Найти след матрицы: Как найти след матрицы: формула, примеры решений

T$ равен следу $A$;
  • $\mathrm{tr} (AB) =\mathrm{tr}(BA)$;
  • Пример 1

    Найти след $A$:

    $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ \end{pmatrix}$

    $\mathrm{tr}A = 0 + 4 + 5 = 9$.

    Рассмотрим также для примера матрицу размерностью четыре.

    Пример 2

    Найдите след $B$:

    $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & -9 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$.

    $\mathrm{tr} B = 1 + 6 + 9 + 0 = 16$.

    Ну и напоследок табличка размером пять:

    Пример 3

    $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ -5 & -4 & -3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -2 & -3 & -2\\ \end{pmatrix}$

    $\mathrm{tr} C = 1 + 4 + (-3) + 0 + ( -2) = 0$ — а вот и бесследовая матрица.

    Сообщество экспертов Автор24

    Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07.

    05.2022

    Выполнение любых типов работ по математике

    Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

    Подбор готовых материалов по теме

    Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

    Mathway | Популярные задачи

    Популярные задачи

    Элемент. математикаОсновы алгебрыАлгебраТригонометрияОсновы мат. анализаМатематический анализКонечная математикаЛинейная алгебраХимияPhysics

    РейтингТемаЗадача
    Форматированная задача
    1Решить, используя обратную матрицуx+2y=1 , 4x+5y=13 ,
    2Перемножить матрицы[[1/( квадратный корень из 17),-4/( квадратный корень из 17)]][[1/( квадратный корень из 17)],[-4/( квадратный корень из 17)]]
    3Найти область определенияx+y=3
    4Найти область определенияx-y=3
    5Найти область определенияy=-2x+3
    6Найти область определенияy=2x+1
    7Записать в виде векторного равенстваx=x^2+9x+3 , x=x+2 ,
    8Найти область определенияy=2x
    9Найти область определенияy=-3x
    10Найти область определенияy=3x-2
    11Найти область определенияy=4x
    12Найти область определения3x+2y=6
    13Trovare la 5×5 Matrice Identità5
    14Trovare la 6×6 Matrice Identità6
    15Trovare la 4×4 Matrice Identità4
    16Решить, используя обратную матрицу2x+y=-2 , x+2y=2 ,
    17Решить, используя обратную матрицу4x+4=y , y=6x ,
    18Решить, используя обратную матрицу4x+2=5y-3 , y=3x-1 ,
    19Найти степенное множество(3,4)
    20Вычислитькубический корень из 216
    21Найти степенное множество(1,3)
    22Найти область определения3x-2y=12
    23Найти область определенияy=5x+2
    24Найти область определенияy=2x-3
    25Найти область определенияy=2x-4
    26Найти область определенияy=2x+5
    27Найти область определенияy=1/2x
    28Найти область определенияy=1/2x-3
    29Найти область определенияy=2/3x-2
    30Найти область определенияx=2y
    31Найти область определенияx-2y=2
    32Найти область определенияx-2y=6
    33Найти область определения2y+x
    34Найти область определения2x+y=0
    35Найти область определенияy=5x+6
    36Найти область определенияy=x+3
    37Solve Using a Matrix by Eliminationy=4x+3x-2 , y=6 ,
    38Проверить линейную зависимостьB={[[-10,2],[5,-2. 5]]}
    39Сложение[[2,4],[6,-4]]+[[-3,-7],[20,10]]
    40Проверить линейную зависимостьB={[[-1,2],[0,-2.5]]}
    41Перемножить матрицы[[0,0,1,1],[1,0,1,0],[0,0,0,1],[0,1,0,0]][[0,0,1,1],[1,0,1,0],[0,0,0,1],[0,1,0,0]]
    42Найти область определенияy=5x
    43Найти область определенияy=7x
    44Найти область определенияy=-x-2
    45Найти область определенияy=x-2
    46Найти область определенияy=x-3
    47Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[4,-3,1,0],[1,0,-2,0],[-2,1,1,0]]
    48
    Записать в виде векторного равенства
    x+y+z=2 , 4x+5y+z=12 , 2x=-4 , ,
    49Найти определитель[[0,-1,a],[3,-a,1],[1,-2,3]]
    50Найти область определенияy=-x+2
    51Найти определитель[[2,5,0],[1,0,-3],[2,-1,2]]
    52Найти определитель[[7,5,0],[4,5,8],[0,-1,5]]
    53Найти обратный элемент[[1,-3,0,-2],[3,-12,-2,-6],[-2,10,2,5],[-1,6,1,3]]
    54Найти обратный элемент
    [[1,2,3],[2,5,7],[3,7,9]]
    55Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[0,1,5,-4],[1,4,3,-2],[2,7,1,-2]]
    56Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[1,1,0],[1,0,1],[1,0,1],[2,1,0],[2,1,0]]
    57Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
    58Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[7,8]]
    59Найти область определения2x+y=1
    60Записать в виде векторного равенства 2x+y=-2 , x+2y=2 ,
    61Найти область определенияx-2y=4
    62Найти область определенияx-y=-1
    63Найти область определенияx+y=5
    64Найти область определенияx=-3y-8
    65Найти область определенияx=-2y-8
    66Найти область определенияx+y=6
    67Найти область определенияx+y=4
    68Найти область определенияx+2y=4
    69Найти область определенияx+y
    70Найти область определенияy=7x+9
    71Найти область определенияy=1/2x-5
    72Найти область определенияy=1/2x+2
    73Найти область определенияy=1/2x+3
    74Найти область определения
    x-y=-3
    75Найти область определенияx-y=4
    76Найти область определенияy=-2x
    77Найти область определенияy=-2x+1
    78Найти область определенияy=2^(x+9)
    79Найти область определенияy=10-x^2
    80Найти область определенияy=2x-6
    81Найти область определенияy=-2x-3
    82Найти область определенияy=3x-8
    83Найти область определенияy=3x
    84Найти область определенияy=-3x+1
    85Найти область определенияy=4x+3
    86Найти область определенияy=3x-4
    87Найти область определенияy=4x-2
    88Найти область определенияy=-6x
    89Найти область определенияy=x-4
    90Найти область определения7 корень четвертой степени из 567y^4
    91Найти область определенияc=5/9*(f-32)
    92Найти область определенияf=9/5c+32
    93Вычислитьквадратный корень из 4
    94Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[-6,7],[2,6],[-4,1]]
    95Найти собственные значения[[2,1],[3,2]]
    96Найти собственные значения[[4,0,1],[2,3,2],[49,0,4]]
    97Найти степенное множествоA=(2,3,4,5)
    98Найти мощность(2,1)
    99Решить, используя обратную матрицу-3x-4y=2 , 8y=-6x-4 ,
    100Решить, используя обратную матрицу2x-5y=4 , 3x-2y=-5 ,

    След матрицы

    Марко Табога, доктор философии

    След квадрата матрица представляет собой сумму своих диагональные входы.

    Трассировка имеет несколько свойств, которые используются для доказательства важности приводит к матричной алгебре и ее приложениям.

    СОДЕРЖАНИЕ

    1. Определение

    2. Примеры

    3. Свойства

      1. ТРЕЛО из суммы

        1. 0002 Trace of a scalar multiple

        2. Trace of a linear combination

        3. Trace of the transpose of a matrix

        4. Trace of a product

        5. Trace of a scalar

      2. Solved exercises

        1. Упражнение 1

        2. Упражнение 2

      Определение

      Начнем с формального определения.

      Определение Позволять быть матрица. Тогда его след, обозначаемый или же , это сумма его диагоналей записей:

      Примеры

      Ниже приведены некоторые примеры.

      Пример Определите матрица Тогда его след

      Пример Определите матрица Тогда его след

      Свойства

      В следующих подразделах сообщается о некоторых полезных свойствах оператора трассировки.

      След суммы

      След суммы двух матриц равен сумме их следов.

      Предложение Позволять а также быть двумя матрицы. Затем,

      Доказательство

      Помните, что сумма двух матриц равна выполняется суммированием каждого элемента одной матрицы с соответствующим элементом другой матрицы (см. лекцию о Добавление матрицы). Как следствие,

      След скалярного множителя

      Следующее предложение говорит нам, что происходит со следом, когда матрица умножить на скаляр.

      Предложение Позволять быть матрица и скаляр. Затем

      Доказательство

      Помните, что умножение матрицы скаляром выполняется путем умножения каждого элемента матрицы на заданное скаляр (см. лекцию о Умножение матрицы скаляром). Как следствие,

      След линейной комбинации

      Два вышеуказанных свойства (след сумм и скалярных кратных) подразумевают, что след линейного комбинация равна линейной комбинации трасс.

      Предложение Позволять а также быть двумя матрицы и а также два скаляра. Затем,

      След транспонирования матрицы

      Транспонирование матрицы не меняет ее след.

      Предложение Позволять быть матрица. Тогда

      Доказательство

      След матрицы есть сумма ее диагональные элементы, но транспозиция оставляет диагональные элементы без изменений.

      След продукта

      Следующее предложение касается следа произведения матриц.

      Предложение Позволять быть матрица и ан матрица. Затем

      Доказательство

      Обратите внимание, что это матрица и является матрица. Тогда где по шагам а также мы использовали определение матричного произведения, в частности, те факты, что равно скалярному произведению между -й ряд и -й столбец , а также равно скалярному произведению между -й ряд и -й столбец .

      След скаляра

      Тривиальное, но часто полезное свойство состоит в том, что скаляр равен своему след , потому что скаляр можно рассматривать как матрица, имеющая единственный диагональный элемент, который в свою очередь равен следу.

      Это свойство часто используется для записи скалярных произведений в виде следов.

      Пример Позволять быть вектор строки и а вектор-столбец. Затем продукт является скаляром, и где на последнем шаге мы использовали предыдущее предложение о следе матрицы товары. Таким образом, мы смогли записать скаляр как след от матрица .

      Решенные упражнения

      Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

      Упражнение 1

      Позволять быть матрица определена поНайти его след.

      Решение

      Суммируя диагональные элементы, мы получить

      Упражнение 2

      Позволять быть матрица и а вектор. Написать продуктыкак след произведения двух матрицы.

      Раствор

      С тех пор это скаляр, у нас есть это Более того, является а также является . Следовательно, где оба а также находятся .

      Как цитировать

      Пожалуйста, указывайте как:

      Taboga, Marco (2021). «След матрицы», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-алгебра/trace-of-a-matrix.

      След матрицы

      Марко Табога, доктор философии

      След квадрата матрица представляет собой сумму своих диагональные входы.

      Трассировка имеет несколько свойств, которые используются для доказательства важности приводит к матричной алгебре и ее приложениям.

      СОДЕРЖАНИЕ

      1. Определение

      2. Примеры

      3. Свойства

        1. ТРЕЗИЙ3

        2. ТРЕЗИЯ СКАЛАРЕ

        3. ТРЕЗАНИ След транспонирования матрицы

        4. След произведения

        5. След скаляра

      4. Решенные упражнения

        1. Упражнение 1

        2. Упражнение 2

      Определение

      Начнем с формального определения.

      Определение Позволять быть матрица. Тогда его след, обозначаемый или же , это сумма его диагоналей записи:

      Примеры

      Ниже приведены некоторые примеры.

      Пример Определите матрица Тогда его след

      Пример Определите матрица Тогда его след

      Свойства

      В следующих подразделах сообщается о некоторых полезных свойствах оператора трассировки.

      След суммы

      След суммы двух матриц равен сумме их следов.

      Предложение Позволять а также быть двумя матрицы. Затем,

      Доказательство

      Помните, что сумма двух матриц равна выполняется суммированием каждого элемента одной матрицы с соответствующим элементом другой матрицы (см. лекцию о Добавление матрицы). Как следствие,

      След скалярного множителя

      Следующее предложение говорит нам, что происходит со следом, когда матрица умножить на скаляр.

      Предложение Позволять быть матрица и скаляр. Тогда

      Доказательство

      Помните, что умножение матрицы скаляром выполняется путем умножения каждого элемента матрицы на заданное скаляр (см. лекцию о Умножение матрицы скаляром). Как следствие,

      След линейной комбинации

      Два вышеуказанных свойства (след сумм и скалярных кратных) подразумевают, что след линейного комбинация равна линейной комбинации трасс.

      Предложение Позволять а также быть двумя матрицы и а также два скаляра. Затем,

      След транспонирования матрицы

      Транспонирование матрицы не меняет ее след.

      Предложение Позволять быть матрица. Затем

      Доказательство

      След матрицы есть сумма ее диагональные элементы, но транспозиция оставляет диагональные элементы без изменений.

      След продукта

      Следующее предложение касается следа произведения матриц.

      Предложение Позволять быть матрица и ан матрица. Затем

      Доказательство

      Обратите внимание, что это матрица и является матрица. Тогда где по шагам а также мы использовали определение матричного произведения, в частности, те факты, что равно скалярному произведению между -й ряд и -й столбец , а также равно скалярному произведению между -й ряд и -й столбец .

      След скаляра

      Тривиальное, но часто полезное свойство состоит в том, что скаляр равен своему след , потому что скаляр можно рассматривать как матрица, имеющая единственный диагональный элемент, который в свою очередь равен следу.

      Это свойство часто используется для записи скалярных произведений в виде следов.

      Пример Позволять быть вектор строки и а вектор-столбец. Затем продукт является скаляром, и где на последнем шаге мы использовали предыдущее предложение о следе матрицы товары. Таким образом, мы смогли записать скаляр как след от матрица .

      Решенные упражнения

      Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

      Упражнение 1

      Позволять быть матрица определена поНайти его след.

      Решение

      Суммируя диагональные элементы, мы получить

      Упражнение 2

      Позволять быть матрица и а вектор.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *