Найти след матрицы: Как найти след матрицы: формула, примеры решений

T$ равен следу $A$;
  • $\mathrm{tr} (AB) =\mathrm{tr}(BA)$;
  • Пример 1

    Найти след $A$:

    $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ \end{pmatrix}$

    $\mathrm{tr}A = 0 + 4 + 5 = 9$.

    Рассмотрим также для примера матрицу размерностью четыре.

    Пример 2

    Найдите след $B$:

    $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & -9 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$.

    $\mathrm{tr} B = 1 + 6 + 9 + 0 = 16$.

    Ну и напоследок табличка размером пять:

    Пример 3

    $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ -5 & -4 & -3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -2 & -3 & -2\\ \end{pmatrix}$

    $\mathrm{tr} C = 1 + 4 + (-3) + 0 + ( -2) = 0$ — а вот и бесследовая матрица.

    Сообщество экспертов Автор24

    Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07.

    05.2022

    Выполнение любых типов работ по математике

    Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

    Подбор готовых материалов по теме

    Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

    Mathway | Популярные задачи

    Популярные задачи

    Элемент. математикаОсновы алгебрыАлгебраТригонометрияОсновы мат. анализаМатематический анализКонечная математикаЛинейная алгебраХимияPhysics

    Рейтинг Тема Задача
    Форматированная задача
    1 Решить, используя обратную матрицу x+2y=1 , 4x+5y=13 ,
    2 Перемножить матрицы [[1/( квадратный корень из 17),-4/( квадратный корень из 17)]][[1/( квадратный корень из 17)],[-4/( квадратный корень из 17)]]
    3 Найти область определения x+y=3
    4 Найти область определения x-y=3
    5 Найти область определения y=-2x+3
    6 Найти область определения y=2x+1
    7 Записать в виде векторного равенства x=x^2+9x+3 , x=x+2 ,
    8 Найти область определения y=2x
    9 Найти область определения y=-3x
    10 Найти область определения y=3x-2
    11 Найти область определения y=4x
    12 Найти область определения 3x+2y=6
    13 Trovare la 5×5 Matrice Identità 5
    14 Trovare la 6×6 Matrice Identità 6
    15 Trovare la 4×4 Matrice Identità 4
    16 Решить, используя обратную матрицу 2x+y=-2 , x+2y=2 ,
    17 Решить, используя обратную матрицу 4x+4=y , y=6x ,
    18 Решить, используя обратную матрицу 4x+2=5y-3 , y=3x-1 ,
    19 Найти степенное множество (3,4)
    20 Вычислить кубический корень из 216
    21 Найти степенное множество (1,3)
    22 Найти область определения 3x-2y=12
    23 Найти область определения y=5x+2
    24 Найти область определения y=2x-3
    25 Найти область определения y=2x-4
    26 Найти область определения y=2x+5
    27 Найти область определения y=1/2x
    28 Найти область определения y=1/2x-3
    29 Найти область определения y=2/3x-2
    30 Найти область определения x=2y
    31 Найти область определения x-2y=2
    32 Найти область определения x-2y=6
    33 Найти область определения 2y+x
    34 Найти область определения 2x+y=0
    35 Найти область определения y=5x+6
    36 Найти область определения y=x+3
    37 Solve Using a Matrix by Elimination y=4x+3x-2 , y=6 ,
    38 Проверить линейную зависимость B={[[-10,2],[5,-2. 5]]}
    39 Сложение [[2,4],[6,-4]]+[[-3,-7],[20,10]]
    40 Проверить линейную зависимость B={[[-1,2],[0,-2.5]]}
    41 Перемножить матрицы [[0,0,1,1],[1,0,1,0],[0,0,0,1],[0,1,0,0]][[0,0,1,1],[1,0,1,0],[0,0,0,1],[0,1,0,0]]
    42 Найти область определения y=5x
    43 Найти область определения y=7x
    44 Найти область определения y=-x-2
    45 Найти область определения y=x-2
    46 Найти область определения y=x-3
    47 Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам [[4,-3,1,0],[1,0,-2,0],[-2,1,1,0]]
    48
    Записать в виде векторного равенства
    x+y+z=2 , 4x+5y+z=12 , 2x=-4 , ,
    49 Найти определитель [[0,-1,a],[3,-a,1],[1,-2,3]]
    50 Найти область определения y=-x+2
    51 Найти определитель [[2,5,0],[1,0,-3],[2,-1,2]]
    52 Найти определитель [[7,5,0],[4,5,8],[0,-1,5]]
    53 Найти обратный элемент [[1,-3,0,-2],[3,-12,-2,-6],[-2,10,2,5],[-1,6,1,3]]
    54 Найти обратный элемент
    [[1,2,3],[2,5,7],[3,7,9]]
    55 Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам [[0,1,5,-4],[1,4,3,-2],[2,7,1,-2]]
    56 Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам [[1,1,0],[1,0,1],[1,0,1],[2,1,0],[2,1,0]]
    57 Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
    58 Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам [[7,8]]
    59 Найти область определения 2x+y=1
    60 Записать в виде векторного равенства 2x+y=-2 , x+2y=2 ,
    61 Найти область определения x-2y=4
    62 Найти область определения x-y=-1
    63 Найти область определения x+y=5
    64 Найти область определения x=-3y-8
    65 Найти область определения x=-2y-8
    66 Найти область определения x+y=6
    67 Найти область определения x+y=4
    68 Найти область определения x+2y=4
    69 Найти область определения x+y
    70 Найти область определения y=7x+9
    71 Найти область определения y=1/2x-5
    72 Найти область определения y=1/2x+2
    73 Найти область определения y=1/2x+3
    74 Найти область определения
    x-y=-3
    75 Найти область определения x-y=4
    76 Найти область определения y=-2x
    77 Найти область определения y=-2x+1
    78 Найти область определения y=2^(x+9)
    79 Найти область определения y=10-x^2
    80 Найти область определения y=2x-6
    81 Найти область определения y=-2x-3
    82 Найти область определения y=3x-8
    83 Найти область определения y=3x
    84 Найти область определения y=-3x+1
    85 Найти область определения y=4x+3
    86 Найти область определения y=3x-4
    87 Найти область определения y=4x-2
    88 Найти область определения y=-6x
    89 Найти область определения y=x-4
    90 Найти область определения 7 корень четвертой степени из 567y^4
    91 Найти область определения c=5/9*(f-32)
    92 Найти область определения f=9/5c+32
    93 Вычислить квадратный корень из 4
    94 Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам [[-6,7],[2,6],[-4,1]]
    95 Найти собственные значения [[2,1],[3,2]]
    96 Найти собственные значения [[4,0,1],[2,3,2],[49,0,4]]
    97 Найти степенное множество A=(2,3,4,5)
    98 Найти мощность (2,1)
    99 Решить, используя обратную матрицу -3x-4y=2 , 8y=-6x-4 ,
    100 Решить, используя обратную матрицу 2x-5y=4 , 3x-2y=-5 ,

    След матрицы

    Марко Табога, доктор философии

    След квадрата матрица представляет собой сумму своих диагональные входы.

    Трассировка имеет несколько свойств, которые используются для доказательства важности приводит к матричной алгебре и ее приложениям.

    СОДЕРЖАНИЕ

    1. Определение

    2. Примеры

    3. Свойства

      1. ТРЕЛО из суммы

        1. 0002 Trace of a scalar multiple

        2. Trace of a linear combination

        3. Trace of the transpose of a matrix

        4. Trace of a product

        5. Trace of a scalar

      2. Solved exercises

        1. Упражнение 1

        2. Упражнение 2

      Определение

      Начнем с формального определения.

      Определение Позволять быть матрица. Тогда его след, обозначаемый или же , это сумма его диагоналей записей:

      Примеры

      Ниже приведены некоторые примеры.

      Пример Определите матрица Тогда его след

      Пример Определите матрица Тогда его след

      Свойства

      В следующих подразделах сообщается о некоторых полезных свойствах оператора трассировки.

      След суммы

      След суммы двух матриц равен сумме их следов.

      Предложение Позволять а также быть двумя матрицы. Затем,

      Доказательство

      Помните, что сумма двух матриц равна выполняется суммированием каждого элемента одной матрицы с соответствующим элементом другой матрицы (см. лекцию о Добавление матрицы). Как следствие,

      След скалярного множителя

      Следующее предложение говорит нам, что происходит со следом, когда матрица умножить на скаляр.

      Предложение Позволять быть матрица и скаляр. Затем

      Доказательство

      Помните, что умножение матрицы скаляром выполняется путем умножения каждого элемента матрицы на заданное скаляр (см. лекцию о Умножение матрицы скаляром). Как следствие,

      След линейной комбинации

      Два вышеуказанных свойства (след сумм и скалярных кратных) подразумевают, что след линейного комбинация равна линейной комбинации трасс.

      Предложение Позволять а также быть двумя матрицы и а также два скаляра. Затем,

      След транспонирования матрицы

      Транспонирование матрицы не меняет ее след.

      Предложение Позволять быть матрица. Тогда

      Доказательство

      След матрицы есть сумма ее диагональные элементы, но транспозиция оставляет диагональные элементы без изменений.

      След продукта

      Следующее предложение касается следа произведения матриц.

      Предложение Позволять быть матрица и ан матрица. Затем

      Доказательство

      Обратите внимание, что это матрица и является матрица. Тогда где по шагам а также мы использовали определение матричного произведения, в частности, те факты, что равно скалярному произведению между -й ряд и -й столбец , а также равно скалярному произведению между -й ряд и -й столбец .

      След скаляра

      Тривиальное, но часто полезное свойство состоит в том, что скаляр равен своему след , потому что скаляр можно рассматривать как матрица, имеющая единственный диагональный элемент, который в свою очередь равен следу.

      Это свойство часто используется для записи скалярных произведений в виде следов.

      Пример Позволять быть вектор строки и а вектор-столбец. Затем продукт является скаляром, и где на последнем шаге мы использовали предыдущее предложение о следе матрицы товары. Таким образом, мы смогли записать скаляр как след от матрица .

      Решенные упражнения

      Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

      Упражнение 1

      Позволять быть матрица определена поНайти его след.

      Решение

      Суммируя диагональные элементы, мы получить

      Упражнение 2

      Позволять быть матрица и а вектор. Написать продуктыкак след произведения двух матрицы.

      Раствор

      С тех пор это скаляр, у нас есть это Более того, является а также является . Следовательно, где оба а также находятся .

      Как цитировать

      Пожалуйста, указывайте как:

      Taboga, Marco (2021). «След матрицы», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-алгебра/trace-of-a-matrix.

      След матрицы

      Марко Табога, доктор философии

      След квадрата матрица представляет собой сумму своих диагональные входы.

      Трассировка имеет несколько свойств, которые используются для доказательства важности приводит к матричной алгебре и ее приложениям.

      СОДЕРЖАНИЕ

      1. Определение

      2. Примеры

      3. Свойства

        1. ТРЕЗИЙ 3

        2. ТРЕЗИЯ СКАЛАРЕ

        3. ТРЕЗАНИ След транспонирования матрицы

        4. След произведения

        5. След скаляра

      4. Решенные упражнения

        1. Упражнение 1

        2. Упражнение 2

      Определение

      Начнем с формального определения.

      Определение Позволять быть матрица. Тогда его след, обозначаемый или же , это сумма его диагоналей записи:

      Примеры

      Ниже приведены некоторые примеры.

      Пример Определите матрица Тогда его след

      Пример Определите матрица Тогда его след

      Свойства

      В следующих подразделах сообщается о некоторых полезных свойствах оператора трассировки.

      След суммы

      След суммы двух матриц равен сумме их следов.

      Предложение Позволять а также быть двумя матрицы. Затем,

      Доказательство

      Помните, что сумма двух матриц равна выполняется суммированием каждого элемента одной матрицы с соответствующим элементом другой матрицы (см. лекцию о Добавление матрицы). Как следствие,

      След скалярного множителя

      Следующее предложение говорит нам, что происходит со следом, когда матрица умножить на скаляр.

      Предложение Позволять быть матрица и скаляр. Тогда

      Доказательство

      Помните, что умножение матрицы скаляром выполняется путем умножения каждого элемента матрицы на заданное скаляр (см. лекцию о Умножение матрицы скаляром). Как следствие,

      След линейной комбинации

      Два вышеуказанных свойства (след сумм и скалярных кратных) подразумевают, что след линейного комбинация равна линейной комбинации трасс.

      Предложение Позволять а также быть двумя матрицы и а также два скаляра. Затем,

      След транспонирования матрицы

      Транспонирование матрицы не меняет ее след.

      Предложение Позволять быть матрица. Затем

      Доказательство

      След матрицы есть сумма ее диагональные элементы, но транспозиция оставляет диагональные элементы без изменений.

      След продукта

      Следующее предложение касается следа произведения матриц.

      Предложение Позволять быть матрица и ан матрица. Затем

      Доказательство

      Обратите внимание, что это матрица и является матрица. Тогда где по шагам а также мы использовали определение матричного произведения, в частности, те факты, что равно скалярному произведению между -й ряд и -й столбец , а также равно скалярному произведению между -й ряд и -й столбец .

      След скаляра

      Тривиальное, но часто полезное свойство состоит в том, что скаляр равен своему след , потому что скаляр можно рассматривать как матрица, имеющая единственный диагональный элемент, который в свою очередь равен следу.

      Это свойство часто используется для записи скалярных произведений в виде следов.

      Пример Позволять быть вектор строки и а вектор-столбец. Затем продукт является скаляром, и где на последнем шаге мы использовали предыдущее предложение о следе матрицы товары. Таким образом, мы смогли записать скаляр как след от матрица .

      Решенные упражнения

      Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

      Упражнение 1

      Позволять быть матрица определена поНайти его след.

      Решение

      Суммируя диагональные элементы, мы получить

      Упражнение 2

      Позволять быть матрица и а вектор.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *