Натуральное число делится на 3 если: § Признак делимости на 3. Признак делимости на 9

Делимость — что это, определение и ответ

Говорят, что целое число a делится на натуральное число b, если существует такое целое число c, что выполняется равенство \(a = bc\). В этом случае число b называют делителем числа a, а число a — кратным числу b.

Если числа \(a\) делится на b, то пишут \(a \vdots b\).

Например,

\(95 \vdots 5\), так как \(95 = 5 \bullet 19\)

СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ

1. Если a делится на b, то для любого числа k число ka делится на b.

\(a \vdots b \rightarrow ak \vdots b\)

2. Если a делится на c и b делится на c, то сумма, разность и произведение чисел a и b делится на c.

\(\ \left\{ \begin{matrix} a \vdots c \\ b \vdots c \\ \end{matrix} \rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left( a + b \right) \vdots c \\ \left( a — b \right) \vdots c \\ (a \bullet b) \vdots c \\ \end{matrix} \right.\ \right.\ \)

3. Если a делится на b и b делится на c, то a делится на c.

\(\left\{ \begin{matrix} a \vdots b \\ b \vdots c \\ \end{matrix} \rightarrow \right.

\ a \vdots c\)

4. Если a делится на b и c делится на d, то ac делится на bd.

\(\left\{ \begin{matrix} a \vdots b \\ c \vdots d \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow ac \vdots bd\)

ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Число \(p\ (p \geq 2)\) называется простым, если оно делится только на себя и на единицу.

Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.

Например,

Число 17 простое. Делители \(17:\ 1,\ 17\).

Число 9 составное. Делители \(9:\ 1,\ 3,\ 9\).

Единица не является ни простым, ни составным числом.

Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

• Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 2 (последняя цифра – четная).

• Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 4.

• Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры числа делятся на 8.

• Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3.

• Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.

• Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).

• Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 25.

• Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.

Пример №1:

\(123456789\) делится на 3, так как \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\), а 45 делится на 3.

Пример №2:

1452 делится на 11, так как \((1 + 5)\ –\ (4 + 2)\) делится на 11.

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

Пусть \(a\ и\ b \neq 0\) – два целых числа. Разделить число a на число b с остатком – это значит найти такие числа c и d, что выполнены следующие условия:

\(\left\{ \begin{matrix} a = \text{bc} + d \\ 0 \leq d < |b| \\ \end{matrix} \right.\ \)

От деления на b могут быть только остатки\(:\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\ldots,\ |b| — 1\).

Пример №3:

\(19\ :\ 7\ = \ 2\ (ост.\ 5)\)

\(19\ = \ 7\ \bullet \ 2\ + \ 5\ \)

Пример №4:

\(22\ :\ ( — 3)\ = \ — 7\ (ост.\ 1).\)

\(22\ = \ — 3\ \bullet \ ( — 7)\ + \ 1\)

Пример №5:

\(- 22\ :\ 3\ = \ — 8\ (ост.\ 2)\)

\(- 22\ = \ 3\ \bullet \ ( — 8)\ + \ 2\)

ТЕОРЕМЫ

1. Сумма чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и сумма остатков чисел a и b при делении на число m.

Например,

\(\left\{ \begin{matrix} 15:2 = 7\left( ост.\ 1 \right) \\ 16:2 = 8(ост.\ 0) \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow \left( 15 + 16 \right):2 = 15\left( ост. \ \mathbf{1} \right)\text{\ \ \ \ \ }\left( 1 + 0 \right):2 = 0(ост.\ \mathbf{1})\)

2. Произведение чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и произведение остатков чисел a и b при делении на число m.

Например,

\(\left\{ \begin{matrix} 13:3 = 4\left( ост.\ 1 \right) \\ 20:3 = 6(ост.\ 2) \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow \left( 13 \bullet 20 \right):3 = 86\left( ост.\ \mathbf{2} \right)\text{\ \ \ \ \ }\left( 1 \bullet 2 \right):3 = 0(ост.\ \mathbf{2})\)

Признак делимости на 6 в математике

Оглавление

Время чтения:  7 минут

451

Определение 1

Деление — одна из четырех основных операций, которая делит число на равные части. Это математический метод, при котором число делится на более мелкие группы, или метод распределения количества на равные части. Обозначается несколькими символами: косой чертой, горизонтальной чертой и знаком деления.
Деление — это операция, обратная умножению. Например, умножение 5 на 2 дает 10. Вы можете получить любой из множителей 2 и 5, разделив 10 на любое из чисел.

Что такое признаки делимости?

Определение 2

Как следует из названия, правила делимости— это процедуры, используемые для проверки того, делится ли число на другое число, без обязательного фактического деления. Число делится на другое число, если результат или частное является целым числом, а остаток равен нулю.

По сути, это алгоритм, позволяющий быстро определить, делится ли число на заданное число. В случае если признак делимости позволяет узнать и остальное распределение, его называют признаком компетентности.

Эта статья демонстрирует смысл признака делимости на 6. Его формулировка представлена ​​с примерами решения. Ниже мы приводим доказательство признака делимости на 6 на примере некоторых выражений.

Признаки делимости на 6, примеры

Говорят, что целое число делится на 6, если оно удовлетворяет двум условиям, приведенным ниже.

• Целое число должно делиться на 2. Число делится на 2, если цифра единичного разряда числа четная, т. е. 0, 2, 4, 6 и 8.
• Целое число должно делиться на 3. Число делится на 3, если сумма всех цифр числа кратна 3 или сумма точно делится на 3.

Оба условия должны применяться к числу при выполнении теста на делимость 6. Если число не удовлетворяет ни одному из данных условий или обоим, то мы можем сказать, что число не делится на 6. Другими словами, мы можем сказать, что все четные числа в таблице умножения 3 делятся на 6.

Давайте разберемся с правилом делимости на 6 на примерах.

1. Применение признака делимости на 6 к числу 9156.
   Первое условие: число должно делиться на 2 ⇒ 9156 оканчивается на четное число (6). Оно делится на 2 [9156 ÷ 2 = 4578].
   Условие второе: число должно делиться на 3. Сумма цифр числа 9156 равна 21 (9 + 1 + 5 + 6 = 21). Сумма 21 делится на 3. Число 9156 делится на 3.
   Таким образом, 9156 делится и на 2, и на 3. Следовательно, оно делится на 6.
   
2. Применение правила делимости на 6 к числу 825.
   Условие первое: число должно делиться на 2 ⇒ 825 оканчивается на нечетное число (5). Оно НЕ делится на 2.
   Второе условие: число должно делиться на 3. Сумма цифр числа 825 равна 15 (8+ 2 + 5 = 15). Сумма 15 делится на 3. Число 825 делится на 3 (825 ÷ 3 = 275).
   Мы видим, что 825 НЕ делится на 2 и делится на 3. Поскольку число не удовлетворяет одному условию, следовательно, 825 НЕ делится на 6.

Правило делимости на 6 для больших чисел

Правило делимости 6 одинаково для всех чисел, будь то меньшее число или большое число. Большое число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3. Большое число должно удовлетворять обоим условиям признака делимости числа 6.

Следуйте инструкциям, чтобы проверить, делится ли большое число на 6 или нет.

1. Проверьте разрядность единицы номера. Если оно четное, то делится на 2, а если нечетное, то НЕ делится на 2.
2. Проверьте сумму всех цифр числа. Если сумма делится на 3, то и число делится на 3.
3. Если шаг 1 и шаг 2 говорят, что большое число делится и на 2, и на 3, то говорят, что большое число делится на 6.

Например, 145962

1. Число четное, поэтому оно делится на 2.
2. Сумма всех цифр 1+4+5+9+6+2 = 27, да, сумма 27 делится на 3, что означает, что 145962 также делится на 3. Обратите внимание, что сумма цифр числа 27 равно 2 + 7 = 9, также делится на 3. Мы можем повторить этот процесс, чтобы приблизить сумму к 3.
3. Число 145962 делится и на 2, и на 3. Следовательно, число 145962 делится на 6.

Примеры 1 — 3

Узнать, делятся ли данные числа на 6 или нет, используя признак делимости на 6.

а) 80

б) 264

а) Поскольку 80 — четное число, оно делится на 2, но сумма цифр, то есть 8 + 0 = 8, не делится на 3, поэтому 80 не делится на 3. Таким образом, число 80 не делится на 3. делится на 6, потому что делится на 2, но не делится на 3.

б) Поскольку 264 является четным числом, оно делится на 2. Кроме того, сумма цифр, то есть 2 + 6 + 4 = 12, делится на 3, поэтому 264 также делится на 3. Таким образом, число 264 делится на 6, потому что делится и на 2, и на 3.

---

 

Используя правило делимости на 6, узнайте, делится ли число 4578 на 6 или нет.

Решение: Поскольку 4578 — четное число, оно делится на 2. Кроме того, сумма цифр 4+ 5+ 7 + 8 = 24 делится на 3, или мы можем добавить цифры 24, чтобы упростить 2 +4 = 6 делится на 3, следовательно, 4578 также делится на 3. Следовательно, число 4578 делится на 6, потому что оно делится на 2 и 3 (4578 ÷ 6 = 763).

---

 

Проверьте, делится ли заданное большое число 433788 на 6 или нет, используя правило делимости на 6.
Решение: Поскольку заданное большое число 433788 является четным числом (цифра разряда единиц четна), оно делится на 2. Кроме того, сумма цифр, равная 4 + 3 + 3 + 7 + 8 + 8 = 33, делится. на 3, или мы можем добавить цифры 33, чтобы упростить 3 +3 = 6 делится на 3, таким образом, 433788 также делится на 3.

Следовательно, число 433788 делится на 6, потому что оно делится на оба числа 2 и 3. (433788 ÷ 6 = 72298).

Доказательство признака делимости на 6

Рассмотрим доказательство признака делимости на 6 с необходимыми и достаточными условиями.

Теорема 1

Для того чтобы целое число, а делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на 2 и 3.

Доказательство

Сначала нужно доказать, что делимость числа a на 6 делает его делящимся на два и три. Используя свойство делимости: если целое число делится на b, то произведение ba на целое число b также делится на b. Отсюда следует, что при делении a на 6 можно использовать свойство делимости, чтобы представить равенство как a = 6 ⋅ q a=6 q, где q — целое число. Такое обозначение произведения говорит о том, что наличие множителя дает гарантию деления на 2 и на 3. Необходимость доказана. Чтобы полностью доказать делимость на 6, нужно доказать достаточность. Для этого нужно доказать, что если число делится и на 2, и на 3, то оно делится и на 6 без остатка. Необходимо применить основную теорему арифметики. Если произведение нескольких положительных целых множителей, отличных от единицы, делится на простое число p, то хотя бы один множитель делится на p. Имеем, что целое число a делится на 2, тогда существует такое число q, когда a = 2 ⋅ q a = 2 q. Это же выражение делится на 3, где 2 ⋅ q 2 q делится на 3. Очевидно, 2 не делится на 3. Из теоремы следует, что q должно делиться на 3. Отсюда получаем, что существует целое число q1, где q = 3 ⋅ q 1 q = 3 q1. Отсюда полученное неравенство вида a = 2 ⋅ q = 2 ⋅ 3 ⋅ q 1 = 6 ⋅ q 1 a = 2 q = 2 3 q1 = 6 q1 говорит о том, что число a будет делиться на 6. Доказывается достаточность.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Другие случаи делимости на 6

В этом разделе мы рассмотрим способы доказательства делимости на 6 с использованием переменных. В этих случаях (когда целое число явно не указано) прямое деление и применение признака делимости на 6 зачастую невозможно, поэтому необходим другой подход к решению. {2}+5\right)\]
Полученное произведение содержит множитель 6, поэтому оно делится на 6 для любого целого числа b.
Правила деления на числа от 1 до 10, а также на 11 и 25 были выведены для упрощения процесса деления натуральных чисел. Оканчивающиеся на 2, 4, 6, 8, 0 считаются четными.

Оценить статью (85 оценок):

Поделиться

сравнений — Докажите, что число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3

Задавать вопрос

спросил 7 лет, 7 месяцев назад

Изменено 7 лет, 6 месяцев назад

Просмотрено 39 тысяч раз 9я\эквив1\пмод 3$. Утверждение является непосредственным следствием этого соответствия.

Я не понимаю последнее утверждение.

Почему оно следует из этого соответствия?

• сравнения

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Простой способ увидеть это (который на самом деле хорошо обобщает маленькую теорему Ферма):

$$10 — 1 = 92 + 1 \times 10 + 7 \\ &= 4\times 9999 + 3 \times 999 + 6 \times 99 + 1 \times 9 + (4 + 3 + 6 + 1 + 7) \end{align}$$

Каждый член справа, кроме суммы цифр, делится на $3$. Таким образом, остаток при делении исходного числа на $3$ и суммы цифр на $3$ должен быть одинаковым.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

n = $a_0$ + …. + $a_n$ mod (3) означает, что n и сумма цифр будут эквивалентны одному и тому же числу по модулю 3. Если это число равно 0, то n и сумма обе цифры будут делиться на 3. Если число не равно 0 (или любому другому кратному 3), ни n, ни сумма цифр не будут делиться на 3. 9k\equiv a_k+a_{k-1}+a_{k-2}+\cdots+a_0\pmod3.$$

Другими словами, остаток от деления $n$ на $3$ такой же, как остаток деления суммы его цифр на $3$. В случае нулевой невязки получаем искомое утверждение: $n$ делится на $3$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $3$.

$\endgroup$

Математическая задача: остаток 33031 — математическая задача, натуральные числа

Найдите число, которое при делении на 28 дает отношение 606, а остаток 23.

Правильный ответ:

Нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

написать нам

. Спасибо!

Советы для связанных онлайн-калькуляторов

Вы хотите выполнить деление натуральных чисел — найти частное и остаток?

Для решения этой математической задачи вам необходимо знать следующие знания:

• арифметика
• деление
• числа
900 27 натуральных чисел

Уровень задачи:

• практика для 11-летних
• практика для 12-летних

• Трехзначное число 8002
  Найдите наибольшее трехзначное число, которое дает остаток 1 при делении на три, дает остаток 2 при делении на четыре, дает остаток 3 при делении на пять и дает остаток 4 при делении на шесть.
• Делимое 9331
  Число X — наименьшее натуральное число, половина которого делится на три, треть делится на четыре, четверть делится на одиннадцать, а его половина дает остаток 5 при делении на семь. Найдите это число.
• Признак делимости
  Определите наименьшее целое число, которое при делении на 11 дает остаток 4. При делении 15 дает остаток 10, а при делении на 19 дает остаток 16. при делении на 5 n дает остаток 4 при делении на 5. Докажите непосредственно
• Число
  Вычислите целое число, деленное на 34, дает 10, а остальные 25.
• Мое 4
  Мое 4-значное число есть палиндром; у него есть остаток 21, когда вы делите его на 100. какое у меня число? Палиндром — это число, которое не изменится, если его записать в обратном порядке.
• 123412341234 5415
  Есть тысяча однозначного числа, которое состоит из повторяющихся цифр 123412341234. Какой остаток дает это число при делении на девять?
• Остаток
  A — произвольное целое число, дающее остаток 1 при делении на 6. B — случайное целое число, дающее остаток при делении на два. Что дает остаток от деления на три произведения чисел А х В?
• Результат и остаток
  После деления неизвестного числа на число 23 получается частное 11 и остаток четыре. Найдите неизвестный номер.
• Наименьшее 4692
  A. Найдите наибольшее натуральное число, на которое можно разделить числа 54 и 72 (120, 60 и 42) B. Найдите наименьшее натуральное число, на которое можно разделить каждое из чисел 36 и 48 ( 24,18 и 16)
• по модулю
  Найдите x в уравнении по модулю: 47x = 4 (mod 9) Подсказка – прочитайте, какое число 47x разделить на 9 (по модулю 9) дает остаток 4.
• Остаток 8124
  Сумма число равно 878. Если мы разделим большее число на меньшее, мы получим отношение 6 к остатку 17. Что это за числа?
• Остаток 34441
  Найдите остаток после деления суммы на 1! +2! +3! +. … . +300! число 13.
• Большое число
  Какой остаток при делении 10 на 9 до 47 — 111?
• Год 2020
  Четырехзначное число, разделенное на 2020, дает результат 1, **.

  No related posts.