купив лотерейный билет можно выиграть, а можно и не выиграть; при выстреле можно попасть в мишень, а можно не попасть; при покупке батарейки можно купить бракованную, а можно и не купить. Обыденные и довольно привычные ситуации и выражения имеют серьезные научные математические корни.
Умение проанализировать создавшуюся или возможную ситуацию, умение спрограммировать успешность или неудачу, умение аргументировано отстоять свою позицию – это составляющие компетентности будущего выпускника школы, молодого специалиста, востребованного на рынке труда.

С недавнего времени в школьный курс математики включены вопросы теории вероятностей, но вопросы эти очень сильно разбросаны по классам, количество часов, выделяемое на изучение теории вероятностей ничтожно мало. Поэтому существует потребность каким-то образом систематизировать разрозненные факты и представить в виде целостного блока, содержащего и теоретический материал, и демонстрацию способов решения, и примеры решения задач.

Цели:

  • систематизировать материал по теории вероятностей, изучаемый в школьном курсе математики и вынесенный на итоговую аттестацию в 11 классе;
  • обобщить и расширить знания учащихся об основных понятиях теории вероятностей, о способах и методах решения вероятностных задач.

Планируемые результаты:

  • теоретические знания основных понятий теории вероятностей приведены в определенную систему;
  • изучены методы решения задач;
  • учащиеся достаточно свободно ориентируются в выборе способов решения задач по теории вероятностей.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Сообщение учащимся темы урока, формулировка целей ( слайд 1).

2. Актуализация знаний учащихся

Устный опрос:

– в урне 25 шаров, 13 из которых – белые. Какова вероятность, что случайно взятый из урны шар будет белым?
– в фирме такси в данный момент свободны 2 черных, 5 белых и 7 желтых машины. Найдите вероятность, что к заказчику приедет желтое такси.
– в на экзамене по биологии всего 30 билетов, в 18 из них встречается вопрос о клетке. Найдите вероятность того, что наугад выбранный билет содержит вопрос о клетке.

Проверка домашнего задания.

3. Изучение нового материала

Слайд 2: Повторение понятий случайное событие, вероятность.

Слайд 3: Повторение на примере демонстрации «бросание монеты» понятий испытание, исход, вероятность.

Слайды 4-5: Демонстрация на примере «бросание игральной кости» понятий исход, благоприятный исход, вероятность данного исхода.

Слайд 6: Демонстрация понятия вероятность на примере с колодой игральных карт.

Слайд 7: Повторение понятия вероятность – отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов, свойство вероятности события (значение вероятности не может быть больше 1).

Слайды 8-12: Обобщение знаний о непосредственных методах решения задач теории вероятностей. 1 метод – метод логического перебора (« решение напролом»). Данный метод заключается в простейших подсчетах – переборе всех возможных исходов в заданном испытании и выбор благоприятных. Вероятность вычисляется путем деления количества благоприятных исходов на общее количество исходов. Разбор решения нескольких задач с использованием данного метода:

1) В случайном эксперименте монету бросают два раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз;
2) В случайном эксперименте монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу;
3) В случайном эксперименте монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет два раза.

Слайды 13-14: Второй метод непосредственных вычислений: метод построения таблицы. Таблица вариантов удобна при подсчете числа комбинаций из двух вариантов, например при решении задачи с бросанием игральной кости. В таблицу заносят возможные исходы, пересечение строк и столбцов позволяет отобрать те исходы, которые являются в данном испытании благоприятными. Вероятность вычисляется путем деления количества благоприятных исходов на общее количество исходов. Пример решения задачи с использованием указанного метода: Игральную кость бросают два раза. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 7.

Слайды 15-17: Третий непосредственный метод решения: метод построения полного графа ( дерева). Данный способ решения применим для достаточно сложных задач теории вероятностей и его «наглядность» позволяет овладеть этим приемом решения учащимся с разным уровнем знаний. Заключается метод в том, что все возможные исходы изображаются ребрами в графическом виде и учитывают самые разные варианты. Такая «модель» позволяет легко просчитать все возможные исходы и благоприятные исходы. Демонстрация на примере решения задачи: Антон, Борис и Василий купили 3 билета на 1,2,3 места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места? Какова вероятность, что Антон займет первое место?

Слайд 18: Начало обобщения материала о правилах теории вероятностей.

Слайды 19-21: Дается понятие несовместных событий и приводится правило вычисления вероятности появления хотя бы одного из двух несовместных событий ( правило сложения вероятностей). Два события являются несовместными, если они не могут появиться одновременно в одном и том же испытании. Например, выигрыш, ничейный исход, и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы – три несовместных события. Вероятность суммы двух несовместных событий ( появления хотя бы одного ) равна сумме вероятностей. Знакомство с примерами задач на несовместные события из открытого банка ЕГЭ.

1) На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, относящихся одновременно к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что школьнику на экзамене достанется вопрос по одной из этих тем.

2) Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит более двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что чайник прослужит меньше двух лет, но больше года.

Слайды 22-23: Знакомство с понятием совместных событий и правилом нахождения вероятности появления хотя бы одного события. События называются совместными, если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает возможность появления решки на другой. Вероятность суммы двух совместных событий (появления хотя бы одного) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления. Демонстрация понятия и приема решения на примере решения задач из открытого банка ЕГЭ.

1) В торговом центре два одинаковых кофейных автомата. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах – 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Слайды 24-27: Понятие «независимые события» и правило вычисления вероятности совместного появления независимых событий. Два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Демонстрация понятия и приема решения на примере решения задач из открытого банка ЕГЭ.

1) Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадет в цель четыре выстрела подряд.

2) Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель выбирает в магазине случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
3) Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,17. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Слайды 28-29: Понятие «зависимые события» и правило нахождения вероятности совместного появления двух зависимых событий. Два события являются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло. Демонстрация понятия и приема решения на примере решения задач из открытого банка ЕГЭ.

1) В урне 6 шаров – 2 белых и 4 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые.

Слайды 30-33: Пример задачи на нахождение «полной вероятности», т.е. задачи в которой используются обе теоремы: сложения и умножения вероятностей: для перебора всех возможных вариантов строится граф, при вычислении применяются оба правила. Приводится полное решение задачи.

1) С первого станка поступает 40%, со второго – 30% и с третьего – 30% всех деталей. Вероятность изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответственно 0,01, 0,03, 0,05. Найдите вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной.

Предлагается задача для коллективного решения:

В волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июня, погода в волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июня в Волшебной стране будет отличная погода.

Для закрепления материала предполагается использование тренировочных работ:

– сборник «Математика. ЕГЭ 2014 (2013). Задача В10. Теория вероятностей», под редакци

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Вероятность события. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1. Вероятность события (вариант задачи)

Сложность: лёгкое

1
2. Вероятность события (мячики трёх цветов)

Сложность: среднее

1
3. Вероятность события (код телефона)

Сложность: среднее

3
4. Благоприятные исходы (колода карт)

Сложность: среднее

2
5. Вероятность события (делимость чисел)

Сложность: среднее

2
6. Вероятность события, вычисление числа событий

Сложность: среднее

3
7. Вероятность событий (два игральных кубика)

Сложность: среднее

4
8. Относительная частота

Сложность: среднее

2
9. Вероятность события (машины на дороге)

Сложность: среднее

2
10. Вероятность события (два комплекта карточек)

Сложность: сложное

4
11. Вероятность события (собрание акционеров)

Сложность: сложное

4
12. Вычисление вероятности (рукописи в папках)

Сложность: сложное

3

www.yaklass.ru

Решение задач по теории вероятности

Методическое пособие по решению задач по вероятности
1.Папа. мама, сын и дочка бросили жребий-кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама?
Решение: Всего вариантов-4, поэтому 1:4=0,25
Ответ:0,25
2.Конкурс исполнителей проводится в 5 дней.Всего заявлено 50 выступлений-по одному от каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. порядок выступления определяется жребием.Какова вероятность, что выступление представителя из России состоится в третий день?
Решение:На каждый из четырех оставшихся дней заявлено (50-26):4= 6 выступлений. Значит на интересуемый нас третий день придется 6 выступлений из 50 заявленных. Поэтому вероятность того, что выступление представителя из России состоится в третий день равна 6:50=0,12
ответ:0,12
3.Игральную кость бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?
Решение: Всего может быть 6 вариантов (1,2,3,4,5,6) Менее 4 очков- это 1,2,3 , то есть 3 случая. Поэтому вероятность равна 3:6=0,5
Ответ: 0,5
4.На соревновании по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании, 4 из Швеции. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что Восьмым будет выступать спортсмен из Испании?
Решение: Всего спортсменов 2+2+4=8. Из Испании 2 спортсмена.Значит вероятность равна 2:8=0,25
Ответ:0,25
5.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет орел?

Решение: Если бросить монету дважды может получиться следующая комбинация РР,РО,ОР,ОО,  то есть всего 4 варианта.Нас интересует ОО. Поэтому вероятность равна 1:4=0,25
Ответ:0,25
6. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Витязь" по очереди играет  с командами "Атлант" и "Титан". Найдите вероятность того, чтокоман

www.sites.google.com

План-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему: План открытого урока 11 кл.- Применение комбинаторики при решении задач по теории вероятностей

Разработка урока

по математике в 11 классе

Тема: «Применение комбинаторики при решении задач по теории вероятностей»

Учитель: Березина М.Г.

ГОУ СПб КОР №1

2014год


Разработка урока по математике в 11 классе.

 Тема: «Применение комбинаторики при решении задач по теории вероятностей»

Тип урока: изучение нового материала.

Форма урока: урок-практикум.

Цели: введение основных понятий комбинаторики (сочетания, размещения, перестановки), определение классической формулы вероятности и отработка навыков ее применения при решении задач из тестов ЕГЭ.

Задачи:

- способствовать запоминанию основной терминологии, умению устанавливать события вероятности;

- формировать умение упорядочить полученные знания для рационального применения;

- развитие навыков учащихся в вычислении классической вероятности;

-формирование вероятностного мышления;

- способствовать развитию интереса к математике; умений применять новый материал на практике и в жизни.

Метод обучения: поисковый, словесный, практический, использование некоторых методов и приемов технологии развития критического мышления

Оборудование к уроку: доска, компьютер с проектором.

Ход урока:

I. Организационный момент

Урок сопровождается компьютерной презентацией.

 Сообщить тему и цели урока.

II. Постановка проблемы

Фронтальная работа с классом – разбор задач с практическим содержанием:

Задача №1  Сколькими способами могут занять призовые места в соревнованиях

А) 3 спортсмена; Б) 4 спортсмена; В) 5 спортсменов?

К доске вызываются сначала 3 человека и вместе с классом обсуждается решение задачи, затем 4 человека. Делаем вывод: такой способ выборки нескольких элементов из большого множества в комбинаторике называется размещениями. (порядок важен).

Задача №2  В магазине продаются ручки синего, черного, красного и зеленого цвета. Сколькими способами можно собрать набор из трех ручек разного цвета?

К доске вызывается ученик и ему предлагаются ручки, он собирает наборы, делаем вывод.

Такой способ называется сочетания( порядок не важен).

Задача № 3 Сколькими способами можно расставить на книжной полке пятитомник А.С. Пушкина?

Ученику выдаются карточки с номерами томов, и он должен определить, как можно решить  задачу, используя предыдущие методы. Делаем вывод: если мы набор элементов меняем местами в произвольном порядке, то такие размещения называются перестановками. 

Задача № 4  Монета бросается 4 раза. Каждый раз фиксируется последовательности «орла» и «решки». Сколько различных наборов может получится?

Решение задачи демонстрируется с помощью монеты.

III Запись разобранных задач на использование правил комбинаторики

Включается презентация. На слайдах со 2-го по 6-й еще раз обсуждаются и записываются  разобранные задачи.

Демонстрируются слайды 7-11. Учащиеся записывают определения.

IV. Решение задач из открытого банка задач (Слайды 10-23)

  1. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
  1. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  1. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  1. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
  1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

V. Самостоятельная работа (варианты выдаются учащимся на распечатках)

1   вариант

  1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр  3; 5; 7, если: а) все цифры различны; б) если цифры могут повторяться?
  2. Сколькими способами можно разложить три разных по номиналу монеты в два кармана?
  3. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.
  4. В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 15 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

2 вариант

  1. Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны?
  2. В комнате имеются 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них: а) 7 гостей; б) 3 гостей?
  3. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых
  4. В среднем из 1300 садовых насосов, поступивших в продажу, 13 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Собрать работы учащихся  для проверки.

VI. Подведение итогов (Слайд 26)

Теория вероятностей на ЕГЭ — это достаточно простые задачи под номером В10. С ними справится каждый. Ведь для решения задачи B10 в варианте ЕГЭ понадобятся лишь самые основные понятия теории вероятностей.

Основная формула всего одна — это определение вероятности P: P=m/n,

где m — число устраивающих нас вариантов (благоприятных исходов), а n — общее число возможных вариантов.

Таким образом, все задачи по теории вероятностей сводятся к нахождению чисел n и m. Если внимательно читать условия задач, числа находятся очень быстро.

Домашнее задание

1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлить до сотых.

2. Составить и решить  2 задачи по данной теме.

Анализ урока

В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности.

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о себе самом и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности.

Мы должны научить жить наших детей в вероятностной ситуации, а это, значит, извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.

Не так давно было  принято решение ввести этот материал в курс математики основной школы. Внедрение вероятностно-статистической линии в базовый школьный курс математики породило немало проблем. К его появлению оказались не готовы буквально все - от учителей математики до авторов учебников. Мы до сих пор не имеем ни общей концепции преподавания этого раздела математики в школе, ни достаточного количества учебных пособий для школьников, содержащих соответствующий материал.

С 2012 года организаторы ЕГЭ по математике решили внести в него дополнительное новшество. Задачи B6 отныне будут посвящены вычислению вероятностей случайных событий. При том, что выполнение этих заданий требует наличия у учеников самых элементарных знаний из области теории вероятностей, у многих старшеклассников решение этих задач вызывает серьезные затруднения.

Проведённый урок  - урок-практикум был направлен на формирование навыков решения задач В6 единого государственного экзамена.  В начале урока была обозначена проблема подсчета вариантов выбора нескольких элементов из некоторого множества на примере задач из жизненной практики. Затем введены основные понятия комбинаторики и классическая формула вероятности. Следующий этап урока был посвящён решению задач из открытого банка задач (5 задач). Завершился урок самостоятельной работой учащихся.

Были подведены итоги урока, озвучено домашнее задание.

Урок сопровождался компьютерной презентацией.

nsportal.ru

Презентация к уроку (алгебра, 11 класс) по теме: Презентация к уроку "Решение задач по теории вероятностей"

Слайд 1

Решение задач по теории вероятностей МБОУ «Михайловская средняя общеобразовательная школа» Чертовских А.Ф.

Слайд 2

С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова « Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь». А.Н.Колмогоров « Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях ». Классическое определение вероятности «Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов т, благоприятствующих событию А, к числу п всех исходов испытания». Р(А) = т/ п

Слайд 3

Основатели «Теории вероятности» П.Ферма Я. Бернулли Х. Гюйгенс Б. Паскаль

Слайд 4

Приказом Минобразования России "Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования" от 5 марта 2004 г. № 1089 Элементы теории вероятности и математической статистики были введены в программы по математике

Слайд 5

Понятия Элементарные события (элементарные исходы) опыта-простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт. Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет. Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1

Слайд 6

Схема решения задач 1. Определить, что является элементарным событием (исходом) в данном случайном эксперименте (опыте) 2.Найти общее число элементарных событий ( n) 3.Определить, какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию А, найти их число ( m) 4. Найти вероятность события А по формуле Р(А) = т/ п

Слайд 7

Типы задач I . Задачи, где можно выписать все элементарные события эксперимента . Задача №1. В случайном эксперименте подбрасывают симметричную монету. Какова вероятность выпадения решки? Решение: n =2 m=1 P=0 ,5

Слайд 8

Правило. Если при одном подбрасывании монеты всего равновозможных результатов 2, то для двух – 2•2 для трех – 2•2•2 для n бросаний-2•2•2…….•2 =2ⁿ Задачу можно сформулировать по-другому: бросили 5 монет одновременно. На решение это не повлияет!

Слайд 9

Задача №2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет более 10 очков. Результат округлите до сотых.

Слайд 10

Решение задачи № 2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Результат каждого бросания – 36 равновозможных исходов Благоприятных исходов 3 Вероятность заданного события Р = т/ п Р = 3/36 = 0, 0 8 3 … = 0, 08

Слайд 11

II. Задачи, где все элементарные события выписывать сложно,но можно подсчитать их количество. На соревнования по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании и 4 из Швейцарии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать спортсмен из Испании.

Слайд 12

Решение задачи № 3 Обратить внимание! (первым, вторым, седьмым –не важно!) n=2+2+4 =8 m=2 ( благоприятные исходы-испанцы 2 человека) Р = 2/8=0,25

Слайд 13

III. Использование формулы вероятности противоположного события. Р(А‾) +Р(А) =1 В среднем из 500 фонариков, поступивших в продажу, 5 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный фонарик окажется исправным.

Слайд 14

Решение задачи №4: На стенде испытаний – 500 фонариков Неисправных среди них 5 Вероятность купить неисправный фонарик 5 : 500 = 0,01 Значит, исправный можно купить с вероятностью 1- 0,01 = 0,99

Слайд 15

Задача №4.2 Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо равна 0,05.Покупатель в магазине выбирает одну нову ю ручку. Найти вероятность того , что эта ручка пишет хорошо.

Слайд 16

Решение задачи №4.2 1.Определим событие А – выбранная ручка пишет хорошо. 2.Противоположное событие А‾ 3.Вероятность противоположного события Р(А‾)=0,05 Применяя формулу вероятности противоположных событий, получаем ответ: Р(А)=1-Р( А‾)=1-0,05=0,95

Слайд 17

IV. Задачи, где искомые значения не выводятся из текста. Обратить внимание! n! =1•2•3•4 • … • n 0!=1 Cn ª=n! /а!( n- а)!

Слайд 18

Задача №5 В группе из 20 студентов надо выбрать 2 представителей для выступления на конференции. Сколькими способами можно это сделать?

Слайд 19

Решение задачи № 5 С 20²=20!/2!(20-2)! = 20 •19 •18 …•1/2 •1 •18• 17•…• 1 Ответ: 190

Слайд 20

Литература: «Вероятность и статистика. 5-9 классы.» Е.А. Бунимович , В.А.Булычёв . Издательство «Дрофа»,2006. Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики.- Математика в школе, №4, 2002. «ЕГЭ. 3000 задач с ответами. Математика с теорией вероятностей и статистикой» под редакцией А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. Разработано МИОО. 2011г.

Слайд 21

Сайты: Материалы с сайта www.1september.ru , фестиваль педагогических идей «Открытый урок» Материалы с сайта www.mathege.ru

nsportal.ru

Самостоятельная работа по теме "Теория вероятностей" 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Самостоятельная работа по теме «Теория вероятностей» 11 класс

(подготовка к ЕГЭ)

Вариант 1.

  1. В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выбирают четырёх человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

  2. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,9. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,88. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

  3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОРР (в первый раз выпадает орёл, во второй и третий — решка).

  4. Биатлонист 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

  5. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 2.

  1. На борту самолёта 15 мест рядом с запасными выходами и 25 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Б. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Б. достанется удобное место, если всего в самолёте 400 мест.

  2. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,079. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 86 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

  3. В группе туристов 25 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Н. полетит вторым рейсом вертолёта.

  4. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,86. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,8. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

  5. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая – 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Вариант 3.

  1. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 12 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

  2. Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна 0,95. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

  3. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 13 спортсменов из России, в том числе Владимир Егоров. Найдите вероятность того, что в первом туре Владимир Егоров будет играть с каким-либо спортсменом из России.

  4. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,04. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

  5. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,8. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 24% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 4.

  1. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 60 докладов — первые два дня по 18 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

  2. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,80 С, равна 0,75. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 0С или выше.

  3. Фабрика выпускает сумки. В среднем 15 сумок из 170 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Результат округлите до сотых.

  4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

  5. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Вариант 5.

  1. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 160 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

  2. Вероятность того, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,093. В некотором городе из 1000 проданных блендеров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 94 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

  3. В большой партии насосов в среднем на каждые 992 исправных приходится 8 неисправных насосов. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.

  4. Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

  5. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая – 30%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 6.

  1. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

  2. При изготовлении подшипников диаметром 66 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,962. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 65,99 мм, или больше, чем 66,01 мм.

  3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что наступит исход ООР (в первый и второй разы выпадает орёл, в третий — решка).

  4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что оба автомата неисправны.

  5. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,8. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 35% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Вариант 7.

  1. На борту самолёта 24 мест рядом с запасными выходами и 11 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Б. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Б. достанется удобное место, если всего в самолёте 350 мест.

  2. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,79. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

  3. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 3 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Ш. полетит третьим рейсом вертолёта.

  4. По отзывам покупателей Михаил Михайлович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,82. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,87. Михаил Михайлович заказал товар сразу в обоих магазинах. Найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

  5. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стратор» по очереди играет с командами «Монтёр», «Стартер» и «Протор». Найдите вероятность того, что «Стратор» будет начинать только первую игру.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 8.

  1. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

  2. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 23 пассажиров, равна 0,95. Вероятость того, что окажется меньше 13 пассажиров, равна 0,52. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 13 до 22.

  3. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 46 теннисистов, среди которых 19 спортсменов из России, в том числе Ярослав Исаков. Найдите вероятность того, что в первом туре Ярослав Исаков будет играть с каким-либо теннисистом из России.

  4. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,02. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

  5. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 6 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 5 очков, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

Вариант 9.

  1. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 80 докладов — первые два дня по 30 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

  2. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,80 С, равна 0,72. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,80 С или выше.

  3. В большой партии насосов в среднем на каждые 496 исправных приходится 4 неисправных насоса. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.

  4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,09 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

  5. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,1. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 10.

  1. На олимпиаде по физике участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 180 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 450 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

  2. При изготовлении подшипников диаметром 65 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,971. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 64,99 мм, или больше, чем 65,01 мм.

  3. Фабрика выпускает сумки. В среднем 2 сумки из 120 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Результат округлите до сотых.

  4. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

  5. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 8 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 7 очков, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Ответы:

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Вариант 1

0,4

0,02

0,125

0,13

0,46

Вариант 2

0,1

0,007

0,2

0,028

0,038

Вариант 3

0,35

0,08

0,48

0,9216

0,2072

Вариант 4

0,2

0,25

0,91

0,9856

0,48

Вариант 5

0,2

0,001

0,008

0,04

0,024

Вариант 6

0,25

0,038

0,125

0,0025

0,2865

Вариант 7

0,1

0,11

0,1

0,0234

0,125

Вариант 8

0,325

0,43

0,4

0,9996

0,33

Вариант 9

0,125

0,28

0,008

0,9919

0,78

Вариант 10

0,2

0,029

0,98

0,9025

0,32

infourok.ru

Решение заданий ЕГЭ "Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей" 11 класс

Решение заданий ЕГЭ Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Айшаев Мухадин Муратович

Айшаев Мухадин Муратович учитель математики МКОУ «Средняя общеобразовательная школа с.п.Кара-Суу» и преподаватель «Лицея для одаренных детей» г.Нальчик Айшаев Кязим Мухадинович «Решение заданий ЕГЭ по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» Введение
  • Задания открытого банка заданий ЕГЭ. В презентацию включен необходимый теоретический материал и образцы решений заданий (практика), а также задачи для самостоятельного решения (домашнее задание) и ответы к ним. Может быть полезна учащимся для самостоятельной подготовки к ЕГЭ.
Для успешного решения задач этого типа необходимо:
  • Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
  • Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
  • Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин
  • Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения
Повторить материал по темам:
  • Элементы комбинаторики
  • Поочередный и одновременный выбор
  • Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
  • Элементы статистики
  • Табличное и графическое представление данных
  • Числовые характеристики рядов данных
  • Элементы теории вероятностей
  • Вероятности событий
  • Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач
Классическое определение вероятности
  • Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов.
  • Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.
Формула классической теории вероятностей

Число благоприятных исходов

Число всех равновозможных исходов

Вероятность события =

Вероятность события - это десятичная дробь, а не целое число!

Перестановки
  • Перестановкой множества из n  элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Число перестановок можно вычислить по формуле Pn=n!

Размещения
  • Размещениями множества из n различных элементов по m (m≤n) элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по m элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Сочетания
  • Сочетаниями из n различных элементов по k элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по k элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, k -элементные подмножества данного множества из n элементов).
Задача 1:В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
  • Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков: 6 * 6 = 36. Из них благоприятные исходы можно перечислить: 2+6;6+2; 3+5;5+3; 4+4.
  • Таким образом, всего благоприятных исходов 5. Вероятность найдем, как отношение числа 5 благоприятных исходов к числу всех возможных комбинаций 36. = 0,13888… Округлим до сотых. Ответ: 0, 14.
Задача 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
  • Задача 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
  • Решение: Условие можно толковать так: какова вероятность, что все 4 раза выпадет решка. Вероятность того, что решка выпадет
  • 1 раз равна ,
  • 2 раза равна =(Теорема об умножении вероятностей),
  • 3 раза равна =,
  • а 4 раза равна ()4==0,0625.
Задача 3: Игральный кубик подбрасывают дважды. Определите вероятность того, что при двух бросках выпадет разное количество очков. Результат округлите до сотых.
  • Решение: Всего возможных комбинаций: 6 * 6 = 36. Из них благоприятные исходы можно перечислить: 1-й кубик 2-й кубик 1 очко 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 2 очка 1, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 3 очка 1, 2, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 4 очка 1, 2, 3, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 5 очков 1, 2, 3, 4 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 6 очков 1, 2, 3, 4 или 5 очков. Благоприятных исходов 5. Хотя проще было бы посчитать число неблагоприятных для нас исходов. Когда выпадет одинаковое число очков 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6. Таких исходов 6. Всего исходов 36. Тогда благоприятных исходов 36 – 6 = 30. Итак, всего благоприятных исходов 30. Найдем отношение 30/36 = 0,83333…
  • Ответ. 0,83
Для самостоятельного решения
  • В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,11)
  • В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,14)
  • В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,17)
  • В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,01)
  • В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,07)
Задача 4: Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?
  • Решение: По условию индекс может стоять либо на первом, либо на втором месте:
  • h3NO HNO2
  • h4NO HNO3
  • 2 + 2 = 4
  • Ответ: 4
Задача 5: Сколько разных типов гамет может дать гибрид, гетерозиготный по 3 независимым признакам?
  • а, в, с – признаки
  • 1 случай – гамета не обладает ни одним из этих признаков – только 1тип
  • 2 случай – одним из этих признаков: а; в; с – 3 типа
  • 3 случай - двумя из трех признаков: ав, ас, вс – 3 типа
  • 4 случай – всеми тремя признаками: авс – 1 тип
  • 1+3+3+1=8 типов гамет
  • Ответ: 8
Задача 6: Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2.
  • 111 сотни десятки единицы
  • 112 а в с
  • 121 1 1 1
  • 122 8 2 2 2
  • 211 222=8
  • 212
  • 221
  • 222
Задача 7:Три друга – Антон (А), Борис (Б) и Виктор (В) – приобрели два билета на футбольный матч. Сколько различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?
  • А Б В
  • (АБ)
  • (АВ) 3 варианта посещения
  • (БВ)
  • Сочетание из 3 по 2
  • С3= =3
  • Ответ: 3

2

Задача 8: Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов (А), Григорьев (Г), Сергеев (С) и Федоров (Ф), тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?
  • А Г С Ф – число сочетаний из 4 по 2
  • АГ
  • АС
  • АФ С4==6
  • ГС
  • ГФ
  • СФ
  • Ответ: 6

2

Задача 9: Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих 5 языков? Число размещений: А5= =20 Ответ: 20

2

Задача 10: Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?
  • А Б В
  • Число сочетаний из 3 по 2: 3 способа
  • Количество перестановок: Р2=2!=2
  • СР=3
  • или А-размещения
  • А3==6

2

Задача 11: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться?
  • 12 21 23 32 13 31
  • А3=
  • Ответ: 6

2

Задача 12: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
  • Задача 12: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
  • Решение: Всего участвует 20 спортсменок, из них из Китая 20-(8+7)=5 спортсменок.
  • Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая будет
  • Р =
  • Ответ: 0,25
Задача 13: В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
  • n=25
  • m=23 билета без вопроса о грибах
  • P(A)===0,92
  • Ответ: 0,92
Для самостоятельного решения 1. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии. (0,2) 2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Македонии.(0,16) 3. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.(0,18) 4. В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.(0,475) 5. В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи. (0,25). Задача 14: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  • Задача 14: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  • А = {Насос не подтекает}
  • n=1000
  • m=1000-5=995насосов не подтекают
  • P(A)===0,995
  • Ответ: 0,995
Задача 15: Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  • Задача 15: Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  • А={Сумка качественная}
  • n=100
  • m=100-8 без скрытых дефектов
  • P(A)===0,92
  • Ответ: 0,92
Задача 16: В среднем из 50 аккумуляторов, поступивших в продажу 7 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.
  • Решение: 50-7=43 – исправных аккумуляторов
  • Вероятность – покупка исправного аккумулятора
  • 43 - Число благоприятных исходов 50 - Число всех равновозможных исходов Р = Ответ: 0,86
Для самостоятельного решения
  • Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,96 )
  • Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,96)
  • В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. (0,995)
  • В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.(0,992)
  • Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по шести каналам из сорока восьми показывают документальные фильмы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где документальные фильмы не идут. (0,875)
  • В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. (0,4)
Произведение вероятностей
  • Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.
  • Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
Сложение вероятностей
  • Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
  • Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Список использованной литературы
  • А.Л. Семенов, И.В. Ященко «Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ 2015. Математика»;
  • http://mathege.ru/ - открытый банк заданий по математике.

uchitelya.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *