Решение тригонометрических простых уравнений: Простейшие тригонометрические уравнения — Часть 1

Содержание

Решение простейших тригонометрических уравнений. Приемы решения простейших тригонометрических уравнений

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

2. Содержание.

1. Вводная часть, повторение
теоретического материала.
2. Решение тригонометрических
уравнений.
3. Проблемы, возникающие при решении
тригонометрических уравнений.

3. ЦЕЛЬ:

Повторить решение тригонометрических
уравнений.
• 1. Знать формулы для решения простейших
тригонометрических уравнений.
• 2. Различать типы тригонометрических
уравнений и знать способы их решений.
• 3. Уметь решать тригонометрические
уравнения любых типов.

4. Арккосинус

Арккосинусом числа а называется
такое число (угол) t из [0;π], что
cos t = а.
Причём, | а |≤ 1.
у
arccos(-а)
π/2
arccos а = t
π
0
-1

а
1
х
arccos(- а) = π- arccos а

5. Арксинус

у
π/2
1
а
arcsin а =t
Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.
х

-1
-π/2
arcsin(- а)
arcsin(- а)= — arcsin а

6. Арктангенс

а
у
Арктангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём, а Є R.
π/2
arctgа = t
0
х
arctg(-а )
-π/2

arctg(-а) = — arctg а

7.

Арккотангенсу

arcctg(- а)
π
а
arcctg а = t
Арккотангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (0;π),
что ctg t = а.
Причём, а ЄR .
0 х
arcctg(- а) = π – arcctg а

8. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

1. cost = а , где |а| ≤ 1
Частные случаи
1)cost=0; t = π/2+πk‚ kЄZ
2)cost=1; t = 2πk‚ kЄZ
3)cost=-1;t = π+2πk‚ kЄZ
• 2. sint = а, где | а |≤ 1
Частные случаи
1)sint=0; t = πk‚ kЄZ
• 2)sint=1; t = π/2+2πk‚ kЄZ
3)sint=-1;t = — π/2+2πk‚
kЄZ

9. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

3. tgt = а, аЄR
t = arctg а + πk‚ k ЄZ
4. ctgt = а, а ЄR
t = arcctg а + πk‚ kЄZ
в)
Примеры:
tg3x 1995,
1) cost= —
1
2
;
Решений нет
t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ
t= ±
2
+ 2πk, kЄZ
3
4) ctgt = —
3) tg3t = 2017;
t = arcctg(
) + πk, kЄZ
5
t=
+ πk, kЄZ.
6

11. Решение простейших уравнений

1) tg2x = -1
2) cos(x+π/3) = ½
2x = arctg (-1) + πk, kЄZ
2x = -π/4 + πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ
x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.
Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

12. Методы решения тригонометрических уравнений.

13. Методы решения тригонометрических уравнений.

Решение.
Методы решения тригонометрических
уравнений.

14. Виды тригонометрических уравнений

2.Однородные
1)Однородное уравнение первой степени:
Решаются делением на cos х (или sinx) и методом введения новой переменной.
a∙sinx + b∙cosx = 0
Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части
уравнения на cosx (или на sinx). Получим: простое уравнение
a∙tgx + b = 0 или tgx = m
Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0.
Решение: Разделим обе части уравнения на cosx.
Получим sin x
cos x
0
cos x
cos x
tgx 2 0
2
tgx 2
x arctg 2 k , k
Ответ: arctg 2 k , k

15. Виды тригонометрических уравнений

2) Однородные уравнения второй степени:
Решаются делением на cos² х (или sin²x) и методом введения новой
переменной.
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.
П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x ∙ cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x ∙ cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x ∙ cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tg2 x + 4 tg x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y1 = 1, y2 = 3, отсюда
1) tg x = –1, 2) tg x = –3,
Ответ:
4
k , k ; arctg 3 n, n

16. Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам

Вариант 1.
На «3»
• 3 sin x+ 5 cos x = 0
• 5 sin2 х — 3 sinх cos х — 2 cos2х =0
На «4»
• 3 cos2х + 2 sin х cos х =0
• 5 sin2 х + 2 sinх cos х — cos2х =1
На «5»
• 2 sin x — 5 cos x = 3
• 1- 4 sin x + 6 cos2х = 0
Вариант 2.
На «3»
• cos x+ 3 sin x = 0
• 6 sin2 х — 5 sinх cos х + cos2х =0
На «4»
• 2 sin2 x – sin x cosx =0
• 4 sin2 х — 2sinх cos х – 4 cos2х =1
На «5»
• 2 sin x — 3 cos x = 4
• 2 sin2 х — cosх +1 =0

English     Русский Правила

Решение простейших тригонометрических уравнений

Практическое занятие

Решение простейших тригонометрических уравнений.

1) Теоретический этап

Простейшие тригонометрические уравнения:

1. sin x = а

x = (–1)narcsin а + πn, nєZ

Частные случаи:

2. sin x = 0

х = πn, nєZ

3. sin x = –1

x = – + 2πn, nєZ;

4. sin x = 1

x = + 2πn, nєZ

5. tg x = а

x = arctg а + πn, nєZ

6. cos x = а

х = ± arccos а +2πn, nєZ

Частные случаи:

7. cos x = 0

х = – + πn, nєZ;

8. cos x = –1

х = π +2πn, nєZ;

9. cos x = 1

х = 2πn, nєZ;

10. ctg x = а

x = arcсtg а + πn, nєZ .

Свойства обратных тригонометрических функций:

2) Подготовительный этап

Перепишите и заполните пропуски

Пример 1. Решить уравнение tg x+ = 0

Решение: tg x+ = 0, tg x = – , x = arctg (– ) + πn, nєZ

x = – arctg + πn, nєZ , x = – +2πn, nєZ;

Ответ: – + 2πn, nєZ

Пример 2. Решить уравнение 2cos x = –

Решение: 2cos x = –

cos x = – , x= ± arccos (– ) + 2πn, nєZ, x = ± + 2πn, nєZ

Ответ: ± + 2πn, nєZ.

Пример 3. Решить уравнение cos = .

Решение: cos =

= ± arccos +2πn, nєZ , = ± +2πn, nєZ (умножим на 5),

х = ± + …πn, nєZ

Ответ: ± + 10πn, nєZ.

Пример 4. Решить уравнение (2 sin x – 1) (tg x ) = 0

Решение: (2 sin x – 1) (tg x ) = 0,

2 sin x – 1= 0 или tg x = 0

sin x = tg x =

х1= (–1) n + π n, n Z х2 = + π k, k

Ответ: х1= (–1) n + π n, n Z , х2 = + π k, k .

Пример 5. Решить уравнение 2cos(х + ) = .

Решение: 2cos(х + ) = , cos(х + ) = – , х + = ± + 2πn, n∈Z, x = – ± + 2πn, n∈Z. x1 = – + + 2πn, n∈Z, x1 = + 2πn, n∈Z,

x2 = – +2πn, n∈Z, x2 = + 2πn, n∈Z.

Ответ: x1 = + 2πn, n∈Z, x2 = – + 2πn, n∈Z.

Пример 6. Решить уравнение sin(2х + ) = 0.

Решение: sin(2х + ) = 0, 2х + = πn, n∈Z, 2х = – + πn, n∈Z,

х = – , n∈Z.

Ответ: х = = – , n∈Z

3) Практический этап

4. Решите уравнение (2 sin x ) (tg x – ) = 0

5. Решите уравнение 2cos(х + ) = –

6. Решите уравнение sin(2х + ) = 0

Основные тригонометрические уравнения

углы (аргументы функций): x , x 1 , x 2
Набор целых чисел: ζ
Интеллект: N
Реальное число: A

Тригономиметрические. x , cos x , tan x , cot x
Обратные тригонометрические функции: arcsin a , arccos a , arctan a , арккот и

Уравнение, включающее тригонометрические функции неизвестного угла, называется тригонометрическим уравнением.

Основные тригонометрические уравнения имеют вид

\[\sin x = a,\;\cos x = a,\;\tan x = a,\;\cot x = a,\]

здесь \(x\) — неизвестное, \(a\) — любое действительное число.

Уравнение \(\sin x = a\)

Если \(\left| a \right| \gt 1\), то уравнение \(\sin x = a\) не имеет решений. 9n \arcsin a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Эта формула содержит две ветви решений:

\[{x_1} = \arcsin a + 2\pi n,\;{x_2} = \pi — \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Рис. 1.

Решения тригонометрического уравнения, лежащие в интервале \(\left[ {0,2\pi } \right)\), называются главными решениями. Главные решения уравнения \(\sin x = a\) равны

\[\arcsin a,\;\pi — \arcsin a.\]

В простом случае \(\sin x = 1\) общее решение имеет вид

\[x = \pi/2 + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Точно так же решение уравнения \(\sin x = -1\) определяется как

\[x = -\pi/2 + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\]

Случай \(\sin x = 0\) (нули синуса):

\[x = \pi n,\; n \in \mathbb{Z}. \]

Уравнение \(\cos x = a\)

Если \(\left| a \right| \gt 1,\) уравнение \(\cos x = a\) не имеет решений.

Если \(\left| a \right| \le 1,\) общее решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид

\[x = \pm\arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Эта формула включает два набора решений:

\[{x_1} = \arccos a + 2\pi n,\; {x_2} = -\arccos a + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\]

Рис. 2.

В случае \(\cos x = 1\) решение записывается как

\[x = 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\]

Случай \(\cos x = -1:\)

\[x = \pi + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\]

Случай \(\cos x = 0\) (нули косинуса):

\[x = \pi/2 + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\]

Уравнение \(\tan x = a\)

Для любого значения \(a\) общее решение уравнения \(\tan x = a\) имеет вид

\[x = \arctan a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Рис. 3. Случай

\(\tan x = 0\) (нули тангенса):

\[x = \pi n,\; n \in \mathbb{Z}.

\]

Уравнение \(\cot x = a\)

Для любого значения \(a\) общее решение тригонометрического уравнения \(\cot x = a\) записывается как

\[x = \text{arccot}\, a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Рис. 4. Случай

\(\cot x = 0\) (нули котангенса):

\[x = \pi/2 + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\]

Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

Пример 1

Решить уравнение

\[\sin x = — \frac{1}{2}.\]

Пример 2

Решить уравнение

\[\cos \left( {x + \ frac{\pi }{3}} \right) = — 1.\] 9{n + 1}}\frac{\pi }{6} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Главные решения на интервале \(\left[ {0,2\pi } \right)\) задаются как

\[\begin{массив}{*{20}{l}} {n = 1:} & {x_1} = \ frac {\ pi} {6} + \ pi = \ frac {{7 \ pi}} {6} \\ {n = 2:} & {x_2} = — \ frac {\ pi} {6} + 2 \ pi = \ frac {{11 \ pi}} {6} \конец{массив}\]

Пример 2.

Решить уравнение

\[\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = — 1.

\]

Раствор.

В этом частном случае общее решение дается как

\[x + \frac{\pi }{3} = \pi + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Решите для \(x:\)

\[x = \pi — \frac{\pi }{3} + 2\pi n = \frac{{2\pi}}}{3} + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z }.\]

Главное решение содержит одно значение:

\[n = 0:\;{x_0} = \frac{{2\pi}}{3}.\]

Пример 3.

Найдите общее решение уравнения

\[\sqrt 3 \sin x = \cos x.\] 92}x} = \pm 1 \ne 0,\]

, то есть \(\cos x = 0\) не может быть решением уравнения. Итак, у нас есть

\[\frac{{\sqrt 3 \sin x}}{{\cos x}} — \frac{{\cancel{{\cos x}}}}{{\cancel{{\cos x}}} } = 0, \стрелка вправо \sqrt 3 \tan x — 1 = 0, \стрелка вправо \tan x = \frac{1}{{\sqrt 3}}.\]

Общее решение дано

\[x = \arctan \frac{1}{{\sqrt 3}} + \pi n = \frac{\pi }{6} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\ ]

Пример 4.

Найдите главные решения уравнения

\[\cot \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = — 1. \]

Раствор.

Сначала найдем общее решение. Учитывая, что \(\text{arccot}\left( { — a} \right) = \pi — \text{arccot ​​} a,\), мы имеем

\[2x + \frac{\pi }{4} = \text{arccot} \left( { — 1} \right) + \pi n, \Rightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = \ pi — \text{arccot} 1 + \pi n, \Rightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = \pi — \frac{\pi }{4} + \pi n, \Rightarrow 2x = \frac {\pi }{2} + \pi n, \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2},\]

, где \(n \in \mathbb{Z}.\)

Главные значения лежат в интервале \(\left[ {0,2\pi } \right).\) Следовательно, наши главные решения будут

\[\begin{массив}{*{20}{l}} {n = 0:}&{{x_0} = \frac{\pi }{4}}\\ {n = 1:} & {{x_1} = \ frac {\ pi} {4} + \ frac {\ pi} {2} = \ frac {{3 \ pi}} {4}} \\ {n = 2:}&{{x_2} = \frac{\pi }{4} + \pi = \frac{{5\pi}}{4}}\\ {n = 3:}&{{x_3} = \ frac {\ pi} {4} + \ frac {3 \ pi} {2} = \ frac {{7 \ pi}} {4}} \конец{массив}\]

Пример 5. 92}x = \frac{1}{2}.\]

Раствор.

Это уравнение имеет два решения:

\[\cos x = \frac{1}{2}, \Rightarrow {x_1} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z} . \]

\[\cos x = — \frac{1}{2}, \Rightarrow {x_2} = \pm \arccos \left( { — \frac{1}{2}} \right) + 2\pi k, \;k \in \mathbb{Z}.\]

Подставить значения арккосинуса:

\[\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi }{3},\;\;\arccos \left( { — \frac{1}{2}} \right) = \pi — \arccos \frac{1}{2} = \pi — \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3}.\]

Таким образом, общее решение дается числом

.

\[{x_1} = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi n,\;\;{x_2} = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi к,\]

, где \(n, k \in \mathbb{Z}.\)

Соответственно главные решения уравнения равны

\[x = \frac{\pi }{3},\frac{{2\pi}}{3},\frac{{4\pi}}{3},\frac{{5\pi}} {3}.\]

Пример 6.

Решить уравнение

\[\tan x = \cot x.\]

Раствор.

92}х = 1}\\ {\ загар х \ пе 0} \end{массив}} \right., \Rightarrow \tan x = \pm 1.\]

Мы получили два уравнения. Первое уравнение \(\tan x = 1\) имеет следующее решение:

\[\tan x = 1, \Rightarrow {x_1} = \arctan 1 + \pi n = \frac{\pi }{4} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}. \]

Второе уравнение имеет решение в виде

\[\tan x = — 1, \Rightarrow {x_2} = \arctan \left( { — 1} \right) + \pi k = — \ arctan 1 + \pi k = — \frac{\pi }{ 4} + \pi k,\;k \in \mathbb{Z}.\]

Мы можем объединить оба решения и выразить их одной формулой:

\[x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2},\;n \in \mathbb{Z}.\]

Основные значения задаются

\[x = \frac{\pi }{4},\frac{{3\pi}}{4},\frac{{5\pi}}{4},\frac{{7\pi}} {4}.\]

Решение тригонометрических уравнений с использованием тригонометрических тождеств

Горячая математика

Уравнение, которое содержит тригонометрические функции называется тригонометрическое уравнение .

Пример:

грех 2 Икс + потому что 2 Икс знак равно 1 2 грех Икс − 1 знак равно 0 загар 2 2 Икс − 1 знак равно 0

Тригонометрические тождества являются уравнениями, включающими тригонометрические функции, которые верны для любого значения вовлеченных переменных.

Вы можете использовать тригонометрические тождества вместе с алгебраическими методами для решения тригонометрических уравнений.

Посторонние решения

Ан постороннее решение является корнем преобразованного уравнения, которое не является корнем исходного уравнения, поскольку оно было исключено из области определения исходного уравнения.

При решении тригонометрических уравнений иногда можно получить уравнение в одной тригонометрической функции, возведя в квадрат каждую сторону, но этот метод может привести к посторонним решениям.

Пример :

Найдите все решения уравнения на интервале [ 0 , 2 π ) .

2 грех 2 Икс знак равно 2 + потому что Икс

Уравнение содержит функции синуса и косинуса.

Мы перепишем уравнение так, чтобы оно содержало только функции косинуса, используя тождество Пифагора грех 2 Икс знак равно 1 − потому что 2 Икс .

2 ( 1 − потому что 2 Икс ) знак равно 2 + потому что Икс 2 − 2 потому что 2 Икс знак равно 2 + потому что Икс − 2 потому что 2 Икс − потому что Икс знак равно 0 2 потому что 2 Икс + потому что Икс знак равно 0

Факторинг потому что Икс мы получаем, потому что Икс ( 2 потому что Икс + 1 ) знак равно 0 .

Используя свойство нулевого продукта , мы получим потому что Икс знак равно 0 , а также 2 потому что Икс + 1 знак равно 0 который дает потому что Икс знак равно − 1 2 .

В интервале [ 0 , 2 π ) , мы знаем это потому что Икс знак равно 0 когда Икс знак равно π 2 а также Икс знак равно 3 π 2 . С другой стороны, мы также знаем, что потому что Икс знак равно − 1 2 когда Икс знак равно 2 π 3 а также Икс знак равно 4 π 3 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *