Ответы | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||
04.16
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
Данный пример использовался на экзамене upsc в декабре 2013 и лишь один человек смог решить его .
Решено
В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB = 4, tg А=0.75 . Найдите АС.
:ребята посадили по 10 горошин. у Коли не дали ростки 3 горошины а у Миши — 4 . сколько горошин дали ростки у каждого из этих мальчиков?УСЛОВИЕ РЕШЕНИЕ И ОТВЕТ
Решено
поезд отправился из санкт петербурга в 23 ч. 15 мин.и прибыл в москву в 6 ч. 25 мин. следующего дня. по пути он сделал две остановки по 5 минут…
Решено
С помощью циркуля и линейки постройте угол 150’
Пользуйтесь нашим приложением
Арифметическая прогрессия. Часть 2
Мы дали определение арифметической прогрессии, вывели основные формулы и решили несколько базовых задач здесь. В этой статье мы рассмотрим основные типы задач на арифметическую прогрессию.
Общий подход к решению задач на прогрессии такой: если в задаче есть слово «сумма», то применяем формулу суммы n членов арифметической прогрессии. Если слова «сумма» нет, то записываем формулу n-го члена. Затем условие задачи, и то, что нам нужно узнать выражаем через и .
Рассмотрим примеры решения задач.
1. Арифметическая прогрессия задана формулой .
a) Найдите сумму положительных членов данной прогрессии.
б) Найдите сумму членов данной прогрессии с 5 по 14 включительно.
1. Чтобы найти сумму положительных членов прогрессии, нужно знать их количество. Выясним, сколько в прогрессии положительных членов.
По условию . Решим неравенство
и найдем наибольшее n, удовлетворяющее этому неравенству.
.
Наибольшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству n=19.
Следовательно, в прогрессии 19 положительных членов и нам надо найти их сумму.
б) Формула для нахождения суммы n членов арифметической прогрессии позволяет найти сумму членов с 1 по n включительно.
Чтобы найти сумму с 5 по 14 включительно, мы поступим так:
Очевидно, что
Ответ: а) 912; б) 505
2. Четвертый член арифметической прогрессии равен 9, а восьмой равен 7. Найти сумму пяти членов прогрессии.
Запишем условие задачи в виде системы, выразив , и через и .
(1)
********
Найти .
Чтобы найти нам нужно знать и . Найдем их, решив систему (1)
Вычтем из второго уравнения первое, получим
Подставим в первое уравнение системы:
Теперь найдем :
Ответ: 47,5
3. Сумма третьего, пятого и седьмого членов арифметической прогрессии равна 60, а произведение пятого и шестого членов этой прогрессии равно 300. Найдите сумму пятнадцати первых членов этой прогрессии.
Запишем условие задачи, выразив , , , , , и через и :
(2)
******
Найти .
Чтобы найти нам нужно знать и . Найдем их, решив систему (2)
Подставим выражение через во второе уравнение системы.
Решим второе уравнение:
Ответ: 75
4. Сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 18. Найти сумму тринадцати членов этой прогрессии.
Запишем условие задачи в виде системы, выразив , и через и .
(3)
**************
Найти
В этой задаче мы не можем пойти проторенной дорожкой, поскольку у нас только одно уравнение, а неизвестных два. Мы не можем найти по отдельности и .
И не будем пытаться.
Упростим левую часть уравнения (3) и разделим обе части на 2, получим:
(4)
Теперь посмотрим, что нам нужно найти:
( из (4))
Ответ: 117
5. Если разделить шестой член арифметической прогрессии на первый, то в частном получится 4, а в остатке 1. Разность пятого и второго ее членов равна 4,2.
Сколько членов содержит прогрессия, если сумма ее первого и последнего членов равна 11.
Как обычно, выразим условие задачи через и .
Остановимся подробнее на первом условии. Как записать в виде равенства «если разделить шестой член арифметической прогрессии на первый, то в частном получится 4, а в остатке 1».
Если, например, мы хотим разделить 16 на 5, то в частном получим 3 и в остатке 1. То есть если мы из 16 вычтем 1, то оставшееся число 15 разделится на 5 без остатка:
или
В общем случае
Итак, запишем условие задачи. Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:
Из второго уравнения получаем ;
Подставим значение в первое уравнение и найдем :
;
Подставим значения и в третье уравнение системы и найдем n:
Ответ: 6
6. Найти сумму трехзначных чисел, которые делятся на 5, но не делятся на 3.
Число, которое делится на 3 и на 5, делится на 15.
Следовательно, чтобы найти сумму трехзначных чисел, которые делятся на 5, но не делятся на 3, нам нужно:
1. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 5.
2. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 15.
3. Из первой суммы вычесть вторую.
1. Первое трехзначное число, которое делится на 5 — число 100.
Последнее — число 995. Очевидно, что мы имеем арифметическую прогрессию, в которой . Найдем число членов этой прогрессии.
Итак, сумма трехзначных чисел, кратных 5 равна 98550.
2. Первое трехзначное число, которое делится на 15, равно 105. Перед нами арифметическая прогрессия, в которой . Найдем число членов этой прогрессии, которые меньше 1000. Для этого решим неравенство:
Наибольшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству n=60.
Найдем сумму 60 членов это прогрессии.
3. Вычтем из первой суммы вторую:
Ответ: 65700
И.
В. Фельдман, репетитор по математике.
2},….$, где $a$ — первое слагаемое, а $r$ — знаменатель.
Вот в этом заданном вопросе мы ясно видим, что разница составляет $5$ и они дают арифметический прогресс.
Используемая формула: Сумма n-членов АП равна ${S_n} = (\dfrac{n}{2})(2a + (n — 1)d)$
Завершить пошаговое выполнение -шаговое решение:
Учитывая, что у нас есть последовательность $7,12,17,22,…$, которая явно соответствует AP.
Найти первое число последовательности очень просто. Ясно, что у нас есть первый член как $a = 7$, а затем, чтобы найти общую разность, мы вычтем второе значение и первое значение, тогда мы получим $d = 12 — 7 = 5$, и, следовательно, общая разность равна $d = 5$
Теперь, чтобы найти сумму $12-го члена данной последовательности, мы используем формулу ${S_n} = (\dfrac{n}{2})(2a + (n — 1)d)$
Положим $n = 12$, то мы имеем ${S_{12}} = (\dfrac{{12}}{2})(2a + (12 — 1)d)$, а также знаем, что $a = 7,d = 5$, то получаем ${S_{12}} = (\dfrac{{12}}{2})(2(7) + (12 — 1)(5))$
Теперь, упрощая уравнение, имеем $ {S_{12}} = 6(14 + (11)(5)) = 6(14 + 55)$
${S_{12}} = 6(69)= 414$
Теперь найдем сумму $20-й$ член данной последовательности используем формулу ${S_n} = (\dfrac{n}{2})(2a + (n — 1)d)$
Положим $n = 20$, тогда получим ${S_{20}} = (\dfrac{{20}}{2})(2a + (20 — 1)d)$, а также мы знаем, что $a = 7,d = 5$, то получаем \[{S_{20}} = (\dfrac{{20}}{2})(2(7) + (20 — 1)(5))\]
Теперь упрощая уравнение, имеем ${S_{20}} = 10(14 + (19)(5)) = 10(14 + 95)$
${S_{20}} = 10(109)= 1090$
Отсюда , мы имеем сумму $12$ члена как ${S_{12}} = 414$ и сумму $20$ члена как ${S_{20}} = 1090$
Таким образом, сумма этих двух членов из $12th$ до $20$ слагаемых (включительно), то есть $12,13,14,.
..,20$ означает разницу значений. Следовательно, мы должны найти разницу, используя вычитание наибольшего значения за вычетом наименьшего значения.
Следовательно, мы имеем сумму слагаемых от $12$ до $20$ как $1090 — 414 = 676$
Следовательно, вариант $B)676$ верен.
Примечание: Аналогично, геометрическая прогрессия:
$\bullet$ В GP ряд получается путем умножения двух последовательных членов так, чтобы они имели постоянные коэффициенты.
$\bullet$ В GP ряд идентифицируется с помощью обыкновенного соотношения между последовательными членами.
Ряды $\bullet$ изменяются в экспоненциальной форме, потому что они увеличиваются при умножении членов.
Для ГП с обыкновенным отношением вычисляется формула $ГП = \dfrac{a}{{r — 1}},r \ne 1,r < 0$и $ГП = \dfrac{a}{{1 - r}},r \ne 1,r > 0$
Гармонический прогресс является обратной величиной данной арифметической прогрессии, которая имеет вид $HP = \dfrac{1}{{[a + (n — 1)d]} }$где $a$ — первое слагаемое, $d$ — общая разность, n — количество AP.
Найти сумму целых чисел от 100 до 200, которая не делится на 9…
Перейти к
- Арифметические прогрессии — упражнение 5.1
- Арифметические прогрессии — упражнение 5.2
- Арифметические прогрессии — упражнение 5.3
- Арифметические прогрессии — упражнение 5.4
- Вещественные числа
- Полиномы
- Пара линейных уравнений с двумя переменными
- Квадратные уравнения
- Арифметические прогрессии
- Треугольники
- Согласованная геометрия
- Введение в тригонометрию и ее уравнения
- Круги
- Конструкции
- Области, связанные с кругами
- Площади поверхности и объемы
- Статистика и вероятность
Главная >
Образцовые решения NCERT
Класс 10
Математика
>
Глава 5.
Арифметические прогрессии
>
Вопрос 9 Арифметические прогрессии. Упражнение 5.4
Найдите сумму целых чисел от 100 до 200, которая не делится на 9.
Ответ:
Сумма целых чисел от 100 до 200, которая не делится на 9 = (сумма всех чисел от 100 до 200) – (сумма всех чисел от 100 до 200, которая делится на 9)
Сумма, S = S1 – S2
Здесь,
S1 = сумма АП 101, 102, 103, – – – , 199
S2 = сумма АП 108, 117, 126, – – – , 198
Для AP 101, 102, 103, – – – , 199
Первый член, a = 101
Общая разность, d = 199
Число слагаемых = n
Тогда
an = a + (n – 1)d
199 = 101 + (n – 1)1
98 = (n – 1)
n = 99
\text { Теперь, } \mathrm{S}_{99}=\frac{99}{2}[2 \times 101+(99-1)(1)]\left[\because S_{n} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]\right. \\ =\frac{99}{2}[202+98]=\frac{99}{2} \times 300=99 \times 150=14850
Итак, сумма целых чисел от 100 до 200, которые не делятся на 9 = 14850 – 1683 =
13167.
Связанные вопросы
Отношение 11-го члена к 18-му члену АП равно 2 : 3. Найти отношение 5-го члена к…
Решите уравнение – 4 + (–1) + 2 + … + x = 437
Джаспал Сингх погашает свой общий кредит в размере 118000 фунтов стерлингов, выплачивая каждый месяц, начиная с первого взноса…
**Сумма суммы первых пяти членов AP и суммы первых семи членов того же A…
** Восьмой член AP составляет половину его второго члена, а одиннадцатый член превышает одну треть его…
**AP состоит из 37 терминов. Сумма трех средних слагаемых равна 225, а сумма последних…
Фейсбук WhatsApp
Копировать ссылку
Было ли это полезно?
Упражнения
Арифметические прогрессии — упражнения 5.