Найти производные заданных функций: Дифференцирование функции, заданной неявно

Найти производную функцию у = f(x) с примерами решения и ответами

Содержание:

1. Примеры с решением
2. Логарифмическая производная
3. Геометрические приложения производной
4. Производная показательно-степенной функции
5. Производная функции, заданной параметрически
6. Производная неявной функции

Производная элементарной функции. Напомним, что элементарной называется функция , которую можно задать одним аналитическим выражением, составленным из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и операций взятия функции от функции (сложная функция), последовательно примененных конечное число раз.

На основании знания таблицы производных основных элементарных функций и правил дифференцирования можно взять производную от любой элементарной функции, какой бы сложной она не была. И эта производная также будет элементарной функцией.

Примеры с решением

Пример 15.3.

Найти производную функции

Решение:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Пример 14.1.

.

Решение:

Пример 14.2.

Решение:

Находить так производные — долго и сложно. Поэтому при практическом дифференцировании будем пользоваться формулами, полученными в лекциях. Решим так несколько примеров, на основе формулы (14.7) дифференцирования степени.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Исследование графика функции

Сумма ряда

Уравнение прямой

Уравнение прямой через две точки

Пример 14.

3.

Решение:

Пример 14.4.

Решение:

Пример 14.5. Решение:

Пример 14.6.

Решение:

Логарифмическая производная

Производная функции, заданной параметрически.

Производная неявной функции. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Угол между двумя кривыми.

В этой лекции мы прежде всего рассмотрим некоторые дополнения к дифференцированию функций, а затем приложения понятия производной к геометрическим и физическим задачам.

Пусть дана некоторая дифференцируемая функция . Прологарифмируем обе части этого выражения:

А теперь продифференцируем его пo , помня, что :

откуда

Определение 16.1.

Операция, состоящая в последовательном применении к равенству сначала логарифмирования, а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а производная, определяемая по формуле (16. 1) — логарифмической производной.

С помощью логарифмического дифференцирования мы легко можем вывести формулу (14.7), которая ранее была дана без вывода:

Из полученного уравнения находим:

Геометрические приложения производной

Они основаны на ее геометрическом смысле, установленном нами в лекции 14.

Получим на основании этого уравнение касательной к кривой в точке (рис. 97).

Уравнение любой прямой , проходящей через данную точку с заданным коэффициентом получено в лекции 3: . Для касательной к графику функции в точке как мы установили в лекции 14, угловой коэффициент . Тогда и уравнение искомой касательной будет:

Как известно, если прямые и перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением . Тогда если угловой коэффициент нормали в точке к графику функции обозначить , то он будет равен следовательно, уравнение нормали в точке к графику функции примет вид:

Определим теперь угол между двумя кривыми и в точке их пересечения (рис. 98). Очевидно, что этот угол равен углу между касательными и к кривым и , проведенным в точке их пересечения .

Очевидно, что . Откуда

Следовательно,

Пример 16.5.

Найти уравнения касательной и нормали к параболе в точке

Решение:

По (16.3) и (16.4) имеем уравнение искомой касательной :

и нормали N:

Пример 16.6.

Найти угол , под которым пересекаются параболы и . Решение:

Найдем точки пересечения кривых и . Для этого решим систему:

Таким образом, параболы пересекаются в двух точках: и (рис. 99)

По формуле (16.5) находим углы.

В точке :

В точке :

В первом случае угол получился отрицательным, так как кривая при расположена выше .

Производная показательно-степенной функции

Пусть и — дифференцируемые функции. Тогда функция называется показательно-степенной. Ее производная может быть найдена также с помощью логарифмического дифференцирования:

Пример 16.

1.

Найти производную функции

Решение:

Логарифмическое дифференцирование также удобно использовать, когда функция задается в виде произведения и частного нескольких степенных выражений.

Пример 16.2.

Найти производную функции

Решение:

Вычислить производную заданной функции, непосредственно как частного, оказалось бы значительно сложнее.

Производная функции, заданной параметрически

Параметрическое задание функции и примеры такого задания приводились нами в лекции 3. Напомним, что функция задается параметрически, если она определяется через параметр по закону:

Будем считать и дифференцируемыми функциями параметра и, следовательно, непрерывными. Отсюда следует, что если , то и .

Найдем

Таким образом, производная функции, заданной параметрически, определяется формулой:

Пример 16.3.

Найти производную функции

график которой называется циклоидой (рис. 27).

Решение:

По формуле (16.2):

Производная неявной функции

Напомним, что функция называется неявной, неявно-заданной, если она определяется выражением . В каждом конкретном случае, продифференцировав такое выражение по , считая у функцией , получим линейное уравнение для производной , из которого ее и определим.

Пример 16.4.

Найти производную функции, заданной неявно

Решение:

В нашем примере в другой точке пересечения при , расположена выше .

Пример 16.6.

Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение:

В точке находим значения функции и ее производной:

Подставим теперь , и в уравнения касательной (16.3) и нормали (16.4):

уравнение касательной:

уравнение нормали:

Пример 16.7.

Составьте уравнения касательной и нормали к кривой, заданной параметрическими уравнениями

в точке со значением параметра .

Решение:

В точке, где находим значения и производной:

Следовательно, уравнения искомых кривых будут:

уравнение касательной:

уравнение нормали:

Пример 16.8.

Найти угол пересечения кривых и на отрезке .

Решение:

Находим точку пересечения кривых:

По формуле 16.5:

Производная заданной функции. §7 Производная от функции, заданной неявно

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f»(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y». Отметим, что y» = f(x) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f»(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f»(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f»(x) \), т.

2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f»(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f»(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f»(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется

дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. 2} $$

Будем учиться находить производные функций, заданных неявно, то есть заданных некоторыми уравнениями, связывающими между собой переменные x и y . Примеры функций, заданных неявно:

,

,

Производные функций, заданных неявно, или производные неявных функций, находятся довольно просто. Сейчас же разберём соответствующее правило и пример, а затем выясним, для чего вообще это нужно.

Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек — это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как .

Далее из всего этого нужно выразить этот «игрек штрих» и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примере.

Пример 1.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек — функция от икса:

Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:

Теперь кое-что о неоднозначном свойстве функций, заданных неявно, и почему нужны особенные правила их дифференцирования. В части случаев можно убедиться, что подстановка в заданное уравнение (см. примеры выше) вместо игрека его выражения через икс приводит к тому, что это уравнение обращается в тождество. Так. приведённое выше уравнение неявно определяет следующие функции:

После подстановки выражения игрека в квадрате через икс в первоначальное уравнение получаем тождество:

.

Выражения, которые мы подставляли, получились путём решения уравнения относительно игрека.

Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию

то получили бы ответ как в примере 1 — от функции, заданной неявно:

Но не всякую функцию, заданную неявно, можно представить в виде y = f (x ) . Так, например, заданные неявно функции

не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.

Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Выражаем игрек штрих и — на выходе — производная функции, заданной неявно:

Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем и получаем производную:

.

Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу.

Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Поскольку мои уроки носят практическую направленность, я стараюсь избегать определений, формулировок теорем, но здесь это будет уместно сделать. А что такое вообще функция?

Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции .

Переменная называется независимой переменной или аргументом .
Переменная называется зависимой переменной или функцией .

Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае – и есть функция.

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.

Рассмотрим функцию

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы» . То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную .

Рассмотрим другую функцию:

Здесь переменные и расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.

Разрешите познакомить: – пример неявной функции .

В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены.

И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.

Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму без камня перед тремя дорожками.

Пример 1

1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:

2) Используем правила линейности производной (первые два правила урока Как найти производную? Примеры решений ):

3) Непосредственное дифференцирование.
Как дифференцировать и совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть «игреки»?

– просто до безобразия, производная от функции равна её производной : .

Как дифференцировать
Здесь у нас сложная функция . Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция, – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции :

Произведение дифференцируем по обычному правилу :

Обратите внимание, что – тоже сложная функция, любой «игрек с наворотами» – сложная функция :

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:

Если есть скобки, то раскрываем их:

4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное:

5) В левой части выносим производную за скобки:

6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:

Производная найдена. Готово.

Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию можно переписать так: . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» более общая и корректная, – эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под фразой «неявная функция» понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.

Второй способ решения

Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные . Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт , иначе в голове будет полная каша.

Найдем производную неявной функции вторым способом.

Переносим все слагаемые в левую часть:

И рассматриваем функцию двух переменных:

Тогда нашу производную можно найти по формуле
Найдем частные производные:

Таким образом:

Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему «Производная функции одной переменной», знать частные производные как бы еще не должен.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2

Найти производную от функции, заданной неявно

Навешиваем штрихи на обе части:

Используем правила линейности:

Находим производные:

Раскрываем все скобки:

Переносим все слагаемые с в левую часть, остальные – в правую часть:

В левой части выносим за скобку:

Окончательный ответ:

Пример 3

Найти производную от функции, заданной неявно

Полное решение и образец оформления в конце урока.

Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от дробей нужно избавляться. Рассмотрим еще два примера.

Пример 4

Найти производную от функции, заданной неявно

Заключаем обе части под штрихи и используем правило линейности:

Пусть функция задана неявно в виде уравнения
. Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно производной , найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную получим вторую производную от неявной функции. Подставляя уже найденное значение в выражение второй производной, выразим через х и у. Аналогично поступаем для нахождения производной третьего порядка (и дальше).

Пример.Найти , если
.

Решение: дифференцируем уравнение по х :
. Отсюда находим
. Далее .

Производные высших порядков от функций заданных параметрически.

Пусть функция
задана параметрическими уравнениями
.

Как известно первая производная находится по формуле
. Найдем вторую производную
, т.е.
. Аналогично
.

Пример. Найти вторую производную
.

Решение: находим первую производную
. Находим вторую производную
.

Дифференциал функции.

Пусть функция
дифференцируема на
. Производная этой функции в некоторой точке
определяется равенством
. Отношение
при
, следовательно отличается от производной
на величину б.м., т.е. можно записать
(
). Умножим все на
, получим
. Приращение функции
состоит из двух слагаемых. первое слагаемое
— главная часть приращения, есть дифференциал функции.

Опр. Дифференциалом функции
называется произведение производной на приращение аргумента. Обозначается
.

Дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением
.

(). Таким образом, формулу для дифференциала можно записать
. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал независимой переменной. Из этого соотношения следует, что производную можно рассматривать как отношение дифференциалов
.

Дифференциал используют в приближенных вычислениях. Так как в выражении
второе слагаемое
бесконечно малая величина пользуются приближенным равенством
или в развернутом виде

Пример: вычислить приближенное значение
.

Функция
имеет производную
.

По формуле (*) : .

Пример: найти дифференциал функции

Геометрический смысл дифференциала.

К графику функции
в точке М(x ;y ) проведем касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки x +∆ x . На рисунке АМ=∆х АМ 1 =∆у из ∆МАВ
, отсюда
, но согласно геометрическому смыслу касательной
. Поэтому
. Сравнивая эту формулу с формулой дифференциала получаем, что
, т.е. дифференциал функции
в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение ∆х .

Правила вычисления дифференциала.

Поскольку дифференциал функции
отличается от производной множителем
, то все правила вычисления производной используются и для вычисления дифференциала (отсюда и термин «дифференцирование»).

Пусть даны две дифференцируемые функции
и
, тогда дифференциал находится по следующим правилам:

1)

2)
с – const

3)

4)
(
)

5) для сложной функции
, где

(т.к.
).

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Приложения производной.

Теоремы о среднем значении.

Теорема Ролля . Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема в открытом промежутке
и если принимает на концах отрезка равные значения
, то в интервале
найдется, хотя бы одна такая точка с , в которой производная обращается в ноль, т. е.
, a c b .

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции
найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох .

Теорема Лагранжа . Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
, то найдется, хотя бы одна точка
такая, что выполняется равенство .

Формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке
равно приращению аргумента, умноженному на значение производной в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: на графике функции
найдется точка С(с; f (c )) , в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ .

Теорема Коши . Если функции
и
непрерывны на отрезке
, дифференцируемы на интервале
, причем
для
, то найдется хотя бы одна точка
такая, что выполняется равенство
.

Теорема Коши служит основанием для нового правила вычисления пределов.

Правило Лопиталя.

Теорема: (Правило Лопиталя раскрытие неопределенностей вида ). Пусть функции
и
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х 0 и обращаются в нуль в этой точки
. И пусть
в окрестности точки х 0 . если существует предел
, то
.

Доказательство: применим к функциям
и
теорему Коши для отрезка

Лежащего в окрестности точки х 0 . Тогда
, где x 0 c x . Так как
получаем
. Перейдем к пределу при

. Т.к.
, то
, поэтому
.

Итак предел отношения двух б.м. равен пределу отношения их производных, если последний существует
.

Теорема. (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
) Пусть функции
и
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х 0 (кроме, может быть, точки х 0 ), в этой окрестности
,
. Если существует предел

, то
.

Неопределенности вида (
) сводятся к двум основным (),
путем тождественных преобразований.

Пример:

Или короче — производная неявной функции. Что такое неявная функция? Поскольку мои уроки носят практическую направленность, я стараюсь избегать определений, формулировок теорем, но здесь это будет уместно сделать. А что такое вообще функция?

Функция одной переменной — это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции .

Переменная называется независимой переменной или аргументом .
Переменная называется зависимой переменной или функцией .

Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае — и есть функция.

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.

Рассмотрим функцию

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа — только «иксы» . То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную .

Рассмотрим другую функцию:

Здесь переменные и расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.

Разрешите познакомить: — пример неявной функции .

В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены.

И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.

Да, и сообщу хорошую новость — рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму без камня перед тремя дорожками.

Пример 1

1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:

2) Используем правила линейности производной (первые два правила урока Как найти производную? Примеры решений ):

3) Непосредственное дифференцирование.
Как дифференцировать и совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть «игреки»?

Просто до безобразия, производная от функции равна её производной : .

Как дифференцировать

Здесь у нас сложная функция . Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» — САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (см. определение в начале урока). Таким образом, синус — внешняя функция, — внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции :

Произведение дифференцируем по обычному правилу :

Обратите внимание, что — тоже сложная функция, любой «игрек с наворотами» — сложная функция :

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:

Если есть скобки, то раскрываем их:

4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть — переносим всё остальное:

5) В левой части выносим производную за скобки:

6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:

Производная найдена. Готово.

Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию можно переписать так: . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» более общая и корректная, — эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под фразой «неявная функция» понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.

Второй способ решения

Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные. Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт, иначе в голове будет полная каша.

Найдем производную неявной функции вторым способом.

Переносим все слагаемые в левую часть:

И рассматриваем функцию двух переменных:

Тогда нашу производную можно найти по формуле

Найдем частные производные:

Таким образом:

Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему «Производная функции одной переменной», знать частные производные как бы еще не должен.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2

Найти производную от функции, заданной неявно

Навешиваем штрихи на обе части:

Используем правила линейности:

Находим производные:

Раскрываем все скобки:

Переносим все слагаемые с в левую часть, остальные — в правую часть:

В левой части выносим за скобку:

Окончательный ответ:

Пример 3

Найти производную от функции, заданнойнеявно

Полное решение и образец оформления в конце урока.

Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от дробей нужно избавляться. Рассмотрим еще два примера.

3. Производная функции, заданной неявно.

Пусть зависимость между и задана в виде соотношения:

(8)

В этом случае говорят, что функция задана неявно.

Для вычисления производной необходимо:

а) вычислить производные от обеих частей уравнения (8), считая при этом функцией от ;

б) приравнять полученные производные;

в) решить полученное уравнение относительно .

Пример 2

Найти производную , если

Решение:

а) вычисляем производные от обеих частей заданного равенства, считая функцией от :

б) приравниваем полученные производные:

в) решаем уравнение относительно :

Ответ:

4.

Производная функции, заданной параметрически.

Функция является заданной параметрически, если и заданы как функции параметра :

(9)

Если — дифференцируемые функции и , то производная может быть найдена по формуле:

(10)

Пример 3

Найти производную , если

Решение:

Находим :

Воспользовавшись формулой (10), получаем:

Ответ:

5. Производная степенно-показательной функции.

Рассмотрим степенно-показательную функцию .

Для вычисления производной предварительно прологарифмируем :

Продифференцируем обе части полученного равенства, считая при этом функцией от :

Разрешая полученное уравнение относительно , окончательно получаем:

(11)

Пример 4

Найти производную функции

Решение:

Прологарифмируем заданную функцию:

Продифференцируем обе части полученного равенства по :

Приравниваем полученные производные:

Учитывая явный вид заданной функции, окончательно получаем:

Ответ:

Задания 3. Найти производные функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

6.

Производные высших порядков.

Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее производной :

(12)

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и, вообще, любого -го порядка:

(13)

Производная -го порядка от суммы функций равна:

(14)

Производная -го порядка от произведения функций вычисляется по формуле Лейбница:

(15)

Пример 5

Найти производную второго порядка функции .

Решение:

Найдем первую производную заданной функции:

Найдем вторую производную согласно (12):

Ответ:

Пример 6

Найти производную -го порядка функции .

Решение:

Подставим найденные производные в формулу (15). Тогда

Ответ:

Если задана параметрически в виде (9), то производная второго порядка может быть вычислена как

, (16)

где определена по формуле (10).

Для вычисления второй производной функции, заданной параметрически, можно также использовать формулу

(17)

Пример 7

Найти производную второго порядка , если

Решение:

Найдем :

Воспользовавшись формулой (10), получаем :

Найдем :

найдем по формуле (16):

Ответ:

Задания 4.

Найти производные функций указанного порядка :

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.
8.

Применяя формулу Лейбница, найти производные функций n-го порядка :

9.	10.
11.

Найти производные 2-го порядка функций заданных параметрически:

12.	13.
14.	15.

4.5 Цепное правило — Исчисление, том 3

Цели обучения

• 4.5.1 Укажите цепные правила для одной или двух независимых переменных.
• 4.5.2 Используйте древовидные диаграммы, чтобы понять цепное правило для нескольких независимых и промежуточных переменных.
• 4.5.3 Выполните неявное дифференцирование функции двух или более переменных.

В исчислении с одной переменной мы обнаружили, что одним из самых полезных правил дифференцирования является цепное правило, которое позволяет нам найти производную композиции двух функций. То же самое верно и для многомерного исчисления, но на этот раз нам придется иметь дело с более чем одной формой цепного правила. В этом разделе мы изучаем расширения цепного правила и учимся брать производные от композиций функций более чем одной переменной.

Цепные правила для одной или двух независимых переменных

Напомним, что цепное правило для производной композиции двух функций можно записать в виде

ddx(f(g(x))=f′(g(x))g′(x).ddx(f(g(x))=f′(g(x))g′(x) .

В этом уравнении как f(x)f(x), так и g(x)g(x) являются функциями одной переменной. Теперь предположим, что ff — функция двух переменных, а gg — функция одной переменной. Или, возможно, они оба являются функциями двух переменных или даже большего числа. Как бы мы вычислили производную в этих случаях? Следующая теорема дает нам ответ для случая одной независимой переменной.

Теорема 4,8

Цепное правило для одной независимой переменной

Предположим, что x=g(t)x=g(t) и y=h(t)y=h(t) являются дифференцируемыми функциями от tt и z=f(x,y)z=f(x,y) ) является дифференцируемой функцией от xandy.xandy. Тогда z=f(x(t),y(t))z=f(x(t),y(t)) является дифференцируемой функцией tt и

dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y ·dydt,dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt,

(4. 29)

, где обыкновенные производные оцениваются при tt, а частные производные оцениваются при (x,y).(x,y ).

Доказательство

В доказательстве этой теоремы используется определение дифференцируемости функции двух переменных. Предположим, что f дифференцируемо в точке P(x0,y0),P(x0,y0), где x0=g(t0)x0=g(t0) и y0=h(t0)y0=h(t0) для фиксированного значения t0.t0. Мы хотим доказать, что z=f(x(t),y(t))z=f(x(t),y(t)) дифференцируемо при t=t0t=t0 и что уравнение 4.29 выполняется в этой точке как Что ж.

Поскольку ff дифференцируема в точках P, P, мы знаем, что

z(t)=f(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)+E(x,y) ,z(t)=f(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)+E(x,y) ,

(4.30)

, где lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2=0.lim(x,y)→(x0,y0)E( х,у)(х-х0)2+(у-у0)2=0. Затем мы вычитаем z0=f(x0,y0)z0=f(x0,y0) из обеих частей этого уравнения:

z(t)−z(t0)=f(x(t),y(t))−f(x(t0),y(t0))=fx(x0,y0)(x(t)−x (t0))+fy(x0,y0)(y(t)−y(t0))+E(x(t),y(t)). z(t)−z(t0)=f(x( t),y(t))−f(x(t0),y(t0))=fx(x0,y0)(x(t)−x(t0))+fy(x0,y0)(y(t )−y(t0))+E(x(t),y(t)).

Далее делим обе части на t−t0:t−t0:

z(t)−z(t0)t−t0=fx(x0,y0)(x(t)−x(t0)t−t0)+fy(x0,y0)(y(t)−y(t0 )t−t0)+E(x(t),y(t))t−t0.z(t)−z(t0)t−t0=fx(x0,y0)(x(t)−x(t0 )t−t0)+fy(x0,y0)(y(t)−y(t0)t−t0)+E(x(t),y(t))t−t0.

Затем мы берем предел, когда tt приближается к t0:t0:

limt→t0z(t)−z(t0)t−t0=fx(x0,y0)limt→t0(x(t)−x(t0)t−t0)+fy(x0,y0)limt→t0( y(t)−y(t0)t−t0)+limt→t0E(x(t),y(t))t−t0.limt→t0z(t)−z(t0)t−t0=fx(x0 ,y0)limt→t0(x(t)−x(t0)t−t0)+fy(x0,y0)limt→t0(y(t)−y(t0)t−t0)+limt→t0E(x (t),y(t))t−t0.

Левая часть этого уравнения равна dz/dt,dz/dt, что приводит к

dzdt=fx(x0,y0)dxdt+fy(x0,y0)dydt+limt→t0E(x(t),y(t))t−t0.dzdt=fx(x0,y0)dxdt+fy(x0 ,y0)dydt+limt→t0E(x(t),y(t))t−t0.

Последний член можно переписать как

limt→t0E(x(t),y(t))t−t0=limt→t0(E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2(x−x0)2+( y−y0)2t−t0)=limt→t0(E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2)limt→t0((x−x0)2+(y−y0)2t −t0). limt→t0E(x(t),y(t))t−t0=limt→t0(E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2(x−x0) 2+(y−y0)2t−t0)=limt→t0(E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2)limt→t0((x−x0)2+(y− у0)2t−t0).

Когда tt приближается к t0,t0,(x(t),y(t))(x(t),y(t)) приближается к (x(t0),y(t0)),(x(t0),y (t0)), поэтому мы можем переписать последний продукт как

lim(x,y)→(x0,y0)(E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2)=lim(x,y)→(x0,y0)((x −x0)2+(y−y0)2t−t0).lim(x,y)→(x0,y0)(E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2)=lim (x,y)→(x0,y0)((x−x0)2+(y−y0)2t−t0).

Так как первый предел равен нулю, нам нужно только показать, что второй предел конечен:

lim(x,y)→(x0,y0)((x−x0)2+(y−y0)2t−t0)=lim(x,y)→(x0,y0)((x−x0)2 +(y−y0)2(t−t0)2)=lim(x,y)→(x0,y0)((x−x0t−t0)2+(y−y0t−t0)2)=(lim( x,y)→(x0,y0)(x−x0t−t0))2+(lim(x,y)→(x0,y0)(y−y0t−t0))2.lim(x,y)→ (x0,y0)((x−x0)2+(y−y0)2t−t0)=lim(x,y)→(x0,y0)((x−x0)2+(y−y0)2( t−t0)2)=lim(x,y)→(x0,y0)((x−x0t−t0)2+(y−y0t−t0)2)=(lim(x,y)→(x0, y0)(x−x0t−t0))2+(lim(x,y)→(x0,y0)(y−y0t−t0))2.

Поскольку x(t)x(t) и y(t)y(t) являются дифференцируемыми функциями от t,t, оба предела внутри последнего радикала существуют. Следовательно, это значение конечно. Это доказывает цепное правило при t=t0;t=t0; остальная часть теоремы следует из предположения, что все функции дифференцируемы во всей своей области определения.

□

При ближайшем рассмотрении уравнения 4.29 обнаруживается интересная закономерность. Первый член уравнения равен ∂f∂x·dxdt∂f∂x·dxdt, а второй член равен ∂f∂y·dydt.∂f∂y·dydt. Напомним, что при умножении дробей может использоваться сокращение. Если рассматривать эти производные как дроби, то каждое произведение «упрощается» до чего-то, напоминающего ∂f/dt.∂f/dt. Переменные xandyxandy, которые исчезают при этом упрощении, часто называют промежуточными переменными: они являются независимыми переменными для функции f,f, но являются зависимыми переменными для переменной t.t. В правой части формулы появляются два члена, а ff является функцией двух переменных. Этот шаблон также работает с функциями более чем двух переменных, как мы увидим далее в этом разделе.

Пример 4,26

Использование цепного правила

Рассчитать dz/dtdz/dt для каждой из следующих функций:

1. z=f(x,y)=4×2+3y2,x=x(t)=sint,y=y( t)=costz=f(x,y)=4×2+3y2,x=x(t)=sint,y=y(t)=стоимость
2. z=f(x,y)=x2−y2,x=x(t)=e2t,y=y(t)=e−tz=f(x,y)=x2−y2,x=x(t )=e2t,y=y(t)=e−t

Решение

1. Чтобы использовать цепное правило, нам нужны четыре величины — ∂z/∂x, ∂z/∂y, dx/dt, ∂z/∂x, ∂z/∂y, dx/dt и dy/dt: dy/dt:

   ∂z∂x=8x∂z∂y=6ydxdt=costdydt=−sint∂z∂x=8x∂z∂y=6ydxdt=costdydt=−sint

   
   Теперь подставим каждое из них в уравнение 4. 29: ∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt=(8x)(стоимость)+(6y)(-sint)=8xcost-6ysint.
   
   Этот ответ содержит три переменные. Чтобы свести его к одной переменной, используйте тот факт, что x(t)=sintandy(t)=cost.x(t)=sintandy(t)=cost. Получаем

   dzdt=8xcost−6ysint=8(sint)cost−6(cost)sint=2sintcost.dzdt=8xcost−6ysint=8(sint)cost−6(cost)sint=2sintcost.

   
   Эту производную также можно вычислить, сначала подставив x(t)x(t) и y(t)y(t) в f(x,y),f(x,y), а затем продифференцировав по t: т:

   z=f(x,y)=f(x(t),y(t))=4(x(t))2+3(y(t))2=4sin2t+3cos2t.z=f(x ,y)=f(x(t),y(t))=4(x(t))2+3(y(t))2=4sin2t+3cos2t.

   
   Тогда

   dzdt=2(4sint)(стоимость)+2(3cost)(−sint)=8sintcost−6sintcost=2sintcost,dzdt=2(4sint)(стоимость)+2(3cost)(−sint)=8sintcost− 6sintcost=2sintcost,

   
   , что является тем же решением. Однако не всегда может быть так легко отличить эту форму.
2. Чтобы использовать цепное правило, нам снова нужны четыре величины: ∂z/∂x, ∂z/dy, dx/dt, ∂z/∂x, ∂z/dy, dx/dt и dy/dt:dy/. дт:

   ∂z∂x=xx2−y2∂z∂y=−yx2−y2dxdt=2e2tdxdt=−e−t. ∂z∂x=xx2−y2∂z∂y=−yx2−y2dxdt=2e2tdxdt=−e−t .

   
   Подставляем каждое из них в уравнение 4.29: −ye−tx2−y2.dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt=(xx2−y2)(2e2t)+(−yx2−y2)(−e−t)=2xe2t−ye−tx2− у2.
   
   Чтобы свести это к одной переменной, мы используем тот факт, что x(t)=e2tx(t)=e2t и y(t)=e−t.y(t)=e−t. Следовательно,

   dzdt=2xe2t+ye-tx2-y2=2(e2t)e2t+(e-t)e-te4t-e-2t=2e4t+e-2te4t-e-2t.dzdt=2xe2t+ye-tx2-y2 =2(e2t)e2t+(e−t)e−te4t−e−2t=2e4t+e−2te4t−e−2t.

   
   Чтобы исключить отрицательные показатели степени, мы умножаем верхнюю часть на e2te2t и нижнюю часть на e4t:e4t: =2e6t+1ete6t−1.dzdt=2e4t+e−2te4t−e−2t·e2te4t=2e6t+1e8t−e2t=2e6t+1e2t(e6t−1)=2e6t+1ete6t−1.
   
   Опять же, эту производную также можно вычислить, сначала подставив x(t)x(t) и y(t)y(t) в f(x,y),f(x,y), а затем продифференцировав по t:t:

   z=f(x,y)=f(x(t),y(t))=(x(t))2−(y(t))2=e4t−e−2t=( e4t−e−2t)1/2.z=f(x,y)=f(x(t),y(t))=(x(t))2−(y(t))2=e4t− e−2t=(e4t−e−2t)1/2.

   
   Тогда

   dzdt=12(e4t-e-2t)-1/2(4e4t+2e-2t)=2e4t+e-2te4t-e-2t. dzdt=12(e4t-e-2t)-1/2 (4e4t+2e−2t)=2e4t+e−2te4t−e−2t.

   
   Это то же самое решение.

Контрольно-пропускной пункт 4.23

Вычислите dz/dtdz/dt с учетом следующих функций. Выразите окончательный ответ через t.t.

z=f(x,y)=x2−3xy+2y2,x=x(t)=3sin2t,y=y(t)=4cos2tz=f(x,y)=x2−3xy+2y2,x= х(т)=3sin2t,у=у(т)=4cos2t

Часто бывает полезно создать визуальное представление уравнения 4.29.для цепного правила. Это называется древовидной диаграммой цепного правила для функций одной переменной и позволяет запомнить формулу (рис. 4.34). Эта диаграмма может быть расширена для функций более чем одной переменной, как мы вскоре увидим.

Рисунок 4,34 Древовидная диаграмма для случая dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt.dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt.

На этой диаграмме крайний левый угол соответствует z=f(x,y).z=f(x,y). Поскольку ff имеет две независимые переменные, из этого угла выходят две прямые. Верхняя ветвь соответствует переменной xx, а нижняя ветвь соответствует переменной y. y. Поскольку тогда каждая из этих переменных зависит от одной переменной t,t, тогда одна ветвь идет от xx, а одна ветвь идет от y.y. Наконец, каждая из ветвей в крайнем правом углу имеет метку, которая представляет собой путь, пройденный для достижения этой ветви. Верхняя ветвь достигается путем следования по ветке xx, затем по ветке tt; поэтому он помечен (∂z/∂x)×(dx/dt).(∂z/∂x)×(dx/dt). Нижняя ветвь аналогична: сначала ветвь yy, затем ветвь tt. Эта ветвь обозначена (∂z/∂y)×(dy/dt).(∂z/∂y)×(dy/dt). Чтобы получить формулу для dz/dt, dz/dt, добавьте все члены, которые появляются в правой части диаграммы. Это дает нам уравнение 4.29..

В цепном правиле для двух независимых переменных z=f(x,y)z=f(x,y) является функцией xandy,xandy, и оба x=g(u,v)x=g(u,v ) и y=h(u,v)y=h(u,v) являются функциями независимых переменных uandv.uandv.

Теорема 4.9

Цепное правило для двух независимых переменных

Предположим, что x=g(u,v)x=g(u,v) и y=h(u,v)y=h(u,v) являются дифференцируемыми функциями uu и v,v, и z=f (x,y)z=f(x,y) — дифференцируемая функция от xandy. xandy. Тогда z=f(g(u,v),h(u,v))z=f(g(u,v),h(u,v)) является дифференцируемой функцией от uandv,uandv, и

∂z∂u=∂z∂x∂x∂u+∂z∂y∂y∂u∂z∂u=∂z∂x∂x∂u+∂z∂y∂y∂u

(4.31)

и

∂z∂v=∂z∂x∂x∂v+∂z∂y∂y∂v.∂z∂v=∂z∂x∂x∂v+∂z∂y∂y∂v.

(4.32)

Мы можем нарисовать древовидную диаграмму для каждой из этих формул, а также для следующих.

Рисунок 4,35 Древовидная диаграмма для ∂z∂u=∂z∂x·∂x∂u+∂z∂y·∂y∂u∂z∂u=∂z∂x·∂x∂u+∂z∂y·∂y∂u и ∂z∂v=∂z∂x·∂x∂v+∂z∂y·∂y∂v.∂z∂v=∂z∂x·∂x∂v+∂z∂y·∂y∂v.

Чтобы вывести формулу для ∂z/∂u,∂z/∂u, начните с левой стороны диаграммы, затем следуйте только ветвям, которые заканчиваются на uu, и добавляйте члены, которые появляются в конце этих ветвей. Для формулы для ∂z/∂v,∂z/∂v следуйте только ветвям, которые заканчиваются на vv, и добавляйте члены, которые появляются в конце этих ветвей.

Между этими двумя теоремами о цепных правилах есть важное различие. В цепном правиле для одной независимой переменной левая часть формулы для производной не является частной производной, но в цепном правиле для двух независимых переменных это так. Причина в том, что в цепном правиле для одной независимой переменной zz является функцией только от tt, тогда как в цепном правиле для двух независимых переменных zz является функцией как u, так и v.u и v.

Пример 4,27

Использование цепного правила для двух переменных

Рассчитайте ∂z/∂u∂z/∂u и ∂z/∂v∂z/∂v, используя следующие функции:

z=f(x,y)=3×2 −2xy+y2,x=x(u,v)=3u+2v,y=y(u,v)=4u−v.z=f(x,y)=3×2−2xy+y2,x=x(u, v)=3u+2v,y=y(u,v)=4u−v.

Решение

Чтобы реализовать цепное правило для двух переменных, нам нужны шесть частных производных — ∂z/∂x, ∂z/∂y, ∂x/∂u, ∂x/∂v, ∂y/∂u, ∂z/∂ х,∂z/∂y,∂x/∂u,∂x/∂v,∂y/∂u и ∂y/∂v:∂y/∂v:

∂z∂x=6x−2y∂ z∂y=−2x+2y∂x∂u=3∂x∂v=2∂y∂u=4∂y∂v=−1,∂z∂x=6x−2y∂z∂y=−2x+ 2y∂x∂u=3∂x∂v=2∂y∂u=4∂y∂v=−1.

Чтобы найти ∂z/∂u,∂z/∂u, воспользуемся уравнением 4.31: )+4(−2x+2y)=10x+2y.∂z∂u=∂z∂x∂x∂u+∂z∂y∂y∂u=3(6x−2y)+4(−2x+2y) =10х+2у.

Затем подставляем x(u,v)=3u+2vx(u,v)=3u+2v и y(u,v)=4u−v:y(u,v)=4u−v:

∂z∂u=10x+2y=10(3u+2v)+2(4u−v)=38u+18v.∂z∂u=10x+2y=10(3u+2v)+2(4u−v)= 38у+18в.

Чтобы найти ∂z/∂v,∂z/∂v, воспользуемся уравнением 4.32: )+(−1)(−2x+2y)=14x−6y.∂z∂v=∂z∂x∂x∂v+∂z∂y∂y∂v=2(6x−2y)+(−1) (−2x+2y)=14x−6y.

Затем подставляем x(u,v)=3u+2vx(u,v)=3u+2v и y(u,v)=4u−v:y(u,v)=4u−v:

∂ z∂v=14x−6y=14(3u+2v)−6(4u−v)=18u+34v.∂z∂v=14x−6y=14(3u+2v)−6(4u−v)=18u +34в.

Контрольно-пропускной пункт 4.24

Рассчитать ∂z/∂u∂z/∂u и ∂z/∂v∂z/∂v, зная следующие функции:

z=f(x,y)=2x−yx+3y,x(u, v)=e2ucos3v,y(u,v)=e2usin3v.z=f(x,y)=2x−yx+3y,x(u,v)=e2ucos3v,y(u,v)=e2usin3v.

Обобщенное цепное правило

Теперь, когда мы увидели, как распространить исходное цепное правило на функции двух переменных, естественно спросить: можем ли мы распространить правило на более чем две переменные? Ответ — да, как утверждает обобщенное цепное правило.

Теорема 4.10

Обобщенное цепное правило

Пусть w=f(x1,x2,…,xm)w=f(x1,x2,…,xm) — дифференцируемая функция mm независимых переменных, и для каждого i∈{1,…,m},i ∈{1,…,m}, пусть xi=xi(t1,t2,…,tn)xi=xi(t1,t2,…,tn) — дифференцируемая функция nn независимых переменных. Далее x2∂x2∂tj+⋯+∂w∂xm∂xm∂tj

(4.33)

для любого j∈{1,2,…,n}.j∈{1,2,…,n}.

В следующем примере мы вычисляем производную функции трех независимых переменных, в которой каждая из трех переменных зависит от двух других переменных.

Пример 4,28

Используя обобщенное цепное правило

Рассчитайте ∂w/∂u∂w/∂u и ∂w/∂v∂w/∂v, используя следующие функции:

w=f(x,y,z)=3×2 −2xy+4z2x=x(u,v)=eusinvy=y(u,v)=eucosvz=z(u,v)=eu.w=f(x,y,z)=3×2−2xy+4z2x=x (u,v)=eusinvy=y(u,v)=eucosvz=z(u,v)=eu.

Решение

Формулы для ∂w/∂u∂w/∂u и ∂w/∂v∂w/∂v: u+∂w∂z·∂z∂u∂w∂v=∂w∂x·∂x∂v+∂w∂y·∂y∂v+∂w∂z·∂z∂v. ∂w∂u=∂w ∂x·∂x∂u+∂w∂y·∂y∂u+∂w∂z·∂z∂u∂w∂v=∂w∂x·∂x∂v+∂w∂y·∂y∂v+∂w ∂z·∂z∂v.

Следовательно, необходимо вычислить и заменить девять различных частных производных. Нам нужно вычислить каждый из них:

∂w∂x=6x−2y∂w∂y=−2x∂w∂z=8z∂x∂u=eusinv∂y∂u=eucosv∂z∂u=eu∂ x∂v=eucosv∂y∂v=−eusinv∂z∂v=0,∂w∂x=6x−2y∂w∂y=−2x∂w∂z=8z∂x∂u=eusinv∂y∂u = eucosv∂z∂u=eu∂x∂v=eucosv∂y∂v=-eusinv∂z∂v=0.

Теперь подставляем каждое из них в первую формулу для вычисления ∂w/∂u:∂w/∂u:

∂w∂u=∂w∂x·∂x∂u+∂w∂y·∂y ∂u+∂w∂z·∂z∂u=(6x−2y)eusinv−2xeucosv+8zeu,∂w∂u=∂w∂x·∂x∂u+∂w∂y·∂y∂u+∂w∂z ·∂z∂u=(6x−2y)eusinv−2xeucosv+8zeu,

, затем подставьте x(u,v)=eusinv,y(u,v)=eucosv,x(u,v)=eusinv,y(u,v)=eucosv и z(u,v)=euz( u,v)=eu в следующее уравнение: (3sin2v−2sinvcosv+4) +4).

Далее вычисляем ∂w/∂v:∂w/∂v:

∂w∂v=∂w∂x·∂x∂v+∂w∂y·∂y∂v+∂w∂z·∂z ∂v=(6x−2y)eucosv−2x(−eusinv)+8z(0),∂w∂v=∂w∂x·∂x∂v+∂w∂y·∂y∂v+∂w∂z·∂ z∂v=(6x−2y)eucosv−2x(−eusinv)+8z(0),

, затем подставляем x(u,v)=eusinv,y(u,v)=eucosv,x(u,v)=eusinv,y(u,v)=eucosv и z(u,v)=euz (u,v)=eu в это уравнение:

∂w∂v=(6x−2y)eucosv−2x(−eusinv)=(6eusinv−2eucosv)eucosv+2(eusinv)(eusinv)=2e2usin2v+6e2usinvcosv− 2e2ucos2v=2e2u(sin2v+sinvcosv−cos2v). ∂w∂v=(6x−2y)eucosv−2x(−eusinv)=(6eusinv−2eucosv)eucosv+2(eusinv)(eusinv)=2e2usin2v+6e2usinvcosv−2e2ucos2v= 2e2u(sin2v+sinvcosv−cos2v).

Контрольно-пропускной пункт 4,25

Рассчитайте ∂w/∂u∂w/∂u и ∂w/∂v∂w/∂v, учитывая следующие функции:

w=f(x,y,z)=x+2y−4z2x−y+3zx=x(u,v)=e2ucos3vy=y(u,v)=e2usin3vz=z(u,v)=e2u. w=f(x,y,z)=x+2y−4z2x−y+3zx=x(u,v)=e2ucos3vy=y(u,v)=e2usin3vz=z(u,v)=e2u.

Пример 4.29

Рисование древовидной диаграммы

Создание древовидной диаграммы для случая, когда

w=f(x,y,z),x=x(t,u,v),y=y(t,u,v) ,z=z(t,u,v)w=f(x,y,z),x=x(t,u,v),y=y(t,u,v),z=z(t, u,v)

и выпишите формулы для трех частных производных w.w.

Решение

Начиная слева, функция ff имеет три независимые переменные: x,y,andz.x,y,andz. Следовательно, от первого узла должны исходить три ветви. Каждая из этих трех ветвей также имеет три ветви для каждой из переменных t, u и v. t, u и v.

Рисунок 4,36 Древовидная диаграмма функции трех переменных, каждая из которых является функцией трех независимых переменных.

Три формулы: ∂w∂y∂y∂u+∂w∂z∂z∂u∂w∂v=∂w∂x∂x∂v+∂w∂y∂y∂v+∂w∂z∂z∂v.∂w∂t =∂w∂x∂x∂t+∂w∂y∂y∂t+∂w∂z∂z∂t∂w∂u=∂w∂x∂x∂u+∂w∂y∂y∂u+∂w∂z ∂z∂u∂w∂v=∂w∂x∂x∂v+∂w∂y∂y∂v+∂w∂z∂z∂v.

Контрольно-пропускной пункт 4,26

Создайте древовидную диаграмму для случая, когда

w=f(x,y),x=x(t,u,v),y=y(t,u,v)w=f(x,y) ,x=x(t,u,v),y=y(t,u,v)

и выпишите формулы для трех частных производных w.w.

Неявное дифференцирование

Напомним из неявного дифференцирования, что неявное дифференцирование обеспечивает метод нахождения dy/dxdy/dx, когда yy определяется неявно как функция x.x. Этот метод включает в себя дифференцирование обеих частей уравнения, определяющего функцию относительно x, x, а затем решение для dy/dx.dy/dx. Частные производные представляют собой альтернативу этому методу.

Рассмотрим эллипс, определяемый уравнением x2+3y2+4y-4=0x2+3y2+4y-4=0 следующим образом.

Рисунок 4,37 График эллипса определяется как x2+3y2+4y−4=0.x2+3y2+4y−4=0.

Это уравнение неявно определяет yy как функцию x.x. Таким образом, мы можем найти производную dy/dxdy/dx методом неявного дифференцирования:

ddx(x2+3y2+4y−4)=ddx(0)2x+6ydydx+4dydx=0(6y+4)dydx=−2xdydx=−x3y+2.ddx(x2+3y2+4y−4)=ddx (0)2x+6ydydx+4dydx=0(6y+4)dydx=-2xdydx=-x3y+2.

Мы также можем определить функцию z=f(x,y)z=f(x,y), используя левую часть уравнения, определяющего эллипс. Тогда f(x,y)=x2+3y2+4y−4.f(x,y)=x2+3y2+4y−4. Тогда эллипс x2+3y2+4y-4=0x2+3y2+4y-4=0 можно описать уравнением f(x,y)=0.f(x,y)=0. Использование этой функции и следующей теоремы дает нам альтернативный подход к вычислению dy/dx.dy/dx.

Теорема 4.11

Неявное дифференцирование функции двух или более переменных

Предположим, что функция z=f(x,y)z=f(x,y) неявно определяет yy как функцию y=g(x)y=g(x) от xx через уравнение f(x,y) =0. f(x,y)=0. Затем

dydx=-∂f/∂x∂f/∂ydydx=-∂f/∂x∂f/∂y

(4.34)

при условии fy(x,y)≠0.fy(x,y) ≠0.

Если уравнение f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0 неявно определяет zz как дифференцируемую функцию от xandy,xandy, то

∂z∂x=−∂f/∂x ∂f/∂zand∂z∂y=−∂f/∂y∂f/∂z∂z∂x=−∂f/∂x∂f/∂zand∂z∂y=−∂f/∂y∂f /∂z

(4.35)

, если fz(x,y,z)≠0.fz(x,y,z)≠0.

Уравнение 4.34 является прямым следствием уравнения 4.31. В частности, если мы предположим, что yy определяется неявно как функция xx через уравнение f(x,y)=0,f(x,y)=0, мы можем применить цепное правило, чтобы найти dy/dx:dy /дх:

ddxf(x,y)=ddx(0)∂f∂x·dxdx+∂f∂y·dydx=0∂f∂x+∂f∂y·dydx=0.ddxf(x,y)=ddx(0) ∂f∂x·dxdx+∂f∂y·dydx=0∂f∂x+∂f∂y·dydx=0.

Решение этого уравнения относительно dy/dxdy/dx дает уравнение 4.34. Уравнение 4.35 можно вывести аналогичным образом.

Теперь вернемся к проблеме, которую мы начали перед предыдущей теоремой. Используя неявное дифференцирование функции двух или более переменных и функцию f(x,y)=x2+3y2+4y−4,f(x,y)=x2+3y2+4y−4, получаем

∂f∂x=2x∂f∂y=6y+4.∂f∂x=2x∂f∂y=6y+4.

Тогда уравнение 4.34 дает

dydx=-∂f/∂x∂f/∂y=-2x6y+4=-x3y+2,dydx=-∂f/∂x∂f/∂y=-2x6y+4=-x3y+2,

, что является тем же результатом, полученным при более раннем использовании неявного дифференцирования.

Пример 4.30

Неявное дифференцирование с помощью частных производных

1. Вычислить dy/dxdy/dx, если yy определяется неявно как функция xx с помощью уравнения 3×2−2xy+y2+4x−6y−11=0,3×2−2xy+y2+4x− 6y−11=0. Каково уравнение касательной к графику этой кривой в точке (2,1)?(2,1)?
2. Вычислите ∂z/∂x∂z/∂x и ∂z/∂y,∂z/∂y, учитывая x2ey-yzex=0.x2ey-yzex=0.

Решение

1. Установить f(x,y)=3×2−2xy+y2+4x−6y−11=0,f(x,y)=3×2−2xy+y2+4x−6y−11=0, затем вычислить fxfx и fy :fy:fx=6x−2y+4fy=−2x+2y−6. fx=6x−2y+4fy=−2x+2y−6.
   Производная определяется как

   dydx=−∂f/∂x∂f/∂y=−6x−2y+4−2x+2y−6=3x−y+2x−y+3.dydx=−∂f/ ∂x∂f/∂y=−6x−2y+4−2x+2y−6=3x−y+2x−y+3.

   
   Наклон касательной в точке (2,1)(2,1) определяется выражением

   dydx|(x,y)=(2,1)=3(2)−1+22−1+3 =74.dydx|(x,y)=(2,1)=3(2)−1+22−1+3=74.

   
   Чтобы найти уравнение касательной, воспользуемся формой точка-наклон (рис. 4.38):

   y−y0=m(x−x0)y−1=74(x−2)y=74x−72+ 1y=74x−52.y−y0=m(x−x0)y−1=74(x−2)y=74x−72+1y=74x−52.

   
   

   Рисунок 4,38 График повернутого эллипса определяется как 3×2−2xy+y2+4x−6y−11=0,3×2−2xy+y2+4x−6y−11=0.

2. Имеем f(x,y,z)=x2ey-yzex.f(x,y,z)=x2ey-yzex. Следовательно,

   ∂f∂x=2xey−yzex∂f∂y=x2ey−zex∂f∂z=−yex.∂f∂x=2xey−yzex∂f∂y=x2ey−zex∂f∂z=−yex .

   
   Используя уравнение 4.35,

   ∂z∂x=-∂f/∂x∂f/∂y=-2xey-yzex-yex=2xey-yzexyexand∂z∂y=-∂f/∂y∂f/∂z=-x2ey-zex- yex=x2ey-zexyex.∂z∂x=-∂f/∂x∂f/∂y=-2xey-yzex-yex=2xey-yzexyexand∂z∂y=-∂f/∂y∂f/∂z= −x2ey−zex−yex=x2ey−zexyex.

Контрольно-пропускной пункт 4,27

Найдите dy/dxdy/dx, если yy определяется неявно как функция xx уравнением x2+xy-y2+7x-3y-26=0,x2+xy-y2+7x-3y-26=0. Каково уравнение касательной к графику этой кривой в точке (3,−2)?(3,−2)?

Раздел 4.5 Упражнения

В следующих упражнениях используйте предоставленную информацию для решения проблемы.

215.

Пусть w(x,y,z)=xycosz,w(x,y,z)=xycosz, где x=t,y=t2,x=t,y=t2 и z=arcsint.z=arcsint . Найдите dwdt.dwdt.

216.

Пусть w(t,v)=etvw(t,v)=etv, где t=r+st=r+s и v=rs.v=rs. Найдите ∂w∂r∂w∂r и ∂w∂s.∂w∂s.

217.

Если w=5×2+2y2,x=-3s+t,w=5×2+2y2,x=-3s+t и y=s-4t,y=s-4t, найти ∂w∂s∂w∂ s и ∂w∂t.∂w∂t.

218.

Если w=xy2,x=5cos(2t),w=xy2,x=5cos(2t) и y=5sin(2t),y=5sin(2t), найти dwdt.dwdt.

219.

Если f(x,y)=xy,x=rcosθ,f(x,y)=xy,x=rcosθ и y=rsinθ,y=rsinθ, найдите ∂f∂r∂f∂r и выразите ответ в терминах rr и θ.θ.

220.

Предположим, что f(x,y)=x+y,f(x,y)=x+y, где x=rcosθx=rcosθ и y=rsinθ.y=rsinθ. Найдите ∂f∂θ.∂f∂θ.

В следующих упражнениях найдите dfdtdfdt, используя цепное правило и прямую замену.

221.

f(x,y)=x2+y2,f(x,y)=x2+y2,x=t,y=t2x=t,y=t2

222.

f(x,y)=x2+y2,y=t2,x=tf(x,y)=x2+y2,y=t2,x=t

223.

f(x,y)=xy,x=1−t,y=1+tf(x,y)=xy,x=1−t,y=1+t

224.

f(x,y)=xy,x=et,y=2etf(x,y)=xy,x=et,y=2et

225.

f(x,y)=ln(x+y),f(x,y)=ln(x+y),x=et,y=etx=et,y=et

226.

f(x,y)=x4,f(x,y)=x4,x=t,y=tx=t,y=t

227.

Пусть w(x,y,z)=x2+y2+z2,w(x,y,z)=x2+y2+z2,x=cost,y=sint,x=cost,y=sint, и z=et.z=et. Выразите ww как функцию tt и непосредственно найдите dwdtdwdt. Затем найдите dwdtdwdt, используя правило цепочки.

228.

Пусть z=x2y,z=x2y, где x=t2x=t2 и y=t3.y=t3. Найдите дздт.дздт.

229.

Пусть u=exsiny,u=exsiny, где x=-ln2tx=-ln2t и y=πt.y=πt. Найдите dudtdudt, когда x=ln2x=ln2 и y=π4.y=π4.

Для следующих упражнений найдите dydxdydx, используя частные производные.

230.

sin(6x)+tan(8y)+5=0sin(6x)+tan(8y)+5=0

231.

х3+у2х-3=0х3+у2х-3=0

232.

sin(x+y)+cos(x−y)=4sin(x+y)+cos(x−y)=4

233.

х2-2ху+у4=4х2-2ху+у4=4

234.

xey+yex-2x2y=0xey+yex-2x2y=0

235.

х2/3+у2/3=а2/3х2/3+у2/3=а2/3

236.

xcos(xy)+ycosx=2xcos(xy)+ycosx=2

237.

exy+yey=1exy+yey=1

238.

x2y3+cosy=0x2y3+cosy=0

239.

Найдите dzdtdzdt, используя цепное правило, где z=3x2y3,x=t4,z=3x2y3,x=t4 и y=t2.y=t2.

240.

Пусть z=3cosx-sin(xy),x=1t,z=3cosx-sin(xy),x=1t и y=3t.y=3t. Найдите дздт.дздт.

241.

Пусть z=e1−xy,x=t1/3,z=e1−xy,x=t1/3 и y=t3.y=t3. Найдите дздт.дздт.

242.

Найдите dzdtdzdt по цепному правилу, где z=cosh3(xy),x=12t,z=cosh3(xy),x=12t и y=et.y=et.

243.

Пусть z=xy,x=2cosu,z=xy,x=2cosu и y=3sinv.y=3sinv. Найдите ∂z∂u∂z∂u и ∂z∂v.∂z∂v.

244.

Пусть z=ex2y,z=ex2y, где x=uvx=uv и y=1v.y=1v. Найдите ∂z∂u∂z∂u и ∂z∂v.∂z∂v.

245.

Если z=xyex/y,z=xyex/y,x=rcosθ,x=rcosθ и y=rsinθ,y=rsinθ, найти ∂z∂r∂z∂r и ∂z∂θ∂z∂θ когда r=2r=2 и θ=π6. θ=π6.

246.

Найти ∂w∂s∂w∂s, если w=4x+y2+z3,x=ers2,y=ln(r+st),w=4x+y2+z3,x=ers2,y=ln(r +st) и z=rst2.z=rst2.

247.

Если w=sin(xyz),x=1−3t,y=e1−t,w=sin(xyz),x=1−3t,y=e1−t и z=4t,z=4t, найти ∂w∂t.∂w∂t.

Используйте эту информацию для следующих упражнений: Функция f(x,y)f(x,y) называется однородной степени nn, если f(tx,ty)=tnf(x,y).f(tx ,ty)=tnf(x,y). Для всех однородных функций степени n,n верно следующее равенство: x∂f∂x+y∂f∂y=nf(x,y).x∂f∂x+y∂f∂y=nf(x , у). Покажите, что данная функция однородна, и проверьте, что x∂f∂x+y∂f∂y=nf(x,y).x∂f∂x+y∂f∂y=nf(x,y).

248.

f(x,y)=3×2+y2f(x,y)=3×2+y2

249.

f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x2+y2

250.

f(x,y)=x2y−2y3f(x,y)=x2y−2y3

251.

Объем прямого кругового цилиндра определяется формулой V(x,y)=πx2y,V(x,y)=πx2y, где xx — радиус цилиндра, а y — высота цилиндра. Предположим, что xx и yy являются функциями от tt, заданными формулами x=12tx=12t и y=13ty=13t, так что xandyxandy увеличиваются со временем. Как быстро увеличивается объем, когда x=2x=2 и y=43?y=43?

252.

Давление PP газа связано с объемом и температурой по формуле PV=kT, PV=kT, где температура выражается в кельвинах. Выразите давление газа как функцию как VV, так и TT Найдите dPdtdPdt при k=1,k=1,dVdt=2dVdt=2 см ³ /мин, dTdt=12dTdt=12 K/мин, V=20V= 20 см ³ и T=20°F.T=20°F.

253.

Радиус прямого круглого конуса увеличивается со скоростью 33 см/мин, тогда как высота конуса уменьшается со скоростью 22 см/мин. Найдите скорость изменения объема конуса, если его радиус 1313 см, а высота 1818 см.

254.

Объем усеченного конуса определяется по формуле V=13πz(x2+y2+xy),V=13πz(x2+y2+xy), где xx – радиус меньшего круга, yy – радиус большего круга, а zz — высота усеченного конуса (см. рисунок). Найдите скорость изменения объема этой усеченной пирамиды, когда x=10 дюймов, y=12 дюймов и z=18 дюймов, x=10 дюймов, y=12 дюймов и z=18 дюймов. если dzdt=-5,dxdt=1,dydt=1dzdt=-5,dxdt=1,dydt=1 (все в/мин).

255.

Закрытый ящик имеет форму прямоугольного тела с размерами x, y, и z.x, y, и z. (Размеры указаны в дюймах.) Предположим, что каждое измерение изменяется со скоростью 0,50,5 дюйма/мин. Найдите скорость изменения общей площади поверхности коробки, когда x=2 дюйма, y=3 дюйма и z=1 дюйм, x=2 дюйма, y=3 дюйма и z=1 дюйм.

256.

Общее сопротивление в цепи, состоящей из трех отдельных сопротивлений, представленных x,y,x,y и zz, определяется по формуле R(x,y,z)=xyzyz+xz+xy.R(x,y ,z)=xyzyz+xz+xy. Предположим, что в данный момент времени сопротивление xx равно 100 Ом, 100 Ом, сопротивление и равно 200 Ом, 200 Ом, а сопротивление zz равно 300 Ом, 300 Ом. Кроме того, предположим, что сопротивление xx изменяется со скоростью 2 Ом/мин, 2 Ом/мин, сопротивление yy изменяется со скоростью 1 Ом/мин, 1 Ом/мин, а сопротивление zz не изменяется. Найти скорость изменения полного сопротивления этой цепи в этот момент.

257.

Температура TT в точке (x,y)(x,y) равна T(x,y)T(x,y) и измеряется по шкале Цельсия. Муха ползет так, что ее положение через tt секунд определяется как x=1+tx=1+t и y=2+13t, y=2+13t, где xandyxandy измеряются в сантиметрах. Температурная функция удовлетворяет условиям Tx(2,3)=4Tx(2,3)=4 и Ty(2,3)=3.Ty(2,3)=3. С какой скоростью повышается температура на пути мухи через 33 с?

258.

Компоненты xandyxandy жидкости, движущейся в двух измерениях, задаются следующими функциями: u(x,y)=2yu(x,y)=2y и v(x,y)=−2x;v(x,y )=−2x;x≥0;y≥0.x≥0;y≥0. Скорость жидкости в точке (x,y)(x,y) равна s(x,y)=u(x,y)2+v(x,y)2.s(x,y)=u (х,у)2+v(х,у)2. Найдите ∂s∂x∂s∂x и ∂s∂y∂s∂y, используя цепное правило.

259.

Пусть u=u(x,y,z),u=u(x,y,z), где x=x(w,t),y=y(w,t),z=z(w, t), w = w (r, s) и t = t (r, s). x = x (w, t), y = y (w, t), z = z (w, t), w = w(r,s) и t=t(r,s). Используйте древовидную диаграмму и цепное правило, чтобы найти выражение для ∂u∂r.∂u∂r.

Производная в точке — исчисление 2

Все ресурсы исчисления 2

9 Диагностические тесты 308 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущий 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Далее →

Исчисление 2 Помощь » Производные » Производный обзор » Производная в точке

По заданной функции найдите наклон точки.

Возможные ответы:

Наклон не может быть определен.

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти наклон в точке функции, возьмите производную функции.

Производная от  это .

Следовательно, производная становится

 так как .

 

Теперь подставим заданную точку, чтобы найти наклон в этой точке.

Отчет о ошибке

Найти значение следующего производного в пункте:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Правильный ответ:

. Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, сначала нам нужно взять производную функции. Уравнение будет проще переписать, так как отсюда мы можем взять производную и упростить, чтобы получить

 

Отсюда нам нужно произвести оценку в заданной точке. В этом случае важно только значение x, поэтому мы оцениваем нашу производную при x=2, чтобы получить.

Сообщить об ошибке

Вычислить значение производной данной функции в точке:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, сначала нам нужно взять производную функции.

Отсюда нам нужно произвести оценку в данной точке. В этом случае важно только значение x, поэтому мы оцениваем нашу производную при x=1, чтобы получить

.

Сообщить об ошибке

Найти значение производной данной функции в точке:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, сначала нам нужно взять производную функции. Для этого нам нужно использовать частное правило и упростить следующим образом:

Отсюда нам нужно оценить в заданной точке . В этом случае важно только значение x, поэтому мы оцениваем нашу производную при x=2, чтобы получить

.

Сообщить об ошибке

Найти наклон в  для функции .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Производная от  равна:

Замените точку на .

Сообщить об ошибке

Каков наклон  в ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти наклон функции в определенной точке, подставьте эту точку в первую производную функции. Наш первый шаг здесь состоит в том, чтобы взять первую производную.

Поскольку мы видим, что f(x) состоит из двух разных функций, мы должны использовать правило произведения. Помните, что правило произведения выглядит следующим образом:

Следуя этой процедуре, мы устанавливаем равно и равно .

,

, который можно упростить до

.

Теперь подставьте 1, чтобы найти наклон при x=1.

Помните об этом .

Сообщить об ошибке

Рассмотрим функцию:  . Что такое производная в ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти производную от , используйте неявное дифференцирование, что означает получение производной каждого члена по переменной в этом члене.

Подставим точку в производную.

Сообщить об ошибке

Используйте неявное дифференцирование, чтобы найти наклон касательной к  в точке .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Мы должны взять производную , потому что это даст нам наклон. С левой стороны мы получим

, а с правой стороны получим .

Мы включили  слева, потому что  является функцией , поэтому ее производная неизвестна (поэтому мы пытаемся найти ее!).

Теперь мы можем вынести на множитель слева, чтобы получить

, и разделить на  , чтобы найти .

Это даст вам

 .

Нам нужно найти наклон в , поэтому мы можем заменить  для и .

.

Сообщить об ошибке

Найдите производную следующей функции в точке .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Здесь мы должны использовать правило произведения.

Предположим, что и наше выражение принимает вид

.

Вопрос требует, чтобы мы оценили это в .

Сообщить об ошибке

Учитывая функцию, каков наклон в точке?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Поскольку наклон определяется как производная данной функции в данной точке, нам нужно будет взять производную  и подставить в -значение точки .

Использование мощного правила  для всех , . Подписка в , .

Сообщить об ошибке

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Следующая →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы Calculus 2

9Диагностические тесты 308 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Видео с вопросами: Нахождение неизвестных коэффициентов в выражении функции по значению второй и третьей производных функции

Стенограмма видео

Учитывая, что 𝑦 равно 𝑎𝑥 в кубе плюс 𝑏𝑥 в квадрате, производная третьего порядка от 𝑦 равна минус 18, а 𝑑 два 𝑦 на 𝑑𝑥 в квадрате, когда 𝑥 равно двум, равно минус 14, найдите 𝑎 и 𝑏.

Итак, первое, что нам нужно сделать в этот вопрос на самом деле заключается в том, чтобы найти наши производные первого, второго и третьего порядка. Итак, мы начнем с нашего производная первого порядка. И просто чтобы напомнить нам, как мы на самом деле дифференцировать, если у нас есть функция в 𝑥, то если она в форме 𝑎𝑥 на степень 𝑏, то наша производная первого порядка будет равна 𝑎𝑏𝑥 степень 𝑏 минус один. Таким образом, вы умножаете коэффициент на показатель степени и уменьшить показатель степени на единицу.

Хорошо, давайте воспользуемся этим и давайте найти первую производную нашей функции. Итак, первый срок будет три 𝑎𝑥 в квадрате. И это потому, что мы умножили наш показатель степени три на коэффициент 𝑎. Итак, мы получаем три 𝑎, а затем уменьшил показатель степени на единицу. Таким образом, мы получаем 𝑥 в квадрате. Итак, второй член просто плюс два 𝑏𝑥. Опять же, мы дифференцировали это срок. Итак, это наш первый заказ производная.

Сейчас мы перейдем к собираемся снова дифференцировать, чтобы найти нашу производную второго порядка. Итак, наша производная второго порядка который я показал здесь с 𝑦 простым простым числом. И все, как у нас есть в вопрос 𝑑 два 𝑦 на 𝑑𝑥 в квадрате будет шесть 𝑎𝑥 плюс два 𝑏. Итак, опять же, мы просто различаем то в обычном порядке. Итак, у нас есть три 𝑎, умноженные на два — наш коэффициент, умноженный на наш показатель — и затем 𝑥 в степени двойки минус один, что равно 𝑥 — так что 𝑥 в степени один. Хорошо, отлично, теперь мы нашли наш производная второго порядка.

Итак, отлично, теперь мы можем двигаться на и найти нашу производную третьего порядка. И все, что мы делаем, чтобы найти это на самом деле снова дифференцировать, что просто оставит нас с шестью 𝑎, потому что если мы дифференцируем шесть 𝑎𝑥, у нас осталось шесть 𝑎. И если мы продифференцируем плюс два 𝑏, то оно просто будет равно нулю, потому что если мы продифференцируем любое число, которое не имеет члена 𝑥, он просто стремится к нулю. Итак, теперь мы сделали это — у нас есть производные первого, второго и третьего порядка — давайте посмотрим, что мы делаем следующий.

Итак, давайте начнем с этого кусочка Информация. Мы знаем, что наш третий порядок производная будет равна минус 18. Итак, теперь мы можем настроить уравнение. И мы действительно можем установить этот новый уравнение, потому что мы можем сказать, что наша производная третьего порядка равна отрицательной 18. Так что можно заменить это. Таким образом, мы получаем минус 18 равно шесть 𝑎. Хорошо, поэтому мы можем сказать, что 𝑎 будет равно минус трем. И у нас это есть, потому что мы на самом деле делится на шесть. И еще, мы просто перевернули его поэтому мы получили 𝑎 слева.

Так здорово, мы нашли 𝑎. Итак, теперь нам нужно двигаться и попробуйте найти 𝑏. И для этого мы собираюсь использовать этот бит информации здесь. Потому что, если мы посмотрим на это немного информации, у нас есть 𝑑 два 𝑦 больше 𝑑𝑥 в квадрате — так что наш второй порядок производная — равна минус 14, когда 𝑥 равно двум. Поэтому для того, чтобы на самом деле найти 𝑏, что мы можем сделать, это подставить в 𝑥 равно двум, а 𝑦 простое число равно равно минус 14. И это даст нам, что минус 14 равен шести 𝑎, умноженным на два плюс два 𝑏.

Но теперь у нас есть кое-что еще. Мы собираемся заменить, потому что мы знаем 𝑎. Таким образом, мы можем заменить в 𝑎 равно до отрицательной тройки. Таким образом, мы получаем этот отрицательный 14 равняется шести, умноженным на минус три, умноженным на два плюс два 𝑏.