Сумма высшая математика: Числовые ряды, их суммы, сходимость, примеры

Содержание

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад В математике для записи сумм, содержащих много слагаемых, или в случае, когда число слагаемых обозначено буквой, применяется следующая запись: которая расшифровывается так

(14.1)

где — функция целочисленного аргумента. Здесь символ (большая греческая буква «сигма») означает суммирование. Запись внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой и что начальное значение этой переменной равно . Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная .

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:

(14.2)

где для трехмерного пространства , для плоскости .

Для единообразия будем считать, что

и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое. Замечание 14.1 Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина. Например, Или в правой части никакой буквы нет, значит, и результат от не зависит.

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

Предложение 14.2

(14.3)

Это предложение является частным случаем следующего утверждения.         Доказательство.     Пусть Тогда
Раскроем скобки в правой части этого равенства. Получим сумму элементов при всех допустимых значениях индексов суммирования. Слагаемые сгруппируем по-другому, а именно, сначала соберем все слагаемые, у которых первый индекс равен 1, потом, у которых первый индекс равен 2 и т.д. Получим
Заменив в этом равенстве в левой части его выражением через знаки суммирования, получим формулу (14.4).
        Замечание 14.2 Двойные суммы из равенства (14.4) можно записывать и без использования скобок

Нужно помнить, что двойная сумма означает сумму элементов для всех допустимых значений индексов суммирования. По этой же причине, если встречается запись, содержащая подряд три или более символов суммирования, то порядок расстановки этих символов можно менять произвольно.

Если границы изменения всех индексов суммирования одинаковы, то можно для суммирования по нескольким индексам использовать запись вида

Иногда под символом суммы указывают дополнительные условия, налагаемые на индексы суммирования. Так запись

означает, что в сумму не включаются величины , ,…, , то есть с равными индексами.

Иногда в записи суммы не указываются границы изменения индексов, например,

Такая запись используется, когда значения, которые могут принимать индексы, очевидны из предыдущего текста или будут оговорены сразу после окончания формулы.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Сумма ряда на практике

Вычислить сумму ряда можно только в случае, когда ряд сходится. Если ряд расходится то сумма ряда бесконечна и нет смысла что-то вычислять. Ниже приведены примеры из практики нахождения суммы ряда, которые задавали в Львовском национальном университете имени Ивана Франка. Задания на ряды подобраны так, что условие сходимости выполняется всегда, однако проверку на сходимость мы выполнять будем. Эта и следующие за ней статьи составляют решение контрольной работы по анализе рядов.

Пример 1.4 Вычислить сумму рядов:
а)
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда при номере следующему до бесконечности равна 0

то данный ряд сходится. Вычислим сумму ряда. Для этого преобразуем общий член, разложив его на простейшие дроби I и II типа. Методика разложения на простые дроби здесь приводиться не будет (хорошо расписана при интегрировании дробей), а лишь запишем конечный вид разложения

В соответствии с этим можем сумму расписать через сумму ряда образованного из простейших дробей, а дальше из разницы сумм рядов

Далее расписываем каждый ряд в явную сумму и выделяем слагаемые (подчеркивание), которые превратятся 0 после сложения. Таким образом сумма ряда упростится к сумме 3 слагаемых (обозначены черным), что в результате даст 33/40.

На этом базируется вся практическая часть нахождения суммы для простых рядов.
Примеры на сложные ряды сводятся к сумме бесконечно убывающих прогрессий и рядов, которые находят через соответствующие формулы, но здесь такие примеры рассматривать не будем.
б)
Вычисления: Находим границу n-го члена суммы

Она равна нулю, следовательно заданный ряд сходится и имеет смысл искать его сумму. Если граница отличная от нуля, то сумма ряда равна бесконечности со знаком «плюс» или «минус».
Найдем сумму ряда. Для этого общий член ряда который является дробью превратим методом неопределенных коэффициентов к сумме простых дробей I типа

Далее по инструкции которая приводилась ранее записываем сумму ряда через соответствующие суммы простейших дробей

Расписываем суммы и выделяем слагаемые, которые станут равными 0 при суммировании.

В результате получим сумму нескольких слагаемых (выделенные черным) которая равна 17/6.

Пример 1.9 Найти сумму ряда:
а)
Вычисления: Вычислениям границы

убеждаемся что данный ряд сходится и можно находить сумму. Далее знаменатель функции от номера n раскладываем на простые множители, а весь дробь превращаем к сумме простых дробей I типа

Далее сумму ряда в соответствии с расписанием записываем через два простые

Ряды записываем в явном виде и выделяем слагаемые, которые после добавления дадут в сумме ноль. Остальные слагаемые (выделенные черным) и представляет собой конечную сумму ряда

Таким образом, чтобы найти сумму ряда надо на практике свести под общий знаменатель 3 простых дроби.
б)
Вычисления: Граница члена ряда при больших значениях номера стремится к нулю

Из этого следует что ряд сходится, а его сумма конечна. Найдем сумму ряда, для этого сначала методом неопределенных коэффициентов разложим общий член ряда на три простейшего типа

Соответственно и сумму ряда можно превратить в сумму трех простых рядов

Далее ищем слагаемые во всех трех суммах, которые после суммирования превратятся в ноль. В рядах, содержащих три простых дроби один из них при суммировании становится равным нулю (выделен красным). Это служит своеобразной подсказкой в вычислениях

Сумма ряда равна сумме 3 слагаемых и равна единице.

Пример 1.15 Вычислить сумму ряда:
а)

Вычисления: При общем член ряда стремящемся к нулю

данный ряд сходится. Преобразуем общий член таким образом, чтобы иметь сумму простейших дробей

Далее заданный ряд, согласно формулам расписания, записываем через сумму двух рядов

После записи в явном виде большинство членов ряда в результате суммирования станут равны нулю. Останется вычислить сумму трех слагаемых.

Сумма числового ряда равна -1/30.
б)
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда равна нулю,

то ряд сходится. Для нахождения суммы ряда разложим общий член на дроби простейшего типа.

При разложении использовали метод неопределенных коэффициентов. Записываем сумму ряда из найденного расписание

Следующим шагом выделяем слагаемые, не вносящие никакого вклада в конечную сумму и остальные оставшиеся

Сумма ряда равна 4,5.

Пример 1.25 Вычислить сумму рядов:
а)
Вычисления: Находим границу общего члена ряда

Поскольку она равна нулю то ряд сходится. Можем найти сумму ряда. Для этого по схеме предыдущих примеров раскладываем общий член ряда через простейшие дроби

Это позволяет записать ряд через сумму простых рядов и, выделив в нем слагаемые, упростив при этом суммирование.

В этом случае останется одно слагаемое которое равен единице.
б)
Вычисления: Находим границу общего члена ряда

и убеждаемся что ряд сходится. Далее общий член числового ряда методом неопределенных коэффициентов раскладываем на дроби простейшего типа.

Через такие же дроби расписываем сумму ряда

Записываем ряды в явном виде и упрощаем к сумме 3 слагаемых

Сумма ряда равна 1/4.
На этом ознакомление со схемами суммирования рядов завершено. Здесь еще не рассмотрены ряды, которые сводятся к сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, содержащие факториалы, степенные зависимости и подобные. Однако и приведенный материал будет полезен для студентов на контрольных и тестах.

9. Ряды. Высшая математика

9.1. Числовые ряды

9.2. Степенные ряды

9.1. Числовые ряды

Сходимость ряда. Сумма ряда

Пусть даны , тогда – ряд, где – член ряда.

Примеры различных рядов:

1+2+4+…+ – ряд сходится.
1–1+1–1+…+– расходится.

– расходится (гармонический ряд).

— сходится.

, при .

– частичная сумма

Если , то – сумма ряда. Ряд сходится, если этот предел существует, и расходится, если не существует.

Пример:

Теорема. О сходимости ряда

Сходимость ряда не измениться, если отбросить конечное число его членов.

Признаки сходимости ряда

Необходимый признак сходимости:
Достаточный признак расходимости:

Доказательство:

Если , то ряд сходится.

1. Достаточный признак сходимости (для знакопостоянных рядов):
2. Признак сравнения:

Имеем и , то

и – сходится, тогда – сходится.

или .

Если

Пример:

, а значит – сходится.

1. Признак Даламбера:

Пусть , тогда при

– ряд сходится, – ряд расходится, – требуются дальнейшие исследования.

Доказательство:

Пусть , тогда , начиная с некоторого .

или

Получаем

Пример:

Ряд –

– ряд расходится.

Радикальный признак Коши:

, при , .

Тогда если , то ряд сходится, если – ряд расходится.

Доказательство:

1. Пусть и

Тогда, начиная с некоторого , , выполняется неравенство или .

– сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), а значит –сходится по принципу сравнения.

Тогда, начиная с некоторого , , выполняется неравенство или .

Получаем, что –расходится.

Пример:

Ряд – .

Получаем – ряд сходится.

Интегральный признак Коши:

, при .

Доказательство:

Значит, если – сходится – сходится.

Знакочередующиеся ряды

Ряды вида: , где .

Теорема Лейбница

Если и , то ряд – сходится.

Доказательство:

Пусть , тогда

. При

. ограниченна сверху .

Так как – возрастает и ограниченна сверху

Пример: – сходится.

Пусть дан ряд , тогда

1. – сходится, тогда ряд – абсолютно сходится.

– расходится и – сходится, тогда ряд сходится условно.

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то любая перестановка членов не меняет сумму.

Если ряд сходится условно, то подходящей перестановкой можно сделать его сумму равной любому числу и даже сделать его расходящимся.

Действия над рядами

, – абсолютно сходящиеся.

Тогда – абсолютно сходится.

Функциональные ряды

, где – функция.

Область сходимости

Пусть фиксировано.

Тогда сходится, если –точка сходимости, и расходится, если – точка расходимости.

– область сходимости.

Пример:

, то ряд сходится.

, где – остаток ряда.

Если ряд сходится, то

Мажорируемые ряды

, где – мажорируемы.

Тогда – мажоранжа (если ряд сходится), при .

Теорема. О непрерывности суммы ряда

Пусть .

– сходится и , – непрерывна на .

Тогда – непрерывна на .

Доказательство:

(из определения непрерывности)

где .

При и .

Отсюда

Пример:

на

, разрыв при

Теорема. О почленном интегрировании ряда

Пусть на – мажорируемый, – интегрируемы на ( – существует). Тогда

Теорема. О почленном дифференцировании ряда

Пусть на – мажорируемый, – дифференцируемы на (– существует). Тогда

9.2. Степенные ряды

, где – коэффициент, – произвольная точка, .

Частный случай:

Теорема Абеля: У каждого степенного ряда существует радиус сходимости.

, при

– сходится

– расходится.

– точка сходимости.

Если , то , т.е. – мажорируемый.

Область сходимости:

– сходится при

Пример:

– сходится при .

Теорема. Радиус сходимости определяется как .

Доказательство:

Возьмем , тогда

По признаку Даламбера:

Отсюда или

Внутри радиуса сходимости степенной ряд мажорируем, его сумма непрерывна, его можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Пример:

или при ряд сходится.

, значит ряд сходится при любых

, значит при ряд сходится.

Разложение функций в степенной ряд

– ряд Тейлора.

, тогда

При

– ряд Маклорена.

Разложение некоторых функций в степенной ряд

или – любое.

1. или при ряд сходится

или при ряд сходится

Сумма знакочередующегося ряда имеет погрешность не превосходящую первого отброшенного члена.

Пример:

Имеем

Получаем

Считая, что

Пример:

Контрольные примеры:

1. Разложим в ряд и посчитаем

Разложим в ряд и посчитаем

Пример разложения функции в ряд Маклорена:

Получаем

Формулы и уравнения рядов

Примеры решения рядов здесь.

Числовые ряды

Факториал и двойные факториалы:

— формула Стирлинга.

Геометрическая прогрессия:

|q|<1.

Основные определения и теоремы о рядах:

{u_n} — заданная бесконечная числовая последовательность,

— числовой ряд,
u_n — члены ряда,
– частичные суммы ряда.

Сумма ряда:

сходится, S — сумма ряда.

или ряд сходится и суммы нет.

Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (но влияет на сумму).

Свойства сходящихся рядов:

Теоремы сравнения рядов с положительными членами:

≤
Если сходится, то сходится;
если расходится, то расходится.
v_n ≠ 0, 0 < k < ∞.
Либо и , и сходятся,
либо и , и расходятся.

Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами

u_n

Признак Даламбера
Если существует , то : сходится, если l < 1; расходится, если l > 1; признак не дает ответа, если l = 0.
Признак Коши
Если существует , то : сходится, если l < 1; расходится, если l > 1; признак не дает ответа, если l = 0.
Интегральный признак сходимости
1) u_n > 0; 2) u_n ≥ u_n+1; 3) f(x) — непрерывная невозрастающая функция, f(n) = u_n.
Либо и , и сходятся,
либо и , и расходятся.

Примеры числовых рядов

: сходится, если a > 1; расходится, если a ≤ 1.
: сходится, если a < 1; расходится, если a ≥ 1.
: сходится.
: сходятся, |q| < 1; расходятся, |q| ≥ 1.
: сходится;
: сходится, если a > 1; расходится, если a ≤ 1.
: сходится условно.
: сходится абсолютно.
: сходится абсолютно.

Функциональные ряды

Функциональный ряд – сумма вида

При из функционального ряда получается числовой ряд

Если для числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда. Если в каждой точке числовые ряды сходятся, то функциональный ряд называется сходящимся в области . Совокупность всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда.

– частичные суммы ряда. Функциональный ряд сходится к функции f(x), если

Равномерная сходимость

Функциональный ряд, сходящийся для всех из области сходимости, называется равномерно сходящимся в этой области, если ∀ε > 0 существует не зависящий от x номер N(ε), такой, что при n > N(ε) выполняется неравенство R_n(x) < ε для всех x из области сходимости, где — остаток ряда.

Геометрический смысл равномерной сходимости:

если окружить график функции y = f(x) «ε-полоской», определяемой соотношением f(x)−ε > y > f(x)+ε, то графики всех частичных сумм S_k(x), начиная с достаточно большого k, ∀x ∈ [a, b] целиком лежат в этой «ε-полоске», окружающей график предельной функции y = f(x).

— называется мажорируемым в области , если существует такой сходящийся числовой ряд u_n > 0, что для ∀x ∈ D f_n(x) ≤ u_n, n = 1, 2, …. Ряд называется мажорантой ряда

Признак Вейерштрасса (признак равномерной сходимости функционального ряда): функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.

Степенные ряды:
— степенной ряд по степеням
При – степенной ряд по степеням x.

Область сходимости степенного ряда:
Радиус сходимости, интервал сходимости R, x ∈ (-R, R):
или
При |x| < R ряд сходится, при |x| > R – расходится;
в точках x = ±R – дополнительное исследование.

На интервале сходимости ряд сходится абсолютно;
на любом отрезке из интервала сходимости он сходится равномерно.

Свойства степенных рядов

Степенной ряд сходится равномерно на [−R′, R′]
∀R′ < R, его можно почленно дифференцировать и интегрировать в интервале сходимости.
Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием, имеют тот же интервал сходимости.

Разложение элементарных функций в степенные ряды

, x ∈ (−∞; ∞).
,
x ∈ (−∞; ∞).
, x ∈ (−∞; ∞).
, x ∈ (−∞; ∞).
, x ∈ (−∞; ∞).
, x ∈ (−1; 1].
, x ∈ [−1; 1).
,
x ∈ (−1; 1).
, x ∈ [−1; 1].
, x ∈ [−1; 1].
, x ∈ (−1; 1).
, x ∈ (−1; 1).
, x ∈ (−1; 1).
, x ∈ (−1; 1).
, x ∈ (−1; 1].

Тригонометрические ряды

Ряд Фурье для периодической функции с периодом 2π

Ряд Фурье функции f(x):
Коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Т=2l, f(x+2l) = f(x):

где

Разложение в ряд Фурье непериодических функций, заданных на отрезке

или на отрезке

f₁(x)=f(-x), x ∈ [-l; 0] (четное продолжение)

где x ∈ [0; l] n = 0, 1, 2,…
f₁(x) = —f(−x), x ∈ [-l; 0]
(нечетное продолжение)

где x ∈ [0; l] n = 1, 2,…
На всю действительную ось ϕ(x) продолжается периодически с периодом 2l, ϕ(x) = ϕ(x + 2l). Функция ϕ(x) разлагается в ряд Фурье, причем в точках x = ±l выполняется условие: где то есть,
– левый предел f(x) в точке x = l,
– правый предел f(x) в точке x = l.

Вычислить сумму ряда

Выберите переменную: x y z n k m

Выберите нижний предел Ввести самому + Бесконечность — Бесконечность 0 и верхний предел Ввести самому + Бесконечность — Бесконечность

триг.»>a^b

a_b

exp

стереть

(

)

|a|

—

↑

↓

√

³√

log_a

↵

←

→

TRIG:	sin	cos	tan	cot	csc	sec	назад
INVERSE:	arcsin	arccos	arctan	acot	acsc	asec	стереть
HYPERB:	sinh	cosh	tanh	coth	x	π	↑	↓
OTHER:	‘	,	y	=	<	>	←	→

Что делать, если решение не появляется (пустой экран)?

Данный калькулятор по вычислению суммы ряда построен на основе системы WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

Нахождение суммы ряда онлайн

Сумма ряда

Matematikam.ru позволяет найти сумму ряда онлайн числовой последовательности. Помимо нахождения суммы ряда онлайн числовой последовательности, сервер в режиме онлайн найдет частичную сумму ряда. Это полезно для аналитических выкладок, когда сумму ряда онлайн необходимо представить и найти как решение предела последовательности частичных сумм ряда. По сравнению с другими сайтами, matematikam.ru обладает неоспоримым преимуществом, так как позволяет найти сумму ряда онлайн не только числового, но и функционального ряда, что позволит определить область сходимости исходного ряда, применяя наиболее известные методы. Согласно теории рядов, необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Однако, это условие не является достаточным для определения сходимости числового ряда онлайн. Если ряд не сходится, то matematikam.ru укажет на это, выдав соответствующее сообщение. Для определения сходимости рядов онлайн найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости ряда. Наиболее известные и часто применяемые из них — это признаки Д’Аламбера, Коши, Раабе, сравнения числовых рядов, а также интегральный признак сходимости числового ряда. Особое место среди числовых рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины числовых рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких числовых рядов необходимый признак сходимости ряда онлайн является одновременно и достаточным, то есть равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Существует множество различных сайтов, на которых представлены серверы для вычисления суммы ряда онлайн, а также разложения функций вряд в режиме онлайн в некоторой точке из области определения этой функции. Если разложить функцию в ряд онлайн не представляет на этих серверах особого труда, то вычислить сумму функционального ряда онлайн, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция, представляется практически невозможным в силу отсутствия необходимых технических ресурсов. Для www.matematikam.ru такой проблемы не существует.

Похожие сервисы:

Решение интегралов, производных, пределов онлайн
Sum of series online

Глава 96. Ряд Маклорена | Контрольные работы по математике и другим пре

Теорема

Если функция может быть разложена на интервале в степенной ряд, то это Разложение единственно.

Так как по условию теоремы ряд (9.5.3) сходится на интервале и – его сумма, то в силу свойства 1 этот степенной ряд можно дифференцировать почленно на указанном интервале сколько угодно раз. Тогда, дифференцируя раз равенство (9.5.3), получаем

, ,

Откуда при находим , или

(9.5.6)

Таким образом, коэффициенты степенного ряда (9.5.3) однозначно определяются формулами (9.5.6).

Подстановка полученных коэффициентов в формулу (9.5.3) дает вид разложения функции в степенной ряд:

(9.5.7)

Ряд (9.5.7) называют рядом Маклорена для функции .

Для любой бесконечно дифференцируемой функции можно составить ряд Маклорена.

Установим теперь связь между формулой Маклорена и рядом Маклорена.

Как известно, для любой раз дифференцируемой функции справедлива формула Маклорена:

Где остаточный член в форме Лагранжа: , , .

Если частичная сумма ряда Маклорена, то нетрудно видеть, что формула Маклорена может быть представлена в виде

(9.5.8)

Из представления (9.5.8) следует Теорема о сходимости ряда Маклорена.

Теорема

Для того, чтобы для Бесконечно дифференцируемой функции имело место разложение (9.5.7) в ряд Маклорена на интервале , необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Маклорена для этой функции стремился к нулю на указанном интервале при :

(9.5.9)

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Для того, чтобы разложить функцию в степенной ряд, необходимо найти коэффициенты ряда, определить радиус сходимости ряда и проверить выполнение условия (9.5.9) на интервале .

1. . При получаем , откуда по формулам (9.5.6) . Далее определяем радиус сходимости степенного ряда с найденными коэффициентами. , т. е. степенной ряд сходится на всей числовой прямой.

2. . Ряд сходится на всей числовой оси .

3. . Ряд сходится на всей числовой оси .

4. .

Понятие о функциональной последовательности, функциональный ряд

Определение

Функциональным рядом Называется выражение

(9.7.1)

Где (члены ряда) суть функции одного и того же аргумента X, определенные в некотором промежутке .

Определение

(9.7.2)

Называется Частичной суммой.

Определение

Совокупность значений X, при которых ряд сходится, называется Областью сходимости функционального ряда.

Пример

Найти область сходимости и выражение суммы для ряда

(9.7.3)

Решение

Запишем частичную сумму ряда (9.7.3) в виде

(9.7.4)

Если , то при не имеет конечного предела, т. е. ряд (9.7.3) расходится. При ряд тоже расходится, так как попеременно принимает значения 2 и 1.

При остальных значениях X (т. е. при ) ряд (9.7.3) сходится.

Таким образом область сходимости ряда (9.7.3) есть промежуток . В этой области сумма S есть функция X, определяемая следующими равенствами:

(9.7.5)

Определение

Если сумма S сходящегося в каждой точке промежутка ряда (9.7.1) может быть вычислена с некоторой заданной точностью для всех X сразу, начиная с некоторого номера , то ряд (9.7.1) сходится на этом промежутке Равномерно.

Если же ни один номер N не обеспечивает требуемой точности для всех X сразу, то ряд (9.7.1) сходится на промежутке Неравномерно.

Определение

Функциональный ряд

(9.7.6)

Сходящийся в промежутке , называется Равномерно сходящимся в этом промежутке, если остаток , начиная с некоторого номера N, Одного и того же для всех рассматриваемых значений X, остается по абсолютному значению меньшим любого заранее данного положительного числа E:

(9.7.7)

(номер N Зависит Только От E).

Если же для некоторого E условию (9.7.7) нельзя удовлетворить (Для всех X сразу) ни при каком значении N, то говорят, что ряд (9.7.6) в промежутке Сходится неравномерно.

Теорема (Признак равномерной сходимости)

Если каждый член функционального ряда (9.7.1) при любом X, взятом в промежутке , по абсолютному значению не превосходит положительного числа и если числовой ряд

(9.7.8)

Сходится, то функциональный ряд (9.7.1) в этом промежутке Сходится равномерно.

Теорема (непрерывность суммы ряда)

Если все члены ряда

(9.7.9)

Равномерно сходящегося в промежутке , являются Непрерывными функциями, то и Сумма ряда (9.7.9) есть Непрерывная функция в промежутке .

Теорема (интегрирование рядов)

Если сходящийся ряд

(9.7.10)

Составленный из функций, непрерывных в промежутке , Сходится в этом промежутке Равномерно, то его можно Интегрировать почленно. Ряд

(9.7.11)

Равномерно сходится в промежутке , и сумма его равна интегралу от суммы ряда (9.7.10)

(9.7.12)

Теорема (дифференцирование рядов)

Если функциональный ряд

(9.7.13)

Сходится в промежутке и производные его членов непрерывны в этом промежутке, то ряд (9.7.13) можно почленно дифференцировать При условии, что полученный ряд

(9.7.14)

Будет равномерно сходящимся в данном промежутке. Сумма ряда (9.7.14) будет производной от суммы ряда (9.7.13).

Тригонометрические ряды Фурье

Определение

Тригонометрическим рядом называется ряд вида

(9.8.1)

Здесь – постоянные, называемые Коэффициентами ряда.

Определение

Две функции называются Ортогональными в промежутке , если интеграл произведения , взятый в пределах от A до B, равен нулю.

Теорема

Любые две различные функции, взятые из системы функций

(9.8.2)

Ортогональны в промежутке .

Пусть дана функции с периодом . Требуется найти всюду сходящийся тригонометрический ряд

(9.8.3)

Имеющий сумму .

Если эта задача имеет решение, то оно Единственно, и коэффициенты искомого ряда (9.8.3) находятся по формулам Эйлера–Фурье:

(9.8.4)

Полученный ряд называется Рядом Фурье для функции .

(9.8.5)

Теорема

Если функция непрерывна на интервале [–L,L], то справедливо разложение

(9.8.6)

Где

(9.8.7)

Пример

Разложить в ряд Фурье функцию

Решение

Найдем коэффициенты разложения

При четных N выражение в квадратной скобке равно нулю, а при нечетных N оно равно –2. Поэтому . Таким образом .

96.1. Упражнения

Исследовать сходимость следующих рядов:

Исследовать сходимость рядов с заданными общими членами

Выяснить, какие из нижеследующих рядов сходятся абсолютно:

При каких значениях Х Сходятся ряды:

11.

12.

< Предыдущая		Следующая >

Лекция Числовой ряд. Необходимый признак сходимости. Числовой ряд и его сумма. Гармонический ряд.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости

1.1. Числовой ряд и его сумма

Определение 1. Пусть дана числовая последовательность . Образуем выражение

(1)

которое называется числовым рядом. Числа называются членами ряда, а выражение — общим членом ряда.

Пример 1. Найти общий член ряда .

При ,

при ,

при

Нетрудно заметить, что общий член ряда .

Поэтому искомый ряд можно записать следующим образом

Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом:

;

…

Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соответствующего числа первых членов числового ряда.

Определение 2. Сумма первых п членов ряда (1) называется n-ой частичной суммой числового ряда.

Определение 3. Числовой ряд называется сходящимся, если , где число называется суммой ряда, и пишут . Если

предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд .

Для того, чтобы вычислить n-ю частичную сумму представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов А и В

Отсюда находим, что , а .

Следовательно, общий член ряда имеет вид

Тогда частичную сумму можно представить в виде

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, она примет вид

Вычислим сумму ряда

Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд

— бесконечную геометрическую прогрессию.

Как известно, сумма первых п членов геометрической прогрессии при q 1 равна .

Тогда имеем следующие случаи:

1. Если , то

2. Если , то , т.е. ряд расходится.

3. Если , то ряд имеет вид и тогда , т.е. ряд расходится.

4. Если , то ряд имеет вид и тогда , если частичная сумма имеет четное число членов и , если нечётное число, т.е. не существует, следовательно, ряд расходится.

Определение 4. Разность между суммой ряда S и частичной суммой называется остатком ряда и обозначается , т.е. .

Так как для сходящихся рядов , то ,

т.е. будет б.м.в. при . Таким образом, значение является приближенным значением суммы ряда.

Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов:

1. Если ряды и сходятся, т.е. имеют соответственно суммы S и Q, то сходится ряд , где , а его сумма равна A S + B Q.

2. Если сходится ряд , то сходится и ряд, полученный из данного

ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное.

1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд

Теорема. Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при , т.е. .

Действительно, имеем

тогда , что и требовалось доказать.

Следствие. Если же , то ряд расходится. Обратное, вообще говоря, неверно, что будет показано ниже.

Определение 5. Ряд вида называется гармоническим.

Для этого ряда выполняется необходимый признак, так как .

В то же время он является расходящимся. Покажем это

Таким образом, гармонический ряд расходится.

Сумма до бесконечности — Высшая математика для углубленного уровня

Добро пожаловать на сайт advancedhighermaths.co.uk

Хорошее понимание суммы до бесконечности необходимо для обеспечения успешной сдачи экзамена.

Обучение на уровне Advanced Higher Maths обеспечит отличную подготовку к учебе в университете. Некоторые университеты могут потребовать от вас сдать экзамен AH Maths для зачисления на выбранный вами курс. Курс AH Maths проходит быстро, поэтому, пожалуйста, сделайте все возможное, чтобы не отставать от учебы.

Для студентов, которым нужна дополнительная помощь с курсом AH Maths, вы можете рассмотреть возможность подписки на фантастические ресурсы, посвященные дополнительным экзаменам, доступные в Online Study Pack.

Чтобы получить доступ к большому количеству дополнительных бесплатных ресурсов по теме , воспользуйтесь указанной выше панелью поиска или нажмите ЗДЕСЬ, выбрав тему, которую вы хотите изучать.

Мы надеемся, что этот веб-сайт окажется для вас полезным, и желаем вам всяческих успехов в прохождении курса AH Maths в 2021/22 году.Найдите ниже:

1. О сумме до бесконечности

2. Последовательности и серии — экзаменационный лист и руководства по теории

3. Последовательности и серии — Рекомендуемые вопросы из учебников

4. Рабочие листы прошедших экзаменов AH по математике по темам

5. Прошлая работа AH по математике Вопросы по темам

6. Прошедшие экзамены по математике и практические работы

7. Образец экзаменационной работы AH Maths 2020

8. Практические работы для отборочных и выпускных экзаменов AH по математике

9.Руководства по математике AH

10. План курса математики AH, таблицы формул и контрольный список

11. Рекомендуемое время и ответы на вопросы в учебнике — Глава 1

12. Рекомендуемое время в учебнике и ответы на вопросы — Глава 2

13. Рекомендуемое время и ответы на вопросы в учебнике — Глава 3

14. Тестирование математических подразделений AH — Решения включены

15. Видеосвязь AH Maths

16. Рекомендуемый учебник по математике

17.Пакет для обучения, ориентированный на экзамен — студенты, желающие «хорошо» сдать

Ресурсы по высшей математике для продвинутых
.
1. О сумме до бесконечности

Чтобы узнать о сумме до бесконечности, щелкните любую из ссылок Руководства по теории в разделе 2 ниже. Для студентов, работающих с учебником «Математика в действии», в Разделе 3 приведены рекомендуемые вопросы по этой теме. Настоятельно рекомендуются рабочие листы, включающие актуальные вопросы экзамена SQA.
Если вам нужна дополнительная помощь в понимании Sum to Infinity , есть полные, простые в использовании, пошаговые решения для десятков вопросов экзамена AH Maths Past & Practice по всем темам в онлайн-исследовании AH Maths Пакет. В учебный пакет также включены полностью проработанные решения рекомендуемых вопросов из учебников МВД. Пожалуйста, дайте себе все возможности для успеха, поговорите со своими родителями и подпишитесь на Online Study Pack, посвященный экзамену .
Сумма до бесконечности
Бесконечная серия имеет бесконечное количество членов . Сумма первых n членов, S _n, называется частичной суммой .
Если S _n стремится к пределу, поскольку n стремится к бесконечности , предел называется суммой до бесконечности ряда.
a = 1-й семестр
r = 2-й семестр ÷ 1-й семестр
Примеры
Формулы экзамена
На экзамене AH по математике в списке формул экзамена указано следующее:
Экзаменационный вопрос
Источник: SQA AH Maths Paper 2006 Вопрос 16
.

2. Последовательности и серии — экзаменационный лист и руководства по теории
Спасибо SQA и авторам за то, что они сделали отличные рабочие листы и руководства по математике AH в свободном доступе для всех. Это окажется фантастическим ресурсом, который поможет закрепить ваше понимание AH Maths. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения для всех вопросов по математике SQA AH в таблице ниже доступны в пакете онлайн-обучения.
.

3.Последовательности и серии — Рекомендуемые вопросы из учебников
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана показаны ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
_______________________________ Номер страницы
_____________ Упражнение
______________ Рекомендуемые вопросы
__________________________
Арифметические последовательности Страница 151 Упражнение 9.1 Q1a-f, 2a-f, Q3, Q4, Q6
Нахождение суммы — арифметическая последовательность Страница 153 Упражнение 9.2 Q1a, b, c, Q3a-d, Q4a, b, Q5a
Геометрическая последовательность Страница 156 Упражнение 9.3 Q1a-e, Q2, Q3, Q5
Нахождение суммы — геометрическая последовательность Страница 159 Упражнение 9.4 Q1a-f, Q2a-d, Q3a-d, Q4
Нахождение суммы до бесконечности Page 162 Упражнение 9.5 1,2,3,4,6 кв.
Сигма-нотация Страница 168 Упражнение 10.1 Q1a-e, Q2a-e
‘

4. Рабочие листы прошлых экзаменов по математике AH по темам
Спасибо SQA за их доступность. Рабочие листы по темам, представленные ниже, являются отличным учебным ресурсом, поскольку они представляют собой фактические вопросы SQA прошлых бумажных экзаменов. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения для всех приведенных ниже вопросов по математике SQA AH доступны в пакете онлайн-обучения.
.
5. Прошлая работа AH по математике Вопросы по темам
Спасибо SQA за их доступность. Вопросы и ответы сгруппированы по темам для удобства пользования. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения для всех приведенных ниже вопросов SQA AH Maths доступны в Online Study Pack.
9015 Q15 9015 905 Q12 9015 Q16 906 9015 9015 9016 Q6 9015 9015 9015 Q6 906 1564 Q164 Q15 9015 9015 9015 9015 9015 9015 9015 9015 12 квартал смешанный смешанный смешанный Смешанный
.
Бумага
___________ .
Маркировка
______ Биномиальная
Теорема
________ Частичные
Дроби
________ .
Дифференциация
___________ Дополнительная дифференциация
___________ . Интеграция

___________ Дальнейшая интеграция

____________ Функции
и графики
___________ Системы уравнений

____________ Комплексные номера

__________ Seq &
Series 9006 ____________ .
Матрицы
_________ .
Векторы
__________ Методы
доказательства
__________ Дальнейшее №
Теория
___________ Дифференциальные уравнения

____________ Дополнительные
Дифференциальные уравнения
_________________
Образец P1 Маркировка Q2 Q4 Q6 Q8 Q3 Q5 Q9 9032 909 909 Q1
Образец P2 Маркировка Q3 Q1 Q2,4,8,10 Q7 Q11 Q5 Q5 Q6 Q6 9015 Q12
2019 Маркировка Q9 Q4 Q1a, b, 6 Q1c, 5,10 Q16b Q16a Q3 9015 9015 Q6 Q15 Q11,14 Q12 Q13 Q8
2018 Маркировка 3 квартал 2 квартал Q1b Q1a, c, 6,13 Q8 Q15a Q16a Q6 11 Q16 Q9,12 Q5 Q15b
2017 Маркировка Q1 Q2 Q3 Q11,18 Q16 Q6 Q12 Q5 Q7 Q7 9015 9015 Q6 Q13 Q8 Q9 Q14
2016 Маркировка Q3 Q13 Q1a, b Q1c, 11 Q13 Q9 Q12 Q14 906 9015 9015 Q6 Q8 5 квартал, 10 квартал 16 15 квартал
2015 Маркировка Q1,9 Q2 Q4,6,8 Q17 Q10 Q14 Q13 ,1 Q3 Q7 Q18 Q16
2014 Маркировка Q2 14b Q1,13 Q1,4,6 Q10,12 Q15 Q11 Q3 Q16 Q16 Q16 9015 7 квартал 5 квартал 7 квартал 8 квартал
2013 Маркировка Q1 Q2 Q11 Q4,6 Q8 Q13 Q7,10 Q17 Q6 5 квартал квартал 16 квартал 14
2012 Маркировка Q4 15a Q1 Q12,13 Q8 Q11 Q7 Q14 Q6 Q15 9015 9015 Q6 9015 9015 9015 Q6 16a Q10 Q15
2011 Маркировка 2 квартал 1 квартал 3b, 7 3a Q1,11a 1 квартал, 11,16 6 квартал 9015 9015 4 квартал 908 4 квартал 15 квартал 12 квартал 9 квартал 14 квартал
2010 Маркировка Q5 Q1 Q13 Q15 Q3,7 Q10 Q16 Q2 Q6 Q9 Q6 12 Q11
2009 Маркировка Q8 Q14 Q1a Q1b, 11 Q5,7 Q9 Q13 16a 4 квартал 10 квартал 3 квартал 15 квартал
2008 Маркировка Q8 Q4 Q10,15 Q2,5 Q4,9,10 Q7 Q3 Q16 Q15 Q14 Q11 Q13
2007 Маркировка Q1 Q4 Q2 Q13 Q4,10 Q4 Q16 Q3,11 7 квартал 14 квартал 8 квартал
смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный смешанный Смешанный
.
6. Прошлые и практические экзамены AH по математике
Спасибо SQA за их доступность. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения для всех приведенных ниже вопросов SQA AH Maths доступны в Online Study Pack.
.
7. Образец экзаменационной работы AH Maths 2020
Ниже представлены два образца документов, любезно предоставленных SQA. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения для образца статьи по математике SQA AH, доступной в пакете для онлайн-исследований.
Q15 9015
.
Дата
__________ .
Бумага
___________ .
Маркировка
______ Биномиальная
Теорема
________ Частичные
Дроби
________ .
Дифференциация
___________ Дополнительная дифференциация
___________ . Интеграция

___________ Дальнейшая интеграция

____________ Функции
и графики
___________ Системы уравнений

____________ Комплексные номера

__________ Seq &
Series 9006 ____________ .
Матрицы
_________ .
Векторы
__________ Методы
доказательства
__________ Дальнейшее №
Теория
___________ Дифференциальные уравнения

____________ Дополнительные
Дифференциальные уравнения
_________________
июнь 2019 Образец P1 Маркировка Q2 Q4 Q6 Q8 Q3 Q5 909
июнь 2019 Образец P2 Маркировка Q3 Q1 Q2,4,8,10 Q7 Q11 906 6 квартал квартал 12
.

8. Практические работы для отборочных и выпускных экзаменов AH по математике
Спасибо SQA и авторам за их свободный доступ. Пожалуйста, используйте его регулярно для пересмотра перед экзаменами, тестами и выпускным экзаменом. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения для первых пяти практических материалов, представленных ниже, доступны в пакете онлайн-обучения.
.
9. AH Maths Theory Guides
Спасибо авторам за то, что они сделали отличные руководства по теории математики AH в свободном доступе для всех.Это окажется фантастическим ресурсом, который поможет закрепить ваше понимание AH Maths.
Первый блок
Второй блок
Блок Три
.

10. План курса математики AH, таблицы формул и контрольный список
Спасибо SQA и авторам за то, что приведенные ниже превосходные ресурсы стали общедоступными. Это фантастические контрольные списки для оценки ваших знаний по математике. Пожалуйста, старайтесь использовать их регулярно для доработки перед тестами, предварительными экзаменами и заключительным экзаменом.
Название
____________________________________ Ссылка
___________ Предоставлено
___________________
План и время курса математики AH ЗДЕСЬ
Список формул экзамена по математике SQA AH ЗДЕСЬ Предоставлено SQA
Список формул экзаменов SQA по высшей математике ЗДЕСЬ Предоставлено SQA
SQA AH Maths Support Notes HERE Предоставлено SQA
Полный контрольный список по математике AH ЗДЕСЬ
.
11. Рекомендуемое время и ответы на вопросы в учебнике — Первый блок
Расписание курсов, а также конкретные упражнения / вопросы из учебников для Unit One, любезно предоставленные издательством Teejay, можно найти ЗДЕСЬ.
Частичные дроби
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
_______________________________ Номер страницы
_____________ Упражнение
_____________ Рекомендуемые вопросы
_______________________ Комментарий
________________
Первый тип — частичные дроби Страница 23 Упражнение 2.2 Q1, 5, 12, 18, 19, 22, 25
Тип 2 — частичные дроби Страница 24 Упражнение 2.3 1, 3, 5, 10, 14, 18
Тип три — частичные дроби Страница 25 Упражнение 2.4 Q1, 5, 7, 9, 11
Рабочий лист с алгебраическим долгим делением Рабочий лист Рабочие решения
Частичная дробь — длинное деление Страница 26 Упражнение 2.5 Q1 a, b, e, j, l
.
Биномиальная теорема
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
____________________________________ Номер страницы
_____________ Упражнение
___________ Рекомендуемые вопросы
_______________________________ Примечания к уроку
__________________________________________________________________________________
Комбинации nCr Страница 33 Упражнение 3.3 Q1a, b, c, 2a, b, c, 4a-d, 5a, b, 6a, 7a, b, d
Расширение — Урок 1 Страница 36 Упражнение 3.4 Q1a, b, c, 2a, i, ii, iii, iv
Расширение — Урок 2 Страница 36 Упражнение 3.4 Q3a-d, 4a-f ТЕОРИЯ — Вопросы 3 и 4
Поиск коэффициентов Страница 38 Упражнение 3.5 Q1a, b, c, 4a, 5a, 6
Приближение, например, 1.5 =? Страница 40 Упражнение 3.6 Q1a, b, c, d
Упрощение общего термина (вопросы SQA) Вопросы и ответы SQA Распространенные биномиальные вопросы SQA, которых нет в учебнике AH
.
Системы уравнений
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
______________________________ Номер страницы
_____________ Упражнение
_______________ Рекомендуемые вопросы
_______________________
Исключение по Гауссу Страница 265 Упражнение 14.4 Q1a, b, c, d, 2a, b, c
Избыточность и несогласованность Страница 268 Упражнение 14.6 Q1a, b, c, 2
Вопрос SQA по резервированию 2016 Q4 (SQA)
Несоответствие Вопрос SQA 2017 Q5 (SQA)
ILL Кондиционирование Страница 274 Упражнение 14.9 Q2a, b, c, d
ILL Conditioning SQA Question 2012 Q14c (SQA)
.
Функции и графики
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
______________________________ Номер страницы
_____________ Упражнение
___________ Рекомендуемые вопросы
_______________________
Функция модуля построения эскиза y = | x | Page 66 Упражнение 5.2 1-9 квартал
Обратные функции Страница 67 Упражнение 5.3 Q1a, c, e, g, i, 2a, c, e, 3
Четные и нечетные функции Страница 74 Упражнение 5.8 Q3a-l
Вертикальные асимптоты и поведение Страница 75 Упражнение 5.9 Q1a-f
Горизонтальные и наклонные асимптоты Page 76 Упражнение 5.10 Q1a, b, f, g, k, l
Создание эскизов графиков Страница 77 Упражнение 5.11 Q1a, c, e, i, k
.
Дифференциальное исчисление
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
___________________________ Номер страницы
____________ Упражнение
___________ Рекомендуемые вопросы
_______________________
Производная от Первых принципов Страница 45 Упражнение 4.1 1,3,5,7 кв.
Правило цепочки Страница 48 Упражнение 4.3 Q1a, d, 2a, c, 3b, 4a, 5a
Правило продукта Страница 51 Упражнение 4.5 Q1a-h, Q2b, Q3a-l
Правило частного Страница 52 Упражнение 4.6 Q1,2,3,4
Дифференциация — смесь! Страница 53 Упражнение 4.7 Q1,2,3,4,5
Sec, Cosec & Cot Страница 55 Упражнение 4.8 Q1a, b, 2a, c, d, 3a, c, e, g
Экспоненциальные функции Страница 58 Упражнение 4.9 Q1a, c, e, 2a, 3e, 4a, b, 5a, e
Логарифмические функции Страница 58 Упражнение 4.9 Q1k, m, o, q, s, 2f, g, 3a, b, c, 4d, e, 5d
Природа и полиномы для рисования Страница 70 Упражнение 5.5 Q1a, b, c, 2a, b
Вогнутость Страница 73 Упражнение 5.7 Q5a, b, c, Q1a, b
Приложения Страница 187 Ex 11.1 Q1a, b, e, f, 2a, c, 3a, c
.
Интегральное исчисление
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
кв.
Подтема
______________________________________ Стр. №
__________ Упражнение
___________ Рекомендуемые вопросы
_____________________
Интеграция (высшая версия) Стр. 100 Упражнение 7.1 Q1a-i, 2a-i, 3a-l, 4a-f
Интегрирование заменой Страница 103 Упражнение 7.2 Q1a, c, e, g, i, k, m, o, q, s, u, w
Интеграция заменой — Дополнительная доработка! Страница 103 Упражнение 7.2 Q1b, d, f, h, j, l, n, p, r, t, v, x
Дальнейшее интегрирование путем замены Страница 105 Упражнение 7.3 Q2a, b, c, d, 4a, b, c, d
Дальнейшее интегрирование путем замены Page 105 Упражнение 7.n (x) Страница 105 Упражнение 7.3 Q7a, b, c, d, e, f
Дальнейшее интегрирование путем замены — журналы Страница 105 Упражнение 7.3 Q11a, b, c, d
Подстановка и определенные интегралы Страница 107 Упражнение 7.4 Q1a, c, e, g, i, k
Площадь между кривой и осью x Страница 120 Упражнение 7.10 Q1,3
Площадь между кривой и осью Y Page 120 Упражнение 7.10 6,7
Объем — вращение вокруг оси x SQA Вопрос Q10 2014 (SQA)
Объем — вращение вокруг оси Y SQA Вопрос 2017 Q16 (SQA)
Объем — вращение вокруг оси x Страница 120 Упражнение 7.10 Q11,12
Приложения интегрального исчисления Страница 187 Упражнение 11.1 Q4,14
.
12. Рекомендуемое время в учебнике и вопросы — Второй блок
Расписание курсов, а также конкретные упражнения / вопросы из учебников для Раздела 2, любезно предоставленные издательством Teejay, можно найти ЗДЕСЬ.
Дальнейшая дифференциация
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
_______________________________________ Номер страницы
_____________ Упражнение
______________ Рекомендуемые вопросы
_____________________
Обратные триггерные функции и правило цепочки Страница 85 Упражнение 6.2 Q1a, b, c, Q2b, c, dQ3a, d
Обратные триггерные функции и правила произведения / коэффициента Страница 86 Упражнение 6.3 2 квартал, 3 квартал
Неявные и явные функции — 1 Стр. 89 Упражнение 6.4 Q1, Q2
Неявные и явные функции — 2 Стр. 89 Упражнение 6.4 Q5, Q9, Q4
Вторые производные неявных функций Page 90 Упражнение 6.5 Q1a, d, f, k (i), 6
Логарифмическое дифференцирование Страница 92 Упражнение 6.6 I кв., II кв.
Параметрические уравнения Страница 95 Упражнение 6.7 Q1a, b, c
Параметрические уравнения — дифференциация Страница 96 Упражнение 6.8 Q1,2,3
Параметрические уравнения — дифференциация (альтернатива) Страница 96 Упражнение 6.8 Q1 (i)
Параметрические уравнения — дифференциация (альтернатива) Page 96 Упражнение 6.8 Q1 (ii), Q2, Q3
Приложения дальнейшего дифференцирования Страница 193 Упражнение 11.2 Q1, Q2, Q3
.
Дальнейшая интеграция
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана, показанного ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
______________________________________ Стр. №
__________ Упражнение
_________________ Рекомендуемые вопросы
__________________________
Интегрирование с использованием обратных триггерных функций Page 111 Упражнение 7.6 1 кв., 2, 3, 4а, б
Интегрирование с использованием частичных дробей Страница 113 Упражнение 7.7 Q1a, b, 2a, b, 3a, b, 4a, b, 5a, b, 6a, b
Интеграция по частям — 1 Страница 116 Упражнение 7.8 Q1a-l
Интеграция по частям — 2 Страница 116 Упражнение 7.8 Q2a, c, d, e, f, g, h
Интеграция по частям — 3 Страница 116 Упражнение 7.8 Q5a, b, Q6a, b
Интеграция по частям — особые случаи — 1 Страница 118 Упражнение 7.9 Q1a, b, c, d
Интеграция по частям — особые случаи — 2 Страница 118 Упражнение 7.9 Q2a, b, c, d, e
Дифференциальные уравнения первого порядка — Общие сведения Страница 128 Упражнение 8.1 Q1a-j
Дифференциальные уравнения первого порядка — конкретное решение Страница 128 Упражнение 8.1 Q2a-g
Дифференциальные уравнения в контексте Страница 131 Упражнение 8.2 Q2,4,5,6
.
Комплексные числа
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
_________________________________ Номер страницы
_____________ Упражнение
______________ Рекомендуемые вопросы
_________________________
Арифметика с комплексными числами Page 207 Упражнение 12.1 1,2,3,6,7,8 кв.
Деление и квадратные корни комплексных номеров Страница 209 Упражнение 12.2 Q1a, b, c, 2c, e, 3a, b, f, 5a, b
Диаграммы Аргана Страница 211 Упражнение 12.3 Q3a, b, d, e, f, i, 6a, b, f, 7a, b, c
Умножение / деление в полярной форме Страница 215 Упражнение 12.5 Q1a, b, f, g
Теорема Де Муавра Страница 218 Упражнение 12.6 Q1,2,3a, 4g, h, i, j
Многочлены и комплексные числа Страница 224 Упражнение 12.8 Q2a, d, 3a, b, 4,5,6a, b
Локусы на сложной плоскости Page 213 Упражнение 12.4 Q1a, b, d, f, j, 3a, b, 4a, b, c
Формула расширяющегося триггера Страница 219 Упражнение 12.6 Q5,6,7a
Корни комплексного числа Страница 222 Упражнение 12.7 Q2a, b, c, d, e, f, 1a (i)
.
Последовательности и серии, сигма-нотация
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
_______________________________ Номер страницы
_____________ Упражнение
______________ Рекомендуемые вопросы
__________________________
Арифметические последовательности Страница 151 Упражнение 9.1 Q1a-f, 2a-f, Q3, Q4, Q6
Нахождение суммы — арифметическая последовательность Страница 153 Упражнение 9.2 Q1a, b, c, Q3a-d, Q4a, b, Q5a
Геометрическая последовательность Страница 156 Упражнение 9.3 Q1a-e, Q2, Q3, Q5
Нахождение суммы — геометрическая последовательность Страница 159 Упражнение 9.4 Q1a-f, Q2a-d, Q3a-d, Q4
Нахождение суммы до бесконечности Page 162 Упражнение 9.5 1,2,3,4,6 кв.
Сигма-нотация Страница 168 Упражнение 10.1 Q1a-e, Q2a-e
.
Теория чисел и доказательства
Тема
_______________________________ Уроки
__________ Вопросы
_________ Типизированные решения
_______________ Рукописные решения
______________________ Вопросы к экзамену — Рабочие решения в онлайн-учебном пакете
Прямая проба Урок 1 Ex 1 и 2 Ex 1 и 2 Рукописные Solns 2018-Q9,2015-Q12, 2010-Q8a
Доказательство контрпримером Урок 2 Пример 3 Пример 3 Типизированный Solns Пример 3 Рукописный Solns 2016-Q10, 2013-Q12, 2008-Q11
Доказательство контрпримером Ex 4 Ex 4 Типизированный Solns Ex 4 Рукописный Solns 2016-Q10, 2013-Q12, 2008-Q11
Доказательство противоречием Урок 3 Ex 5 Ex 5 Типизированный Solns Ex 5 Рукописный Solns 2010-Q12
Доказательство контрапозитивом Урок 4 Ex 6 Ex 6 Типизированный Solns Ex 6 Рукописный Solns 2017-Q13
Доказательство индукцией Урок 5 Ex 7 Ex 7 Типизированный Solns Ex 7 Рукописный Solns 2014-Q7,2013-Q9,2012-Q16a, 2011-Q12,2010-Q8b, 2009- 4 квартал 2007 года — 12 квартал
Индукционная проба — сигма-нотация Урок 6 Ex 8 Ex 8 Типизированный Solns Ex 8 Рукописный Solns 2018-Q12,2016-Q5, 2013-Q9, 2009-Q4
.
13. Рекомендуемое время в учебнике и вопросы — Часть 3
Расписание курсов, а также конкретные упражнения / вопросы из учебников для третьего модуля, любезно предоставленные издательством Teejay, можно найти ЗДЕСЬ.
Векторы
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
__________________________________ Номер страницы
_____________ Упражнение
______________ Рекомендуемые вопросы
________________________ Урок / Примечания
_________________
Более высокая версия векторов Страница 282 Упражнение 15.1 Q6,7,8
Векторное произведение — 1 Стр. 286 Упражнение 15.3 Q1,2a, b, 5,7,8a, b, 10 Урок 1
Векторный продукт — 2 Страница 286 Упражнение 15,3 Q3,4,6,12 Урок 2
Уравнения прямой Страница 298 Упражнение 15.8 Q1a, b, 2a, 3a, c, e, 5 Урок 3
Векторное уравнение прямой Страница 298 Упражнение 15.9 Q2 Урок 3
Уравнение плоскости Page 291 Упражнение 15.5 Q1a, b, c, d, 2a, b, 3,4a, c, 9,10 Урок 4
Угол между 2 плоскостями Страница 293 Упражнение 15.6 Q1,2,3 Урок 5
Пересечение линии и плоскости Страница 300 Упражнение 15.10 Q1a, b, c, 2a, b, 3,4a Урок 6
Пересечение двух линий Страница 302 Упражнение 15.11 Q1,2 Урок 7
Пересечение двух плоскостей с использованием гауссианы Page 303 Упражнение 15.12 Q1,2 Урок 8
Пересечение двух плоскостей — альтернатива Страница 303 Упражнение 15.12 Q1,2
Пересечение трех плоскостей Страница 307 Упражнение 15.3 Q1a, c, 2a, c Урок 9
.
Матрицы
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже.Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
__________________________________ Номер страницы
_____________ Упражнение
______________ Рекомендуемые вопросы
____________________________
Основные свойства и операции с матрицами Страница 231 Упражнение 13.1 Q1,2,3a, 4a, c, e, i, p, t, 7a, f, 9,10
Умножение матриц Стр. 235 Упражнение 13.3 Q1a, c, 2a, c, k, m, o, 3a, 4,5a, c
Свойства матричного умножения Страница 236 Упражнение 13.4 Q6a, b, 7a, b, 8a
Определитель матрицы 2 x 2 Страница 240 Упражнение 13.6 Q1a, b, d, h
Определитель матрицы 3 x 3 Страница 247 Упражнение 13.9 Q4a, b, c, d, 5a, b
Инверсия матрицы 2 x 2 Page 243 Упражнение 13.7 1 кв., 1,2,4,8,9а, б, в
Инверсия матрицы 3 x 3 Страница 275 Упражнение 14.10 Q1a, b, c, d
Матрицы преобразования Страница 251 Упражнение 13.10 Q1,2,5
.
Дальнейшие последовательности и серии (серия Маклорена)
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже.Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
________________________________ Номер страницы
_____________ Упражнение
______________ Рекомендуемые вопросы
_______________________
Серия Маклорена для f (x) Страница 179 Упражнение 10.5 Q1a, b, c, d, 3a, b
Серия Маклорена — Составные функции Страница 182 Упражнение 10.7 Q1a, f, 2a, 3a, 6a, 7a, 8a, b
Серия Maclaurin — вопросы SQA Вопросы и ответы SQA
.
Дополнительные дифференциальные уравнения
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
__________________________________ Номер страницы
_____________ Упражнение
______________ Рекомендуемые вопросы
________________________
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка Страница 136 Упражнение 8.3 Q1a, b, 2a, 3a, b
Дифференциальные уравнения 2-го порядка
(действительные и отчетливые корни) Страница 140 Упражнение 8.4 Q1a, b, c, 2a, b
Дифференциальные уравнения 2-го порядка
(действительные и совпадающие корни) Страница 141 Упражнение 8.5 Q1a, b, c, 2a, b
Дифференциальные уравнения 2-го порядка
(корни ненастоящие) Страница 142 Упражнение 8.6 Q1a, b, c, 2a, b
Неоднородные дифференциальные уравнения
(Нахождение общего решения)
Page 146 Упражнение 8.9 Q1a, b, c
Неоднородные дифференциальные уравнения
(Поиск частного решения)
Страница 146 Упражнение 8.9 Q2a, b, c
.
Дополнительная теория чисел и доказательства
Рекомендуемые вопросы из учебника «Математика в действии» (2-е издание) Эдварда Маллана приведены ниже. Ясные, простые в использовании, пошаговые решения по всем приведенным ниже вопросам доступны в пакете онлайн-обучения.
Подтема
_______________________________________ Номер страницы
_____________ Упражнение
_________ Рекомендуемые вопросы
____________________________
Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) Страница 318 Пример 16.3 Q1a, c, e, g, i
Выражение НОД в форме xa + yb = d Страница 320 Ex 16.4 Q1,2,3,4
Номерные базы Страница 322 Пример 16.5 Q1a-d, 2a-f
Дополнительная теория чисел — вопросы SQA Вопросы и ответы SQA
.
14. Оценки подразделения AH по математике — решения включены
Спасибо maths777 за то, что эти прекрасные ресурсы стали доступны для всех. Это окажется фантастическим ресурсом, который поможет вам подготовиться к экзаменам, тестам и выпускному экзамену.
.
15.Видео ссылки AH Maths
Щелкните DLB Maths, чтобы просмотреть видео-решения AH Maths Past Paper. Есть также много видео, демонстрирующих рабочие примеры по темам, по ссылке на YouTube-канал St Andrews StAnd Maths. Обе ссылки на видео — отличные ресурсы, которые помогут вам подготовиться к экзаменам, тестам и выпускному экзамену.
.
16. Учебник по математике — Математика в действии (2-е издание) Эдварда Маллана
Полностью переработанный курс для нового экзамена Curriculum for Excellence, разработанный для полной поддержки новой структуры курса и оценки отдельных модулей.Являясь частью высоко оцененной серии «Математика в действии», она предоставляет студентам знакомый, ясный и тщательно структурированный учебный опыт, который побуждает их укреплять уверенность и понимание.
.
.
17. Пакет для онлайн-обучения продвинутой высшей математике

Посредством пошаговых решений для экзаменационных вопросов и рекомендованных вопросов из учебников MIA, доступных в Online Study Pack, мы охватываем все, что вам нужно знать о Sum to Infinity , чтобы сдать последний экзамен.
Для студентов, желающих «хорошо» сдать экзамен AH Maths, вы можете рассмотреть возможность подписки на фантастические ресурсы, посвященные дополнительным экзаменам, доступные в Online Study Pack. Подписка может стать одним из ваших лучших вложений.
Пожалуйста, дайте себе все возможности для успеха, поговорите с родителями и подпишитесь на экзаменационный пакет Online Study Pack сегодня.
Мы надеемся, что ресурсы на этом веб-сайте окажутся полезными, и желаем вам всяческих успехов в вашем курсе AH Maths в 2022 году.
Получите учебный пакет — всего 9,99 фунтов стерлингов
Учителя нажмите здесь>
Сборник математических символов | Math Vault
Язык и словарь математики содержат большое количество символов , некоторые из которых более технические, чем другие.2 \ ge 0] \ end {gather *} \] Математический символ может использоваться для разных целей от одного математического подполя к другому (например, $ \ sim $ как логическое отрицание и подобие треугольника), так же как несколько символов может использоваться для обозначения одного и того же понятия или отношения (например, $ \ times $ и $ \ cdot $ при умножении).
Базовые знания математической терминологии необходимы для прочного фундамента высшей математики. С этой целью ниже приводится компиляция некоторых из наиболее хорошо адаптированных, часто используемых символов в математике.
Кроме того, эти символы дополнительно классифицируются по их функции в таблицы. Более полные списки символов — по категориям предмет и тип — также можно найти на соответствующих страницах ниже (или на панели навигации).
Предпочитаете версию в формате PDF?
Получите полный, исчерпывающий список математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.
Константы
В математике константы — это символы, которые используются для обозначения неизменяющихся объектов .Сюда могут входить ключевые числа, ключевые математические наборы, ключевые математические бесконечности и другие ключевые математические объекты (такие как единичная матрица $ I $).
Математические константы часто принимают форму буквы алфавита или производной от нее. В некоторых случаях константа может рассматриваться как переменная в более широком контексте. В следующих таблицах представлены некоторые из наиболее часто используемых констант, а также их имя, значение и использование.
Ключевые математические числа
$ 3 + 0 = 3 $ 1 $ ( One )
Название символа Пояснение Пример
$ 0 $ ( Ноль ) $ Аддитивная идентификация общих чисел
Мультипликативное тождество общих чисел $ 5 \ times 1 = 5 $
$ \ sqrt {2} $ ( Квадратный корень из 2 $ ) Положительное число, квадрат которого равен 2 доллара.2 = 2i $
Ключевые математические наборы
Для более полного списка см. основных математических наборов в алгебре .
Название символа Пояснение Пример
$ \ varnothing $ ( Пустой набор ) Набор без элемента $ | \ varnothing | = 0 $
$ \ mathbb {N} $ ( N ) Набор натуральных чисел $ \ forall x, y \ in \ mathbb {N} $,
$ x + y \ in \ mathbb {N} $
$ \ mathbb {Z} $ ( Z ) Набор целых чисел (Z означает zahlen, число на немецком языке) $ \ mathbb {N} \ substeq \ mathbb {Z } $
$ \ mathbb {Z} _ + $ ( Z-plus ) Набор натуральных чисел $ 3 \ in \ mathbb {Z} _ + $
$ \ mathbb {Q } $ ( Q ) Набор рациональных чисел (Q означает частное) $ \ sqrt {2} \ notin \ mathbb {Q} $
$ \ mathbb {R} $ ( R ) Набор действительных чисел $ \ forall x \ in \ mathbb {R}, x ^ 2 \ ge 0 $
$ \ mathbb {R} _ + $ ( R-plus ) Набор положительных действительных чисел $ \ forall x, y \ in \ mathbb {R} _ + $, $ xy \ in \ mathbb {R} _ + $
$ \ mathbb {C} $ ( C ) Набор комплексных чисел $ \ exists z \ in \ mathbb {C} \, (z ^ 2 + 1 = 0) $
$ \ mathbb {Z} _n $ ( Zn ) Набор целых чисел по модулю $ n $ В мире $ \ mathbb {Z} _2 $, $ 1 + 1 = 0 $. {\ aleph_0} $
$ \ omega $ ( Omega ) Наименьшее бесконечное порядковое число $ \ forall n \ in \ mathbb {N}, n <\ omega $
Для более полного списка см. символов, связанных с числом элементов .
Другие ключевые математические объекты
Название символа Пояснение Пример
$ \ mathbf {0} $ ( Ноль ) Нулевой вектор векторного пространства $ 9015 \ \ mathbb {v} \ in V $,
$ \ mathbf {v} + \ mathbf {0} = \ mathbf {v} $
$ e $ ( E ) Идентификационный элемент группы $ e \ circ e = e $
$ I $ ( I ) Матрица идентичности $ AI = IA = I $
$ C $ ( C ) Константа интеграция $ \ displaystyle \ int 1 \, \ mathrm {d} x = $
$ x + C $
$ \ top $ ( Тавтология ) Безоговорочно истинное предложение формальной логики Для каждого предложения $ P $, $ P \ land \ top \ Equiv P $.
$ \ bot $ ( Противоречие ) Предложение в формальной логике, которое безусловно неверно Для каждого предложения $ P $, $ P \ land \ lnot P \ Equiv \ bot. $
$ Z $ ( Z ) Стандартное нормальное распределение $ Z \ sim N (0,1) $
Переменные
Математическая переменная — это символ, который функционирует как заполнитель для различных выражений или количества .x = y) \ end {gather *} В некоторых случаях переменные можно рассматривать как константы в более узком контексте (например, как параметры), в то время как в других случаях переменные используются в сочетании с индексами для создания из-за отсутствия букв (например, $ x_3 $).
Хотя переменные в математике часто используются для представления чисел , они также могут использоваться для представления других объектов, таких как векторы, функции и матрицы. В следующих таблицах описаны некоторые из наиболее распространенных соглашений для переменных, а также контекст, в котором они приняты и используются.
Переменные для чисел
Символ (ы) Используется для Пример
$ m, n, p, q $ Целые числа и натуральные числа 9015 $ mn $ нечетно, то и $ m $, и $ n $ нечетны.
$ a, b, c $ Коэффициенты функций и уравнений Линия вида $ ax + by = 0 $ проходит через начало координат.
$ x, y, z $ Неизвестные в функциях и уравнениях Если $ 2x + 5 = 3 $, то $ x = -1 $.2 $
Переменные в геометрии
Дополнительные символы в геометрии и тригонометрии см. В разделе геометрические и тригонометрические символы .
$ \ alpha + \ beta + \ theta = 180 ^ {\ circ} $
Символ (ы) Используется для Пример
$ P, Q, R, S $ Вершины $ QR \ overline {PQ} \ perp \ overline } $
$ \ ell $ Линии $ \ ell_1 \ parallel \ ell_2 $
$ \ alpha, \ beta, \ gamma, \ theta $ Углы
Переменные в исчислении
Для более полного списка см. {0}} {h} = 1 $ $ \ delta, \ varepsilon $ Небольшие количества в доказательствах с ограничениями Для всех $ \ varepsilon> 0 $ существует $ \ delta> 0 $ такое, что $ | x | <\ delta $ следует $ | 2x | <\ varepsilon $. $ F (x), G (x) $ Первообразные $ F (x) ‘= f (x) $
Переменные в линейной алгебре
Для более полного списка см. переменных в алгебре .
Символ (ы) Используется для Пример
$ \ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {w} $ Vectors 9015 $ 3 mathbf {u} +4 \ mathbf {v} = \ mathbf {w} $
$ A, B, C $ Матрицы $ AX = B $
$ \ lambda $ Собственные значения $ A \ mathbf {v} = \ lambda \ mathbf {v} $
Переменные в теории множеств и логике
Более подробные списки по темам см. В разделах переменных в логике и переменных в теории множеств .
$ 90 a, b, c $
Символ (ы) Используется для Пример
$ A, B, C $ Наборы $ A \ substeq B \ cup C $
Элементы $ a \ in A $
$ P, Q, R $ Предложения $ P \ lor \ lnot P \ Equiv \ top $
Переменные в вероятности и статистике
Для более полного списка см. переменных в вероятности и статистике .
Символ (ы) Используется для Пример
$ X, Y, Z $ Случайные переменные $ E (X + Y) =
$ E ( X) + E (Y) $
$ \ mu $ Средства населения $ H_0 \!: \ Mu = 5 $
$ \ sigma $ Стандартные отклонения населения $ \ sigma_1 = \ sigma_2 $
$ s $ Стандартные отклонения выборки $ s \ ne \ sigma $
$ n $ n \ If ge 30 $, используйте нормальное распределение.2 = 0,5625 $.
$ \ pi $ Пропорции населения $ \ pi = 0,5 $
$ p $ Примерные пропорции $ p = \ dfrac {X} {n} $
Разделители
Подобно знакам препинания в английском языке, разделители представляют собой набор символов, обозначающих границ между независимыми математическими выражениями. Они часто используются для указания области действия, для которой будет применяться операция или правило, и могут встречаться как в виде изолированного символа, так и в виде пары противоположно выглядящих символов.
Во многих сценариях разделители используются в основном для целей группировки . В следующей таблице представлены некоторые из наиболее часто используемых разделителей, а также их функции и использование.
Символ (ы) Функция Пример
$. $ Десятичный разделитель $ 25.9703 $
: 4: 9 = $
$ 3: 12: 27 $
$, $ Разделитель объектов $ (3, 5, 12) $
$ (), [], \ { \} $ Индикаторы порядка работы $ (a + b) \ times c $
$ (), [] $ Интервальные индикаторы $ 3 \ notin (3, 4] $,
$ 4 \ in (3,4] $.2 — 2 = 0 \} $
$ | |, \ | \ | $ Операторы, связанные с нормами $ \ | (3, 4) \ | = 5 $
$ \ begin {cases} \ end {cases} $ Маркер кусочной функции $ f (x) = \ begin {cases} 1 & x \ ge 0 \\ 0 & x <0 \ end {cases} $
$ \ langle \ rangle $ Оператор внутреннего продукта $ \ langle ka, b \ rangle = k \ langle a, b \ rangle $
$ \ lceil \ rceil $ Привод потолка $ \ lceil 2.476 \ rceil = 3 $
$ \ lfloor \ rfloor $ Оператор пола $ \ lfloor \ pi \ rfloor = 3 $
Операторы
символ
Обозначение оператора операция — функция, которая переводит один или несколько объектов на другой аналогичный объект. Большинство операторов являются унарными и двоичными по своей природе (т. Е. Принимают один и два входных значения для намеченной цели соответственно), причем наиболее распространенными из них являются арифметические операторы (например,г., $ + $).
Как и в случае с английским языком, операторы позволяют расширить лексикон математики , где существует только конечное число символов. В следующих таблицах представлены некоторые из наиболее часто используемых математических операторов, а также их использование и предполагаемое значение.
Общие операторы
9015a = 2a + 3 доллара США 5a $ $
Символ (ы) Пояснение Пример
$ x + y $ Сумма $ x $ и $ y
$ xy $ Разница $ x $ и $ y $ $ 11-5 = 6 $
$ -x $ Обратная добавка $ x $ $ -3 + 3 = 0 $
$ x \ times y $, $ x \ cdot y $,
$ xy $ Продукт из $ x $ и $ y $ $ (m + 1 ) n = mn + n $
$ \ dfrac {1} {x}, x ^ {- 1} $ Мультипликативный обратный / обратная величина от $ x $ $ \ dfrac {1} {9 } \ times 9 = 9 \ times \ dfrac {1} {9} = 1 $
$ x \ div y, x / y $ Частное от $ x $ сверх $ y $ $ 152 \ div 3 = 50.4 = 81 $
$ x \ pm y $ $ x $ плюс и минус $ y $ $ \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {\ Delta}} {2a} $
$ \ sqrt {x} $ Положительный квадратный корень из $ x $ \ sqrt {2} \ приблизительно 1,414 $
$ | x | $ Абсолютное значение из $ x $ $ | x-3 | <5 $
$ x \% $ $ x % $ x \% \ doteq \ dfrac {x} {100}
Операторы, связанные с функциями
Для более полного списка см. функциональные символы .
Символ Пояснение Пример
$ \ operatorname {dom} (f) $ Домен функции $ f $ Если $ gn (x) = \ x} $, тогда $ \ operatorname {dom} (g) = \ mathbb {R} _ + $.
$ \ operatorname {ran} (f) $ Диапазон функции $ f $ Если $ h (y) = \ sin y $, то следует, что $ \ operatorname {ran} (h ) = [-1,1] $.
$ f (x) $ Изображение элемента $ x $ под функцией $ f $ $ g (5) = g (4) + 3 $
$ f (X) $ Изображение набора $ X $ под функцией $ f $ $ f (A \ cap B) \ substeq $
$ f (A) \ cap f (B) $
$ f \ circ g $ Составная функция ($ f $ из $ g $) Если $ g (3) = 5 $ и $ f (5) = 8 $, то $ (f \ circ g) (3) = 8 $.2) = 2 \ ln {x} $
$ \ log x $ Логарифмическая функция по основанию 10 (или основанию $ e $) $ \ log 10000 = 4 $
$ \ log_b x $ Функция логарифма по основанию $ b $ $ \ log_2 x = \ dfrac {\ ln x} {\ ln 2} $
$ \ sin x $ Функция синуса $ \ sin \ pi = 0 $
$ \ cos x $ Функция косинуса $ \ cos \ dfrac {\ pi} {4} = \ dfrac {\ sqrt {2}} {2 } $
$ \ tan x $ Касательная функция $ \ tan x = \ dfrac {\ sin x} {\ cos x} $
Операторы, связанные с алгеброй
Для более полный список, см. операторов в алгебре .
Символ (ы) Пояснение Пример
$ \ gcd (x, y) $ Наибольший общий множитель для $ x $ и $ y $ $ { gcd (35,14) = 7} $
$ \ lfloor x \ rfloor $ Этаж $ x $
(наибольшее целое число, меньшее или равное $ x $) $ \ lfloor 3.6 \ rfloor = 3 $
$ \ lceil x \ rceil $ Потолок $ x $
(наименьшее целое число, большее или равное $ x $) $ \ lceil \ pi \ rceil = 4 $
$ \ min (A) $ Минимум из набора $ A $ Если $ \ min (A) = 3 $, то $ \ min (A + 5) = 8 $.{\ pi i} | = 1 $
$ \ operatorname {arg} (z) $ Аргументы комплексного числа $ z $ $ \ operatorname {arg} (1 + i) = \\ [0.3em] \ dfrac {\ pi} {4} + 2 \ pi n $
Операторы, связанные с геометрией
Дополнительные символы в геометрии и тригонометрии см. В разделе символов геометрии и тригонометрии .
Символ (ы) Пояснение Пример
$ \ angle ABC $ Угол , образованный вершинами $ A $, $ B $ и $ C $ $ ABC = \ angle CBA $
$ \ измеренный угол ABC $, $ m \ angle ABC $ Измерьте угла, образованного вершинами $ A $, $ B $ и $ C $ $ \ измеренный угол ABC = \ measureangle A’B’C ‘$
$ \ overleftrightarrow {AB} $ Бесконечная линия , образованная точками $ A $ и $ B $ $ \ overleftrightarrow {AB} = \\ \ overleftrightarrow { BA} $
$ \ overline {AB} $ Отрезок между точками $ A $ и $ B $ Если $ B \ ne B ‘$, то $ \ overline {AB} \ ne \ \ \ overline {AB ‘}.$
$ \ overrightarrow {AB} $ Луч от точки $ A $ до точки $ B $ $ \ overrightarrow {AB} \ cong \\ \ overrightarrow {CD} $
$ | AB | $ Расстояние между точкой $ A $ и точкой $ B $ $ | AB | <{| A'B '|} $
$ \ треугольник ABC $ Треугольник сформирован по вершинам $ A $, $ B $ и $ C $ $ \ треугольник ABC \ cong \ треугольник A’B’C ‘$
$ \ square ABCD $ Четырехугольник , образованный вершинами $ A $ , $ B $, $ C $ и $ D $ $ \ square ABCD = \ square DCBA $
Операторы, связанные с логикой
Для более полного списка см. 2 = — \ pi)} $
Операторы, связанные с множеством
Более полный список см. В разделе операторов теории множеств .c $ Дополнение к набору $ A $ $ \ overline {\ smash {\ overline {A}} \ vphantom {\ bar {A}}} = A $ $ A \ cap B $ Пересечение множеств $ A $ и $ B $ $ \ {2,5 \} \ cap {\ {1,3 \}} = \ varnothing $ $ A \ cup B $ Объединение множеств $ A $ и $ B $ $ \ mathbb {Z} \ cup \ mathbb {N} = \ mathbb {Z} $ $ A / B $, $ AB $ Разница множеств $ A $ и $ B $ В общем, $ AB \ ne $
$ BA.$ $ A \ times B $ Декартово произведение множеств $ A $ и $ B $ $ (11, -35) \ in \ mathbb {N} \ times \ mathbb {Z} $ $ \ mathcal {P} (A) $ Набор мощности из набора $ A $ $ \ mathcal {P} (\ varnothing) = \ {\ varnothing \} $ $ | A | $ Мощность набора $ A $ $ | \ mathbb {N} | = \ aleph_0 $
Операторы, связанные с вектором
Для более полного списка см. T) = \ operatorname {tr} (A) $ $ \ det (A), | A | $ Определитель квадратной матрицы $ A $ $ \ left | \ begin {pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \ end {pmatrix} \ right | = \\ 2-12 = -10 $
Операторы, связанные с вероятностью
Для более полного списка см. операторов вероятности и статистики .
$
Символ (ы) Пояснение Пример
$ n! $ Факториал от $ n $ $ 4! = 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 $
$ n P \, r $ Перестановка
($ n $ перестановка $ r $) $ 5 P \, 3 = 5 \ cdot 4 \ cdot 3 $
$ \ displaystyle nCr,
\ binom {n} {r} $ Combination
($ n $ select $ r $) $ \ displaystyle \ binom {5} {2 } = \ binom {5} {3} $
$ P (E) $ Вероятность события $ E $ $ P (A \ cup B \ cup C) = 0.\ overline {3} $
$ P (A \, | \, B) $ Условная вероятность события $ A $ заданного события $ B $ $ P (A \, | \, B ) = \ dfrac {P (A \ cap B)} {P (B)} $
$ E (X) $ Ожидаемое значение случайной величины $ X $ $ E (X + Y ) =
$ E (X) + E (Y) $
$ V (X) $ Вариант случайной величины $ X $ $ V (5X) = 25V (X)
Операторы, связанные со статистикой
Для более полного списка см. статистических операторов .2} {n} $
Ключевые вероятностные функции и распределения
Для более полного списка см. операторы, связанные с распределением вероятностей .
Символ (ы) Объяснение Пример
$ {\ operatorname {Bin} (n, p)} $ Биномиальное распределение с $ n успехом $ попыток и вероятностью успеха $ n $ p $ Если $ X $ означает количество орлов в 10 бросках монеты, то $ X \ sim \ operatorname {Bin} (10, 0.2_ {0,05, 30} \ приблизительно 43,77 $
$ F _ {\ alpha, \ nu_1, \ nu_2} $ Оценка F , связанная с уровнем значимости $ \ alpha $ и степенями свободы $ \ nu_1 $ и $ \ nu_2 $ $ F_ {0,05, 20, 20} \ приблизительно 2,1242 $
Операторы, связанные с исчислением
Для более полного списка см. символы исчисления и анализа .
$ 9015 \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {n + 3} {2n} = \ dfrac {1} {2} $
Символ (ы) Объяснение Пример
$ \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} a_n $ Предел последовательности $
$ \ displaystyle \ lim_ {x \ to c} f (x) $ Предел функции $ f $, поскольку $ x $ стремится к $ c $ $ \ displaystyle \ lim_ {x \ to 3} \ frac {\ pi \ sin x} {2} = \\ [0.3 $.
Реляционные символы
Реляционные символы используются для выражения математических отношений между несколькими объектами. Многие реляционные символы являются двоичными по своей природе, поскольку они принимают два объекта в качестве входных данных и превращают их в полные, осмысленные предложения (как в случае символа неравенства $ <$).
Поскольку символы отношения образуют строительные блоки математических предложений , они имеют фундаментальное значение в математике.В следующих таблицах описаны некоторые из наиболее часто используемых реляционных символов, а также их использование и значение.
Реляционные символы на основе равенства
= 2x $
Символ (ы) Пояснение Пример
$ x = y $ x $ и $ y $ равны
$ x \ ne y $ $ x $ и $ y $ не равны $ 2 \ ne 3 $
$ x \ приблизительно y $ $ x $ и $ y $ равны примерно равны $ \ pi \ приблизительно 3. 2 \ ge 0 $
По количеству Символы отношений
Символ Объяснение Пример
$ m \ mid n $ Целое число $ m $ делит целое число $ n $ $ 101153 \ mid 11116 $ $ m \ perp n $ Целые числа $ m $ и $ n $ равны взаимно простые $ 31 \ perp 97 $
Связанные с геометрией символы отношений
Дополнительные символы в геометрии и тригонометрии см. в разделе geometry и символы тригонометрии .
\ parallel \ overline {RS} $
Символ Пояснение Пример
$ \ ell_1 \ parallel \ ell_2 $ Линии $ \ ell_1 $ и $ \ ell_2 $ параллельны $
$ \ ell_1 \ perp \ ell_2 $ Линии $ \ ell_1 $ и $ \ ell_2 $ перпендикулярны $ \ overrightarrow {AB} \ perp \ overrightarrow {BC } $
$ F \ sim F ‘$ Рисунок $ F $ аналогичен рисунку $ F’ $ $ \ треугольник ABC \ sim \ треугольник DEF $
$ F \ cong F ‘$ Рисунок $ F $ соответствует фигуре $ F’ $ $ \ square ABCD \ cong \ square PQRS $
Связанные с множеством реляционные символы
Для более полного списка см. реляционные символы в теории множеств .
Символ Пояснение Пример
$ a \ in A $ Элемент $ a $ — это член r из набора $ A $ $ \ dfrac {2 3} \ in \ mathbb {R} $
$ a \ notin A $ Элемент $ a $ не является членом набора $ A $ $ \ pi \ notin \ mathbb {Q} $
$ A \ substeq B $ Set $ A $ — это подмножество набора $ B $ $ A \ cap B \ substeq A $
$ A = B $ Set $ A $ равно для установки $ B $ Если $ A = B $, то $ A \ substeq B $.
Логические реляционные символы
Для более полного списка см. реляционных символов в логике .
Символ Пояснение Пример
$ {P \! \ подразумевает \! Q} $ Предложение $ P $ подразумевает предложение $ Q $ $ x $ является четным $ \ подразумевает $
$ 2 $ делит $ x $
$ P \! \ impliedby \! Q $ Предложение $ P $ подразумевается предложением $ Q $ $ x = 3 \ impliedby $
$ 3x + 2 = 11 $
$ P \! \ Iff \! Q, $
$ P \ Equiv Q $ Предложение $ P $ тогда и только тогда, когда предложение $ Q $ $ x \ ne y \ iff $
$ (xy) ^ 2> 0 $
$ P \, следовательно, Q $ $ P $, следовательно $ Q $ $ i \ in \ mathbb {C} \ следовательно $
$ \ exists z \, (z \ in \ mathbb {C}) $
$ P \ потому что Q $ $ P $, потому что $ Q $ $ x = \ dfrac {\ pi} {2} \ потому что $
$ \ sin x = 1 $ и $ \ cos x = 0 $
Реляционные символы, связанные с вероятностью
Для более полного списка см. реляционных символа в вероятности и статистике .
Символ Пояснение Пример
$ A \ perp B $ События $ A $ и $ B $ независимы Поскольку $ A \ perp B $, мы имеем что $ P (A \ cap B) = P (A) P (B). $
$ X \ sim F $ Случайная переменная $ X $ следует за распределением $ F $ $ Y \ sim \ operatorname {Bin} (30, 0.4) $
Реляционные символы, относящиеся к исчислению
Для более полного списка см. реляционных символа в асимптотическом анализе .2) $
Условные обозначения
Условные обозначения — это условные обозначения или сокращенные , роль которых отличается от роли константы, переменной, разделителя, оператора или символа отношения. Часто он просто описывает используемую систему обозначений и может даже относиться к концепциям, которые имеют мало отношения к какому-либо определенному математическому объекту (например, $ \ infty $). 2 $ $ \ vdots, \ ddots $ Вертикальные символы многоточия для обозначения определенного, не указанного в списке шаблона $ \ left (\ begin {smallmatrix} a_ {11} & \ cdots & a_ {1n} \\ \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & \ cdots & a_ {mn} \ end {smallmatrix} \ right) $ $ f \ !: A \ to B $,
$ A \ overset {f} {\ to} B $ Функция $ f $ с доменом $ A $ и доменом $ B $ Функция $ g: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {R} $ можно рассматривать как последовательность.2 $ возрастает в интервале $ [0, \ infty) $. $ {Q.E.D.}, \ Square, \ blacksquare $ Символ конца доказательства Таким образом, результат устанавливается желаемым. $ \, \ blacksquare $ $ Q.E.A. $, ⨳, ※ Символ противоречия Умножение обеих частей уравнения дает $ 1 = 2 $. ※
Условные обозначения в геометрии и тригонометрии
Дополнительные символы в геометрии и тригонометрии см. x = 0 $ $ \ Delta \ mathbf {x} $ Изменить в переменной $ \ mathbf {x} $ $ m = \ dfrac {\ Delta y} {\ Delta x} $ $ \ mathrm {d} \ mathbf { x} $ Дифференциал переменной $ \ mathbf {x} $ $ \ mathrm {d} y = f ‘(x) \, \ mathrm {d} x $ $ \ partial \ mathbf {x} $ Частный дифференциал переменной $ \ mathbf {x} $ $ \ dfrac {\ partial f} {\ partial x} \, \ mathrm {d} x $ $ \ mathrm {d} \ mathbf {f} $ Общий дифференциал многомерной функции n $ \ mathbf {f} $ $ \ mathrm {d} g (x, y) = \\ \ dfrac {\ partial g} {\ partial x} \, \ mathrm {d} x + \ dfrac {\ partial g} {\ partial y} \, \ mathrm {d} y $
Условные обозначения в вероятности и статистике
Для более полного списка см. условных обозначений в вероятности и статистике .
Список символов, разделенных на тип и предмет , см. На соответствующих страницах ниже.
Предпочитаете версию в формате PDF?
Получите общее резюме математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.
Дополнительные ресурсы
Производная суммы функций
Принято, что производная функции, которая является суммой двух других функций, равна сумме их производных.Это можно доказать, используя производную по определению или метод первого принципа.
Рассмотрим функцию вида $$ y = f \ left (x \ right) + g \ left (x \ right) $$.
Сначала мы берем приращение или небольшое изменение функции.
\ [\ begin {в собранном виде} y + \ Delta y = f \ left ({x + \ Delta x} \ right) + g \ left ({x + \ Delta x} \ right) \\ \ Rightarrow \ Delta y = f \ left ({x + \ Delta x} \ right) + g \ left ({x + \ Delta x} \ right) — y \\ \ end {собрано} \]
Подставляя значение функции $$ y = f \ left (x \ right) + g \ left (x \ right) $$ в приведенное выше уравнение, мы получаем
\ [\ begin {gather} \ Rightarrow \ Delta y = f \ left ({x + \ Delta x} \ right) + g \ left ({x + \ Delta x} \ right) — f \ left (x \ right) — g \ left (x \ right) \\ \ Стрелка вправо \ Delta y = f \ left ({x + \ Delta x} \ right) — f \ left (x \ right) + g \ left ({x + \ Delta x} \ right) — g \ left (x \ вправо) \\ \ end {собрано} \]
Разделив обе стороны на $$ \ Delta x $$, мы получим
\ [\ begin {gather} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) — f \ left (x \ right) + g \ left ({x + \ Delta x} \ right) — g \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} \\ \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) — f \ left (x \ right)}} {{ \ Delta x}} + \ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) — g \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} \\ \ end {собрано} \ ]
Принимая предел обеих сторон как $$ \ Delta x \ to 0 $$, мы имеем
\ [\ begin {gather} \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ Дельта y}} {{\ Delta x}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ left [{\ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) — f \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} + \ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) — g \ left (x \ right)}} {{ \ Delta x}}} \ right] \\ \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ до 0} \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) — f \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} + \ mathop { \ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) — g \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} \ \ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) — f \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} + \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right ) — g \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} \\ \ end {gather} \]
По определению производной
\ [\ frac {{dy}} {{dx}} = f ’\ left (x \ right) + g’ \ left (x \ right) \]
Это показывает, что производная суммы двух заданных функций равна сумме их производных.2} + 6 \\ \ end {собрано} \]
Свойства дополнения
Ниже приведены свойства сложения для реальных чисел. В некоторых учебниках перечислено лишь несколько из них, другие перечисляют их все. В вашем учебнике они могут иметь несколько другие названия.
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДОПОЛНЕНИЯ
Собственность идентичности
Есть уникальный реальный номер 0 так что для каждого действительного числа а ,
а + 0 знак равно а и 0 + а знак равно а
Ноль называется элемент идентичности сложения.
Коммутативная собственность
Для всех реальных чисел а и б ,
а + б знак равно б + а
Порядок, в котором вы складываете два числа, не влияет на результат.
Ассоциативное свойство
Для всех реальных чисел а , б , и c ,
( а + б ) + c знак равно а + ( б + c )
Когда вы складываете три действительных числа, группировка (или ассоциация) чисел не меняет результата.
Собственность противоположностей
Для всего реального числа а , есть уникальное действительное число — а такой, что
а + ( — а ) знак равно 0 и ( — а ) + а знак равно 0
Число и его противоположность называются аддитивное обратное друг друга, потому что их сумма равна нулю.
Собственность противоположности суммы
Для всех реальных чисел а и б ,
— ( а + б ) знак равно ( — а ) + ( — б )
Противоположность суммы действительных чисел равна сумме противоположностей.
последовательностей, суммы, серии | Язык Mathematica и Wolfram Language для студентов-математиков — быстрое введение
В языке Wolfram Language целочисленные последовательности представлены списками.
Используйте таблицу для определения простой последовательности:
В [1]: =
Выход [1] =
Некоторые известные последовательности встроены в:
В [2]: =
⨯
Таблица [Фибоначчи [x], {x, 1, 7}]
Выход [2] =
Определите рекурсивную последовательность с помощью RecurrenceTable:
(Обратите внимание на использование обозначений { x , min , max }.)
В [1]: =
⨯
RecurrenceTable [{a [x] == 2 a [x - 1], a [1] == 1}, a, {x, 1, 8}]
Выход [1] =
Вычислить сумму последовательности:
В [2]: =
Выход [2] =
Вычислить сумму последовательности по ее производящей функции:
В [1]: =
⨯
Сумма [i (i + 1), {i, 1, 10}]
Выход [1] =
Используйте ESCsumtESC для заполнения формы набора:
В [2]: =
⨯
\! \ ( \ * UnderoverscriptBox [\ (\ [Sum] \), \ (i = 1 \), \ (10 \)] \ (i \ ((i + 1) \) \) \)
Выход [2] =
Вы можете делать неопределенные и кратные суммы:
В [3]: =
⨯
\! \ ( \ * UnderoverscriptBox [\ (\ [Sum] \), \ (i = 1 \), \ (n \)] \ ( \ * UnderoverscriptBox [\ (\ [Sum] \), \ (j = 1 \), \ (n \)] i \ j \) \)
Выход [3] =
Вычислить производящую функцию для последовательности:
В [1]: =
⨯
FindSequenceFunction [{2, 4, 6, 8}, n]
Выход [1] =
Создание аппроксимации степенного ряда практически для любой комбинации встроенных функций:
В [1]: =
⨯
Серия [Exp [x ^ 2], {x, 0, 8}]
Выход [1] =
O [x] ⁹ представляет члены высшего порядка, которые были опущены; используйте Normal, чтобы усечь этот термин:
В [2]: =
Выход [2] =
Для неизвестной или неопределенной функции Series возвращает степенной ряд в терминах производных:
В [3]: =
⨯
Серия [2 f [x] - 3, {x, 0, 3}]
Выход [3] =
Конвергентная серия может быть автоматически упрощена:
В [1]: =
⨯
\! \ ( \ * UnderoverscriptBox [\ (\ [Sum] \), \ (n = 0 \), \ (\ [Infinity] \)] \ * SuperscriptBox [\ (0.5 \), \ (п \)] \)
Выход [1] =
БЫСТРАЯ СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ: Целочисленные последовательности »
КРАТКАЯ СПРАВКА: Расширения серии »
Определение суммы, формулы, примеры, решаемые решения — Cuemath

Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью запатентованного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. Попытайтесь пройти тест сейчас.
Сумма: Примеры
Бабушка Норы живет в соседней деревне.
Ей нужно перейти реку, чтобы добраться до дома своей бабушки.
Она хочет взять \ (14 \; \ text {kg} \) сахарного тростника, \ (5 \; \ text {kg} \) пальмового сахара и \ (10 \; \ text {kg} \) помидоров с ее в лодке.
Она может нести с собой в лодке максимальный вес \ (30 \; \ text {кг} \).
Сможет ли она унести их всех с собой в лодке?

Решение:
Нам нужно рассчитать общий вес сахарного тростника, пальмового сахара и помидоров.
Вес сахарного тростника = \ (14 \; \ text {кг} \)
Вес джаггери = \ (5 \; \ text {кг} \)
Масса томатов = \ (10 \; \ text {кг} \)
Общий вес этих вещей
= \ (14 \; \ text {kg} + 5 \; \ text {kg} + 10 \; \ text {kg} = 29 \; \ text {kg} \)
\ (29 \; \ text {kg} \) меньше допустимого веса лодки.
\ (\ следовательно \) Нора может перевезти их всех в лодке.
Два друга, Джейкоб и Миа, играют с битой и мячом.
По очереди они бросают мяч на свои биты, пока он не упадет.
У каждого игрока есть два шанса.

Джейкоб подбросил мяч \ (14 \) раз в своем первом шансе и \ (9 \) раз в своем втором шансе, в то время как Миа бросила мяч \ (8 \) раз в свой первый шанс и \ (10 \) раз в ее второй шанс.
Кто выиграл игру?
Решение:
Давайте посчитаем общее количество бросков Джейкоба.
\ (\ begin {align} \ text {Всего бросков Джейкоба} \ end {align} \)
\ [\ begin {align} \! & = \! \! \ Text {Броски при первом шансе} \! + \! \ Text {Броски при втором шансе} \\ & = 14 + 9 \\ & = 23 \ конец {align} \]
А теперь посчитаем общее количество бросков Миа.
\ (\ begin {align} \ text {Всего бросков Миа} \ end {align} \)
\ [\ begin {align} \! \! & = \! \! \ Text {Броски при первом шансе} \! + \! \ Text {Броски при втором шансе} \\ & = 8 + 10 \\ & = 18 \ end {align} \]
Джейкоб сделал больше бросков, чем Миа.
\ (\ следовательно \) Джейкоб выиграл игру.
Эмма и Оливия играют в игру, используя числовую полосу, показанную ниже.
На нем числа от \ (- 8 \) до \ (8 \) отмечены через равные промежутки.

Они хранят свой жетон на числе \ (0 \)
У них в сумке красный и синий кубики.
Они случайным образом выбирают кубик из мешка и бросают его.

Если это красный кубик, они переместятся вправо в соответствии с числом, указанным на кубике.
Если это кубик синего цвета, они переместятся влево в соответствии с числом, указанным на кубике.
С первой попытки Эмма после броска получает красный кубик и число 4.
Оливия получает синий кубик.
После броска она получает число \ (5 \).
Во второй попытке Эмма получает 6 очков синим кубиком, а Оливия получает 6 очков красным кубиком.
На какое количество их жетонов помещаются после обеих попыток?
Решение:
Число, которое Эмма набирает с первой попытки
= \ (0 + 4 = 4 \)
Число, которое Оливия набирает с первой попытки
= \ (0 + (- 5) = — 5 \)
Число, которое Эмма набирает со второй попытки
= \ (4 + (- 6) = — 2 \)
Число, которое Оливия достигает со второй попытки
= \ ((- 5) + 6 = 1 \)
\ (\ следовательно \) Эмма находится в \ (- 2 \), а Оливия находится в \ (1 \) после их второй попытки.
Аналитический центр
1. Змея переходит из одной норы в другую, чтобы поедать насекомых, спрятанных внутри нор. Число в каждой лунке ниже представляет количество насекомых в этой лунке.

Змея стартует из голубой дыры и движется только по этим линиям.По какому пути может пройти эта змея, чтобы съесть ровно 20 насекомых и затем добраться до голубой дыры?

CLUEless по математике? Узнайте, как учителя CUEMATH объяснят вашему ребенку Sum , используя интерактивное моделирование и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!
Изучите интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, чтобы сделать своего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!
Все, что вам нужно знать — настоящий Python
В этой статье вы узнаете все о модуле Python math .Математические вычисления являются неотъемлемой частью большинства разработок Python. Независимо от того, работаете ли вы над научным проектом, финансовым приложением или каким-либо другим видом программирования, вам просто не избежать математики.
Для простых математических вычислений в Python вы можете использовать встроенные математические операторы , такие как сложение ( + ), вычитание ( - ), деление (/) и умножение ( * ) . Но более сложные операции, такие как экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические или степенные функции, не встроены.Означает ли это, что вам нужно реализовать все эти функции с нуля?
К счастью, нет. Python предоставляет модуль, специально разработанный для математических операций более высокого уровня: модуль math .
К концу этой статьи вы узнаете:
Что такое математический модуль Python
Как использовать функции модуля math для решения реальных задач
Каковы константы математического модуля , включая пи, тау и число Эйлера
В чем разница между встроенными функциями и математическими функциями
В чем разница между math , cmath и NumPy:
Здесь вам пригодится математический опыт, но не волнуйтесь, если математика не ваша сильная сторона.Эта статья объяснит основы всего, что вам нужно знать.
Итак, приступим!
Знакомство с Python
math Модуль
Модуль Python math — важная функция, предназначенная для работы с математическими операциями. Он поставляется в стандартной версии Python и был там с самого начала. Большинство функций модуля math представляют собой тонкие оболочки математических функций платформы C.Поскольку его основные функции написаны на CPython, модуль math эффективен и соответствует стандарту C.
Модуль Python math предлагает вам возможность выполнять общие и полезные математические вычисления в вашем приложении. Вот несколько практических применений модуля math :
Вычисление комбинаций и перестановок с использованием факториалов
Расчет высоты столба с помощью тригонометрических функций
Расчет радиоактивного распада с использованием экспоненциальной функции
Расчет кривой подвесного моста с использованием гиперболических функций
Решение квадратных уравнений
Моделирование периодических функций, таких как звуковые и световые волны, с помощью тригонометрических функций
Поскольку модуль math поставляется вместе с выпуском Python, вам не нужно устанавливать его отдельно.Использование — это просто импорт модуля:
Вы можете импортировать модуль Python math , используя указанную выше команду. После импорта вы можете сразу использовать его.
Константы математики
Модуль
Модуль Python math предлагает множество предопределенных констант . Доступ к этим константам дает несколько преимуществ. Во-первых, вам не нужно вручную жестко закодировать их в свое приложение, что сэкономит вам много времени.Кроме того, они обеспечивают согласованность всего кода. Модуль включает в себя несколько известных математических констант и важных значений:
Пи
Тау
Число Эйлера
бесконечность
Не число (NaN)
В этом разделе вы узнаете о константах и о том, как их использовать в коде Python.
Пи
Пи (π) — это отношение длины окружности ( c ) к ее диаметру ( d ):
π = с / д
Это соотношение всегда одинаково для любого круга.
Пи — это иррациональное число , что означает, что его нельзя выразить простой дробью. Следовательно, у пи бесконечное количество десятичных знаков, но оно может быть приблизительно равно 22/7 или 3,141.
Интересный факт: Пи — самая признанная и известная математическая константа в мире. У него есть своя собственная дата празднования, называемая Днем Пи, которая приходится на 14 марта (3/14).
Вы можете получить доступ к pi следующим образом:
>>>
>>> математ.Пи 3,1415589793
Как видите, число пи в Python дается с точностью до пятнадцати десятичных знаков. Количество предоставленных цифр зависит от базового компилятора C. Python по умолчанию печатает первые пятнадцать цифр, а math.pi всегда возвращает значение с плавающей запятой.
Итак, каковы некоторые из способов, которыми пи может быть вам полезен? Вы можете рассчитать длину окружности, используя 2π r , где r — радиус окружности:
>>>
>>> г = 3 >>> окружность = 2 * математика.пи * р >>> f "Окружность круга = 2 * {math.pi: .4} * {r} = {окружность: .4}" 'Окружность круга = 2 * 3,142 * 3 = 18,85'
Для вычисления длины окружности можно использовать math.pi . Вы также можете рассчитать площадь круга по формуле π r ² следующим образом:
>>>
>>> г = 5 >>> площадь = math.pi * r * r >>> f "Площадь круга = {math.pi: .4} * {r} * {r} = {area: .4}" «Площадь круга = 3.142 * 5 * 5 = 78,54 '
Вы можете использовать math.pi для вычисления площади и длины окружности. Когда вы выполняете математические вычисления с помощью Python и сталкиваетесь с формулой, в которой используется π, рекомендуется использовать значение пи, заданное модулем math , вместо жесткого кодирования значения.
Тау
Тау (τ) — отношение длины окружности к ее радиусу. Эта константа равна 2π, или примерно 6,28. Как и пи, тау — иррациональное число, потому что оно просто пи умноженное на два.
Во многих математических выражениях используется 2π, и использование тау вместо этого может помочь упростить ваши уравнения. Например, вместо вычисления длины окружности с 2π r , мы можем подставить тау и использовать более простое уравнение τ r .
Однако использование тау в качестве постоянной окружности все еще обсуждается. Вы можете свободно использовать 2π или τ по мере необходимости.
Вы можете использовать тау, как показано ниже:
>>>
>>> математ.тау 6,283185307179586
Подобно math.pi , math.tau возвращает пятнадцать цифр и является значением с плавающей запятой. Вы можете использовать тау для вычисления длины окружности с τ r , где r — радиус, следующим образом:
>>>
>>> г = 3 >>> окружность = math.tau * r >>> f "Окружность круга = {math.tau: .4} * {r} = {окружность: .4}" 'Окружность круга = 6,283 * 3 = 18,85'
Вы можете использовать math.tau вместо 2 * math.pi , чтобы привести в порядок уравнения, содержащие выражение 2π.
Число Эйлера
Число Эйлера
( e ) — это константа, являющаяся основанием натурального логарифма , математической функции, которая обычно используется для расчета скорости роста или убывания. Как и в случае с пи и тау, число Эйлера является иррациональным числом с бесконечным числом десятичных знаков. Значение e часто приближается к 2,718.
Число Эйлера
является важной константой, поскольку оно имеет множество практических применений, таких как расчет роста населения с течением времени или определение скорости радиоактивного распада.Вы можете получить доступ к числу Эйлера из математического модуля следующим образом:
>>>
>>> math.e 2,718281828459045
Как и для math.pi и math.tau , значение math.e дается с точностью до пятнадцати десятичных знаков и возвращается как значение с плавающей запятой.
бесконечность
Бесконечность не может быть определена числом. Скорее, это математическая концепция, представляющая что-то бесконечное или безграничное.Бесконечность может идти в любом направлении, в положительном или отрицательном.
Вы можете использовать бесконечность в алгоритмах , когда вы хотите сравнить заданное значение с абсолютным максимальным или минимальным значением. Значения положительной и отрицательной бесконечности в Python следующие:
>>>
>>> f "Положительная бесконечность = {math.inf}" 'Положительная бесконечность = бесконечность' >>> f "Отрицательная бесконечность = {-math.inf}" 'Отрицательная бесконечность = -inf'
Бесконечность не является числовым значением.Вместо этого он определяется как math.inf . Python представил эту константу в версии 3.5 как эквивалент float ("inf") :
>>>
>>> float ("inf") == math.inf Истинный
И float ("inf") , и math.inf представляют концепцию бесконечности, в результате чего math.inf больше любого числового значения:
>>>
>>> x = 1e308 >>> math.inf> x Истинный
В приведенном выше коде math.inf больше, чем значение x , 10 ³⁰⁸ (максимальный размер числа с плавающей запятой), которое является числом с двойной точностью.
Аналогично, -math.inf меньше любого значения:
>>>
>>> y = -1e308 >>> y> -math.inf Истинный
Отрицательная бесконечность меньше значения y , что составляет -10 ³⁰⁸. Никакое число не может быть больше или меньше отрицательной бесконечности.Вот почему математические операции с math.inf не изменяют значение бесконечности:
>>>
>>> math.inf + 1e308 инф >>> math.inf / 1e308 инф
Как видите, ни сложение, ни деление не изменяют значение math.inf .
Не число (NaN)
Не число или NaN, на самом деле не является математическим понятием. Он возник в области информатики как ссылка на значения, которые не являются числовыми.Значение NaN может быть связано с недопустимыми входными данными или может указывать на то, что переменная, в которой должно быть числовым, была повреждена текстовыми символами или символами.
Всегда рекомендуется проверять, является ли значение NaN. Если это так, то это может привести к недопустимым значениям в вашей программе. Python представил константу NaN в версии 3.5.
Вы можете увидеть значение math.nan ниже:
NaN не является числовым значением. Как видите, значение math.nan равно nan , то же самое, что и float ("nan") .
Арифметические функции
Теория чисел — это раздел чистой математики, изучающий натуральные числа. Теория чисел обычно имеет дело с положительными целыми числами или целыми числами.
Модуль Python math предоставляет функции, которые полезны в теории чисел, а также в теории представлений , связанной области. Эти функции позволяют рассчитать ряд важных значений, включая следующие:
Факториалы числа
наибольший общий делитель двух чисел
Сумма итераций
Найдите факториалы с помощью Python
factorial ()
Вы могли видеть математические выражения вроде 7! или 4! перед.Восклицательные знаки не означают, что числа взволнованы. Скорее, «!» — это факториал , символ . Факториалы используются при поиске перестановок или комбинаций. Вы можете определить факториал числа, умножив все целые числа от выбранного числа до 1.
В следующей таблице показаны значения факториала для 4, 6 и 7:
Обозначение Словами Выражение Результат
4! Четыре факториала 4 х 3 х 2 х 1 24
6! Шесть факториалов 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 720
7! Семь факториал 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 5040
Из таблицы видно, что 4 !, или четыре факториала, дает значение 24 путем умножения диапазона целых чисел от 4 до 1.Аналогично 6! и 7! дают значения 720 и 5040 соответственно.
Вы можете реализовать факториальную функцию в Python, используя один из нескольких инструментов:
на петлю
Рекурсивные функции
math.factorial ()
Сначала вы рассмотрим факториальную реализацию с использованием цикла для . Это относительно простой подход:
def fact_loop (число): если число <0: возврат 0 если num == 0: возврат 1 факториал = 1 для i в диапазоне (1, num + 1): факториал = факториал * я возврат факториала
Вы также можете использовать рекурсивную функцию, чтобы найти факториал.Это более сложно, но и более элегантно, чем использование цикла для . Вы можете реализовать рекурсивную функцию следующим образом:
def fact_recursion (число): если число <0: возврат 0 если num == 0: возврат 1 return num * fact_recursion (число - 1)
Примечание: В Python существует ограничение на глубину рекурсии, но эта тема выходит за рамки данной статьи.
В следующем примере показано, как можно использовать для цикла и рекурсивных функций:
>>>
>>> fact_loop (7) 5040 >>> fact_recursion (7) 5040
Несмотря на то, что их реализации различны, их возвращаемые значения одинаковы.
Однако реализация собственных функций только для получения факториала числа требует времени и неэффективна. Лучше использовать math.factorial () . Вот как можно найти факториал числа с помощью math.factorial () :
>>>
>>> math.factorial (7) 5040
Этот подход возвращает желаемый результат с минимальным объемом кода.
factorial () принимает только положительные целые числа.Если вы попытаетесь ввести отрицательное значение, вы получите ValueError :
>>>
>>> math.factorial (-5) Отслеживание (последний вызов последний): Файл "", строка 1, в ValueError: factorial () не определен для отрицательных значений
Ввод отрицательного значения приведет к ошибке ValueError при чтении factorial (), не определенного для отрицательных значений .
factorial () также не принимает десятичные числа.Это даст вам ValueError :
>>>
>>> math.factorial (4.3) Отслеживание (последний вызов последний): Файл "", строка 1, в ValueError: factorial () принимает только целые значения
Ввод десятичного значения приводит к ошибке ValueError при чтении factorial () принимает только целые значения .
Вы можете сравнить время выполнения для каждого из методов факториала, используя timeit () :
>>>
>>> импорт timeit >>> timeit.timeit ("fact_loop (10)", globals = globals ()) 1,0639999996 >>> timeit.timeit ("fact_recursion (10)", globals = globals ()) 1,815312818999928 >>> timeit.timeit ("math.factorial (10)", setup = "import math") 0,10671788000001925
Пример выше иллюстрирует результаты timeit () для каждого из трех факторных методов.
timeit () выполняет один миллион циклов при каждом запуске. В следующей таблице сравнивается время выполнения трех факториальных методов:
Тип Время выполнения
С петлями 1.0640 с
С рекурсией 1,8153 с
С факториалом () 0,1067 с
Как видно из времени выполнения, factorial () работает быстрее, чем другие методы. Это из-за его базовой реализации C. Метод, основанный на рекурсии, самый медленный из трех. Хотя вы можете получить разные тайминги в зависимости от вашего CPU , порядок функций должен быть одинаковым.
factorial () не только быстрее, чем другие методы, но и более стабилен. Когда вы реализуете свою собственную функцию, вы должны явно кодировать случаев бедствий , например, обработку отрицательных или десятичных чисел. Одна ошибка в реализации может привести к ошибкам. Но при использовании factorial () вам не нужно беспокоиться о случаях катастрофы, потому что функция обрабатывает их все. Поэтому рекомендуется по возможности использовать factorial () .
Найдите максимальное значение с помощью
ceil ()
math.ceil () вернет наименьшее целое значение, которое больше или равно заданному числу. Если число является положительным или отрицательным десятичным числом, функция вернет следующее целочисленное значение, превышающее данное значение.
Например, вход 5,43 вернет значение 6, а вход -12,43 вернет значение -12. math.ceil () может принимать положительные или отрицательные действительные числа в качестве входных значений и всегда будет возвращать целочисленное значение.
Когда вы вводите целочисленное значение в ceil () , оно вернет то же число:
>>>
>>> math.ceil (6) 6 >>> math.ceil (-11) -11
math.ceil () всегда возвращает одно и то же значение, если на входе задано целое число. Чтобы увидеть истинную природу ceil () , вы должны ввести десятичные значения:
>>>
>>> math.ceil (4.23) 5 >>> math.ceil (-11,453) -11
Если значение положительное (4.23), функция возвращает следующее целое число, большее значения (5). Если значение отрицательное (-11,453), функция также возвращает следующее целое число, большее значения (-11).
Функция вернет TypeError , если вы введете значение, которое не является числом:
>>>
>>> math.ceil ("x") Отслеживание (последний вызов последний): Файл "", строка 1, в TypeError: должно быть действительное число, а не str
Вы должны ввести число в функцию.Если вы попытаетесь ввести любое другое значение, вы получите TypeError .
Найдите минимальную стоимость с полом
()
floor () вернет ближайшее целочисленное значение, которое меньше или равно заданному числу. Эта функция ведет себя противоположно ceil () . Например, ввод 8,72 вернет 8, а ввод -12,34 вернет -13. floor () может принимать как положительные, так и отрицательные числа в качестве входных данных и возвращает целочисленное значение.
Если ввести целочисленное значение, функция вернет то же значение:
>>>
>>> math.floor (4) 4 >>> math.floor (-17) -17
Как и в случае с ceil () , когда вход для floor () является целым числом, результат будет таким же, как входное число. Вывод отличается от ввода только при вводе десятичных значений:
>>>
>>> math.floor (5.532) 5 >>> math.floor (-6.432) -7
Когда вы вводите положительное десятичное значение (5.532), оно возвращает ближайшее целое число, которое меньше введенного числа (5). Если вы введете отрицательное число (-6,432), оно вернет следующее наименьшее целочисленное значение (-7).
Если вы попытаетесь ввести значение, не являющееся числом, функция вернет TypeError :
>>>
>>> math.floor ("x") Отслеживание (последний вызов последний): Файл "", строка 1, в TypeError: должно быть действительное число, а не str
В качестве входных данных для ceil () нельзя вводить нечисловые значения.Это приведет к ошибке TypeError .
Усечение чисел с усечением
()
Когда вы получаете число с десятичной точкой, вы можете оставить только целую часть и исключить десятичную часть. В модуле math есть функция trunc () , которая позволяет вам делать именно это.
Удаление десятичного значения - это тип округления. При использовании trunc () отрицательные числа всегда округляются в большую сторону до нуля, а положительные числа всегда округляются в меньшую сторону до нуля.
Вот как функция trunc () округляет положительные или отрицательные числа:
>>>
>>> math.trunc (12.32) 12 >>> math.trunc (-43,24) -43
Как видите, 12,32 округляется вниз до 0, что дает результат 12. Таким же образом -43,24 округляется вверх до 0, что дает значение -43. trunc () всегда округляется до нуля независимо от того, положительное или отрицательное число.
При работе с положительными числами trunc () ведет себя так же, как floor () :
>>>
>>> математ.trunc (12.32) == math.floor (12.32) Истинный
trunc () ведет себя так же, как floor () для положительных чисел. Как видите, возвращаемое значение обеих функций одинаково.
При работе с отрицательными числами trunc () ведет себя так же, как ceil () :
>>>
>>> math.trunc (-43.24) == math.ceil (-43.24) Истинный
Если число отрицательное, floor () ведет себя так же, как ceil () .Возвращаемые значения обеих функций одинаковы.
Найдите близость чисел с помощью Python
isclose ()
В определенных ситуациях - особенно в области науки о данных - вам может потребоваться определить, близки ли два числа друг к другу. Но для этого сначала нужно ответить на важный вопрос: как близко равно близко ? Другими словами, каково определение слова «закрыть»?
Что ж, Мерриам-Вебстер скажет вам, что близость означает «близость во времени, пространстве, эффекте или градусе».«Не очень-то полезно, правда?
Например, возьмите следующий набор чисел: 2.32, 2.33 и 2.331. Когда вы измеряете близость по двум десятичным знакам, 2,32 и 2,33 близки. Но на самом деле 2.33 и 2.331 ближе. Таким образом, близость - понятие относительное. Невозможно определить близость без какого-либо порога.
К счастью, модуль math предоставляет функцию с именем isclose () , которая позволяет вам установить собственный порог или допуск для близости.Он возвращает True , если два числа находятся в пределах установленного вами допуска близости, и в противном случае возвращает False .
Давайте посмотрим, как сравнить два числа, используя допуски по умолчанию:
Относительный допуск или rel_tol - это максимальная разница, которая считается «близкой» по отношению к величине входных значений. Это процент толерантности. Значение по умолчанию - 1e-09 или 0,000000001.
Абсолютный допуск или abs_tol - это максимальная разница, которая считается «близкой», независимо от величины входных значений.Значение по умолчанию - 0,0.
isclose () вернет True , если выполняется следующее условие:
абс (a-b) <= max (rel_tol * max (abs (a), abs (b)), abs_tol).
isclose использует приведенное выше выражение для определения близости двух чисел. Вы можете подставить свои собственные значения и посмотреть, близки ли какие-либо два числа.
В следующем случае 6 и 7 не близки к :
>>>
>>> математ.isclose (6, 7) Ложь
Числа 6 и 7 не считаются близкими, поскольку относительный допуск установлен для девяти десятичных знаков. Но если вы введете 6,999999999 и 7 с одинаковым допуском, тогда они будут и будут считаться близкими:
>>>
>>> math.isclose (6.999999999, 7) Истинный
Вы можете видеть, что значение 6.999999999 находится в пределах девяти десятичных знаков 7. Следовательно, исходя из относительного допуска по умолчанию, 6.999999999 и 7 считаются близкими.
Вы можете отрегулировать относительный допуск, как хотите, в зависимости от ваших потребностей. Если установить для rel_tol значение 0,2, то 6 и 7 считаются близкими:
>>>
>>> math.isclose (6, 7, rel_tol = 0.2) Истинный
Вы можете заметить, что 6 и 7 сейчас близки. Это потому, что они находятся в пределах 20% друг от друга.
Как и в случае с rel_tol , вы можете настроить значение abs_tol в соответствии с вашими потребностями. Чтобы считаться близкими, разница между входными значениями должна быть меньше или равна значению абсолютного допуска.Вы можете установить abs_tol следующим образом:
>>>
>>> math.isclose (6, 7, abs_tol = 1.0) Истинный >>> math.isclose (6, 7, abs_tol = 0,2) Ложь
Когда вы устанавливаете абсолютный допуск на 1, числа 6 и 7 близки, потому что разница между ними равна абсолютному допуску. Однако во втором случае разница между 6 и 7 не меньше или равна установленному абсолютному допуску 0,2.
Вы можете использовать abs_tol для очень малых значений:
>>>
>>> математ.isclose (1, 1.0000001, abs_tol = 1e-08) Ложь >>> math.isclose (1, 1.00000001, abs_tol = 1e-08) Истинный
Как видите, вы можете определить близость очень маленьких чисел с isclose . Несколько особых случаев, касающихся близости, можно проиллюстрировать с использованием значений нан и inf :
>>>
>>> math.isclose (math.nan, 1e308) Ложь >>> math.isclose (math.nan, math.nan) Ложь >>> math.isclose (math.inf, 1e308) Ложь >>> math.isclose (math.inf, math.inf) Истинный
Из приведенных выше примеров видно, что нан не близко ни к какому значению, даже самому себе. С другой стороны, inf не близок ни к каким числовым значениям, даже к очень большим, а близко к себе .
Функции питания
Функция мощности принимает любое число x в качестве входных данных, увеличивает x до некоторой степени n и возвращает x ⁿ в качестве выходных данных.Модуль Python math предоставляет несколько функций, связанных с питанием. В этом разделе вы узнаете о степенных функциях, экспоненциальных функциях и функциях извлечения квадратного корня.
Вычислить степень числа с помощью
pow ()
Степенные функции имеют следующую формулу, где переменная x - это основание , переменная n - степень , а a может быть любой константой :
Степенная функция
В приведенной выше формуле значение основания x возведено в степень n .
Вы можете использовать math.pow () , чтобы получить степень числа. Имеется встроенная функция pow () , которая отличается от math.pow () . Вы узнаете разницу позже в этом разделе.
math.pow () принимает два следующих параметра:
>>>
>>> math.pow (2, 5) 32,0 >>> math.pow (5, 2.4) 47,546789696
Первый аргумент - это базовое значение, а второй аргумент - это значение мощности.В качестве входных данных можно указать целое или десятичное значение, и функция всегда возвращает значение с плавающей запятой. Есть несколько особых случаев, определенных в math.pow () .
Когда основание 1 возводится в степень любого числа n, это дает результат 1.0:
>>>
>>> math.pow (1.0, 3) 1.0
Когда вы увеличиваете базовое значение 1 до любого значения мощности, вы всегда получите в результате 1,0. Точно так же любое базовое число, возведенное в степень 0, дает результат 1.0:
>>>
>>> math.pow (4, 0.0) 1.0 >>> math.pow (-4, 0,0) 1.0
Как видите, любое число в степени 0 даст в результате 1.0. Вы можете увидеть этот результат, даже если база равна нан :
>>>
>>> math.pow (math.nan, 0,0) 1.0
Возведение нуля в степень любого положительного числа даст в результате 0,0:
>>>
>>> math.pow (0.0, 2) 0,0 >>> math.pow (0,0, 2,3) 0,0
Но если вы попытаетесь возвести 0,0 в отрицательную степень, результатом будет ValueError :
>>>
>>> math.pow (0,0, -2) Отслеживание (последний вызов последний): Файл "", строка 1, в ValueError: ошибка математического домена
Ошибка ValueError возникает только тогда, когда основание равно 0. Если основание - любое другое число, кроме 0, тогда функция вернет допустимое значение мощности.
Помимо math.pow () , в Python есть два встроенных способа определения степени числа:
х ** у
pow ()
Первый вариант прост. Возможно, вы уже использовали его раз или два. Тип возвращаемого значения определяется входными данными:
>>>
>>> 3 ** 2 9 >>> 2 ** 3,3 9,8406759329
Когда вы используете целые числа, вы получаете целочисленное значение.Когда вы используете десятичные значения, тип возвращаемого значения изменяется на десятичное значение.
Второй вариант - универсальная встроенная функция. Вам не нужно использовать импорт, чтобы использовать его. Встроенный метод pow () имеет три параметра:
База номер
мощность номер
Модуль упругости номер
Первые два параметра являются обязательными, а третий - необязательным. Вы можете ввести целые или десятичные числа, и функция вернет соответствующий результат на основе ввода:
>>>
>>> pow (3, 2) 9 >>> pow (2, 3.3) 9,8406759329
Встроенная функция pow () имеет два обязательных аргумента, которые работают так же, как base и power в синтаксисе x ** y . pow () также имеет третий параметр, который является необязательным: модуль . Этот параметр часто используется в криптографии. Встроенный pow () с дополнительным параметром модуля эквивалентен уравнению (x ** y)% z . Синтаксис Python выглядит так:
>>>
>>> pow (32, 6, 5) 4 >>> (32 ** 6)% 5 == pow (32, 6, 5) Истинный
pow () возводит основание (32) в степень (6), а затем результат делится по модулю на число модуля (5).В этом случае результат равен 4. Вы можете подставить свои собственные значения и увидеть, что и pow () , и данное уравнение дают одинаковые результаты.
Несмотря на то, что все три метода расчета мощности делают одно и то же, между ними есть некоторые различия в реализации. Время выполнения для каждого метода следующее:
>>>
>>> timeit.timeit ("10 ** 308") 1,00787289991 >>> timeit.timeit ("pow (10, 308)") 1.047615700008464 >>> timeit.timeit ("math.pow (10, 308)", setup = "import math") 0,1837239999877056
В следующей таблице сравнивается время выполнения трех методов, измеренное с помощью timeit () :
Тип Время выполнения
x ** y 1.0079 с
pow (x, y) 1.0476 с
math.pow (x, y) 0.1837 с
Из таблицы видно, что math.pow () работает быстрее, чем другие методы, а встроенный pow () - самый медленный.
Причина эффективности math.pow () - способ его реализации. Он полагается на базовый язык C. С другой стороны, pow () и x ** y используют собственную реализацию оператора ** объекта ввода. Однако math.pow () не может обрабатывать комплексные числа (что будет объяснено в следующем разделе), тогда как pow () и ** могут.
Найдите натуральную экспоненту с помощью
exp ()
Вы узнали о силовых функциях в предыдущем разделе. С экспоненциальными функциями дело обстоит немного иначе. Вместо основания, являющегося переменной, переменной становится мощность. Выглядит это примерно так:
Общая экспоненциальная функция
Здесь a может быть любой константой, а x , которое является значением мощности, становится переменной.
Так что же такого особенного в экспоненциальных функциях? Значение функции быстро растет по мере увеличения значения x .Если основание больше 1, то значение функции непрерывно увеличивается по мере увеличения x . Особым свойством экспоненциальных функций является то, что наклон функции также непрерывно увеличивается по мере увеличения x .
Вы узнали о числе Эйлера в предыдущем разделе. Это основание натурального логарифма. Он также играет роль с экспоненциальной функцией. Когда число Эйлера включается в экспоненциальную функцию, оно становится естественной экспоненциальной функцией :
Естественная экспоненциальная функция
Эта функция используется во многих реальных ситуациях.Возможно, вы слышали о термине экспоненциальный рост , который часто используется в отношении роста человеческой популяции или скорости радиоактивного распада. Оба они могут быть вычислены с использованием естественной экспоненциальной функции.
Модуль Python math предоставляет функцию exp () , которая позволяет вычислять натуральную экспоненту числа. Вы можете найти значение следующим образом:
>>>
>>> math.exp (21) 1318815734,4832146 >>> математика.ехр (-1,2) 0,3011214
Входное число может быть положительным или отрицательным, и функция всегда возвращает значение с плавающей запятой. Если число не является числовым значением, метод вернет TypeError :
. >>>
>>> math.exp ("x") Отслеживание (последний вызов последний): Файл "", строка 1, в TypeError: должно быть действительное число, а не str
Как видите, если ввод является строковым значением, тогда функция возвращает TypeError , чтение должно быть действительным числом, а не строкой .
Вы также можете вычислить показатель степени, используя выражение math.e ** x или используя pow (math.e, x) . Время выполнения этих трех методов следующее:
>>>
>>> timeit.timeit ("math.e ** 308", setup = "import math") 0,17853009998701513 >>> timeit.timeit ("pow (math.e, 308)", setup = "import math") 0,210401899961 >>> timeit.timeit ("math.exp (308)", setup = "import math") 0,125878200007719
В следующей таблице сравнивается время выполнения вышеуказанных методов, измеренное с помощью timeit () :
Тип Время выполнения
e ** x 0.1785 с
мощность (e, x) 0,2104 с
math.exp (x) 0,1259 с
Вы можете видеть, что math.exp () быстрее, чем другие методы, а pow (e, x) - самый медленный. Это ожидаемое поведение из-за базовой реализации C модуля math .
Также стоит отметить, что e ** x и pow (e, x) возвращают одинаковые значения, но exp () возвращает немного другое значение.Это связано с различиями в реализации. В документации Python отмечается, что exp () более точен, чем два других метода.
Практический пример с
exp ()
Радиоактивный распад происходит, когда нестабильный атом теряет энергию из-за испускания ионизирующего излучения. Скорость радиоактивного распада измеряется с помощью периода полураспада, который представляет собой время, необходимое для распада половины количества родительского ядра. Вы можете рассчитать процесс распада по следующей формуле:
Уравнение радиоактивного распада
Вы можете использовать приведенную выше формулу для расчета оставшегося количества радиоактивного элемента через определенное количество лет.Переменные данной формулы следующие:
N (0) - начальное количество вещества.
N (т) - это количество, которое еще остается и еще не разложилось по прошествии определенного времени ( т ).
T - период полураспада распадающегося количества.
e - число Эйлера.
Научные исследования определили период полураспада всех радиоактивных элементов.Вы можете подставить значения в уравнение, чтобы рассчитать оставшееся количество любого радиоактивного вещества. Давай попробуем сейчас.
Радиоизотоп стронций-90 имеет период полураспада 38,1 года. В пробе содержится 100 мг Sr-90. Вы можете рассчитать оставшиеся миллиграммы Sr-90 через 100 лет:
>>>
>>> half_life = 38,1 >>> начальный = 100 >>> время = 100 >>> оставшийся = начальный * math.exp (-0,693 * время / период полураспада) >>> f "Оставшееся количество Sr-90: {осталось}" «Оставшееся количество Sr-90: 16.22044604811303 '
Как видите, период полураспада установлен на 38,1, а продолжительность установлена на 100 лет. Вы можете использовать math.exp , чтобы упростить уравнение. Подставляя значения в уравнение, вы можете обнаружить, что через 100 лет остается 16,22 мг Sr-90.
Логарифмические функции
Логарифмические функции можно рассматривать как инверсию экспоненциальных функций. Они обозначаются в следующей форме:
Общая логарифмическая функция
Здесь a - основание логарифма, которое может быть любым числом.Вы узнали об экспоненциальных функциях в предыдущем разделе. Экспоненциальные функции могут быть выражены в виде логарифмических функций и наоборот.
Python Natural Log с
журналом ()
Натуральный логарифм числа - это его логарифм по основанию математической константы e , или числа Эйлера:
Натуральная логарифмическая функция
Как и экспоненциальная функция, натуральный логарифм использует константу e . Обычно это обозначается как f (x) = ln (x), где e неявно.
Вы можете использовать натуральный логарифм так же, как экспоненциальную функцию. Он используется для расчета таких величин, как скорость роста населения или скорость радиоактивного распада элементов.
log () имеет два аргумента. Первый является обязательным, а второй - необязательным. С помощью одного аргумента вы можете получить натуральный логарифм (с основанием e ) входного числа:
>>>
>>> math.log (4) 1,38621198906 >>> математика.журнал (3.4) 1,2237754316221157
Однако функция возвращает ValueError , если вы вводите неположительное число:
>>>
>>> math.log (-3) Отслеживание (последний вызов последний): Файл "", строка 1, в ValueError: ошибка математического домена
Как видите, в log () нельзя ввести отрицательное значение. Это связано с тем, что значения журнала не определены для отрицательных чисел и нуля.
С двумя аргументами вы можете вычислить логарифм от первого аргумента до основания второго аргумента:
>>>
>>> математ.журнал (math.pi, 2) 1.6514961219 >>> math.log (math.pi, 5) 0,711260668712669
Вы можете увидеть, как значение изменяется при изменении базы журнала.
Понять
log2 () и log10 ()
Модуль Python math также предоставляет две отдельные функции, которые позволяют вычислять значения журнала с основанием 2 и 10:
log2 () используется для вычисления значения журнала по основанию 2.
log10 () используется для вычисления логарифмического значения по основанию 10.
С помощью log2 () вы можете получить значение журнала с основанием 2:
>>>
>>> math.log2 (math.pi) 1.65149612187 >>> math.log (math.pi, 2) 1.6514961219
Обе функции преследуют одну и ту же цель, но в документации Python отмечается, что log2 () более точен, чем использование log (x, 2) .
Вы можете вычислить логарифмическое значение числа по основанию 10 с помощью log10 () :
>>>
>>> математ.log10 (math.pi) 0,487268 >>> math.log (math.pi, 10) 0,487268
В документации Python также упоминается, что log10 () более точен, чем log (x, 10) , хотя обе функции имеют одну и ту же цель.
Практический пример с натуральным бревном
В предыдущем разделе вы видели, как использовать math.exp () для вычисления оставшегося количества радиоактивного элемента через определенный период времени. С математикой.log () , вы можете определить период полураспада неизвестного радиоактивного элемента, измерив массу через определенный интервал. Следующее уравнение можно использовать для расчета периода полураспада радиоактивного элемента:
Уравнение радиоактивного распада Изменяя формулу радиоактивного распада, вы можете сделать период полураспада ( T ) предметом формулы. Переменные данной формулы следующие: T - период полураспада распадающегося количества. N (0) - исходное количество вещества. N (т) - это количество, которое остается и еще не разложилось по прошествии определенного периода времени ( т ). ln - натуральное бревно. Вы можете подставить известные значения в уравнение для расчета периода полураспада радиоактивного вещества. Например, представьте, что вы изучаете образец неопознанного радиоактивного элемента.Когда это было обнаружено 100 лет назад, размер образца составлял 100 мг. После 100 лет распада осталось всего 16,22 мг. Используя формулу выше, вы можете рассчитать период полураспада этого неизвестного элемента: >>> >>> начальное = 100 >>> Осталось = 16,22 >>> время = 100 >>> half_life = (-0,693 * время) / math.log (оставшееся / начальное) >>> f "Период полураспада неизвестного элемента: {half_life}" 'Период полураспада неизвестного элемента: 38.098335152' Как видите, неизвестный элемент имеет период полураспада примерно 38.1 год. Основываясь на этой информации, вы можете идентифицировать неизвестный элемент как стронций-90. Прочие важные math Функции модуля Модуль Python math имеет множество полезных функций для математических вычислений, и в этой статье подробно рассмотрены только некоторые из них. В этом разделе вы кратко узнаете о некоторых других важных функциях, доступных в модуле math . Вычислить наибольший общий делитель Наибольший общий делитель (НОД) двух положительных чисел - это наибольшее положительное целое число, которое делит оба числа без остатка. Например, НОД 15 и 25 равно 5. Вы можете разделить 15 и 25 на 5 без остатка. Нет большего числа, делающего то же самое. Если взять 15 и 30, то НОД будет 15, потому что и 15, и 30 можно разделить на 15 без остатка. Для расчета GCD не нужно реализовывать собственные функции. Модуль Python math предоставляет функцию с именем math.gcd () , которая позволяет вычислить НОД двух чисел.В качестве входных данных можно указать положительные или отрицательные числа, и он вернет соответствующее значение GCD. Однако вы не можете ввести десятичное число. Вычислить сумму итераций Если вы когда-нибудь захотите найти сумму значений итерируемого объекта без использования цикла, то, вероятно, самый простой способ сделать это - math.fsum () . В качестве входных данных можно использовать итерируемые объекты, такие как массивы, кортежи или списки, и функция возвращает сумму значений. Встроенная функция sum () также позволяет вычислять сумму итераций, но fsum () более точна, чем sum () .Подробнее об этом можно прочитать в документации. Вычислить квадратный корень Квадратный корень числа - это значение, которое при умножении на себя дает число. Вы можете использовать math.sqrt () , чтобы найти квадратный корень из любого положительного действительного числа (целого или десятичного). Возвращаемое значение всегда является значением с плавающей запятой. Функция выдаст ValueError , если вы попытаетесь ввести отрицательное число. Преобразование значений углов В реальных сценариях, а также в математике, вы часто сталкиваетесь со случаями, когда вам нужно измерять углы для выполнения вычислений.Углы можно измерять в градусах или радианах. Иногда приходится переводить градусы в радианы и наоборот. Модуль math предоставляет функции, которые позволяют это делать. Если вы хотите преобразовать градусы в радианы, вы можете использовать math.radians () . Он возвращает значение введенного градуса в радианах. Аналогичным образом, если вы хотите преобразовать радианы в градусы, вы можете использовать math.degrees () . Расчет тригонометрических значений Тригонометрия - это изучение треугольников.Он касается отношения между углами и сторонами треугольника. Тригонометрия в основном интересует прямоугольные треугольники (в которых один внутренний угол равен 90 градусам), но ее также можно применить к другим типам треугольников. Модуль Python math предоставляет очень полезные функции, позволяющие выполнять тригонометрические вычисления. Вы можете рассчитать значение синуса угла с помощью math.sin () , значение косинуса с помощью math.cos () и значение тангенса с помощью math.загар () . Модуль math также предоставляет функции для вычисления арксинуса с math.asin () , арккосинуса с math.acos () и арктангенса с math.atan () . Наконец, вы можете вычислить гипотенузу треугольника, используя math.hypot () . Новые дополнения к модулю math в Python 3.8 С выпуском Python версии 3.8 в модуль math было внесено несколько новых дополнений и изменений.Новые дополнения и изменения заключаются в следующем: comb (n, k) возвращает количество способов выбора k элементов из n элементов без повторения и без определенного порядка . perm (n, k) возвращает количество способов выбора k элементов из n элементов без повторения и с заказом . isqrt () возвращает целочисленный квадратный корень неотрицательного целого числа. prod () вычисляет произведение всех элементов во входной итерации. Как и в случае с fsum () , этот метод может принимать итерации, такие как массивы, списки или кортежи. dist () возвращает евклидово расстояние между двумя точками p и q , каждая из которых задана как последовательность (или итерация) координат. Две точки должны иметь одинаковый размер. hypot () теперь обрабатывает более двух измерений.Ранее он поддерживал максимум два измерения. cmath vs math Комплексное число - это комбинация действительного и мнимого числа. Он имеет формулу a + bi , где a - действительное число, а bi - мнимое число. Действительные и мнимые числа можно объяснить следующим образом: Действительное число - это буквально любое число, которое вы можете придумать. Мнимое число - это число, возведение которого в квадрат дает отрицательный результат. Действительным числом может быть любое число. Например, 12, 4,3, -19,0 - все действительные числа. Мнимые числа отображаются как i . На следующем изображении показан пример комплексного числа:. Комплексное число В приведенном выше примере 7 - действительное число, а 3i - мнимое число. Комплексные числа в основном используются в геометрии, исчислении, научных расчетах и особенно в электронике. Функции модуля Python math не приспособлены для обработки комплексных чисел. Однако Python предоставляет другой модуль, который может специально работать с комплексными числами, модуль cmath . Модуль Python math дополняется модулем cmath , который реализует многие из тех же функций, но для комплексных чисел. Вы можете импортировать модуль cmath следующим образом: Поскольку модуль cmath также входит в пакет Python, вы можете импортировать его так же, как импортировали модуль math .Прежде чем работать с модулем cmath , вы должны знать, как определить комплексное число. Вы можете определить комплексное число следующим образом: >>> >>> c = 2 + 3j >>> c (2 + 3j) >>> тип (c) <класс 'сложный'> Как видите, вы можете определить, что число действительно сложное, используя type () . Примечание: В математике мнимая единица обычно обозначается i . В некоторых областях более привычно использовать j для того же самого.В Python вы используете j для обозначения мнимых чисел. Python также предоставляет специальную встроенную функцию под названием complex () , которая позволяет создавать комплексные числа. Вы можете использовать комплекс () следующим образом: >>> >>> c = комплекс (2, 3) >>> c (2 + 3j) >>> тип (c) <класс 'сложный'> Вы можете использовать любой метод для создания комплексных чисел. Вы также можете использовать модуль cmath для вычисления математических функций для комплексных чисел следующим образом: >>>
>>> cmath.sqrt (c) (1.85810721406 + 0.67272757814j) >>> cmath.log (c) (1,36228267103 + 0,627611j) >>> cmath.exp (c) (-16.0670844 + 12.02063434789931j)
В этом примере показано, как вычислить квадратный корень, логарифмическое значение и экспоненциальное значение комплексного числа. Вы можете прочитать документацию, если хотите узнать больше о модуле cmath .
NumPy против
математики
Для математических вычислений можно использовать несколько известных библиотек Python.Одна из самых известных библиотек - Numerical Python или NumPy. Он в основном используется в научных вычислениях и в областях науки о данных. В отличие от модуля math , который является частью стандартной версии Python, вам необходимо установить NumPy для работы с ним.
Сердце NumPy - это высокопроизводительная структура данных N -мерного (многомерного) массива. Этот массив позволяет выполнять математические операции со всем массивом без циклического перебора элементов.Все функции библиотеки оптимизированы для работы с объектами N-мерного массива.
Для математических вычислений можно использовать как модуль math , так и библиотеку NumPy. NumPy имеет несколько общих черт с модулем math . NumPy имеет подмножество функций, аналогичных математическим функциям модуля , которые имеют дело с математическими вычислениями. И NumPy, и math предоставляют функции, которые имеют дело с тригонометрическими, экспоненциальными, логарифмическими, гиперболическими и арифметическими вычислениями.
Есть также несколько фундаментальных различий между math и NumPy. Модуль Python math больше ориентирован на работу со скалярными значениями, тогда как NumPy лучше подходит для работы с массивами, векторами и даже матрицами.
При работе со скалярными значениями функции модуля math могут быть быстрее, чем их аналоги в NumPy. Это связано с тем, что функции NumPy преобразуют значения в массивы под капотом, чтобы выполнять над ними вычисления.NumPy работает намного быстрее при работе с размерными массивами N из-за оптимизации для них. За исключением fsum () и prod () , функции модуля math не могут обрабатывать массивы.
Заключение
Из этой статьи вы узнали о модуле Python math . Модуль предоставляет полезные функции для выполнения математических вычислений, которые имеют множество практических приложений.
Из этой статьи вы узнали:
Что такое математический модуль Python
Как использовать math функции с практическими примерами
Какие константы математического модуля , включая пи, тау и число Эйлера, равны
В чем разница между встроенными функциями и математическими функциями
В чем разница между math , cmath и NumPy:
Понимание того, как использовать математические функции - это первый шаг.
No related posts.