Найти собственные векторы и собственные числа матрицы: Собственные числа и собственные векторы

1.5. Собственные числа и собственные векторы матрицы

Число называется Собственным числом матрицы ,

Если существует ненулевой вектор такой, что

.

При этом вектор называется Собственным вектором матрицы , соответствующим собственному числу .

Характеристическим уравнением матрицы называется уравнение

. (10)

Корни этого уравнения являются собственными числами матрицы А.

Рассмотрим систему уравнений

,

В которой принимает одно из значений . Определитель этой системы в силу (10) равен нулю. Следовательно, система определяет с точностью до постоянного множителя собственный вектор , соответствующий данному собственному числу.

Задание 5. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

.

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы А.

,

Или. Корни этого уравнения Являются собственными числами матрицы А.

Для отыскания собственных векторов матрицы А используем систему уравнений

(11)

Полагая в ней поочередно .

1. Пусть . Тогда система (11) примет вид:

Или

. (12)

Полученную систему решим методом Гаусса. Расширенная матрица Системы (12) имеет вид:

.

Приведем матрицу к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Для этого умножим элементы первой строки матрицы на (-3) и сложим с соответствующими элементами второй строки. Получим матрицу

,

Которая является расширенной матрицей системы

.

Следовательно, , то есть система имеет бесчисленное множество решений, определяемых равенством .

Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел , где T — любое число, отличное от нуля.

2. Пусть . Тогда система (11) примет вид:

. (13)

Решим систему (13) методом Гаусса.

Расширенная матрица системы (13) имеет вид:

.

Приведем матрицу к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Для этого, сначала переставим первую строку матрицы Со второй строкой. Получим:

.

Теперь умножим элементы первой строки матрицы на 2 и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим элементы первой строки матрицы на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. В результате получим:

.

Далее, сложим элементы второй строки матрицы с соответствующими элементами третьей строки. Получим матрицу:

,

Которая является расширенной матрицей системы

.

Следовательно, , то есть система имеет бесконечное множество решений, определяемых равенством .

Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел , где

T — любое число, отличное от нуля.

3) Пусть. Тогда система (11) примет вид:

(14)

Решим систему (14) методом Гаусса. Расширенная матрица системы (14) имеет вид:

.

Приведем матрицу к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Сначала поменяем первую строку матрицы со второй строкой. Получим:

.

Умножим теперь элементы первой строки матрицы на 5 и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим элементы первой строки матрицы на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. В результате получим:

.

Далее, сложим элементы второй строки матрицы соответственно с элементами третьей строки. Тогда получим матрицу:

,

Которая является расширенной матрицей системы

.

Следовательно, , то есть система имеет бесчисленное множество решений, определяемых равенством .

Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел , где T — любое число, отличное от нуля.

< Предыдущая		Следующая >

5.1.3. Собственные числа и собственные векторы матрицы

Вектор Х называется Собственным вектором матрицы А, если найдется такое число L, что выполняется равенство: АХ = LХ, то есть результатом применения к Х линейного оператора, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число L. Само число L называется Собственным числом

матрицы А.

Подставив в формулы (3) X’J = LXj, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

Отсюда

.

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

Получим уравнение для определения собственных чисел L, называемое Характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:

Поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-LЕ. Многочлен относительно L | A — LE| называется Характеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Доказательство.

(см. (11.4)), но Следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и |A—LE| не изменяется при переходе к новому базису.

2) Если матрица А линейного оператора является Симметрической (т. е. АIj=Aji), то все корни характеристического уравнения (11.6) – действительные числа.

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

1) Если выбрать базис из собственных векторов Х1, х2, х3, соответствующих собственным значениям λ1, λ2, λ3 матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

2) Если собственные значения оператора А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

Пример 1.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы

Составим характеристическое уравнение:

(1- L)(5 — L)(1 — L) + 6 — 9(5 — L) — (1 — L) — (1 — L) = 0,

L³ — 7L² + 36 = 0, L1 = -2, L2 = 3, L3 = 6.

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению L. Из (5) следует, что если Х(1)={X1,X2,X3} – собственный вектор, соответствующий L1=-2, то

Совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде

Х(1)=(A,0,-A), где А – любое число. В частности, если потребовать, чтобы |X(1)|=1,

Подставив в систему (5) L2=3, получим систему для определения координат второго собственного вектора — X(2)=(Y1,Y2,Y3):

Откуда Х(2)=(B,-B,B) или, при условии |X(2)|=1,

Для L3 = 6 найдем собственный вектор X(3)=(Z1, Z2, Z3):

X(3)={C,2C,C} или в нормированном варианте

Можно заметить, что Х(1)Х(2) = Ab – Ab = 0, X(1)X(3) = Ac – Ac = 0, X(2)X

(3) = Bc — 2Bc + Bc = 0. Таким образом, собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.

< Предыдущая		Следующая >

Собственные векторы матричного калькулятора (с собственными значениями)

Поиск инструмента

Поиск инструмента в dCode по ключевым словам:

Просмотр полного списка инструментов dCode

Собственные векторы матрицы

Инструмент для расчета собственных векторов матрицы. Собственные векторы матрицы — это векторы, направление которых остается неизменным после умножения на матрицу. Они связаны с собственным значением.

Результаты

Собственные векторы матрицы — dCode

Метки: Матрица

Поделиться

dCode и многое другое

dCode бесплатен, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!

Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор собственных векторов

Загрузка. ..
(если это сообщение не исчезнет, ​​попробуйте обновить эту страницу)

Форсировать числовое значение (более быстрое вычисление)

См. также: Собственные значения матрицы — Характеристический многочлен матрицы — Диагонализация матрицы

Калькулятор собственных пространств

⮞ Перейти к: Собственные пространства матрицы

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое собственные векторы матрицы? (Определение)

Собственный вектор матрицы представляет собой характеристический вектор (или привилегированную ось или направление), на котором линейное преобразование ведет себя как скалярное умножение на константу с именем собственное значение.

Набор из собственных векторов образует собственное пространство.

Как вычислить собственные векторы матрицы?

Чтобы найти собственных вектора , возьмем $M$ квадратную матрицу размера $n$ и $\lambda_i$ ее собственные значения. Собственные векторы являются решением системы $ ( M − \lambda I_n ) \vec{X} = \vec{0} $ с $ I_n $ единичной матрицей.

Пример: Матрица 2×2 $$ M=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} $$
Собственные значения матрицы $M$ равны $\lambda_1 = 5 $ и $ \lambda_2 = -1 $ (см. инструмент для вычисления собственных значений матрицы).

Для каждого собственного значения найдите соответствующий собственный вектор .

Пример: Для $ \lambda_1 = 5 $ решить $ ( M − 5 I_n ) X = \vec{0} $: $$ \begin{bmatrix} 1-5 & 2 \\ 4 & 3-5 \end{bmatrix} . \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ и найти как решение $$ \begin{align} -4 x_1 + 2 x_2 &= 0 \\ 4 x_1 — 2 x_2 &= 0 \end{align} \iff \begin{array}{c} x_1 = 1 \\ x_2 = 2 \end{array} $$ Итак, собственный вектор равен , связанное с $\lambda_1 = 5$, равно $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $

Пример: Для $\lambda_2 = -1 $, решить $ ( M + I_n ) X = \vec{0} $ следующим образом: $$ \begin{bmatrix} 1+1 и 2 \\ 4 и 3+1 \end{bmatrix} . \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{align} 2 x_1 + 2 x_2 &= 0 \\ 4 x_1 + 4 x_2 &= 0 \end{align} \iff \begin{array}{c} x_1 = -1 \\ x_2 = 1 \end{array} $$

Таким образом, собственный вектор равен , связанный с $\lambda_1 = -1 $, равен $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $.

Как доказать диагонализируемость матрицы?

Матрица $ M $ матрица порядка $ n $ называется диагонализируемой матрицей, если она имеет $ n $ собственных векторов , связанных с $ n $ различными собственными значениями.

Существует ли нулевой вектор как собственный вектор?

Определение собственного вектора исключает его недействительность. Однако, если в расчете число независимых собственных векторов меньше, чем количество собственных значений, dCode иногда отображает нулевой вектор.

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код «Собственные векторы матрицы». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Собственные векторы матрицы», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Собственные векторы Матрицы» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и все данные загрузка, сценарий или доступ к API для «Собственных векторов матрицы» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!

Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

Cite dCode

Копирование и вставка страницы «Собственные векторы матрицы» или любых ее результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
Цитировать как источник (библиографию):
Собственные векторы матрицы на dCode. fr [онлайн-сайт], получено 13 ноября 2022 г., https://www.dcode.fr/matrix-eigenvectors

Сводка

• Калькулятор собственных векторов
• Калькулятор собственных пространств
• Что такое собственные векторы матрицы? (Определение)
• Как вычислить собственные векторы матрицы?
• Как доказать, что матрица диагонализируема?
• Существует ли нулевой вектор как собственный вектор?

Similar pages

• Matrix Diagonalization
• Characteristic Polynomial of a Matrix
• Eigenvalues ​​of a Matrix
• Eigenspaces of a Matrix
• Jordan Normal Form Matrix
• Rank of a Matrix
• Schur Decomposition (Matrix)
• СПИСОК ИНСТРУМЕНТОВ DCODE

Support

• Paypal
• Patreon
• More

 

Forum/Help

Keywords

eigenvector,matrix,eigenvalue,space,direction

Links

▲

матрицы — Определить матрицу, зная ее собственные значения и собственные векторы

спросил 7 лет, 9 месяцев назад

Изменено 2 года назад 9T;$

Пытался решить как систему уравнений для каждой строки, но как-то не получилось.