Найти векторное произведение векторов: Онлайн калькулятор. Векторное произведение векторов

Как найти векторное произведение векторов

ФОРМУЛА

Чтобы найти векторное произведение \(\ [\overline{a}, \overline{b}] \) двух векторов, заданных их координатами \(\ \overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right) \quad{и}\quad \overline{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right) \)соответственно, необходимо вычислить следующий определитель

\(\ [\overline{a}, \overline{b}]=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {a_{x}} & {a_{y}} & {a_{z}} \\ {b_{x}} & {b_{y}} & {b_{z}}\end{array}\right| \)

Как правило, такой определитель вычисляется путем разложения первой строки. Также обратите внимание, что результатом векторного произведения является вектор.

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ВЕКТОРНОЙ ПРОДУКЦИИ ВЕКТОРОВ

ПРИМЕР

Задание: Найти векторное произведение векторов \(\ \overline{a}=(1 ; 0 ; 0) \quad{и}\quad \overline{b}=(0 ; 1 ; 0) \)

Решение: Для расчета векторного произведения указанных векторов используем формулу

\(\ [\overline{a}, b]=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {a_{x}} & {a_{y}} & {a_{z}} \\ {b_{x}} & {b_{y}} & {b_{z}}\end{array}\right| \)

Подставляя координаты указанных векторов, получаем:

\(\ [\overline{a}, \overline{b}]=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0}\end{array}\right| \)

Разобьем определитель по первой строке:

\(\ [\overline{a}, \overline{b}]=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0}\end{array}\right|= \)

\(\ =\overline{i} \cdot \left| \begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {1} & {0}\end{array}\right|-\overline{j} \cdot \left| \begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right|+\overline{k} \cdot \left| \begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right|= \)

\(\ =0 \cdot \overline{i}-0 \cdot \overline{j}+1 \cdot \overline{k} \)

Первые два определителя равны нулю, так как они содержат нулевой столбец, а третий определитель вычисляется как определитель второго порядка: мы берем произведение вторичных элементов из произведения элементов главной диагонали.

Итак, координаты искомого вектора равны коэффициентам ортов, то есть

\(\ [\overline{a}, \overline{b}]=(0 ; 0 ; 1) \)

Ответ: \(\ [\overline{a}, \overline{b}]=(0 ; 0 ; 1) \)

ПРИМЕР

Задание: Даны векторы \(\ \overline{a}=(5 ; 3 ;-4) \quad{и}\quad \overline{b}=(6 ; 7 ;-8) \) . Найти координаты векторного произведения \(\ [\overline{a}, \overline{b}] \)

Решение: Координаты векторного произведения \(\ [\overline{a}, \overline{b}] \) рассчитываются по формуле

\(\ [\overline{a}, \overline{b}]=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {a_{x}} & {a_{y}} & {a_{z}} \\ {b_{x}} & {b_{y}} & {b_{z}}\end{array}\right| \)

Подставляя координаты указанных векторов, получаем:

\(\ [\overline{a}, \overline{b}]=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {5} & {3} & {-4} \\ {6} & {7} & {-8}\end{array}\right|= \)

Разобьем полученный определитель по первой строке:

\(\ =\vec{i} \cdot \left| \begin{array}{cc}{3} & {-4} \\ {7} & {-8}\end{array}\right|-\overline{j} \cdot \left| \begin{array}{cc}{5} & {-4} \\ {6} & {-8}\end{array}\right|+\overline{k} \cdot \left| \begin{array}{cc}{5} & {3} \\ {6} & {7}\end{array}\right|= \)

\(\ =[3 \cdot(-8)-7 \cdot(-4)] \cdot \overline{i}-[5 \cdot(-8)-6 \cdot(-4)] \cdot \overline{j}+ \)

\(\ +[5 \cdot 7-6 \cdot 3] \cdot \overline{k}=(-24+28) \overline{i}-(-40+24) \overline{j}+(35-18) \overline{k}= \)

\(\ =4 \cdot \overline{i}+16 \cdot \overline{j}+17 \cdot \overline{k} \)

Тогда

\(\ [\overline{a}, \overline{b}]=(4 ; 16 ; 17) \)

Ответ: \(\ [\overline{a}, \overline{b}]=(4 ; 16 ; 17) \)

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Как найти скалярное произведение векторов Как найти угол между векторами Как найти координаты вектора Как найти длину вектора

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

7.

2.3. Векторное произведение MathCAD 12 руководство

RADIOMASTER

Лучшие смартфоны на Android в 2022 году

Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.

1205 0

Документация Схемотехника CAD / CAM Статьи

MathCAD 12 MatLab OrCAD P CAD AutoCAD MathCAD 8 — 11

• Главная
/
• База знаний
/
• CAD / CAM
/
• org/Breadcrumb»>MathCAD 12

• Линейная алгебра
• 7.1. Простейшие матричные операции
  • 7.1.1. Транспонирование
  • 7.1.2. Сложение и вычитание
  • 7.1.3. Умножение
• 7.2. Векторная алгебра
  • 7.2.1. Модуль вектора
  • 7.2.2. Скалярное произведение
  • 7.2.3. Векторное произведение
  • 7.2.4. Векторизация массива
• 7.3. Вычисление определителей и обращение квадратных матриц
  • 7.3.1. Определитель квадратной матрицы
  • 7.3.2. Ранг матрицы
  • 7.3.3. Обращение квадратной матрицы
  • 7.3.4. Возведение квадратной матрицы в степень
  • 7.3.5. Матричные нормы
  • 7.3.6. Число обусловленности квадратной матрицы
• 7.4. Вспомогательные матричные функции
  • 7.4.1. Автоматическая генерация матриц
  • 7.4.2. Разбиение и слияние матриц
  • 7. 4.3. Сортировка элементов матриц
  • 7.4.4. Вывод размера матрицы

Векторное произведение (cross product) двух векторов u и v с углом 9 между ними равно вектору с модулем |u|-|v|sin0, направленным перпендикулярно плоскости векторов u и v. Обозначают векторное произведение символом х, который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторное произведение) в панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш <Ctrl>+<8>. Пример приведен в листинге 7.11.

Листинг 7.11. Векторное произведение двух векторов

Теги MathCad САПР

Сюжеты MathCad

Глава 1 Основы работы с системой Mathcad 11

9981 0

Глава 10 Работа с информационными ресурсами Mathcad 11

6992 0

Глава 2 Работа с файлами Mathcad 11

12561 0

Комментарии (0)

Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

Вход

О проекте Использование материалов Контакты

Новости Статьи База знаний

Радиомастер
© 2005–2022 radiomaster. ru

При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.2542 s

Линейная алгебра

— Как рассчитать один из векторов, порождающих заданное перекрестное произведение?

$\begingroup$

Дан вектор: $$\vec b=(-0,361728, 0,116631, 0,924960)$$ и его векторное произведение: $$\vec a \times \vec b=(-0,877913, 0,291252, -0,380054)$$ Как рассчитать $\vec a$?

Я давно не изучал аналитическую геометрию, поэтому моя интерпретация проблемы может быть совершенно неправильной.

Что я сделал: $$\vec a \times \vec b= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ а_1 и а_2 и а_3 \\ б_1 & б_2 & б_3 \\ \end{vmatrix}$$ $$\vec a \times \vec b= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ а_1 и а_2 и а_3 \\ -0,361728 и 0,116631 и 0,924960 \\ \end{vmatrix}$$ $$\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ а_1 и а_2 и а_3 \\ -0,361728 и 0,116631 и 0,924960 \\ \end{vmatrix}=-0,877913\vec i + 0,291252\vec j -0,380054\vec k$$ Использование правила Сарруса: $$(0,924960a_2-0,116631a_3)\vec i+(-0,361728a_3 -0,924960a_1)\vec j+(0,116631a_1 +0,361728a_2)\vec k=-0,877913\vec i + 0,291252\vec j -5\vec j -0,380 k $$ $$ \левый\{ \начать{массив}{с} (0,924960a_2-0,116631a_3)\vec i=-0,877913\vec я \\ (-0,361728a_3 -0,924960a_1)\vec j=0,291252\vec j \\ (0,116631a_1 +0,361728a_2)\vec k=-0,380054\vec k \конец{массив} \верно. $$ Используя матричное решение для решения системы линейных уравнений: $$ A=\begin{bmatrix} 0 и 0,924960 и -0,116631 \\ -0,924960 & 0 & -0,361728 \\ 0,116631 и 0,361728 и 0 \\ \end{bматрица}, х= \begin{bmatrix} а_1 \\ а_2 \\ а_3 \\ \end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix} -0,8779{-1}= \not \exists$ и система не имеет решения.

Но… Я ЗНАЮ у этой системы есть решение, и оно таково: $$ \vec a=(-0,313722, -0,949510, -0,002962) $$ Итак, что я делаю неправильно?

• линейная алгебра
• векторы
• аналитическая геометрия
• перекрестное произведение

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Неправда, что система не может иметь решения, если $A$ необратима. Например, чтобы выбрать глупый пример, $$ \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} $$ имеет решения $x=(1,t)$ для каждые $t$. Что нулевой определитель означает только то, что решение, если оно существует, не будет уникальный .

---

Однако вместо того, чтобы решать все эти общие задачи линейной алгебры, я бы сделал следующее, используя известные свойства векторного произведения:

Сначала проверьте, что ваши значения для $b$ и $a\times b$ ортогональны — — иначе ваши данные не согласуются.

Во-вторых, будет бесконечное количество решений для $a$, отличающихся кратными $b$ (поскольку $(a+tb)\times b = (a\times b)+t(b\times b)= a\times b$. Давайте произвольно выберем, чтобы найти одно из решений, ортогональное к $b$. Это конкретное решение будет кратно $b\times(a\times b)$, поэтому вам нужно найти такое $u$, что $$ u(b\times (a\times b)) \times b = a\times b $$ Этого должно быть достаточно для одной из трех координат, поэтому просто выберите численно наибольшую составляющую $a\times b$ и разделите ее на соответствующую составляющую $b\times (a\times b)$, получив $u$.

Затем вы можете добавить произвольное число, кратное $b$, по своему усмотрению.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Фундаментальная проблема заключается в том, что существует бесконечное количество решений.

Использование вашего подхода с одновременным уравнением создает обманчивое впечатление, что у нас есть три уравнения с тремя неизвестными. Это не совсем так, поскольку система не полностью определена.

Определение перекрестного произведения говорит нам, что:

$$\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}=\vec{n}\,|\vec{a}|\,|\vec{b}|sin\theta$ $

Где $\vec{n}$ — единичная нормаль, перпендикулярная к $\vec{a}$ и $\vec{b}$, построенная по правилу правой руки, а $\theta$ — угол между $\vec {a}$ и $\vec{b}$.

Все, что мы можем сделать в обратном порядке, это получить:

$$|\vec{a}|sin\theta=\frac{|\vec{c}|}{|\vec{b}|}$$

Но, не зная ни $|\vec{a}|$, ни $sin\theta$, мы не можем найти оба значения только из $\vec{b}$ и перекрестного произведения.

Конечно, известное вам значение $\vec{a}$ является допустимым решением, но таких правильных решений существует бесконечное множество.

Другой способ подумать об этом состоит в том, чтобы построить вектор $v$ такой, что: некоторые произвольные скаляры $\lambda$ и $\mu$.

Теперь рассмотрим $\vec{v}\times\vec{b}$ :

$$\vec{v}\times\vec{b}=\lambda(\vec{a}\times\vec{b })+\mu(\vec{b}\times\vec{b})$$

Но $\vec{b}\times\vec{b}=0$ поэтому:

$$\vec{v}\times\vec{b}=\lambda(\vec{a}\times\vec{b})$$

Но это означает, что существует бесконечное число возможных векторов $ \vec{v}$ с произвольными значениями $\mu$, которые дают то же векторное произведение с $\vec{b}$. А так как у нас нет информации о $\mu$, мы не можем его определить.

Таким образом, векторное произведение необратимо однозначно.

$\endgroup$

геометрия — Использование перекрестного произведения для нахождения угла между двумя векторами в $\Bbb R^3$

Задавать вопрос

спросил 7 лет, 6 месяцев назад

Изменено 1 год, 11 месяцев назад

Просмотрено 84k раз

$\begingroup$

Пусть $$u = \langle 1, −2, 3 \rangle \qquad \text{and} \qquad v = \langle −4, 5, 6 \rangle. $$ Найдите угол между $u$ и $v$ сначала с помощью скалярного произведения, а затем с помощью векторного произведения. 9\circ$ из скалярного произведения.

Однако я не знаю, как использовать перекрестное произведение, чтобы найти ответ.

• геометрия
• векторы
• евклидова геометрия
• перекрестное произведение

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Подсказка Перекрестное произведение удовлетворяет $$||{\bf a} \times {\bf b}|| = ||{\bf а}|| \, ||{\bf b}|| \sin\тета,$$ где $\theta \in [0, \pi]$ — угол между $\bf a$ и $\bf b$.

(На самом деле это свойство очень близко к одному из общих определений перекрестного произведения; см., например, определение 7.4 Денниса Г. Зилла, Майкла Р. Каллена (2006). Высшая инженерная математика (3-е изд.).

No related posts.