Найти разность комплексных чисел: Сложение и вычитание комплексных чисел

Как найти разность комплексных чисел?

Как найти разность комплексных чисел?

Вычитание комплексных чисел поддается обычными правилам вычитания действительных чисел. Разностью двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di является комплексное число z1-z2 = a-c+i(b-d). Таким образом, реальные и мнимые части комплексных чисел вычитаются при вычитании комплексных чисел.

Как делятся комплексные числа?

На практике деление комплексных чисел проводят по следующей схеме: сначала делимое и делитель умножают на число, комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом; в числителе умножают два комплексных числа; полученную дробь почленно делят.

Чему равен аргумент комплексного числа?

Угол , образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором O M → , который соответствует заданному комплексному числу z = a + b i , называется аргументом данного числа и обозначается ⁡ .

Что такое Z в комплексных числах?

Комплексные числа — это числа вида: z=a+ib, где a и b действительные числа, а i — мнимая единица, т. е. i2=−1. Число a называется действительной частью комплексного числа z и обозначается: Rez или Re(z).

Чему равно I в математике?

Мнимая единица — в основном комплексное число , квадрат которого равняется отрицательной единице: . называется мнимой единицей. Мнимая единица не относится к привычному нам множеству действительных чисел, а используется для расширения этого множества.

Что такое re и im?

Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Что такое действительная часть?

Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z=a+bi и обозначается a=Rez (От французского слова reel — действительный). Действительное число b называется мнимой частью числа z=a+bi и обозначается b=Imz (От французского слова imaginaire — мнимый). Например.

Что такое мнимая часть?

мнимая часть — комплексного числа z=х+iy, множитель у при мнимой единице i; обозначается Imz. * * * МНИМАЯ ЧАСТЬ МНИМАЯ ЧАСТЬ комплексного числа z = x + iy, множитель y при мнимой единице i; обозначается Imz …

Как появились комплексные числа?

Комплексные числа появились в XVI веке, когда математики попытались решить квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами (такие уравнения не имеют вещественных корней). … В XIX веке появилось отображение комплексных чисел на координатной плоскости, методы комплексного анализа.

Для чего были введены комплексные числа?

Исторически комплексные числа впервые были введены в связи с выведением формулы вычисления корней кубического уравнения x3=px+q Итальянский математик Никколо Фонтана Тартальей (1499 — 1557) в первой половине 16 века получил выражение для корня такого уравнения через некоторые параметры, для нахождения которых . ..

Что такое действительная и мнимая часть комплексного числа?

Вся плоскость называется комплексной плоскостью. Вещественные числа, рассматриваемые как часть комплексных чисел, занимают ось абсцисс координатной плоскости (вещественная ось). Числа вида 0 + bi, которые записывают в виде bi, занимают ось ординат (мнимая ось). Множество всех комплексных чисел обозначают буквой C.

Учебные материалы по математике | Сложение и вычитание комплексных чисел

  1.1.2. Сложение и вычитание комплексных чисел

Сумма и разность комплексных чисел

z1=x1+iy1 и z2 = x2+iy2 определяются по формулам

z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2),

z1-z2 = (x1-x2) + i(y1-y2).

Отсюда следует, что действительная и мнимая части суммы и

разности комплексных чисел определяются так же, как координаты суммы и разности соответствующих векторов на плоскости. При этом следует придерживаться правила: начало всех векторов помещать в начало координат (рис.1.2). В частности, из треугольников с вершинами в точках 0, z1, z1+z2 и

0, z1, z1-z2 следует, что Рис.1.2

½z1±z2ê £ ÷z1÷ + ÷z

2ê, êz1±z2ç ³ êêz1ê — êz2êê. (1.3)

1.1.3. Умножение и деление комплексных чисел

Умножение двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и

z2=x2+iy2 производится по правилу умножения многочленов, при этом учитывается, что i2 = -1, i3 = —i, i4 = 1 и так далее

(x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2-y1y2) + i(x1y2+x2y1). (1.4)

Из формулы (1.4), в частности, следует, что произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел является действительным числом, равным квадрату модуля этих чисел

=`(x+iy)(x-iy) = x2+y2 = ½z½2. (1.5)

Сумма двух взаимно сопряженных чисел также является действительным числом

z+ = (x+iy

) + (x-iy) = 2x = 2Rez. (1.6)

Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению: частным от деления числа z1 на число z2 называется число z такое, что z∙z2 = z1. Это равенство невозможно, если z2=0, а z1¹0. Это означает, что деление на 0 невозможно.

Пусть z1=x1+iy1, z2=x2+iy2¹0, z=x+iy. Тогда, в силу определения частного,

(x+iy) (x2+iy2)=x1+iy1

или

(x2x-y2y)+i(y2x+x2y)=x1+iy1.

Приравнивая действительную и мнимую части в этом равенстве, получим систему уравнений для определения x и y

Отсюда находим, что

.

Таким образом,

(1.7)

Этот же результат можно получить по-другому.

Для этого нужно числитель и знаменатель дроби z1/z2 умножить на число, сопряженное к знаменателю, и произвести умножение чисел в числителе и в знаменателе.

Если комплексные числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме:

z1=r1(cosj1+isinj1), z2=r2(cosj2+isinj2),

то

z1z2=r1(cosj1+isinj1) r2(cosj+isinj)=

=r1r2 ((cosj1 cosj2-sinjsinj2)+i(sinjcosj2+cosj1sinj2)=

=(r1r2)(cos(j1+j2)+isin(j1+j2). (1.8)

Отсюда следует, что модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов сомножителей.

Пусть теперь z1/z2 = z = r(cosj + isinj). Так как z2z=z1,

то, в силу (1.8), r2r=r1, j2+j=j1.

Отсюда следует, что r=r1/r2, j=j1-j2:

z1/z2=(r1/r2)(cos(j1-j2)+isin(j1-j2)), (1. 9)

то есть

½z1/z2½=½z1½/½z2½, Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2.

1.1.4. Возведение комплексных чисел в целую

положительную степень. Формула Муавра.

Извлечение корня из комплексных чисел

Как и для действительных чисел, n-я степень комп-плексного числа z определяется как произведение n одинаковых множителей z

zn = z× z× z× … z.

n — множителей

Если число z задано в тригонометрической форме z=r(cosj+isinj), то, в силу (1.7 получаем

(r(cosj+isinj))n=rn(cosnj+isinnj): (1.10)

при возведении комплексного числа в n-ю степень его модуль возводится в n

-ю степень, а аргумент умножается на n.

В частности, если r=1, то

(cosj+isinj)n=cosnj+isinnj. (1.11)

Соотношение (1. 8) называется формулой Муавра. С помощью формулы Муавра легко решается следующая тригонометрическая задача. Выразить cosnj и sinnj через степени функций cosj и sin j. Например, при n=3 из формулы (1.11) следует, что

cos3j+3icos2j sinj-3cosj sin2j-isin3j=cos3j + isin3j.

Приравнивая в этом равенстве действительную и мнимую части, получаем

cos3j = cos3j-3cosjsin2j, sin3j = 3cos2j sinj — sin3j.

Заметим, что формулы (1.10) и (1.11) справедливы и для целых отрицательных n. В самом деле, пусть N=-k (k>0). Тогда

[r(cosj+isinj)]n=1/[r(cosj+isinj)]k=1/[

rk(coskj+isinkj)]=

=r-k[cos(-kj)+isin(-kj)]= rn(cosnj+isinnj).

Переходим к операции извлечения корня из комплексных чисел. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число w, для которого выполняется равенство wn=z. Пусть число z¹0 задано в тригонометрической форме: z=r(cosj+isinj), и пусть число w==r(cosq+isinq). Из определения, корня n-й степени из z следует, что

(r(cosq+isinq))n=r(cosj+isinj)

или

rn(cosnq+isinnq)=r(cosj+isinj).

Отсюда следует, что rn=r, nq=j+2kp, где k – любое целое число. Так как r положительное число, то из первого равенства следует, что r

=, где — арифметический корень n-й степени из числа r. Из второго равенства находим, что q=(j+2kp)/n.

Таким образом, формула для извлечения корня n-й степени из комплексного z¹0 имеет вид

= . (1/12)

Придавая k значения 0,1,2,…., n-1, получим n различных значений корня n-й степени из числа z. Изображения этих значений на комплексной плоскости являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса , с центром в начале координат. Аргумент одной из вершин равен

j/n. Все значения корня n-й степени из числа z=0 совпадают и равны 0.

Пример: Найти все значения .

В тригонометрической форме

-1=cosp+isinp, (½-1½=1, arg(-1)=p).

По формуле (1.12) находим, что

w==1(cos((p+2

kp)/4)+isin((p+2kp)/4)), k = 0,1,2,3;

 

w0=cosp/4+isinp/4 =(+i)/2,

операций над комплексными числами | Бесплатная помощь с домашним заданием

Операции над комплексными числами https://schooltutoring.com/help/wp-content/themes/movedo/images/empty/thumbnail.jpg 150 150 ШколаРепетиторская Академия ШколаРепетиторская Академия https://secure.gravatar.com/avatar/983a20e95a059722e4981790f518b20b?s=96&d=mm&r=g 19 июля, 2012 2 декабря 2014

Число, имеющее вид a+ib , где a и b — действительные числа, а i ^{2 9001 7 =-1} , называется сложным номер и обычно обозначается z .

т.е. z=a+ib .

Здесь ‘ а ’ называется действительной частью z , т.е. 0010’ называется мнимой частью z, т.е. Im ( z )= b .

Сумма комплексных чисел:

Если z 1 = a+ib и z2 = c+id , то сумма z1 и z2 обозначается как z1+z2 и определяется как

Z1+z2 = (а+с)+i(b+d).

Пример:

Найдите сумму z1 = 3+5i и z2 = 4-2i.

Решение:

По определению суммы комплексных чисел,

Z1+z2 = (3+4) + i(5-2) = 7 + 3i.

Разность комплексных чисел:

Если z1 = a+ib и z2 = c+id , то разность z1 и z2 обозначается z1-z2 и определяется как

Z1-z2 = (a-c)+i(b-d).

Пример:

Если z1 = 3+5i и z2 = 4-2i , найдите z1-z2.

Решение:

По определению разности комплексных чисел

z1-z2 = (3-4) + i(5+2) = -1 + 7i.

Произведение комплексных чисел:

Если z1 = a+ib и z2 = c+id , то произведение z1 и z2 обозначается z 1.z2 и определяется как

z1.z2 = (ac-bd) + i(bc + ad).

Пример:

Найдите произведение числа z1 = 3+5i и z2 = 4-2i.

Решение:

По определению произведения комплексных чисел,

z1.z2 = (12+10)+i(20-6) = 22 + 14i

комплексные числа:

Если z1 = a+ib и z2 = c+id , то частное z1 и z2 обозначается z1/z2 и определяется как

Пример:

Если z1 = 3+5i и z2 = 4-2i найти z1/z2.

Решение:

По определению деления комплексных чисел,

Oring Academy — ведущая компания, предоставляющая образовательные услуги для школьников и студентов колледжей. Мы предлагаем программы репетиторства для учащихся K-12, классов AP и колледжей. Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и учащимся в Онтарио, посетите: Репетиторство в Онтарио.

В чем разница между действительными и комплексными числами?

Система счисления — это способ записи чисел, представляющий собой математический способ представления чисел данного набора с использованием чисел или символов математическим способом. Система записи для обозначения чисел с использованием цифр или символов логическим образом определяется как система счисления . Система счисления,

• , которая представляет полезный набор чисел
• , также отражает арифметическую и алгебраическую структуру числа
• и обеспечивает стандартное представление.

Цифры от 0 до 9 могут использоваться для образования всех остальных чисел. Используя эти цифры, можно создать бесконечное множество чисел. Например, 156,3907, 3456, 1298, 784859 и т. д.

Действительные числа  

Все отрицательные и положительные целые, десятичные и дробные числа без мнимых чисел называются действительными числами. Действительные числа представлены символом «R» . Реальные числа можно объяснить как объединение как рациональных, так и иррациональных чисел. Они могут быть как отрицательными, так и положительными и обозначаются символом «R». В эту категорию попадают все десятичные числа, натуральные числа и дроби. В приведенных ниже примерах показана классификация действительных числительных.

Рациональные ⇢   – {5/3 , 0 .63 , -6/5 O.7116 ….}    

Иррациональные числа  ⇢  -{√3, √5, √11, √21, π(Pi)}                                            

Целые числа  ⇢   – {-3, -2,-1,0,1,2 , 3…. }

Целые числа  ⇢   -{ 0,1,2,3,4..}

Натуральные числа  ⇢   –  { 1,2,3,4….}

Существуют различные наборы действительных чисел, такие как натуральные и целые числа, целые числа, рациональные и иррациональные числа. здесь ниже все они определены примеров,

Натуральные числа , которые содержат все числа, начинающиеся с 1

N = {1, 2, 3, 4,…} Все ЧИСЛА, такие как 1, 2, 3, 4, 5…. и так далее.

Целые числа определяются как множество натуральных чисел и нуля 

W = { 0, 1, 2, 3…}, например 0,1, 2, 3, 4, 5… совокупность всех отрицательных натуральных чисел и целых чисел называется целыми числами.

например: – бесконечность(∞),… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5… +∞

Рациональные числа — это все числа, которые мы можем записать в форме a/b, где b ≠ 0.

например: 2/4, -3/5, 0,768, 0,50 …

Иррациональные числа — это числа, которые мы не можем записать в форме a/b, а числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными числами. Например, √6, √8 …

Комплексные числа

Сумма действительного числа и мнимого числа определяется как комплексное число, а числа, которые не являются действительными числами, называются мнимыми числами. Число может быть записано в форме b+ic , где b и c — действительные числа, а ic — мнимое число, а ”i” — мнимая часть, которая называется йота . следовательно, здесь значение i равно (√-1) . поэтому i ² = -1  

Символ «i» называется йотой и представляет собой мнимую часть комплексного числа. Кроме того, йота (i) очень полезна для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел. Например, 5+6i — комплексное число, поэтому здесь 5 — действительное число, а 6i — мнимое. Следовательно, комплексное число представляет собой представление сложения двух чисел, одно из которых является действительным числом, а второе — мнимым числом. Одна его часть чисто реальная, а вторая часть чисто воображаемая.

Примечание Комбинация мнимого числа и действительного числа называется комплексным числом и обозначается буквой «C». Это можно записать как b+ic, , которое в основном представлено как z=b+ic.

Разница между комплексным и действительным номером

Из вышеприведенных определений можно легко выделить несколько различий. Вещественные числа — это подмножество комплексных чисел, а комплексные числа — надмножество действительных чисел. Давайте посмотрим на различия более четко,

• Все отрицательные и положительные целые, десятичные и дробные числа без мнимых чисел называются действительными числами . Действительные числа представлены символом «R» . Тогда как t сумма действительного числа и мнимого числа называется комплексным числом , представленным C . Числа, которые не являются действительными числами, называются мнимыми числами. Число, которое мы можем записать в виде b+ic, где b и c — действительные числа, ic — мнимое число, а «i» — мнимая часть, которая называется йотой. следовательно, здесь значение i равно (√-1). Итак, я ² =-1
• Еще один важный момент заключается в том, что действительные числа можно отобразить на числовой прямой, тогда как комплексные числа нельзя отобразить на числовой прямой.
• Все действительные числа также являются комплексными числами с нулем в мнимой части, тогда как все мнимые числа также являются комплексными числами с нулем в действительной части.
• Действительные числа включают все десятичные дробные, отрицательные и положительные целые числа, тогда как Комплексное число может быть записано как сумма или разность действительного числа и мнимого числа, включая такие числа, как 4 – 2i или 6+√6i.

В приведенной ниже таблице содержатся примеры, показывающие, как действительные числа являются частью комплексных чисел. Комплексные числа представлены двумя частями: одной действительной и другой мнимой.

9033 7 -3 + 2i

Комплексный номер	Реальный номер	Мнимый номер
-3	2i
8 – 9i	8	-9i
-5i	0	-5i (чисто воображаемый)
5	5	0i  (чисто реальный)

Примеры задач

Вопрос 1. Выполните сложение двух комплексных чисел 4 + 2i и 4 + 7i.

Решение:

Сначала добавьте действительное число и 

Добавьте мнимые числа

(4 + 2i )  + (4 + 7i)

= 4 + 4 + (2i+7i)

=  8 +  (2 + 7)i

= 8 + 9i

Вопрос 2: Сложите комплексные числа 4 + 5i и 7− 3i.