Раздел 1. Алгебра и начала анализа
Тема 1.3. Основы тригонометрии Задание 14. Решение упражнений на вычисление значений тригонометрических выражений. – 1 ч.
Цель: формирование умения определять знак тригонометрической функции в зависимости от координатной четверти её аргумента; вычислять значения тригонометрических выражений, используя свойства чётности (нечётности) и периодичности тригонометрических функций.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
14.1. Вспомните, от чего зависит знак тригонометрической функции. Какие из тригонометрических функций являются чётными, а какие – нечётными? В каких ситуациях для нахождения значения тригонометрического выражения используется свойство периодичности?
Основные сведения из теории:
14.2. Заполните таблицу:
I | II | III | IV | |
+ | ||||
— | ||||
— | ||||
— |
14.
3.Запишите
правую часть формулы, представляющей
свойство чётности (нечётности)
тригонометрической функции:
14.4. Закончите утверждение:
а) Наименьший положительный период синуса в радианах равен …
б) Наименьший положительный период косинуса в градусах равен …
в) Наименьший положительный период тангенса в радианах равен …
г) Наименьший положительный период котангенса в градусах равен …
Примеры и упражнения:
14.5. Сравните с нулём значение тригонометрического выражения:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .
Вам,
уважаемый студент, известно, что
тригонометрия возникла прежде всего
из практических нужд.
Имя и фамилия автора «Альмагеста»:
14.6а) | 14.6 б) | 14.6 в) | 14.6 г) | 14.6 д) | 14. | 14.7 а) |
6
е)14.7 б) | 14.7 в) | 14.8 а) | 14.8 б) | 14.8 в) | 14.9 а) | 14.9 б) | 14.9 в) |
Карта ответов:
А | Н | О | Й |
21 | 57 | ||
Г | Й | И | Т |
1 | |||
Л | Е | Д | С |
9 | 3 | 12 | |
П | Р | Л | К |
У | В | М | Е |
4,5 | 10,5 |
14.
6.
Вычислите значение
тригонометрического выражения, используя
таблицу «Значения тригонометрических
функций основных углов»:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
14.7. Вычислите значение тригонометрического выражения, используя свойство чётности (нечётности) тригонометрических функций:
а) ; б) ; в) .
14.8. Вычислите значение тригонометрического выражения, используя свойство периодичности тригонометрических функций:
а) ; б) ; в) .
14.9. Вычислите значение тригонометрического выражения:
а) ; б) ; в) .
14.10. Пройдите тест на вычисление значений тригонометрических выражений. Электронная версия теста «Тест 14» находится на прилагаемом к пособию диске.
Список литературы:
1.
Богомолов Н.В. Математика: учеб. для
ссузов / Н.В. Богомолов, П.
И. Самойленко.
– М.: Дрофа, 2010.-395 с. — Глава 3, §25, стр. 139
– 142; §29, стр. 149 – 151.
Проект урока в 10 классе «Преобразование тригонометрических выражений». | Проект по алгебре (10 класс) на тему:
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
вечерняя (сменная) общеобразовательная школа № 9
города Ульяновска
Проект урока алгебры и начал анализа
в 10 классе по теме:
«Преобразование тригонометрических выражений»
Учитель математики
Васильева Е.В.
г. Ульяновск, 2012г.
Тема урока: «Преобразование тригонометрических выражений»
Тип урока: урок применения знаний.
Цели урока:
- Обучения: повторить теоретический материал по теме тригонометрические тождества, формировать умения применять основные тригонометрические тождества для преобразования тригонометрических выражений.
- Развития: развитие зрительной памяти, вычислительных навыков, познавательной активности.
- Воспитания: воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов, интереса к предмету, формирование грамотной математической речи.
Оборудование: Компьютер, компьютерная презентация, мультимедиапроектор, экран, карточки – задания для практической работы, карточки – задания для разноуровневой самостоятельной работы, таблица «Формулы тригонометрии».
Структура урока:
- Организационный момент (сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности) – 1 мин.
- Актуализация опорных знаний и умений учащихся — 4 мин (презентация):
— устный счёт;
— сообщение из истории математики.
3. Применение знаний – 24 мин (презентация):
— повторение теоретического материала по теме «Преобразование тригонометрических выражений»;
— применение тригонометрических формул к преобразованию выражений.
4. Разноуровневая самостоятельная работа (работа по карточкам)– 10 мин.
- Рефлексия, подведение итогов урока — 1 мин.
Ход урока
I. Организационный момент.
Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности.
II. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (компьютерная презентация)
- Устная работа (слайд1):
- Радианная мера двух углов равна и . Найдите градусную меру каждого из углов.
- Найдите радианную меру углов, если их градусные меры равны 45, 60, 90.
- Может ли косинус быть равным: а) , б) ?
- Может ли синус быть равным: а) –3, 7, б)?
- Сообщение из истории тригонометрии (краткая историческая справка) (слайд2):
Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как её вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека.
Некоторые тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции.
Греческий астроном Гиппарх во II в. до н. э. составил таблицу числовых значений хорд в зависимости от величин стягиваемых ими дуг. Более полные сведения из тригонометрии содержатся в известном “Альмагесте” Птолемея.
Сделанные расчёты позволили Птолемею составить таблицу, которая содержала хорды от 0 до 180 .
Название линий синуса и косинуса впервые были введены индийскими учёными. Они же составили первые таблицы синусов, хотя и менее точные, чем птолемеевы.
В Индии начинается по существу учение о тригонометрических величинах, названное позже гониометрией (от “гониа” — угол и “метрио” — измеряю).
На пороге XVII в. в развитии тригонометрии начинается новое направление – аналитическое.
Тригонометрия даёт необходимый метод развития многих понятий и методы решения реальных задач, возникающих в физике, механике, астрономии, геодозии, картографии и других науках. Кроме этого, тригонометрия является большим помощником в решении стереометрических задач.
III. Применение знаний (компьютерная презентация)
- повторение теоретического материала и применение тригонометрических формул к преобразованию выражений.
- Назовите основное тригонометрическое тождество и равенства, вытекающие из него (формулы одна за другой появляются на слайде1).
sin 2 x + cоs 2 x = 1,
sin 2 x = 1 – cоs 2 x,
cоs 2 x = 1 – sin 2 x.
- Как называются следующие формулы (слайд2)
sin (x +у) = sinx cоsу+ cоsx sinу,
sin (x — у) = sinx cоsу — cоsx sinу,
cоs(x + у) = cоsх cоsу — sinx sinу,
cоs(x — у) = cоsх cоsу + sinx sinу?
Прочитайте их.
- Практическое задание № 1-карточка (фронтальное решение на доске, ответы для проверки на слайде ):
а) Упростить выражение:
1) sin3x cоs2х — 5 sin5x + cоs3x sin2х,
2) 9 cоs9х + sin5x sin4х — cоs5х cоs4х,
3) 5sin2x + 7 + 5cоs2x,
б) Найти значение выражения:
-3sinx + cоs2x, если sinx = -1.
Ответы: а) 1) -4 sin5x, 2) 8 cоs9х, 3)12; б) 3. (слайд3)
- Верно ли записаны формулы двойного угла (слайд4):
sin2x = 2sinx cоsx,
cоs2x = cоs2x — sin2x,
tq2х = 2 tqх/(1 — tq 2х)?
Назовите правильную формулу, если данная формула записана неверно.
- Практическое задание № 2 — карточка.
Упростить:
а) 4cоs2x sin2x,
б)6 cоs2x +5 — 6sin2x,
в) (cоs x –sin x)2,
Ответы: а) 2sin4x, б)5 – 6 cоs2x, в) 1 — sin2x (слайд5).
- Верно ли записаны формулы приведения (слайд6)
1) sin(π – х) = sinx,
2) cоs(2π +х) = cosx,
3) tq(π/2 – х) = ctgx,
4) sin(π/2+ х) = sinx ,
5) cоs(3π/2 – х) = cosx?
Каков алгоритм запоминания формул приведения?
- Практическое задание № 3:
Упростите выражение:
1) sin2(3π/2 – х)+ cоs2(2π +х),
3) 4sin(π + х)+ cоs(π/2 + х).
Ответы: 1) 2соs2х, 3) 3sinx (слайд7)
IV. Разноуровневая самостоятельная работа:
Учащиеся решают самостоятельную работу, напечатанную на карточках разного цвета, выбор цвета (уровня) выбирают учащиеся сами.
Уровень 1(на «3» — тест)
1. Найдите значение выражения , если .
1) | – 0,018 | 2) | 0,018 | 3) | – 0,06 | 4) | 0,06 |
2.
Найдите значение выражения , если .
1) | 2) | 3) | 4) |
Уровень 2 (на «4» и «5»)
1. Вычислите , если .
2. Вычислить , если x-y =150
3. , если .
Ответы для самоконтроля показываются на слайде8. Учащиеся проверяют решение и ставят себе оценку.
V. Рефлексия, подведение итогов.
Продолжите фразу:
“ Сегодня на уроке я узнал…”;
“Сегодня на уроке я научился…”;
“Сегодня на уроке я познакомился…”
“Сегодня на уроке я повторил…”
“Сегодня на уроке я закрепил…”
тригонометрия — Найдите значение тригонометрического выражения
Задавать вопрос
спросил
Изменено 5 лет, 11 месяцев назад
Просмотрено 143 раза
$\begingroup$ 93\beta}{\sin \alpha} \end{align} \tag{2} $$
Пробовал так: Из $(1)$ получаем $$\sin\alpha \cos\beta+\cos\ альфа \sin\beta=-\sin\beta \cos\beta$$ $\implies$
$$\sin(\alpha+\beta)=-\sin\beta \cos\beta \tag{3}$$
Уравнение $(2)$ равно $$\frac{\frac{\sin\alpha}{4}\left(3\cos\beta+\cos3\beta\right)+\frac{\cos\alpha}{ 4}\left(3\sin\beta-\sin3\beta\right)}{\sin\alpha \cos\alpha}=\frac{\frac{3}{4}\sin(\alpha+\beta)+ \ frac {1} {4} \ sin (\ alpha-3 \ beta)} {\ sin \ alpha \ cos \ alpha} = \ frac {\ frac {-3} {4} \ sin \ beta \ cos \ beta + \frac{1}{4}\sin(\alpha-3\beta)}{\sin\alpha \cos\alpha}$$ 92-1}{xy}\right) = -\left(1+\dfrac{1-2xy-1}{xy}\right) = 1$.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
$$\sin(\alpha+\beta)=-\frac{\sin2\beta}2$$
$$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin2\beta}=\frac {-1}2$$
Применить компонендо, дивидендо и формулу простафаэреза к $$\frac34\sin(\alpha+\beta)+\frac14\sin(\alpha-3\beta)=0$$
$\endgroup$ 92 \beta}+\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} =0$$
$\endgroup$
1
Как идентификаторы триггеров могут помочь в оценке триггерного материала?
Purplemath
Почему вы должны оценивать триггерные выражения с тождествами?
Только несколько углов (таких как 30° и 45°) являются особыми, с легко запоминаемыми точными значениями триггера.
Чтобы найти точные значения для некоторых других углов, вы должны применить тождества для преобразования этих других углов в специальные.
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
(В данном контексте «точный» означает «формы, включающие дроби и квадратные корни»).
После того, как вы узнали некоторые тождества триггеров и специальные значения углов, вы можете использовать их для оценки неспециальных углов в точных терминах. Да, вы всегда можете получить десятичную аппроксимацию с помощью своего калькулятора, но полезно изучить логику использования тождеств, чтобы вы могли упражняться в своих навыках поиска и сопоставления шаблонов.
Например, вас могут попросить найти точное значение синуса 15°. Этот угол не является одним из специальных угловых значений, а является разностью двух специальных угловых значений; а именно углы 45° и 30°. Вы можете использовать тождество триггера для синуса разности углов, sin(A-B), чтобы преобразовать выражение в форму, содержащую только синусы и косинусы специальных углов.
Исходя из этого, вы можете упростить, чтобы получить точную форму значения синуса.
(Пятнадцать — это тоже половина тридцати, а 30° — один из особых углов. Так что вы можете использовать формулу половинного угла и для синусов. Она даст вам тот же ответ, и она так же хороша, как и формула разности углов.)
- Точно вычислить cos(75°).
Я знаю точные значения косинуса 30° и 45° и вижу, что 75° = 30° + 45°, поэтому я буду использовать тождество суммы углов для косинуса, чтобы вычислить это значение «точно»:
Вы можете проверить свои ответы на такого рода упражнения, вставив каждое триггерное выражение и «точное» выражение в свой калькулятор. Если отображаемые значения совпадают (в данном случае 0,2588190451), то вы знаете, что выполнили оценку правильно.
- Точно определить тангенс (15°).
Поскольку 15 = 45 − 30, я буду использовать тождество разности углов для тангенса:
Если в вашем учебнике предпочтение отдается радианам (или если вы работаете как в градусах, так и в радианах), вас попросят оценить такие выражения, как
, что соответствует тому же углу, что и в приведенном выше примере.
Суммы и разности угловых мер могут быть немного сложнее распознать в радианах; например:
Две полезные суммы:
Если вам удобнее или удобнее работать с градусами, преобразуйте любые углы, измеряемые в радианах, в градусы, найдите суммы и разности, а затем снова преобразуйте их в радианы. .
- Вычислить sin(120°) по формуле.
Поскольку 120° дважды равно 60°, я буду использовать формулу двойного угла для синуса:
sin(2×60°) = 2sin(60°)cos(60°)
опорный угол, теперь я могу закончить оценку, вставив значения, которые я запомнил:
- Точно вычислить cos(22,5°).
Так как 22,5 составляет половину от 45, я буду использовать тождество половины угла для косинуса:
Поскольку 22,5° находится в первом квадранте, значение косинуса положительное, поэтому я возьму квадратный корень «плюс».
для моего ответа:
- Найдите cos(2 x ), если sin( x ) = -5/13 и x находится в третьем квадранте.
По знаку на синусе я могу только сказать, что x должно быть либо в QIII, либо в QIV. Именно из-за этой неоднозначности им пришлось указать квадрант для x .
По теореме Пифагора я могу найти третью сторону треугольника (которая является (прилежащей) стороной) по значению отношения синуса (противоположного) к (гипотенузе):
13 2 = (−5) 2 + (прил.) 2
169 = 25 + (прил.) 2
144 = (прил.) 2
Таким образом, смежная сторона имеет длину ±12. Поскольку угол x находится в третьем квадранте, а (смежная) сторона лежит вдоль горизонтальной оси, то «длина» (смежной) равна −12.
Подставив формулу двойного угла, я получаю:
В данном случае оказалось, что мне не нужна информация о квадрантах; возведение в квадрат и вычитание позаботились о знаках.