x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 15\left(-60\right)}}{2\times 15}
Возведите -25 в квадрат.
x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-60\left(-60\right)}}{2\times 15}
Умножьте -4 на 15.
x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+3600}}{2\times 15}
Умножьте -60 на -60.
x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{4225}}{2\times 15}
Прибавьте 625 к 3600.
x=\frac{-\left(-25\right)±65}{2\times 15}
Извлеките квадратный корень из 4225.
x=\frac{25±65}{2\times 15}
Число, противоположное -25, равно 25.
x=\frac{25±65}{30}
Умножьте 2 на 15.
x=\frac{90}{30}
Решите уравнение x=\frac{25±65}{30} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 25 к 65.
x=3
Разделите 90 на 30.
x=\frac{-40}{30}
Решите уравнение x=\frac{25±65}{30} при условии, что ± — минус. Вычтите 65 из 25.
x=-\frac{4}{3}
Привести дробь \frac{-40}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10. {2}-25x-60=5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)
Сократите наибольший общий делитель 3 в 15 и 3.
Материал для подготовке к ЕГЭ по математике
Логарифмические уравнения
1. Найдите корень уравнения .
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 21.
2. Найдите корень уравнения .
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −124.
3. Найдите корень уравнения .
Решение.
Последовательно получаем:
. Ответ: 2.
4. Найдите корень уравнения .
Решение.
Логарифмы двух выражений равны, если сами выражения равны и при этом положительны:
Ответ: 6.
5. Найдите корень уравнения .
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −12.
6 . Найдите корень уравнения .
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −4.
7. Найдите корень уравнения .
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −42.
8. Решите уравнение .
Решение.
Заметим, что и используем формулу Имеем:
Ответ: 2.
9 . Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Решение.
На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:
Итак, на уравнение имеет только один корень. Ответ: 12.
10. Решите уравнение .
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
Ответ: 5.
11. Найдите корень уравнения
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 0.
12. Найдите корень уравнения
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 125.
13. Найдите корень уравнения
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 12.
14. Найдите корень уравнения .
Решение.
Используем формулу :
Приведем другое решение:
Ответ:2.
15 . Найдите корень уравнения .
Решение.
Используя формулу , получаем:
Ответ: 6.
Примечание.
Следует отличать это уравнение от похожего, но другого: . В этом случае имеем:
Линейные, квадратные, кубические уравнения
1.Найдите корень уравнения:
Решение.
Последовательно получаем:
. Ответ: −9.
2. Найдите корень уравнения:
Последовательно получаем:
Ответ: 21.
3.Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Решение.
Сумма корней уравнения равна 15, а их произведение равно 56. Следовательно, это числа 7 и 8. Меньший из них равен 7. Ответ: 7.
4.Решите уравнение .
Решение.
Квадраты чисел равны, если сами числа равны или противоположны. Поэтому:
Ответ: −1.
5. Решите уравнение .
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −3.
6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение.
Последовательно получаем:
Меньший из корней равен −6,5 Ответ: −6,5.
7. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Решение.
Решим квадратное уравнение:
Ответ: 8.
8. Найдите корень уравнения: .
Решение.
Последовательно получаем:
. Ответ: −5.
9. Найдите корень уравнения: .
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 13.
10. Решите уравнение .
Решение.
Используем формулы квадрата разности и квадрата суммы:
Ответ: −6.
11. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −7.
12. Решите уравнение .
Решение.
Выполним преобразования:
Ответ: −1,5.
13. Решите уравнение .
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −4.
14. Найдите корень уравнения ( х – 1 )3 = 8 .
Решение.
Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем
х -1 =2 , откуда х =3.
15. Найдите корень уравнения ( х – 1 )3 =- 8 .
Решение.
Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем
х -1 = — 2 , откуда х =-2.
16 .Найдите корень уравнения ( х+1)3 = — 1000.
Решение.
Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем х +1 = — 10 , откуда х=-11.
17 .Найдите корень уравнения (х+2)5 = 32.
Решение.
Извлекая корень пятой степени из обеих частей уравнения, получаем
х +2 =2 , откуда х = 0.
Рациональные уравнения
1.Найдите корень уравнения:
Решение.
Последовательно получаем:
.Ответ: 3.
2.Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Решение.
Область допустимых значений: . На этой области домножим на знаменатель:
Оба корня лежат в ОДЗ. Меньший из них равен −3. Ответ: −3.
3.решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 2.
4 Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 4.
5. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного
корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение.
Заметим, что числители дробей равны. Имеем:
Ответ: 6.
6. Найдите корень уравнения: .
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 7.
7. Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Решение.
Область допустимых значений: .
При домножим на знаменатель:
Оба корня лежат в ОДЗ. Больший из них равен 5.
Ответ: 5.
8. Найдите корень уравнения:
Решение.
Избавимся от знаменателя:
.
Ответ: 14.
9. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 5.
10. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение.
Область определения уравнения задается соотношением . На области определения имеем:
Оба найденный решения удовлетворяют условию , меньший из них равен −0,5.
Ответ: −0,5.
11. Найдите корень уравнения: .
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 1.
12. Найдите корень уравнения: .
Решение.
Последовательно получаем:
.
Ответ: 0,3.
13. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение.
Заметим, что числители дробей равны. Имеем:
Ответ: 1.
14. Найдите корень уравнения .
Решение.
Если две дроби с равным числителем равны, то равны их знаменатели. Имеем
Ответ:7.
Иррациональные уравнения
1.Найдите корень уравнения .
Решение.
Возведем в квадрат:
Ответ: 55.
2.Найдите корень уравнения .
Решение.
Возведем в квадрат:
. Ответ: 38.
3. Найдите корень уравнения:
Решение.
Возведем в квадрат:
Ответ: −5.
4. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Решение.
Возведем в квадрат:
Ответ: 8.
5.Найдите корень уравнения .
Решение.
Возведем в квадрат:
. Ответ: 0.
6. Найдите корень уравнения .
Решение.
Возведем обе части уравнения в третью степень:
Ответ: 23.
7.Решите уравнение .
Решение.
Возведем в квадрат:
Ответ: 10.
8. Решите уравнение .
Решение.
Возведем в квадрат:
Ответ: −185.
9. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение.
Возведем в квадрат:
Меньший корень равен 1.
Ответ: 1.
10. Найдите корень уравнения .
Решение.
Возведем в квадрат:
Ответ: 87.
11. Найдите корень уравнения .
Решение.
Возведем в квадрат:
.
Ответ: 11.
12. Найдите корень уравнения .
Решение.
Возведем в квадрат:
Ответ: 3.
13. Найдите корень уравнения .
Решение.
Возведем в квадрат:
.
Ответ: 35.
14. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Решение.
Возведем в квадрат:
Ответ: −9.
15. Найдите корень уравнения .
Решение.
Возведем обе части уравнения в третью степень:
Ответ: 31.
16. Решите уравнение .
Решение.
Возведем в квадрат:
Ответ: −2.
17. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение.
Возведем в квадрат:
Уравнение имеет единственный корень, он и является ответом.
Ответ: 6.
Примечание.
Можно было сделать проверку. Подставляя число 6, получаем верное равенство , поэтому число 6 является корнем. Подставляя число −1, получаем неверное равенство , поэтому число −1 не является корнем.
18. Решите уравнение .
Решение.
Возведем в квадрат:
Ответ: −2,5.
Показательные уравнения
1. Найдите корень уравнения .
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
Ответ: −1.
2. Найдите корень уравнения .
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
.
Ответ: 4.
3. Найдите корень уравнения .
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
Ответ: 8,75
4. Найдите корень уравнения .
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
.
Ответ: 12,5.
5. Найдите корень уравнения .
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
.
Ответ: 4.
6. Найдите корень уравнения: .
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
.
Ответ: 8.
7. Найдите корень уравнения .
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
.
Ответ: 10.
8. Найдите решение уравнения:
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
Ответ: 4.
9. Найдите корень уравнения:
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
Ответ: 0.
10. Решите уравнение .
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
Ответ: 3.
11. Решите уравнение .
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
Ответ: −2.
Тригонометрические уравнения
1.Найдите корни уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Решение.
Последовательно получаем:
Значениям соответствуют положительные корни.
Если , то и .
Если , то и .
Значениям соответствуют меньшие значения корней.
Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число .
Ответ: −0,125.
2.Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решение.
Последовательно получим:
Значениям соответствуют положительные корни.
Если , то .
Если , то .
Значениям соответствуют меньшие значения корней.
Следовательно, наименьшим положительным корнем является число .
Ответ: 1.
3.Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решение.
Решим уравнение:
Если , то и .
Значениям соответствуют большие положительные корни.
Значениям соответствуют отрицательные значения корней.
Наименьшим положительным решением является 1.
Ответ: 1.
4. Найдите корни уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Решение.
Последовательно получаем:
Значениям соответствуют положительные корни.
Если , то и .
Если , то и .
Значениям соответствуют меньшие значения корней.
Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число .
Ответ: −4.
5. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решение.
Решим уравнение:
Значению соответствует . Положительным значениям параметра соответствуют положительные значения корней, отрицательным значениям параметра соответствуют меньшие значения корней. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −1.
Ответ: −1.
6. Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решение.
Решим уравнение:
Значениям соответствуют большие положительные корни.
Если , то и .
Если , то и .
Значениям соответствуют меньшие значения корней.
Наименьшим положительным решением является 0,5.
Ответ: 0,5.
Задания В5 — ГИА-ЕГЭ 2021
W — 11 Найдите корень уравнения————— = —. 4x+9 11 |
Найдите корень уравнения————— Х-7 |
„ „ 11 Найдите корень уравнения————— = — 8х-7 5 |
„ „ 11 Найдите корень уравнения—————- = — 2х+ 3 7 |
Найдите корень уравнения θ θ = 2. |
Найдите корень уравнения————— = 2. 2х-4 |
Найдите корень уравнения————— = 1. Х-9 |
Найдите корень уравнения————— = 5. 5х-1 |
Решите уравнение (4x — 7)2 = (4x+15)2. |
Решите уравнение (x+1)2 =(x+ll)2. |
Решите уравнение (2X-13)2 = (2х— 9)2. |
12 Решите уравнение (х—3)2=(x+2)2.
13 Найдите корень уравнения x2 + 14x+40 = 0. Если уравне
Ние имеет более одного корня, укажите меньший из них.
14 Найдите корень уравнения х2 — 4х—60 = 0. Если уравне
Ние имеет более одного корня, укажите меньший из них.
15 Найдите корень уравнения х2 — 4х — 32 = 0. Если уравне
Ние имеет более одного корня, укажите меньший из них.
16 Найдите корень уравнения х2+ Зх — 28 = 0. Если уравне
Ние имеет более одного корня, укажите больший из них.
17 Найдите корень уравнения Vx-5 = 4.
18 Найдите корень уравнения V10x-4 = 4.
19 Найдите корень уравнения √3x — 5 = 1.
20 Найдите корень уравнения >/Зх—2 = 5.
21 Найдите корень уравнения V-41-5x = 2.
22 Найдите корень уравнения V67 — 6х = 7.
23 Найдите корень уравнения V85 —7х = 6.
‘4 _1 | |
1-х9 | 1 |
, 5 | |
Л | |
17-7x | 4 |
F 4 | 1 |
12 —Зх | 15 |
I 1 | 1 |
Ж | |
10-х | 7 |
Решите уравнение |
Решите уравнение |
Решите уравнение |
Решите уравнение |
„ — π(4x-3) √3 n
Найдите корень уравнения cos———————- = В ответе
Запишите наименьший положительный корень.
τj. π(2x+10) √2 _
Найдите корень уравнения cos———————- = —. В ответе
4 2
Запишите наименьший положительный корень.
, π(X—8) /х
Решите уравнение tg—————— = —√3. В ответе напишите
6
Наименьший положительный корень.
τi , π(X-7) [х
Решите уравнение tg—————— = √3. В ответе напишите
3
Наименьший положительный корень.
π(x+9) 1
Решите уравнение tg—————— = В ответе напишите
Наибольший отрицательный корень.
π(8x-3)
Решите уравнение tg—————— = —√3. В ответе напишите
3
Наибольший отрицательный корень.
Найдите корень уравнения 54+x = 125.
Найдите корень уравнения 73+* = 343.
Найдите корень уравнения 3-4+x = 9.
Найдите корень уравнения 7 7+x = 49.
Найдите корень уравнения 83-x = 64.
58 Найдите корень уравнения 8 4 x = 64.
59 Найдите корень уравнения 67 x = 36.
60 Найдите корень уравнения 4 8 x = 64.
∩ чЗх-13
Найдите корень уравнения —
14 J
Найдите корень уравнения |
Найдите корень уравнения |
Найдите корень уравнения |
65 Найдите корень уравнения 42x 1′ |
66 Найдите корень уравнения 52x 14 |
67 Найдите корень уравнения 2х 9 |
Найдите корень уравнения 42x 14 = — 16 |
69 Найдите корень уравнения 16х 7 |
Найдите корень уравнения 25
71 Найдите корень уравнения 16* 4
__ р 1
Найдите корень уравнения 49 ≈-.
∩ ∖-2+x
Найдите корень уравнения — =216.
I46,
/1 \2+х
Найдите корень уравнения — = 36.
16 J
Г 1 )x-2
Найдите корень уравнения — = 2.
Найдите корень уравнения |
И — fl] Найдите корень уравнения — 15, |
/\-3-x Найдите корень уравнения — =729. |
Найдите корень уравнения |
Найдите корень уравнения — |
85 Найдите корень уравнения Iog3 (4 + Х)= Iog316.
86 Найдите корень уравнения Iog3(11 + Х)= Iog317.
87 Найдите корень уравнения Iog3(8 + Х)= Iog315.
88 Найдите корень уравнения Iog7(5 + x) = Iog7 8.
89 Найдите корень уравнения Iog2 (8 — Х)= Iog2 7.
90 Найдите корень уравнения log10(2 — Х)= Iog10 9.
91 Найдите корень уравнения Iog8 (8 — Х)= Iog8 7.
92 Найдите корень уравнения Iog6 (4 — Х)= Iog6 7.
93 Найдите корень уравнения Iog7(— 1 + Х)= 3.
94 Найдите корень уравнения Iog5 (4 + Х)= 2.
95 Найдите корень уравнения Iog8 (3 + л) = 1.
96 Найдите корень уравнения Iog8 (5 + Х)= 2.
97 Найдите корень уравнения Iog8 (4 — Х)= 2.
98 Найдите корень уравнения Iog5(— 1 — Х)= 3.
99 Найдите корень уравнения Iog2(-5 — Х) = 2.
Найдите корень уравнения Iog3 (5 — Х)= 1.
2-5x-60 = 0 Tiger Algebra SolverПошаговое решение:
Шаг 1:
Уравнение в конце шага 1:
(5x 2 - 5x) - 60 = 0
Шаг 2:
Шаг 3:
Термины вытягивания:
3.1 Факторы вытягивания:
5x 2 — 5x — 60 = 5 • (x 2 — x — 12)
Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена
3. 2 Факторинг x 2 — x — 12
Первый член, x 2 , его коэффициент равен 1.
Средний член, -x, его коэффициент -1.
Последний член, «константа», равен -12
Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -12 = -12
Шаг-2: Найдите два множителя -12, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, равному -1.
-12 | + | 1 | = | -11 | ||
-6 | + | 2 | = | -4 | ||
-4 | + | 3 | = | -1 | Вот и все |
Шаг 3: Перепишите полином, разделяя средний член, используя два фактора, найденные на шаге 2 выше, -4 и 3
x 2 — 4x + 3x — 12
Шаг 4: сложите первые 2 члена, вычитая одинаковые множители:
x • (x-4)
Складываем последние 2 члена, вычитая общее коэффициенты:
3 • (x-4)
Шаг 5: сложите четыре члена шага 4:
(x + 3) • (x-4)
Какой желаемый фактор ion
Уравнение в конце шага 3:
5 • (x + 3) • (x - 4) = 0
Шаг 4:
Теория — Истоки продукта:
4. 1 Произведение нескольких членов равно нулю.
Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.
Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно
Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в произведении.
Любое решение условия = 0 также решает произведение = 0.
Уравнения, которые никогда не верны:
4.2 Решить: 5 = 0
Это уравнение не имеет решения.
A ненулевая константа никогда не равна нулю.
Решение уравнения с одной переменной:
4.3 Решите: x + 3 = 0
Вычтите 3 из обеих частей уравнения:
x = -3
Решение уравнения с одной переменной:
4.4 Решите: x-4 = 0
Добавьте 4 к обеим сторонам уравнения:
x = 4
Дополнение: Непосредственное решение квадратного уравнения
Непосредственное решение x 2 -x-12 = 0
Ранее мы учли это полином путем разбиения среднего члена. Давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу
Парабола, найдя вершину:
5.1 Найдите вершину y = x 2 -x-12
Параболы имеют наибольшее или самая низкая точка называется Вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).
Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину.Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.
Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх, через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
Для любой параболы Ax 2 + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A). В нашем случае координата x равна 0,5000
Подставив в формулу параболы 0,5000 для x, мы можем вычислить координату y:
y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 — 12,0
или y = -12,250
Парабола, Графики вершин и пересечений X:
Корневой график для: y = x 2 -x-12
Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {0,50}
Вершина в точке {x, y} = {0.50, -12.25}
x -перехваты (корни):
корень 1 при {x, y} = {-3.00, 0.00}
корень 2 при {x, y} = {4.00, 0.00}
Решите квадратное уравнение с помощью Завершение квадрата
5.2 Решение x 2 -x-12 = 0 путем завершения квадрата.
Добавьте 12 к обеим сторонам уравнения:
x 2 -x = 12
Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 1, разделите его на два, получив 1/2, и возведите его в квадрат. давая 1/4
Добавьте 1/4 к обеим частям уравнения:
В правой части получим:
12 + 1/4 или, (12/1) + (1/4)
Общий знаменатель две дроби равны 4. Сложение (48/4) + (1/4) дает 49/4
Таким образом, сложив обе стороны, мы, наконец, получаем:
x 2 -x + (1/4) = 49/4
Сложение 1/4 превратила левую часть в полный квадрат:
x 2 -x + (1/4) =
(x- (1/2)) • (x- (1/2)) =
( x- (1/2)) 2
Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Так как
x 2 -x + (1/4) = 49/4 и
x 2 -x + (1/4) = (x- (1/2)) 2
то по закону транзитивности,
(x- (1/2)) 2 = 49/4
Мы будем называть это уравнение уравнением. # 5.2.1
Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
Обратите внимание, что квадратный корень из
(x- (1/2)) 2 равен
(x- (1/2)) 2/2 =
(x- (1/2)) 1 =
x- (1/2)
Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению. # 5.2.1 получаем:
x- (1/2) = √ 49/4
Добавляем 1/2 к обеим сторонам, чтобы получить:
x = 1/2 + √ 49/4
Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
x 2 — x — 12 = 0
имеет два решения:
x = 1/2 + √ 49/4
или
x = 1/2 — √ 49/4
Обратите внимание, что √ 49/4 можно записать как
√ 49 / √ 4, что равно 7/2
Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы
5.3 Решение x 2 -x-12 = 0 по квадратичной формуле.
Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax 2 + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как:
— B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A
В нашем случае A = 1
B = -1
C = -12
Соответственно B 2 — 4AC =
1 — (-48) =
49
Применение квадратичной формулы:
1 ± √ 49
x = —————
2
Можно ли упростить √ 49?
Да! Разложение на простые множители 49 равно
7 • 7
Чтобы можно было удалить что-либо из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i. е. второй корень).
√ 49 = √ 7 • 7 =
± 7 • √ 1 =
± 7
Итак, теперь мы смотрим на:
x = (1 ± 7) / 2
Два реальных решения:
x = ( 1 + √49) / 2 = (1 + 7) / 2 = 4.000
или:
x = (1-√49) / 2 = (1-7) / 2 = -3.000
Были найдены два решения :
- x = 4
- x = -3
Извлечение квадратного корня
Извлечение квадратного корня
Напомним, что квадратное уравнение имеет стандартную форму Любое квадратное уравнение в форме ax2 + bx + c = 0, где a , b и c — действительные числа и a 0.если он равен 0:
, где a , b и c — действительные числа и a 0. Решение такого уравнения называется корневым решением квадратного уравнения в стандартной форме. Квадратные уравнения могут иметь два действительных решения, одно действительное решение или не иметь реального решения. Если квадратное выражение слева множители, то мы можем решить его путем факторизации. Обзор шагов, используемых для решения с помощью факторинга, следующий:
Шаг 1: Выразите квадратное уравнение в стандартной форме.
Шаг 2: Разложите квадратное выражение на множители.
Шаг 3: Примените свойство нулевого произведения и установите каждый переменный коэффициент равным 0.
Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения.
Например, мы можем решить x2−4 = 0, разложив на множители следующим образом:
Двумя решениями являются −2 и 2. Цель этого раздела — разработать альтернативный метод, который можно использовать для простого решения уравнений, где b = 0, давая форму
Уравнение x2−4 = 0 находится в этой форме и может быть решено, сначала выделив x2.
Если извлечь квадратный корень из обеих частей этого уравнения, мы получим следующее:
Здесь мы видим, что x = −2 и x = 2 являются решениями полученного уравнения. В общем, это описывает свойство квадратного корня для любого действительного числа k , если x2 = k, то x = ± k .; для любого действительного числа к ,
Обозначение «±» читается как «плюс или минус» и используется как компактное обозначение, обозначающее два решения.Следовательно, утверждение x = ± k указывает, что x = −k или x = k. Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения называется извлечением корней Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения.
Пример 1: Решить: x2−25 = 0.
Решение: Начните с выделения квадрата.
Затем примените свойство квадратного корня.
Ответ: Решения — 5 и 5.Чек предоставляется читателю.
Конечно, предыдущий пример можно было бы так же легко решить с помощью факторинга. Тем не менее, он демонстрирует метод, который можно использовать для решения уравнений в этой форме, которые не учитывают факторы.
Пример 2: Решить: x2−5 = 0.
Решение: Обратите внимание, что квадратичное выражение слева не учитывается. Мы можем извлечь корни, если сначала выделим главный член x2.
Примените свойство квадратного корня.
Для полноты проверьте, что эти два действительных решения решают исходное квадратное уравнение. Как правило, проверка не является обязательной.
Ответ: Решения — 5 и 5.
Пример 3: Решить: 4×2-45 = 0.
Решение: Начните с изоляции x2.
Примените свойство квадратного корня, а затем упростите.
Ответ: Решения -352 и 352.
Иногда квадратные уравнения не имеют реального решения.
Пример 4: Решить: x2 + 9 = 0.
Решение: Начните с изоляции x2.
После применения свойства квадратного корня у нас остается квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, у этого уравнения нет реального решения.
Ответ: Реального решения нет
Обратитесь к этому процессу, чтобы найти уравнения с заданными решениями вида ± k .
Пример 5: Найдите уравнение с решениями −23 и 23.
Решение: Начните с возведения в квадрат обеих частей следующего уравнения:
Наконец, вычтите 12 из обеих частей и представьте уравнение в стандартной форме.
Ответ: x2−12 = 0
Попробуй! Решить: 9×2−8 = 0.
Ответ: x = −223 или x = 223
Рассмотрите возможность решения следующего уравнения:
Чтобы решить это уравнение путем факторизации, сначала возведите в квадрат x + 2, а затем представьте его в стандартной форме, равной нулю, путем вычитания 25 из обеих частей.
Фактор и затем примените свойство нулевого продукта.
Два решения: −7 и 3.
Когда уравнение имеет такую форму, мы можем получить решения за меньшее количество шагов, извлекая корни.
Пример 6: Решите: (x + 2) 2 = 25.
Решение: Решите, извлекая корни.
На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и упростите каждое по отдельности.
Ответ: Решения −7 и 3.
В дополнение к меньшему количеству шагов этот метод позволяет нам решать уравнения, которые не учитывают множители.
Пример 7: Решите: (3x + 3) 2−27 = 0.
Решение: Начните с выделения квадрата.
Затем извлеките корни и упростите.
Решите для x .
Ответ: Решения: −1−3 и −1 + 3.
Пример 8: Решить: 9 (2x − 1) 2−8 = 0.
Решение: Начните с выделения квадратного множителя.
Примените свойство квадратного корня и решите.
Ответ: Решения 3−226 и 3 + 226.
Попробуй! Решите: 3 (x − 5) 2−2 = 0.
Ответ: 15 ± 63
Пример 9: Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.
Раствор:
Диагональ любого прямоугольника образует два прямоугольных треугольника. Таким образом, применима теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы:
Решить.
Здесь мы получаем два решения, w = −25 и w = 25. Поскольку в задаче требовалась длина прямоугольника, мы игнорируем отрицательный ответ. Кроме того, мы рационализируем знаменатель и представим наши решения без каких-либо радикалов в знаменателе.
Обратно подставьте, чтобы найти длину.
Ответ: Длина прямоугольника составляет 455 футов, а ширина — 255 футов.
Основные выводы
- Решите уравнения вида ax2 + c = 0, извлекая корни.
- Извлечение корней включает выделение квадрата и последующее применение свойства квадратного корня.
После применения свойства квадратного корня у вас есть два линейных уравнения, каждое из которых можно решить. Обязательно упростите все радикальные выражения и при необходимости рационализируйте знаменатель.
Тематические упражнения
Часть A: Извлечение квадратного корня
Решите с помощью факторизации, а затем извлеките корни.Проверить ответы.
1. x2−36 = 0
2. x2-81 = 0
3. 4y2−9 = 0
4. 9y2−25 = 0
5. (x − 2) 2−1 = 0
6. (x + 1) 2−4 = 0
7. 4 (y − 2) 2−9 = 0
8. 9 (y + 1) 2−4 = 0
9. −3 (t − 1) 2 + 12 = 0
10. −2 (t + 1) 2 + 8 = 0
11. (x − 5) 2−25 = 0
12. (x + 2) 2−4 = 0
Решите, извлекая корни.
13. x2 = 16
14. x2 = 1
15. y2 = 9
16. y2 = 64
17. x2 = 14
18. x2 = 19
19. y2 = 0,25
20. y2 = 0,04
21. x2 = 12
22. x2 = 18
23. 16×2 = 9
24. 4×2 = 25
25. 2t2 = 1
26.3t2 = 2
27. x2−100 = 0
28. x2−121 = 0
29. y2 + 4 = 0
30. y2 + 1 = 0
31. x2−49 = 0
32. x2−925 = 0
33. y2−0.09 = 0
34. y2−0,81 = 0
35. x2−7 = 0
36. x2−2 = 0
37. x2−8 = 0
38. t2−18 = 0
39. x2 + 8 = 0
40.х2 + 125 = 0
41. 16×2−27 = 0
42. 9×2-8 = 0
43. 2y2−3 = 0
44. 5y2−2 = 0
45. 3×2−1 = 0
46. 6×2−3 = 0
47. (x + 7) 2−4 = 0
48. (x + 9) 2−36 = 0
49. (2y − 3) 2−81 = 0
50. (2у + 1) 2−25 = 0
51. (x − 5) 2−20 = 0
52. (x + 1) 2−28 = 0
53.(3t + 2) 2−6 = 0
54. (3т − 5) 2−10 = 0
55,4 (y + 2) 2−3 = 0
56,9 (y − 7) 2−5 = 0
57,4 (3x + 1) 2−27 = 0
58. 9 (2x − 3) 2−8 = 0
59,2 (3x − 1) 2 + 3 = 0
60,5 (2x − 1) 2−3 = 0
61,3 (y − 23) 2−32 = 0
62. 2 (3y − 13) 2−52 = 0
Найдите квадратное уравнение стандартной формы со следующими решениями.
63. ± 7
64. ± 13
65. ± 7
66. ± 3
67. ± 35
68. ± 52
69. 1 ± 2
70,2 ± 3
Решите и округлите решения до сотых.
71. 9x (x + 2) = 18x + 1
72. x2 = 10 (x2−2) −5
73. (x + 3) (x − 7) = 11−4x
74.(x − 4) (x − 3) = 66−7x
75. (x − 2) 2 = 67−4x
76. (x + 3) 2 = 6x + 59
77. (2x + 1) (x + 3) — (x + 7) = (x + 3) 2
78. (3x − 1) (x + 4) = 2x (x + 6) — (x − 3)
.Составьте алгебраическое уравнение и используйте его для решения следующих задач.
79. Если 9 вычесть из четырех квадратов числа, то результат будет 3. Найдите число.
80. Если из квадрата числа вычесть 20, то получится 4.Найдите номер.
81. Если к тройному квадрату числа прибавить 1, то получится 2. Найдите число.
82. Если 3 прибавить к двукратному квадрату числа, то получится 12. Найдите число.
83. Если квадрат имеет площадь 8 квадратных сантиметров, найдите длину каждой стороны.
84. Если круг имеет площадь 32π квадратных сантиметра, найдите длину радиуса.
85.Объем правого кругового конуса составляет 36π кубических сантиметров при высоте 6 сантиметров. Найдите радиус конуса. (Объем правого кругового конуса равен V = 13πr2h.)
86. Площадь поверхности сферы составляет 75π квадратных сантиметров. Найдите радиус сферы. (Площадь поверхности сферы определяется как SA = 4πr2.)
87. Длина прямоугольника в 6 раз больше его ширины. Если площадь составляет 96 квадратных дюймов, найдите размеры прямоугольника.
88. Основание треугольника вдвое больше его высоты. Если площадь составляет 16 квадратных сантиметров, то найдите длину его основания.
89. Квадрат имеет площадь 36 квадратных единиц. На какую равную величину необходимо увеличить стороны, чтобы получить квадрат с удвоенной заданной площадью?
90. Круг имеет площадь 25π квадратных единиц. На какую величину нужно увеличить радиус, чтобы создать круг с удвоенной заданной площадью?
91.Если стороны квадрата равны 1 единице, то найдите длину диагонали.
92. Если стороны квадрата равны 2 единицам, найдите длину диагонали.
93. Диагональ квадрата составляет 5 дюймов. Найдите длину каждой стороны.
94. Диагональ квадрата составляет 3 дюйма. Найдите длину каждой стороны.
95. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 10 футов, найдите размеры прямоугольника.
96. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 8 футов, найдите размеры прямоугольника.
97. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ 5 метров, то найдите размеры прямоугольника.
98. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.
99. Высота в футах объекта, падающего с 9-футовой лестницы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 9, где t представляет время в секундах после падения объекта.Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Подсказка: когда объект ударяется о землю, высота равна 0.)
100. Высота в футах объекта, сброшенного с 20-футовой платформы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 20, где t представляет время в секундах после того, как объект был сброшен. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю?
101. Высота в футах объекта, падающего с вершины 144-футового здания, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 144, где t измеряется в секундах.
а. Сколько времени потребуется, чтобы достичь половины расстояния до земли, 72 фута?
г. Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?
Округлите до сотых долей секунды.
102. Высота в футах объекта, сброшенного с самолета на высоте 1600 футов, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 1,600, где t — в секундах.
а. Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли на половину расстояния?
г.Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?
Округлить до сотых долей секунды .
Часть B: Обсуждение
103. Создайте собственное уравнение, которое можно решить, извлекая корень. Поделитесь им и решением на доске обсуждений.
104. Объясните, почему метод извлечения корней значительно расширяет наши возможности решать квадратные уравнения.
105. Объясните своими словами, как решить, извлекая корни.
106. Выведите формулу диагонали квадрата через его стороны.
ответов
1: −6, 6
3: −3/2, 3/2
5: 1, 3
7: 1/2, 7/2
9: -1, 3
11: 0, 10
13: ± 4
15: ± 3
17: ± 1/2
19: ± 0.5
21: ± 23
23: ± 3/4
25: ± 22
27: ± 10
29: Реального решения нет
31: ± 2/3
33: ± 0,3
35: ± 7
37: ± 22
39: Реального решения нет
41: ± 334
43: ± 62
45: ± 33
47: −9, −5
49: −3, 6
51: 5 ± 25
53: -2 ± 63
55: −4 ± 32
57: -2 ± 336
59: Реального решения нет
61: 4 ± 326
63: x2−49 = 0
65: x2−7 = 0
67: x2−45 = 0
69: x2−2x − 1 = 0
71: ± 0. 33
73: ± 5,66
75: ± 7,94
77: ± 3.61
79: −3 или 3
81: −33 или 33
83:22 сантиметра
85:32 сантиметра
87: длина: 24 дюйма; ширина: 4 дюйма
89: −6 + 62≈2,49 ед.
91: 2 шт.
93: 522 дюйма
95: Длина: 45 футов; ширина: 25 футов
97: Длина: 3102 метра; ширина: 102 метра
99: 3/4 секунды
101: а.2,12 секунды; б. 0,88 секунды
Квадратичная факторизацияс использованием разделения среднего члена
Covid-19 привела к феноменальному переходу в мире.
За электронным обучением будущее уже сегодня.
Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!
Квадратичная факторизация с использованием разделения среднего члена: В этом методе разбиение среднего члена на два фактора.
В квадратичной факторизации с использованием разделения среднесрочного члена, который представляет собой x-член, представляет собой сумму двух факторов и произведение, равное последнему члену.
Чтобы разложить на множители форму: ax 2 + bx + c | Фактор: 6x 2 + 19x + 10 |
1) Найдите произведение 1-го и последнего слагаемых (axc) . | 6 x 10 = 60 |
2) Найдите множители 60 таким образом, чтобы сложение или вычитание этих множителей равнялось среднему члену (19x) (разделение среднего члена) | 15 x 4 = 60 и 15 + 4 = 19 |
3) Напишите центральный член, используя сумму двух новых множителей, включая соответствующие знаки. | 6x 2 + 15x + 4x + 10 |
4) Сгруппируйте термины для образования пар — первая
два условия и два последних срока. ![]() | 3x (2x + 5) + 2 (2x + 5) |
5) Вынести за скобки общий (общий) биномиальные скобки. | (3x + 2) (2x + 5) |
Квадратичная факторизация с использованием разделения среднесрочного периода
Пример: Найдите множители 6x 2 — 13x + 6 6x 2 -13 x + 6 ——> (1) а.c = Произведение 6 и 6 = 36 Факторы 36 = 2,18 = 3,12 = 4,9 Только множители 4 и 9 дают 13 -> (4 + 9) Для — 13, оба фактора имеют отрицательный знак. — 4 — 9 = — 13 Уравнение (1) ⇒ 6x 2 — 4x — 9x + 6 ⇒ 2x (3x — 2) — 3 (3x — 2) ⇒ (3x — 2) (2x — 3 ) являются факторами.
|