Примеры с применением формул сокращенного умножения: Формулы сокращённого умножения — урок. Алгебра, 7 класс.

Внеклассный урок — Способы решения примеров. Способы решения различных выражений.

Способы решения выражений

Решение с применением формул сокращенного умножения.

Пример: Выполните умножение:

   x³ + 8        x² – 4x + 4
(———) · ( —————)
   x – 2          x² – 2x + 4)

Решение.

Здесь нам не обойтись без формул сокращенного умножения. Для этого:

1) x³ + 8 представляем в другом виде: x³ + 2³

2) второй числитель преобразуем следующим образом: x² – 4x + 4 = (x – 2)( x – 2).

Тогда получаем тождественное выражение, в котором уже можем произвести сокращения:

x³ + 2³        (x – 2)(x – 2)
——— ·  ——————
  x – 2          x² – 2x + 4

Наше выражение обрело другой вид:

 (x³ + 2³) (x – 2)
———————
     x² – 2x + 4

Преобразуем выражение x³ + 2³, применив к нему формулу сокращенного умножения:

x³ + 2³ = (x + 2) (x² – 2x + 4)

Применим это выражение и произведем новое сокращение, которое приведет нас к окончательному решению:

(x + 2) (x² – 2x + 4) (x – 2)
——————————— = (x + 2) (x – 2) = x² – 4.
            x² – 2x + 4

 

Ответ: x² – 4

 

Решение способом группировки:

Пример: Выполните деление:

b³ + 3b² + 3b + 1        1
——————— : (—— + 1)
            b                      b

Решение.

Сначала приведем к одночлену делитель:

 1               1      1        b + 1
— + 1  =  — + —  =  ——
 b               b     1           b

Теперь произведем деление. Для этого перевернем делитель и умножим его на делимое. Произведем сокращение и получим новый вид нашего выражения:

b³ + 3b² + 3b + 1     b + 1      b³ + 3b² + 3b + 1       b           b³ + 3b² + 3b + 1
——————— : ——— =  ——————— · ———  =  ———————
            b                      b                       b                  b + 1               b + 1

Применим метод группировки. Поскольку число 1 в любой степени равно 1, то можем написать его в третьей степени и произвести следующую группировку:

 (b³ + 1³) + (3b² + 3b)
—————————
            b + 1

Разложим b³ + 1³ по формуле сокращенного умножения, а в выражении 3b² + 3b найдем общий множитель и вынесем его за скобку:

(b³ + 1³) + (3b² + 3b)         (b + 1) (b² – b + 1) + 3b(b + 1)
—————————  =  —————————————
            b + 1                                       b + 1

Выражения 3b и (b² – 2b + 1) получили общий множитель: b + 1. Значит, можем их сгруппировать:

(b² – b + 1 + 3b) (b + 1)       (b² + 2b + 1) (b + 1)
——————————  =  ————————
             b + 1                                   b + 1

Сокращаем множитель b + 1 и аналогичный знаменатель и получаем ответ:

(b² + 2b + 1) (b + 1)
———————— = b² + 2b + 1 = (b + 1)²
            b + 1

 

Ответ: (b + 1)²

 

Решение методом введения новой переменной.

Пример: Решите уравнение    (x² – 6x)² + 2(x – 3)² = 81.

Решение.

Первым делом напрашивается мысль разложить выражения в левой части по формуле сокращенного умножения. Но на самом деле целесообразно разложить только одно из двух выражений – а именно второе. Так мы и поступим:

2(х – 3)² = 2(х² – 6х + 9)

Таким образом, наше уравнение обретает следующий вид:

(x² – 6x)² + 2(х² – 6х + 9) = 81.

Мы видим, что в уравнении дважды встречается выражение x² – 6x. Значит, можем применить метод введения новой переменной. Заменим это выражение переменной у, затем раскроем скобки:

у² + 2(у +9) = 81

у² + 2у + 18 = 81

Число 81 перенесем в левую часть уравнения и приравняем уравнение к нулю. Тогда мы получим обычное квадратное уравнение:

у² + 2у – 63 = 0

Решим его. Для этого сначала пишем себе коэффициенты уравнения:

а = 1, b = 2, c = -63.

Находим дискриминант:

D = b² – 4ac = 4 – 4 · 1 · (-63) = 256

Находим корень из дискриминанта:

√256 = 16

Теперь находим значения у:

         — b + √D           -2 + 16
у₁ = ————— = ———— = 7
              2а                   2

 

         — b – √D           -2 – 16
у₂ = ————— = ———— = -9
             2а                    2

Переменной у мы заменяли выражение x² – 6x. А значит, мы уже можем найти значения х – и тем самым решить наш пример.

Итак, если x² – 6x = у, то:

x² – 6x = 7

x² – 6x = -9

Снова приравняем эти уравнения к нулю – и снова получим квадратные уравнения:

x² – 6x – 7 = 0

x² – 6x + 9 = 0.

Решив их, мы обнаружим, что наше исходное уравнение имеет три корня: -1; 3 и 7. Пример решен.

Ответ: -1; 3; 7

 

Решение с помощью формулы xⁿ – 1 = (x – 1) (x^n-1 + x^n-2+ … + x + 1).

Пример: Выполните вычитание:

(x⁵ – 1)

Решение:

(x⁵ – 1) = (x – 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1).

правила применения формул сокращенного умножения

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. 2\right)\]

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки .

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения .

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку .

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что «27а 3 » — это «(3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо «a » мы используем «3a ».

Используем формулу разности кубов. На месте «a 3 » у нас стоит «27a 3 », а на месте «b 3 », как и в формуле, стоит «b 3 ».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов «», только вместо «a » стоит «x », а на месте «b » стоит «1 ».

Используем для «(x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов
«a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2) », то можно понять, что на месте «a » из первой скобки стоит «y 2 , а на месте «b » стоит «1 ».

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 — b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 — 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у) 2 + (х + у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

1. формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
3. формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
5. формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
6. формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
7. формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · (n — k) ! = n (n — 1) (n — 2) . . (n — (k — 1)) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на — b .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a — b 2 = a — b a — b .

Раскроем скобки:

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9 y — (1 + 3 y) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y — (1 + 3 y) 2 = 9 y — (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x — z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Формула процентного уменьшения – вывод, примеры

Процентное уменьшение относится к процентному изменению значения, когда оно уменьшается в течение определенного периода времени. Например, снижение уровня осадков, уменьшение числа больных Covid и т. д. Процентное снижение можно рассчитать по формуле процентного снижения. В этом разделе мы обсудим формулу процентного уменьшения. Давайте изучим формулу процентного уменьшения с несколькими решенными примерами.

Что такое формула процентного уменьшения?

Формула процентного уменьшения дает уменьшение количества по отношению к его начальному значению. Чтобы рассчитать уменьшение в процентах, нам сначала нужно найти разницу в значениях. Затем разделите разницу на начальное значение и умножьте его на 100. Формула процентного уменьшения задается следующим образом:

Процентное уменьшение = [(Старое значение — Новое значение) / Старое значение] × 100]

Процент Формула уменьшения

Существует два простых шага для расчета процентного уменьшения с использованием формулы процентного уменьшения:

• Шаг 1: Найдите разницу между числами, т.е. Уменьшение = Старое значение — Новое значение
• Шаг 2: Разделите уменьшение на старое значение и умножьте его на 100. Это дает формулу уменьшения в процентах: Снижение в процентах = [(Старое значение — Новое значение) / Старое значение] × 100]

Процентное увеличение и уменьшение

Процентное увеличение и уменьшение — это процентное изменение значения. Процентное изменение — это разница между новым значением и старым заданным значением. Чтобы найти процентное изменение, эта разница делится на старое значение и умножается на 100, чтобы получить процентное увеличение или уменьшение.

Теперь следует отметить, что если новое значение больше, чем старое значение, то это процентное увеличение. Например, если цена книги изменится с 5 до 8 долларов, цена вырастет. Принимая во внимание, что когда старое значение больше нового значения, в этом случае это уменьшение в процентах. Например, если цена стола изменится с 10 до 8 долларов, произойдет снижение цены.

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Запись на бесплатный пробный урок

Примеры использования формулы процентного уменьшения

Пример 1. Число 53 ошибочно читается как 35. Найдите процентное уменьшение, используя формулу процентного уменьшения.

Решение:

Здесь новое значение = 35 долларов, а старое значение = 53 доллара.

= [(53 — 35)/53] × 100

= 18/53 × 100

= 33,9%

Таким образом, процентное уменьшение числа составляет примерно 34%

Пример 2: Товар, CP которого составляет 250 долларов, был продан за 230 долларов. Используйте формулу процентного снижения, чтобы найти процентное снижение цены товара.

Решение:

Здесь новое значение = 230 долларов, а старое значение = 250 долларов.0003

= [(250 — 230)/250] × 100

= 20/250 × 100

= 8%

Следовательно, процент снижения цены товара составляет 8%.

Пример 3: Продавец фруктов раньше продавал клубнику по 80 долларов за дюжину. Теперь он снизил стоимость дюжины клубники на 5%. Какова цена дюжины клубники сейчас? Рассчитайте, используя формулу процентного уменьшения.

Решение:

Пусть новая стоимость дюжины клубник равна x.

Согласно формуле процентного уменьшения,

Процентное уменьшение = [(Старое значение — Новое значение) / Старое значение] × 100

Дано, что процентное уменьшение = 5%; Новое значение = x, старое значение = 80

Итак, подставив эти значения в уравнение,

5 = [(80 – x)/80] × 100

x = 76

Итак, новая цена дюжины клубники стоит 76 долларов.

Часто задаваемые вопросы о формуле процентного уменьшения

Что подразумевается под процентным уменьшением?

Процентное уменьшение относится к процентному изменению значения при его уменьшении в течение определенного периода времени. Процентное уменьшение выражает уменьшение данного значения по отношению к его начальному значению в виде процента.

Какова формула процентного уменьшения?

Формула процентного уменьшения формируется, когда мы находим разницу между старым значением и новым значением, делим ее на старое значение и умножаем на 100. Формула процентного уменьшения выражается как:

Процентное уменьшение = [(Старое значение — новое значение) / старое значение] × 100]

Каковы шаги для расчета процентного уменьшения с использованием формулы процентного уменьшения?

Существует три простых шага для расчета процентного уменьшения с использованием формулы процентного уменьшения:

• Шаг 1: Найдите разницу между числами, т.е. Уменьшение = Старое значение — Новое значение
• Шаг 2: Разделите это «уменьшение» на старое значение и умножьте его на 100. Получится формула процентного уменьшения: Процентное уменьшение = [(Старое значение — Новое значение) / Старое значение] × 100]
• Шаг 3: Данные значения подставляются в формулу для определения процентного уменьшения.

Используя формулу процентного снижения, рассчитайте процентное снижение цены на карандаши с 12 до 9 долларов..

Мы будем использовать формулу процентного снижения для расчета процентного снижения цены на карандаши. В данном примере новое значение = 9 долларов, а старое значение = 12 долларов. Снижение в процентах = [(Старое значение — Новое значение) / Старое значение] × 100. Подставляя значения в формулу, процентное снижение = [(12 — 9)/12] × 100 = 25%. Таким образом, процент снижения цены на карандаши составляет 25%.

Сколько процентов уменьшилось с 20 до 16?

Процентное уменьшение с 20 до 16 можно рассчитать по формуле Процентное уменьшение = [(Старое значение — Новое значение) / Старое значение] × 100. В этом случае старое значение = 20, новое значение = 16. Итак, после подстановки значений в формулу Процент уменьшения = [(20 — 16) / 20] × 100 = 20%

Что такое пример процентного уменьшения?

Примеры процентного снижения можно увидеть в нашей повседневной жизни. Предположим, что цена на топливо уменьшилась с 7 до 4 долларов. Процентное снижение цены на топливо можно рассчитать по формуле Снижение в процентах = [(Старое значение — Новое значение) / Старое значение] × 100. Здесь старое значение = 7, новое значение = 4. Таким образом, после подстановки значений в формуле Процентное уменьшение = [(7 — 4) / 7] × 100 = 42,8%

Сколько процентов уменьшается с 12500 до 11625?

Уменьшение в процентах с 12 500 до 11 625 можно рассчитать по формуле: Снижение в процентах = [(Старое значение — Новое значение) / Старое значение] × 100. В этом случае старое значение = 12 500, новое значение = 11 625. Итак, после подстановки значений в формулу Процентное уменьшение = [(12500 — 11625) / 12500] × 100 = 7 %

Перевод слов, связанных с делением и умножением, в алгебраическое уравнение и решение

содержит деление на уравнение и решить

Вспомните четыре свойства равенства: вычитание, сложение, деление и умножение. Мы перечислим их все вместе здесь для удобства. Мы будем использовать их для решения уравнений, содержащих дроби.

Свойство равенства вычитания: Для любых вещественных чисел [латекс]\mathit{\text{a, b,}}[/latex] и [латекс]\mathit{\text{c,}}[/latex] , если [латекс]а=b[/латекс], то [латекс]а-с=b-с[/латекс].	Дополнительное свойство равенства: Для любых вещественных чисел [латекс]\mathit{\text{a, b,}}[/latex] и [латекс]\mathit{\text{c,}}[/latex] , если [латекс]а=b[/латекс], то [латекс]а+с=b+с[/латекс].
Равноправное имущество отдела: Для любых чисел [латекс]\mathit{\text{a, b,}}[/latex] и [латекс]\mathit{\text{c,}}[/latex], где [латекс]\mathit{\text {c}}\ne \mathit{0}[/латекс] , если [латекс]а=b[/латекс], то [латекс] \большой\фрак{а}{с}= \большой\фрак{b}{с}[/латекс]	Свойство равенства умножения: Для любых действительных чисел [латекс]\mathit{\text{a, b,}}[/latex] и [латекс]\mathit{\text{c}}[/latex] , если [латекс]а=b[/латекс], то [латекс]ас=bc[/латекс]

Когда вы складываете, вычитаете, умножаете или делите одну и ту же величину из обеих частей уравнения, вы все равно получаете равенство.
В следующих нескольких примерах мы переведем предложения, содержащие дроби, в уравнения, а затем решим уравнения. Первое свойство равенства, которое мы будем использовать, — это умножение.

Пример

Переведите и решите: [латекс]n[/латекс] разделить на [латекс]6[/латекс] будет [латекс]-24[/латекс].

Решение:

Перевести.
Умножьте обе стороны на [latex]6[/latex] .		[латекс]\color{red}{6}\cdot\Large\frac{n}{6}\normalsize=\color{red}{6}(-24)[/latex]
Упрощение.		[латекс]n=-144[/латекс]
Чек:	Разделенное [латекс]-144[/латекс] на [латекс]6[/латекс] равно [латекс]-24[/латекс]?
Перевести.	[латекс]\Large\frac{-144}{6}\normalsize\stackrel{?}{=}-24[/latex]
Упрощение. Это проверяет.	[латекс]-24=-24\quad\галочка[/латекс]

Попробуйте

Пример

Переведите и решите: Частное [латекс]q[/латекс] и [латекс]-5[/латекс] равно [латекс]70[/латекс].

Показать раствор

Попробуйте

Пример

Переведите и решите: Две трети [латекс]f[/латекс] составляет [латекс]18[/латекс].

Показать решение

попробуйте

Пример

Переведите и решите: Частное [latex]m[/latex] и [latex]\Large\frac{5}{6}[/latex] равно [latex]\Large\frac {3}{4}[/латекс].

Показать раствор

Попробуйте

Пример

Переведите и решите: Сумма трех восьмых и [латекс]х[/латекс] равна трем с половиной.

Показать раствор

попробуй

Мы видели несколько примеров того, как перевести данное математическое отношение из слов в форму уравнения, чтобы решить его.