Найти промежутки возрастания и убывания функции онлайн калькулятор: Исследование функции с помощью производной онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

2 + 1):

Получим результат:

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение

(производная равна нулю),

и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

Первая производная


             / 2    \    
 2*x     2*x*\x  - 1/    
------ - ------------ = 0
 2                2      
x  + 1    / 2    \       
          \x  + 1/

Решаем это уравнение

Корни этого ур-ния

Зн. экстремумы в точках:

Интервалы возрастания и убывания функции:

Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:

Минимумы функции в точках:

Максимумов у функции нет

Убывает на промежутках

Возрастает на промежутках

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

(вторая производная равняется нулю),

корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:

Вторая производная


  /          2       2       2 /      2\\    
  |    -1 + x     4*x     4*x *\-1 + x /|    
2*|1 - ------- - ------ + --------------|    
  |          2        2             2   |    
  |     1 + x    1 + x      /     2\    |    
  \                         \1 + x /    /    
----------------------------------------- = 0
                       2                     
                  1 + x

Решаем это уравнение

Корни этого ур-ния

Интервалы выпуклости и вогнутости:

Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:

Вогнутая на промежутках

Выпуклая на промежутках


(-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo)

Содержание

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Найти точки максимума и минимума функции y=16×3=2×2+223x-8.

Решение.

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

-16×3-2×2-223x-8, x<016×3-2×2+223x-8, x≥0

После чего необходимо найти производную:

y’=16×3-2×2-223x-8′, x<016×3-2×2+223x-8′, x>0y’=-12×2-4x-223, x<012×2-4x+223, x>0

Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y’x→0-0=lim yx→0-0-12×2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y’x→0+0=lim yx→0-012×2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем

lim yx→0-0=limx→0-0-16×3-2×2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx→0+0=limx→0-016×3-2×2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16×3-2×2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

-12×2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43×1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0

12×2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43×3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что

y'(-6)=-12×2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12×2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12×2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12×2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12×2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12×2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233

Перейдем к вычислению минимумов:

ymin=y-4-233=16×3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16×3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16×3-22+223x-8x=4+233=-8273

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

ymax=y-4+233=16×3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16×3-22+223x-8x=4-233=8273

Графическое изображение

Ответ:

ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273

Интервалы монотонного возрастания функции онлайн калькулятор. Возрастание и убывание функции

Экстремумы функции

Определение 2

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$.

Определение 3

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$.

Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.

Определение 4

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ — внутренняя точка области определения;

2) $f»\left(x_0\right)=0$ или не существует.

Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.

Теорема 2

Достаточное условие экстремума

Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f»(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f»\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f»\left(x\right)

2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f»\left(x\right)0$, то точка $x_0$ — точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f»\left(x\right) >0$ или производная $f»\left(x\right)

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.

Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов

Примеры экстремумов (Рис. 2).

Рисунок 2. Примеры точек экстремумов

Правило исследования функции на экстремум

2) Найти производную $f»(x)$;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Возрастание и убывание функции

Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.

Определение 5

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.

Исследование функции на возрастание и убывание

Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f»(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f»\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f»(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f»(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где $f»\left(x\right)0$ функция возрастает.2-30x+36$;

3) $f»\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f»(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:

Рисунок 3.

6) Определить знак производной $f»(x)$ на каждом промежутке:

\ \ .

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.

Другими словами:

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

Находим область определения функции.
Находим производную функции на области определения.
Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак — они и являются точками экстремума.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

Пример.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2 .

Находим производную:

Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5 , знаменатель обращается в ноль при x=2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6 .

Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .

В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .

Графическая иллюстрация.

Ответ:

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке .

Пример.

Найдите точки экстремума и экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:

Найдем производную функции:

В точке x=0 производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:

В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0 (смотрите раздел исследование функции на непрерывность):

Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:

Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6 .

То есть,

Таким образом, по первому признаку экстремума, точками минимума являются , точками максимума являются .

Вычисляем соответствующие минимумы функции

Вычисляем соответствующие максимумы функции

Графическая иллюстрация.

Ответ:

Второй признак экстремума функции.

Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .

Монотонность

Очень важным свойством функции является ее монотонность. Зная это свойство различных специальных функций, можно определить поведение различных физических, экономических, социальных и многих других процессов.

Выделяют следующие виды монотонности функций:

1) функция возрастает , если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;

2) функция убывает , если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;

3) функция неубывает , если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что ;

4) функция невозрастает , если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что .

2. Для первых двух случаев еще применяют термин «строгая монотонность».

3. Два последних случая являются специфическими и задаются обычно в виде композиции из нескольких функций.

4. Отдельно отметим, что рассматривать возрастание и убывание графика функции следует именно слева-направо и никак иначе.

2. Четность/нечетность.

Функция называется нечетной , если при изменении знака аргумента, она меняет свое значение на противоположное. Формульная запись этого выглядит так . Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция изменит свой знак. График такой функции симметричен относительно начала координат.

Примерами нечетных функций являются и др.

Например, график действительно обладает симметричностью относительно начала координат:

Функция называется четной , если при изменении знака аргумента, она не меняет свое значение. Формульная запись этого выглядит так . Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция в результате не изменится. График такой функции симметричен относительно оси .

Примерами четных функций являются и др.

К примеру, покажем симметричность графика относительно оси :

Если функция не относится ни к одному из указанных видов, то ее называют ни четной ни нечетной или функцией общего вида . У таких функций нет симметрии.

Такой функцией, например, является недавно рассмотренная нами линейная функция с графиком:

3. Особым свойством функций является периодичность.

Дело в том, что периодичными функциями, которые рассматриваются в стандартной школьной программе, являются только тригонометрические функции. Мы уже подробно о них говорили при изучении соответствующей темы.

Периодичная функция – это функция, которая не меняет свои значения при добавлении к аргументу определенного постоянного ненулевого числа.

Такое минимальное число называют периодом функции и обозначают буквой .

Формульная запись этого выглядит следующим образом: .

Посмотрим на это свойство на примере графика синуса:

Вспомним, что периодом функций и является , а периодом и – .

Как мы уже знаем, для тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:

У них период равен . И о функциях:

У них период равен .

Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.

Ограниченность.

Функцию y=f(x)называют ограниченной снизу на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x)

Функцию y=f(x)называют ограниченной сверху на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x)

Если промежуток Х не указывается, то считают, что функция ограничена на всей области определения. Функция ограниченная и сверху, и снизу называется ограниченной.

Ограниченность функции легко читается по графику. Можно провести некоторую прямую у=а, и если функция выше этой прямой, то ограниченность снизу.

Если ниже, то соответственно сверху. Ниже представлен график ограниченной снизу функции. График ограниченной функции, ребята, попробуйте нарисовать сами.

Тема: Свойства функций: промежутки возрастания и убывания; наибольшее и наименьшее значения; точки экстремума (локального максимума и минимума), выпуклость функции.

Промежутки возрастания и убывания.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

· если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;

· если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

· найти область определения функции;

· найти производную функции;

· решить неравенства и на области определения;

Покажите как с помощью графика функции можно найти значение функции

С задачей построения графика функции школьники сталкиваются в самом начале изучения алгебры и продолжают строить их из года в год. Начиная с графика линейной функции, для построения которой нужно знать всего две точки, к параболе, для которой нужно уже 6 точек, гиперболе и синусоиде. С каждым годом функции становятся все сложнее и построения их графиков уже невозможно выполнить по шаблону, необходимо проводить более сложные исследования, пользуясь производными и пределами.

Давайте разберемся, как найти график функции? Для этого начнем с самых простых функций, графики которых строятся по точкам, а потом рассмотрим план для построения более сложных функций.

Для построения простейших графиков используют таблицу значений функции. Графиком линейной функции является прямая. Давайте попробуем найти точки графика функции y=4x+5.

Для это возьмем два произвольных значения переменной x, подставим их поочередно в функцию, найдем значение переменной y и занесем все в таблицу.
Возьмем значение x=0 и подставим в функцию вместо x — 0. Получим: y=4*0+5, то есть y=5 запишем это значение в таблицу под 0. Аналогично возьмем x=0 получим y=4*1+5, y=9.
Теперь, чтобы построить график функции нужно нанести на координатную плоскость эти точки. Затем необходимо провести прямую.

Квадратичная функция — это функция вида y=ax 2 +bx +c, где x-переменная, a,b,c — числа (a не равно 0). Например: y=x 2 , y=x 2 +5, y=(x-3) 2 , y=2x 2 +3x+5.

Для построения простейшей квадратичной функции y=x 2 обычно берут 5-7 точек. Возьмем значения для переменной x: -2, -1, 0, 1, 2 и найдем значения y также как и при построении первого графика.

График квадратичной функции называют параболой. После построения графиков функции у учеников появляются новые задачи, связанные с графиком.

Пример 1: найдите абсциссу точки графика функции y=x 2 , если ордината равна 9. Для решения задачи необходимо в функцию вместо y подставить ее значение 9. Получим 9=x 2 и решить это уравнение. x=3 и x=-3. Это можно увидеть и на графике функции.

Для построения графиков более сложных функций необходимо выполнить несколько шагов, направленных на ее исследование. Для этого необходимо:

Найти область определения функции. Область определения — это все значения которые может принимать переменная x. Из области определения следует исключить те точки, в которых знаменатель обращается в 0 или подкоренное выражение становится отрицательным.
Установить четность или нечетность функции. Напомним, что четной является та функция, которая отвечает условию f(-x)=f(x). Ее график является симметричным относительно Оу. Функция будет нечетной, если она отвечает условию f(-x)=-f(x). В этом случае график симметричен относительно начала координат.
Найти точки пересечения с осями координат. Для того, чтобы найти абсциссу точки пересечения с осью Ох, необходимо решить уравнение f(x)=0 (ордината при этом равна 0). Чтобы найти ординату точки пересечения с осью Оу, необходимо в функцию вместо переменной x подставить 0 (абсцисса равна 0).
Найти асимптоты функции. Асиптота — прямая, к которой график бесконечно приближается , но никогда ее не пересечет. Давайте разберемся, как найти асимптоты графика функции.
- Вертикальная асимптота прямая вида х=а
- Горизонтальная асимптота — прямая вида у=а
- Наклонная асимптота — прямая вида y=kx+b
Найти точки экстремума функции, промежутки возрастания и убывания функции. Найдем точки экстремума функции. Для этого необходимо найти первую производную и приравнять ее к 0. Именно в этих точках функция может поменяться с возрастающей на убывающую. Определим знак производной на каждом интервале. Если производная положительна, то график функции возрастает, если отрицательна — убывает.
Найти точки перегиба графика функции, промежутки выпуклости вверх и вниз.

Найти точки перегиба теперь проще простого. Нужно лишь найти вторую производную, затем приравнять ее к нулю. Следом находим знак второй производной на каждом интервале. Если положительный, то график функции выпуклый вниз, если отрицательна — вверх.

Расширенный алгоритм евклида онлайн калькулятор
Территориальные индексы

Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции. График функции

Приведены график и основные свойства экспоненты (е в степени х): область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд, действия с комплексными числами.

Определение

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
— ∞ Ее множество значений:
0 .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Свойства функций играют важную роль при их изучении. Они позволяют делать определенные выводы о функциях. Изучение данной темы крайне важно для обучающихся, особенно старших классов. Это связано с тем,что задания по данной теме довольно часто встречаются в КИМ государственной итоговой аттестации.

Видеоурок по теме «Свойства функции» разработан автором для облегчения работы учителя и его подготовки к урокам. Если использовать данный материал на уроках, то появится больше свободного времени, которое можно посвятить индивидуальному обучению или другим направлениям обучения математики в школе.

Длительность урока составляет 8:23 минут. Примерно столько же времени требуется учителю, чтобы объяснить материал на уроке, который длится 40-45 минут. При этому учитель успеет актуализировать знания обучающихся, повторить необходимый материал, просмотреть видеоурок, а затем еще и закрепить материал.

Рассмотрение материала начинается непосредственно с первого свойства, которое называется монотонность. Это понятие подробно расписывается на математическом языке, что способствует развитию математической грамотности обучающихся, а также словесно поясняется каждая запись на экране. Далее автор демонстрирует на рисунке, как выглядит монотонная функция для случаев возрастания и убывания. После этого дается определение монотонной функции. Здесь же дается правило для запоминания, которое связано с монотонностью функции. Далее предлагается рассмотреть эту теорию на примере. На рисунке изображен график, на экране последовательно выделяются промежутки возрастания и убывания. Показана и математическая запись этих промежутков.

Согласно условию другого примера, необходимо исследовать функцию на монотонность. Чтобы определить монотонность функции, автор воспользовался определением возрастающей и убывающей функции. В результате получается, что функция убывает на всей области определения.

Затем на экране демонстрируются примеры возрастающих функций на всей области определения.

Далее внимание обучающихся обращается ко второму свойству, которое называется ограниченностью. Рассмотрение этого свойства строится по аналогии с первым свойством. Рассматривается понятие ограниченности, все это иллюстрируется на рисунке, как ограниченность снизу, так и ограниченность сверху. Затем на экране появляется пример ограниченной функции.

Важными понятиями в пункте ограниченность являются наибольшее и наименьшее значение функции. В качестве иллюстрации показан рисунок и идет подробное описание этих понятий.

После примера рассматривается третье свойство, которое называется выпуклостью. Это понятие иллюстрируется с помощью рисунка. На данном свойстве автор не останавливается так же подробно, как на предыдущих. Он сразу переходит к четвертому свойству — непрерывности. Здесь вводится понятие непрерывной функции. После этого демонстрируется это свойство на рисунке с подробными пояснениями.

Далее рассматривается свойство четности и нечетности. И тут же объясняется, когда функция четная и нечетная. Объяснения сопровождаются иллюстрациями и подробными описаниями. Это показано на примерах двух функций.

И, наконец, рассматривается шестое свойство — периодичность. На нем автор не останавливается, отмечая, что примеры периодичных функций будут изучены в дальнейшем на уроках алгебры.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Первое свойство, которое мы рассмотрим -монотонность.

Внимание: во всех определениях рассматривается числовое множество икс большое — подмножество области определения функции.

Функция игрек равно эф от икс возрастает на множестве икс большое, которое является подмножеством области определения и если для любых икс первое из множества икс большое и икс второе из множества икс большое таких,что икс второе больше икс первого выполняется неравенство эф от икс второе больше эф от икс первое. Другими словами — большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция игрек равно эф от икс убывает на промежутке икс большое которое является подмножеством областиопределения и если для любых икс первое из множества икс большое и икс второе из множества икс большое таких,что икс второе больше икс первого выполняется неравенство эф от икс второе меньше эф от икс первое. Другими словами — большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция игрек равно эф от икс называется монотонной на множестве икс большое, если она на этом промежутке или убывает или возрастает.

Запомни: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания.

Например, функция, график которой изображен на рисунке, на промежутках

от минус бесконечности до минус пяти и от трех до плюс бесконечностивозрастает, а на промежутке от минус пяти до трех убывает. Пример. Исследовать функцию на монотонность: игрек равен шесть минус два икс.

Введем обозначение: эф от икс равен шесть минус два икс.

Если икс первое меньше икс второе, то используя свойства числовых неравенств, имеем

Значит, заданная функция убывает на всей числовой прямой.

Существуют функции, являющиеся возрастающими на всей области определения, например, игрек равен ка икс плюс вэ при ка больше нуля, игрек равен икс в кубе.

Второе свойство — ограниченность.

Если все значения функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое больше некоторого числа эм малое, то функцию игрек равно эф от икс называют ограниченной снизу на множестве икс большое из области определения.

Если все значения функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое меньше некоторого числа эм большое, то функцию игрек равно эф от икс называют ограниченной сверху на множестве икс большое из области определения.

Запомни: если функция ограничена и сверху и снизу на всей области определения, то ее называют ограниченной.

По графику функции легко можно определить ее ограниченность.

Наибольшее значение функции обозначают игрек с индексом наибольшее. .

Игрик является наибольшим если:

Во -первых, существует точка икс нулевое из множества икс большое такая, что эф от икс нулевое равно эм большое;

Во — вторых,для любого значения икс из множества икс большое выполняется неравенство эф от икс меньше или равно эф от икс нулевое, то число эм большое называют наибольшим значением функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое из области определения функции.

Наименьшее значение функции обозначают игрек с индексом наименьшее

Во -первых, существует точка икс нулевое из множества икс большое такая, что эф от икс нулевое равно эм;

Во — вторых,для любого значения икс из множества икс большое выполняется неравенство эф от икс больше или равно эф от икс нулевое,то число эм называют наименьшим значением функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое из области определения функции

Полезно запомнить:

Если у функции существует наименьшее значение., то она ограничена снизу.

Если у функции существует наибольшее значение, то она ограничена сверху.

Рассмотрим пример. Найти наименьшее значение функции

Функция, график которой изображен на рисунке, ограничена снизу, наименьшее значение функции равно нулю, а наибольшего не существует, функция сверху неограниченна.

Третье свойство: выпуклость вверх, выпуклость вниз.

Если,соединить любые две точки графика функции с абсциссами из икс большое отрезком и соответствующая часть графика будет лежать ниже проведенного отрезка, то такая функция выпукла вниз на промежутке икс большое из области определения.

Если,соединить любые две точки графика функции с абсциссами из икс большое отрезком и соответствующая часть графика будет лежать выше проведенного отрезка, то такая функция выпукла вверх на промежутке икс большое из области определения.

четвертое свойство: непрерывность.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на всей области определения сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

пятое свойство: четность, нечетность.

Если область определения функции -симметричное множество и для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)= f(х), то такая функция четная.

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Если область определения функции -симметричное множество и для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)= -f(х), то такая функция нечетная.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Так же существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными

шестое свойство: периодичность

примеры периодических функций будем рассматривать в дальнейшем

Если существует такое отличное от нуля число тэ большое, что для любого икс из области определения функции верно равенство эф от икс плюс тэ большое равно эф от икс и равно эф от икс минус тэ большое, то функция игрек равно эф от икс -периодическая. Число тэ большое — период функции игрек равно эф от икс

все тригонометрические функции периодические.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Урок по теме «Область определения и область значений функции» проводится в 10 классе в курсе алгебры и начал анализа. На объяснение материала по данной теме автор отводит 8:47 минут. этого времени достаточно для того, чтобы обучающиеся прослушали необходимую информацию, зафиксировали ее в своих тетрадях и поняли содержание материала. Примерно столько же времени затрачивает учитель на уроке при объяснении нового материала.

Автор позаботился об учителях, нагрузка которых итак достаточно велика, поэтому разработал данный видеоурок с учетом всех требований. То есть, урок соответствует возрасту обучающихся, их уровню образования и особенностей восприятия материала. Учителю останется лишь подобрать материал для закрепления новой информации, полученной из данного урока.

Урок начинается с информации о том, что функция задается вместе с областью определения. Далее автор определяет переменные xи y? как аргумент и значение функции соответственно. После этого вводятся определения понятий область определения функции и область значений функции.

Затем рассматривается пример, где функция задана графически, и необходимо определить ее область определения. Решение данного примера подробно расписывается на экране. Автор поясняет каждый момент, где обучающиеся могут допустить ошибки. Все объяснение сопровождается наглядной иллюстрацией на рисунке.

Далее автор переходит к пункту «Область определения рациональной функции». Для обучающихся говорится о том, что в область определения рациональных функций не входят те значения аргумента, которые обращают знаменатель в нуль. Это поясняется на случае общего написания рациональной функции.

Затем на этот случай рассматривается пример. Здесь необходимо найти область определения рациональной функции. Решение пример основано на той информации, которую только что автор поведал обучающимся. То есть, он находит все те значения, которые обращают знаменатель в нуль и исключает их из множества действительных чисел, получая, таким образом, область определения функции.

после этого предлагается рассмотреть еще один пример, где требуется найти область определения рациональной функции. Но здесь наблюдается следующая особенность: знаменатель дроби никогда не обращается в нуль. Поясняя это, автор делает вывод, что областью определения данной функции является множество действительных чисел. После этого примера предлагается запомнить закономерность, которая только что была использована в примере.

Далее автор переходит к пункту «Область определения иррациональной функции». Здесь важно запомнить то, что подкоренное выражение никогда не может быть отрицательным. Это подкрепляется математической интерпретацией на математической языке. Здесь же поясняется, что если иррациональное выражение в записи функции находится в знаменателе, то подкоренное выражение будет не просто неотрицательным, а строго положительным.

К этому материалу прилагается пример, где требуется найти область определения иррациональной функции. Решая неравенство: подкоренное выражение неотрицательно, автор получает значения аргумент, которые образуют область определения заданной функции.

Затем рассматривается область определения функции с натуральным логарифмом. Сначала дается теоретический экскурс по данному материалу, а затем приводится пример с подробным описанием каждого шага решения.

После всего теоретического материала автор предлагает рассмотреть три примера, где требуется найти область определения и область значений функции, заданной графически. Это можно использовать как небольшой элемент закрепления выданного только что материала.

Урок будет полезен не только учителям, но и обучающимся, которые занимаются самообразованием или пропустили урок по данной теме по определенным причинам. Из этого урока обучающиеся смогут почерпнуть не только теоретический материал, но и подкрепить полученные знания практическими упражнениями.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Область определения и область значений функции.

Из определения функции следует, что функция игрек равен эф от икс задается вместе с ее областью определения икс большое.

Для изучения этой темы нам необходимо вспомнить: как называется переменная икс? число у?

Независимую переменную икс называют аргументом функции, а число игрек, соответствующее числу икс, называют значением функции эф в точке икс и обозначают эф от икс

Какое множество называется областью определения функции?

Если нам дана функция у=f(х),то ее область определения — это множество значений «икс» , для которых существуют значения «игрек»и обозначают дэ большое от эф.

Область значений функции — множество, состоящее из всех чисел эф от х, таких, что икс принадлежит икс большому и обозначают е большое от эф.

Рассмотрим пример. Функция задана графически. Определить дэ большое от эф.

Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
интервал от минус бесконечности до а, луч от вэ до цэ и интервал от цэ до плюс бесконечности. Действительно так, если взять любое значение «икс» из интервала от минус бесконечности до а, или из полуинтервала от вэ до цэ, или из интервала от цэ до плюс бесконечности, то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».

Как ?

Рассмотрим примеры.

Первое.

Область определения рациональной функции, т.е. аргумент у которой есть в содержится в знаменателе.

Запомните:

значения аргумента, которые обращают знаменатель в ноль — не входят в область определения данной функции .

Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь единица, деленная на альфа от ихс. Как вы знаете, на ноль делить нельзя: поэтому альфа от икс не равно нулю

Найти область определения функции

эф от икс равен дроби, числитель которой икс плюс два, а знаменатель — икс квадрат минус три. Данная функция задана аналитически.

Решение : обращаем внимание на знаменатель, он должен быть не нулевым. Приравняем его к нулю и найдем значение аргумента которые обращают знаменатель функции в ноль:

икс квадрат минус триравно нулю.

икс квадрат равно трем.

Полученное уравнение имеет два корня:

минус квадратный корень из трех, квадратный корень из трех.

Данные значения не входят в область определения функции , так как при этих значениях знаменатель дроби обращается в ноль.

Ответ : дэ большое от эф равен объединению промежутков:интервал от минус бесконечности до квадратного корня из трех,интервал от минус квадратного корня из трех до квадратного кореня из трех.

и интервал от квадратного кореня из трех

до плюс бесконечности.

Рассмотрим еще пример.

Найти область определения функции

эф от икс равен дроби, числитель которой единица, а знаменатель — икс квадрат плюс один.

Рассмотрим выражение стоящее в знаменателе: к квадрату числа икс прибавляют единицу он всегда положительно т.е. какое бы значение «икс» мы не взяли, знаменатель не обратится в ноль, более того, будет всегда положителен, значит область определения функции, дэ большое от эф равено множеству всех действительных чисел.

определена на всей числовой оси.

Запомните!

при любом значении «икс» и положительной константе ка :
икс квадрат плюс ка больше нуля.

Второе.

Область определения иррациональной функции (содержащий радикал или корень).

подкоренное выражение неотрицательно

Функция вида игрек равен квадратный корень из альфа от икс определена только при тех значениях икс из области определения дэ от альфа, когда альфа от икс не отрицательно, т.е. больше или равна нулю. Если функция содержащая радикал в знаменателе дроби, то альфа от х строго больше нуля.

Найти область определения функции
эф от икс равен квадратный корень из трех минус два икс.

Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

три минус два икс больше или равно нулю

минус два икс больше или равно минус трем

два икс меньше или равно трем

икс меньше или равнотрем вторым

Ответ: дэ большое от эф равен полуинтервалу от минус бесконечности до трех вторых.

Третье .

Область определения функций с натуральным логарифмом.

Пусть функция содержит натуральный логарифм альфа от икс., то в её область определения входят только те значения икс, удовлетворяющие неравенству альфа от икс строго больше нуля.

Если логарифм находится в знаменателе: то дополнительно накладывается условие альфа от икс не равно единице, (так как натуральный логарифм единицы равен нулю).

Найти область определения функции

эф от икс равен дроби числитель равен единице, а знаменатель — натуральный логарифм из выражения икс плюс три.

Решение : в соответствии с вышесказанным составим и решим систему:

икс плюс три больше нуля

и икс плюс три не равно единице

икс больше минус трех и икс не равно минус двум.

Изобразим множество решений системы на прямой и сделаем вывод.

Ответ: дэ большое от эф равно объединению промежутков: интервалам от минус трех до минус двух и от минус двух до плюс бесконечности.

Дэ большое от эф равен отрезку от минус четырех до двух;

Е большое от эф равно отрезку от минус одного до двух;

Найтиобласть определения и область значений функции.

Дэ большое от эф равен интервалу от минус двух до пяти;

Е большое от эф равно отрезку от минус двух до трех;

Найтиобласть определения и область значений функции.

Дэ большое от эф равен отрезку от минус четырех до трех;

Е большое от эф равно отрезку от минус пяти до нуля;

Определение. Пусть функция $y = f(x) $ определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку $x_0 $. Дадим аргументу приращение $\Delta x $ такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции $\Delta y $ (при переходе от точки $x_0 $ к точке $x_0 + \Delta x $) и составим отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} $. Если существует предел этого отношения при $\Delta x \rightarrow 0 $, то указанный предел называют производной функции $y=f(x) $ в точке $x_0 $ и обозначают $f»(x_0) $.

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y». Отметим, что y» = f(x) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
$k = f»(a) $

Поскольку $k = tg(a) $, то верно равенство $f»(a) = tg(a) $ .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция $y = f(x) $ имеет производную в конкретной точке $x $:
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство $\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f»(x) $, т.2 \) справедливо приближенное равенство $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $. Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение $x $, найти $f(x) $
2. Дать аргументу $x $ приращение $\Delta x $, перейти в новую точку $x+ \Delta x $, найти $f(x+ \Delta x) $
3. Найти приращение функции: $\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) $
4. Составить отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} $
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f»(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство $\Delta y \approx f»(x) \cdot \Delta x $. Если в этом равенстве $\Delta x $ устремить к нулю, то и $\Delta y $ будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция $y=\sqrt{x} $ непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и $f»(0) $

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями.2} $$

Математический анализ, примеры из синергии

В этой статье мы разберем теорию для решения примеров, которые чаще всего встречаются в тестированиях из Синнергии.

Область определения функции

Область определения функции указывается сразу после того, как функция задается. Функция без нее не рассматривается. Если задана функция y=f(x), то область определения не указывается, потому что ее область допустимых значений для переменной x будет любым. Исходя из этого, функция определена на всей области определения.

То, что областью определения функции не является множество R можно определить, как бы не было банально, по виду формулы. Есть следующие признаки того, что могут быть ограничения области определения:

Дроби. Если вы видите в функции дробь, в знаменателе которой находится переменная x, то будьте осторожны и помните, что на нуль делить нельзя.
Корень. Следует обратить внимание на то, есть ли переменная под корнем или в его показателе. Под корнем четной степени может находится только неотрицательное число. А в его показателе должно быть любое натуральное число, за исключением единицы.
Напомню, что существуют степени с отрицательными или не целыми показателями, и они могут быть не у всех чисел. Поэтому переменная в основании такой степени – признак ограничения области определения.
Логарифм. А точнее наличие переменной под знаком логарифма (тут может быть только положительное число) или в его основании (должно быть положительное и также отличное от нуля число).
Тангенс и Котангенс. Это очевидно, так как они определены не для каждого действительного числа. Поэтому нужно смотреть, нет ли переменной под знаком тангенса или котангенса.
Арксинус и арккосинус. Они определены только для чисел на отрезке от -1 до 1.

Область определения сложной функции

Область определения сложной функции — это пересечение двух множеств: множества всех таких x, что , и множества всех таких x, для которых .

Пример:

– это логарифм, а –

, .

Область определения дроби

Функция задана формулой . Очевидно, что данная дробь имеет смысл только на том множестве, на котором определяются функции и . Но функция не должна быть равной нулю. Из этого следует, что область определения функции дроби определяется записью:

Такой же ответ можно получить, если записать функцию дроби в виде произведения двух функций:

Теперь мы можем воспользоваться предыдущим правилом по нахождению области определения сложной функции.

Область определения логарифма с переменной в основании

Функция задана формулой . Функция логарифма определена на множестве положительных оснований не равных единице и положительных чисел под знаком логарифма. Область определения функции логарифма определяется записью:

Такой же ответ можно получить, если записать функцию логарифма в виде функции дроби:

, где

Теперь мы можем воспользоваться предыдущим правилом по нахождению области определения дроби.

Область определения показательно-степенной функции

Данная функция задана формулой Область определения показательно-степенной функции определяется записью:

Такой же ответ можно получить, если записать показательно-степенную функцию в виде сложной функции:

, где

Теперь мы можем воспользоваться правилом по нахождению области определения сложной функции.

Нахождение производной функции

Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения ее аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Операция нахождения производной называется дифференцированием. Обозначается или .

Для начала разберем нахождение производной простой функции. Существует таблица производных простых функций, которая собственно и поможет справиться с этим. Рассмотрим каждый случай:

Но, к сожалению, такие простые табличные случаи встречаются крайне редко. При нахождении производных приходится прибегнуть также к правилам дифференцирования:

Постоянное число следует выносить за знак производной.
Где — это простая функция.
Пример:
Производна суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
.
Пример:
Производная произведения функций.
.
Пример:
Производная частного функций.
.
Пример:

И теперь, когда основные моменты с производной простой функции усвоены, мы можем перейти к еще более интересному и сложному моменту: Нахождение производной сложной функции.

Для этого случая также существует таблица, которая позволит нам такого рода примеры.

– это простая функция. То есть на ее место мы можем подставить любую функцию из первой таблицы.

Давайте разберем какой-нибудь показательный пример:

В этом действии мы воспользовались четвертым правилом дифференцирования «Производная частного функции».

Во втором действии мы применили второе и третье правила дифференцирования.

Ну и в конце мы вычислили простые производные с помощью первой таблицы.

Определение промежутков возрастания и убывания функции

Функция y=f(x) называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, то есть

Функция y=f(x) называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствуетменьшее значение функции, то есть

Существуют признаки возрастания и убывания функции на промежутке:

если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на интервале X;
если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на интервале X.

Исходя из данных условий, для того чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

найти область определения функции;
найти производную функции;
решить неравенства и неравенства на области определения;
к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Нахождение интеграла функции

В данной операции, как и в дифференцировании, нам может помочь определенная таблица. А именно таблица интегралов.

Какие же существуют методы решения интегралов?

Приведение к табличному виду (метод непосредственного интегрирования). Используя различные возможные тождественные преобразования функции, стоящей под интегралом, мы приводим интеграл к такому виду, для решения которого можем применить таблицу основных интегралов и основные правила интегрирования.
Внесение под знак дифференциала. Величина dx в формуле неопределенного интеграла обозначает, что берется дифференциал от переменной х. Используется какие-либо свойства дифференциала, чтобы, усложнив выражение под знаком дифференциала, таким образом упростить решение интеграла. Для этого используется формула:
Если нужная функция y(x) отсутствует, тогда в некоторых случаях ее можно образовать путем алгебраических преобразований.
Интегрирование заменой переменной или методом подстановки. Пусть x=ϕ(t), где функция ϕ(t) имеет непрерывную производную ϕ′(t), а между переменными x и t существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство
Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.
Интегрирование по частям. Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле .
При нахождении функции по ее дифференциалу можно брать любое значение постоянной интегрирования C, так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать C=0 .
Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

Математическое определение производной. Калькулятор онлайн

Исследование функций. В этой статье мы поговорим о задачах, в которых рассматриваются функции и в условии стоят вопросы связанные с их исследованием. Рассмотрим основные теоретические моменты, которые необходимо знать и понимать для их решения.

Это целая группа задач входящих в ЕГЭ по математике. Обычно ставится вопрос о нахождении точек максимума (минимума) или определения наибольшего (наименьшего) значения функции на заданном интервале. Рассматриваются:

— Степенные и иррациональные функции.

— Рациональные функции.

— Исследование произведений и частных.

— Логарифмические функции.

— Тригонометрические функции.

Если вы поняли теорию пределов, понятие производной, свойства производной для исследования графиков функций и её , то такие задачи никакого затруднения у вас не вызовут и вы решите их с лёгкостью.

Информация ниже — это теоретические моменты, понимание которых позволит осознать, как решать подобные задачи. Постараюсь изложить их именно так, чтобы даже тот, кто эту тему пропустил или изучил слабо, смог без особых затруднений решать подобные задачи.

В задачах данной группы, как уже сказано, требуется найти либо точку минимума (максимума) функции, либо наибольшее (наименьшее) значение функции на интервале.

Точки минимума, максимума. Свойства производной.

Рассмотрим график функции:

Точка А – это точка максимума, на интервале от О до А функция возрастает, на интервале от А до В убывает.

Точка В – это точка минимума, на интервале от А до В функция убывает, на интервале от В до С возрастает.

В данных точках (А и В) производная обращается в нуль (равна нулю).

Касательные в этих точках параллельны оси ox .

Добавлю, что точки, в которых функция меняет своё поведение с возрастания на убывание (и наоборот, с убывания на возрастание), называются экстремумами.

Важный момент:

1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак (п ри подстановке значения из интервала в производную получается положительное число).

Значит, если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.

2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак (при подстановке значения из интервала в выражение производной получается отрицательное число).

Значит, если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.

Это надо чётко уяснить!!!

Таким образом, вычислив производную и приравняв её к нулю, можно найти точки, которые разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов можно определить знак производной и далее сделать вывод о её возрастании или убывании.

*Отдельно следует сказать о точках, в которых производая не существует. Например, можем получить производную, знаменатель которой при определённом х обращается в нуль. Понятно, что при таком х производная не существует. Так вот, данную точку также необходимо учитывать при определени интервалов возрастания (убывания).

Функция в точках, где производная равна нулю меняет свой знак не всегда. Об этом будет отдельная статья. На самом ЕГЭ таких задач не будет.

Вышеизложенные свойства необходимы для исследования поведения функции на возрастание и убывание.

Что ещё необходимо знать для решения оговоренных задач: таблицу производных и правила дифференцирования. Без этого никак. Это базовые знания, в теме производной. Производные элементарных функций вы должны знать на отлично.

Вычисляя производную сложной функции f (g (x )), представьте, что функция g (x ) это переменная и далее вычисляйте производную f ’(g (x )) по табличным формулам как обычную производную от переменной. Затем полученный результат умножьте на производную функции g (x ) .

Посмотрите видеоурок Максима Семенихина о сложной функции:

Задачи на нахождение точек максимума и минимума

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:

1. Находим производную функции f ’(x ).

2. Находим нули производной (приравниванием производную к нулю f ’(x )=0 и решаем полученное уравнение). Также находим точки в которых производная не существует (в частности это касается дробно-рациональных функций).

3. Отмечаем полученные значения на числовой прямой и определяем знаки производной на этих интервалах путём подстановки значений из интервалов в выражение производной.

Вывод будет один из двух:

1. Точка максимума это точка, в которой производная меняет значение с положительного на отрицательное.

2. Точка минимума это точка, в которой производная меняет значение с отрицательного на положительное.

Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения

функции на интервале.

В другом типе задач требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции на заданном интервале.

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции:

1. Определяем, есть ли точки максимума (минимума). Для этого находим производную f ’(x ) , затем решаем f ’(x )=0 (пункты 1 и 2 из предыдущего алгоритма).

2. Определяем, принадлежат ли полученные точки заданному интервалу и записываем лежащие в его пределах.

3. Подставляем в исходную функцию (не в производную, а в данную в условии) границы данного интервала и точки (максимума-минимума), лежащие в пределах интервала (п.2).

4. Вычисляем значения функции.

5. Выбираем из полученных наибольшее (наименьше) значение, в зависимости от того, какой вопрос был поставлен в задаче и далее записываем ответ.

Вопрос: для чего в задачах на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции необходимо искать точки максимума (минимума)?

Ответ лучше всего это проиллюстрировать, посмотрите схематичное изображение графиков, задаваемых функций:

В случаях 1 и 2 достаточно подставить границы интервала, чтобы определить наибольшее или наименьшее значение функции. В случаях 3 и 4 необходимо найти нули функции (точки максимума-минимума). Если мы подставим границы интервала (не находя нули функции), то получим неверный ответ, это видно по графикам.

И всё дело в том, что мы по заданной функции не можем увидеть как выглядит график на интервале (имеет ли он максимум или минимум в пределах интервала). Потому находите нули функции обязательно!!!

Если уравнение f’(x )=0 не будет иметь решения, это значит, что точек максимума-минимума нет (рисунок 1,2), и для нахождения поставленной задачи в данную функцию подставляем только границы интервала.

Ещё один важный момент. Помните, что ответом должно быть целое число или конечная десятичная дробь. При вычислении наибольшего и наименьшего значения функции вы будете получать выражения с числом е и Пи, а также выражения с корнем. Запомните, что до конца вам их вычислять не нужно, и так понятно, что результат таких выражений ответом являться не будет. Если возникнет желание вычислить такое значение, то сделайте это (числа: е ≈ 2,71 Пи ≈ 3,14).

Много написал, запутал наверное? По конкретным примерам вы увидите, что всё просто.

Далее хочу открыть вам маленький секрет. Дело в том, что многие задания можно решить без знания свойств производной и даже без правил дифференцирования. Об этих нюансах я вам обязательно расскажу и покажу как это делается? не пропустите!

Но тогда зачем же я вообще изложил теорию и ещё сказал, что её нужно знать обязательно. Всё верно – знать надо. Если её поймёте, тогда никакая задача в этой теме в тупик вас не поставит.

Те «хитрости», о которых вы узнаете, помогут вам при решении конкретных (некоторых) прототипов задач. К ак дополнительный инструмент эти приёмы использовать, конечно, удобно. Задачу можно решить в 2-3 раза быстрее и сэкономить время на решение части С.

Всего доброго!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажите о сайте в социальных сетях.

Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.

Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.

Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе. Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин. Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.

Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.

Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля». На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей. Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.

Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов. Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» — здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков. К каждому из них, например, на прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы.

Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

Пример 1. Найти производную функции

Пример 2. Найти производную функции

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

Где что искать на других страницах

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Пример 4. Найти производную функции

Пример 5. Найти производную функции

Пример 6. Найти производную функции

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Вычисление производной — одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:

Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций

Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач. На картинке, в таблице производных простых функций, приведена «шпаргалка» основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая.

Производные простых функций

1. Производная от числа равна нулю
с´ = 0
Пример:
5´ = 0

Пояснение :
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях — скорость его изменения всегда равна нулю.

2. Производная переменной равна единице
x´ = 1

Пояснение :
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение :
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .

Откуда следует, что
(cx + b)» = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|» = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение :
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
(x c)»= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2)» = 2x
(x 3)» = 3x 2
Для запоминания формулы :
Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)» = — 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)» = (x -1)» , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)» = -1x -2 = — 1 / х 2

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
(1 / x c)» = — c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)» = — 2 / x 3

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
(√x)» = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2
Пример:
(√x)» = (х 1/2)» значит можно применить формулу из правила 5
(х 1/2)» = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
(n √x)» = 1 / (n n √x n-1)

Mathway | Популярные задачи

1	Найдите производную — d / dx	натуральное журнал x
2	Оцените интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
3	Найдите производную — d / dx	е ^ х
4	Оцените интеграл	интеграл от e ^ (2x) относительно x
5	Найдите производную — d / dx	1 / х
6	Найдите производную — d / dx	х ^ 2
7	Найдите производную — d / dx	1 / (х ^ 2)
8	Найдите производную — d / dx	грех (х) ^ 2
9	Найдите производную — d / dx	сек (x)
10	Оцените интеграл	интеграл e ^ x относительно x
11	Оцените интеграл	интеграл x ^ 2 относительно x
12	Оцените интеграл	интеграл квадратного корня x относительно x
13	Найдите производную — d / dx	соз (х) ^ 2
14	Оцените интеграл	интеграл от 1 / x по отношению к x
15	Оцените интеграл	интеграл sin (x) ^ 2 относительно x
16	Найдите производную — d / dx	х ^ 3
17	Найдите производную — d / dx	сек (x) ^ 2
18	Оцените интеграл	интеграл cos (x) ^ 2 относительно x
19	Оцените интеграл	интеграл от sec (x) ^ 2 относительно x
20	Найдите производную — d / dx	е ^ (х ^ 2)
21	Оцените интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1 + 7x относительно x
22	Найдите производную — d / dx	грех (2x)
23	Найдите производную — d / dx	загар (x) ^ 2
24	Оцените интеграл	интеграл 1 / (x ^ 2) относительно x
25	Найдите производную — d / dx	2 ^ х
26	График	натуральное бревно из
27	Найдите производную — d / dx	cos (2x)
28	Найдите производную — d / dx	хе ^ х
29	Оцените интеграл	интеграл от 2x относительно x
30	Найдите производную — d / dx	(натуральный логарифм x) ^ 2
31	Найдите производную — d / dx	натуральный логарифм (x) ^ 2
32	Найдите производную — d / dx	3x ^ 2
33	Оцените интеграл	интеграл xe ^ (2x) относительно x
34	Найдите производную — d / dx	2e ^ x
35	Найдите производную — d / dx	натуральное бревно 2x
36	Найдите производную — d / dx	-син (х)
37	Найдите производную — d / dx	4x ^ 2-x + 5
38	Найдите производную — d / dx	y = 16 корень четвертой степени из 4x ^ 4 + 4
39	Найдите производную — d / dx	2x ^ 2
40	Оцените интеграл	интеграл e ^ (3x) относительно x
41	Оцените интеграл	интеграл cos (2x) относительно x
42	Найдите производную — d / dx	1 / (квадратный корень из x)
43	Оцените интеграл	интеграл e ^ (x ^ 2) относительно x
44	Оценить	e ^ бесконечность
45	Найдите производную — d / dx	х / 2
46	Найдите производную — d / dx	-cos (x)
47	Найдите производную — d / dx	грех (3x)
48	Найдите производную — d / dx	1 / (х ^ 3)
49	Оцените интеграл	интеграл tan (x) ^ 2 относительно x
50	Оцените интеграл	интеграл 1 по x
51	Найдите производную — d / dx	х ^ х
52	Найдите производную — d / dx	x натуральное бревно x
53	Найдите производную — d / dx	х ^ 4
54	Оценить предел	предел, когда x приближается к 3 из (3x-5) / (x-3)
55	Оцените интеграл	интеграл x ^ 2 натуральный логарифм x относительно x
56	Найдите производную — d / dx	f (x) = квадратный корень из x
57	Найдите производную — d / dx	х ^ 2sin (х)
58	Оцените интеграл	интеграл sin (2x) относительно x
59	Найдите производную — d / dx	3e ^ x
60	Оцените интеграл	интеграл xe ^ x относительно x
61	Найдите производную — d / dx	у = х ^ 2
62	Найдите производную — d / dx	квадратный корень из x ^ 2 + 1
63	Найдите производную — d / dx	грех (x ^ 2)
64	Оцените интеграл	интеграл от e ^ (- 2x) относительно x
65	Оцените интеграл	интеграл натурального логарифма квадратного корня x относительно x
66	Найдите производную — d / dx	е ^ 2
67	Найдите производную — d / dx	х ^ 2 + 1
68	Оцените интеграл	интеграл sin (x) относительно x
69	Найдите производную — d / dx	арксин (х)
70	Оценить предел	предел, когда x приближается к 0 of (sin (x)) / x
71	Оцените интеграл	интеграл e ^ (- x) относительно x
72	Найдите производную — d / dx	х ^ 5
73	Найдите производную — d / dx	2 / х
74	Найдите производную — d / dx	натуральное бревно из 3х
75	Найдите производную — d / dx	х ^ (1/2)
76	Найдите производную — d / d @ VAR	f (x) = квадратный корень из x
77	Найдите производную — d / dx	соз (х ^ 2)
78	Найдите производную — d / dx	1 / (х ^ 5)
79	Найдите производную — d / dx	кубический корень из x ^ 2
80	Оцените интеграл	интеграл cos (x) относительно x
81	Оцените интеграл	интеграл e ^ (- x ^ 2) относительно x
82	Найдите производную — d / d @ VAR	е (х) = х ^ 3
83	Оцените интеграл	интеграл от 0 до 10 из 4x ^ 2 + 7 по x
84	Оцените интеграл	интеграл (натуральный логарифм x) ^ 2 относительно x
85	Найдите производную — d / dx	журнал x
86	Найдите производную — d / dx	арктан (x)
87	Найдите производную — d / dx	натуральное бревно 5x
88	Найдите производную — d / dx	5e ^ x
89	Найдите производную — d / dx	cos (3x)
90	Оцените интеграл	интеграл x ^ 3 относительно x
91	Оцените интеграл	интеграл x ^ 2e ^ x относительно x
92	Найдите производную — d / dx	Корень четвертой степени из 4x ^ 4 + 4 (16)
93	Найдите производную — d / dx	х / (е ^ х)
94	Оценить предел	предел, когда x приближается к 3 от arctan (e ^ x)
95	Оцените интеграл	интеграл от (e ^ x-e ^ (- x)) / (e ^ x + e ^ (- x)) относительно x
96	Найдите производную — d / dx	3 ^ х
97	Оцените интеграл	интеграл xe ^ (x ^ 2) относительно x
98	Найдите производную — d / dx	2sin (х)
99	Оценить	сек (0) ^ 2
100	Найдите производную — d / dx	натуральный логарифм x ^ 2

Увеличивающая функция проверки — онлайн-калькулятор монотонности

Поиск инструмента

Функция увеличения

Инструмент для вычисления, является ли функция возрастающей / монотонной, либо на каком интервале увеличивается или строго увеличивается.

Результаты

Функция увеличения — dCode

Тег (и): Функции

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор возрастающей функции

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое возрастающая функция?

Функция $ f $ строго возрастает, если для любого $$ x_1

Другими словами, $ f $ имеет возрастающее направление изменения, когда $ x $ увеличивается, $ f (x) $ также увеличивается (не обязательно на такое же количество).2 + 2 $ равно $ f ‘(x) = 2x $, вычисление неравенства $ f’ (x)> 0 $ решается $ x> 0 $, поэтому функция $ f $ возрастает, когда $ x> 0 $

— Из его уравнения: Некоторые функции, как известно, увеличиваются, т.е. экспоненциальная функция, функция логарифма, мономеры нечетной степени и т. д.

Пример: $ \ exp (x) $ увеличивается по сравнению с $ \ mathbb {R} $

— Из кривой функции: возрастающая функция Кривая направлена вверх.

Как определить, возрастает ли линейная / аффинная функция?

Линейная функция вида $ f (x) = ax + b $ монотонна и строго возрастает над $ \ mathbb {R} $, когда коэффициент $ a $ строго положителен ($ a> 0 $).

Если значение $ a $ отрицательное, функция убывает.

Если $ a = 0 $, то функция постоянная.

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Увеличение функции».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент «возрастающей функции» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая «возрастающая функция» ‘функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести) написана на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.) и без загрузки данных, скрипт , копипаст или доступ к API для «Увеличивающейся функции» будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Резюме

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

нарастание, однообразие, строго, интервал, направление, вариация

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/increasing-function

Проверка убывающей функции — онлайн-калькулятор монотонности

Поиск инструмента

Убывающая функция

Инструмент для вычисления, является ли функция убывающей / монотонной, либо на каком интервале уменьшается или строго уменьшается.

Результаты

Функция убывания — dCode

Тег (и): Функции

dCode и другие

Калькулятор функции убывания

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое убывающая функция?

Функция $ f $ строго убывает, если для любого $$ x_1

Другими словами, $ f $ имеет убывающее направление изменения, когда $ x $ уменьшается, $ f (x) $ также уменьшается (не обязательно на такое же количество).* $

— Из кривой функции: функция убывания имеет свою кривую, направленную вниз.

Как определить, убывает ли линейная / аффинная функция?

Линейная функция вида $ f (x) = ax + b $ убывает в течение $ \ mathbb {R} $, когда коэффициент $ a $ положительный ($ a

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Функция уменьшения». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любого алгоритма, апплета или фрагмента «убывающей функции» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «убывающей функции» ‘функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Уменьшающей функции» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Вопросы / комментарии

Резюме

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

по убыванию, однообразие, строго, интервал, направление, вариация

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/decreasing-function

Калькулятор точек перегиба и вогнутости для определения точки перегиба

Используйте этот бесплатный удобный калькулятор точки перегиба, чтобы найти точки перегиба и интервалы вогнутости данного уравнения. Помимо этого, вычисление замен — сложная задача, поэтому с помощью этого калькулятора точки перегиба вы можете найти корни и тип наклона заданной функции.

Здесь вы можете изучить, когда вогнутые вверх и вниз, и как найти точки перегиба с производными.

Что такое точка перегиба I ?

В исчислении точка перегиба — это точка на кривой, где вогнутость функции меняет свое направление, а кривизна меняет знак. Другими словами, точка на графике, где вторая производная не определена или равна нулю, и меняет знак.

Точно так же вторая производная f ’’ (x) больше нуля, направление вогнутости вверх, и когда f ’’ (x) меньше 0, тогда f (x) вогнутость вниз.

Чтобы найти точку перегиба функции Выполните следующие действия.

Возьмите квадратное уравнение, чтобы вычислить первую производную функции f ‘(x).
Теперь выполните вторую производную f (x), т.е. f ”(x), а также решите третью производную функции.
Третий вывод f ”'(x) не должен быть равен нулю и сделать f” (x) = 0, чтобы найти значение переменной.
Подставляет значение x в 3-м выводе функции, чтобы узнать минимумы и максимумы функции.{”} (X_0) = 0 $$

Однако мы можем найти необходимые условия для точек перегиба второй производной f ’’ (x) с помощью калькулятора точки перегиба и получить пошаговые вычисления.

Кроме того, онлайн-калькулятор производной помогает найти вывод функции по заданной переменной и показывает полное дифференцирование.

Первое достаточное условие для точки перегиба:

Если функция дифференцируема и непрерывна в точке x_0, имеет вторую производную в некоторой удаленной окрестности точки x_0, и если вторая производная меняет направление наклона при прохождении через точку x_0, то x_0 является точкой перегиба функция.

Второе достаточное условие для точки перегиба:

x_0 — это точка перегиба функции f (x), когда вторая производная равна нулю, но третья производная f ’’ ’(x_0) не равна нулю.

$$ F ”(x_0) = 0 $$

$$ F ”’ (x_0) ≠ 0 $$

Как найти вогнутость?

График имеет вогнутый вверх в точке, когда касательная к функции изменяется, и точка лежит ниже графика в соответствии с точками соседства, и вогнутая вниз в той точке, когда линия лежит над графиком в окрестности точки.Итак, калькулятор вогнутого вверх и вниз находит, когда касательная линия идет вверх или вниз, а затем мы можем найти точку перегиба, используя эти значения.

Следовательно, график производной y = f ‘(x) увеличивается, когда функция y = f (x) вогнута вверх, а также, когда производная y = f’ (x) уменьшается, функция вогнута вниз, а производная графика y = f ‘(x) имеет минимум или максимум, когда функция y = f (x) имеет точку перегиба.

Кроме того, онлайн-калькулятор уклона позволяет вам найти уклон или уклон между двумя точками в декартовой координатной плоскости.

Как работает калькулятор точки перегиба ?

Чтобы найти точки перегиба с помощью калькулятора точек перегиба, необходимо выполнить следующие действия:

Ввод:

Сначала введите квадратное уравнение для определения точки перегиба, и калькулятор отобразит уравнение, которое вы введете в данное поле.
Теперь нажмите кнопку расчета.

Выход:

Когда вы вводите уравнение, калькулятор точек перегиба дает следующие результаты:

Показывает точки перегиба в соответствии с введенными значениями, а также отображает точки перегиба вверх и вниз с его заменителями.
Кроме того, он показывает рост или падение касательной и показывает первую, вторую и третью производные функции f (x) с полным вычислением.

Часто задаваемые вопросы:

Как мы получаем максимумы, минимумы и точки перегиба с производными?

Относительные крайние значения могут быть точками, которые составляют первую производную функции, равной нулю:

F ’(x_0) = 0

Эти точки будут максимумом, минимумом и точкой перегиба, поэтому они должны соответствовать второму условию.

Как узнать максимумы, минимумы и точки перегиба?

Как только мы получим точки, для которых первая производная f ‘(x) функции равна нулю, для каждой точки калькулятор точки перегиба проверяет, что значение второй производной в этой точке больше нуля, затем эта точка является минимальным, и если вторая производная в этой точке равна f » (x) <0, то эта точка является максимальной.

Что такое стационарная и нестационарная точка перегиба?

Когда f ’(x) равно нулю, точка неподвижна изгиба.
Точка является нестационарной точкой перегиба, когда f ’(x) не равно нулю.

Конечная точка:

Калькулятор точки перегиба специально создан в онлайн-калькуляторе для обеспечения наилучшего понимания точек перегиба и их производных, типа наклона, вогнутости вниз и вверх с полными вычислениями. Несомненно, вы можете получить эти расчеты вручную с помощью графика, но это увеличивает неопределенность, поэтому вам нужно выбрать этот онлайн-калькулятор вогнутости, чтобы получить 100% точные значения.

Ссылка:

Из источника в Википедии: Необходимое, но недостаточное условие, Достаточные условия точек перегиба, Категоризация точек перегиба.

Из источника чайников: Функции с разрывами, Графический анализ точек перегиба.

Из источника Khan Academy: точки перегиба алгебраически, точки перегиба, вогнутый вверх, вогнутый вниз, точки перегиба.

Как найти увеличивающиеся интервалы с помощью графических функций

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

1.3 Темпы изменений и поведение графиков — Precalculus

Цели обучения

В этом разделе вы:

Найдите среднюю скорость изменения функции.
Используйте график, чтобы определить, где функция увеличивается, уменьшается или становится постоянной.
Используйте график для определения локальных максимумов и локальных минимумов.
Используйте график, чтобы найти абсолютный максимум и абсолютный минимум.

Стоимость бензина за последние несколько десятилетий сильно колебалась. В таблице 1 указана средняя стоимость галлона бензина в долларах за 2005–2012 годы. Стоимость бензина можно рассматривать как функцию от года.

гг	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
C (y) C (y)	2,31	2,62	2,84	3,30	2.41	2,84	3,58	3,68

Таблица 1

Если бы нас интересовало только, как изменились цены на бензин в период с 2005 по 2012 год, мы могли бы вычислить, что стоимость галлона увеличилась с 2,31 доллара до 3,68 доллара, увеличившись на 1,37 доллара. Хотя это интересно, было бы более полезно посмотреть, насколько изменилась цена за год . В этом разделе мы рассмотрим такие изменения.

Определение средней скорости изменения функции

Изменение цены за год — это скорость изменения, потому что она описывает, как изменяется выходное количество относительно изменения входного количества.Мы видим, что цена бензина в таблице 1 не менялась на одинаковую величину каждый год, поэтому скорость изменения не была постоянной. Если мы будем использовать только начальные и конечные данные, мы найдем среднюю скорость изменения за указанный период времени. Чтобы найти среднюю скорость изменения, мы делим изменение выходного значения на изменение входного значения.

Средняя скорость изменения = Изменение на выходе Изменение на входе = ΔyΔx = y2 − y1x2 − x1 = f (x2) −f (x1) x2 − x1 Средняя скорость изменения = Изменение на выходе Изменение на входе = ΔyΔx = y2 − y1x2 − x1 = f (x2) −f (x1) x2 − x1

Греческая буква ΔΔ (дельта) означает изменение количества; мы читаем соотношение как «дельта- y по сравнению с дельта- x » или «изменение yy, деленное на изменение x.Икс. Иногда мы пишем ΔfΔf вместо Δy, Δy, что по-прежнему представляет изменение выходного значения функции в результате изменения входного значения. Это не значит, что мы меняем функцию на какую-то другую.

В нашем примере цена на бензин увеличилась на 1,37 доллара с 2005 по 2012 год. За 7 лет средняя скорость изменения составила

ΔyΔx = 1,377 доллара в год≈0,196 доллара в год ΔyΔx = 1,377 доллара в год≈0,196 доллара в год

В среднем цена на газ выросла примерно на 19.6 ¢ каждый год.

Другие примеры темпов изменения включают:

Популяция крыс увеличивается на 40 крыс в неделю
Автомобиль, движущийся со скоростью 68 миль в час (пройденное расстояние изменяется на 68 миль каждый час с течением времени)
Автомобиль, движущийся со скоростью 27 миль на галлон (пройденное расстояние изменяется на 27 миль на каждый галлон)
Ток в электрической цепи, увеличивающийся на 0,125 ампер на каждый вольт повышенного напряжения
Сумма денег на счете колледжа уменьшается на 4000 долларов за квартал

Скорость изменения

Скорость изменения описывает, как количество на выходе изменяется относительно изменения количества на входе.Единицы измерения скорости изменения — это «единицы вывода на единицы ввода».

Средняя скорость изменения между двумя входными значениями — это общее изменение значений функции (выходных значений), деленное на изменение входных значений.

ΔyΔx = f (x2) −f (x1) x2 − x1ΔyΔx = f (x2) −f (x1) x2 − x1

Как сделать

Учитывая значение функции в разных точках, вычислите среднюю скорость изменения функции для интервала между двумя значениями x1x1 и x2.x2.

Вычислите разность y2 − y1 = Δy.y2 − y1 = Δy.
Вычислите разность x2 − x1 = Δx.x2 − x1 = Δx.
Найдите отношение ΔyΔx.ΔyΔx.

Пример 1

Расчет средней скорости изменения

Используя данные таблицы 1, найдите среднюю скорость изменения цены на бензин в период с 2007 по 2009 год.

Решение

В 2007 г. цена на бензин составляла 2,84 доллара. В 2009 году стоимость составляла 2,41 доллара. Средняя скорость изменения —

ΔyΔx = y2 − y1x2 − x1 = $ 2.41−2,842 доллара США 9−2007 = — 0,432 доллара США в год = — 0,22 доллара США в год ΔyΔx = y2 − y1x2 − x1 = 2,41 доллара США — 2,842 доллара США 9−2007 = — 0,432 доллара США в год = — 0,22 доллара США в год

Анализ

Обратите внимание, что уменьшение выражается отрицательным изменением или «отрицательным увеличением». Скорость изменения отрицательна, когда выход уменьшается по мере увеличения входа или когда выход увеличивается по мере уменьшения входа.

Попробовать # 1

Используя данные в таблице 1, найдите среднюю скорость изменения между 2005 и 2010 годами.

Пример 2

Вычисление средней скорости изменения по графику

Учитывая функцию g (t) g (t), показанную на рисунке 1, найдите среднюю скорость изменения на интервале [−1,2]. [- 1,2].

Рисунок 1

Решение

При t = −1, t = −1 на рисунке 2 показано, что g (−1) = 4.g (−1) = 4. При t = 2, t = 2 график показывает g (2) = 1. g (2) = 1.

Рисунок 2

Горизонтальное изменение Δt = 3Δt = 3 показано красной стрелкой, а вертикальное изменение Δg (t) = — 3Δg (t) = — 3 показано бирюзовой стрелкой.Выход изменяется на –3, а входной — на 3, что дает среднюю скорость изменения

. 1−42 — (- 1) = — 33 = −11−42 — (- 1) = — 33 = −1

Анализ

Обратите внимание, что порядок, который мы выбираем, очень важен. Если, например, мы используем y2 − y1x1 − x2, y2 − y1x1 − x2, мы не получим правильный ответ. Решите, какая точка будет равна 1, а какая — 2, и сохраните координаты фиксированными как (x1, y1) (x1, y1) и (x2, y2). (X2, y2).

Пример 3

Вычисление средней скорости изменения по таблице

После встречи с другом, который живет в 10 милях от дома, Анна записывает свое расстояние от дома с течением времени.Значения показаны в таблице 2. Найдите ее среднюю скорость за первые 6 часов.

т (часы)	0	1	2	3	4	5	6	7
D ( т ) (миль)	10	55	90	153	214	240	292	300

Таблица 2

Решение

Здесь средняя скорость — это средняя скорость изменения.Она преодолела 282 мили за 6 часов со средней скоростью

км / ч. 292−106−0 = 2826 = 47292−106−0 = 2826 = 47

Средняя скорость составляет 47 миль в час.

Анализ

Поскольку скорость не постоянна, средняя скорость зависит от выбранного интервала. Для интервала [2,3] средняя скорость составляет 63 мили в час.

Пример 4

Вычисление средней скорости изменения функции, выраженной формулой

Вычислите среднюю скорость изменения f (x) = x2−1xf (x) = x2−1x на интервале [2,4].[2,4].

Решение

Мы можем начать с вычисления значений функции в каждой конечной точке интервала.

f (2) = 22−12f (4) = 42−14 = 4−12 = 16−14 = 72 = 634f (2) = 22−12f (4) = 42−14 = 4−12 = 16−14 = 72 = 634

Теперь мы вычисляем среднюю скорость изменения.

Средняя скорость изменения = f (4) −f (2) 4−2 = 634−724−2 = 4942 = 498 Средняя скорость изменения = f (4) −f (2) 4−2 = 634−724−2 = 4942 = 498

Попробовать # 2

Найдите среднюю скорость изменения f (x) = x − 2xf (x) = x − 2x на интервале [1,9].[1,9].

Пример 5

Определение средней скорости изменения силы

Электростатическая сила F, F, измеряемая в ньютонах, между двумя заряженными частицами может быть связана с расстоянием между частицами d, d в сантиметрах по формуле F (d) = 2d2.F (d) = 2d2. Найдите среднюю скорость изменения силы, если расстояние между частицами увеличить с 2 до 6 см.

Решение

Мы вычисляем среднюю скорость изменения F (d) = 2d2F (d) = 2d2 на интервале [2,6].[2,6].

Средняя скорость изменения = F (6) −F (2) 6−2 = 262−2226−2 Упростить. = 236−244 = −16364 Объединить члены числителя. = — 19 Упростить Средняя скорость изменения = F (6) −F (2) 6−2 = 262−2226−2Simplify. = 236−244 = −16364 Объедините члены числителя. = — 19Simplify

Средняя скорость изменения составляет −19−19 ньютон на сантиметр.

Пример 6

Определение средней скорости изменения как выражения

Найдите среднюю скорость изменения g (t) = t2 + 3t + 1g (t) = t2 + 3t + 1 на интервале [0, a].[0, а]. Ответом будет выражение с участием a.a.

Решение

Мы используем формулу средней скорости изменения.

Средняя скорость изменения = g (a) −g (0) a − 0 Оценить. = (a2 + 3a + 1) — (02 + 3 (0) +1) a − 0 Упростить. = a2 + 3a + 1−1a Упростите и разложите на множители. = a (a + 3) a Делим на общий множитель a. = a + 3 Средняя скорость изменения = g (a) −g (0) a − 0 Оценить.= (a2 + 3a + 1) — (02 + 3 (0) +1) a − 0 Упростить. = a2 + 3a + 1−1a Упростите и разложите на множители. = a (a + 3) a Делим на общий множитель a. = a + 3

Этот результат показывает нам среднюю скорость изменения aa между t = 0t = 0 и любой другой точкой t = a.t = a. Например, на интервале [0,5], [0,5] средняя скорость изменения будет 5 + 3 = 8,5 + 3 = 8.

Попробовать # 3

Найдите среднюю скорость изменения f (x) = x2 + 2x − 8f (x) = x2 + 2x − 8 на интервале [5, a].[5, а].

Использование графика для определения того, где функция растет, убывает или остается постоянной

В рамках исследования того, как изменяются функции, мы можем определить интервалы, в течение которых функция изменяется определенным образом. Мы говорим, что функция увеличивается в интервале, если значения функции увеличиваются по мере увеличения входных значений в этом интервале. Точно так же функция уменьшается на интервале, если значения функции уменьшаются по мере увеличения входных значений на этом интервале.Средняя скорость изменения возрастающей функции положительна, а средняя скорость изменения убывающей функции отрицательна. На рисунке 3 показаны примеры увеличения и уменьшения интервалов функции.

Рисунок 3 Функция f (x) = x3−12xf (x) = x3−12x возрастает на (−∞, −2) ∪ (2, ∞) (- ∞, −2) ∪ (2, ∞) и убывает на (−2,2). (- 2,2).

В то время как некоторые функции увеличиваются (или уменьшаются) во всей своей области, многие другие нет. Значение входа, при котором функция изменяется от увеличения к уменьшению (по мере того, как мы идем слева направо, то есть по мере увеличения входной переменной), является местоположением локального максимума.Значение функции в этой точке — локальный максимум. Если функция имеет более одного, мы говорим, что у нее есть локальные максимумы. Точно так же значение входа, при котором функция изменяется от уменьшения к увеличению по мере увеличения входной переменной, является местоположением локального минимума. Значение функции в этой точке — локальный минимум. Форма множественного числа — «локальные минимумы». Вместе локальные максимумы и минимумы называются локальными экстремумами или локальными экстремальными значениями функции. (Форма единственного числа — «экстремум».) Часто термин локальный заменяется термином относительный .В этом тексте мы будем использовать термин местный .

Ясно, что функция не увеличивается и не уменьшается на интервале, где она постоянна. Функция также не возрастает и не убывает в экстремумах. Обратите внимание, что мы должны говорить о локальных экстремумах, потому что любой данный локальный экстремум, как определено здесь, не обязательно является наивысшим максимумом или наименьшим минимумом во всей области функции.

Для функции, график которой показан на рисунке 4, локальный максимум равен 16, и он происходит при x = −2.х = -2. Локальный минимум равен −16−16 и происходит при x = 2.x = 2.

Рисунок 4

Чтобы определить местонахождение локальных максимумов и минимумов на графике, нам нужно наблюдать за графиком, чтобы определить, где график достигает своих высших и низших точек, соответственно, в пределах открытого интервала. Подобно вершине американских горок, график функции в локальном максимуме выше, чем в соседних точках с обеих сторон. График также будет ниже в локальном минимуме, чем в соседних точках. Рисунок 5 иллюстрирует эти идеи для локального максимума.

Рисунок 5 Определение локального максимума

Эти наблюдения приводят нас к формальному определению локальных экстремумов.

Локальные минимумы и локальные максимумы

Функция ff является возрастающей функцией на открытом интервале, если f (b)> f (a) f (b)> f (a) для каждого интервала aa, bb, где b> a.b> a.

Функция ff является убывающей функцией на открытом интервале, если f (b) a.b> a.

Функция ff имеет локальный максимум в точке bb на открытом интервале (a, c) (a, c), если f (b) f (b) больше или равно f (x) f (x) для каждой точки xx (xx не равно bb) в интервале.Аналогично, ff имеет локальный минимум в точке bb в (a, c) (a, c), если f (b) f (b) меньше или равно f (x) f (x) для каждого xx (xx не равно bb) в интервале.

Пример 7

Нахождение увеличивающихся и убывающих интервалов на графике

Учитывая функцию p (t) p (t) на рисунке 6, определите интервалы, на которых функция кажется возрастающей.

Рисунок 6

Решение

Мы видим, что функция непостоянна ни на каком интервале.Функция увеличивается там, где она наклонена вверх, когда мы движемся вправо, и уменьшается, когда она наклоняется вниз, когда мы движемся вправо. Функция увеличивается с t = 1t = 1 до t = 3t = 3 и с t = 4t = 4 и далее.

В обозначении интервалов можно сказать, что функция возрастает на интервале (1,3) и интервале (4, ∞). (4, ∞).

Анализ

Обратите внимание, что в этом примере мы использовали открытые интервалы (интервалы, которые не включают конечные точки), потому что функция не увеличивается и не уменьшается при t = 1t = 1, t = 3t = 3 и t = 4t = 4.Эти точки являются локальными экстремумами (два минимума и максимум).

Пример 8

Нахождение локальных экстремумов на графике

Изобразите график функции f (x) = 2x + x3.f (x) = 2x + x3. Затем используйте график для оценки локальных экстремумов функции и определения интервалов, на которых функция возрастает.

Решение

Используя технологию, мы обнаруживаем, что график функции выглядит так, как на рисунке 7. Похоже, что существует нижняя точка или локальный минимум между x = 2x = 2 и x = 3, x = 3 и зеркальным высшая точка изображения или локальный максимум где-то между x = −3x = −3 и x = −2.х = -2.

Рисунок 7

Анализ

Большинство графических калькуляторов и графических утилит могут оценить местоположение максимумов и минимумов. На рис. 8 представлены изображения экрана, полученные с помощью двух различных технологий, на которых показаны оценки локального максимума и минимума.

Рисунок 8

На основании этих оценок функция возрастает на интервале (−∞, −2,449) (- ∞, −2,449) и (2.449, ∞). (2.449, ∞). Обратите внимание, что, хотя мы ожидаем, что экстремумы будут симметричными, две разные технологии согласуются только с точностью до четырех десятичных знаков из-за различных алгоритмов аппроксимации, используемых каждой.(Точное расположение экстремумов составляет ± 6, ± 6, но для определения этого требуется расчет.)

Попробовать # 4

Изобразите график функции f (x) = x3−6×2−15x + 20f (x) = x3−6×2−15x + 20, чтобы оценить локальные экстремумы функции. Используйте их для определения интервалов увеличения и уменьшения функции.

Пример 9

Нахождение локальных максимумов и минимумов по графику

Для функции ff, график которой показан на рисунке 9, найдите все локальные максимумы и минимумы.

Рисунок 9

Решение

Посмотрите на график f.f. График достигает локального максимума при x = 1x = 1, потому что это наивысшая точка открытого интервала около x = 1.x = 1. Локальный максимум — это координата yy при x = 1, x = 1, что равно 2,2.

График достигает локального минимума при x = −1x = −1, потому что это самая низкая точка в открытом интервале около x = −1.x = −1. Локальный минимум — это координата y в точке x = −1, x = −1, что равно −2.−2.

Анализ функций набора инструментов для увеличения или уменьшения интервалов

Теперь мы вернемся к функциям нашего инструментария и обсудим их графическое поведение на рисунках 10, 11 и 12.

Рисунок 10

Рисунок 11

Рисунок 12

Использование графика для определения абсолютного максимума и абсолютного минимума

Существует разница между нахождением наивысшей и самой низкой точек на графике в области вокруг открытого интервала (локально) и нахождением наивысшей и самой низкой точек на графике для всего домена.Координаты y-y (выходные данные) в наивысшей и самой низкой точках называются абсолютным максимумом и абсолютным минимумом соответственно.

Чтобы найти абсолютные максимумы и минимумы на графике, нам нужно наблюдать за графиком, чтобы определить, где график достигает его наивысшей и самой низкой точки в области определения функции. См. Рисунок 13.

Рисунок 13

Не каждая функция имеет абсолютное максимальное или минимальное значение. Функция инструментария f (x) = x3f (x) = x3 является одной из таких функций.

Абсолютные максимумы и минимумы

Абсолютный максимум ff при x = cx = c равен f (c) f (c), где f (c) ≥f (x) f (c) ≥f (x) для всех xx в области f.f.

Абсолютный минимум ff при x = dx = d равен f (d) f (d), где f (d) ≤f (x) f (d) ≤f (x) для всех xx в области f.f.

Пример 10

Нахождение абсолютных максимумов и минимумов по графику

Для функции ff, показанной на рисунке 14, найдите все абсолютные максимумы и минимумы.

Рисунок 14

Решение

Посмотрите на график f.f. График достигает абсолютного максимума в двух местах, x = −2x = −2 и x = 2, x = 2, потому что в этих местах график достигает своей наивысшей точки в области определения функции. Абсолютный максимум — это координата y при x = −2x = −2 и x = 2, x = 2, что составляет 16,16.

График достигает абсолютного минимума при x = 3, x = 3, потому что это самая низкая точка области определения графика функции. Абсолютный минимум — это координата y при x = 3, x = 3, что равно −10. − 10.

1.Упражнения из 3 частей

Устные

Может ли средняя скорость изменения функции быть постоянной?

Если функция ff возрастает на (a, b) (a, b) и убывает на (b, c), (b, c), то что можно сказать о локальном экстремуме ff на (a, c) ? (а, в)?

Чем абсолютный максимум и минимум похожи и отличаются от локальных экстремумов?

Как соотносится график функции абсолютного значения с графиком квадратичной функции y = x2, y = x2 с точки зрения увеличения и уменьшения интервалов?

Алгебраические

Для следующих упражнений найдите среднюю скорость изменения каждой функции на интервале, заданном для действительных чисел bb или h.час

f (x) = 4×2−7f (x) = 4×2−7 на [1, b] [1, b]

g (x) = 2×2−9g (x) = 2×2−9 на [4, b] [4, b]

p (x) = 3x + 4p (x) = 3x + 4 на [2,2 + h] [2,2 + h]

k (x) = 4x − 2k (x) = 4x − 2 на [3,3 + h] [3,3 + h]

f (x) = 2×2 + 1f (x) = 2×2 + 1 на [x, x + h] [x, x + h]

10.

g (x) = 3×2−2g (x) = 3×2−2 на [x, x + h] [x, x + h]

11.

a (t) = 1t + 4a (t) = 1t + 4 на [9,9 + h] [9,9 + h]

12.

b (x) = 1x + 3b (x) = 1x + 3 на [1,1 + h] [1,1 + h]

13.

j (x) = 3x3j (x) = 3×3 на [1,1 + h] [1,1 + h]

14.

r (t) = 4t3r (t) = 4t3 на [2,2 + h] [2,2 + h]

15.

f (x) = 2×2−3xf (x) = 2×2−3x на [x, x + h] [x, x + h]

Графический

Для следующих упражнений рассмотрите график ff, показанный на рисунке 15.

Рисунок 15

16.

Оцените среднюю скорость изменения от x = 1x = 1 до x = 4.x = 4.

17.

Оцените среднюю скорость изменения от x = 2x = 2 до x = 5.x = 5.

В следующих упражнениях используйте график каждой функции, чтобы оценить интервалы, на которых функция увеличивается или уменьшается.

18. 20.

Для следующих упражнений рассмотрите график, показанный на рисунке 16.

Рисунок 16

22.

Оцените интервалы увеличения или уменьшения функции.

23.

Оцените точки, в которых график ff имеет локальный максимум или локальный минимум.

Для следующих упражнений рассмотрите график на рис. 17.

Рисунок 17

24.

Если показан полный график функции, оцените интервалы увеличения или уменьшения функции.

25.

Если показан полный график функции, оцените абсолютный максимум и абсолютный минимум.

Числовой

26.

В таблице 3 приведены годовые продажи (в миллионах долларов) продукта с 1998 по 2006 годы. Какова была средняя скорость изменения годовых продаж (а) между 2001 и 2002 годами и (б) между 2001 и 2004 годами?

Год	Объем продаж (в миллионах долларов)
1998	201
1999	219
2000	233
2001	243
2002
00 900 11
2002
00 900	2004	249
2005	243
2006	233

Таблица 3

27.

Таблица 4 показывает численность населения города (в тысячах) с 2000 по 2008 год. Какова была средняя скорость изменения численности населения (а) между 2002 и 2004 годами и (б) между 2002 и 2006 годами?

Год	Население (тыс.)
2000	87
2001	84
2002
2002
2004	77
2005	76
2006	78
2007	81
2008	85

Таблица 4

Для следующих упражнений найдите среднюю скорость изменения каждой функции в указанном интервале.

28.

f (x) = x2f (x) = x2 на [1,5] [1,5]

29.

h (x) = 5−2x2h (x) = 5−2×2 на [−2,4] [- 2,4]

30.

q (x) = x3q (x) = x3 на [−4,2] [- 4,2]

31.

g (x) = 3×3−1g (x) = 3×3−1 на [−3,3] [- 3,3]

32.

y = 1xy = 1x на [1, 3] [1, 3]

33.

p (t) = (t2−4) (t + 1) t2 + 3p (t) = (t2−4) (t + 1) t2 + 3 на [−3,1] [- 3,1]

34.

k (t) = 6t2 + 4t3k (t) = 6t2 + 4t3 на [−1,3] [- 1,3]

Технологии

Для следующих упражнений используйте графическую утилиту для оценки локальных экстремумов каждой функции и для оценки интервалов, на которых функция увеличивается и уменьшается.

35.

f (x) = x4−4×3 + 5f (x) = x4−4×3 + 5.

36.

h (x) = x5 + 5×4 + 10×3 + 10×2−1h (x) = x5 + 5×4 + 10×3 + 10×2−1

38.

к (t) = 3t23 − tk (t) = 3t23 − t

39.

m (x) = x4 + 2×3−12×2−10x + 4m (x) = x4 + 2×3−12×2−10x + 4

40.

n (x) = x4−8×3 + 18×2−6x + 2n (x) = x4−8×3 + 18×2−6x + 2.

добавочный номер

41.

График функции ff показан на рисунке 18.

Рисунок 18

На основании снимка экрана калькулятора точка (1,333,5,185) (1,333,5,185) что из следующего?

ⓐ относительный (локальный) максимум функции
ⓑ вершина функции
ⓓ ноль функции

42.

Пусть f (x) = 1x.f (x) = 1x. Найдите такое число cc, что средняя скорость изменения функции ff на интервале (1, c) (1, c) равна −14.−14.

43.

Пусть f (x) = 1xf (x) = 1x. Найдите число bb такое, что средняя скорость изменения ff на интервале (2, b) (2, b) равна −110. − 110.

Реальные приложения

44.

В начале поездки одометр автомобиля показал 21 395. В конце поездки, 13,5 часа спустя, одометр показал 22 125. Предположим, что шкала одометра указана в милях. Какова средняя скорость автомобиля в этой поездке?

45.

Водитель автомобиля остановился на заправке, чтобы заправить бензобак.Он посмотрел на часы, и время показало ровно 15:40. В это время он начал закачивать бензин в бак. Ровно в 3:44 бак был полон, и он заметил, что накачал 10,7 галлона. Каков средний расход бензина в бензобак?

46.

Вблизи поверхности Луны расстояние, на которое падает объект, зависит от времени. Он задается как d (t) = 2,6667t2, d (t) = 2,6667t2, где tt — в секундах, а d (t) d (t) — в футах. Если объект падает с определенной высоты, найдите среднюю скорость объекта от t = 1t = 1 до t = 2.т = 2.

47.

График на Рисунке 19 иллюстрирует распад радиоактивного вещества за tt дней.

Рисунок 19

Используйте график, чтобы оценить среднюю скорость затухания от t = 5t = 5 до t = 15.t = 15.

Скорость изменения и поведение графов — College Algebra

Цели обучения

В этом разделе вы:

Найдите среднюю скорость изменения функции.
Используйте график, чтобы определить, где функция увеличивается, уменьшается или становится постоянной.
Используйте график для определения локальных максимумов и локальных минимумов.
Используйте график, чтобы найти абсолютный максимум и абсолютный минимум.

Стоимость бензина за последние несколько десятилетий сильно колебалась. (Рисунок) ¹ показывает среднюю стоимость галлона бензина в долларах за 2005–2012 годы. Стоимость бензина можно рассматривать как функцию от года.

	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
	2.31	2,62	2,84	3,30	2,41	2,84	3,58	3,68

Если бы нас интересовало только, как изменились цены на бензин в период с 2005 по 2012 год, мы могли бы вычислить, что стоимость галлона увеличилась с 2,31 до 3,68 фунтов стерлингов, т.е. на 1,37 фунтов стерлингов. Хотя это интересно, было бы более полезно посмотреть, насколько изменилась цена за год . В этом разделе мы рассмотрим такие изменения.

Определение средней скорости изменения функции

Изменение цены за год — это скорость изменения, потому что она описывает, как изменяется выходное количество относительно изменения входного количества. Мы можем видеть, что цена на бензин на (Рисунок) не менялась на одинаковую величину каждый год, поэтому скорость изменения не была постоянной. Если мы будем использовать только начальные и конечные данные, мы найдем среднюю скорость изменения за указанный период времени. Чтобы найти среднюю скорость изменения, мы делим изменение выходного значения на изменение входного значения.

Греческая буква (дельта) означает изменение количества; мы читаем соотношение как «дельта- y по сравнению с дельта- x » или «изменение, не разделенное на изменение». Иногда мы пишем вместо того, что все еще представляет изменение выходного значения функции в результате изменения входного значения. Это не значит, что мы меняем функцию на какую-то другую.

В нашем примере цена на бензин с 2005 по 2012 год увеличилась на 1,37 фунта стерлингов. За 7 лет средняя скорость изменения составила

евро.

В среднем цена на газ выросла примерно на 19.6 ¢ каждый год.

Другие примеры темпов изменения включают:

Популяция крыс увеличивается на 40 крыс в неделю
Автомобиль, движущийся со скоростью 68 миль в час (пройденное расстояние изменяется на 68 миль каждый час с течением времени)
Автомобиль, движущийся со скоростью 27 миль на галлон (пройденное расстояние изменяется на 27 миль на каждый галлон)
Ток в электрической цепи, увеличивающийся на 0,125 ампер на каждый вольт повышенного напряжения
Сумма денег на счете колледжа уменьшается на 4000 фунтов стерлингов в квартал

Скорость изменения

Расчет средней скорости изменения

Используя данные на (Рисунок), найдите среднюю скорость изменения цены на бензин в период с 2007 по 2009 год.

В 2007 году бензин стоил 2,84 евро. В 2009 году стоимость составила 2,41 евро. Средняя скорость изменения —

Анализ

Обратите внимание, что уменьшение выражается отрицательным изменением или «отрицательным увеличением».Скорость изменения отрицательна, когда выход уменьшается по мере увеличения входа или когда выход увеличивается по мере уменьшения входа.

Используя данные (рисунок), найдите среднюю скорость изменения между 2005 и 2010 годами.

в год.

Вычисление средней скорости изменения по таблице

После того, как Анна подобрала друга, который живет в 10 милях от дома, и уехала в путешествие, Анна записывает свое расстояние от дома с течением времени. Значения показаны на (Рисунок). Найдите ее среднюю скорость за первые 6 часов.

т (часы)	0	1	2	3	4	5	6	7
D ( т ) (миль)	10	55	90	153	214	240	292	300

Здесь средняя скорость — это средняя скорость изменения.Она преодолела 282 мили за 6 часов.

Средняя скорость 47 миль в час.

Анализ

Вычисление средней скорости изменения функции, выраженной формулой

Вычислить среднюю скорость изменения на интервале

Мы можем начать с вычисления значений функции в каждой конечной точке интервала.

Теперь мы вычисляем среднюю скорость изменения.

Найдите среднюю скорость изменения на интервале

Определение средней скорости изменения как выражения

Найдите среднюю скорость изменения на интервале Ответом будет выражение с участием в простейшей форме.

Найдите среднюю скорость изменения на интервале в простейших формах в терминах
из

Использование графика для определения того, где функция растет, убывает или остается постоянной

В рамках исследования того, как изменяются функции, мы можем определить интервалы, в течение которых функция изменяется определенным образом.Мы говорим, что функция увеличивается в интервале, если значения функции увеличиваются по мере увеличения входных значений в этом интервале. Точно так же функция уменьшается на интервале, если значения функции уменьшаются по мере увеличения входных значений на этом интервале. Средняя скорость изменения возрастающей функции положительна, а средняя скорость изменения убывающей функции отрицательна. (Рисунок) показывает примеры увеличения и уменьшения интервалов функции.

Функция возрастает и убывает на

В то время как некоторые функции увеличиваются (или уменьшаются) во всей своей области, многие другие нет.Значение входа, при котором функция изменяется от увеличения к уменьшению (по мере того, как мы идем слева направо, то есть по мере увеличения входной переменной), называется локальным максимумом. Если функция имеет более одного, мы говорим, что у нее есть локальные максимумы. Точно так же значение входа, при котором функция изменяется от уменьшения к увеличению по мере увеличения входной переменной, называется локальным минимумом. Форма множественного числа — «локальные минимумы». Вместе локальные максимумы и минимумы называются локальными экстремумами или локальными экстремальными значениями функции.(Форма единственного числа — «экстремум».) Часто термин локальный заменяется термином относительный . В этом тексте мы будем использовать термин местный .

Для функции, график которой показан на (Рисунок), локальный максимум равен 16, и он происходит в локальном минимуме, а это происходит в

Чтобы определить местонахождение локальных максимумов и минимумов на графике, нам нужно наблюдать за графом, чтобы определить, где график достигает своих высших и низших точек, соответственно, в пределах открытого интервала. Подобно вершине американских горок, график функции в локальном максимуме выше, чем в соседних точках с обеих сторон. График также будет ниже в локальном минимуме, чем в соседних точках.(Рисунок) иллюстрирует эти идеи для локального максимума.

Определение локального максимума

Эти наблюдения приводят нас к формальному определению локальных экстремумов.

Нахождение локальных экстремумов на графике

Постройте график функции Затем используйте график для оценки локальных экстремумов функции и определения интервалов, на которых функция возрастает.

Анализ

Большинство графических калькуляторов и графических утилит могут оценить местоположение максимумов и минимумов.(Рисунок) предоставляет изображения экрана из двух различных технологий, показывающие оценку локального максимума и минимума.

На основе этих оценок функция возрастает на интервале и Обратите внимание, что, хотя мы ожидаем, что экстремумы будут симметричными, две разные технологии согласуются только до четырех десятичных знаков из-за различных алгоритмов аппроксимации, используемых каждой. (Точное расположение экстремумов указано, но для определения этого требуется расчет.)

Постройте график функции для оценки локальных экстремумов функции.Используйте их для определения интервалов увеличения и уменьшения функции.

Поиск локальных максимумов и минимумов из графика

Для функции, график которой показан на (Рисунок), найдите все локальные максимумы и минимумы.

Анализ функций набора инструментов для увеличения или уменьшения интервалов

Теперь мы вернемся к функциям нашего инструментария и обсудим их графическое поведение на (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).

Использование графика для определения абсолютного максимума и абсолютного минимума

Существует разница между нахождением наивысшей и самой низкой точек на графике в области вокруг открытого интервала (локально) и нахождением наивысшей и самой низкой точек на графике для всего домена.Координаты (выходные данные) в наивысшей и самой низкой точках называются абсолютным максимумом и абсолютным минимумом соответственно.

Не каждая функция имеет абсолютное максимальное или минимальное значение. Функционал инструментария — одна из таких функций.

Нахождение абсолютных максимумов и минимумов из графика

Для функций, показанных на (Рисунок), найдите все абсолютные максимумы и минимумы.

Ключевые уравнения

Средняя скорость изменения

Ключевые понятия

Скорость изменения связывает изменение выходной величины с изменением входной величины. Средняя скорость изменения определяется с использованием только начальных и конечных данных. См. (Рисунок).
Точки, обозначающие интервал на графике, можно использовать для определения средней скорости изменения.См. (Рисунок).
Сравнение пар входных и выходных значений в таблице также можно использовать для определения средней скорости изменения. См. (Рисунок).
Средняя скорость изменения также может быть вычислена путем определения значений функции в конечных точках интервала, описываемого формулой. См. (Рисунок) и (Рисунок).
Средняя скорость изменения иногда может быть определена как выражение. См. (Рисунок).
Функция увеличивается, если скорость изменения положительна, и уменьшается, если скорость изменения отрицательна.См. (Рисунок).
Локальный максимум — это когда функция изменяется с увеличения на уменьшение и имеет выходное значение больше (более положительное или менее отрицательное), чем выходные значения в соседних входных значениях.
Локальный минимум — это место, где функция изменяется от уменьшения к увеличению (по мере увеличения входа) и имеет выходное значение, меньшее (более отрицательное или менее положительное), чем выходные значения при соседних входных значениях.
Минимумы и максимумы также называются экстремумами.
Мы можем найти локальные экстремумы из графа.См. (Рисунок) и (Рисунок).
Самая высокая и самая низкая точки на графике обозначают максимумы и минимумы. См. (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Может ли средняя скорость изменения функции быть постоянной?

Да, средняя скорость изменения всех линейных функций постоянна.

Чем абсолютный максимум и минимум похожи и отличаются от локальных экстремумов?

Абсолютный максимум и минимум относятся ко всему графику, тогда как локальные экстремумы относятся только к определенной области вокруг открытого интервала.

Как соотносится график функции абсолютного значения с графиком квадратичной функции с точки зрения увеличения и уменьшения интервалов?

добавочный номер

График функции показан на (Рисунок).

На основании снимка экрана калькулятора, что из перечисленного ниже?

относительный (локальный) максимум функции
вершина функции
абсолютный максимум функции
ноль функции

Реальные приложения

В начале поездки одометр автомобиля показал 21 395.В конце поездки, 13,5 часа спустя, одометр показал 22 125. Предположим, что шкала одометра указана в милях. Какова средняя скорость автомобиля в этой поездке?

Водитель автомобиля остановился на заправке, чтобы заправить бензобак. Он посмотрел на часы, и время показало ровно 15:40. В это время он начал закачивать бензин в бак. Ровно в 3:44 бак был полон, и он заметил, что накачал 10,7 галлона. Каков средний расход бензина в бензобак?

График на (Рисунок) иллюстрирует распад радиоактивного вещества в течение суток.

Используйте график, чтобы оценить среднюю скорость распада от

примерно –0,6 миллиграмма в день

Сноски

1 http://www.
No related posts.